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早大理工数学'13年[3]

早大理工数学'13[3]

とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数t に対してとおく。xが実数全体を動くとき、が最大値をもつようなt の範囲を求めよ。またt がその範囲にあるとき、の最大値とそのときのxの値を求めよ。
(2) (1)で求めた最大値をとする。aを定数とし、t の関数を考える。t (1)で求めた範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 面倒な微分の計算問題です。慎重に計算しましょう。

(1)  (微分の公式を参照)
は単調増加(関数の増減を参照)で、より、となる値をとります。
(i) のとき、
とすると、
 (対数関数を参照)
よって、においては増加、においては減少。
従って、において最大値をとります。
(ii) のとき、すべての実数xに対しては単調減少。このときは、は最大値をとりません。
以上より、が最大値をもつt の範囲は、 ......[]
の最大値は、 ......[]

(2) ()


とすると、

なので、すべての実数
aに対してこれを満たすt が存在します。
においては増加、においては減少。は、において最大値をとります。求める最大値は、


......[]


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  1. 2013/02/27(水) 12:27:07|
  2. 早大理工数学'13年
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早大理工数学'13年[2]

早大理工数学'13[2]

複素数と自然数について、複素数を実数を用いて
と表す。次の問いに答えよ。
(1) ()であることを示せ。
(2) すべてのnについてが成り立つ定数pqを求めよ。
(3) どんなnについても5の整数倍でないことを示せ。
(4) ()は実数でないことを示せ。

解答 連立漸化式の問題です。(3)では(2)が、(4)では(1)(3)が、ヒントになっていることに気づく必要があります

(1) のとき、より、
 ・・・①

()
() ・・・②
()
これを繰り返し用いて、
() ( )

(2) ②より、
 ・・・③
よって、 ......[]

(3) 背理法を用いて証明します。
①,②より、
③より、が整数ならも整数なので、帰納的にすべての自然数
nについて、は整数です(数学的帰納法を参照)。また、5の倍数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが
5の倍数でなく、5の倍数と仮定します。kを整数として、とおくことができます。
③より、
これより、
5の倍数となり、仮定と矛盾します。よって、5の倍数とした仮定は誤りで、5の倍数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、5の倍数ではありません。

(4) 背理法を用いて証明します。
は実数ではありません(複素数を参照)
も実数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが実数でなく、が実数、つまり、と仮定します。

(1)より、ですが、のとき、,つまり、となり、(3)の結果と矛盾します。よって、を実数とした仮定は誤りで、は実数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、は実数ではありません。


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  1. 2013/02/27(水) 12:23:58|
  2. 早大理工数学'13年
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早大理工数学'13年[1]

早大理工数学'13[1]

放物線C ()の焦点Fを通る2直線は互いに直交し、C2で、C2で交わるとする。次の問いに答えよ。
(1) の方程式をと置き、の座標をそれぞれとする。apで表せ。
(2) のとり方によらず一定であることを示せ。

解答 まずは軽く肩慣らし、という放物線の問題です。

C ・・・①
 ・・・②
のとき、x()となり、放物線C2交点をもたなくなるので、題意よりです。
の傾きは,これと垂直な直線の傾きは
(2直線の平行と垂直を参照)Fを通るから、
 ・・・③

(1) ①,②を連立すると、

この2次方程式の解がだから、解と係数の関係より、
......[] ・・・④
また、②より、 ・・・⑤

(2)
 ( )



 ( )
より、 ・・・⑥
①,③を連立すると、

 ・・・⑦
の座標をとして、⑦の2解がだから、解と係数の関係より、
 ・・・⑧
③より、 ・・・⑨
 ( )


 ( )
これと⑥より、
aに依存しないので、のとり方によらず一定になります。


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