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京大理系数学'12年[1]

京大理系数学'12[1]

次の各問いに答えよ。
(1) aが正の実数のときを求めよ。
(2) 定積分の値を求めよ。

解答 極限と積分計算の基本問題です。

(1) に場合分けして考えます。
(i) のとき、,つまり、となるようなnについて、

各辺をnで割って、
ここで、とすると、
よって、
はさみうちの原理より、
において連続な関数なので、
(ii) のとき、 (の場合に含まれます)
(iii) のとき、
ここで、とすると、
よって、はさみうちの原理より、
......[]

(2)  (部分積分法を参照)

とおくと、xのとき、θ (置換積分を参照)

......[]


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  1. 2012/03/25(日) 21:47:49|
  2. 京大理系数学'12年
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東工大数学'12年前期[6]

東工大数学'12前期[6]

xyz空間に4PABCをとる。四面体PABCをみたす部分の体積を求めよ。

解答 断面積を積分するだけの体積の問題ですが、なかなかスンナリとはいきません。東大理系05年前期[6],東大理系98年前期[6]と似ていますが、本問の方がやや難しい印象を受けます。

四面体
PABCをみたす部分をTとします。
平面で切ったときの断面を考えます。
四面体を平面で切ると、断面は右上図の正三角形
DEFとなり、図形Tの断面は黄色着色部となります。この面積は、対称性を考え、z軸と平面との交点をとして、正三角形DEFの面積から、扇形の面積と三角形の面積の和の3倍を引いたものになります。
右下図で、直線
PAの方程式は、
 ・・・①
の境界線でとしてとなるので、図形Tが存在するzの範囲の上端は①でとして、,よって、図形Tは、の部分に存在します。
Dy座標は①でとして、
から
EFに下ろした垂線の足をJとすると、

正三角形DEFの面積は、
とすると(θ のとり方は、後でkの積分をθ の積分に置換積分することを考慮して選ぶようにします。本問では、ここが重要なポイントです)、三角形の面積は、より、
 (三角形の面積を参照)
扇形の面積は、より、
 (弧度法を参照)
θ kとの関係は、より、
 ・・・②
図形
Tの体積Vは、
 (定積分と体積を参照)
1項の積分は、
2項、第3項の積分は、②によって置換積分することにより、

kのとき、θ
 
(部分積分法を参照)
......[]


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  1. 2012/03/21(水) 01:16:18|
  2. 東工大数学'12年
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東工大数学'12年前期[5]

東工大数学'12前期[5]

行列で定まる1次変換をf とする。原点Oと異なる任意の2PQに対してが成り立つ。ただし、はそれぞれPQf による像を表す。
(1) を示せ。
(2) 1次変換f により、点が点に移るとき、Aを求めよ。

解答 直交変換(1次変換(その2)を参照)を題材とする問題で、慶大理工'09[B1]にも類題が出題されています。
問題文中というのは、原点以外の任意の点
Pについて、が一定だということです。

(1)  ・・・①
()OPx軸とがなす角をθ とすると、Pの座標はと表せます。
 (行列の積を参照)
より、の座標は、
①より、任意の角
θ について、
ここで、とおくと、
 (半角の公式を参照)
これが、任意の角θ について成立するために、
 ・・・②
なぜなら、でなければ、より、
 (三角関数の合成を参照)
が、一定値となることはありません。
②より、、即ち、 ・・・③
また、 ・・・④ が成り立ちます。

(2) ③より、 ()として、とおくことができます。④より、ABとして、です(内積を参照)
これより、 (複号同順)となります。よって、
 (複号同順) ・・・⑤

 ・・・⑥, ・・・⑦
⑦より、
⑥に代入すると、
 (複号同順)

⑦より、 ∴
⑤に代入して、
 (複号同順) ......[]


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  1. 2012/03/20(火) 12:11:26|
  2. 東工大数学'12年
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東工大数学'12年前期[4]

東工大数学'12前期[4]

nを正の整数とする。数列
 ()
によって定める。
(1) およびを求めよ。
(2) 一般項を求めよ。
(3) とおくとき、を示せ。

解答 (1)の形を予測して、(2)で予測が正しいことを数学的帰納法で示す、というありきたりの問題ですが、数学的帰納法の書き方に少々工夫が必要です。(3)でも、区分求積法に持ち込むのに工夫が必要です。

(1) 漸化式において、として、
......[]
与漸化式において、として、



......[]

(2) (1)より、
と予測できます。予測が正しいことを数学的帰納法で示します。
() のとき、より、成り立ちます。
()のとき、
が成り立つと仮定します。
与漸化式において、として、
 (数列の求和技法を参照)

よって、予測はのときにも成り立ちます。
()()より、予測は、において成り立ちます。
......[]
注.()で、の中で、,・・・,も使うので、「のとき予測が成り立つ」と仮定してはいけないことに注意してください。

(3)
ここで、
としてしまうと、区分求積法に持ち込むことができません。和をとっているので、のときに、の違いによる差が積み上がって結果に違いが出るかもしれないからです。そこで、はさみうちにすることを考えます。

より、
従って、
ここで、とすると、
 (区分求積法を参照)
よって、はさみうちの原理により、となります。
注.区分求積法 において、であっても、が有限確定値であれば、
です。極端なことを言えば、jmが整数の定数()だとして、においてが有限確定値であれば、
ここで、より、
です。の場合などもが有限確定値であれば同様です。


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  1. 2012/03/18(日) 22:04:24|
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東工大数学'12年前期[3]

東工大数学'12前期[3]

3次関数のグラフをC,直線lとする。
(1) Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲内にあるとき、Clによって囲まれる部分の面積をとする。が最小となるaの値を求めよ。

解答 解と係数の関係を利用するとしても、aの関数とするのでは複雑になるので、かなり面倒です。

C ・・・①
l ・・・②

(1) ①,②を連立して、

 ・・・③
原点以外の共有点をもつとき、この方程式は、以外の解をもちます。つまり、2次方程式
 ・・・④
が、を重解とすることがない、または、相異なる2実数解をもちます。
を解にもつとき、よりですが、このとき、
より、も解になるので、Clは原点以外の共有点をもちます。のとき、3次方程式③は、を重解にもつので、Clは、で接し、で交わります。 ・・・⑤
2次方程式④が相異なる実数解をもつとき、
判別式: (2次関数の一般論を参照)

以上より、Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲は、 ......[]
のとき、④は、重解をもちます。 ・・・⑥

(2) のとき、2次方程式④の2実数解をαβ として、解と係数の関係より、

 ・・・⑦
2次方程式④は、(i) のとき、より、④は正負2解をもちます。 (ii) のとき、よりと合わせて、④は正の解2解をもちます。
(i) のとき、④の正の解をβ として、においてlCの上に来るので、Clによって囲まれる部分の面積は、
ここで、β aを用いて表せればよいのですが、⑦を用いると根号を含む複雑な式になってしまいます。
より
(⑤に注意)なので、は、β 増加関数で、また、β aの増加関数です。そこで、⑦を用いて、β の関数と考えることにします。
とおくと、
より、β の増加関数です。においては、
 ・・・⑧
(ii) のとき、④の正の解2解をαβ ()とします。⑦が成り立ちます。
このとき、は、において正でClの上にあり、において負でlCの上にあるので、




とおきます。
(i)と同様に、④でとして(⑥に注意)より、 (で重解の場合は、)なので、β の関数として考えます。この場合も、は、β の増加関数で、β aの増加関数です。また、のとき、です。


とすると、
より、増減表は、



3
00




のとき、最小です。
と⑧とから、は、のとき最小で、このとき、より、⑦を用いて、
が最小となるaは、 ......[]


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  1. 2012/03/16(金) 22:35:46|
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東工大数学'12年前期[2]

東工大数学'12前期[2]

(1) として、の桁数を求めよ。
(2) 実数aに対して、aを越えない最大の整数をで表す。10000以下の正の整数nnの約数となるものは何個あるか。

解答 (1)常用対数の基本問題、(2)も入試でよく見かける題材です。

(1)

各辺にを加えて、


各辺から1を引いて、



よって、の桁数は、48 ......[]

(2) まず、として、実験してみます。
n123456789101112131415161718192021222324
111222223333333444444444

××××××××××××

表中で、○は、nの約数であること、×は、約数でないことを表します。
表から、
kを自然数として、の範囲の中に、整数nnの約数となるものが、3個あることがわかります。
の範囲内には、
()の範囲に各3個ずつ、さらに、のとき、の約数になるので、
......[]


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  1. 2012/03/16(金) 21:54:37|
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東工大数学'12年前期[1]

東工大数学'12前期[1]

(1) 辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD,辺OCの中点をEとする。2つのベクトルとの内積を求めよ。
(2) 1から6までの目がそれぞれの確率で出るさいころを同時に3個投げるとき、目の積が10の倍数になる確率を求めよ。

解答 (1)はベクトルの内積(2)確率の基本問題です。

(1)  ・・・①
より、

......[]

(2) 目の積が10の倍数になるのは、(確率)が少なくとも1個、かつ、偶数の目どれか(確率)が少なくとも1個出る場合です。
(i) (のどれか)が出る場合、
3個のうちどれが(のどれか)になるかが3通りあり、確率は、
(ii) (のどれか)(のどちらか)が出る場合、
3個の目の出方が、通りあり、確率は、
(iii) (のどれか) (のどれか)が出る場合、
3個のうちどれがになるかが3通りあり、確率は、
求める確率は、
......[]


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東大理系数学'12年前期[6]

東大理系数学'12年前期[6]

行列に対して
と定める。
abcを満たす実数とする。行列ABCDを次で定める。
また実数xに対しとする。
このとき以下の問いに答えよ。

(1) 各実数tに対して、xの関数
の最大値を求めよ。(ただし、最大値をとるxを求める必要はない。)
(2) すべての実数tに対し
が成り立つことを示せ。

解答 は対角和と呼ばれ、行列Pの対角成分の和になります。2次正方行列では、成分と成分の和になります。
本問は、途中の計算がかなり面倒で、冷静かつ正確な計算力が要求されます。


(1)  (行列の積を参照)
 ・・・①


①において、とすることにより、
 (2倍角の公式を参照)
これの成分は、
成分は、
よって、

 (加法定理を参照)
なので、
のとき、は、のときに最大値:をとります。
のとき、なのでです。
のとき、は、のときに最大値:をとります。
以上より、
3通りの場合をまとめて、
......[]

(2) ①で、とすることにより、

これの成分は、
成分は、
よって、


以上より、
 ・・・②
 ・・・③
この左辺は、 ()とおくと、

より、
より,また、
とおくと、より、において、
従って、において、
よって、③が成り立つので②が成り立ちます。


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  1. 2012/03/12(月) 01:30:06|
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東大理系数学'12年前期[5]

東大理系数学'12年前期[5]

行列が次の条件(D)を満たすとする。
(D) Aの成分abcdは整数である。また、平面上の4は、面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす。
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 行列も条件(D)を満たすことを示せ。
(2) ならば、ABのどちらかを左から次々にかけることにより、4個の行列のどれかにできることを示せ。
(3) とする。の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たすことを示せ。

解答 行列が逆行列をもつ(行列式がゼロでない)とき、行列内をベクトル列(あるいは、ベクトル行)の集まりと見なすとき、それらは1次独立です。背景のありそうな問題ですが、解答は容易です。

(1) Aが条件(D)を満たすことから、 (三角形の面積を参照)
 ・・・①
stを実数として、
とします。と仮定すると、


このとき、
となり、①と矛盾が生じます。よって、となり、1次独立で、4は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
となり、条件(D)を満たします。
stを実数として
とします。と仮定すると、

このとき、
となり、①と矛盾が生じます。よって、となり、1次独立で、4は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
となり、条件(D)を満たしています。

(2) まず、を求めておきます。

より、と予測できます。
よって、帰納的に、 (数学的帰納法を参照)

より、と予測できます。
よって、帰納的に、
のとき、

adは整数なので、であって、に限られます。
であれば,また、であれば,とすると、となります。
よって、のどれかにできます。
同様に、であれば,また、であれば,とすると、となり、
のどれかにできます。

(3)
acが異符号であれば、より、
よって、

acが同符号であれば、より、
よって、
の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たします。


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  1. 2012/03/11(日) 10:30:40|
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東大理系数学'12年前期[4]

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n2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)n乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。
(1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。

解答 「・・・でないことを示せ」という問題文では、背理法の利用を考えます。なお、整数を参照してください。

(1) 連続する2個の自然数kの積がn乗数だと仮定します。
kは互いに素で1以外の共通の約数を持たないので、n乗数であれば、pqを自然数として、

と表せます。ここで、よりです。

() ()1の約数なので、
 ・・・①
に限られます。ところで、であれば、
このn項の和の各項はいずれも1以上で、
で、①と矛盾が生じます。従って、仮定は誤りで、連続する2個の自然数の積はn乗数ではありません。

(2) のときは(1)で証明されています。
のとき、連続するn個の自然数k,・・・,の積がn乗数だと仮定します。pを自然数として、
 ・・・②
と表せます。
より、
です。よって、iを満たすいずれかの整数(より)として、です。②は、
となりますが、これでは、,即ちが、 ()で割り切れることになります。は互いに素なので、矛盾が生じます。よって、②を満たすpは存在せず、連続するn個の積はn乗数ではありません。


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