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京大理系数学'11年[5]検討

京大理系数学'11[5]検討

[5](解答はこちら) 前半部分は、平面の方程式、点と平面の距離の公式の利用により容易に解くことができますが、仮に、平面の方程式に関する知識がなくても、諦める必要はありません。空間ベクトルの問題として解答することができます。
後半では、
3次方程式の解と係数の関係、対称式を利用します。直接、積xyzはどうなるか調べに行くと難しくなってしまいます。京大では、かつて、理系05年前期[3]、文系00年後期[4]、など、3次方程式の解と係数の関係を利用する問題をよく見かけたように思いますが、最近、見かけなかったので盲点だったかも知れません。意外と、後半部分で苦労した受験生が多いのではないかと思います。
後半部分だけを抜き出した簡単な問題として、

のとき、のとり得る値の範囲を求めよ。
という問題では、

より、

これより、とおいて、
xyzを解とするt3次方程式:


が、重解も含めて
3実数解を有することから、とおいて、

の極大値:
の極小値:
3実数解をもつので、
これより、


を用いて、
となりますが、こうした問題を問いた経験があれば、本問は何でもなかったでしょう。



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  1. 2011/06/28(火) 11:59:00|
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京大理系数学'11年[4]検討

京大理系数学'11[4]検討

[4](解答はこちら) 不等式の証明問題ですが、[1][3]と比べて、この問題は少し考え込むかも知れません。いきなり与不等式のまま示すのは厳しそうです。
そこで、簡単な場合を考えてみよう、ということになります。の場合、与不等式は、

となります。これであれば、条件を用いて、簡単に示せそうです。あとは、
1項ずつ追加していって、ということで数学的帰納法により示す、ということは京大受験生であれば考えつけるでしょう。
問題文の不等式
 ・・・
()
1項追加する場合、左辺を意識すれば、両辺にをかけるでしょうし、右辺を意識すれば、両辺からを引くことになります。
後者でやろうとすると、

となりますが、


中カッコ内のは、最悪の場合,・・・,に非常に近いと、に近い数となり、となりうるので、うまく行きません。そこで、解答のように
()の両辺にかけるのだろう、ということになります。これでも、まだ一本道とは言えませんが、問題文の条件を利用することによって切り抜けられます。
本問のように、試験会場でいろいろ格闘することを要求する問題の方が京大数学の本来の姿です。
[1][3]が基本的出題とは言っても、京大数学が易化して入りやすくなったとは言えないので、京大志望者は、しっかりと試験準備を行うようにしてください。


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  1. 2011/06/27(月) 11:57:02|
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京大理系数学'11年[3]検討

京大理系数学'11[3]検討

[3](解答はこちら) 絶対値記号を含む関数と直線とで作られる図形の面積を求める問題ですが、うまく工夫すれば、定積分公式:を利用して、複雑な計算をすることなく解答することができます。漠然と計算してしまわないで、何とかしてラクに正解しよう、という問題意識を持つことが重要です。
とは言っても、本問の面積
Sを、

として計算しても大した計算ではありません。あまり解法に懲りすぎて、うまく計算することに時間をかけ過ぎるくらいなら、多少面倒でも腕尽くで計算する方が結局早かった、ということもあり得ます。工夫することは大切ですが、過ぎたるは及ばざるがごとし、ということも言えるので注意してください。



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  1. 2011/06/27(月) 01:19:39|
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京大理系数学'11年[2]検討

京大理系数学'11[2]検討

[2](解答はこちら) 行列、1次変換の基本問題です。行列の積の計算規則と、1次変換の意味さえわかっていれば正解できるので、[1]と同様に落とせない問題です。
今年、試験実施中に試験問題が携帯電話から外部質問サイトに漏れ、解答が試験時間中に質問サイトに掲載されてしまうという問題の起きた京大入試数学ですが、
621日にフランスで行われたバカロレア試験(高卒学力認定&大学入学資格試験)で、やはり数学の問題が漏洩して、大騒ぎになっているそうです。
フランス当局は、漏洩した問題のみ採点対象から外し試験自体は有効、という対応を発表しましたが、この問題を解いた受験生が不利、この問題を解かずに他の問題を解いた受験生が有利になるという不公平が生じる、というクレームがついているそうです。フランスでは、試験問題が漏洩しても容易に解答が書けないような問題を出題せよ、という議論が起きているそうですが、京大の本問あたりはどうでしょうか?携帯通信機器を用いて外部に漏れてしまえば、簡単に正解を答案用紙に書くことができてしまいます。
教科書の例題レベルで基本を見る問題であっても、もう少し、工夫した問題にすることはできないものか、と、思います。パラメーターを
1つ増やして整数解の問題にするとか、面積の変化の具合と行列との関係を検討させるとか、試験会場での対応を求めるような工夫の余地があるのではないでしょうか。


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  1. 2011/06/24(金) 11:19:41|
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京大理系数学'11年[1]検討

京大理系数学'11[1]検討

[1](解答はこちら) (1)は確率の基本問題、(2)は定積分の教科書レベルの計算問題です。こうした問題を落とすと致命傷になってしまうので、試験会場ではよく見直すようにしてください。
こうした問題が出題されるのは、採点していて、基本を無視していて見る気にもならない答案が続出するからではないかと思います。高難度の問題で、ただでさえ答案の流れがつかみにくい答案が続出する中、細部まで調べてみても全く見るべきところが無かった、という答案に当たると、採点者も、基本をしっかりやっておけよ、と言いたくなるのではないかと思います。実際の試験でどういう採点が行われているかわかりませんが、もしかすると、
[1]のできが悪い答案では、基本が理解できていないのに見ても時間のムダと判断されて[2]以降を見ない、ということをやっているかも知れません。そうした意味でも、[1]のような基本問題を気を抜かずに慎重に解答するようにしましょう。
また、難関大学でも、全体のレベルを下げることなく、こうした基本問題を混じえて出題する傾向にあります。難関大学だからと言って教科書の基礎事項を無視した勉強法は無意味です。種々の受験技巧も基礎事項を理解できた上でのものです。教科書の基礎事項にも目を光らせるようにしてください。



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  1. 2011/06/20(月) 12:03:35|
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東工大物理'11年前期[3]検討

東工大物理'11年前期[3]検討

[3](解答はこちら) 音波の波面で光が反射する時の光の干渉の問題です。見かけないテーマですが、親切過ぎるとも言える誘導がついているので、誘導に乗って進めて行けばまごつくことはないでしょう。
本問でつまずくとすれば、「位相差」という言葉です。高校物理の現課程では、
波の式:
が、発展事項扱いになっているので、「位相」という言葉に抵抗があるかも知れません。波の式の中カッコ内が「位相」です。「位相」の正弦を考えるので「角度」と言えば親しみやすいと思いますが、媒質を伝わる波のどこにも角度は見えないので、「角度」ではなく「位相」という言葉を使うわけです。
1つ分の位相はです。波1つ分の長さが波長λで、波1つ分の時間が周期Tです。従って、長さx内には波が個あり、時間tの間には波が個あります。長さxの位相は,時間Tの位相はとなります。
本来なら、波の式を発展事項にするべきではなく
(以前は、普通に物理の教科書に記述されていた式です)、波の式と三角関数の性質を駆使して干渉や重ね合わせを考えれば、波動分野も興味深いのですが、数式を使って物理現象を考えると難しくなるという誤った迷信のために、波の式を発展事項にしてしまうのには困ったものです。三角関数の性質を波動現象を結びつけて習得すれば、数学と物理をまとめて勉強することができて効率的ということも言えます。
物理の学習の際に、最初に定性的理解を求める先生もいますが、個人的には、これが物理離れを起こす原因ではないかと感じます。物理学を真に理解するためには、定性的理解は必要不可欠なのですが、定性的理解には深い思考力が要求されます。実力がつくまでは、数式やグラフなどを駆使して、まずは物理現象の定量的理解に努めるようにするのが、物理を得意科目にする秘訣です。



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  1. 2011/06/19(日) 20:32:51|
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東工大物理'11年前期[2]検討

東工大物理'11年前期[2]検討

[2](解答はこちら) 電磁誘導をベースとした回路の問題ですが、一筋縄では片付かない問題です。[A][B]は基本問題のように見えて、考えどころがあります。回路を貫く磁束が変化すれば、その変化を抑える向きに誘導起電力が生ずるのですが、その誘導起電力は回路中のどこに生じるのでしょうか?単に電磁誘導の法則を考えるだけではまごつくかも知れません。ですが、そもそも起電力は、磁場中を運動する導体内の電子にローレンツ力が働くことにより生ずる、と、考えれば、誘導起電力は、磁場を横切る方向に運動する導体中に発生するはずです。こうしたことを、試験中に冷静に物理の基本事項に則して考えないと、基本問題であってもミスすることになりかねないので注意しましょう。[B](c)の出題者の狙いはそこにあります。
[C]の過渡現象がやや悩みます。微分方程式を使って過渡現象を考えたことのある受験生だと、範囲外じゃないか、と、感じるかも知れません。ですが、本問では、電流対時間のグラフの接線の傾きが、グラフから読み取れるように工夫されていて、自己誘導による起電力を入れてキルヒホッフの法則から立式すれば、解答できます。回路やグラフを見つめたまま立ち往生してしまわないで、とにもかくにも回路の式を立ててみる、ということが重要なのです。(f)のグラフは、自己誘導現象や、デジタル回路内の電圧波形をオシロスコープなどで観察した経験のある受験生ならグラフを見ただけで解答できたでしょう。はともかくが考え込むかも知れません。(e)で考えたにおける電流のグラフの傾きと比較して、では、起電力が逆向きになる分、2倍の電流変化をすることに気づければ、式を立てずとも考察だけでとなるとわかるはずです。
回路の問題であるようでいて、公式に代入して計算して終わり、というのではなく、物理的な考察を要求しているあたりが、東工大らしい格調高い問題になっています。



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  1. 2011/06/14(火) 23:23:44|
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東工大物理'11年前期[1]検討

東工大物理'11年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 本問は、繰り返し衝突の問題ですが、まともに体当たりすると、ボリュームの厚さに腰砕けになります。[A](d)では、さっさとそのことに気づいて、見方を変える決断をする必要があります。東工大物理では時間が充分にあるので焦る必要はありません。試験会場では、ある程度計算を進めて、その複雑さが見えてきたところで、両おもりの相対速度が公比eの等比数列になることを利用すればよいのです。この辺は、受験技巧とまでは言えませんが、繰り返し衝突の問題なので、等比数列を考えるのは常套手段と言えます。うまく連立漸化式を作って、数学的処理に持ち込んでしまえば、機械的な計算で最終解答に到達できます。[B]でも、ある程度カンを働かせて手を抜くことを考えないと、時間内にやりきれなくなる心配が出てきます。
途中の計算結果が複雑になってくる場合、計算ミスをしているのか、解法がまずいのか、見落としている条件があるのか、あるいはそういう問題なのか、なかなか見通せないと思います。最悪、時間不足で最終結果に到達できない恐れがあるような場合には、正確に求めようとすると複雑化しそうなパラメーターを文字において、一応解答らしく仕上げておく、ということも考えてみてください。東工大物理の答案用紙は、最終結果だけでなく、途中経過も記述するようになっているので、序盤のミスにより最終結果が合わない場合でも、途中の物理的考え方に対してプラス点を期待することができます。本問では、そうした工夫をしているうちに、意図せずとも自然に最終ゴールにたどり着けてしまったりします。
細かいことですが、本問の問題文では、「速度」と「速さ」が両方出てきます。運動量保存の問題では、パラメーターが速度なのか速さなのか、ということに充分注意してください。言わずと知れたことですが、速度であれば、質量との積を足していけば、機械的に運動量保存の式ができます。ですが、速さを使って運動量保存の式を書く時は、正方向を向くのか負方向を向くのか+,-をつけて明示します。この注意を怠ってミスすると、本問では取り返しのつかないことになるので、気をつけてください。



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  1. 2011/06/11(土) 23:08:54|
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東工大数学'11年前期[4]検討

東工大数学'11年前期[4]検討

[4](解答はこちら) 毎年、どこかの大学で途方もない難問が出題されますが、昨年は、東北大理系'10年後期[4]、一昨年は東大理系'09年前期[6]、本年は、この問題がそうした難問です。
出題者が何を考え、何を受験生に求めて、こうした問題を出題するのかわかりませんが、解答のように、まともに取り組むのではとても時間内にはやりきれません。合格したければ、
(1)の答案としては、
「直線と平行な直線が正方形
Dと唯1点で交わるときと、2交点をもつように交わるときとを比較して、2交点をもつときの方が、回転させる図形の境界線と回転軸との距離が大きくなるので、回転体の体積も大きくなり、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わる。」
くらいにとどめ、
(2)に全力をつぎ込むべきだと思います。
本問で大変になってしまうのは、正方形
Dを回転軸について対称に折り返すとき、出っ張る部分やくぼんでしまう部分ができてしまうところにあります。素直に回転軸のまわりの回転体の体積の公式を使うにしても、円筒分割の技巧を使うにしても、場合分けも面倒で、しかも計算が非常に煩雑です。(1)の解答中の(iii)
は、mkの値によっては負にもなるので、を示すのも容易ではありません。本問は、難しい、というだけでなく、ボリュームも凄まじいので、深入り禁物、正面から体当たりすることを考えてはいけません。
ですが、不充分解であってもどれほど取り組めるか、というような観点で採点しているのであれば、適当にごまかして書いておけばよい、という風潮をあおることになり、個人的には、入試問題としては不適切なのではないかと思います。出題者に制限時間内に充分に解答を書き上げることが可能な問題を工夫して頂けるように、再考をお願いしたいと思います。



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  1. 2011/06/06(月) 12:58:52|
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東工大数学'11年前期[3]検討

東工大数学'11年前期[3]検討

[3](解答はこちら) [1][2]同様に、この問題も標準的な問題です。東工大受験生であれば、手が止まるところはないでしょう。の形は、'92年前期[1]にも登場します。数学の教科書でグラフ作図の例題などとして取り上げられている関数なので、分母の2次式を0とおいてできる2次方程式が、実数解をもたない場合、重解をもつ場合、相異なる2実数解をもつ場合、それぞれどんなグラフになるか、くらいはつかんでおきましょう。
本問の解答では、
2次方程式を利用しましたが、単に微分しても大した手間はかかりません。工夫すればより簡単な解法も可能でしょう。関数の式を見た途端に微分計算を始めてしまうのは考え物ですが、試験会場では、微分して増減表を書いて最大最小を考える、というのは、一番安全確実な方法です。ある程度試行錯誤して簡単解法が思いつけないときには、微分計算をためらってはいけません。


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  1. 2011/06/02(木) 13:53:17|
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