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阪大理系数学'11年前期[4]

阪大理系数学'11年前期[4]

abcを正の定数とし、xの関数を考える。以下、定数はすべて実数とする。
(1) 定数pqに対し、次をみたす定数rが存在することを示せ。
ならば
(2) 恒等式を用いて、次をみたす定数klが存在することを示せ。
ならば
(3) すべての自然数nに対して、が自然数であるとする。このとき関数は、自然数の定数mを用いてと表されることを示せ。

解答 入試問題としてはあまり見かけないタイプの問題です。「定数が存在することを示せ」という問題に対しては、定数を求める手順を説明すれば、存在することを示したことになります。なお、整数条件と命題を参照してください。

(1) 三角不等式において、αpxβ qとすると、においては、
ここで、をみたすような定数rをとると、において、
とできます。よって、ならば、をみたす定数rが存在します。

(2) 題意をみたすkが存在するとして、とすると、
ですが、ここで、kが正の定数であれば、において、
なので、
 ・・・①
また、

ここで、正の定数kであれば、
(1)の結果において、とすれば、
 ・・・②
を満たすような定数rをとれば、において、
 ・・・③
①,③より、
即ち、とし、②をみたすような定数rをとり、となるように定数klをとれば、において、
とすることができます。よって、題意をみたす定数klが存在します。

(3) (2)の結果において、 (nは任意の自然数)とすると、
 ・・・④
ここで、abcが正であることから、
つまり、なので、は自然数です。nを十分に大きくとれば、④の範囲:に入る自然数xをただ1個にできます。この自然数をmとすると、
 (このとき、、つまり、に限られます)
このとき、
となり、
と表されます。


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  1. 2011/10/31(月) 11:40:23|
  2. 11年数学
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信州大医数学'11年[2]

信州大医数学'11[2]

原点を中心とする半径1の円Sと点Aを考える。ただし、とする。点Aと点Bを結ぶ直線と円Sとの交点をD,点ACを結ぶ直線と円Sとの交点をEとする。点Dおよび点Eからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれFおよびGとする。直線DGと直線EFの交点をMとするとき直線AMx軸に直交することを示せ。

解答 図形と方程式、平面ベクトル、2通りの解法で考えてみます。どちらにしても計算はかなり面倒です。

解法
1
Dx座標をb ()とすると、y座標はです。
直線
BDの方程式は、2BDを通ることから(直線の方程式を参照)
 ・・・①
Ex座標をc ()とすると、y座標はです。
直線
CEの方程式は、2CEを通ることから、
 ・・・②
直線DGの方程式は、2DGを通る直線として、
 ・・・③
直線EFの方程式は、2EFを通る直線として、
 ・・・④
①,②を連立し、交点Ax座標は、

 ・・・⑤
③,④を連立し、交点
Mx座標は、

 ・・・⑥
⑤について、右辺を
有理化すると、


⑥について、右辺を有理化すると、



よって、点Aと点Mx座標は一致し、直線AMx軸に垂直です。

解法2
AからBCに下ろした垂線の足をHとします。
() ()
とします。また、より、とします。
に注意します。
ABH CBDより、BHAB BDBC

ACH BCEより、CHAC CEBC

よって、BHCH
ACD BAEより、ADAC AEAB
pbc qcb
 ・・・⑦
BDF BAHより、DFAH BDAB
u1 1

CEG CAHより、EGAH CECA
v1 1


DM
MG DFEG uvと、より、


よって、です。


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  1. 2011/10/24(月) 14:30:17|
  2. 11年数学
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大阪市大数学'11年[3]

大阪市大数学'11[3]

pqは正の実数でとする。において、2つの関数
を考える。次の問いに答えよ。
1 を示せ。
2 を示せ。
3 とするとき、において単調減少であることを示せ。

解答 問3が苦労させられます。

等号成立は、,つまり、のときですが、においては、等号は成立せず、

2 であれば、です。そこで、
を調べます。です。のとき、
より、において増加関数で、

3 とおくと、です。
 (商の微分法を参照)
なので、の正負はの正負に一致します。


( のとき、)
これより、
において、は単調減少です。


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  1. 2011/10/18(火) 14:46:49|
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九大数学'11年前期[5]

九大数学'11年前期[5]

1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
操作:1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。球に書かれた数字がijならば、iのカードとjのカードを入れ替える。その後、2個の球は袋に戻す。
はじめにカードを左から順に1234と並べ、上の操作をn回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。
(1) のとき、カードが左から順に1234と並ぶ確率を求めよ。
(2) のとき、カードが左から順に4321と並ぶ確率を求めよ。
(3) のとき、左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。
(4) のとき、左端のカードの数字の期待値を求めよ。

解答 (4)では、左端に2が来るのも、3が来るのも、4が来るのも同じ確率です。

数字
1234が書かれた球を①,②,③,④と表すことにします。
4個の球から2個の球を取り出す取り出し方は、通りあります。
1回の操作で、数字1が書かれたカードが左端にいるのは、②,③,④の3個の中から2個を取り出した場合で、通りあって、こうなる確率はです。
1回の操作で、数字1が書かれたカードが左から2番目にいるのは、①と②を取り出した場合で、こうなる確率は,同様に、数字1が書かれたカードが左から3番目にいる確率も、4番目にいる確率もです。

(1) のとき、カードが左から順に1234と並ぶのは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが6通りのいずれであっても、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが、1回目に取り出した2個の球の組み合わせと同じになる場合です。
この確率は、 ......[]

(2) のとき、カードが左から順に4321と並ぶのは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが①と④で、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが②と③、あるいは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが②と③で、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが①と④になる場合です。
この確率は、 ......[]

(3) 上記の検討により、1回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる(確率)とき、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、2回目の操作でも、②,③,④の3個の中から2個を取り出した場合で、こうなる確率は、です。
1回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいない(確率)とき、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端に来るのは、2回目の操作で、左端にいるカードと同じ数字の球と①を取り出す場合で、こうなる確率は、です。
求める確率は、
......[]

(4) (3)の結果より、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる(確率)とき、3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、3回目の操作で、②,③,④の3個の中から2個を取り出した場合で、こうなる確率は、です。
2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいない(確率)とき、3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、3回目の操作で、左端にいるカードと同じ数字の球と①を取り出す場合で、こうなる確率は、です。
3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる確率は、です。
上記の検討より、
1回の操作後に、数字1が書かれたカードが左から2番目、3番目、4番目にいる確率は等しくです。各回の操作前に、数字1が書かれたカードがどの位置にいても、その回の操作で左から2番目、3番目、4番目にくる確率は等しくなります。数字234の書かれたカードについても同様のことが言えます。
従って、
3回の操作で、左端に数字2が書かれたカードが来る確率も、数字3が書かれたカードが来る確率も、数字4が書かれたカードがくる確率も等しくなり、いずれも、
となります。よって、求める期待値は、
......[]


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  1. 2011/10/11(火) 13:15:57|
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慶大理工物理'11年[1]

慶大理工物理'11[1]

以下の文章中の()()に適切な式を記入しなさい。ただし、()には適切な不等号(≦または≧)も記入しなさい。

12のように、半径Rの半円筒面を有する質量Mの台が水平でなめらかな床に静かに置かれている。質量mの小球は床の上を進み、そのあと台の円筒面を上る。円筒の最上点をA,円筒の中心をOとする。円筒面はなめらかで、床と円筒面はなめらかに接続しており、小球と台は紙面に垂直な方向には運動しないものとする。
1のように台は床に固定された鉛直な壁に接して置かれており、台と壁が接している面はともになめらかである。小球は円筒面から離れることなく点Aまで上り、この間、台の全底面と床は接したままだった。点Bでの小球の速さをvとすると、円運動する小球が受ける向心力の大きさはである。この向心力は、小球が受ける重力のBO方向の分力と、小球が円筒面から受ける抗力との合力である。したがって、重力加速度の大きさをgとすると抗力の大きさNは、である。このとき、台が小球から受ける力を考えると、その鉛直方向の分力の大きさFは、Nθ を使って、と表される。小球の初速度は図1のように右向きでその大きさはであった。小球の力学的エネルギーが保存されることを用いてからvを消去すると、が得られる。()で最小値をとり、また、小球が円筒面から離れることなく点Aに達したことから、であったことがわかる。
()()の解答にあたっては、小球の初速度がで、小球が円筒面を上る間、台の全底面は床に接したままであったとする。この小球が点Bを通過するときのFは、により、vを使わずに、と表すことができる。()で最大値をとる。また、台の全底面が床と接したままであったことから、台が受ける力の鉛直方向成分を考えると、小球の質量mが不等式を満たしていたことがわかる。
次に図
2のように壁を取り除いた場合を考えよう。速度は右向きを正とする。最初、台は静止していた。初速度がの小球は、台の円筒面を点Cまで上り、そこから円筒面を下った。なお (ただし)とする。小球が点Cに達したとき、床に対する台の速度はVだった。小球と台を合わせた全運動量が保存されることを用いるとが得られる。そのあと小球は円筒面を下り、台から離れた。このときの床に対する台の速度はである。

解答 頻出タイプの不等速円運動の問題ですが、後半は、円筒面が動いてしまう状況を、力学的エネルギー保存、運動量保存から考える内容になっています。

() 半径Rの円筒面を速さvで動く質量mの小球が受ける向心力は、 ......[]

() この向心力は、小球が受ける重力BO方向の分力と、小球が円筒面から受ける垂直抗力Nとの合力に等しく、
 ・・・①
......[]

() 台が小球から受けるの鉛直方向の分力の大きさFは、 ・・・②
......[]

() 重力位置エネルギーの基準を床面にとると、小球が床の上にあるときの力学的エネルギーは、運動エネルギーだけです。点Bでの力学的エネルギーは、運動エネルギー位置エネルギーです。力学的エネルギー保存より、

①に代入して、
 ・・・③
......[]

() ()Nのとき(Aに来たとき)、最小値をとります。
小球が円筒面から離れることなく点Aに達するのであれば、小球が受ける垂直抗力Nは、つねにです。よって、
......[]

() ③でとすると、
Bを通過するときのFは、②より、

......[]

() ()の結果より、
これは、より、で最大値をもちます。
......[]

() このとき、台が床面から受ける垂直抗力として、台が受けるの鉛直方向のつりあいから、
台が床面と接したままであったことから、
......[]

() 小球+台の系の最初の運動量は、小球の運動量だけです。
小球が点Cに達したとき、小球の速度の水平成分と、台の速度Vで、小球+台の運動量です。
小球+台には、水平方向には
外力が働かず、この方向では運動量保存則が成立します。これより、
......[]

() 小球が台から離れた後の台の速度とします。力学的エネルギーが保存されることから、小球と台の運動を反発係数1の衝突と見なすと、反発係数の式より、
 ∴  ・・・④
水平方向の運動量保存より、
④より、
......[]


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  1. 2011/10/06(木) 16:19:03|
  2. 11年物理
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電通大数学'11年前期[4]

電通大数学'11年前期[4]

直線の法線ベクトルをとし、点Pと直線との距離をhとする。ただし、で、とする。
以下の問いに答えよ。

(1) の成分abを求めよ。
(2) 原点をOとし、でないに対し、のなす角をθ とする。
このとき、hθ を用いて表せ。また、hxyを用いて表せ。
以下では、曲線Cを、点Aと直線からの距離が等しい点Pの軌跡とする。
(3) 曲線Cの方程式(xyの関係式)を求めよ。
(4) 曲線Cと直線 (t は定数)との共有点の個数を求めよ。
(5) 曲線Cと直線2個の共有点QRをもつとき、線分QRの長さをt を用いて表せ。
(6) 曲線Cと直線とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

解答 曲線Cは、軸に対して傾いていますが、放物線の定義を満たしています。(6)の面積は回転によらずとも(5)を活用して答えることができます。

(1) 直線上の点で原点以外の点、例えば点Bを考えます。直線の方向ベクトルと垂直なベクトルは (内積を参照),よって、より、としてより、 ......[]

(2) Pから直線に下ろした垂線の足をHとします。
......[]
より、
また、
よって、
......[]

(3) より、のとき、
両辺を2乗すると、

......[] ・・・①

(4) のとき、
 ・・・②
これをx2次方程式とみて、判別式Dを考えます(2次方程式の一般論を参照)
のときとなり、共有点は0個、のときとなり、共有点は1個、のときとなり、共有点は2 ......[]

(5) 曲線Cと直線2個の共有点QRをもつとき、つまり、のとき、方程式②を解くと、QRx座標は、
線分QRの長さは、QRx座標の差として、
......[]

(6) (4)より線分QRが存在するのは、QRが一致する場合を含めて、のときです。従って、求める面積S(定積分と面積を参照)
......[]

追記.方程式①で表される曲線Cは、直線を準線、点Aを焦点とする放物線です。放物線Cx軸、y軸に対して傾いていますが、放物線の軸は、直線に垂直でAを通る直線:です。
直線に平行な直線:と放物線Cとの交点を求めると、①とを連立し、
整理して、

のときには (重解)となりますが、は放物線Cの頂点です。
のときに
2交点となりますが、2交点は軸:上の点に関して対称な位置にあります。
放物線
Cの頂点と焦点の距離はです。
放物線
Cを、放物線の軸がy軸、頂点が原点、焦点がに来るように回転させると、放物線Cは、より、となります。
元の
x軸を同じように回転させると、点を通り傾きの直線:となります。
を連立すると、
として、
(6)の面積Sは、
なります。


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  2. 11年数学
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