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東大物理'13年前期[3]

東大物理'13年前期[3]

次のⅠ,Ⅱ,Ⅲの各問に答えよ。なお、角度の単位はラジアンとする。

Ⅰ 図31のように、超音波発信器を用いて平面波に近い超音波を板Aに入射する(板中の直線は波面を表す)。振動数を変化させながら縦波の超音波を板面に垂直に入射したところ、振動数がの整数倍になるごとに板が共振した。板Aの厚さを,板A内を伝わる縦波の超音波の速さをとする。また、板の両面は自由端とする。
(1) を用いて表せ。
(2) のとき、振動数の両方で共振が起こった。の最小値を求めよ。

Ⅱ 固体中では縦波と横波の両方が存在する。縦波と横波は速さが異なり、縦波の方がk()速い。図32のように板Aと、それとは材質の異なる板Bを貼り合わせ、2層構造を持つ板を作製した。板B内を伝わる縦波の速さをとし、とする。また、kの値は物質の種類によらないとする。
Aの表面上の点Oから、図32のように板A内を角度α ()で伝わる縦波を入射した。すると、境界面で縦波の反射波、屈折波のみならず、横波の反射波と屈折波も発生した。反射角は、縦波と横波についてそれぞれθ であった。屈折角は、縦波と横波についてそれぞれøであった。
(1) 縦波の反射角θ が入射角αと等しくなることをホイヘンスの原理に基づいて考える。図33中の記号PQRSを用いて、   を埋めよ。
33において、PQに平行な波面を持つ入射波が速さで進んでいる。波面上の2点がそれぞれPQを通過してから時間T後,Qを通過した側が境界上の点Sに達したとする。このとき、Pから発せられた素元波が時間T後になす半円に対してSから引いた接線RSが反射波の波面となる。△PQSと△SRPにおいて、 ア  イ PSSP (共通)であるから△PQSと△SRPは合同である。また、△PQSを直角とする直角三角形であるから、 ウ 。同様に、△SRPを直角とする直角三角形であるから、 エ 。ゆえに、である。
(2) 横波の反射角について、を求めよ。
(3) 縦波の屈折角ø,横波の屈折角について、を求めよ。

Ⅲ Ⅱで作製した2層構造を持つ板の境界面から深さhの位置に異物Xが存在している。図34のように、Oより超音波を入射してから異物表面での反射波がOに戻ってくるまでの時間をt とする。t の測定値からhを求める方法を考えよう。
(1) まず、入射角αを調整し、板B中を伝わる屈折波が横波だけとなるようにしたい。の満たすべき条件を求めよ。
(2) (1)の条件を満たすある入射角αOから縦波を入射したところ、境界上の点Yで横波が屈折角で板B中に入射しXに到達した。その後、同じ経路をたどって反射波がOに戻ってきた。t khαを用いて表せ。ただしXの大きさは無視せよ。

解答 Ⅱでは、問題をよく読まないと、横波と縦波で何が違うのかと錯覚しかねません。「板Aの表面上の点Oから、・・・縦波を入射した」とする問題文を見逃さないようにしましょう。縦波を入射したら境界面で横波が発生するわけです。なお、Ⅱ(1)については、ホイヘンスの原理波の反射を参照してください。

Aの上端、下端が、一方が固定端で他方が自由端である場合、一端閉管の振動と同様に、共振は基本振動数の奇数倍の振動数で起きます。
Aの上端、下端が、ともに自由端、あるいは、ともに固定端である場合、開管、あるいは、弦の振動と同様に、基本振動数の整数倍の振動数で共振します(定常波を参照)
本問では、問題文に、「
振動数の整数倍になるごとに板が共振した」とあるので、後者と考えるべきで、板A基本振動数で共振するとき、板A厚さ半波長に一致します。なお、前者であれば、板A厚さ波長に一致します。

(1) 基本振動の振動数,速さの超音波の波長です。基本振動が板Aで共振する条件は、板A厚さ半波長に一致することで、
......[]
(2) のとき、超音波の波長,共振が起こる条件はmを自然数として、
 ・・・①
のとき、超音波の波長,共振が起こる条件はnを自然数として、
 ・・・②
①,②をともに満たす自然数mnの中で最小のものは、,このとき、
......[]

(1) PQSと△SRPにおいて、 (共通)より、△PQS≡△SRP
PQSは∠PQSを直角とする直角三角形だから、
同様に、△
SRPは∠SRPを直角とする直角三角形だから、

(
) QS () RP () QPS () RSP ......[]
(2) (1)と同様の考察を行うと、入射縦波について、,反射横波について、
辺々割ると、 ∴ ......[答]
(3) (1)と同様の考察を行うと(光の屈折を参照)、板A内の縦波について、 ・・・③
B内の縦波について、 ・・・④
B内の横波について、 ・・・⑤
④÷③より、 ∴ ......[答]
⑤÷③より、 ∴ ......[答]

(1) Aから板Bに縦波が侵入しようとするときに縦波が全反射する条件は、縦波の屈折角øが存在しないことで、 ∴
A,板Bの境界面に縦波が到来して、板B側に横波が発生する条件は、横波の屈折角が存在することで、 ∴ (,問題文より)
よって、求める条件は、 ......[]
(2) 縦波は板A中の距離速さで進み,境界面で発生した横波は板B中の距離速さで進み、同じ経路をたどって反射波がOに戻ってきます。
縦波が板A中を進む時間は、
横波が板
B中を進む時間は、
求める
時間t は、 ......[]


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  1. 2013/04/12(金) 11:11:27|
  2. 東大物理'13年
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東大物理'13年前期[2]

東大物理'13年前期[2]

電荷をもった粒子の運動を磁場により制御することを考える。重力の効果は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。ただし、角度の単位はすべてラジアンとする。また、θ を微小な角度とするとき、と近似してよい。

Ⅰ 図21のように、の領域にのみ、磁束密度がy座標にゆるやかに依存する磁場がz軸方向(紙面に垂直、手前向きを正)にかけられている。質量m,正の電荷qをもつ粒子Pを、x軸正方向に速さvで領域に入射する。
(1) 領域を通過した結果、粒子Pの運動方向が微小な角度だけ曲がり、そのx軸からの角度がθ となった。領域内を通過する間、粒子のy座標の変化は小さく、粒子に働く磁束密度Bはその間一定としてよいとする。このときのθ を求めよ。以後、角度の向きは図21の矢印の向きを正とする。
(2) 領域内の磁束密度がy座標に比例し、正の定数bを用いてと表されるとき、粒子Pは入射時のy座標によらずx軸上の同じ点を通過する。このときf を求めよ。ただし、df に比べて無視できるほど小さいとする。また、領域内を通過する間、粒子のy座標の変化は小さく、粒子に働く磁束密度Bはその間一定としてよいとする。
(3) 22(a)のように配置された電磁石の組の点線で囲まれた範囲(拡大図と座標を図22(b)に示す)を考える。鉄芯(しん)を適切な形に制作すると、の平面内で(2)のような磁場が実現できる。このとき、二つの電磁石に流す電流の向きはどうするべきか。それぞの符号を答えよ。ただし、図中の矢印の向きを正とする。

Ⅱ 次に、Ⅰ(2)の領域に加えて、図23のように、を中心とし幅dの範囲に、z軸方向に磁束密度 (kは定数)の磁場がかかっている領域を考える。ここで、領域を両方通過した後の粒子の運動方向の変化は、それぞれの領域でⅠ(1)のように求めた曲げ角の和として計算できるものとし、またdf に比べて無視できるほど小さいとしてよいとする。粒子Pと、同じ電荷qをもつ別の粒子Qとが、x軸正方向に速さvをもってで領域に別個に入射したところ、粒子Pの運動方向が微小な角度,粒子Qの運動方向が角度だけ曲げられて、それぞれ領域に入射した。
(1) 粒子Qの質量を求めよ。
(2) 粒子P,粒子Qが領域に入る際のy座標は、それぞれの何倍となるか。
(3) 粒子P,粒子Qが領域を通過した後の運動方向のx軸からの角度を、それぞれkを用いて表せ。
(4) kの値を調整すると、粒子Pと粒子Qx軸上のの同じ点を通過するようにできる。このときのkの値を求めよ。

解答 最後は単に計算するだけの問題になってしまいますが、磁気に関する基本問題です。

(1) 粒子Pの運動方向を左手中指、磁場の向きを人差し指、とすると左手親指(電磁力の向き)y軸負方向を向きます(フレミング左手の法則を参照)。粒子Pには、y軸負方向に大きさが働きます。粒子Pが領域を通過する時間なので、粒子Pは領域を通過する間にy軸負方向に大きさ力積を受けます。粒子Py軸方向の運動量の変化は、領域から出てくるときの速度y成分をとしてです。運動量の原理より、
 ∴
粒子Pが領域から出てくるときの速度x成分はvなので、
より、 ......[]
(2) 粒子Pの入射位置のy座標として、
より、
......[]
このf は、に依存せず、粒子Pが領域に進入するときのによらず、粒子Px軸上の同じ点を通ります。
(3) 22(b)の断面図において、(2)と同様の磁場(の部分にz軸正方向、の部分にz軸負方向を向く磁場)を実現するためには、左側の鉄芯の上側をN極、下側をS極、右側の鉄芯の上側をS極、下側をN極とすればよいわけです。
右ねじの法則より、左側には,右側にはとなる電流を流すことになります。
:正、:負
......[]

(1) 粒子P角度について、における磁束密度とⅠ(1)より
粒子Q質量として、粒子のQ角度について、
......[]
(2) 粒子P,粒子Qが領域に入る際のy座標とすると、として、
P倍,Q ......[]
(3) 粒子Pが領域を通過した後の運動方向のx軸からの角度は、Ⅰのθ として、
......[]
粒子Qが領域を通過した後の運動方向のx軸からの角度は、Ⅰのθ として、
......[]
(4) 粒子Pの運動方向がx軸と交わる位置ととの距離は、
粒子Qの運動方向がx軸と交わる位置ととの距離は、
両者が一致することから、
......[]


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  1. 2013/04/03(水) 02:20:17|
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