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横浜国大工数学'11年前期[5]

横浜国大工数学'11年前期[5]

xy平面上に直線がある。行列の表す1次変換f は、次の(i)(ii)(iii)を満たす。
(i) 平面の点のf による像はすべて上にある。
(ii) f 上の点をすべて原点に移す。
(iii) Pが円上を動くとき、f によるPの像のx座標は最大値,最小値をとる。
次の問いに答えよ。
(1) Aを求めよ。またの方程式を求めよ。
(2) (iii)で最大値をとるときのPの座標を求めよ。

解答 1次変換の基本問題です。(i)(ii)Aが零行列のときでも成立します。場合分けが面倒になるので、条件(iii)から考察しましょう。

(1) 条件(iii)から考えます。円の方程式を変形すると、
 (円の方程式を参照)
これより、 (θ は任意の角)とおく(三角関数を参照)と、
 ・・・①
f による点Pの像は、
Pの像のx座標Xは、の場合(の場合は、となり、条件(iii)を満たしません)を除いて、
 ・・・② (三角関数の合成を参照)
但し、 ・・・③
Xの最大値は、のとき、 ・・・④
Xの最小値は、のとき、 ・・・⑤
④+⑤より、 ・・・⑥
④-⑤より、
より、
 ・・・⑦
⑥,⑦より、abは、t2次方程式
これより、 ・・・⑧
条件
(i)を考えます。直線として、平面上の任意の点f による像は、
これが直線上にあるので、

平面上の任意の点について、これが成立するために、恒等式の条件より、
より、 ・・・⑨
また、より、直線となります。
条件
(ii)を考えます。t を任意の実数として直線上の点f による像は、
これが原点になるので、
t は任意の実数なので、
より ・・・⑩ (これが成立すれば、⑨よりとなります)
(a) のとき、⑩より,⑨より、,よって、
......[]
(b) のとき、⑩より,⑨より、,よって、
......[]

(2) (1)の③と⑧より、
(a) のとき、
(b) のとき、
となります。(iii)で②のXが最大値をとるとき、の範囲で考えると、
となるので、
(a) のとき、①より、

P ......[]
(b) のとき、①より、

P ......[]


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  1. 2011/09/26(月) 01:13:20|
  2. 11年数学
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金沢大理系数学'11年[4]

金沢大理系数学'11[4]

次の問いに答えよ。
(1) 自然数nに対して、を求めよ。また
を示せ。
(2) 2以上の自然数nに対して
を示せ。
(3) 2以上の自然数nに対して
を示せ。

解答 (2)は自然に(1)の利用が浮かぶでしょう。(3)が少し悩むかも知れません。(2)を有効活用することを考えましょう。

(1) ......[] (不定積分の公式を参照)
自然数nに対して、において、
この不等式で等号は恒等的には成立せず、


(2) (1)より2以上の自然数nに対して、
 ・・・①
に対しては、①の代わりに、
を考えることにします。①でとして、

・・・・・・
辺々加えると(数列の求和技法を参照)

(3) の各項の分母ですが、となり、指数はで、(2)が使えそうです。(2)の結果より、,よって、
ここで、より、

さらに(2)の結果を用いて、


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  1. 2011/09/23(金) 15:16:29|
  2. 11年数学
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北大物理'11年前期[3]

北大物理'11年前期[3]

以下の文章中の (1) から (9) に適切な数式または等式を入れ、 (a) (b) には、図3の選択肢から適切な向きを選び記号で答えよ。

1 図1は、波長,周期の水面波を上から見たものである。この波は、y軸に平行な山と谷の波面を持つ平面波として+x方向に進んでいる。その上空に観測者がいて、波を見ていた。
観測者Aが-x方向に速さで進んでいた。波の速さが (1) なので、観測者Aが波の山の上から次の山の上に来るまでにかかる時間(観測者Aから見た周期) (2) となる。
次に、観測者
Bが+x方向から反時計回りに角度α ()の向きに速さで進んだところ、観測者Bからは波が止まって見えた。このときの速さは (3) である。

2 図2のように、水深の異なる領域ⅠとⅡが直線を境界として接している。領域Ⅰを進んでいた波長,速さの平面波が、境界に入射角θ で入射し、屈折した。領域Ⅱにおける波の速さがであるとき、その波長は (4) となる。屈折角は関係式 (5) により決まる。
次に図3のように、境界を平らな壁とし、同じ入射角θ の波を反射させた。このとき、反射波は入射波と同じ速さで (a) の向きに進む。したがって、入射波と反射波の山の波面が交差する点Aは、 (b) の向きに動く。

3 図4のように、2つのスリットを持つ平らな壁に、波長の水面波が入射角で入射した。波は各スリットから壁の右側に球面波として広がった。各スリットの幅は狭く、以下では幅を無視する。なお、2つのスリットの間隔はで、壁の両側で波の速さは等しいものとする。
壁の右側で2つのスリットから等しい距離にある点Pを考える。壁に達した入射波の隣り合う山と山の壁に沿った距離 (6) であることから、点P2つの球面波が弱め合うためには、m0以上の整数として、スリットの間隔を (7) とする必要がある。このとき、図のように、壁と平行で点Pを通る直線上にあり、点Pからの距離がの点をQとすると、点Qでは波が弱め合っていた。線分PQ上に波が弱め合う点が、点PQ以外にn個あるとき、点Pと壁の距離dnの間の関係は (8) となる。これより、 (9) と求めることができる。

解答 問3では、壁の両側で経路差を考える必要があります。スリットを通過しても水面波の波長は変化しないことに注意してください。

1(1) 波長周期の水面波の速さは、 (波の公式を参照)
......[]
(2) 観測者Aから見た水面波の速度は、周期は、
......[]
(3) 観測者B速度x軸方向成分は,これが水面波の速度に一致するので、
......[]

2(4) 領域Ⅱにおける平面波の波長とすると、領域Ⅰと領域Ⅱとで平面波の振動数は変わらないので、
......[]
(5) 領域Ⅰ,Ⅱでの屈折率をそれぞれnとして、屈折の法則より、
平面波の速さは屈折率に反比例するので、
以上より、
......[]
(a) 入射波と反射波を少し動いた状況を右図に描いてみます。右図より反射波の進む向きは、() ......[] (波の反射を参照)
(b) 右図赤矢印より点Aの進む向きは、() ......[]

3(6) 右図より、 ∴
......[]
(7) 上のスリットを,下のスリットをとすると、なので、両スリットを通過する水面波の点Pに至る経路差は、壁の左側に生じます。壁の左側での経路差(右図赤色太線)は、右図より、
Pで弱め合う条件は(二重スリットを参照)
 ・・・①

......[
]
(8) 右図より、両スリットより通過する水面波の壁から右側での点Qに至る経路差は、
壁の両側で経路差は、
Qは点Pから番目の弱め合う点なので、点Qで弱め合う条件は、
 ・・・②
②-①より、
......[] ・・・③
(9) ③より、
2乗して、
......[]


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  1. 2011/09/20(火) 00:21:34|
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北大理系数学'11年前期[5]

北大理系数学'11年前期[5]

とする。に対して
と定める。
(1) を求めよ。
(2) となるxの範囲を求めよ。
(3) の極大値および極小値を求めよ。

解答 難問というわけではありませんが、積分範囲が被積分関数の微分不可能な点を含むとき、公式を使って、
 ・・・() (定積分と微分(その2)を参照)
としても良いのか、という問題があります。根号を含むような関数、例えばのような関数は、根号内が0になるところにおいて微分不可能(微分・導関数を参照)なので、根号がつく関数では注意が必要です。
を考えてみます。
微分可能な関数を満たし、の前後で符号をプラスからマイナスに変えるとします。つまり、においてにおいてだとします。となるとき、


 ・・・①
となるとき、

 ・・・②
は、において連続なのですが、①と②では、の符号が異なることに注意が必要です。一般的には、積分範囲内に被積分関数の微分不可能な点がある場合、()は使えません。

(1)
の範囲での符号がどうなるかが問題ですが、であればであればです。従って、の範囲がを含むとき、つまり、のとき、となりますが、このときは、積分区間を分けて考える必要があります(絶対値を含む定積分を参照)
(i) のとき、となるので、の範囲において、となり、です。よって、
(ii) のとき、上記より、においてはで、ですが、においてはで、です。積分区間を分けて、




ところで、は、
(i)において、
(ii)において、のとき、
なので、連続です。は、
(i)において、
(ii)において、
なので、やはり連続です。つまり、においても微分可能です。以上より、
......[]
追記.公式:を使えば、
 ・・・③
となります。ですが、
のとき
のとき 
()
となるので、③を解答としてOKです。但し、上記の問題点は隠れてしまいます。

(2) (i) のとき、
 (和→積の公式を使用、三角関数の諸公式を参照)
のとき、(1)の結果より、となるのは、のときで、のとき、つまり、 ()のときです。
(ii) のとき、
のとき、(1)の結果より、となるのは、のときで、なのでのとき、つまり、のときです。
(i)(ii)となる範囲は、境界のところでつながっていて、 ......[]

(3) より、となるので、次の増減表が得られます。
x0



00



に注意して、増減表より(関数の増減を参照)
極大値:
......[]
極小値:
......[]
注意.極大は(1)(2)(i)の範囲に、極小は(1)(2)(ii)の範囲にあります。


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  1. 2011/09/12(月) 12:27:40|
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岐阜大数学'11年[3]

岐阜大数学'11[3]

平面上に点Oを中心とする半径1の円SSに内接する正三角形ABCがある。以下の問いに答えよ。
(1) 内積の値を求めよ。
(2) を用いて表せ。
(3) 平面上の任意の点Pに対して、以下の不等式が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。
(4) Sの周上の任意の点Qに対して、
となることを示せ。
(5) Sの周上の任意の点Qに対して、
の値を求めよ。

解答 内積を用いるベクトルの計算問題ですが、式の形をよく見て工夫して計算しましょう。

(1) のなす角がであることと、であることとから、
......[]
同様に、

(2) stを実数として、とおきます(平面ベクトルの応用を参照)(1)の結果を用いて、
 ・・・①
 ・・・②
①,②を連立して解くと、
......[]

(3) より、
 ()
 ((2)より)
等号が成立するのは、,つまり、点Pが原点にくるときです。

(4) pqを実数として、とおきます。Qは円S上の点なので、,よって、

 ・・・③

(2)の結果を用いて、

 ( )

(5) より、

 ()

......[] ( (4))


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  1. 2011/09/11(日) 23:47:20|
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広島大理系数学'11年後期[4]

広島大理系数学'11年後期[4]

以下の問いに答えよ。
(1) 自然数ab11で割った余りを、それぞれrsとする。11で割った余りと11で割った余りは等しく、またab11で割った余りとrs11で割った余りは等しいことを示せ。
(2) abを自然数とする。11の倍数ならば、ab11の倍数であることを示せ。
(3) 袋に1から10までの自然数を書いた玉が1個ずつ、合計10個入っている。この袋から3つの玉を同時に取り出し、書いてある数をabcとする。11で割り切れる確率を求めよ。

解答 確率の問題になっていますが、実質的に剰余の問題です。なお、整数を参照してください。

(1) ab11で割った商をpqとすると、余りがrsなので、

よって、11で割った余りと11で割った余りは等しくなります。
よって、ab11で割った余りとrs11で割った余りは等しくなります。

(2) (1)より、11で割った余りと11で割った余りは等しくなります。11で割った余りと11で割った余りは等しくなります。11で割った余りは11で割った余りに等しくなります。
rs11で割ったときの余りなので、を満たします。
そこで、
11で割り切れないとき、つまりr11で割り切れずであるとき、r = 12345678910について、11で割った余りを調べると、1495335941となっていて、余りは13459に限られています。この中から2つを選んで和を求めると、 (11で割った余りは2) (11で割った余りは3) (11で割った余りは7)となり、いずれも11で割り切れません。従って、11で割り切れない、つまり、11で割り切れないとき、,即ち、11で割り切れるようになる場合はありません。
ということは
(対偶を参照)11の倍数ならば、ab11の倍数であることを意味しています。

(3) 全事象は、10個の玉から3個を選ぶ選び方で、通り。
(2)で見たように、abc1から10までの自然数とするとき、11で割った余りは、13459のどれかに限られていて、また、13459の余りのどれについても、対応する自然数の書かれた玉が2個ずつ存在します。
13459の中から、異なる3数を選んで和を求めると、となって、11で割り切れる場合はありません。
1を重複させて3数を選んで和を求めると、
3を重複させて3数を選んで和を求めると、
4を重複させて3数を選んで和を求めると、
5を重複させて3数を選んで和を求めると、
9を重複させて3数を選んで和を求めると、
以上の中で、
11で割った余りが0になるのは、を選ぶ場合で、
余りがとなるのは、
3つの自然数abcの組み合わせが、のときです。
余りがとなるのは、
3つの自然数abcの組み合わせが、のときです。
余りがとなるのは、
3つの自然数abcの組み合わせが、のときです。
余りがとなるのは、
3つの自然数abcの組み合わせが、のときです。
余りがとなるのは、
3つの自然数abcの組み合わせが、のときです。
よって、
11で割り切れる場合が10通りあり、求める確率は、 ......[]


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  1. 2011/09/11(日) 14:03:38|
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