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京大理系数学'13年[4]

京大理系数学'13[4]

におけるの最大値を求めよ。ただしおよびが成り立つことは証明なしに用いてよい。

解答 数値の評価があるとはいえ、平凡な微分の問題です。


 (微分の公式を参照)
とすると、においては、

これで、以下の増減表が得られます(関数の増減を参照)
x


00
なので、です。
従って、より、方程式の範囲にただ一つの解α ()をもちます。また、より、方程式の範囲にただ一つの解β (,実はです)をもちます。
結局、方程式は、の範囲に、
3つの解、α0βをもちます。
こうして次の増減表が得られます。
x
α
0
β
000
1
1を比較すると、
よって、求める最大値は ......[]


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  1. 2013/05/31(金) 12:59:40|
  2. 京大理系数学'13年
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京大理系数学'13年[3]

京大理系数学'13[3]

nを自然数とし、整式を整式で割った余りをとする。このときabは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。

解答 ちょっと見た目には難問か?という感じがしないでもないですが、やってみると易問です。以前の重厚な京大数学の面影は微塵もありません。

整式を整式で割ると、
2次式で割るので、余りは1次式です。商を,余りをとします(多項式の除算を参照)
ここでは、2次方程式の解 (とおきます)を代入してみるのが定石です。

より、
こうして、本問は、2次方程式を利用した次数下げの問題に帰着します。
以下、
数学的帰納法により証明します。
() のとき、より、です。ともに整数で、10をともに割り切る素数は存在しないので、題意は成立します。
() のとき、とおけて、がともに整数であり、かつ、をともに割り切る素数は存在しないと仮定(これは、数学的帰納法の仮定です)します。
 ( )
従って、を、
 ・・・①
となるように決めれば、とおくことができます。
また、①より、は整数です。ここで、をともに割り切るような素数
pが存在すると仮定(これは、背理法の仮定です)すると、 (mは整数)とおくことができます。①より、

もともに素数pで割り切れることになり、数学的帰納法の仮定に反します。よって、「をともに割り切るような素数pが存在する」とした仮定は誤りで、をともに割り切るような素数pは存在しません。
()()より、nを自然数として、整式を整式で割った余りをとすると、abは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しません。


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  1. 2013/05/30(木) 01:00:05|
  2. 京大理系数学'13年
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京大理系数学'13年[2]

京大理系数学'13[2]

N2以上の自然数とし、 ()を次の性質(i)(ii)をみたす数列とする。
(i)
(ii) に対して、
が偶数のときが奇数のとき
このときどのような自然数Mに対しても
が成り立つことを示せ。

解答 こうしたイメージのつかみにくい問題では、nNに文字を入れて具体的に調べるようにしましょう。本問は、カラクリがつかめてしまえば、大したことはありません。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
これくらい調べれば、数列のカラクリがつかめます。
Nに対して、数列は、はじめの方が異なるだけで、最後の方は同じになります。特に奇数・偶数の並び方は、であれば、だけが偶数で、それ以外は奇数です。
そこで、まず、各
Nに対して、数列nを用いて表してみます。最初にとなるnは、上記からの場合を除いて、のときです。
Nに対して、各項は、最初の方が自然数で、途中から0になるので、が最大になるのは、のときです。
答案は以下のようになるでしょう。

のとき、は奇数なので、,以後、に対して

どのような自然数Mに対してもより与不等式は成立する。
のとき、は奇数なので、
は偶数なので、
以後、について、と仮定すると、となるのは、,つまり、のときで、このとき、は奇数なので、
従って、帰納的に、を満たす
nについて、 () (数学的帰納法を参照)
特に、,よって、を満たすnについて、
注.つまり、数列は、最初の
2項が、となり、
以降は、,・・・,
31 ()15 ()7 ()3 ()1 ()00,・・・ となっているわけです。

以上より、のとき、どのような自然数
Mに対しても、
 (とおいた)
 (等比数列を参照)
よって、N2以上の自然数とするとき、どのような自然数Mに対しても、が成り立つ。


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  1. 2013/05/29(水) 01:37:57|
  2. 京大理系数学'13年
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京大理系数学'13年[1]

京大理系数学'13[1]

平行四辺形ABCDにおいて、辺AB11に内分する点をE,辺BC21に内分する点をF,辺CD31に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比APPQを求めよ。

解答 いくら易化傾向とは言っても、これでは標準的な高校入試問題です。高校3年間は何だったのか、と受験生に思われかねません。ベクトルを持ち出すまでもありませんね。

簡単にするために、とします。
直線
GFと直線ABの交点をRとすると、
より、△
CGF∽△BRF
CGBRFCFB12
より、
より、△
CGP∽△ERP
PCPECGER38
P
を通り、BCに平行な直線と直線ABとの交点をSとすると、
ESSBPEPC83

APPQASSB193 ......[]


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  1. 2013/05/27(月) 11:12:04|
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東工大物理'13年前期[3]

東工大物理'13年前期[3]

単色光源から出た波長λの光が、単スリットS,二重スリットABを通過し、スクリーン上に作り出す干渉縞を、光の強度(明るさ)に比例した読みを与える光検出器Cを用いて観測する。屈折率が1の大気中に、単スリットSを有する遮光板と、二重スリットABを有する遮光板と、大きさの無視できる光検出器が置かれたスクリーンが、図1①のように互いに平行に置かれている。各スリットは、紙面に垂直な方向に細長く、水平方向の幅は波長に比べて十分に狭い。また、二重スリットABの間隔a ()は、波長よりも十分に大きい。スリットSの位置は、可動装置Nによって左右に動かすことができ、二重スリットABの位置は固定されている。光検出器Cの位置をスクリーン上の座標xで表し、二重スリットABから等距離にある点を原点Oとし、図の右向きを正にとる。各スリットの間の距離を,スリットと光検出器との間の距離をのように表す。以下の問いでは、原点付近()の光の強度について考える。

(a) となる位置に単スリットSを固定し、光検出器Cの位置xをずらしながら、その読みを記録した。以下の文章の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。

Lxaを用いて、 ア と表される。ここで、のとき、とする近似を用いると、 イ となる。同様の計算をについても行うと、 ウ となる。光検出器の位置をずらしながら、その読みを記録したところ、スクリーンに生じた干渉縞に対応して、図1②のように読みがxとともに周期的に変化した。この干渉縞の間隔は エ であった。

(b) 可動装置Nを使って単スリットSの位置をずらした。以下の文章の空欄に入る適切な数式を答えよ。()については導出過程も書くこと。

0からに変化したとき、干渉縞がx軸正の方向にdだけずれた。 ウ より、daLを用いて オ と表すことができる。光検出器Cをずらしながら、その読みを記録したところ、読みはという関数で表すことができた。ここで、αは、干渉縞の光強度が最大となる位置における光検出器Cの読みである。
次に、可動装置
Nを使って単スリットSの位置を不規則に変化させたところ、光検出器Cの読みが不規則に変動した。そこで、光検出器の読みを十分長い時間にわたって平均し、その平均値を、光検出器の位置xの関数として作図した。すると、図1③のように、干渉縞が消失してしまった。これは次のように理解することができる。単スリットSの位置を不規則に動かすと、が変化し、干渉縞のずれdが不規則に変化する。実験では光検出器の読みを表す式の中のという項がから1までの値を不規則に取り、長い時間にわたって読みを平均することで、平均値が0に近づいていったものと考えられる。そのために、光検出器の読みの平均値が カ に近づき、干渉縞が消失したわけである。

(c) 可動装置Nを使って単スリットSの位置を不規則に変化させても、干渉縞を観察することができるように、図2のような、問(a)の光検出器Cと同一の応答をする光検出器2台を有する新しい装置Mを用いることにした。二つの光検出器の位置をとする。同時刻における、の読みをかけあわせた値が、装置Mの読みとして得られる。を固定し、をずらしながらMの読みを記録した。以下の文章の空欄に入る適切な数式、または記号を答えよ。解答欄には、答えのみを書くこと。

まず、単スリットSとなる位置に固定した。nを整数として、 キ という条件を満たしている場合は、をずらしても、Mの読みは0のまま変化しなかった。しかし、の位置に固定すると、装置Mの読みが、の関数として間隔Pで周期的に変化した。
次に、単スリット
Sの位置をとなる位置にずらすと、スクリーン上の干渉縞が、問(b)と同様にdだけずれた。の位置に固定したまま、の位置を変えながら装置Mの読みを記録すると、その値は、αPdを用いて、 ク という関数で表すことができた。
最後に、可動装置
Nを用いて、単スリットSの位置を不規則に変化させたところ、装置Mの読みが変動した。そこで、問(b)と同様に、装置Mの読みを十分長い時間にわたって平均した値を、を変えながら記録した。に固定したままである。先ほど求めた装置Mの読み ク の中で、dを含む三角関数の値は、から1までの値を不規則に変化する。問(b)の考えに基づくと、装置Mの読みを十分長い時間平均した値は、αPを用いて、 ケ と表されるはずである。実験をしてみたところ、 コ  (3 ①~⑩のうちから一つ選択せよ)のようなグラフが得られた。

解答 (c)()が難しいのですが、ここは数学の入試問題だと思って切り抜けましょう。波動現象は三角関数の性質と合わせて理解するのがベストです。

(a) Aからx(スクリーン)に下ろした垂線の足をHとします。より、
() ......[]
問題文中の近似を行うと、
() ......[]
同様に、,よって、
() ......[]
スクリーン上でAから来た光とBから来た光が干渉して強め合う条件は、経路差波長の整数倍となることで、mを整数として、
 ・・・①
これより、干渉縞の
間隔です。
()

(b) 0からに変化したとき、Aを通る光と、Bを通る光の経路差は、

①との違いを考えると、干渉縞の位置のずれは、
() ......[]
長い時間にわたって読みを平均すると、より、光検出器の読みは、
() ......[]
注.だとして、()の干渉縞の間隔は、です。Sを有する遮光板とABを有する遮光板の距離Lだとして、となるのは、単スリットS1cm動かしたときです。
干渉縞のずれdzと表すことにすると、単スリットSを動かすということは、z時間t の関数とする、ということです。ここでは簡単にするために ()tのときzとします。数学的に言えば、「長い時間にわたって読みを平均する」というのは、

 という操作をすることに相当しますが、ここで、
であることを考えると、単スリットSの動かし方がかなり激しくてkが微小量でないときには、
 (関数の極限を参照)
です。

(c) の読みをかけ合わせた値は、
 ・・・②
これが装置Mの読みです。
単スリット
Sとなる位置に固定すると、となり、
このとき、であれば、と無関係にとなります。このために、nを整数として、

(
) ......[]
に固定すると、より、②は、
() ......[]
 ・・・③
ここで、
よって、③は、
(b)の考えに基づいて長い時間にわたって平均をとると、このうちのdを含む項は0に近づくので、
() ......[]
これを表しているグラフは⑤です。
() ......[]


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  1. 2013/05/24(金) 12:16:34|
  2. 東工大物理'13年
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東工大物理'13年前期[2]

東工大物理'13年前期[2]

1のように、水平なxy平面上に固定された2本の平行なレール甲、乙と、そのレール上に置かれた電気抵抗をもつ2本の棒12よりなる装置がある。2本のレールは導体でできており、x軸に平行になるように間隔で配置されている。レール間にはスイッチを介して静電容量Cのコンデンサーが接続されており、レール甲は接地されている。2本の棒はy軸に平行になるようにレール上に置かれ、向きを保ったままレール上をx軸の向きになめらかに動くことができる。棒1と棒2の質量をそれぞれとする。また、棒1と棒2をレール間に渡したときの電気抵抗はそれぞれである。の部分には鉛直上向きに磁束密度の大きさBの一様な磁場がかけられている。の部分の磁束密度の大きさは0である。
レールと棒の太さは無視できるとする。レールは充分に長く、実験中に棒が端に達することはない。また、棒
1と棒2は十分離れており、実験中互いに接触しないものとする。レールと棒の摩擦や空気抵抗、棒以外の電気抵抗、回路を流れる電流により発生する磁場、レール間の静電容量は無視できる。
以下では、棒を流れる電流は
y軸正方向を正とし、棒の速度、運動量、棒に働く力はx軸正方向を正とする。解答には、小問中で指定されたもの以外に
BC
を用いてよい。

[A] まず、図2のようにスイッチを開いた状態で実験を行う。棒2の部分に速度が0になるようにそっと置き、棒1の部分から初速度 ()で滑らせる。
(a) 1を通過した直後に棒1に流れる電流を初速度を用いて表せ。
(b) 以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。

1を通過したあとのある時刻において、棒2を流れる電流をとする。棒2に働くローレンツ力f を用いて ア と与えられる。微小時間あたりの棒2の速度の変化はである。このとき棒1には電流が流れるから棒1に働くローレンツ力はであり、棒1の速度変化はである。従って、棒1と棒2の運動量の和の変化はであり、運動量の和は時間とともに変化しない。
時間が十分経過したあと、それぞれの棒の速度が変化しなくなった。このとき、それぞれの棒に働くローレンツ力は
0であるから、棒に電流は流れていないはずである。従って、十分時間が経過したあとの棒1の速度と棒2の速度の間に、運動量保存の式とは別に、関係 イ が成り立つ。このことから、時間が十分経過したあとの棒1の速度とレール乙の電位を用いて ウ  エ と表すことができる。

(c) 棒1に初速度を与えてから最終的にそれぞれの棒の速度が変化しなくなるまでに、棒1で発生したジュール熱を用いて表せ。

[B] 今度は、図3のようにスイッチを閉じた状態で同様の実験を行う。棒2の部分に速度が0になるようにそっと置き、棒1の部分から初速度 ()で滑らせる。はじめコンデンサーは充電されていないものとする。
(d) 以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。

1を通過したあとのある時刻において、レール乙の電位をV,棒1と棒2を流れる電流をそれぞれとし、微小時間あたりの棒1と棒2の速度の変化をそれぞれとする。あたりの棒1と棒2の運動量の合計をを用いて表すと オ となる。また、あたりのレール乙の電位の変化を用いて表すと カ となる。
これら
2つの式より、
 キ 
が成り立つので、
 キ 
V
は時間とともに変化しない。

(e) 十分時間が経過したあと、それぞれの棒の速度が変化しなくなった。このときの棒1の速度とレール乙の電位を用いて表せ。
(f) 1に初速度を与えてから最終的にそれぞれの棒の速度が変化しなくなるまでに、棒1と棒2で発生したジュール熱の合計Qを、棒1の初速度,棒1の最終的な速度および最終的なレール乙の電位を用いて表せ。

解答 [B](d)の空所補充部分では、問題文の舌足らずな誘導の文章で、何を書き入れて良いか悩みますが、運動量の原理に沿って考えます。

[A](a) フレミング右手の法則により、棒1には、上から下に向かって電流が流れる向きに大きさ起電力を生じます。電流は負、,棒1,棒2合成抵抗なので、オームの法則より、
......[]
(b) 1を通過すると、棒1起電力が発生して棒1,棒2電流が流れ始め、棒2ローレンツ力が働いて(フレミング左手の法則)2も動き始め、棒2にも起電力が発生します。
2には下から上向きに電流が流れ、棒2に働くローレンツ力は右向きで、
() ......[]
問題文にあるように、微小時間あたりの棒1,棒2速度変化となるので、
よって運動量は時間変化せず、は一定・・・① になります。
フレミング左手の法則により、棒1には左向き、棒2には右向きのが働くので、棒1速さは次第に遅くなり、棒2速さは次第に速くなります。時間が充分経過し、最終的に両者の速度が一致したところで、棒1と棒2起電力が打ち消し合って、棒に電流が流れなくなります。このとき、棒1,棒2速度は一致して、が成り立ちます。
() ......[]
このとき、①より、
 ∴
() ......[]
1,棒2では、下側の電位が高く、上側の電位が低いので、レール乙の電位は負で、
() ......[]
(c) 1と棒2に流れる電流は同じなので、棒1と棒2に発生するジュール熱は、に分かれます(電力を参照)。棒1と棒2に発生するジュール熱は、運動エネルギーの減少分に等しく、棒1で発生したジュール熱は、


......[]

[B] この場合にも、[A]と同様に、棒1起電力が発生して棒2にも電流が流れ、棒2ローレンツ力が働いて棒2も動き始め、棒2にも起電力が発生します。
(d) 運動量の原理より、棒1と棒2運動量の変化は受けた力積に等しく、それぞれが微小時間の間に受けたローレンツ力 (電流の正の向きが棒を下から上に向かって流れる向きであることに注意。)であることから、
 ・・・②
() ......[]
微小時間の間に棒1,棒2電流が流れると、コンデンサー電荷が蓄えられ、コンデンサーの電圧だけ増加します。よって、
 ∴  ・・・③
() ......[]
②,③からを消去することにより、

() ......[]
これより、となり、は変化しません。 ・・・④
() ......[]
(e) それぞれの棒の速度が変化しなくなったとき、②よりとなり、棒1,棒2に発生する起電力が等しくなります。このとき、より、
起電力の向きは棒の上から下に電流を流す向きで、レール乙よりもレール甲の方が電位が高くなります。より、レール乙の電位は、
1に到達した瞬間で、を通過して以降、④よりは変化しないので、

......[]
(f) 1と棒2で発生したジュール熱の合計Qは、棒1,棒2運動エネルギーの減少分からコンデンサーが蓄えた静電エネルギーを引いたものに等しく、
......[]


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  1. 2013/05/15(水) 13:39:21|
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東工大物理'13年前期[1]

東工大物理'13年前期[1]

[A] 図1のように水平でなめらかな平面があり、その上の直線上を同じ質量m2つの物体ABが、伸び縮みしない質量の無視できる長さのひもで結ばれたまま、摩擦を受けずに運動している。以下では、図の右方向を速度の正の向きにとる。
時刻において、図1のように物体Aは物体Bの右方向に距離だけ離れた位置にあり、ひもはたるんだまま、物体ABはそれぞれ速度 ()で運動している。物体間の距離がになるとひもがたるみなく張り、物体ABには撃力が働く。その直後、物体ABは近づき始め、やがて衝突する。ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもがたるんでいるときには、ひもは物体ABの運動を妨げることはないとする。また、物体ABの衝突は完全弾性衝突であるとする。空気抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。
(a) 初めてひもが張った直後の物体ABの速度をそれぞれとする。ひもが張る前後のエネルギー保存の式、および運動量保存の式を記せ。また、を求めよ。
(b) から初めてひもが張るまでの時間を求めよ。また、から2回目にひもが張るまでの物体Bの速度を、時間の関数として解答欄(b)に実線で書き込め。ただし、初めてひもが張る時刻と速度を表す位置は解答欄に示されている。

[B] 図2のように水平面となす角がθ ()の斜面があり、その上の直線上を同じ質量m2つの物体ABが伸び縮みしない質量の無視できる長さのひもで結ばれたまま運動している。ただし、2つの物体は紙面内を運動し、斜面から離れることはない。物体Aの下面はなめらかで斜面との間に摩擦はないが、物体Bの下面は粗く、物体Bと斜面との間の動摩擦係数はである。物体Bに働く動摩擦力は重力の斜面下向き成分に比べて小さく、物体は斜面上で静止することはない。以下では、斜面下方を速度の正の向きにとる。
時刻において物体Aは物体Bより距離だけ下方にあり、物体ABの速度は等しく、 ()であった。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるものとして、以下の間に答えよ。
(c) から初めてひもが張るまでの時間を求めよ。
(d) 初めてひもが張った直後の、物体Bから見た物体Aの相対速度を求めよ。ただし、ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもが張る瞬間において、物体に働く重力と摩擦力の影響は無視する。
(e) (d)でひもが張った時刻から、物体ABが近づき、初めて距離がになるまでの時間を求めよ。また、距離がになったときの物体Bから見た物体Aの相対速度を求めよ。
(f) から3回目にひもが張るまでの物体ABの速度を、時間の関数として解答欄(f)に書き込め。物体Aの速度のグラフを実線、物体Bの速度のグラフを破線で書くこと。ただし、からまでのグラフは解答欄(f)に書き込まれている。

解答 [B]の後半では、斜面を下るに従って、だんだんABも速くなるのですが、運動の対称性を生かせばうまく解答することもできます。

[A](a) ひもが張る直前、運動エネルギーAB運動量です。ひもが張った直後、運動エネルギーAB運動量,です。
ひもが張る前後のエネルギー保存より、
......[] ・・・①
......[] ・・・②
①より、 ・・・③
②より、 ・・・④
③,④より、 ・・・⑤
④+⑤より、
......[],④-⑤より、 ......[]
注.同じ質量の物体Aが、ひもが張る前後で、エネルギー保存運動量保存が成立すると、本問のように、速度を交換することに注意してください。

(b) 初めてひもが張るまで、Bから見たA相対速度です。Bから見るとAは、この速度時間の間に進むように見えるので、
......[]
初めてひもが張ると、BAを追いかけるようになり、初めてひもが張ってから2度目にひもが張るまでの時間とすると、この間にBAに対して、相対速度距離進むことになるので、(a)の結果を用いて、

初めてひもが張るまでのにおいて、B速度,ここから2度目にひもがはるまでのにおいて、B速度です。グラフは右図。

[B](c) 斜面を下る方向のA運動方程式は、A加速度として、A重力のこの方向の成分を受けるので、
 ∴
斜面を下る方向のB運動方程式は、B加速度として、B重力のこの方向の成分と上向きの動摩擦力を受けるので、
 ∴
Bから見たA相対加速度は、
BからAを見ると、はじめ距離にいたAが、初速度0加速度で動き始め、ひもが張るときには距離にいるように見えます。等加速度運動の公式より、
 ∴ ......[]

(d) ひもが張る直前のAB速度は、等加速度運動の公式より、
Bから見たA相対速度は、
 ・・・⑤
[A](a)と同様に、ひもが張ったときにAB速度を交換するので、初めてひもが張った直後の物体Bから見た物体A相対速度は、⑤と符号が反転し、 ......[]

(e) Bから見たA加速度はひもが張った後も、です。Bから見てAとの相対距離縮まるまでの時間として、等加速度運動の公式より、

......[] ()
等加速度運動の公式より、相対速度は、
......[]
この後、時間経過すると、相対距離は、だけ増して、となり、再びひもが張ります。ここで再びAB速度が交換して運動が続きます。
注.
(d)でも述べたように、ひもが張るときにABは速度を交換し、同じ加速度で逆向きの運動を始めます。重力を受けて鉛直上方投射された物体が、上昇から下降に移るのと同様に、本問でも同じ相対距離動く時間は変わらず、になるのは当然です。また、相対距離がになったときの相対速度がのときと同じ値となるのも当然です。
(f) (e)までで見てきたように、一旦ひもが張って次に張るまでの時間は、ずっとのままになります。ひもが張るごとにAB速度を交換し各々のグラフが途切れます。初速度で動き始めた後、A加速度で、B加速度等加速度運動を続けるので、ひもが張るときを除いてそれぞれのグラフの傾きは一定で、物体Aと物体B速度のグラフは右図のようになります。


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 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/05/03(金) 17:44:45|
  2. 東工大物理'13年
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