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九大数学'11年前期[3]

九大数学'11年前期[3]

数列,・・・,,・・・
, 
をみたしているとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、一般項を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) とするとき、
, 
をみたす最小の自然数kを求めよ。

解答 与えられた漸化式の意味するところに気づければ容易です。

(1) まず、与えられた漸化式で、として感触をつかみます。


以後、の繰り返しになります。偶数番目の項が,奇数番目の項がです。
のとき、,但し、
......[]
問題文に「一般項」とあるので、統一的に一つの式で記述したければ、のときに1のときにとなるようなものを探します。例えば、です。これを使えば、
 ()
と記述できます。実は、(2)以下から、となることがわかります。

(2) とおくと、正接の倍角の公式より、
より、


より、 ......[]
(1)
(2)の結果より、とすると、,・・・ となって、では、が繰り返し、数列が周期を持つことがわかります。

(3) (2)をヒントとして、とすると、
,・・・
となり、となっていることがわかります。のときには、

これより、m整数として、

のとき、5は互いに素なので、mの倍数で、jを整数として、とおけます。

としていくと、のときに、となり、となります。よって、 を満たす最小の自然数kは、 ......[]


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  1. 2011/12/27(火) 23:52:52|
  2. 11年数学
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旭川医大数学'11年[2]

旭川医大数学'11[2]

平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている。辺BCCAABの長さをそれぞれabcとし、とおく。辺BCCAABをそれぞれに内分する点をXYZとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。
1 点Nと定義するとき、3直線AXBYCZNで交わることを示せ。
2 Pを△ABCの内部の点、△PBC,△PCA,△PABの面積をそれぞれとするとき、
と表される。このことを用いて、△ABCの外心をQとするとき、abcを用いて表せ。
3 △ABCの重心をGとする。点NQGを通る直線上にあるとき、△ABCは二等辺三角形であることを示せ。

解答 問3は凄まじい計算になります。ひたすら地道にやるしかなさそうです。

1 
となるので、チェバの定理の逆より、3直線AXBYCZは、1Mで交わります。メネラウスの定理より、
 ∴ ZMMC = c
よって、MZCcに内分する点です。
となるので、より、
 ・・・① (ベクトルの内分・外分を参照)
一方、


 ・・・②
①,②より、MNは一致し、3直線AXBYCZNで交わります。

別解.より、
②より、
よって、
ANXは一直線上の点です(ベクトルの1次独立を参照)
よって、BNYは一直線上の点です。
よって、CNZは一直線上の点です。
以上より、
3直線AXBYCZNで交わります。

2 問題文中の
 ・・・()
を導いておきます。APの延長とBCとの交点をLとします。Lは、BCに内分する点です。よって、
Pは、ALに内分する点です。よって、

とすると、中心角は円周角の2倍になるので、

ABCの外接円の半径をRとすると、△QBC,△QCA,△QABの面積は、
 ・・・③ (三角形の面積を参照)
正弦定理より、
ABCの面積について、
 (2倍角の公式を参照)
 (余弦定理を参照)



同様に、
以上より、()を用いて、
......[]

3 問2より、

 ( )

②を用いて、
NQGを通る直線上にあるとき、kを実数として、より、
両式よりkを消去して、
より、
展開して整理すると、
③を用いて、

正弦定理を用いて、
余弦定理を用いて、
分母を払って、
1項のカッコ内は、
2項の中カッコ内は、
よって、
カッコ内を整理して、
 (因数分解の技法を参照)
中カッコ内をで割ると、割り切れて、商は、 (因数定理を参照)
これをさらにで割ると、割り切れて、商は、,結局、
より、 または または
よって、△ABCは二等辺三角形です。


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  1. 2011/12/26(月) 03:37:48|
  2. 11年数学
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東北大理系数学'11年前期[1]

東北大理系数学'11年前期[1]

実数aに対し、不等式
の表す座標平面上の領域をとおく。
(1) を満たすすべてのaに対しの点となるような点の範囲を図示せよ。
(2) を満たすいずれかのaに対しの点となるような点の範囲を図示せよ。

解答 問題文中の「すべての」、「いずれかの」という言葉をどう扱うかが問題です。

 ・・・①
の表す座標平面上の領域は、直線から下側の領域です。ここでは、xyを固定し、①を変形して、

として、におけるa2次関数を考えます。
です。
を満たすすべての
aに対しの点となる、ということは、においてつねに,つまり、の最大値が0以下になるということです。
を満たすいずれかの
aに対しの点となる、ということは、においてとなるaが少なくとも1つある、つまり、の最小値が0以下になるということです。
従って、における
最大値と最小値を考えればよいわけです。
(i) ,つまり、のとき、のときに最大値:
をとります。また、のときに最小値:
をとります。
(ii) ,つまり、のとき、のときに最小値:

をとります。
軸位置:が範囲の中間点から左側にあるとき、つまり、のとき、は範囲の右端において、最大値:をとります。
軸位置:が範囲の中間点から右側にあるとき、つまり、のとき、は範囲の左端において、最大値:をとります。
(iii) ,つまり、のとき、のときに最大値:をとります。また、のときに最小値:をとります。

(1) を満たすすべてのaに対しの点となるような点の範囲は、におけるの最大値が0以下になることから、
のとき、 ∴
のとき、 ∴
図示すると右図黄緑色着色部(太線境界線を含む)

(2) を満たすいずれかのaに対しの点となるような点の範囲は、におけるの最小値が0以下になることから、
のとき、 ∴
のとき、
のとき、 ∴
図示すると右図黄緑色着色部(太線境界線を含む)

(1)の別解.を満たすすべてのaに対しての点となる点の範囲をEとします。
を満たすすべてのaに対しての点となる、ということは、のときのEを含む、ということです。また、のときのEを含む、ということです。従って、
です。①は、
のとき、
のとき、
となるので、は、直線から下側でかつ直線から下側の領域です。
逆に、内の点が、を満たすすべての
aに対しての点になることを調べます。
直線と直線の交点は、
より、
①に、を代入すると、

 ()
となり、のとき、点は、領域内の点です。
①の境界線: ・・・②
 ・・・③
②と③を連立すると、

であれば、
においては、より、②と③の交点は
x軸から上側にあります。
②と、
 ・・・④
を連立すると、

であれば、
においては、より、②と④の交点は
x軸から上側にあります。
従って、内の点は、を満たすすべての
aに対しての点になります。つまり、
以上より、,つまり、求める領域は、かつとなります。


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  1. 2011/12/23(金) 01:49:07|
  2. 11年数学
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広島大物理'11年[3]

広島大物理'11[3]

電圧Vの直流電源、自己インダクタンスLのコイル、電気容量Cのコンデンサー、抵抗値Rの抵抗、およびスイッチを図1のように接続した回路がある。コイル、およびコンデンサーに流れ込む電流を、それぞれ,および,コンデンサーにたくわえられた電気量をQとする。ただし、矢印で示された電流の向きを正とし、が正のとき電気量Qは増加するものとする。最初、スイッチはすべて開いており、また、コンデンサーに電荷は蓄えられていない。コイル、スイッチ、および導線の抵抗、回路から発せられる電磁波によるエネルギー損失は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。

1 を閉じてからを閉じた。このとき、が微小時間の間にだけ変化するとして、経路abedaについてのキルヒホッフの第2法則を表す関係式を書け。
2 次の文章中の空欄 ア  ウ に当てはまる適切な数式または数値を、LRVのうちで必要な記号と数字を用いて、解答欄に記入せよ。
1で、を閉じた直後は、 ア である。これを問1の式に代入すると、は最初、 イ の割合で変化していくことがわかる。また、問1の式から、が増加するにしたがって、変化率は小さくなり、十分に時間が経過すると、は一定値 ウ になることがわかる。
3 を閉じた時刻をとして、その後、十分に時間が経過するまでの間の電流の変化の様子がよくわかるよう、その概略を図示せよ。
4 十分に時間が経過した後、を開いたところ、スイッチが離れる瞬間、スイッチの接点で放電が起こり、火花が走った。これはなぜか。理由を30字程度で記述せよ。
5 次の文章中の空欄 エ  ク に当てはまる適切な数式または数値を、CRVのうちで必要な記号と数字を用いて、解答欄に記入せよ。
すべてのスイッチを開いて、最初の状態にもどした後、を閉じてからを閉じた。を閉じた直後は、 エ である。十分に時間が経過して定常状態に達すると、 オ ,点cでの電位は カ になる。ただし、点dでの電位を0とする。最終的に、コンデンサーには、 キ のエネルギーが蓄えられる。一方、この間に抵抗Rで発生したジュール熱は ク である。電源がなした仕事は、結局 オ の電荷を電位差 カ だけ移動させるのに必要なエネルギーに等しい。
6 を閉じた時刻をとして、その後、十分に時間が経過するまでの間の電流の変化の様子がよくわかるよう、その概略を図示せよ。
7 十分に時間が経過した後、を開いてを閉じた。を閉じた後の電流,および電気量Qの変化の様子を表す最も適当な図を、右のグラフ群からそれぞれ選び、記号で答えよ。また、それぞれの場合について、図の縦軸の値Xに当てはまる電流値、および電気量を、LCRVのうちで必要な記号を用いて表せ。電流については、値Xの導き方も記せ。

解答 過渡現象、振動回路の基本問題です。

1 の変化によるコイルの起電力,コイルの電圧降下抵抗R電圧降下,よってキルヒホッフ第2法則より、
......[]

2 を閉じた直後にコイル電流を流さないので、です。
ア 0 ......[]
これを問1の結果に代入すると、

イ  ......[]
を閉じた直後、なので、は増加しはじめます。が増加すると、問1の結果より、が次第に減少します。従って、充分に時間経過すると、は一定値に近づき変化しなくなり、となります。問1の結果より、となります。
ウ  ......[]

3 の変化を図示すると右図のようになります。

4 を開いた直後、から0まで急激に変化します。は、絶対値が大きい負の値となり、抵抗電流が流れず抵抗両端の電圧がゼロになると、の端子間に大きな電圧が生じ放電が起きます。
離れた接点間にコイルの逆起電力により大きな電圧を生じるから。(30) ......[]

5 コンデンサーが蓄えている電気量Qとすると、コンデンサー両端の電圧,回路に流れる電流として、抵抗両端の電圧キルヒホッフの第2法則より、
を閉じた直後は、より、
エ  ......[]
コンデンサーに電流が流れ込むと、電気量Qが増加し、電流が減少します。となると、となります。
オ  ......[]
より抵抗両端の電圧0で、点c電位は、Vになります。
カ V ......[]
コンデンサーの静電エネルギーUは、
キ  ......[]
この間に、電池は電圧V電気量を供給するので、電池はエネルギを供給し、ここからコンデンサーの静電エネルギーを引いて、抵抗で発生したジュール熱は、

ク  ......[]

6 の変化を図示すると右図のようになります。

7 コンデンサーが充電を完了した後で、を開いてを閉じると、エネルギーがコンデンサーとコイルを行ったり来たりすることにより、振動現象が起きます。
コイルの電流は、はじめ0で次第に増加します。のグラフは(C) ......[]
コンデンサーの電荷Qは、はじめCVで、以後減少し、になります。Qのグラフは(A) ......[]
エネルギー保存より、 ∴
のグラフのXは、 ......[]
Q
のグラフのXは、 ......[]


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  1. 2011/12/14(水) 11:45:25|
  2. 11年物理
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島根大医数学'11年[1]

島根大医数学'11[1]

mを自然数とする。で割り切れる自然数nの最大値をとおくとき、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) mの式で表せ。
(3) が素数ならば、mも素数であることを証明せよ。

解答 類題が東工大'07前期[1],東工大'91年前期[1]にあります。なお、整数を参照してください。

(1) のとき、
1から32までの整数の中に2の倍数は16個あります。
この
16個のうち、の倍数が8(48121620242832)あります。
この
8個のうち、の倍数が4(8162432)あります。
この
4個のうち、の倍数が2(1632)あります。
この
2個のうち、の倍数が1(32)あります。
を素因数分解すると、
2の個数は、
......[]

(2)
1からまでの整数の中に2の倍数は個あります。
この個のうち、の倍数は個あります。
同様に、
1からまでの整数の中に ()の倍数は、個あります。
(1)と同様に考えて、を素因数分解すると、2の個数は、
......[]

(3) 元の命題の対偶「mが素数でなければは素数でない」を証明します。
mが素数でなければ、2以上の整数abで、となるものが存在します。
このとき、
(2)の結果を用いて、
ここで、

より、は素数ではありません。(証明終)


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  1. 2011/12/12(月) 01:49:55|
  2. 11年数学
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防衛医大数学'11年[4]

防衛医大数学'11[4]

数列

,・・・,,・・・
について、以下の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 36項はいくらか。
(2) 不定積分を求めよ。
(3) 1項から第36項までのすべての項の積をAとする。このときAの整数部分の桁数はいくらか。ただし、である。

解答 (3)の問題文だけ読むと、とてつもない問題に見えますが、(2)を利用することにより解答できます。

(1) 1群には1項あり、第2群には2項あり、第n群にはn項あります。第8群までで、項あるので、第36項は第8群の末尾です。第8群には8項あり、第36項は、 ......[]

(2)  (部分積分法を参照)
(C:積分定数) ......[]

(3) 1群は,第2群の全ての項の積は,第3群の全ての項の積は,第n群の全ての項の積は
1項から第36項までの全ての項の積Aは、第1群から第8群までの全ての項の積で、


 (対数関数を参照)
ここで、などとなっていることから、(2)の利用を考え、とおくと、として、
より、
において、
よりは単調増加な関数で、において、だから、

より、を考慮して、で加え合わせると、
 (のときに注意)


より、
以上より、
より、

 (常用対数を参照)
よって、より、Aの整数部分の桁数は2 ......[]


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  1. 2011/12/11(日) 01:33:21|
  2. 11年数学
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東京医歯大数学'11年[3]

東京医歯大数学'11[3]

自然数nに対し

とおく。このとき以下の各問いに答えよ。
(1) 次の不等式を示せ。
(2) nを用いて表せ。
(3) 極限値を求めよ。

解答 符号の変化がややこしいですが、誘導に乗って計算を進めていけば最終解答に到達できます。

(1)
 ・・・①
ここで、において、,よって、
 ∴
 (定積分と不等式を参照)
よって、①より、

(2) の被積分関数について、
よって、

 (数列の求和技法を参照)


......[]

(3) (1)の結果より、において、とすると、
より、 ・・・② (はさみうちの原理を参照)
(2)
の結果より、
ここで、とすると、と②とから、
......[]


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  1. 2011/12/07(水) 00:57:08|
  2. 11年数学
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岐阜大物理'11年[1]

岐阜大物理'11[1]

次の文を読み、以下の問いに答えよ。
太郎くんは、ヘリウムガスの詰まった風船に糸を付けて持ち、父の運転する自動車の後部座席に乗った。自動車が直線的に走るとき、その加速や減速に応じて風船が動いた。その運動の向きは車の加速度の向きと同じであった。等加速度運動する電車の中の、ひもでつるされたおもりの振る舞いについて知っていた
)太郎君にとっては、この風船の動きは非常に不思議であった。このとき、空気の流れのせいではなかと窓を確認したがすべて閉まっており、車内の空気は安定していた。この現象を理解しようと、太郎君は以下のように考えを進めた。
風船にはたらいている力が重力と糸の張力及び浮力だけであると考えると、上記の電車内のおもりの話と本質的に同じであり、観察結果と合わないことになる。何か他の力がはたらいているはずである。風船は空気中に浮いているのだから、その力は風船の周囲の空気が及ぼしているに違いないと思った。
そこで、まず車内の空気の運動について考えてみた。自動車が一定の加速度
a[]で運動しており、車内の空気や風船は安定しているとする。車内の空気の小さな部分A(1に示すような長さ[m],体積[]の直方体)の水平方向の運動について調べる。左右の側面の圧力を、図1のように[Pa][Pa]とする。この圧力の差[Pa]によって、部分Aが加速度aで自動車とともに運動していることになる。)その運動方程式を調べ、に比例することがわかった
風船は、この圧力差により水平方向の力を受ける。この力の大きさを求める考え方は、水中の物体が受ける浮力の話と筋道は同じであることに太郎君は気づいた。浮力の話では、水圧の差が深さの差に比例しており、その結果はアルキメデスの原理として知られている。加速度運動している自動車内の物体には、アルキメデスの原理に類似の

車内の物体は、その物体が押しのけた空気にはたらく慣性力(車内の観測者から見た)と同じ大きさで、逆向きの力を受ける
が成立することがわかった。このことから、太郎君は自動車の中で観察した風船の動きと、電車内につるされたおもりの動きについて、)"不思議"が不思議でなくなり、納得できた
以下では、風船の体積を
V[],空気とヘリウムの密度をそれぞれ[][]とする。生じる圧力差は小さいので、これらの密度は変化しないとしてよい。また、重力加速度をg[]とする。なお、風船の素材は薄く、その質量は無視できるものとする。
1 下線部ア)の「非常に不思議であった」のは、何が、どのように不思議であったと推測するか。60文字以内で述べよ。
2 下線部イ)に述べていること、すなわち、自動車の進行方向に関する部分Aの運動方程式を書き表し、の関係式が、
となることを示せ。
3 自動車が一定の加速度aで走り、風船の糸が鉛直方向と角θ [rad]をなして安定しているとき、車内の太郎君が観察すると、風船にはたらく力(重力、空気による浮力、糸の張力、上記のアルキメデスの原理に類似の力)とみかけの力である慣性力とがつりあっていることになる。このつりあいの条件式を、水平方向と鉛直方向それぞれについて示せ。ただし、糸の張力をT [N]とし、風船が進行方向に傾いているときのθ を正とする。(2を参照)
4 上で求めたつりあいの式を用いて、風船が進行方向に傾くことを示し、さらにを求めよ。
5 下線部ウ)の太郎君の納得した内容を80文字以内で述べよ。

解答 人間の通常の感覚とは異なる現象を扱った問題です。なお、慣性力を参照してください。本問のような問題では、国語の文章論述力も問われます。

1 等加速度運動する自動車内で、慣性力によって自動車の加速度と逆向きに動くと予想された風船が、加速度と同じ向きに動いたこと。(60) ......[]

2 部分Aに位置する空気の質量です。部分A断面積Sとすると、部分Aが受けるは、左側から自動車進行方向に,右側から自動車進行方向と逆向きに,よって、部分A運動方程式は、
より、

3 風船の質量です。風船に働くは、水平方向に、問2で求めたによる大きさの右向きの、左向きで大きさ慣性力張力の水平成分が大きさで左向き、鉛直方向に、上向きで大きさ浮力、下向きで大きさ重力、大きさで下向きの張力鉛直成分です。水平方向の力のつり合いより、
 ・・・①
鉛直方向の力のつり合いより、
 ・・・②
2の結果を用いて、①より、
......[]
......[
]
注.問題文中のアルキメデスの原理に類似のは、のことです。の場合には、空中に浮かびませんが、なので、物体は自動車の加速度と逆向きにを受けます。であれば、なので、物体は空中に浮上し、なので、物体は自動車の加速度と同じ向きにを受けます。

4  ......[]
より、であれば、θ の正方向、つまり、自動車の進行方向に風船は傾きます。

5 加速度運動する自動車内で、重力、慣性力だけが物体に加わるのであれば、物体は加速度と逆向きに動くが、重力、慣性力を上回る浮力があれば、物体は加速度方向に動く。(78) ......[]


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  2. 11年物理
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横浜国大理工数学'11年前期[4]

横浜国大理工数学'11年前期[4]

xy平面上の2曲線は点Pを共有し、Pにおいて共通の接線をもっている。ただし、aは定数とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、の概形を描け。ただし、は証明なしに用いてよい。
(2) Pの座標及びaの値を求めよ。
(3) 不定積分を求めよ。
(4) およびx軸で囲まれる部分を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

解答 微積分に関する総合問題です。

(1)  (商の微分法を参照)
とすると、,このとき、
とすると、,このとき、,変曲点は、
......[] (関数の凹凸を参照)
より、増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

e



0

0
y()(0)

グラフは右図。

(2) Px座標をt とすると、が点Pを共有することから、
 ・・・①
Pにおいて共通の接線をもつことから、についてより、

①に代入して、
 ∴
①より、
Pの座標は、 ......[]
......[]

(3)  (部分積分法を参照)





(C:積分定数) ......[]

(4) 求める体積Vは、(3)の結果を用いて、


......[]


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  1. 2011/12/04(日) 15:15:03|
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横浜国大理工数学'11年前期[3]

横浜国大理工数学'11年前期[3]

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、3OAOBAC上にそれぞれ点DEF ()となるようにとる。
とおくとき、次の問いに答えよ。

(1) t を用いて表せ。
(2) のとき、t の値を求めよ。
(3) 3DEFが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき、線分BGの長さをt を用いて表せ。

解答 空間ベクトルの基本問題です。

(1) より、
......[]
......[]

(2) より、
......[]

(3) GBC上の点なので、kを実数として、とおくことができます。
 ・・・①
また、Gは、3DEFが定める平面上の点なので、実数pqを用いて、
と表すことができます。
 ・・・②
①,②より、係数を比較して、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
③より、
⑤に代入して、
をかけて、 ∴

④に代入して、

 ()
 (より、)
線分BGの長さは、 ......[]


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  1. 2011/12/02(金) 08:52:54|
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