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センター数学IA '12年第4問

 センター数学IA '12年第4問 

1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。このようなカードの取り出し方は通りある。

(1) 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある取り出し方は通りであり、5と書かれたカードがない取り出し方は通りである。

(2) 次のように得点を定める。
・取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は、得点を0点とする。
・取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある場合、この5枚を書かれている数の小さい順に並べ、5と書かれたカードが小さい方からk番目にあるとき、得点をk点とする。
得点が0点となる確率はである。得点が1点となる確率はで、得点が2点となる確率は,得点が3点となる確率はである。
また、得点の期待値は点である。

解答 本年の確率は基本的出題です。

異なる
9枚から5枚を取り出す取り出し方は、通り。
() 1 () 2 () 6 ......[]

(1) 5以外の8枚から4枚を取り出す取り出し方は通り。
() 7 () 0 ......[]
5
と書かれたカードがない取り出し方は、通り。
() 5 () 6 ......[]

(2) 9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す取り出し方は126通りあって、同様に確からしい。
取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない取り出し方は56通りなので、その確率は、
() 4 () 9 ......[]
得点が1点になるのは、567895枚を取り出すときで、その確率は、
() 1 () 1 () 2 () 6 ......[]
得点が2点になるのは、5の書かれたカードのほかに、5より小さい数14の書かれたカードを1枚、5より大きな数69の中から3枚を取り出すときで、その確率は、
() 8 () 6 () 3 ......[]
得点が3点になるのは、5のカードのほかに、14の中から2枚、69の中から2枚を取り出すときで、その確率は、
() 2 () 7 ......[]
得点が4点になるのは、5のカードのほかに、14の中から3枚、69の中から1枚を取り出すときで、その確率は、
得点が5点になるのは、123455枚を取り出すときで、その確率は、
得点の期待値は、
() 5 () 3 ......[]


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  1. 2012/01/30(月) 01:25:52|
  2. センター数学'12年
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センター数学IA '12年第3問

 センター数学IA '12年第3問 

ABCにおいて、であるとき
であり、△ABCの面積は,△ABCの内接円Iの半径はである。
また、円
Iの中心から点Bまでの距離はである。

(1) AB上の点Pと辺BC上の点Qを、かつとなるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径はであり、円Iと円O。ただし、には次のから当てはまるものを一つ選べ。
重なる(一致する)  内接する  外接する
異なる2点で交わる  共有点をもたない

(2) I上に点Eと点Fを、3CEFが一直線上にこの順に並び、かつ、となるようにとる。このとき
である。
さらに、円
Iと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点をG,線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、である。

解答 正弦定理、余弦定理を利用する問題です。答にがやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむってばかりにマークした人に有利になってしまうというのは考えものでは?

余弦定理より、
() 1 () 3 ......[]
()
() 2 () 2 () 3 ......[]
ABC面積Sは、
() 2 () 2 ......[]

ABCの内接円Iの半径をrとすると、より、

(
) 2 () 2 ......[]
A
と内接円Iの中心を結ぶ直線とBCとの交点をJとすると、より
Iの中心から点Bまでの距離は、
() 6 () 2 ......[]

(1) として、余弦定理より、


正弦定理より、△PBQの外接円Oの直径は、
() 2 () 2 ......[]

より
よって、Bと内接円Iの中心との距離から内接円Iの半径を引くと、外接円O (Bを通る)の直径よりも小さく、円Iと円Oは異なる2点で交わります。
() ......[]

(2) 方べきの定理より、
より、 ∴
() 2 () 2 ......[]

() 1 ......[]
BCFにおいて、BCFの中点Eを結ぶ線分と、CBFの中点Mを結ぶ線分との交点がGなので、Gは△BCFの重心です。よって、
() 1 () 2 ......[]


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  1. 2012/01/28(土) 10:22:54|
  2. センター数学'12年
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センター数学IA '12年第2問

 センター数学IA '12年第2問 

[2]
 abを定数として2次関数
 ・・・①
について考える。関数①のグラフGの頂点の座標は
である。以下、この頂点が直線上にあるとする。このとき、
である。
(1) グラフGx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は
である。また、Gx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
である。
(2) 関数①のにおける最小値がとなるのは
または
のときである。また、のとき、関数①のにおける最大値はである。
一方、のときの①のグラフを
x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すると、のときのグラフと一致する。

解答 2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。

 ・・・①

 ・・・②
Gの頂点の座標は、
() 2 () 4 () 4 ......[]
この頂点が、上にあるとき、

 ・・・③
() 8 () 1 () 3 ......[]

(1) グラフGx軸と異なる2点で交わるとき、Gは上に凸な放物線なので頂点のy座標は正です。
③より、

(
) - () 9 () 4 ......[]
G
x軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸との部分で交わります。①でとすると、,よって、③より、
の解は、より、
() 4 () 3 ......[]

(2) Gのグラフの軸の位置が、の範囲の中央()から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、,つまり、のとき、関数①は、範囲の右端において最小で、③より、
()
軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、のとき、関数①は、範囲の左端において最小で、③より、

()
(
) - () 3 () 1 ......[]
のとき、なので、②より関数①は、
となり、Gの頂点はで、のとき、最大値をとります。
() - () 1 () 3 ......[]
のとき、②よりなので、②より関数①は、
となり、Gの頂点はに来ます。x軸方向に4y軸方向に平行移動すると頂点はに来るので、のときのグラフと一致します。
() 4 () - () 1 () 6 ......[]


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  1. 2012/01/21(土) 02:09:18|
  2. センター数学'12年
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センター数学IA '12年第1問

 センター数学IA '12年第1問 

[1](1) 不等式の解はである。
以下、aを自然数とする。
(2) 不等式
 ・・・①
の解はである。
(3) 不等式①を満たす整数xの個数をNとする。のとき、である。また、a456,・・・と増加するとき、Nが初めてより大きくなるのは、のときである。

解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。

(1)


() - () 2 () 1 ......[]

(2)  ・・・①


 ・・・②
() 1 () 2 ......[]

(3) のとき、を満たす整数xは、014個で、
() 4 ......[]
②は、のとき、,これを満たす整数xは、014個で、
②は、のとき、,これを満たす整数
xは、0126個で、
Nが初めて4より大きくなるのは、のときです。
() 5 ......[]


[2] kを定数とする。自然数mnに関する条件pqrを次のように定める。
pまたは
q
r
(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
pの否定である。
 または
 かつ
 かつ
 または
(2) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) とする。
pqであるための
(ii) とする。
prであるための
pqであるための
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない

解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。

(1) pまたはの否定は、ド・モルガンの法則により、「かつ」となります。
() 2 ......[]

(2)(i) のとき、pまたはqとなりますが、pを満たす整数の組の集合は、



qを満たす整数の組の集合もこれに一致します。従って、pqであるための必要十分条件です。
() ......[]
(ii) のとき、
pまたは
q
r
rを満たす整数の組の集合をとすると、
pを満たす整数の組の集合をとすると、
qを満たす整数の組の集合をとすると、
よって、
即ち、
q p r
p
rであるための十分条件であるが必要条件ではなく、
pqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。
()  () ......[]


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  1. 2012/01/16(月) 14:06:23|
  2. センター数学'12年
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山形大医数学'11年[1]

山形大医数学'11[1]

座標平面において、点を中心とする半径2の円をCとする。点を通る直線と円Cとの交点をABとし、点を通る直線と円Cとの交点をPQとする。さらに、は垂直に交わるとする。ただし、は座標軸とは一致しない。の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。
(1) の交点Dは円Cの内部にあることを示せ。
(2) ABの長さをkを用いて表せ。
(3) PQの長さをkを用いて表せ。
(4) 四角形APBQの面積の最大値を求めよ。

解答 (2)(3)は、半径rの円が直線から切り取る弦の長さが、円の中心と直線との距離をdとして、 ( 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。

(1) は、それぞれ定点を通る直線で、直交するので、交点は、2定点を直径の両端とする円周上にあります。は円Cの内部に位置するので、の交点Dは円Cの内部の点です。

(2) 円の中心と直線,つまり、との距離は、
 (点と直線の距離を参照)
ABの長さは、
......[]

(3) と直線,つまり、との距離は、
PQの長さは、
......[]

(4) 四角形APBQの面積Sは、
Sは、、つまり、のとき、最大値:7 ......[]


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  1. 2012/01/15(日) 23:19:35|
  2. 11年数学
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大分大医数学'11年[1]

大分大医数学'11[1]

実数に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。

解答 コーシー・シュワルツの不等式を一般的な場合で証明する問題です。試験会場で安全確実に答案を書くなら以下のように数学的帰納法で証明するのでしょうが、もっとラクに証明する方法があります。

() のとき、
かつ の場合には、
かつ の場合には、
かつ の場合、または、 かつの場合には、
よってすべての場合において、
与式は成立します。
() のとき、が成立すると仮定します。
両辺を2乗した不等式の両辺に、を加えると、


よって、

より、
よって、のときにも、与不等式は成立します。
()()より、が成立します。

追記.コーシー・シュワルツの不等式を利用する問題は、例えば、東工大'08年前期[3]のような問題があります。この解答でも書きましたが、本問では以下のような解答が可能です。
実数 ()について、
が成立します。 ()であれば、等号は、となるときに成立します。
左辺を変形して、
これより、t 2次方程式:
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
より、
積分形式のコーシー・シュワルツの不等式:
でも、同様の証明が可能です。任意の関数について、
となりますが、左辺を変形して、
これより、t 2次方程式:
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、


本問での場合には、式変形だけで証明できます。
右辺から左辺を引いて、


 (等号成立は、のとき)


以下のの場合には、内積を使って簡単に証明することができます。

福岡教育大
'11[1]

a
bcxyzを実数とする。
()
() のとき、の最小値を求めよ。

() として、より、

等号は、のとき、つまり、tを実数としてのときに成立します。
成分を入れて、
() ()として、
 (等号は、のときに成立)
よって、の最小値は ......[]

以下のような類題もあります。

東大理系
'95年前期[1]

すべての正の実数xyに対し、が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、として、


等号は、,つまり、のときに成立します。
よって、求める
kの最小値は、 ......[]


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  1. 2012/01/14(土) 01:47:57|
  2. 11年数学
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東北大理系数学'11年前期[3]

東北大理系数学'11年前期[3]

先生と3人の生徒ABCがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、赤玉3個、白玉7個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、取り出した生徒のものとする。この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし、サイコロの
1から6の目の出る確率は等しいものとし、また、箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(1) 2回目の操作が終わったとき、A2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(3) 3回目の操作で、Cが赤玉を取り出す確率を求めよ。

解答 簡単そうに見えますが、(2)は慎重に考える必要があります。

(1) 2回目の操作が終わったとき、A2個の赤玉を手に入れている、ということは、2回の操作とも、サイコロの1の目が出て、Aが赤玉を取る、ということです。1回目では、10個中3個の赤玉のいずれかを取り、玉を元に戻さないので、2回目では、9個中2個の赤玉のいずれかを取ることになります。求める確率は、
......[]

(2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている、ということは、1回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが赤玉を取る、あるいは、それ以外の場合において、2回目にサイコロの2または3の目が出て、Bが赤玉を取る、ということです。
1回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが箱から玉を取り出す確率は,ここで、さらにBが赤玉を取り出す確率は、
1回目に、ABC誰であっても白を取り出す確率は,ここでさらに、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、B9個中3個の赤玉のいずれかを取る確率は、
1回目に、サイコロの1または4または5または6の目が出て、AまたはCが赤玉を取り、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、B9個中2個の赤玉のいずれかを取る確率は、
求める確率は、
......[]

(3) 1回目、2回目で、ABC誰であっても、
・赤、赤と取り出すと、3回目にC8個中1個の赤玉を取り出す確率は、
・赤、白、または、白、赤と取り出すと、3回目にC8個中2個の赤玉のいずれかを取り出す確率は、
・白、白と取り出すと、3回目にC8個中3個の赤玉のいずれかを取り出す確率は、
求める確率は、
......[]
注.この結果は、サイコロの4または5または6の目が出て、C10個中3個の赤玉のいずれかを取る確率、に一致します。


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  1. 2012/01/10(火) 00:04:35|
  2. 11年数学
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阪大理系数学'11年前期[5]

阪大理系数学'11年前期[5]

正数rに対して、とおき、数列を次の漸化式で定める。
ただしから漸化式を用いてを決める際には硬貨を投げ、表が出たとき,裏が出たときとする。ここで表が出る確率と裏が出る確率は等しいとする。の期待値をとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) およびを、rを用いて表せ。
(2) のときにを、nrを用いて表せ。
(3) 数列が収束するような正数rの範囲を求めよ。
(4) r(3)で求めた範囲を動くとき、極限値の最小値を求めよ。

解答 確率で漸化式の次の項を決めるという数列に驚かされますが、重量級の計算問題です。

(1) 硬貨を投げて表が出たとき、
(とします)
硬貨を投げて裏が出たとき、
(とします)
表が出る確率、裏が出る確率はともになので、期待値は、
 ・・・①
......[]
硬貨を2回投げて、表、表と出たとき、
(とします)
硬貨を2回投げて、表、裏と出たとき、
(とします)
硬貨を2回投げて、裏、表と出たとき、
(とします)
硬貨を2回投げて、裏、裏と出たとき、
(とします)
上記で、となる確率はいずれもで、の期待値は、
より、
 ・・・②

......[]
注意.の場合に、と分けて解答してある本もありますが、上記の解答で、その場合も含んでいるので注意してください。

(2) ①,②から数列が満たす漸化式の形が予測できます。ここで、一般的場合について、漸化式を考えます。回硬貨を投げたとき、がとり得る通りの値を,・・・,とします。 ()に対して、硬貨を1回投げて、表が出るときが定まり、裏が出るときが定まるとすれば、は、,・・・,の、通りの値をとり得ます。
のとき、2通りの値をとり、のとき、4通りの値を取るので、は、通りの値を取り(通り、通り)、各値をとる確率はです。
ここで、のとき、
1通りの値rをとり、の期待値とします。
さて、のとき、回硬貨を投げて、
()から、2回硬貨を投げたときの状況を考えます。
表、表と出たとすると、
(とします)
表、裏と出たとすると、
(とします)
裏、表と出たとすると、
(とします)
裏、裏と出たとすると、
(とします)
結局、n回硬貨を投げたとき、は、,・・・,という値をとり得ますが、その確率はいずれもです。の期待値は、
より、②のの場合を含めて
 () ・・・③
ここで、のとき、つまり、のとき、③は、
となり、は公差r等差数列になります。より、
(のときもOK) ......[]
,つまり、のとき、③より、は、初項:,公比等比数列です。

(のときもOK) ......[]

(3) なので、のとき、とすると、は発散します。
のとき、であれば、は収束します。と、
かつ
より、数列が収束するrの範囲は、
......[] (等比数列の極限を参照)

(4) が収束するとき、つまり、のとき、
これは、のとき、最小値 ......[] をとります。


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