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早大理工物理'11年[2]

早大理工物理'11[2]

図に示すように、高さを調節できる発射台から水平面上の台車に向けて大きさの無視できる鉄球を水平右方向に打ち出す。台車は、水平で厚みの無視できる上板およびばね定数kのばねから構成されている。上板の質量をMとし、ばねなど台車のそれ以外の部分の質量は無視できるものとする。上板はなめらかで、鉄球に対する反発係数をeとする。ばねと上板は、台車に対して鉛直方向になめらかに運動するものとする。ばねの伸縮が平衡状態のときの上板の位置を鉛直方向の座標原点とし、発射高さはこの点から測った高さとする。床面はなめらかで、台車は水平方向に自由に運動できる。鉛直上方及び右方を座標の正の向きとし、重力加速度の大きさをgとする。
上板を平衡位置で静止させた後、質量
mの鉄球を発射高さHの位置から初速度で水平方向に打ち出し、静止した台車の上板に落下させた。ただし、とする。

1 鉄球が台車の上板に到達したとき、鉄球の速度の水平成分、鉛直成分はいくらか。
2 鉄球が上板に衝突した直後、上板の速度の水平成分、鉛直成分はいくらか。
3 衝突後、上板は鉛直方向には単振動した。その振幅はいくらか。本問以降の問では、一度衝突した鉄球が再び上板に衝突することはないものとする。

高さHの位置から打ち出した鉄球により上板が単振動しているとき、2つ目の質量mの鉄球を水平方向に打ち出し、その初速度を調節して台車の上板に落下させた。発射高さおよび発車時刻を調節したところ、衝突後上板の振動が止まり、振幅が0になった。

4 2つ目の鉄球の発射高さをとするとき、高さの比はいくらか。

発射高さを再びHとし、上板を平衡位置で静止させる。上板には質量の無視できる電磁石が設置されていて、鉄球を吸着・切り離し、あるいは鉄球に力を加えることができるものとする。今度は上板と同じ質量Mの鉄球を初速度で水平方向に打ち出し、静止した台車に落下させた。鉄球が上板に衝突する瞬間に、電磁石を動作させて鉄球を上板に吸着させた。

5 衝突直後の台車の速度はいくらか。

衝突後ばねが収縮しはじめ、最も収縮した時点で電磁石の動作を止めたところ、鉄球は上昇途中に上板を離れた。

6 ばねが最も収縮したときの上板の鉛直方向の位置を求めよ。
7 鉄球が上板を離れるときの上板の鉛直方向の位置を求めよ。
8 鉄球が上板を離れるときの鉄球の速度の鉛直成分は、衝突する直前に鉄球のもつ速度の鉛直成分の何倍か。

一方、衝突後ばねが最も収縮したときから、電磁石の動作を完全には止めずに、磁力を調節して上板から鉄球に下向きに一定の力をかけ続けたところ、鉄球は上板から離れることなく単振動を続けた。

9 鉄球が上板から離れることなく単振動を続けるのに必要な力の大きさの最小値はいくらか。

解答 問1~問5あたりは基本問題ですが、問6以降、物理的考察を行うのにも緻密な神経を必要とする難問です。

1 鉄球は水平方向にを受けず、速度成分で等速度運動します。鉄球が上板に到達したとき、鉄球の速度の水平成分は、 ......[] のままです。
このときの鉛直成分として、等加速度運動の公式より、

より、
......[]

2 鉄球と上板との衝突で、鉄球は上板から水平方向にを受けず力積も受けないので、上板の受ける水平方向の力積0,衝突直後の上板の速度の水平成分0 ......[]
衝突直後の、鉄球の速度の鉛直成分,上板の速度の鉛直成分とします。鉛直方向について、衝突前後の運動量保存より、
 ・・・①

反発係数の式より、


①に代入して、

1の結果を用いて、
......[]

3 上板の単振動振動中心は鉛直方向の座標原点(はじめにいた位置)で、ここで衝突しているので、問2で求めた速度の大きさ速さの最大値です。上板の単振動の周期角振動数,公式:より、問2の結果を用いて、上板の単振動の振幅は、
......[]

4 2つ目の鉄球が、上板の単振動の振動中心以外のところで衝突した場合、ここで一時的に速度0になっても、振動中心に向けて動き出してしまいます。従って、振動が止まり振幅0になった、ということは、振動中心で衝突したということで、衝突直前の上板の速度です(衝突直後と大きさは同じで向きは逆)1つ目の鉄球との衝突直前の鉄球の速度の鉛直成分は、問1としてです。2つ目の鉄球の衝突直後の鉄球の速度とすると、衝突直後の上板の速度0なので、衝突前後の鉛直方向の運動量保存より、
 ・・・②
反発係数の式より、


②に代入すると、

2の結果を代入して、

......[]

5 衝突直後に一体となった鉄球+上板(台車)速度の水平成分として、衝突前後の水平方向の運動量保存より、

......[]

6 衝突直後に一体となった鉄球+上板の速度の鉛直成分として、衝突前後の鉛直方向の運動量保存より、


これより、衝突直後の鉄球+上板の運動エネルギーは、

衝突直後の
力学的エネルギーは、鉄球+上板の運動エネルギー,ばねは自然長の位置からだけ縮んだ状況にあり、ばねの弾性エネルギー,ばねが最も収縮したときの力学的エネルギーは、運動エネルギー0,鉄球+上板の位置X (に注意)として、重力位置エネルギー,ばねの自然長からの縮みは、初期位置のばねの縮みからさらにだけ縮んでいてで、ばねの弾性エネルギー
衝突直後とばねが最も収縮したときの
力学的エネルギー保存より、


 ・・・③
に注意して、

......[]
注.重力弾性力位置エネルギー(距離つり合いの位置から考える)から考えることもできます。つり合いの位置は、より、自然長の位置からだけ下方で、衝突位置つり合いの位置から上方、ばねが最も収縮した位置つり合いの位置からだけ下方です。力学的エネルギー保存則の式は、

ここからも③が得られます。

7 離れるのが自然長の位置であることはよく知られた事実ですが、ここでは、運動方程式を立てて確認してみます。
鉄球と上板の位置xにおける加速度aとします。鉄球が鉛直方向に受けるは、重力垂直抗力Nで、鉄球の鉛直方向の運動方程式は、
 ・・・④
上板が鉛直方向に受ける
は、重力垂直抗力,問6と同様にばねの縮みなので、ばねの弾性力,上板の運動方程式は、
 ・・・⑤
④,⑤より、を消去して、

 ・・・⑥
鉄球と上板が離れるとき,よって、
......[]

8 鉄球が上板を離れるときの速度の鉛直成分Vとして、離れるときの力学的エネルギーは、鉄球+上板の運動エネルギー,離れる位置自然長の位置なのでばねの弾性エネルギー0,鉄球と上板の重力位置エネルギー
衝突直後と、鉄球と上板が離れるときとの、力学的エネルギー保存より、

より、

......[]

9 鉄球+上板の単振動の振動中心は、ばねが自然長位置から縮んだ位置で、上板の初期位置(自然長位置から縮んだ位置)から下方です。単振動の振幅は、問6の結果を用いて、

鉄球+上板が単振動を続けると、最もばねが伸びたときの位置は、振動中心から振幅だけ上方で、

⑥より、
位置における垂直抗力Nと大きさF磁力の和は、


単振動を続けるために、
位置においても鉄球と上板が離れず、である必要があります。


必要な
の大きさFの最小値は、 ......[]


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一橋大数学'11年前期[1]

一橋大数学'11年前期[1]

(1) 自然数xyは、および
をみたす。xyの組をすべて求めよ。
(2) 自然数xyzは、および
をみたす。xyzの組をすべて求めよ。

解答 (2)は、(1)と同様にして、両辺にをかけてみても難しいものがあります。そこで、xyが大きくなると、が小さくなり、1に近くなり、が大きく、つまり、zが小さくないと等式が成立しなくなる、というところに着目します。なお、整数を参照してください。

(1) 与式両辺にをかけて、

 ・・・①
このまま、とするとうまく行かないので、左辺でをくくり出せるように①に2をかけておきます。


と、15の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、
よって、
......[]

(2) まず、具体的に、数値をあてはめて感触を探ります。
とすると、です。与式より、
両辺にをかけます。



と、40の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、で不適です。
これで、という解が
1組得られました。
とすると、 ・・・②
よって、
これより、
②を満たせないので、の場合には題意を満たすの組はありません。
以上より、
......[]


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東大文系数学'11年[1]

東大文系数学'11[1]

x3次関数が、3つの条件
を全て満たしているとする。このようなの中で定積分
を最小にするものを求め、そのときのIの値を求めよ。ただし、の導関数を表す。

解答 数学Ⅱ分野の微積計算問題です。

 ・・・①
 ・・・②
①+②より、 ∴  ・・・③
①-②より、 ∴
 ・・・④
 ( )
 (定積分の公式を参照)

③より、
 (微分を参照)



 ( )

 (2次関数の最大最小を参照)
これより、Iは、のとき、最小値: ......[] をとります。
このとき、より、
Iを最小にするは、
......[]


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慶大理工数学'11年[B1]検討

慶大理工数学'11[B1]検討

[B1]
(解答はこちら) 円周上の点と、この円周が乗っている平面と直交していない直線上の点との距離を考える問題は、古くは東大理系'83[3]に前例があります。東大'83[3]2変数関数の問題で、一方の変数を固定し他方を動かして最小を考える、というタイプの問題ですが、1変数で考えて行ける本問の方が複雑で計算が面倒です。
試験会場では、解答のような方針で力尽くで強行突破するか、効率的合理的な解法を追求するか、放棄するか、悩む問題と言えます。他の問題のレベル、残り時間との相談になるでしょう。但し、本問解答程度の計算であれば、充分に試験時間に正確に解ききるだけの計算力を身につけておくべき、ということは確かです。
本問で多少工夫するとすれば、
Pに対して、点Rをとり、PREGの交点をSとすると、△GQSと△GEAが相似であることから、
GSQS = AGAE = 1
として、



これより、のとき、PQは最大値をとり、のとき、PQは最小値をとる。
というように解答することもできます。
ですが、より良い解法を追求するあまり、他の問題を検討する時間が不足してしまう、というのであれば、力尽くで攻略する方が早い、ということもある、ということは念頭に置くようにしてください。



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  1. 2011/07/27(水) 22:43:11|
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慶大理工数学'11年[A4]検討

慶大理工数学'11[A4]検討

[A4]
(解答はこちら) 確率と漸化式の融合問題です。解答にも書いたように、n回目操作終了後の状態から1回の操作でどのように回操作終了後の状態に推移していくかと考えることにより漸化式を作ることができます。漸化式ができてしまえば定型問題なので、計算練習を積んできた受験生であれば容易に最終解答に到達できるでしょう。ですが、数学を得意科目としていても、問題文から漸化式を作るまでを苦手とする受験生をよく見かけます。漸化式の練習を積んでいても、漸化式を作ることができなければ、宝の持ち腐れです。誤った漸化式から計算を進めても正解できるはずがありません。ですが、このタイプの問題は慶大では頻出です。問題文から漸化式を作る、ということ自体をトレーニングしておくべきです。
このタイプの入試問題では、各回の状態が、せいぜい、
2種類、あるいは、3種類程度になるように問題が工夫されています。問題文をサラっと読んだだけでは、数多くの状況があるように読めても、いろいろな制約がつけられていて、結局数種類の状態しか起こり得ない、ということにまず気づくべきです。その状態を(A)(B)(C)としましょう。n回の操作後に状態(A)(B)(C)にある確率をとすると、回の操作後に状態(A)(B)(C)にある確率はとなります。問題文からうまく漸化式を作れないという受験生は、まず、この点を克服してください。
次に、
n回操作後状態(A)にあったときに、1回の操作で、状態(A)に移る確率,状態(B)に移る確率,状態(C)に移る確率を求めます。n回操作後状態(B)にあったときに、1回の操作で、状態(A)に移る確率,状態(B)に移る確率,状態(C)に移る確率を求めます。さらに、n回操作後状態(C)にあったときに、1回の操作で、状態(A)に移る確率,状態(B)に移る確率,状態(C)に移る確率を求めます。
以上のうちで、回操作後状態
(A)になるのは、確率がとなる場合で、n回目操作後に、状態(A)(B)(C)にある確率をであることを考慮すると、回操作後状態(A)になる確率は、

となります。同様に、回操作後状態
(B)になる確率は、


となります。さらに、各回ごとに、状態
(A)か状態(B)か状態(C)のどれかしか起こらない、ということであれば、全確率が1となること、つまり、

ということを考慮すれば、漸化式を、に関する式で表すことができます。
こうしたタイプの問題が苦手だという受験生も、上記のようにして、
56題、練習すれば苦手意識を克服できるはずです。
こうした受験技巧は、受験に留まらず、電気回路や、気象予測などに限らず、社会事象一般のシミュレーションを行う上での基本技術となるので、避けて通らずに、必ず修得するようにしてください。



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  1. 2011/07/24(日) 22:21:57|
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慶大理工数学'11年[A3]検討

慶大理工数学'11[A3]検討

[A3]
(解答はこちら) 空間内で直線のベクトル方程式を考え、直線とxy平面との交点を求め、その軌跡の一部が境界線となる領域の面積を求める、というストーリーの問題です。
交点を求めるまでは単なる計算問題で、空所補充問題という性格から、ミスには細心の注意が必要です。軌跡は、直角双曲線で、回転すれば、
(p:定数)という形の方程式になることは、わかりきったことなので、試験会場では、空所補充問題という性格からすれば、分かり易い特定の1点の動きからpを求める、という発想をとるべきです。直線回転するときも、やはり、傾きの直線になることは、座標回転しなくてもわかります。厳格な論証によって確認しようとすると、大きく時間的ロスをすることになります。こうした問題を演習する際にも、厳格な数学的論証が必要か、ということになると、必要ないというべきでしょう。
厳格な論証を省くのであれば数学ではない、という意見もあると思いますが、であれば、数学の入学試験では解答への過程を書かせるべきであり、最終解答だけではなく途中過程も含めて評価対象とするべきなのです。空所補充式の試験をする側が責任を負うべきであって、試験形態に合わせた発想をすることは、受験生の責任とは言えません。
よく言えば、手間をかけて厳格な論証するばかりが数学ではない、与えられた条件から、鋭く素早く直感的に結論を見抜く能力もまた数学である、という出題者の想いがあるのでしょう。



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  1. 2011/07/22(金) 11:30:41|
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慶大理工数学'11年[A2]検討

慶大理工数学'11[A2]検討

[A2]
(解答はこちら) 3次関数、4次関数に関するてんこ盛り問題です。解と係数の関係、3次関数・4次関数の極値を導関数で割った余りを使って計算する技巧を使い、さらに、定数を分離する技巧も動員します。うなりをあげる難問、というわけではありませんが、総合的な高い学力が要求されている問題です。
3次方程式の解を、のグラフから考えようとするとうまくいかないのですが、定数を分離してを、の形に直して考えることにより解決します。
引っかかるとすればのときのの挙動でしょうか?はさみうちの形を作ってきちんと論理的に答案を書こうとすると面倒ですが、ここでは、空所補充式であることに合わせて、のとき感覚的にだろうと考えて答えておけば充分でしょう。一昨年の
09[A4]の解答では、きちんとやっていますので参考にしてください。


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  1. 2011/07/21(木) 22:06:36|
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慶大理工数学'11年[A1]検討

慶大理工数学'11[A1]検討

[A1]
(解答はこちら) 昨年あまりの易しさに度肝を抜いた慶大理工は、今年は平年並みに戻りました。昨年は何か特殊事情があったのかと勘ぐりたくなってしまいます。
[A1]は基本問題と言っても、教科書レベルだった昨年[A1]とは雲泥の違いがあります。慶大理工では、このくらいの難度でなければ合否の差をつけることができず試験にならないのではないでしょうか。
(1)は解答では部分積分法でやってありますが、置換積分法でも簡単です。とおくと、xのときt





空所補充形式なので、計算ミスに注意しましょう。

(2)1次変換は、問題集でよく見かける定型的頻出問題なので、試験会場で手が止まらなかった受験生も多いと思います。もう一ひねり入っている問題でもよいのでは、という気がします。
(3)は、難問ではありませんが一本道には行かないでしょう。小問集合の問題と言っても、焦ることなく落ち着いて丁寧に調べないと、ハマり易い問題です。つまらないことですが、が分母でが分子になっている、というようなことにも注意する必要があります。


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  1. 2011/07/20(水) 15:28:48|
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早大理工数学'11年[5]検討

早大理工数学'11[5]検討

[5](解答はこちら) 前半は平凡なベクトルの内積計算を行う基本問題ですが、(4)はまともに計算しようとするのでは大変なので、手が止まるかも知れません。きちんと説明しようとすると難しいですが、(3)の結果を使って頂点Cから△OABを含む平面Hに下ろした垂線の足Pが、直線ABに関して、△OABと反対側にあることを指摘しておけばよいでしょう。
ベクトルの入試問題としては頻出タイプの問題です。こうした問題でこそ、日頃の努力の成果を発揮して、試験会場で成功を確信したいものです。



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  1. 2011/07/19(火) 22:07:18|
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早大理工数学'11年[4]検討

早大理工数学'11[4]検討

[4](解答はこちら) 楕円が題材として取り上げられていますが、接線の方程式を使う程度で、楕円としての性質を使うわけではなく、微分を持ち出すまでもない最大最小の問題です。解答では、正接の加法定理と相加平均・相乗平均の関係を用いています。楕円や2直線のなす角を考えるあたりは教科書レベルの基本問題と言えますが、相加平均・相乗平均の使い方には少々注意が必要です。
本問では、
2直線のなす角の正接が、楕円上の点の座標x座標とy座標の積に依存して変化します。2直線のなす角の最大を、最大として考えることになりますが、という形で相加平均・相乗平均の関係を利用することはできません。なぜかと言うと、が一定値にならないからです。が一定値cになるであれば、として、「のとき最大値をとる」とすることができます。しかし、本問ではは定数になりません。
例えば、「のとき、の最小値を求めよ。」という問題を、相加平均・相乗平均の関係を用いて、

(等号はのとき成立) ・・・() より、
は、,即ち、のとき、最小値:
(小さい方のをとるべきでしょうが)をとる。
などとするのは間違いです。なぜなら、
()の右辺が定数にならないからです。
正しくは、は、のときに最小値:をとります。
とすると、であって、においてにおいてより、において、は、のとき、最小値をとります。確かに、のときとはなりますが、が最小のとき
()と、が最小のとき()とが一致していません。この場合には、相加平均・相乗平均の関係を用いて最小値を求めることはできないのです。
そこで、早大理工
'11[4]では、が一定値となることに着目して、相加平均・相乗平均の関係を使いました。ミスし易いポイントなので、よく注意してください。


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  1. 2011/07/18(月) 14:26:10|
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早大理工数学'11年[3]検討

早大理工数学'11[3]検討

[3](解答はこちら) 易問というわけではありませんが、よく勉強してきた受験生であれば手が止まるところはない、という問題です。高度な受験技巧は必要ではありません。教科書レベルのことが確実に身についているか、ということが問われています。適度なボリュームもあり、計算練習には絶好の問題と言えます。
本問でやや気になるのは、問題文に特段の注意書きがなく、を前提としてよいのか、ということです。試験会場では、まずは知識として利用した、として答案を書いておき、時間的余裕があれば、証明をつけておく、ということでよいと思います。
解答では、という関数の増減を調べて、において、を導き、両辺をでわって、としてはさみうちを使いました。
の増減を調べて、から、においてとして行くこともできます。
他にも、などが必要になる場合があります。試験会場で時間が許せば、
は、の増減を調べ、をかけて、において、としてはさみうちを使えば導けます。
は、とおき、において、を順次示せば、としてはさみうちを使えば導けます。



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  1. 2011/07/14(木) 19:12:00|
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早大理工数学'11年[2]検討

早大理工数学'11[2]検討

[2](解答はこちら) 解答にも書きましたが、円の内側を転がるもう一つの円の円周上の点の軌跡は、ふつう、ハイポサイクロイドになります。但し、本問ではやや事情が異なります。出題者は、計算が簡単にするために、通常の問題と設定を変えたと思われますが、受験生にとっては、ややありがた迷惑で、おかしいなあ、と試験場でまごついた受験生が多いのではないかと思います。
落ち着いて考えれば、むしろ解き易くなるように配慮されているので、正しい方針を立てたのであれば、自信を持って冷静に解き進めればよいのです。むしろ、今まで解いてきた問題や、常識的なことがら、経験的なことなどに影響されずに、目の前の問題と向き合って解くべきです。
xの方程式:がただ1つの解をもつ、と言われたときに、それは重解で、のときだ、と決めつけてはならないのです。であれば、1次方程式で、方程式はただ1つの解しかもちません。
この世界の事象の中には、受験生が自分がどんなに勉強を積み重ねてきたと自信を持っていても、受験生の経験の範囲では及ばないような特異な事象が多数あります。未知の世界、未知の問題が存在することを素直に受け入れて、予見に邪魔されることなく、目の前の問題に冷静沈着に向き合うようにしましょう。



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  1. 2011/07/13(水) 22:38:02|
  2. 早大理工数学'11年
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早大理工数学'11年[1]検討

早大理工数学'11[1]検討

[1](解答はこちら) 法線が出てきますが、実質的に数学Ⅱの範囲の微分の問題です。点から、3次関数のグラフに3本の接線が引けるとき、点の存在範囲を求めるような問題(帯広畜産大08[2])では、本問と同様の解法で解くことになります。こうした問題は、数学Ⅲまで履修する理系よりも文系受験生の方が得意にすることが多いのですが、理工系大学でも出題されることがあります。数学Ⅲ履修者も必ず経験しておくべきタイプの問題です。
本問では、
(3)の途中に出てくる3次方程式:で、定数t を分離して、とすれば、数学Ⅲの範囲の問題になります。理系受験生は、こうした方が単純でやり易いかも知れません。ただ、必ずしもうまく定数分離ができるわけではないので、数学Ⅱで解く方法も必須です。


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  1. 2011/07/13(水) 01:38:17|
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京大物理'11年[3]検討

京大物理'11[3]検討

[3](解答はこちら) 単振動がからむ気体の総合問題ですが、前半は基本問題、(2)で空気バネの単振動を扱います。難しそうに見えますが、しばしば難関大の入試問題で見られるテーマです。本問は、断熱変化での単振動ですが、ポアッソンの関係式に問題文中の近似公式を適用すれば、単振動の運動方程式が得られます。なお、東大'96年前期[3]で、断熱変化と等温変化とで単振動の周期を比較する問題が出題されています。本問問2の解答のは、「は一定である」のの逆数になっていることに注意すれば、比熱比をとして、断熱変化での周期は等温変化での周期の倍になることがわかります。
1で熱効率を求めますが、熱効率は、気体がした仕事を、吸熱時に吸収した熱で割ったものです。気体がした仕事には、された仕事も含めますが、吸熱時に吸収した熱には排熱は含めないことに注意してください。断熱変化では、気体は熱のやりとりをしません。各状態を出発点として断熱変化のp-V図を描き、それよりも右上に移るときは吸熱、左下に移るときには排熱と判断します。本問では、ACの変化が吸熱の変化です。


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  1. 2011/07/09(土) 18:45:30|
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京大物理'11年[2]検討

京大物理'11[2]検討

[2](解答はこちら) 本問は、最後はコイルを移動させる力の仕事が回路に発生するジュール熱に等しいことを考えるので、結局、頻出タイプの磁気の基本問題ですが、途中で、近似が出てきたり、なじみの薄い直線電流の作る磁界や相互誘導が出てきたりするので、意外と得点しにくい問題です。
難関大学を目指す高校生は、さしあたって本問のような問題を完全理解するレベルを目指してください。特殊な受験技巧も必要なく、教科書の記述が完全理解できていれば満点も充分に可能な問題です。逆の言い方をすると、本問がスラスラと解けないようでいて、難解で技巧的な問題を試してみても無意味なのです。自然現象は、物理法則に基づいて起こります。受験技巧に従って起こるのではありません。物理法則から離れてしまうのであれば、「物理学」ではないのです。まずは、教科書の物理法則の記述をしっかり習得するところから受験準備をスタートさせるようにしてください。また、本ウェブサイトに掲載されている問題や問題集の問題を解いていて、行き詰まるようなときには、必ず、教科書の基礎事項に戻って考え直すようにしましょう。
また、本問では、誘導電流や磁界の向きにも注意が必要です。途中の符号のミスが連鎖反応的に大きな失点につながってしまうので、電流や磁界の絶対値だけでなく、向きにも神経を使うようにしてください。



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  1. 2011/07/05(火) 14:25:55|
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京大物理'11年[1]検討

京大物理'11[1]検討

[1](解答はこちら) 力学の基本問題のようですが、問題文の意図が曖昧で、(1)の問1など、どう答えてよいのかわからない点のある受験生泣かせの問題です。解答するための条件が読み取れない場合は、勇気を出して試験監督に聞いてみる、ということが必要かも知れません。
想像するに、出題者はもともと、
東大2008[3]などを意識して、微積分を意識した問題を出題したかったのが、難し過ぎる、という非難を浴びて問題が改作され、妥協に次ぐ妥協の末に本問に落ち着いたのですが、問題の原型は完全に失われて、意味不明の問題になってしまった、というようなことではないかと思います。原則的に、制限時間内に解ききれるように、という制約のもとに入試問題は作問されているはずなので、こうしたことが起こり得ます。出題意図や作問過程は情報公開されていないので、問題の意図がつかめない、という状況が起こりうる、ということを、受験生は想定しておく必要があります。
本来、微分方程式を解いて解決するような問題を、高校の範囲内の数学の知識を使って物理的な検討を加えながら解く、というタイプの入試問題は、例えば、線形
1階微分方程式を解いて解決する程度の定型的な問題(雨粒が速度に比例する抵抗力を受けて終端速度に達する問題、抵抗を含むコンデンサーやコイルの過渡現象の問題、コの字型回路を運動する導体棒の問題など)で良いのではないか、と、思います。本年の東工大前期[2]などよく工夫されていると思います。入試問題では、問題のオリジナリティーよりも、勉強している受験生が確実に解けて、勉強不足の受験生が確実に解けない問題、を目指して欲しいと思います。


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  1. 2011/07/04(月) 12:43:44|
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京大理系数学'11年[6]検討

京大理系数学'11[6]検討

[6](解答はこちら) 理系86[4]を彷彿とさせる、手のつきにくい図形の論証問題ですが、理系09年前期乙[2]と比べれば容易な問題です。本問のような問題でこわいのは、実はできるのに、真剣に考えもせず、多分自分には無理な難問だと決めつけて放棄してしまう、ということです。時間的に厳しければやむを得ないのですが、試験会場から駅までの帰り道、周囲から、あれは見かけ倒しだった、というような声が聞こえてきたら、悲しい気持ちにさせられませんか?
本問が考えにくいのは、「
.......が存在することを示せ」という問題文のためです。解答に書いた通り、京大ではよく見かける問題文で、理系08年前期乙[3]などで、対処法をあらかじめ研究しておく必要があります。本問では、これがクリアできれば、3点から等距離の点が、3点を頂点とする三角形の外心を通り、この三角形に垂直な直線上にあることは明らかなので、あともう1点とが等距離になるためにはどうしたら良いかを考えるだけで最終解答に至ります。問題文を見ただけで断念してしまうのはもったいない問題です。
本問で座標をとってベクトルで考える方針をとると、
3つのベクトルが1次独立であることと3次の行列が逆行列をもつことの関連を考えることになるのでやや難しくなります。減点は食らうかも知れませんが、解答追記のような流れにしておくことになるだろうと思います。
ただ、京大受験生としては、
2次の行列について、のとき、
が存在
1次独立
というところから、
3次の行列についても同様であることを知っていて欲しいところです。
3つの縦ベクトル1次独立であれば、任意の縦ベクトルは、1次結合、

の形に表すことができて、がただ
1通りに決まります。このことは、とすれば、が存在して()

であることを意味します。



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