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横浜国大理工数学'11年前期[2]

横浜国大理工数学'11年前期[2]

次の問いに答えよ。
(1) において、を満たすxを求め、において、の大小を比較せよ。
(2) のとき、となることを示し、において、を示せ。

解答 (2)では、と見るのだろう、ということは、すぐ気づくと思いますが、にもなり得るのでやや面倒です。

(1) のとき、 ∴  (2倍角の公式を参照)
より、 ∴ ......[]
においては単調減少(三角関数のグラフを参照)であって、
において、
において、
において、
より、
において、
において、
において、
......[]

(2) においては単調増加なので、より、
 ・・・①
() ()で場合分けします。
(i) のとき、
 (三角関数の合成を参照)
よって、①より、
(ii) のとき、ですが、なので、
よって、①より、
以上より、において、


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  1. 2011/11/30(水) 06:09:21|
  2. 11年数学
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横浜国大理工数学'11年前期[1]

横浜国大理工数学'11年前期[1]

3次関数について、次の問に答えよ。ただし、kは定数とする。
(1) が極値をもつときのxを求めよ。
(2) 方程式が異なる3つの整数解をもつとき、kの値およびその整数解を求めよ。

解答 が極値をもつときのxから、3整数解のうちの1つの範囲を絞り込むことができます。

(1)  (微分・導関数を参照)
とすると、
が極値をもつときの
xは、 ......[]
において増加、において減少、において増加です(3次関数の増減を参照)

(2) が異なる3実数解をもつとすると、3解は、の範囲に各1解ずつあります(微分法の方程式への応用を参照)
より、なので、が異なる3つの整数解をもつとすれば、の範囲の整数、即ち、012のいずれかを解に持ちます。
(i) を解とするとき、
このとき、
(ii) を解とするとき、
 ∴
このとき、

不適です。
(iii) を解とするとき、
 ∴
このとき、

以上より、3整数解は、
のとき、のとき、
......[]


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  1. 2011/11/28(月) 02:04:48|
  2. 11年数学
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同志社大理工数学'11年[4]

同志社大理工数学'11[4]

数列
,・・・
は漸化式
 ()
を満たしている。として次の問に答えよ。
(1) におけるの最大値と最小値を求めよ。
(2) におけるの最大値と最小値を求めよ。
(3) ()が成立することを数学的帰納法を用いて示せ。
(4) ()が成立することを示せ。
(5) を求めよ。

解答 いきなり、?と聞かれると厳しいですが、丁寧な誘導がついているので、誘導通りに進めて行けば解答できます。

(1)
対数微分法によって微分すると、

 ( )
よって、単調増加関数です。
において、
より、
最大値:2,最小値:1 ......[]

(2)
対数微分法によって微分すると、

よって、は単調増加関数です。
において、
より、
最大値:,最小値: ......[]

(3) ()が成立することを数学的帰納法を用いて示します。
() のとき、より、成立します。
() のとき、が成立すると仮定します。
(1)よりは単調増加関数なので、
よって、となり、のときも成立します。
()()より、 ()が成立します。

(4) は全実数において連続かつ微分可能な関数なので、平均値の定理が使えます。平均値の定理より、
を満たす実数cが存在します。(2)より、は単調増加関数なので、,よって、より、
 ()

(5) (4)の結果より、
より、
ここで、とすると、より、 (等比数列の極限を参照)
はさみうちの原理より、
......[]


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  1. 2011/11/21(月) 12:39:45|
  2. 11年数学
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阪大物理'11年前期[3]

阪大物理'11年前期[3]

風船では、ゴムが縮もうとする力によって内部の圧力が外部の圧力より高くなる。このような風船に単原子分子理想気体Aモル入れ、それを図のようにモルの単原子分子理想気体Bの入ったピストン付きのシリンダーに入れた。このシリンダーとピストンは外部との熱の出入りがないような断熱材でできている。シリンダーは風船に対して十分大きいとする。このシリンダーにはヒーターが取り付けられている。ピストンはなめらかに動き、風船外部の気体Bの圧力は常に一定でPであるとする。
以下で考える風船は熱をよく通し、風船外部と風船内部の温度は同じである。風船は気体を通すことはない。風船を作っているゴムの質量、厚み、および熱容量は無視できるとする。以下、気体定数を
Rとする。

Ⅰ.まず、風船内部の気体Aの圧力が風船外部の気体Bの圧力Pによって
と与えられる風船の場合を考える。ここでaは正の定数である。気体Aと気体Bの温度がともにTのとき、気体Aの体積は,気体Bの体積はであった。以下の文中の   に入る適切な式をaRPのうち必要なものを用いて解答欄に記入せよ。
気体
Bの圧力をPに保ちながら、ヒーターで熱量を加えた。すると、気体Aと気体Bの温度がともに上がってTからになった。またこのとき、風船がふくらみ、ピストンが動いて、気体Aの体積がからに、気体Bの体積がからになった。変化の前後で気体Aの状態方程式を考えることにより、
(1)
と表すことができる。
風船の内外の圧力が異なるため、この変化の間に風船内部の気体
Aが風船にした仕事と、風船が気体Bに対してした仕事は異なる。したがって、その差は風船のゴムにエネルギーとしてたくわえられる。つまり、この変化でゴムにたくわえられているエネルギーは (2) だけ増加したことになる。
また、この変化でシリンダー内部の気体Bがピストンに対してした仕事
(3) (4)
である。気体の内部エネルギーの増加、気体がピストンにした仕事、風船のゴムにたくわえられたエネルギーの増加を考慮することにより、加えた熱量
(5) (6)
であることがわかる。ただし、単原子分子理想気体の定積モル比熱はである。

Ⅱ.次に、風船内部の気体Aの圧力が風船外部の気体Bの圧力Pと気体Aの体積によって
と与えられる風船の場合を考える。ここでbcは正の定数である。以下ではの場合を考える。気体Aと気体Bの温度がともにTのとき、気体Aの体積は,気体Bの体積はであった。以下の文中の に入る適切な式をbcRPのうち必要なものを用いて解答欄に記入せよ。
気体
Bの圧力をPに保ちながら、ヒーターで微小な熱量を加えた。すると、気体Aと気体Bの温度がともに微小量だけ上がってTからになり、気体Aの体積が微小量だけ変化してからになった。以下では、に比べて非常に小さいのでは無視できるとする。変化の前後で気体Aの状態方程式を考えることにより、
と表すことができる。以下、 (7) とおく。
Ⅰの場合と同様にして、気体の内部エネルギーの増加、気体がピストンにした仕事、風船のゴムにたくわえられたエネルギーの増加を考慮することにより、加えた熱量
であることがわかる。ここで(7)で求めたである。
次に、この結果をⅠの結果と比較する。Ⅰの場合の熱容量はで、Ⅱの場合の熱容量はで与えられる。これらの二つの熱容量の間には
(10) () , () , ()  
の関係がある。

解答 シリンダーの中にさらに風船があり、風船のゴムのエネルギーも考慮する、というややこしい設定なので、エネルギーのやりとりの考察が難しくなっています。

Ⅰ.風船内部の気体の圧力と風船外部の圧力Pとの間に、という関係がある、ということは、風船の表面積Sとして、風船内部の気体が風船にというを及ぼし、風船外部の気体が風船にというを及ぼすので、風船が風船内部の気体に及ぼすFとして、力のつり合いの式が、
となる、ということです。つまり、風船が風船内部の気体に一定のを及ぼす、ということです。風船表面が外に向かって一様に微小距離移動すると、風船のゴムのエネルギーは、重力の位置エネルギーと同様に考え、
だけ増加します。

初期状態の気体
A状態方程式 ・・・①
加熱後の気体
A状態方程式 ・・・②
②-①より、 ・・・③

(1) ......[
]

風船内部の気体A気体にした仕事は、です。一方で、風船が風船外部の気体Bがした仕事は、です。この差、つまり、風船のゴムが蓄えたエネルギーの増加分は、
(2) a ......[]

シリンダー内部の体積は、だけ増加しています。シリンダー内部の気体Bがピストンに対してした仕事は、
(3) P (4) P ......[]

ヒーターが気体Bを加熱している間に、気体Bがした仕事(3)(4)は、
気体
A,気体B内部エネルギーの変化は、
風船が蓄えた
エネルギーの増加分(2)が、
これらの総和が加えた
熱量になります(熱力学第1法則を参照)

初期状態の気体B状態方程式 ・・・④
加熱後の気体
B状態方程式 ・・・⑤
⑤-④より、
 ・・・⑥
③,⑥を用いて、
(5)  (6) ......[]
注.気体Aが風船にした仕事、気体Bが風船にした仕事は、として、の式に現れていることに注意してください。

Ⅱ.今度は圧力体積依存性をもつので、状態方程式を書くのに注意が必要です。
初期状態の気体A状態方程式 ・・・⑦
加熱後の気体
A状態方程式
 ・・・⑧
⑧-⑦より、を無視すると、
 ・・・⑨
(7) ......[]

この場合は、に対してプロットすると、p-V図は傾きの直線になります。
気体
Aが風船に対してした仕事は、を無視すると、台形の面積として、
風船が気体Bに対してした仕事は、
風船が蓄えた
エネルギーは、
気体B体積変化をとして、気体Bがピストンに対してした仕事は、
気体A,気体B内部エネルギーの変化は、
加えた
熱量は、Ⅰ.と同様にして、


 ( ⑨,⑥)
(8)  (9) ......[]

より、



(10) (
) ......[]


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  1. 2011/11/18(金) 14:04:56|
  2. 11年物理
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日本女子大理数学'11年前期[3]

日本女子大理数学'11年前期[3]

とおく。
(1) 2次方程式2つの解をαβ ()とする。αβ の値を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) 関数を求めよ。
(4) 方程式を解け。

解答 (2)を活かして考えれば(4)は容易です。

(1) より、


 (2次方程式を参照)
......[]

(2) の解がであることにより、
......[]

(3) ......[]

(4) (2)と同様に、の解がであることにより、
と合わせて、は、方程式の解にもなっています。
従って、は、で割り切れます
(因数定理を参照)。除算を実行する(整式の除算を参照)と、商がとなり、
の解は、
の解が、
の解が、
解は、 ......[]

追記.本問だけであれば容易ですが、本問には以下のような類題があります。

一橋大'97年後期[1]

a
0と異なる実数とし、とおく。
(1) は、で割り切れることを示せ。
(2) をみたす異なる実数pqが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

解答(1)は、の具体的な形が与えられていなくても示すことが可能です。なお、'97年には、岡山大[2]にも類題が出題されています。

(1) 2次方程式の解を、とします。

です。よって、4次方程式は、
より、やはり、解をもちます。よって、は、でもでも割り切れます。従って、で割り切れます。

(2) より、
よって、pqは、方程式の解です。ですが、
より、pqは、方程式の解ではありません。




これより、pqは、
2解であり、この2次方程式が相異なる2実数解pqをもつために、判別式について、
......[]


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  1. 2011/11/11(金) 14:41:06|
  2. 11年数学
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首都大理系数学'11年前期[2]

首都大理系数学'11年前期[2]

座標空間の3ABCを通る平面をαとする。点Dを通り、ベクトルに平行な直線をとする。また、点Dを通り、ベクトルに平行な直線をとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) αの交点をEとし、αとの交点をFとする。EFの座標を求めよ。
(2) のなす角をθ ()とするとき、の値を求めよ。
(3) DEFの面積を求めよ。

解答 平面の方程式を利用すれば大したことはないのですが、利用しない、ということになると、やや面倒になります。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
平面α上の点は、pqを実数として、
 ・・・①
と表すことができます。ここで、双方に垂直なベクトルを見つけることができたとして、①両辺ととの内積を考えると、より、
 ・・・②
という関係式が成り立ちます。この関係式を平面
αの方程式と言います。そこで、を求めることにします。
 ・・・③
 ・・・④
④より、,これを③に代入して、
 ∴
よって、
とすれば、は、双方に垂直になります。このを、平面αの法線ベクトルと言います。法線ベクトルは方向のみが重要で、の大きさは重要な要素ではないので、として、とします。このとき、②は、
 ・・・⑤
となります。
直線上の点は、
 ・・・⑥
と表せます。平面α上の点は⑤を満たすので、これを⑤に代入すると、

⑥より、Eの座標は、 ......[]
直線上の点は、
 ・・・⑦
と表せます。これを⑤に代入すると、

⑦より、Fの座標は、 ......[]

(2)
より、
......[]

(3) DEFの面積は、
......[] (三角形の面積を参照)

追記.上記で、の双方に垂直なベクトルは、外積を利用すれば、
と求めることができます。答案には、となる事実を書いておけば良いでしょう。
平面の方程式を利用しない場合には、平面
α上の点が、
 ・・・⑧ (平面のベクトル方程式を参照)
を満たすことを利用します。⑥より、直線上の点が⑧を満たすことから、
より、



を連立して、Eの座標を求めることになります。Fの座標も同様です。


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  1. 2011/11/08(火) 14:05:44|
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福井大医数学'11年[4]

福井大医数学'11[4]

関数 ()は次の条件を満たしている。
(i)
(ii)
 ()
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) の具体的な形を推測し、その結果を数学的帰納法で証明せよ。
(3) を求めよ。ただし、に対してとなることを用いてよい。

解答 単なる数Ⅲの総合計算問題に見えるのですが、やってみると、工夫が必要になる問題です。

(1) (ii)において、とすると、

 (部分積分法を参照)


 ・・・①
 (不定積分を参照)
......[]
(ii)
において、とすると、

 ( )
......[]

(2) (1)の結果より、 ()と予測できます。この予測を数学的帰納法によって証明します。
() のとき、(i)より、
よって、予測は成立します。
() のとき、予測が成立するとして、
が成立します。
ここで、単純素朴に、
(ii)として、
 ・・・②
を計算しようとしても、という形の積分が出てきて困ります。そこで、先回りして、
とおいて、の漸化式を考えることにします(定積分の漸化式を参照)
 ・・・③
さて、②に、を代入すると、


 ( )
よって、予測はにおいても成立します。
()()より、予測: ()が成立することが証明されました。

(3) (2)より、 ()
 (積の微分法を参照)
 ・・・④
 (等比数列を参照)
これを利用すると、④より、
ここで、として、 より(等比数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2011/11/06(日) 23:09:22|
  2. 11年数学
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阪大物理'11年後期[2]

阪大物理'11年後期[2]

電圧を加えると、ある領域から自由に動ける電子は押しのけられるが、正の電荷は移動せずに取り残される物質(半導体)がある。その電場(電界)の様子を理解するため、理想化した場合を考える。初めに、厚さのある十分に広い平板内部に一様に電荷が分布している場合の平板内部の電場や電位を求めよう。

1のように、厚さ[m]で十分に広い平板Aがあり、単位体積あたりの電荷(電荷密度)[] ()となるように電荷が一様に分布している。この平板Aの電荷がその外側に作る電場の方向は平板Aに垂直であり、その右側での電場の向きは右向きで、左側での電場の向きは左向きである。また、クーロンの法則の比例定数をk []として、単位面積あたりの電荷s[]の十分に薄い板の作る電場の強さE[]で与えられる。平板Aの場合にはその単位面積あたりの電荷は[]と見なせるので、平板Aの電荷が作る電場の強さE[]は、
で与えられ、平板Aの右側と左側で同じである。

Ⅰ.図2のように、厚さ[m]で十分に広い平板Bを平板Aに平行におく。平板Bにも電荷密度がとなるように電荷を一様に分布させた。平板Bを置いても、平板Aの電荷分布は変化しなかった。
1 電場には重ね合わせの原理が適用できることに注意して、領域a(平板Aの左側)、領域b(平板Aと平板Bの間)、領域c(平板Bの右側)の各領域における電場の向きと強さを求めよ。ただし、電場の向きは、図で右向きを正負号、左向きを負符号として表せ。

Ⅱ.図2で領域bの幅が0であっても、電場の重ね合わせの原理は成り立っている。平板Aと平板Bとを接触させて、厚さ[m]の平板Cを作った。このとき、平板Cの電荷密度は一様でである。図3のようにx軸を取り、平板Cの範囲におく。
2 位置x ()における電場の向きと強さを求めよ。ただし、電場の向きは、図で右向きを正負号、左向きを負符号として表せ。この場合には、平板Cは厚さがx2枚の平板を合わせたものと見なせることに注意せよ。

Ⅲ.今、平板Cx軸に沿ってN個の小さな区間に分けて、区間ごとの電位差を考えよう。この場合、i番目の区間はからである。また、とする。区間の幅は十分に小さいので、それぞれの区間内の電場の強さは一定で、その区間の両端の電場の強さの平均値に等しいと見なせるものとする。
3 i番目の区間の両端の電位差をdkQのうち必要なものを用いて求めよ。
4 での電位を、での電位を基準として求めよ。

Ⅳ.図4のように、十分に広い厚さの無視できる薄い平板Pで平板Cに平行に置いた。ここで、平板Pには単位面積あたりσ[]の電荷を一様に分布させた。この結果、平板C内部での電荷分布は変化しなかったが、では電場の強さが0になった。
5 σを求めよ。
6 平板Cの内部 ()の位置に質量m[kg],電荷[C] ()の自由に動ける電子を静かに置くと、電子は電場による力を受けて移動した。電子は電場による力以外は受けないとして、まで移動するのに要した時間をkmqQXのうち必要なものを用いて求めよ。ただし、電子によって、平板Cや平板P内の電荷分布は影響されないとする。
7 電子がに到達した時の速さをkmqQXのうち必要なものを用いて求めよ。

解答 深く考え込んでしまうと、かえって難しくなるので、出題者の要求に沿ってあっさりと片付けるようにしましょう。

Ⅰ.問1 平板A電荷が領域aに作る電場は、[N/C]
平板A電荷が領域b、領域cに作る電場は、[N/C]
平板B電荷が領域a、領域bに作る電場は、[N/C]
平板B電荷が領域cに作る電場は、[N/C]
よって、平板A電荷が作る電場、平板B電荷が作る電場を重ね合わせることにより、
領域
a電場は、[N/C] ......[]
領域b電場は、[N/C] ......[]
領域c電場は、[N/C] ......[]

Ⅱ.問2 (1)の領域b電場の結果において、xとして考えることにより、位置xにおける電場は、
[N/C] ......[]

Ⅲ.問3 問2電場の結果において、xとして考えることにより、における電場は、[N/C]
における電場は、[N/C]
i
番目の区間の電場は両者の平均をとって、[N/C]
i
番目の区間の左端に対する右端の電位差は、単位電荷電場に逆らって距離移動させる仕事として、
[V] ......[]

4 での電位は、での電位を基準として、
[V] ......[]

Ⅳ.問5 平板Cの部分に作る電場は、[N/C]
平板Pがその左側に作る電場は、題意より、[N/C]
両者の重ね合わせとして、の部分の電場は、
[] ......[]

6 問5の結果より、平板Pがその左側に作る電場は、
[N/C]
平板Pの作る電場と平板Cが作る電場を重ね合わせることにより、における電場は、問2の結果を利用して、
[N/C]
電子が電場から受けるは、[N]
電子の加速度aとして、電子の運動方程式は、

これは、角振動数[1/s]単振動を表します。単振動の振動中心振動端で、求める時間は、単振動の周期で、
[s] ......[]

7 求める速さは、振動中止における速さで単振動の速さの最大値です。振幅Xで、単振動の公式:より、求める速さは、
[m/s] ......[]


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