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東大理系数学'12年前期[3]

東大理系数学'12年前期[3]

座標平面上で2つの不等式
によって定まる領域をSとする。Sx軸のまわりに回転してできる立体の体積をとし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積をとする。
(1) の値を求めよ。
(2) の値と1の大小を判定せよ。

解答 (1)は平凡な求積問題です。(2)の数値評価も東大理系では定型パターンで大したことはありません。

(1) 領域Sの境界線、
 ・・・①
 ・・・② 
(楕円を参照)
の交点を求めます。


このとき、
②と
y軸との交点は、②でとして、
領域
Sx軸のまわりに回転すると、②のの部分を回転してできる立体から①のの部分を回転してできる立体を取り除いた立体になります。
①より,②より
よって、その体積は、領域
Sy軸に関して対称であることから、


......[]
領域Sy軸のまわりに回転すると、①のの部分を回転してできる立体と、②のの部分を回転してできる立体を合わせたものになります。
①より,②より
よって、その体積は、


......[]

(2)
なので、となり、となりそうです。
なので、以下のように答案を書くことになります。
より、

従って、 ......[]


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  1. 2012/02/28(火) 04:25:18|
  2. 東大数学12年
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東大理系数学'12年前期[2]

東大理系数学'12年前期[2]

図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋PQを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。

解答 9部屋ありますが、うまく考えて行けば、9個の数列の連立漸化式にすることもなく、2項間漸化式で解決できます。

右図のように
9部屋に名前をつけます。奇数秒後に球が部屋P,部屋Q,部屋Rにいることはなく、偶数秒後には、球は、部屋P,部屋Q,部屋Rのいずれかに来ます。また、対称性を考えると、部屋Qと部屋Rに来る確率は同じです。部屋Pに来る確率を考えれば、部屋Qに来る確率は余事象の確率として捉えることができて、漸化式を立てることができそうです。
秒後に球が部屋
Pにある確率をとします。最初に部屋Pにあったので、とします。秒後に球が部屋Qにある確率はです。
秒後に球が部屋
Pにあるとき(確率)秒後にも球が部屋Pにあるのは、
秒後に部屋Aに行き(確率)秒後に部屋Pに戻る(確率1)か、
秒後に部屋
Bに行き(確率)秒後に部屋Pに戻る(確率)か、
秒後に部屋
Cに行き(確率)秒後に部屋Pに戻る(確率)
ときで、その確率は、
秒後に球が部屋
Qにあるとき(確率)秒後に球が部屋Pに来るのは、
秒後に部屋Bに行き(確率)秒後に部屋Pに来る(確率)
ときで、その確率は、
秒後に球が部屋
Rにあるとき(確率)秒後に球が部屋Pに来るのも同様に、その確率は
よって、秒後に球が部屋
Pにある確率は、
 ・・・①
をともにαとすると、
 ・・・② ∴
①-②より、
数列は、初項:,公比:
等比数列です。

球が秒後に部屋Qにある確率は、
よって、球がn秒後に部屋Qにある確率は、
nが奇数のとき0nが偶数のとき、 ......[]


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  1. 2012/02/27(月) 00:01:53|
  2. 東大数学12年
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東大理系数学'12年前期[1]

東大理系数学'12年前期[1]

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
直線は原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、x軸とのなす角θ ()の余弦を求めよ。

解答 x軸とのなす角θ ()を考えよ、というヒントがついているので、あとは計算あるのみです。

まず、領域D (右図黄緑色着色部)の境界線について、円Cと直線との交点を求めると、

とおくと、直線方程式です。
ここで、より、 ・・・①
これと円
Cとの交点Px座標は、


原点
Oではない交点のx座標は、
 (三角関数を参照)
より、
注.右図からも、より、
より、

 (微分法の公式を参照)
とすると、
なので、


このとき、

なので、より、を、を満たす角として、①よりにおける増減表は以下の通り
(関数の増減を参照)
θ

0
L


よって、Lは、のとき、最大値: ......[]


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  1. 2012/02/26(日) 14:06:52|
  2. 東大数学12年
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早大理工数学'12年[5]

早大理工数学'12[5]

xy平面上に2ABをとる。をみたす平面上の点Pの全体と点ABからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。
(1) Fを図示せよ。
(2) Fx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

解答 (1)の結果は見えているので、論証することがテーマです。

(1) のとき、点Pの全体は線分ABです。
として、のとき、円周角の定理より、点Pの全体は円の一部です。円をCとします。まず、点Pの部分にある場合を考えます。
この円の半径を
r,円の中心をDとすると、対称性からDy軸上の点(のときにはの部分にあり、のときには原点Oのときにはの部分にあります)です。
右図より、
Dy座標は (正負はの正負と一致します)
Cの方程式は、
 (円の方程式を参照)
Cは、2ABを通るので、のとき、当然、です。のとき、
()の場合を除いて、の場合も含めてより、
以上より、のとき、 ∴
,点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。
Pの部分にある場合、上記で、円Cの半径はのままですが、中心のy座標がとなり、円Cの方程式は、

のとき、より、 ∴ ,点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。
以上より、
Fを図示する(不等式の表す領域を参照)と右図黄緑色着色部(境界線を含む)
注.結論は見えているので、上記でのときの円だけを考え、のときの点Pはその円の内側に来ることを示す、という方針も考えられます。

(2) Fx軸に関して対称な図形です。Fx軸のまわりに1回転して得られる立体は、Fの境界線x軸のまわりに1回転して得られる立体で、yについて解くと、
となることから、求める体積Vは、の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積から、の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を除いて2倍したものです(x軸のまわりの回転体を参照)

 (置換積分2を参照)

......[
]

(1)の別解.をみたすxy平面上の点Pの座標をとします。
余弦定理より、
 ( )
これより、



ここで、
を、素直に展開してしまうと、

 ・・・①
ここで行き詰まってしまいます。
結論は見えているので、結論の方から考えます。点
PFの境界線となりそうなのとき、円周角の定理から、点Pの全体は円の一部となります。この円は、2ABを通るので、その半径は,中心は、点Px軸から上にあるときには,点Px軸から下にあるときにはで、円の方程式は、

となり、①の左辺を因数分解すると、
という形が出てくることが予想できます。これを展開してみると、


となって、①の左辺に一致します。
従って、①より、
よって、
かつ
または、
かつ
これより、図形Fは、
(から内側)
または
かつ (から内側、かつ、円から外側)
または、
かつ (から外側、かつ、円から内側)
となります。


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  1. 2012/02/22(水) 02:22:55|
  2. 未分類
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早大理工数学'12年[4]

早大理工数学'12[4]

関数
 ()
について、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) のグラフの概形を描け。
(3) 曲線上を動く点をPとする。点Qは、曲線Pにおける接線上にあり、Pとの距離が1で、そのx座標がPx座標より小さいものとする。Qの軌跡を求めよ。

解答 問題文の式だけ見ると、膝がガクガク震えそうですが、題材は、早大理工'96[5]でも取り上げられている「追跡線」と呼ばれる関数です。やってみると意外と大したことはありません。昨年の東大理系前期[3]の積分の問題にも類似の関数が登場します。

(1)  (合成関数の微分法を参照)



......[]

(2) (1)より、においてで、減少関数です。より、のグラフの概形は右図。

(3) Px座標を ()とすると、y座標はです。
Pにおける接線の傾きは、
Qx座標がPx座標より小さいことと、PQの長さが1であることから、右図より、点Qx座標は、
y座標は、
(とおきます)
(1)と同様にして、

よって、において減少関数で、より、
よって、求める
軌跡は、y軸のの部分 ......[]


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  1. 2012/02/21(火) 00:29:04|
  2. 12年数学
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早大理工数学'12年[3]

早大理工数学'12[3]

表が出る確率がa (),裏が出る確率がのコインを1枚投げる試行をn回行う。ただしとする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象をで表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象をで表す。次の問いに答えよ。
(1) 確率を求めよ。
(2) 確率を求めよ。
(3) 極限
を求めよ。ただし、をみたすrに対して、となることを証明なしに用いてよい。

解答 極限をとるあたりがややこしいのですが、等比数列の極限の基本に従って丁寧に解答しましょう。

(1) 事象余事象は、n回の試行の結果、表が1回も出ない(裏ばかりn回、確率)か、あるいは、表が1回だけ出てかつ裏が回出る(確率)事象です。その確率は、
......[]
事象は、表が1回も出ない、か、または、表が1回目からk回目()まで連続して出た後、裏が回目からn回目まで連続して出る、か、または、表ばかりn回連続して出る事象で、その確率は、
 (等比数列を参照)

......[]

(2) 事象は、事象から、表が1回も出ない(確率)事象と、1回目に表が出て2回目からn回目まで裏が連続して出る(確率)事象を除いた事象で、
より、その確率は、


......[]

(3)
 (で分母・分子を割る)
より,よって、のとき、
また、 
(等比数列の極限を参照),題意より、
......[]


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  1. 2012/02/20(月) 01:58:30|
  2. 12年数学
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早大理工数学'12年[2]

早大理工数学'12[2]

初項をとし、以下の漸化式で定まる数列を考える。
 ()
ただし、xを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
(1) とする。このとき、となる最小のnを求めよ。
(2) m2以上の整数とし、とする。このとき、をみたすjに対してjmで表せ。
(3) m2以上の整数、pをみたす整数とし、とする。このとき、となるkを求めよ。さらに、となる最小のnを求めよ。

解答 漸化式の問題ですが、漸化式の知識を必要としない難問です。などとして、,・・・ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。

(1) のとき、








よって、となる最小のnは、 ......[]

(2) のとき、

()より、

からを求めるときと同様にして、
これより、

と予測できます。以下、数学的帰納法により、予測が成立することを示します。
() のとき、
より、予測は成り立ちます。
() ()のとき、予測が成り立つと仮定すると、となります。
()より、
よって、 ()のときも予測は成立します。
()()より、予測は、を満たすjについて成立します。よって、を満たすjについて

......[]

(3) (2)までと同様にして数列の各項を計算してみると、
()のとき、より、
より、
 ・・・①
となり、としたときのと比べると、同士の差pが、同士の差ではになり、1小さくなります。このまま、,・・・,と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、としたときのが、としたときのに近づいて行きそうです。①と同様にして、実際、
・・・・・・
 ・・・②
となるので、となったとき、
 ・・・③
となります。よって、となるkは、 ......[]
以後の項については、(2)と同様に、とした場合を考えると、

となります。従って、のときには、③より、として、
 ・・・④
となります。但し、数列の各項は、第n項でになってしまうと、
となり、となる全ての第項はとなってしまい、④が意味を持たなくなります。④が意味を持つのは、,つまり、()のときです。
においては、ですが、
のとき、

となります。これより、となる最小のnは、 ......[]
注.②で、とすると、


となり、以外に、という場合が出てくるのですが、なので、
 
(等号は、のとき)
となり、は、という条件を満たしません。
また、④で、とすると、の他に、という場合が出てきますが、やはり、という条件を満たしません。


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  1. 2012/02/19(日) 15:25:56|
  2. 12年数学
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早大理工数学'12年[1]

早大理工数学'12[1]

以下の問いに答えよ。
(1) 複素数αβ に対してならば、またはであることを示せ。
(2) 複素数αに対してが正の実数ならば、αは実数であることを示せ。
(3) 複素数,・・・, (nは自然数)に対して、,・・・,,・・・,およびがすべて正の実数であるとする。このとき、,・・・,はすべて実数であることを示せ。

解答 現過程では意表を突く問題と言えないこともありませんが、かつて複素数平面が入試範囲だった頃であれば易問です。

以下、
iを虚数単位()とします。
(1) pqrsを実数として、とします。
 (複素数の計算を参照)




または
または
別解.上記と実質的に同じですが、絶対値を用いれば以下のように書けます。
または
または

(2) pqを実数として、とします。
は正の実数 かつ
だとすると、を満たす実数qが存在しないので、
,つまり、です。
よって、
αは実数です。
別解.複素数α偏角 ()と表すと、の偏角は、 (偏角argにはlogのような性質があります)です。が正の実数だとすると、として、
 ∴
よって、αは実数です。

(3) となる、ある整数kに対して、を実数として、として、と仮定します。
のときは、

これが、正の実数であるとき、
かつ

より、
つまり、
同様に、であれば、
また、であれば、
これより、


だとしても、となるので、となります。
いずれにしても、とした仮定と矛盾します。よって、仮定は誤りで、,・・・,はいずれも
0であって、,・・・,はすべて実数です。
別解.上記と実質的に同じですが、偏角を用いて以下のように解答することができます。
である整数kに対して、が正の実数であることから、 (は整数)
のときは、が正の実数であることから、
 (は整数)
これより、
・・・・・・


よって、,・・・,はすべてπの整数倍となり、,・・・,は実数です。


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  1. 2012/02/18(土) 00:10:21|
  2. 12年数学
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鳥取大医数学'11年[4]

鳥取大医数学'11[4]

xの関数
により定める。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数の増減、凹凸を調べ、のグラフの概形を描け。
(2) の値を求めよ。
(3) 実数xyを満たすとき
が成り立つことを示せ。
(4) の値を求めよ。

解答 の逆関数、つまり、となるθ を意味します。(4)では、となるθ を求めよ、ということなので、どうしようか、と、思いますが、(3)がヒントになります。

(1)  (商の微分法を参照)
とすると、
とすると、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

0

0
1

グラフは右図。

(2)
とおくと、
tのときθ (置換積分を参照)

......[]

(3) (2)と同様に、として、
として、

また、 (正接の加法定理を参照) より、

注.は、より、の逆関数です。

(4) (2)と同様に考えると、を求める、ということは、と満たすθ を求める、ということです。、そのままでは無理なので、(3)を利用します。
二重根号を外すときと同様にして、
より、(3)において、として、より、
......[]


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  1. 2012/02/17(金) 18:24:58|
  2. 11年数学
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名古屋市大芸工数学'11年[4]

名古屋市大芸工数学'11[4]

xy平面上において、媒介変数t ()によってと表される右図の曲線について次の問いに答えよ。
(1) xの最大値、最小値を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

解答 曲線はカージオイドです。媒介変数表示された曲線を回転させたときの回転体体積の問題です。大変な計算になりそうに見えますが、やってみると意外と簡単です。

(1)
より、,つまり、のときに、最小値: ......[]
,つまり、のときに、最大値:4 ......[]

(2)  (積の微分法を参照)
......[]

(3) ()における曲線のy座標を ()における曲線のy座標をとします。立体の体積Vは、を回転させた回転体の体積から、を回転させた回転体の体積を引いたものです(x軸のまわりの回転体を参照)
とおくと、(2)より
では、
xのときtでは、xのときt (置換積分を参照)
とおくと、tのとき、utのとき、u
 (積分区間を1つにまとめた)


......[
]


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  1. 2012/02/12(日) 19:45:45|
  2. 11年数学
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筑波大数学'11年[2]

筑波大数学'11[2]

自然数nに対し、関数
 ()
を考える。
(1) 関数 ()はただ一つの点で最大値をとることを示し、が最大となるようなxの値を求めよ。
(2) (1)で求めたに対し、極限値を求めよ。

解答 (1)では、 (定積分と微分(その2)を参照)を用いて導関数を考えます。(2)は見慣れない極限ですが、はさみうちで解決できます。

(1)

 (指数法則を参照)
とすると、
両辺の
対数をとり、
においては、
において、
よって、より、においては増加関数(関数の増減を参照)
において、
よって、より、においては減少関数。
従って、関数 ()はただ一つの点で最大値をとり、が最大となるようなxの値は、 ......[]

(2) より、
各辺のn乗根を考えると、
より、各辺の対数を考え、
ここで、とすると、
 (数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2012/02/11(土) 20:42:59|
  2. 11年数学
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センター数学IIB '12年第4問

 センター数学IIB '12年第4問 

空間に異なる4OABCとなるようにとり、とおく。さらに、3DEFを、となるようにとり、線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし、線分AD31に内分する点をNとする。

(1) を用いて
と表される。

(2) 2直線FLMNが交わることを確かめよう。とし、線分FLsに内分する点をPとする。は、sを用いて
と表される。のとき、となるので、MNPは一直線上にある。よって、2直線FLMNは交わることがわかる。

(3) 2直線FLMNの交点をGとする。は、を用いて

と表される。
とする。このとき、となる。
次に、直線
OC上に点Hをとり、実数t を用いて、と表す。は、t を用いて
 ・・・①
 ・・・②
と表される。
さらに、とする。このときの
t の値を求めよう。であることから
 ・・・③
が成り立つ。①,②,③から、である。

解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
() 2 () 3 () 4 ......[]

(2)

 ・・・④
() 1 () 2 () 1 ......[]


MNPが一直線上にあるとき、より、
の係数が等しいから、

のとき、となります。
() 2 () 3 () 2 () 3 ......[]

(3) (2)の点Pが点Gです。④でとして、
() 1 () 3 () 2 () 2 ......[]

 ・・・⑤
() 2 ......[]
より、

 ・・・⑥
() 3 ......[]
 (⑤を用いた)
 (⑥を用いた)

 ・・・①
() 2 () 1 () 6 () 3 ......[]
 ・・・②
⑥,を用いると、として、
 ・・・③
() 3 () 2 ......[]
①,②,③より、

(
) 1 () 3 ......[]


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  1. 2012/02/08(水) 14:53:38|
  2. センター数学'12年
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センター数学IIB '12年第3問

 センター数学IIB '12年第3問 

である等差数列とし、自然数nに対して、とおく。
であり、の公差はである。したがって

 ()
 ()
である。
次に、数列

 () ・・・①
を満たすとする。数列の一般項を求めよう。①からである。さらに、に注意して、①を利用すると
 ()
が成り立ち、この等式は

 ()
と変形できる。ここで
 () ・・・②
とおくと、は、,公比がの等比数列であるから、②により
 
()
である。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
    n   

解答 2次試験としても珍しいタイプの2項間漸化式が出てくる問題です。②式を等比数列漸化式の後に書く誘導もわかりにくく、受験生は苦労させられたことでしょう。

等差数列の公差は、
初項は、

() - () 1 () 3 () - () 2 ......[]

() - () 2 () 5 () 3 () - () 2 () 3 ......[]
①において、として、より(数列の和と一般項を参照)
 ∴
() 1 ......[]
①において、として、
 ・・・③ (Σの公式を参照)
③-①,より、

 ・・・④
() 4 () 6 () 1 ......[]
 ・・・⑤
とすると、
④と比較して、
 ∴
() 2 () 1 ......[]
よって、⑤より、

 ・・・⑥
とおくと、
よって、は、公比:4,⑥より初項:等比数列です。
() 4 () 4 ......[]
⑥より、
() 4 ()  () 2 () 1 ......[]


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  1. 2012/02/07(火) 09:14:44|
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センター数学IIB '12年第2問

 センター数学IIB '12年第2問 

座標平面上で曲線Cとし、放物線Dとする。

(1) 曲線C上の点PにおけるCの接線の方程式は
である。放物線Dは点Pを通り、DPにおける接線と、CPにおける接線が一致するとする。このとき、pqaを用いて表すと
 ・・・①
となる。
以下、
pqは①を満たすとする。

(2) 放物線Dy軸上の与えられた点Qを通るとき
 ・・・②
が成り立つ。与えられたbに対して、②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数は、で極小値をとり、で極大値をとる。
関数のグラフをかくことにより、のとき、②を満たす
aの値の個数はであることがわかる。

(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、の二つの場合である。のときの放物線をのときの放物線をとする。x軸で囲まれた図形の面積はである。

解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学Ⅱの微積分の基本問題です。

C ・・・③
D ・・・④

(1) ③を微分して、
Pにおける接線は、

() 2 () 2 () 3 ......[]
④を微分して、
DPにおける接線と、CPにおける接線が等しいとき、両者のにおけるy座標と接線の傾きが等しく、
 ・・・⑤
これより、
⑤に代入して、

(
) 2 () 2 () - () 2 () 2 ......[]

(2) 放物線Dは、
 ・・・⑥ (2次関数を参照)
Qを通るので、
 ・・・②
() - () 2 () 2 ......[]


x
0

00
00

増減表より、で極大値:0で極小値: (3次関数の増減を参照)
(
) 0 () 0 () 1 () 3 () 1 () 2 () 7 ......[]
のとき、②を満たすaの値の個数は3
() 3 ......[]

(3)⑥より、
放物線Dの頂点がx軸上にあるとき、

(
) 0 () 4 () 9 ......[]
のとき、
放物線
のとき、
より、放物線x軸正方向に、だけ平行移動した放物線で、
x軸で囲まれた図形の面積Sは、放物線が軸に関して対称なことから、
() 4 () 1 () 0 ......[]


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  1. 2012/02/06(月) 12:02:37|
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センター数学IIB '12年第1問

 センター数学IIB '12年第1問 

[1] として、不等式
 ・・・①
を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、が成り立つ。ただし、対数に対し、
aを底といい、bを真数という。
aを満たすとき、不等式①
 ・・・②
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
   

したがって、真数が正であることと②から、のとき、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲はである。
同様にして、のときには、不等式①を満たす
xのとり得る値の範囲はであることがわかる。

解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。

真数は正であるから、
かつ
 ・・・③
() 2 () 8 ......[]
のとき、①より、
() 1 () 7 () 6 () 6 () ......[]

③と合わせて、
() 6 () 8 ......[]
のとき、

③と合わせて、

() 2 () 6 ......[]


[2] として
を満たすβ について考えよう。ただし、とする。
たとえば、のとき、
β のとり得る値はの二つである。
このように、
αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を,大きい方をとし
が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
αを用いて表すと、のときは
となり、のときは
となる。
したがって、のとり得る値の範囲は
である。よって、yが最大となるαの値はであり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
  1   

解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。

のときより、

より、

(
) 6 () 5 ......[]
のとき、
より、

() 4 () 2 () 3 ......[]
のとき、
より、

() 4 () 2 () 5 ......[]
のとき、

より、
 ・・・①
のとき、
より、
 ・・・②
従って、のとり得る値の範囲は、①,②より、
() 3 () 8 () 1 () 1 () 8 ......[]
このとき、は、のとき、つまり、①の方なので、
のとき、最大値:をとります。
() 3 () 2 () 2 () ......[]


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