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東大物理'13年前期[1]

東大物理'13年前期[1]

次のⅠ,Ⅱの各問に答えよ。
Ⅰ 図11のように、なめらかな水平面上で、ばね定数がkのばね2本を向かい合わせに、それぞれ左側および右側の壁に一端を固定し、他方の端に同じ質量mの小球1および小球2をそれぞれ取り付けた。ばねが自然長のとき、小球間の距離はdであった。ただし、小球の大きさとばねの質量は無視してよい。
今、図12のように、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし()、そこで静かに放した。以下の設問に答えよ。
(1) 小球1は動き始め小球2に衝突した。衝突直前の小球1の速さを求めよ。
(2) 小球どうしの衝突は弾性衝突であるとして、この衝突直後の小球1と小球2の速さをそれぞれ求めよ。
(3) この衝突後、再び衝突するまでに、小球1側のばねおよび小球2側のばねは、それぞれ自然長から最大どれだけ縮むか答えよ。
(4) の場合に、最初の衝突から再衝突までの時間を求めよ。
Ⅱ 次に、あらい水平面上に、Ⅰと同じばねと小球を用意した場合を考える。どちらの小球も水平面との間の静止摩擦係数はμ,動摩擦係数はである。重力加速度の大きさをgとして以下の設問に答えよ。
(1) Ⅰと同じように(12)、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし、そこで静かに放した。小球1が動き始めるために、sがみたすべき条件を求めよ。
(2) 小球1が動き始めた後、小球2に衝突するためにsがとるべき最小値を求めよ。

解答 ばねを含めた系でのエネルギーを考える基礎問題です。

(1) ばねを自然長からsだけ縮めたときのばねの弾性エネルギーです。衝突直前に左のばねはdだけ伸びていて弾性エネルギー,求める小球1速さとして運動エネルギー力学的エネルギー保存より、
......[]
(2) 衝突直後の小球1速度,小球2速度とします。
衝突前後の運動量保存より、
 ・・・①
弾性衝突より反発係数は1で、反発係数の式は、

①に代入して、
......[]
(3) 衝突直後の小球1運動エネルギー0弾性エネルギー力学的エネルギー保存より、小球1側のばねが最も縮んだときにも、運動エネルギー0弾性エネルギーとなるので、小球1側のバネは自然長から最大d ......[] 縮みます。
衝突直後の小球2運動エネルギー弾性エネルギー0で、小球2側のばねが自然長から最大縮むとして、力学的エネルギー保存より、
......[]
(4) のとき、
小球1も小球2も同じ周期,同じ振幅d単振動し、衝突後から時間経過後、小球1がはじめにいた位置(小球1側のばねの自然長の位置)で再衝突します。
最初の衝突から再衝突までの
時間は、 ......[]

(1) 小球1に働く静止摩擦力f とします。小球1に働く力のつり合いより、
小球1が動き始める条件は、静止摩擦力f 最大静止摩擦力を上回ることです。
......[]
(2) 小球1が動き出すとき、運動エネルギー0で、弾性エネルギー,小球1が小球2に衝突するまでに距離動いて、この間に動摩擦力がする仕事は、
衝突直前の小球1速度として、運動エネルギー弾性エネルギーエネルギーの原理より、
小球1が動き始めた後、小球2に衝突するための条件は、となることで、

を解くと、
となりますが、複号の-を採るととなるので、衝突するためのsの条件は、
求めるsの最小値は、......[]


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  1. 2013/03/30(土) 07:07:10|
  2. 東大物理'13年
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東工大数学'13年前期[5]

東工大数学'13前期[5]

abを正の実数とし、円と楕円を考える。
(1) に内接するためのabの条件を求めよ。
(2) とし、に内接しているとする。このとき、第1象限におけるの接点の座標を求めよ。
(3) (2)の条件のもとで、の範囲において、で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答 円と楕円が接する問題は、東大理系'96年前期[6],東工大'98年後期[2]などの類題があります。
に内接するとき、楕円の軸端点において接する場合と、軸端点以外の第
1象限、第4象限において接する場合の2通りがあることに注意します。

(1) の式を変形して、 ・・・①
の式を変形して、 ・・・②
①と②を連立すると、

 ・・・③
①でより円の存在範囲は、 ・・・④
②でより楕円の存在範囲は、 ・・・⑤
に内接するので、④の範囲は⑤の範囲に含まれる必要があります。よって、
ここで、の接し方で場合分けします。
(i) のとき、円は、を直径の両端とする円になりますが、このとき、において接します。
このとき、③は、
この2次方程式は、のほかに、のときには見かけ上という解をもっています。円が円に内接する条件は、2次方程式③が、④の範囲:以外の解を持たないこと(解をもってしまうと、ここでが交わることになります)です(2次方程式の一般論を参照)。つまり、となるか、または、,または、
よって、,または、,または、かつ
以上より、
より、
(ii) のとき、より、円においてと接することはなく、接するとすれば、においてであって、に第1象限、第4象限で内接します。
このときは、円が円に内接する条件は、2次方程式③が、④の範囲:に重解をもつことです。
()
このとき、重解は、
これが③の範囲に属することから、

 ∴
以上より、求める条件は、
かつ
または、かつ ......[]

(2) は、を満たすので、このとき、に第1象限、第4象限において内接します。
(1)より③でとすると、

 ∴
②より、 ∴
よって、第
1象限の接点は ......[]

(3) 以下、とします。求める面積Sは、に挟まれた部分()の面積で、

最初の積分は、半径の円の (頂角の扇形)と、底辺,高さの三角形の面積の和であり、最後の積分は、半径の円の (頂角の扇形)と、底辺,高さの三角形の面積の和になります(置換積分(その2)を参照)

......[]


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  1. 2013/03/25(月) 14:04:46|
  2. 東工大数学'13年
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東工大数学'13年前期[4]

東工大数学'13前期[4]

正の整数nに対し、の範囲においてを満たすxの区間の長さの総和をとする。このとき、を求めよ。

解答 は、和を積に直す公式を利用して考えます。
いきなり、正の整数
nのまま解答しはじめても大丈夫ですが、ここでは、として状況を調べてみます。

のとき、

の範囲でとなるのはのみ。
の範囲でとなるのはのみ。

x0

0
0
00
表より、となるのは、のときで、

のとき、
の範囲でとなるのはのときで、
の範囲でとなるのはのときで、

x0



00
00
0000
表より、となるのは、のときで、

のとき、
の範囲でとなるのはのときで、
の範囲でとなるのはのときで、

x0





000
000
000000
表より、となるのは、のときで、

正の整数nに対し、の範囲においてより、
の範囲でとなるのは、 ()のときで、
の範囲でとなるのは、
()のときで、
ここで、

となることに注意します。
また、について、
において、とは同符号で、
において、とは異符号で、
よって、

 (Σの公式を参照)

......[] (数列の極限を参照)


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  1. 2013/03/21(木) 14:08:32|
  2. 東工大数学'13年
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東工大数学'13年前期[3]

東工大数学'13前期[3]

kを定数とするとき、方程式の異なる正の解の個数を求めよ。

解答 試験場で熱くなってしまうと気づきにくいですが、とおくと、です。とりあえず、関数の雰囲気をつかむためにも、簡単な数値を代入してみる、という心がけが大切だということでしょう。

 (微分の公式を参照)
となりますが、これ以外にとなるxがあるかどうか調べます。
とすると、
両辺の対数
(底:e)をとり、
 ・・・①
のとき、①は成立し、 ・・・②
においては、①より、


とおきます。を満たすx以外にあるかどうか調べます。
ここでとしてみても埒があかないので、この分子を
とおいて、さらに調べます。
とすると、
においてより減少,においてより増加
(関数の増減を参照),よって、
よって、において
これより、は、において増加関数で、
(極限の公式を参照)
ですが、これ以外に、となる
xはありません。
において
において
において
以上より、の増減表は以下のようになります。

x0
1
e

00
10
増減表より、の正の解の個数は、のとき0個,のとき1個,のとき2個,のとき3 ......[]


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  1. 2013/03/20(水) 01:35:04|
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東工大数学'13年前期[2]

東工大数学'13前期[2]

2次の正方行列に対して、と定める。
(1) 2次の正方行列ABに対して、が成り立つことを示せ。
(2) Aの成分がすべて実数で、が成り立つとき、の値を求めよ。ただし、E2次の単位行列とする。

解答 ケーリー・ハミルトンの定理を利用して次数下げを行う問題です。

(1) とします。



 (逆行列を参照)

(2) (1)を利用して、
Aの成分はすべて実数なので、も実数です。
 ・・・①
ケーリー・ハミルトンの定理より、
より、

 ・・・②
以後、が出てくるたびに、と入れ替えます。

 ・・・③

これより、③は、
・・・④ または ・・・⑤
・④のとき、 ・・・⑥
・⑤のとき、ならとなりですが、は両立しないので不適。従ってですが、となり、 ・・・⑦ とおけば、の形に書けます。このときは、となりますが、⑦より、

このうち、では、であって、とならない(の形であれば⑥よりになる)ので、 ・・・⑧
①,⑥,⑧より、 ......[]


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  1. 2013/03/19(火) 17:01:06|
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東工大数学'13年前期[1]

東工大数学'13前期[1]

(1) 2次方程式2つの解αβ に対し、はすべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。
(2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を規約分数で表せ。

解答 (1)は類題が'86[1]にあります。(2)は難しくないですが、丁寧に場合の数を調べる必要があります。

(1) 2次方程式の解と係数の関係より、 ・・・①
のとき、①より、,これは5整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、①より、
これは5の整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、5の整数倍であると仮定します。pqを整数として、
 ・・・②
とおけます。①,②を利用して、

5の整数倍であって、のときにも与えられた命題は成り立ちます。
以上より、数学的帰納法により、すべての正の整数nについて5の整数倍になります。
別解.3項間漸化式の特性方程式がになることを利用すれば、3項間漸化式を考えることもできます。
とおくと、


 ( )
5の整数倍で、pqを整数として、であれば、
5の倍数です。

(2) 6個のさいころを投げるとき、各々の目の出方は、通りあります。
ちょうど4種類の目が出るのは、(i) 6個のうち3個が同じ目で、他の3個が互いに異なり、かつ、同じ目の3個とも異なる。か、(ii) 6個のうち2個が同じ目で、2個がこれとは異なる同じ目で、他の2個がこの2種の目と異なり、かつ、互いに異なる目になる。場合です。
(i)のとき、4種類の目の選び方が通り。6個のうち同じ目になる3個の選び方が通り。4種類の目の並び方が、通り。通りあります。
(ii)のとき、4種類の目の選び方が15通り。6個のうち同じ目になる2組の2個のさいころの選び方が、通り(2組は区別できない)4種類の目の並び方が24通り。通りあります。
求める確率は、
......[]


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  1. 2013/03/13(水) 23:58:45|
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東大理系数学'13年前期[6]

東大理系数学'13年前期[6]

座標空間において、xy平面内で不等式により定まる正方形S4つの頂点をABCDとする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させてできる立体を,直線ACを軸として回転させてできる立体をとする。
(1) を満たす実数t に対し、平面によるの切り口の面積を求めよ。
(2) の共通部分の体積を求めよ。

解答 以下のように細かく検討していると、とても最後までたどりつけません。正確な論述は難解でも、求積問題としては必ずしも難しい問題ではありません。円錐を母線に平行な平面で切ると切り口は放物線です。実戦的には、対称性を感覚的に見破って計算を進め、答だけでも出しておくようにしましょう。

(1) 正方形Sxy平面内で、に位置する部分と、に位置する部分に分けてを考えます。
(i) まず、に位置する部分について、
BC上の点のy座標をu ()として、Pを通りxy面上で直線BDに垂直な直線は、
 ・・・① (2直線の平行・垂直を参照)
これと直線BDとの交点は、より、
Pを、Qを中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は①)内で回転させると、より、
(空間座標を参照) かつ
 (uを消去)


平面 ()で切ると、に位置する部分を考えているのでであって、切り口は、

 () ・・・②
(ii) に位置する部分について、
AD上の点のy座標をu ()として、Pを通りxy平面上で直線BDに垂直な直線は、
 ・・・③
これと直線BDとの交点は、より、
Pを、Qを中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は③)内で回転させると、より、
かつ
 (uを消去)


平面 ()で切ると、に位置する部分を考えているので、であって、切り口は、

 () ・・・④
平面によるの切り口は、(平面上で)③と④に囲まれた図形になります。
③とを連立すると、
④とを連立すると、
よって、切り口の面積は、
 (定積分の公式を参照)

......[]
注.要するに、切り口が放物線とわかっていて、積分公式の利用を考えるのであれば、平面で切ったときの放物線の開き具合と、放物線ととの2交点の距離がわかればよいわけです。は、円が直線を切り取る弦の長さとして (円と直線の位置関係を参照),開き具合は、放物線の式をとおき、のときとしてなどとすれば簡単に求められます(2次関数を参照)

(2) とで何が違うか、ということを考えてみます。
xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせは、正方形Sと回転軸ACの組み合わせと、y軸に関して線対称です。回転のさせ方も同じなので、回転体とは平面即ちyz平面に関して対称です。
(1)では、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えました。この部分ととの共通部分を考えるのであれば、対称性から、を、x軸のの部分を通過してx軸に垂直な平面で切った切り口を考える代わりに、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えればよいことになります。
また、
xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせのの部分との部分とは、原点Oに関して点対称です。を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口は、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口をz軸の回りに回転させたものになります。
従って、として、平面によるの切り口は、平面上において、②,④と
y軸に関して対称な、に挟まれた図形になります。とは、より,つまり、において交わります。においては、
となるので、の共通部分を平面で切った切り口は、に挟まれた図形になります。
この面積は、

求める体積は、yz平面に関してと対称なことから、
......[]
注.答案としては、yz平面に関してと対称で、z軸に関して回転すると自身に重なることを断り、あとは計算過程を示す程度で妥協すべきです。


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  2. 東大数学13年
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東大理系数学'13年前期[5]

東大理系数学'13年前期[5]

次の命題を証明したい。
命題P 次の条件(a)(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) A10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。

解答 (1)は見かけは仰々しいですが、平凡です。(2)は、ゴタついている(1)の不等式をどう使うのか、ということに悩まされます。

(1) 中辺はと変形できるので、証明すべき不等式の各辺からを引くことにより、


 ・・・①
①の右側の不等号は、自然数yについて、より、において、
 ・・・②
より、つねに成り立ちます。
①の左側の不等号より、
とおくと、より、x2次方程式となる解をもちます。の範囲でとなる条件は、xが、となる解よりも大きくなることです。 (2次方程式の一般論を参照)
よって、②と合わせて、求めるxの範囲は、
 ・・・③
......[]

(2) (1)の不等式を書き換えて、
 ・・・④
中辺は、x整数とすれば、連続3整数の積になっているので、これをAと考えれば、Aは、1が連続して99回以上現れるところがある2つの数の間に挟まれるはずです。つまり、左辺のと右辺のは、ともに1が連続して99回以上現れる数になるはずです。
ところで、「
1が連続して99回以上現れる数」で思い出すのは、東大理系08[5]です。1n個連続して並ぶ整数は、と表されます。199個連続して並ぶ整数は、と表されます。
④の不等式を成り立たせるためには、③を満たすように
xをかなり大きくとれば良いわけですが、1の並びに影響を与えないように、x (mは自然数)の形の大きな数になるようにすると、とすれば良さそうです。9の倍数なので、は自然数です。xが、の連続99個の1に影響を与えないようにするには、とすればよいのですが、
より
より、となるように、例えば、とすれば、③が満たされて、不等式④が成り立ちます。このとき、不等式④の左辺は、
④の右辺は、
よって、不等式④は、
xyともに自然数なので、も自然数で、この不等式より、連続3自然数の積Aには、1が連続して99回現れるところがあります(よりも小さい整数は、以下の整数です)。よって、命題Pが成立します。


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東大理系数学'13年前期[4]

東大理系数学'13年前期[4]

ABCにおいてとする。△ABCの内部の点P
を満たすとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 ベクトルの問題ではありますが、(2)で、3変数の連立2次方程式をどう解くか、というところが勝負です。

(1) は、それぞれ、方向,方向,方向を向く単位ベクトルです。より、

 (内積を参照)

......[答] ・・・①
より、


......[答] ・・・②
従って、 ・・・③ となります。

(2) () () ()とおきます。
 ・・・④ ( )
 ・・・⑤ ( )
また、,より、

 ・・・⑥ ( )
④,⑤,⑥にはabcについて対称性があるので、そこをうまく利用したいところです。
⑥-④より、
 ・・・⑦
⑥-⑤より、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
とおくと、⑦より、,⑧より、 ・・・⑩
⑨に代入すると、
 ・・・⑪
 ・・・⑫
⑩を⑥に代入すると、

⑪より、
整理すると、

⑨よりなので、
のとき、⑫よりとなり不適。
のとき、⑫より、
⑩より、
......[]


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  1. 2013/03/10(日) 13:26:48|
  2. 東大数学13年
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東大理系数学'13年前期[3]

東大理系数学'13年前期[3]

AB2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれのコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i) Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればA1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ii) Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればB1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そして
ABのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点でA1点、B2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1) ABあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 状況がつかみにくいので、最初は、コインを1回投げ、2回投げ、としていくとどうなるか、ていねいに調べましょう。(2)の級数和の計算はあまりに面倒で、実戦的には避けるのが無難です。もヒントになっていないので、出題者もできると思っていないのではないか、という気がします。

(1) コインを1回投げてAが勝つことはないので、です。
コインを2回投げてAが勝利するのは、表表、と出た場合で、その確率です。
コインを
3回投げてAが勝つことはないので、です。
コインを
4回投げてAが勝つのは、表裏裏表、と出るか、裏裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
コインを
5回投げてAが勝つのは、表裏表裏表、と出るか、裏表裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B1点獲得していることに注意してください。
コインを
6回投げてAが勝つのは、表裏裏裏裏表、と出るか、裏裏表裏裏表、と出るか、裏裏裏裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B0点です。
これで、コインを偶数回投げるときと奇数回投げるときとで違いがありそうだ、ということがわかります。
コインを
7回投げてAが勝つのは、表裏表裏裏裏表、表裏裏裏表裏表、裏表裏表裏裏表、裏表裏裏裏表表、裏裏表裏表裏表、裏裏裏表裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B1点獲得しています。また、裏は全部で4回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、または、2回、または、4回出た後に表が出る場合で、3通りあります。
B1点与えられるのは、裏が1回、または、3回出た後に表が出る場合で、2通りあります。
6がかかるのは、表裏のパターンが通りあるからです。
コインを
8回投げて、Aが勝つのは、表裏裏裏裏裏裏表、裏裏表裏裏裏裏表、裏裏裏裏表裏裏表、裏裏裏裏裏裏表表、と出る場合で、その確率は、です。
このときは、
B0点です。裏は全部で6回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、2回、4回、6回出た後に表が出る場合で、4通りあります。4がかかるのは、表裏のパターンが4通りあるからです。

Aが最終的に勝つためには、裏が偶数回出ていて最後に表が出る必要がありますが、Bの番のときに表が出てB1点与えられていると、Aの最後の番が来たときに、
(i) A0点なら、偶数回の裏と1回の表が出ており、ここまでにコインは奇数回投げられていて、ここから表が2回出てAが勝つと、コイン投げの回数は奇数です。
(ii) A1点なら、偶数回の裏と2回の表が出ており、ここまでにコインは偶数回投げられていて、ここから表が1回出てAが勝つと、コイン投げの回数は奇数です。
いすれにしても、B1点獲得していてAが勝つのは、コイン投げの回数が奇数のときです。
コイン投げの回数が偶数で
Aが勝つときにはBの得点は0,コイン投げの回数が奇数でAが勝つときには、Bの得点は1です。

従って、コインを
()投げてAが勝つとき、Bの得点は1で、表が3回出るので、裏は回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、2回、・・・、回出た後に表が出る場合で、k通りあります。
B1点与えられるのは、裏が1回、3回、・・・・、回出た後に表が出る場合で、通りあります。
よって、 
(のときも成り立ちます)
コインを回投げて()Aが勝つとき、Bの得点は0で、表が2回出るので、裏は回出ます。
Aに最初の1点が与えられるのは、裏が0回、2回、・・・、回出た後に表が出る場合で、k通りあります。
よって、
以上より、
nが奇数のとき、より、
nが偶数のとき、より、
......[]

(2) nの偶奇で分けて和を求めます(無限級数を参照)。以下で、とします。
とすると、
 (等比数列を参照)
 ・・・①
ここで、とすると、よりより、
 ・・・②
とすると、


 ( )

ここで、とすると、より、
よって、これと③とから、
......[]


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  1. 2013/03/09(土) 10:46:57|
  2. 東大数学13年
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東大理系数学'13年前期[2]

東大理系数学'13年前期[2]

aを実数とし、で定義された関数を次のように定める。

このときのグラフとのグラフがにおいて共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。

解答 のグラフを追求していくと行き詰まります。文字定数は分離する(微分法の方程式への応用(2)を参照)、という定石であっさり解決します。

のグラフとのグラフの共有点の
x座標は、方程式の解です。

なので、両辺をxで割ると、
この解は、を連立したときの解です。
とおくと、
 (商の微分法を参照)
とすると、においては、より ()

x0に近いところでの増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x0




×0000
×
であり、の極値について、の場合は、となるので、増減表より、のグラフとのグラフがにおいて共有点をちょうど3つ持つaは、
.......[]


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  1. 2013/03/07(木) 13:20:33|
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東大理系数学'13年前期[1]

東大理系数学'13年前期[1]

実数abに対し平面上の点

 ()
によって定める。このとき、次の条件(i)(ii)がともに成り立つようなをすべて求めよ。
(i)
(ii) は相異なる。

解答 最近流行の直交変換に関する問題です。東大理系では、昨年の[5][6]に続いて3題、行列の問題が連続することになります。


行列を用いて書くと、
とおきます。です。ところで、
これを繰り返し用いることにより、
より、
0以上の実数なので、に限られます。
これを満たす実数
abを、
 () ・・・① (三角関数を参照)
とおくと、
これは、角θ だけ反時計回りに回転させる回転移動を表す行列です(1次変換(その2)を参照)
 (行列の積を参照)
と仮定すると、

よって、帰納的に、に対して、 (数学的帰納法を参照)
より、
よって、
 (k:整数,)
 (k:整数,) ・・・②
として、
のときも含めて、は、を反時計回りにだけ回転させた点です。
のとき、となり不適。

のとき、 ()は、相異なる点です。
のとき、となり不適。
のとき、となり不適。
のとき、となり不適。
のとき、 ()は、相異なる点です。
以上と①,②より、

......[]


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  1. 2013/03/06(水) 23:32:41|
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早大理工数学'13年[5]

早大理工数学'13[5]

空間内に平面Pがある。空間内の図形Aに対し、Aの各点からPに下ろした垂線とPとの交点の全体を、APへの正射影と呼ぶ。次の問いに答えよ。
(1) 平面Qが平面Pと角θ ()で交わっているとする。すなわち、PQの交線に垂直な平面でPQを切ってできる2直線のなす角がθ であるとする。Q上の長さ1の線分のPへの正射影の長さの最大値と最小値を求めよ。
(2) (1)Qを考える。Q上の1辺の長さが1である正三角形のPへの正射影の面積を求めよ。
(3) 1辺の長さが1である正四面体TPへの正射影はどんな形か。また、の面積の最大値を求めよ。

解答 本問はヒントがついていますが、物議を醸した東大理系'88[2]の再来か、という問題です。(3)早大理工11[5](3)を参照してください。

(1) 平面Pと平面Qの交線をとします。Q上の長さ1の線分の端点のうちの片方が上に来るように線分を平行移動させても一般性を失いません。上に来た端点をA,長さ1の線分の他方の端点をBとします。
Q上で、ABのなす角をφ ()とします。Bからに垂線BHを下ろすと、Bから平面Pに垂線BKを下ろすと、です(三角比を参照)
ABの正射影AKの長さは、三平方の定理より、
より、AKの長さは、のときに最大値1のときに最小値 ......[] をとります。

(2) 1辺の長さが1の正三角形の1頂点が上に来るように正三角形を平行移動させても一般性を失いません。に来た頂点をA,他の2頂点をBCとし、辺AB,辺ACがなす角をαβ とします。αβに重なりができないようにαβ をとれば、より、です。
Bから,平面Pに垂線BHBKを下ろし、Cから,平面Pに垂線CLCMを下ろすと、(1)と同様にして、
Bを通ってに平行な直線と辺ACとの交点をJとし、Jから平面Pに垂線JNを下ろすと、KN // BJ //です。正弦定理より、

正三角形ABCの正射影の面積は、

......[]
別解.直線に垂直な平面で切って考えることもできます。
直線に沿ってx軸をとり、x座標がxのところを通る平面(x軸に垂直)で、1辺の長さ1の正三角形を切ったときの切り口にできる線分の長さをとすると、正三角形の存在範囲がだとして、正三角形の面積は、
となります。(1)より、この線分の正射影の長さはとなるので、正三角形の正射影の面積は、

(3) 正四面体T4頂点をOABCとし、三角形ABCが存在する面を平面Qとします。
Oから平面Pに垂線OHを下ろすとき、直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過する場合と通過しない場合があります。
(i) 直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過する場合
三角形ABCの正射影を三角形として、Hは三角形の周上または内部の点です。
従って、正四面体
Tの正射影は三角形となります。
このときは、の面積は、
(2)より、となります。
より、の面積の最大値はです。
(ii) 直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過しない場合
このとき、Hは三角形の外部の点です。外部の点と言っても、直線と直線に挟まれていて、辺を介して三角形と隣接している領域、三角形と頂点のみを共有している領域など、全部で6つの領域に分かれます。
(a) Hが、三角形と頂点のみを共有している領域にある(半直線上で線分上を除く部分にある場合、半直線上で線分上を除く部分にある場合を含む)場合は、は正三角形OBCの正射影に一致し、正射影の形は三角形です。この場合のの面積の最大値は(i)と同じくです。
Hが、頂点のみ、あるいは、頂点のみを共有している領域にある場合も同様です。
(b) Hが、半直線と半直線に挟まれていて、辺を介して三角形と隣接している領域にある(境界線上は除きます)場合、正射影の形は四角形になります。
三角形ABC(平面Q)と平面Pのなす角は、BCの中点をMとして、三角形ABCと平面PAMを含む平面で切断したときに切り口にできる角です。これをθ とします。直線AMとの交点をLとすると、です。
とすると、三角形
OBCと平面Pの間の角はとなりますが、直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過しない、ということは、ということです。三角形OBCと平面のなす角は、鋭角側をとるのであれば、ということになります。
OからAMに垂線OGを下ろすと、Gは三角形ABCの重心で、AGGM21より、

正射影,つまり、四角形の面積は、



 (β は、を満たす角)
よりなので、であれば、となり得ます。よって、の最大値はです。
Hが、三角形と辺を介して隣接している領域、辺を介して隣接している領域にある場合も同様です。
以上より、の形状は三角形または四角形で、その最大値は ......[]


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  1. 2013/03/06(水) 12:50:50|
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早大理工数学'13年[4]

早大理工数学'13[4]

半径1の半円を底面とし、高さが1の半円柱に含まれる立体Rがある。その高さx ()での断面が、次の図のように2つの直角三角形を合わせた形になっている。次の問いに答えよ。
(1) 高さxでのRの断面積を求めよ。
(2) Rの体積を求めよ。必要ならば、積分する際にと置き換えよ。

解答 (1)では立体の形状を追求しないのがコツです。断面積を積分するだけで、早大理工としては、物足りない感じがします。

(1) 右図において、△ABC∽△ACFより、ABACACAF
より、
三平方の定理より、
また、
EO//CFより、BOBCEOCF
......[]

(2) Rの体積Vは、より、
 (定積分と体積を参照)
とおくと、xのとき、t (置換積分を参照)



......[]


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  1. 2013/03/03(日) 21:52:05|
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