FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

九大物理'11年[2]

九大物理'11[2]

2(a)に示すように、水平面上に十分長い2本の導体レールを間隔Lで平行に置き、磁束密度Bの一定で一様な磁場を鉛直下向きに加えた。導体レールの上に乗せた質量mの導体棒は、導体レールと直角を保ちながら移動し、移動の際の摩擦は無視できるものとする。
導体レールに端子
JKをつけ、端子Jの電位を,端子Kの電位をとし、端子間の電圧Vとする。導体棒に流れる電流をI,導体棒に働く力をF,導体棒の速度をvとし、それぞれ図中の矢印の向きを正とする。導体棒に作用する空気抵抗、回路に流れる電流による磁界、回路の電気抵抗は無視できるものとする。

1.以下の文章の空欄にあてはまる数式または語句を答えよ。ただし、 イ には語句が入り、 ア および ウ  キ には数式が入る。数式はmBLIの中から必要なものを用いて表せ。また、同じ記号の欄には同じものが入る。
導体棒に働く力Fと導体棒に流れる電流Iには ア の関係があり、このような力を イ と呼ぶ。微小な時間の間に導体棒の速度がだけ変化したとすると、時間の間の導体棒の平均の加速度はと書ける。時間の間に導体棒に働く力が一定であるとすると、時間の間の平均加速度と力Fの関係式は、 ウ と書くことができる。
一方、導体棒が速度
vで動くことにより誘導起電力が生じるが、この誘導起電力は図2(a)の回路では端子間の電圧Vと等しくなる。このため、電圧Vと速度vの関係式は、 エ と書くことができる。これより、微小な時間の間の端子間電圧の変化を,時間の間の導体棒の速度の変化をとすると、 エ の関係式が成り立つ。以上のことから、電流Iとの間には、 オ の関係式が成り立つ。
さらに、導体棒を流れる電流
Iは、導体棒を単位時間に通過する電気量であるため、微小な時間の間に導体棒を通過する電気量は、 カ と書くことができる。以上の結果は、端子JKから導体レール側を見たとき、端子間にコンデンサーがつながっていると見なしてよいことを示している。このコンデンサーの電気容量Cは、 キ となる。
2.端子間の電圧Vを図2(b)のように時間t とともに変化させた。それに伴って下記の(1)(2)に示す量も変化した。問1の数式 オ を記号Aとおく。

のそれぞれの期間において、(1)(2)に示す量をATおよび時間tの中から必要なものを用いて表せ。かつ、のそれぞれの期間における各量の時間変化をグラフに描け。
(1) 電流I
(2) 電源から供給される向きを正とする電力P

解答 コの字型回路に関する磁気の基本問題です。

1.ア 磁束密度B磁界中で長さLの導体棒に電流Iが流れるとき、導体棒に働くの大きさFは、です(フレミング左の法則を参照)
......[]
イ 磁界中を運動する荷電粒子に働くを、ローレンツ力 ......[] と言います(ローレンツ力を参照)
ウ 質量mの導体棒にFが働くときの導体棒の運動方程式は、 ・・・①

......[]
エ 時間の間の平均速度vとして導体棒は距離移動します。導体棒が通過した部分の面積,ここを通過する磁束,これを時間で割ったものが誘導起電力Vとなり(電磁誘導の法則を参照)
 ・・・② (フレミング右手の法則を参照)
......[
]
オ アとウの結果より、
 ・・・③
エの結果で、時間の間の変化を考えると、
③を代入して、
 ・・・④
......[]
カ 導体棒を流れる電流Iは、微小時間の間に導体棒を通過する電気量であるので、,よって、 ・・・⑤ (電流・オームの法則を参照)
I ......[]
キ ④を⑤に代入すると、
これとコンデンサーの公式:とを比較して、図2(a)の端子J,端子K間の装置を静電容量Cのコンデンサーと見なすと、
......[]

2(1) ④でと書くと、
2(b)から、
......[] グラフは右上図。
(2) ①,②,③とを用いて、
 (電力を参照)
......[] グラフは右下図。


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト



テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/29(月) 12:54:07|
  2. 11年物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東北大理系数学'11年前期[5]

東北大理系数学'11年前期[5]

aを実数、z0でない複素数とする。zと共役な複素数をで表す。
(1) 次を満たすzを求めよ。
(2) 次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ。
(3) 次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ。

解答 複素数の問題と思いきや、(2)(3)は実数の問題でした。

(1) 与式にzをかけます。
 ・・・① (2次方程式を参照)
但し、与式はを含むので、が解になることはなく、です。
①がという解をもつとすると、より
(i) のとき、①は、
より、
(ii) のとき、①の解は、
よって、 ......[]

(2) 与式にzをかけます。
 ・・・②
uvを実数として、とおくと、です。
これは、かつて複素数平面が入試範囲に入っていたときに、
となっていた公式に他なりません。は実数なので、は実数です。従って、より、zは実数に限られ、です。②は、
 ・・・③
となります。但し、与式はを含むので、をが解になることはなく、です。
②がという解をもつとすると
(i) のとき、②は、
より、,即ち、で、②を満たすz ()が存在します。
(ii) のとき、③をz2次方程式とみるとき、実数解zが存在するために、
判別式:
以上より、与式を満たすzが存在するaの範囲は、を含めて、 ......[]

(3) 与式にzをかけます。
 ・・・③
uvを実数として、とおくと、です。
より、とおくと、xは実数でです。これより、③は、
 ・・・④
となります。但し、与式はを含むので、が解になることはなく、です。従ってです。
これより与式を満たす
zが存在するとき、④はの範囲に解を持ちます。この条件は、
として、のグラフの軸が ()であることから、,即ち、 ......[]  (2次方程式の一般論を参照)


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/27(土) 10:39:12|
  2. 11年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

名大数学'11年[4]

名大数学'11[4]

abを満たす整数とし、xy2次方程式
がそれぞれ整数解をもつとする。
(1) とするとき、条件を満たす整数aをすべて求めよ。
(2) とするとき、条件を満たす整数の組をすべて求めよ。

解答 以下では、素朴に考えてみます。遠回りですが、これでも試験会場では充分に実戦的です。ある整数Aが平方数になるかどうか調べるとき、近い値をとる平方数を探してきて、という形の不等式を作ることができれば、Aは平方数ではない、と、断定できます。(2)はこれを使って解答します。

(1) のとき、x2次方程式は、
 ・・・①
となります。y2次方程式も同形の方程式です。この解は、
これが整数となるために、少なくとも、根号内0または平方数である必要があります。
(i)
とすると、より、
このとき、で確かに①は整数解をもちます。
(ii) pを自然数として、
とおけたとします。これをaについて解くと、
aは整数なので、 ()は平方数です。qを自然数として、
とおけます。
これより、はいずれも4の約数です。なので、に限られますが、となり、pqは自然数ではありません。従って、この場合に、が平方数となることはありません。
以上より、 ......[]

(2) x2次方程式
 ・・・②
の解は、
 ・・・③
y2次方程式
 ・・・④
の解は、
 ・・・⑤
②,④が整数解をもつために、③,⑤の根号内0または平方数である必要があります。
(i)
とすると、より、
 ∴
よって、に限られますが、が整数になるのは、のときで、このとき、
よって、この場合には、条件に適する
abの組はありません。
(ii)
とすると、より、
 ∴
また、は整数なので、bは偶数でkを自然数としてとおくと、より、,また、
(i)の場合が不適だったので、 ()は平方数ですが、
ここで、です。の次に小さな平方数はです。
とおくと、より、であれば、,すなわち、
となり、は平方数になり得ません。
問題は、のときとのときですが、
のとき、
のとき、
はともに平方数ではありません。
よって、
(ii)の場合にも、条件に適するabの組はありません。
(iii) がともに平方数となる場合、より、kを自然数として、とおくと、

の次に大きな平方数はです。


これが0に等しいとき、となりますが、kは整数なので、
となることはありません。次に大きな平方数はですが、
よって、
かつ
従って、は、のときにのみ、平方数になります。このとき、
としてみると、
となり、のとき平方数1になることがわかります。
なので、の次に小さな平方数とを比べてみます。
では、となり、が平方数になることはありません。
のときは、のときのみが平方数
1となり、このとき、です。
のとき、
2次方程式②は、
より、整数解をもちます。
2次方程式④は、
より、整数解をもちます。
以上より、 ......[]

別解.最初から方程式の解がどのようになるか調べておけば、以下のようにして、簡単に解くことができます。
とおくと、両2次方程式は、となります。
の軸位置;の軸位置: ・・・⑥
より、両2次方程式が整数解をもてば、ともに負の整数解です。
(1) のとき、両2次方程式はともに、
となります。よりは解にならないので、

aは整数なので、1の約数であることとであることから、より、整数解はに限られます。よって、 ......[]
(2) の解が負の整数であることから、⑥より、
つまり、
これと、より、 ∴
よって、
は、整数解をもちます。
よりは解にならないので、

bは整数なので、2の約数であることとであることから、に限られます。いずれにしても、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/21(日) 23:25:48|
  2. 11年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

阪大理系数学'11年後期[2]

阪大理系数学'11年後期[2]

またはとする。nを自然数とし、1以上n以下の整数値をとるm項の数列のうち、に対してを満たすものの個数をとする。
(1) を求めよ。
(2) を満たす自然数jを求めよ。
(3) 極限値を求めよ。

解答 '85[1]を思わせるような問題ですが、結局は、空間の格子点の数を求める問題です。は平面上の格子点、は空間内の格子点、ということです。(3)は、厳密に計算しなくても、はさみうちにすることを想定して不等式の形を作るようにしましょう。

まずは、
(1)の意味がつかめないと先に進めないので、として、具体的な場合を調べてみます。
を考えるので、とします。を満たす
kは、のみで、となります。
のとき、ともに
1しかとり得ないのですが、これでは、は満たされません。です。
のとき、は、
12をとり得るのですが、を満たすのは、の場合のみで、です。
のとき、は、
123をとり得るのですが、を満たす数列は、のみで、です。
のとき、は、
1234をとり得るのですが、を満たす数列は、のみで、です。
という組み合わせは、
nが偶数のときには可能ですが、nが奇数のときには可能でないので、nが偶数か奇数かで場合分けして考えることになります。

(1) jを自然数とします。
のとき、
 ・・・①
を満たす自然数の組の個数を数えることになります。なのでです。この範囲のの値を1つ決めると、①を満たす自然数は、通りの値をとり得ます。よって、
 (等差数列のj項の和。等差数列を参照)
のとき、
 ・・・②
を満たす自然数の組の個数を数えることになります。なので、は整数ではないので、となります。この範囲のの値を1つ決めると、②を満たす自然数は、通りの値をとり得ます。よって、
 (等差数列の項の和)
以上より、
......[]

(2) では、なので3項の数列を考えることになります。題意より、
では、
従っては、を満たす自然数からなる数列の個数です。
では、
従っては、を満たす自然数からなる数列の個数です。
これより、は、,つまり、
(は整数でない)となる自然数の組の個数に一致します。となる自然数の組の個数は、(1)よりとなります。よって、
 ・・・③
を満たす自然数jは、 ......[]
また、では、
従っては、を満たす自然数からなる数列の個数です。
と同様に、は、,つまり、となる自然数の組の個数に一致します。よって、
 ・・・④

(3) ③,④より、jを自然数として、


・・・・・・

辺々加えると、のとき、
 ・・・⑤ (階差数列を参照)
同様に、のとき、
 ・・・⑥
を満たす自然数の組は存在しないので
⑤,⑥より、にかかわらず、
 ・・・⑦
また、kの偶奇で場合分けして考えるのは面倒なので、はさみうちにすることを考えて、(1)の結果を利用し、


 (Σの公式を参照)
よって、⑦は、
 ・・・⑧
のときのときですが、なので、⑧の左辺はを代入したものと比較し、⑧の右辺はを代入したものと比較します。
⑧の左辺について、
⑧の右辺について、

各辺をで割り、
ここで、とすると、はさみうちの原理より、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/20(土) 09:31:30|
  2. 11年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

早大理工物理'11年[3]

早大理工物理'11[3]

可動壁によって体積を変えることができる直方体の容器に1モルの単原子分子理想気体が封入されている。容器内部の理想気体を「系」、容器の外部を「環境」と呼ぶことにする。容器の壁を通して系は環境と熱のやりとりができる。はじめに、可動壁を固定し、環境の温度をTにしてしばらく待ったところ、系は熱平衡に達し、系の圧力がPになった。重力の影響は無視できるとし、以下の問に答えよ。なお、気体定数はRとする。

1 まず、可動壁を固定したまま、環境の温度をだけゆっくり上げた。この過程で系が環境から吸収した熱量はいくらか。
2 つぎに、環境の温度をに保ったまま、可動壁の固定を解除し、外力によってつりあいを保ちながら可動壁をゆっくり動かしたところ、系の圧力がPにもどった。この過程で系の体積はどれだけ変化したか。
3 最後に、系の圧力をPに保ったまま、環境の温度をゆっくり下げてTにもどした。この過程で系が環境から吸収した熱量はいくらか。
4 以上の一連の過程を1サイクルとする熱機関の効率はいくらか。ただし、問2の過程で系がした仕事をWとせよ。

つぎに、理想気体を用いた熱機関の代わりに、石けん膜を用いた熱機関を考えてみよう。

図に示すように、可動棒によって面積を変えることができる長方形の枠に石けん膜が張られている。石けん膜の張力により、可動棒の石けん膜と接する部分には単位長さあたり
f の力が図の左向きに働く。石けん膜を「系」、石けん膜の外部を「環境」と呼ぶことにする。系の面積は枠で囲まれた長方形の面積に等しいとし、系の内部エネルギーは単位面積あたりuであるとする。可動棒をゆっくりと動かして系の面積を変化させてもfuは系の面積によらず一定であるとする。ただし、fuは環境の温度Tによって変化するものとする。
はじめに、可動棒を固定して系の面積を
Aにし、環境の温度をTにして系が熱平衡に達するまでしばらく待つ。系を構成する物質の出入りはなく、重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。

5 まず、可動棒の固定を解除し、外力によってつりあいを保ちながら可動棒をゆっくりと右に動かし、系の面積をだけ増加させる()。この過程で系がする仕事はいくらか。
6 問5の過程で系が環境から吸収する熱量はいくらか。
7 つぎに、可動棒を再び固定し、系の面積をに保ったまま、環境の温度をだけゆっくり下げる()。この過程で系が環境から吸収する熱量はいくらか。ただし、本問以降の問では、fuはそれぞれ (abは正の定数、)と表せるとせよ。また、本問以降の問では、答はabATxyの中から必要なものを用いて表し、さらに、であるためyに比べては無視できるとせよ。
8 つづいて、可動棒の固定を解除し、環境の温度をに保ったまま、外力によってつりあいを保ちながら可動棒をゆっくり左に動かし、系の面積をAにもどす。この過程で系が環境から吸収する熱量はいくらか。
9 最後に、可動棒をもう一度固定し、系の面積をAに保ったまま、環境の温度をゆっくり上げてTにもどす。以上の一連の過程を1サイクルとして熱機関が構成される。この熱機関が1サイクル中にする仕事はいくらか。また、この熱機関の効率はいくらか。

解答 後半の石けん膜の問題が何をやりたいのか意味不明なのですが、題意をしっかり把握し、熱力学第1法則を用いて丁寧に解答しましょう。

1 最初の状態体積Vとすると、状態方程式
 ・・・①
 ・・・②
可動壁固定のまま環境の
温度だけ上げるので、気体は定積変化をします。変化後の状態をとします。定積モル比熱の式より、系が環境から吸収した熱量は、
......[]

2 環境の温度を保ったまま可動壁を動かすので、気体は等温変化をします。変化後の状態をとします。状態において気体の圧力Pです。状態における気体の体積とすると、状態方程式
 ・・・③
③÷①より、
 ∴
この過程での体積増加は、②を用いて、
......[]
この過程では、気体の温度が変化しないので、気体の内部エネルギーが変化しないことに注意してください。

3 系の圧力を保ったまま系の温度だけ変化させるので、気体は定圧変化をします。定圧モル比熱の式より、この過程で系が環境から吸収した熱量は、
......[]

4 1サイクルの中で、系がを吸収するのは、の過程(1の過程)と、の過程(2の過程)で、の過程で吸収した熱量熱力学第1法則より、
1サイクルの中で系が吸収した熱量は、
の過程は定積変化なので系は仕事をせず、の過程で系のした仕事Wの過程は定圧変化で系のした仕事は、
 (気体のした仕事を参照)
1サイクルの中で系がした正味の仕事は、
熱機関の
熱効率は、
......[]

5 系が可動棒に及ぼすと可動棒が動く方向が逆向きなので、系は負の仕事をします。可動棒の長さl,可動棒が動いた距離dとすると、系がした仕事は、
より、
......[]

6 系の内部エネルギーの増分は、
熱力学第1法則より、系が環境から吸収した熱量は、
......[]

7 題意に即して、以後、fuTの関数であることを明示する形でと書きます。
です。また、可動棒に働くが左方向に距離d動く過程において、系のする仕事Wは、面積変化を用いて、
 ・・・④
と書けます。系の面積Sのときの内部エネルギー温度Tが一定の過程における内部エネルギーの変化は、
 ・・・⑤
となります。環境の温度だけ下がったときの温度のときのuの値は、微小量を無視すると、
 ・・・⑥
7の過程では可動棒を固定し系の面積に保つので系は仕事をしません。
温度Tからへと変化するので、⑥を用いて系の内部エネルギーの変化は、

系が環境から吸収する熱量は、
......[]

8 ⑤,⑥より内部エネルギーの変化は、
可動棒が左方向に動くので系は正の仕事をします。系のした仕事は、を無視して、
熱力学第1法則より、系が環境から吸収する熱量は、
......[]

9 最後の過程では、系の面積が一定の過程なので、系は仕事をしません。内部エネルギーの変化は、
この過程で系が吸収する熱量は、
5の過程は温度T一定の等温変化と考えられます。問6は、
となります。なので、1サイクルの中で系が吸収した熱量
熱機関が1サイクル中にする仕事は、

......[]
熱機関の熱効率は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/14(日) 21:13:22|
  2. 11年物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東工大数学'11年後期[2]

東工大数学'11年後期[2]

次の式
 ()
で表されるxy平面上の曲線Cを考える。定数に対し、点Pを通り、x軸に垂直な直線と曲線Cの交点をQとする。曲線Cx軸,y軸および直線で囲まれた図形の面積をとし、△OPQの面積をとする。
(1) tを用いて表せ。
(2) 極限を求めよ。

解答 頻出の定積分に関する問題です。いろいろな計算法がありますが、追記で詳しく検討してみます。

(1) より、 (双曲線を参照)
よりなので、 ・・・①
よって、
Qの座標は
三角形
OPQは、底辺t,高さより、面積は、 ......[]
 ・・・② (定積分と面積を参照)
①を用いて、
 (置換積分(その3)を参照)



 ・・・③
よって、③より、
......[]

(2)
のとき、
 (極限の公式を参照)
......[]

追記.(1)の②の定積分は、以下のように計算することもできます。
xのとき、θ (ただし、) (置換積分を参照)
とおくと、
θのときu
 (分数関数の積分を参照)

とおくと、




 ・・・④
より、 ()
④に代入して、
(1)の定積分については、[解答]のように部分積分法と組み合わせて計算するのがよいと思いますが、とおいて置換積分することもできます(早大理工'10[4]を参照)
ですが、いずれにせよ、かなり計算が面倒です。
ここでは、かなり技巧的に過ぎますが、ラクに計算できる技巧を紹介しておきましょう。
東大理系'10[4]の問題に盛り込まれている考え方です(東大理系10年前期問題[4]の検討を参照してください)
 ・・・⑤
とおきます。

xのとき、u
この置換により、であれば、
とすぐに計算できます。
の場合は、少々工夫します。
より、
 ・・・⑥
⑤+⑥より、
これより、





とすることもできますが、として、以下のようにするともっとラクに行きます。
 (ここがポイント)
1項だけ置換積分して、






TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/12(金) 13:36:49|
  2. 東工大数学'11年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

一橋大数学'11年前期[5]

一橋大数学'11年前期[5]

AB2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
123の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
45の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。
(1) n回目にAがサイコロを投げる確率を求めよ。
(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。
(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。

解答 頻出タイプの確率連立漸化式の融合問題です。

(1) 1回目にAがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
n回目にBがサイコロを投げる確率をとします。
1回目にBがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
回目に
Aがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Aがサイコロを投げて(確率)123の目が出た(確率)か、Bがサイコロを投げて(確率)45の目が出た(確率)ときです。よって、
 ・・・①
回目にBがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Bがサイコロを投げて(確率)123の目が出た(確率)か、Aがサイコロを投げて(確率)45の目が出た(確率)ときです。よって、
 ・・・②
①+②より、
よって、数列は、初項:,公比:
等比数列
 ・・・③
①-②より、
よって、数列は、初項:,公比:の等比数列。
 ・・・④
(③+④)÷2より、
......[]

(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つのは、n回目にAがサイコロを投げて(確率)6の目が出た(確率)場合です。
......[]

(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/11(木) 11:06:34|
  2. 一橋大数学'11年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

一橋大数学'11年前期[4]

一橋大数学'11年前期[4]

abcを正の定数とする。空間内に3ABCがある。
(1) ABを底辺とするとき、△ABCの高さをabcで表せ。
(2) ABC,△OAB,△OBC,△OCAの面積をそれぞれSとする。ただし、Oは原点である。このとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(3) (2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。

解答 (2)(3)は、コーシー・シュワルツの不等式: (不等式の証明を参照)を利用します。

(1)
 (内積を参照)
 (三角形の面積を参照)

よって、辺ABを底辺とするときの△ABCの高さhは、
......[]

(2) OABの面積は、,△OBCの面積は、,△OCAの面積は、
というベクトルを考えると、です。また、というベクトルを考えると、
がなす角をθ として、コーシー・シュワルツの不等式:より、

(3) (2)の不等式において、等号が成立するのは、,つまり、 // のときです。
このとき、 // より、,即ち(2)の不等式において等号が成り立つための条件は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/10(水) 00:57:41|
  2. 一橋大数学'11年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

一橋大数学'11年前期[3]

一橋大数学'11年前期[3]

xy平面上に放物線C2APがある。線分APCは、Aとは異なる点Qを共有している。
(1) 定数pの存在する範囲を求めよ。
(2) を、Cと線分AQで囲まれた領域とし、を、C,線分QP,およびy軸とで囲まれた領域とする。の面積の和が最小となるpの値を求めよ。

解答 数学Ⅱの微積分の基本問題ですが、やや計算が面倒です。

(1) 線分AP (直線の方程式を参照)
放物線Cの方程式と連立して、


線分APCが共有点をもつとすると、線分APの存在範囲の中でもつはずです。線分APCQ以外の共有点をもつために、以外の解について、
......[]

(2) の面積は、
の面積は、







として、
として、
より、増減表は
(3次関数の増減を参照)
p1

2

0



増減表より、の面積の和が最小となるpは、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/08(月) 13:07:22|
  2. 一橋大数学'11年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

一橋大数学'11年前期[2]

一橋大数学'11年前期[2]

Oを中心とする半径rの円周上に、2ABとなるようにとりとおく。この円周上に点Cを、線分OCが線分ABと交わるようにとり、線分AB上に点Dをとる。また、点Pは線分OA上を、点Qは線分OB上を、それぞれ動くとする。
(1) の最小値をrθ で表せ。
(2) とおく。の最小値をaθ で表せ。
(3) さらに、点Dが線分AB上を動くときのの最小値をrθ で表せ。

解答 正弦定理や余弦定理の適用が浮かぶのですが、うまくいきません。座標設定してみてもラチがあきません。ですが、円周上に位置する点の、直径に関する対称点は、円周上に来る、ということに気づけば容易に解決します。

(1) 直線OAに関するCの対称点をE,直線OBに関するCの対称点をFとすると、EFは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。また、です。
 ・・・①
となりますが、線分EFと、線分OA,線分OBとの交点をとすると、より、
 ・・・②
①,②より、
これは、の最小値がEFであることを示しています。
余弦定理より、
 (倍角の公式を参照)
より、
よって、の最小値は
......[]

(2) 直線OAに関するBの対称点をG,直線OBに関するAの対称点をHとすると、GHは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。線分AB上の点Dの直線OAに関する対称点Iは線分AG上の点です。Dの直線OBに関する対称点Jは線分BH上の点です。
です。
 ・・・③
となりますが、線分IJと、線分OA,線分OBとの交点をとすると、より、
 ・・・④
③,④より、
これは、の最小値がIJであることを示しています。
余弦定理より、
 (倍角の公式を利用)
より、よって、の最小値は ......[]

(3) Oから線分ABに垂線OK (Kは線分ABの中点です)を下ろし、の大きさをφ ()とすると、
Dが線分AB上を動くときのの最小値は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/05(金) 08:24:37|
  2. 一橋大数学'11年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0