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京大物理'12年[3]

京大物理'12[3]

次の文章を読んで、  には適した式を、  には適切な語句をそれぞれの解答欄に記入せよ。  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1~問3については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。1に近い量は、微小量ε,・・・,に対して成り立つ近似式
および
を用いて、
1(微小量)の形に表せ。以下では「重力」という言葉は「万有引力」と同じ意味である。また、地球の自転は無視する。

(1) 1のように、宇宙空間で図の上方に向かって、一定の加速度aで引っ張られている箱を考える。箱に固定された点Aにある振動数の光源から、上方に距離hだけ離れた点にある検出器に向けて光の信号を送る。ここでは、上下方向の運動のみを考え、ベクトルである量は上を正の向きとする。
光が光源を出たときの箱の速度を,検出器に到達したときの箱の速度をとすると、検出器が受け取る光の振動数の比は、ドップラー効果の公式より、

となる。
(を用いて表せ。)ここで、の大きさは光速(光の速さ)cに比べて十分小さいとし、を微小量として上記の近似式を用いた。(ここでは、物体の速さは光速に比べて非常に小さいため、時間の遅れや物差しの縮みといった、いわゆる特殊相対論的な効果は無視してよい。)
光が光源を出てから検出器に到達するまでの時間をt とすると、at を用いて い と書ける。もし、箱の速度が常にゼロであれば、t chを用いて う と書ける。箱が加速を受けている場合も、光が伝わる間、箱の速度が常に光速に比べて十分小さいとき、すなわち、がみたされている場合は、 う としてよい。以上のことから、となることがわかる。光の振動数を考える代わりに、光源から短い時間間隔をおいて出た2つのパルスが、検出器に到達するときにはどれだけの時間間隔(とする。)になっているかを考えることもできる。振動数f の光を、単位時間にf 個のパルスが出るという状況に置き換えてみると明らかなように、( え )と書けることがわかる。(hacを用いて表せ。)

(2) ところで、図1のような等加速度運動をしている箱の中にいる観測者から見ると、物体には通常の力の他に観測者の加速度運動からくる お 力が働き、見かけの重力加速度 か が生じる。(図の上向きを正として答えよ。)このようにして生じる見かけの重力と本物の重力が何ら変わりないというのが、アインシュタインの等価原理である。
たとえば、地球の中心からの距離がrである点における地球による重力加速度は、地球の外では、向きは き であり、大きさは く である。(r,地球の質量Mおよび重力定数Gを用いて表せ。)これは、場所によって向きも大きさも異なるが、任意の点のまわりで十分小さい領域を考えると、その中では重力加速度は一定とみなしてよい。その領域内での物理現象は、上のような等加速度運動をしている観測者が見るものと全く同じである。
そうすると、図
2の点線内のように、重力加速度が下向きで大きさβ が一定と見なせる領域内で、高さがhだけ異なる2つの地点ABの間で光をやり取りするとき、Aにおける時間間隔Bにおける時間間隔の間には( け )の関係があることがわかる。(βhcを用いて表せ。)

1 ここまではAからBへ光を送ることを考えたが、逆にBからAへ光を送る場合もは上の近似の範囲で同じ値となる。その理由を簡潔に述べよ。

この結果は、重力がある場合は、場所によって時間の進み具合が違っていることを示している。すなわち、Aにおいて時間が経過する間に、Bではだけ時間が経過するのである。これを、「Aにおける時間Bにおける時間が対応している」ということにしよう。今の場合は、なので、時間の流れはBにおけるほうが、Aにおけるより速い。

(3) 上の結果を、2つの地点における重力ポテンシャルを使って表そう。質量mの粒子が他の物体から重力を受けているとき、その位置エネルギーはmに比例するのでと表せる。øを粒子が置かれている点における重力ポテンシャルと呼ぶ。
2の場合には、ABにおける重力ポテンシャルをそれぞれ、とすると、βhを用いて、 こ と書ける。結局、cを用いて、( さ )と表される。実はこの式は、1に比べて十分小さければ、重力加速度が空間的に一定でなくてもなりたつ。
それを見るための具体例として、図
3のように地表上の点Aと、そのLだけ上空の点Bを考える。地球の半径をRとし、線分ABN等分する点を,・・・,とする。(便宜上、とする。)各点における重力ポテンシャルをとする。Nが十分大きければ、各区間では重力加速度は一定としてよいから、における時間における時間が対応しているとすると、をみたす。

2 これらのN個の式の辺々をかけ合わせ、( さ )が成り立つことを示せ。

次に、 さ を地表における重力加速度の大きさgRLcで表すことを考える。地球の外側にあり地球の中心から距離rだけ離れた点に、質量mの粒子を置いたときの重力の位置エネルギーは、無限遠を基準に取ると、mrMGを用いて し で与えられる。よって、その点における重力ポテンシャルは、である。一方、地表における重力加速度の大きさgと書けるから、gRLを用いて、 す と表せる。これらを さ に代入すると、結局、( せ )であることがわかる。(gRLcを用いて表せ。)

(4) この結果は、人工衛星の中の時計と地表の時計の進み方の違いを与えるために重要であり、GPS(全地球測位システム)等で実際に使われている。図4のように、地球の重力により、高度Lの円軌道上を一定の速さvで動いている人工衛星Cを考える。図3と同様に、ABは地表の点およびそのLだけ上空の点である。今の場合、CBに対してかなりの速さで動いているため、時計の遅れといわれる特殊相対論的な効果も考慮する必要がある。
特殊相対論によると、Bにおける時間Cにおける時間の間には、という近似式が成り立つ。Bにおける重力加速度の大きさはと書けるから、gRLを用いて表せることに注意すると、これは、( そ )と書ける。(gRLcを用いて表せ。)

3 人工衛星の中の時計と地表の時計の進み方の比はである。以上のことから、gRLcを用いて表せ。また、としたときの1(微小な数値)の形で求めよ。

解答 誘導に乗って解答すればOKですが、ボリューム満点です。

(1)() 速さで上に動く音源Aが出す振動数の光を速さで上に動く観測者B振動数と観測することになります。ドップラー効果の公式より、
 ・・・①

......[
]
() 等加速度運動の公式より、
......[]
() 箱の速度が常にゼロであれば、光は光速cで進むので、t は、
......[]
() より、
......[]

(2)() 慣性 ......[] (慣性力を参照)
() 加速度aで加速度運動している観測者から質量mの物体を見ると、加速度と逆向きに慣性力が働いているように見えて、見かけの重力加速度が生じます。
......[]
() 地球の中心から距離rのところに位置する質量mの物体には、地球の中心に向かう大きさ万有引力が働きます。
地球による重力加速度は、向きは、
地球の中心方向
......[]
() 大きさは、
......[]
() ()の結果でとして、
......[]

1 BからAへ光を送る場合、速さで遠ざかるBが発する光の振動数として、速さで近づくAで観測される光の振動数は、ドップラー効果の公式より、
①と比べると、ABが入れ替わり、符号が-から+に変わります。
今度は、となり、です。
()()と同様に近似を行って式変形すると、
となり、()と同じ結果が得られます。
ABが入れ替わるとき、ドップラー効果の式中の符号と速度の差の符号がともに逆になるので、近似するとも同じ値になる。 ......[]

(3)() AB高さの差はhなので、鉛直下向きの重力加速度の大きさβが一定であるとして、位置エネルギーの差は、

......[
]

() ()()の結果を用いて、
......[]

2 問題文の近似式を用いると、1に比べて十分に小さいので、

,・・・,より、


() 地球の中心から距離rだけ離れた点に、質量mの粒子を置いたときの重力位置エネルギーは、無限遠を基準に取ると、
......[]
() Aにおける位置エネルギーは、

......[
]
() Bにおける位置エネルギーは、
問題文中にある通り、
 ・・・②
......[]

(4)() 人工衛星Cに働く,人工衛星C運動方程式は、

これを問題文に書かれている関係:に代入し、
......[]

3 ()の結果に②を代入して、

......[]

......[]
......[]
......[]


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  2. 京大物理'12年
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京大物理'12年[2]

京大物理'12[2]

次の文章を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1~問4については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

同じ極板面積と極板間距離を持つ平行板コンデンサー
ABがあり、図1のように、電圧の直流電源、抵抗値rの抵抗、および2つのスイッチからなる電気回路を構成している。両コンデンサーの極板は正方形で十分に広いとする。最初、コンデンサーAの極板間は、比誘電率()で形状が直方体の誘電体(絶縁体)ですきまなく満たされており、コンデンサーBには何も挿入されていない。このとき、コンデンサーBの容量をとすると、コンデンサーAの容量はである。
両スイッチは図
1のように開かれており、両コンデンサーに電荷は蓄えられていないとする。その状態から開始して、以下の操作(i)(iv)の手順でコンデンサーBに蓄えられている電荷について考える。ただし、誘電体の移動に際して極板との摩擦は無視できるとする。

(i) スイッチを閉じ、十分に長い時間が経過してからこれを開く。
(ii) コンデンサーAの誘電体を抜き取り、コンデンサーBに挿入し極板間を満たす。
(iii) スイッチを十分に長い時間閉じておく。
(iv) スイッチを開いてから、コンデンサーBの誘電体を抜き取り、コンデンサーAに挿入し極板間を満たす。

操作(ii)で誘電体を抜き取るのに要するエネルギーは イ であり、その後のコンデンサーAの電圧は ロ となる。操作(iii)の後、コンデンサーBの電圧は ハ であり、コンデンサーBに蓄えられた電荷は ニ ,両コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの和は ホ である。操作(iv)の後、コンデンサーBの電圧は ヘ となる。

1 上記の操作(ii)(iii)を逆の順序で行っても、(ii)の後に十分に長い時間が経過すれば、両コンデンサーの電圧と電荷量は元の手順での(iii)の後の値と等しくなる。逆の手順による電圧と電荷量の計算を行うことなく、その理由を簡潔に説明せよ。

以下では元の手順で考える。操作(iii)でスイッチを閉じると、抵抗に電流が流れ、両コンデンサー間で電荷が移動する。移動に要する時間を大まかに見積もろう。電流は時間とともに減少するが、これを平均的に一定電流Iが時間Tにわたって継続するとみなすと、電荷の移動量に着目して ニ とおくことができる。

2 電荷の移動により両コンデンサーが失う静電エネルギーと、時間Tの間に抵抗で生じるジュール熱とが等しいとしてTを求めよ。導出の過程も合わせて示せ。

操作(i)(iv)を行った後、同じ手順を何度も繰り返すと、コンデンサーBの電荷量はやがてある一定値に落ち着く。このとき、操作(i)(iv)で電荷が移動しなくなる。

3 の値を求めよ。導出の仮定もあわせて示せ。

次に、コンデンサーBに誘電体が完全に挿入された状態で極板間電圧がVになるように充電されているとする。図2のように、コンデンサーBに抵抗値Rの抵抗を接続し、誘電体の挿入量を調整することにより、抵抗の電圧を短時間一定に保つ方法を考える。極板間で、誘電体が存在する部分と存在しない部分の体積比をxとすると、コンデンサーBの容量は ト となる。電圧がVのとき、抵抗に流れる電流により、微小時間の間に、コンデンサーBの電荷は チ だけ減少する。一方、体積比をに変更すると、それによる容量の減少量 リ となる。

4 電圧をVに保つように体積比を変化させるとき、変化率を求めよ。また、電圧を一定値Vに保つことができる時間を求めよ。導出の仮定もあわせて示せ。

解答 コンデンサーの基本問題ですが、ボリューム満点で、試験会場では、かなり急ぐ必要があります。

() 誘電体が入っている状態でコンデンサーA静電容量です(コンデンサーを参照)
スイッチを閉じ、十分に長い時間が経過して充電完了後、コンデンサーAが蓄えている電荷は、静電エネルギーは、
スイッチを開いてから、コンデンサー
Aの誘電体を引き抜いても、コンデンサーA電荷は変わりません。誘電体を引き抜いた後のコンデンサーA極板間電圧は、
誘電体を引き抜いた後のコンデンサーA静電エネルギーは、
操作(ii)で誘電体を引き取るのに必要なエネルギーは、
......[]
() ......[]
() コンデンサーA(誘電体なし)とコンデンサーB(誘電体あり)の並列接続の合成容量は、,操作(iii)の後のコンデンサーB電圧は、
......[]
() コンデンサーBに蓄えられた電荷は、
......[]
() 静電エネルギーの和は、合成容量に蓄えられている静電エネルギーと考えて、
......[]
() 操作(iv)の後、コンデンサーB静電容量になり、コンデンサーB電圧は、
......[]

1 上記の操作(ii)(iii)を逆の順に行っても、スイッチを閉じている間のコンデンサーAB合成容量は同じです。また、極板に蓄えられる電荷(i)の操作で決まるので()と変わりません。電圧も変わりません。

操作(iii)でスイッチを閉じたとき、コンデンサーAからコンデンサーBに移動する電荷になります。()より、
これより、
となります。

2 両コンデンサーの失う静電エネルギーは、
時間Tの間に抵抗で生じるジュール熱は、
両者を等しいとして、
......[]

3 コンデンサーB電荷量が一定値に落ち着く、ということは、操作(iii)でスイッチを閉じる直前に、コンデンサーB電荷量で、コンデンサーAとコンデンサーB電圧が等しくなっている、ということです。
このとき、コンデンサーA電圧,コンデンサーB静電容量電圧は、,よって、
......[]

() 誘電体のある部分もない部分も極板間距離は同じなので、誘電体のある部分とない部分の極板面積の比もxです。極板面積Sとして、より、両者は並列接続されているのでコンデンサーB合成容量Cは、
......[]
() 抵抗両端の電圧Vです。抵抗を流れる電流は、オームの法則より、
時間でのコンデンサーB電荷の減少分は、です。
......[]
() ()の結果でとして、

......[
]

4 コンデンサーB極板間電圧は一定値Vに保たれているので、電荷の変化量はとなります。これが、()よりに等しいことから、
()の結果を代入して、
......[]
これより、は一定で、のとき、
電圧を一定値Vに保つことができる時間は、 ......[]


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