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東大物理'12年前期[2]

東大物理'12年前期[2]

2-1のように、xy平面上に置かれた縦横の長さがともにの回路を一定の速さvx軸正方向に動かす。回路の左下の点Pと右下の点Qは常にx軸上にあり、点Qの座標をとする。磁束密度Bの一様な磁場が、の領域にのみ紙面に垂直にかけられている。導線の太さ、抵抗およびコンデンサーの素子の大きさ、導線の抵抗および回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。

Ⅰ まず、図2-1に示した抵抗値Rの抵抗と導線からなる正方形の回路を用いる。
(1) のときに回路を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
(3) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
Ⅱ 次に、設問Ⅰで用いた回路を複数の抵抗を含む回路に取り替える。
(1) 2-2に示した抵抗値Rの抵抗を2つ含む回路を用いた場合に対して、のときにPQ間の導線を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 2-3に示した抵抗値Rの抵抗を3つ含む回路を用いた場合に対して、のときにPQ間の抵抗を流れる電流の大きさを求めよ。

Ⅲ 最後に、図2-4に示した電気容量Cのコンデンサーと導線からなる回路を用いる。
(1) のときに導線を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。

解答 東大物理で電気回路の問題が出題されるのは珍しいことですが、過去問に見当たらない分野もしっかり勉強しておいて欲しいというメッセージでしょう。

回路の頂点を
Qから反時計回りにRSPとします。

(1) のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
回路を貫く磁束Øは、
電磁誘導の法則より、回路に生じる起電Vは、 (レンツの法則より、起電力の向きは、回路に時計回りに電流を流す向きです)
オームの法則より、回路に流れる電流の大きさは、 ......[]

(2) のとき、回路の内、PQの部分を流れる電流に働くの向きは、フレミング左手の法則より、y軸正方向で、x軸方向に働くは、回路右側の辺QR磁場中の部分に生じます。この部分の長さはXで、この部分が磁場から受けるの向きはx軸負方向、の大きさは、
回路が磁場から受けるx成分は、 ......[]

(3) のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
回路を貫く磁束Øは、
回路に生じる
起電力Vは、 ()
回路に流れる電流Iは、
回路左側の辺
SP磁場中にある部分の長さは,この部分が磁場から受けるx軸正方向で、回路右側の辺QRは全て磁場中にあり、この部分が磁場から受けるx軸負方向。
回路が
磁場から受けるx成分は、
......[]

Ⅱ 正方形の回路PQRS内に入れた抵抗の両端を右側をT,左側をUとします。
のとき、回路PQRS中で磁場の中に侵入している部分の面積なので、Ⅰ(1)で検討したように、この部分に発生する起電力 (向きは回路に時計回りに電流を流す方向)です。
回路
TRSU中で磁場の中に侵入している部分の面積で、この部分を貫く磁束,回路TRSUに生じる起電力は、
 (向きは回路に時計回りに電流を流す方向。)
以下では、辺PQQPの向きに流れる電流,辺TUTUの向きに流れる電流とします。辺RSSRの向きに流れる電流です。

(1) 回路PQRSにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・①
回路TSRUにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・②
①より、,これを②に代入して、
......[]

(2) 起電力の状況は(1)と同じです。回路PQRSにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・③
回路TSRUにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・④
①より、,これを②に代入して、
......[]

(1) のとき、Ⅰ(1)より、回路に生じる起電力コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
電流の大きさは、 ......[]

(2) のとき、Ⅰ(3)より、回路に生じる起電力,コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
回路に流れる電流は、
負になる、ということは、Ⅰ
(3)とは逆向きに流れるということで、回路が磁場から受けるの向きも逆になり、x軸正方向になります。回路が磁場から受けるx成分は、
......[]


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  1. 2012/04/29(日) 22:40:55|
  2. 東大物理'12年
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東大物理'12年前期[1]

東大物理'12年前期[1]

高低差がhの水平面Hと水平面Lの間になめらかな斜面があり、東西方向の断面は図1-1のようになっている。水平面Lの東端には南北にのびる鉛直な壁がある。ここで小球の衝突実験を行った。すべての小球は面から離れることなく進み、互いに弾性衝突するものとし、小球と壁も弾性衝突するものとする。重力加速度の大きさをgとし、小球の大きさや回転、摩擦や空気抵抗は無視して以下の設問に答えよ。

Ⅰ 図
1-1のように、水平面Hで質量mの小球Aを東向きに速さvで滑らせ、質量Mの小球Bを西向きに速さvで滑らせて衝突させたところ、衝突後に小球Aは西向きに進み、小球Bは静止した。
(1) 衝突後の小球Aの速さを求めよ。
(2) 質量の比を求めよ。

Ⅱ 図
1-2のように、水平面Hで前問の小球Aと小球Bを東向きに同じ速さで滑らせたところ、小球Bは壁で跳ね返り、水平面Lからの高さがxの斜面上の点で小球Aと衝突した。その後、小球Aは斜面を上がって水平面H上の最初の位置を速さで西向きに通過し、一方、小球Bは壁と斜面の間を往復運動した。
(1) 2つの小球が衝突する直前の小球Aの速さを,小球Bの速さをとする。速さの比を求めよ。
(2) xhgを用いて表せ。
Ⅲ 前問の小球Bが、水平面Lから高さの地点と壁との間を東西方向に往復運動しているとき、図1-3のように小球Bをねらって質量の小球Cを水平面H上の点から発射した。水平面L上で小球Cはうまく小球Bに命中し、その後小球Bが壁で跳ね返ってから、小球Cと小球Bが両方とも水平面Hまで上がってきた。2つの小球は同じ速さで距離をに保ったまま水平面H上を同じ向きに進んだ。その方向は西から北に向けての角度をαとするとであった。
(1) 壁で跳ね返ったあとの小球Bの水平面Lでの運動の無機は、西から北に向けて角度β であった。を求めよ。
(2) 小球Bと小球Cが衝突した地点の壁からの距離dを求めよ。
(3) 水平面H上で発射したときの小球Cの速さVを求めよ。
(4) 小球Cを発射した方向を東から北に向けて角度θ とする。を求めよ。

解答 複雑で重量級の問題に見えるので、試験会場ではパニックになりそうです。Ⅲでは、小球Bと小球Cの衝突は斜衝突なので、東西方向、南北方向に分けて、衝突前後の運動量保存を考えようとすると失敗します。

(1) 衝突後の小球A速さuとします。西向きを正として、東西方向について運動量保存の式を立てると、
 ・・・①
反発係数の式 ∴ ......[]

(2) を①に代入して、 ∴ ......[]

(1) 衝突直前のAB速さとします。水平面H上と衝突直前とで力学的エネルギー保存より、
A
B
 ・・・②
......[]

(2) 衝突直後のAB速さとします。上る方向を正として、斜面に沿う方向について運動量保存の式を立てると、
 ・・・③
反発係数の式 ∴
③に代入して、

(2)の結果とⅡ(1)の結果を用いて、
・・・④
衝突直後と水平面H上との小球A力学的エネルギー保存より、
②,④より、


 ∴ ......[]

(1) 小球Cとの衝突後、水平面Lにおける小球B速さとします。小球Cとの衝突後、壁に衝突した後と水平面H上との、小球B力学的エネルギー保存より、
 ∴
斜面を上る際に小球Bは斜面に垂直な方向、即ち東西方向にのみ力積を受けるので、小球B速度の南北方向成分は、水平面L上、水平面H上で変化しません。つまり、小球B速度の南北方向成分は、水平面L上においても、
よって、
......[]

(2) (1)と同様に、小球Cについても、斜面を上る際に、東西方向にのみ力積を受けるので、速度の南北成分は変化しません。小球Bも小球Cもともに、水平面L上、水平面H上で、速度の南北方向成分が変化しないので、両者の経路の南北方向の距離も、変化しません。
水平面H上では、両経路の南北方向の距離はです。
水平面
L上では、小球Cの経路も西から北に向けて角度β なので、両経路の南北方向の距離はです。よって、
......[]

(3) 小球Bが小球Aと衝突した直後と、小球Bと小球Cが水平面H上で等速度運動するときとの、小球Bと小球C力学的エネルギー保存より、
......[]

(4) (1)(2)と同様に、小球B,小球Cは、東西方向にのみ力積を受け、南北方向には力積を受けないので、小球Bと小球Cについて、運動量の南北方向成分は保存されます。
小球C初速度の南北方向成分はなので、運動量保存より、
(3)の結果を代入して、
......[]


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  1. 2012/04/25(水) 23:45:09|
  2. 東大物理'12年
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京大理系数学'12年[6]

京大理系数学'12[6]

さいころをn回投げて出た目を順に,・・・,とする。さらに、
()
によって,・・・,を定める。
となる確率を求めよ。

解答 問題文を見てギョッとしますが、問題文の不等式が成り立つ事象の余事象を考え、それを2つの場合に分けて考えると、問題のカラクリが見えてきます。

() ・・・()
 ・・・(**)
のとき、となるのは、より、なので、のときだけです。
従って、 ・・・①
ここで
()を使ってのときの状況からのときの状況を考えることになります。
(**)とした不等式と、とした不等式を考え、の範囲との範囲を調べることになります。そこで、の範囲について、手がかりを得ておくことにします。
はさいころの目なので
1から6のいずれかです。()より、はさいころの目よりも僅かに大きな数で、となりそうです。
nが自然数のとき、であることが予想し、これを数学的帰納法で示しておくことにします。
のとき、です。
のとき、と仮定すると、より、です。
従って、数学的帰納法により、自然数nに対して、 ・・・② です。

のとき、より、が条件
()を満たすことはありません。つまり、を満たすのは、のときか、のときだけです。
さいころを
n回投げた状況から、回投げた状況を考えます。
n回投げたとき、(**)が満たされているときと、満たされていないときに分けて調べます。
(1) さいころをn回投げたとき、(**)が満たされていたとします。こうなる確率です。このとき、
ですが、なので、
 ・・・③
(確率)のとき、③は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・④
(確率)のとき、③は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑤
(2) さいころをn回投げたとき、(**)が満たされていないとします。こうなる確率はです。このとき、
または
ですが、の範囲が2つに分かれているので、別々に考えます。
(i) のとき、②を考慮して、,よって、
 ・・・⑥
(確率)のとき、⑥は、
となり、より、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑦
(確率)のとき、⑥は、
となり、条件(**)は満たされません。
(ii) のとき、②を考慮して、,よって、
 ・・・⑧
(確率)のとき、⑧は、
となり、条件(**)は満たされません。
(確率)のとき、⑧は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑨
上記で④,⑤が起こる確率は,⑦が起こる確率は、となる確率をとしてです。⑨が起こる確率は、となる確率をとしてです。
上記の検討より、さいころを回投げたとき、となる場合は、④,⑤,⑦,⑨のいずれかに限られます。従って、その
確率は、
 ・・・⑩
となります。ここで、確率は、またはとなる事象の確率ですが、この事象はとなる事象の余事象です。よって、
これより、⑩は、
 ・・・⑪
として、
 ・・・⑫ ∴
⑪-⑫より、
数列は、①より、初項:,公比:の等比数列です。
よって、
......[]


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  1. 2012/04/22(日) 22:03:59|
  2. 京大理系数学'12年
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京大理系数学'12年[5]

京大理系数学'12[5]

次の命題(p)(q)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。
(p) n角形の頂点から3点を選んで内角の1つがである三角形を作ることができるならば、n3の倍数である。
(q) ABCと△ABDにおいて、かつならば、である。

解答 受験生にとっては真剣勝負の入学試験で、遊び心のある問題だなどと言ったら不謹慎かも知れませんが、どうか入学試験を楽しんでいってください、とでも言いたそうな出題者の優しい笑顔が見える気がします。無理に正解しよう、うまく切り抜けようと思わないで、いろいろといじって遊んでみることが、むしろ正解につながります。
なお、
証明の技巧を参照してください。

(p) 正三角形の内角はなので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
正方形では、対角線で2個の直角二等辺三角形に分かれるだけなので、内角の1つがである三角形はできません。
正五角形では、隣接
3頂点で三角形を作ると、内角は、です。隣接2頂点と1つ離れた頂点とで三角形を作ると、内角は、です。内角の1つがである三角形はできません。
正六角形では、
1つおきの3頂点で三角形を作ると正三角形なので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
正七角形、正八角形では、内角の
1つがである三角形はできません。
正九角形では、
2つおきの3頂点で三角形を作ると正三角形なので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
これで、どうやら命題
(p)は正しそうだ、と、わかってきます。
角形では、ある頂点から個の頂点をおいて次の頂点を選び、そこから個の頂点をおいて次の頂点を選んで三角形を作れば
(この3頂点で正角形の外接円の円周を3つの等しい円弧に分割できます)正三角形になるので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
逆に、正
n角形のn個の頂点から3点を選んで三角形を作るとき、内角の1つがになるということは、この内角を見込む外接円の円弧は円周のになる、ということです。
n3の倍数でないとき、正n角形の隣接2頂点を頂点とする円弧のうちの小さい方の弧の長さは円周のです。kを自然数として、とするとn3の倍数となって矛盾するので、円周のk個集めても円周のになることはありません。つまり、正n角形のどの2頂点を選んでも、この2頂点を両端とする円弧は円周のにはなり得ないので、内角の1つがである正三角形はできません。
よって、命題
(p)の正しいことが証明されました。

(q) ABCと△ABDとで共有する辺ABを弦にもつ円を考えると、は、弦ABの上に立つ円周角として考えることができます。円の半径が大きくなると弦ABの上に立つ円周角は小さくなります。
これより、半径の異なる2を考え、の半径がの半径よりも大きいとします。また、2円は異なる2ABで交わるものとします。
であるのに、かつであるような
2CDが見つかれば、題意は否定されます。
なので、
C上、D上に来るような状況を考えます。
右図のように、
Dとなるようにとり、ADを半径とする円を描きます。Bは円の内側に来ます。ここで、Bを中心として、BDを半径とする円を描きます。Bは円の内側に来ます。
Bを通るので、円上の点で、円の内側にあって、かつ、円の内側にある点が存在します。この点をCとすれば、”かつ”を満たします。ですが、C上の点、D上の点なのでです。
よって命題
(q)は正しくありません。


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  1. 2012/04/19(木) 01:03:09|
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京大理系数学'12年[4]

京大理系数学'12[4]

(1) が無理数であることを証明せよ。
(2) は有理数を係数とするxの多項式で、を満たしているとする。このときで割り切れることを証明せよ。

解答 (1)(2)とも背理法を使って証明します。なお、整数を参照してください。

(1) mnを互いに素な自然数として、とおけると仮定します。
3乗して分母を払うと、
これより、
n2の倍数で、kを自然数として、とおけます。よって、
 ∴
これより、m2の倍数となりますが、mnがともに2の倍数となり、互いに素であることと矛盾します。よって、仮定は誤りで、は無理数です。 (証明終)

(2) とおくと、
で割ったときの商を,余りをとおきます。は有理数を係数とするxの多項式なので、も有理数を係数とする多項式であり、abcは有理数です。
とすると、
 (因数定理を参照)
αをかけて、
より、
 ・・・①
 ・・・②
①×b-②×aより、
 ・・・③
と仮定すると、
この右辺は有理数なので、αが有理数となって、矛盾が生じます。よって、③より、

だとすると、となり、が有理数となって矛盾します。よって、,従って①も考慮して、です。よって、で割った余りは
0で、で割り切れます。 (証明終)


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京大理系数学'12年[3]

京大理系数学'12[3]

実数xyが条件を満たしながら動くとき
がとりうる値の範囲を求めよ。

解答 与式が対称式であることに気づけるか、という問題です。

とおくと、
実数
xyk2次方程式、
2解で、この2次方程式が実数解をもつために、
判別式: ∴  ・・・① (2次方程式の一般論を参照)

とおくと、

(複号同順)
t



00
3

増減表(3次関数の最大最小を参照)と、より、のとり得る値の範囲は、
......[]


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  1. 2012/04/09(月) 10:23:14|
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京大理系数学'12年[2]

京大理系数学'12[2]

正四面体OABCにおいて、点PQRをそれぞれ辺OAOBOC上にとる。ただし、PQRは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3PQQRRPはそれぞれ3ABBCCAに平行であることを証明せよ。

解答 空間ベクトルを用いて解決します。

OABCが正四面体であることから、
(とおきます) ・・・① (内積を参照)
として、とおくことができます。

より、
かつ
かつ
または かつ または
これより、以下の
3通りの場合があり得ます。
(i) のとき、
より、3PQQRRPはそれぞれ3ABBCCAに平行です。
(ii) かつ のとき、
となり、OQが一致するので題意に反します。
(iii) かつ のとき、
となり、ORが一致するので題意に反します。
以上より、証明されました。(証明終)


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