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京大物理'11年[2]

京大物理'11[2]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

1のように長方形の導線ABCDからなるコイル1と、正方形の導線EFGHからなるコイル2xy平面内に置かれている。コイル2の中心は原点Oにあり、導線FGEHx軸に平行、導線EFGHy軸に平行な直線で、長さはいずれもである。コイル2の電気抵抗はRである。コイル1の中心はx軸上の位置にあり、導線ABCDの間隔はでそれぞれy軸に平行な直線である。2つのコイルは重ならない()とする。コイル1の導線ABCDの長さは、コイル1の幅やコイル2の一辺,および、コイル1とコイル2の中心間の距離Lに比べて十分大きい。したがって、x軸の近くでは、導線ADBCに流れる電流がつくる磁界(磁場)の強さは、導線ABCDに流れる電流がつくる磁界に比べて十分小さく、無視できる。また、x軸の近くでは、導線ABCDに流れる電流がつくる磁界は、無限に長い直線電流がつくる磁界とすることができる。これらのコイルは真空中に置かれており、真空の透磁率をとする。

(1) まず、コイル1ADCBの向きに電流を流したときにできる磁界について考えよう。導線ABに流れる電流x軸の近くの位置 (ただし、を除く)につくる磁界は、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、 イ である。x軸の近くの位置 (ただし、を除く)にコイル1がつくる磁界は、導線ABCDの寄与を加えて ロ となる。

(2) コイル1に流れる電流がつくる磁界のもとで、中心が原点にあるコイル2を貫く磁束について考えよう。ただし、以下では、はコイル2の一辺に比べて十分大きいとし、に比べて十分小さいような原点付近の位置における磁界を考える。ここで、実数ε の絶対値が1に比べて十分小さいときに成立する近似式を用いると、コイル1ADCBの向きに電流を流したとき、導線ABに流れる電流がつくる磁界 イ は、xy平面内の原点付近の位置では、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、 ハ と近似できる。この近似を導線CDにも適用すると、コイル1に流れる電流がxy平面内の原点付近につくる磁界は ニ のようにx1次関数で近似できる。以下でも、bに比べて十分小さく、近似式 ニ が成立する範囲内で考える。このとき、コイル2を貫く磁束は、コイル2の中心での磁束密度に、コイル2の面積を乗じた値として計算できるので、 ホ となる。コイル1に流れる電流が時間変化するとき、コイル2に誘導起電力が発生する。このとき、コイル1とコイル2からなる回路の相互インダクタンスは ヘ となる。

(3) 次に、コイル1ADCBの向きに流す電流は一定とし、正方形コイル2x軸に沿って正の向きに一定の速さvで移動させる場合を考えよう。時刻tにおけるコイル2の中心のx座標をとする。コイル2の運動は原点付近に限り、2つのコイルは重ならず、また、(2)と同様に、bに比べて十分小さく、近似式 ニ が成立するものとする。時刻tにおいて、コイル2を貫く磁束は ト となる。コイル2の電気抵抗の値はRであるから、コイル2に生じる誘導起電力によりコイル2に流れる電流は、EFGHの向きを正として チ となる。ただし、コイル2の自己インダクタンスは無視できるとする。このとき、単位時間当たりにコイル2に発生するジュール熱は リ となる。

1 時刻tにおいて、コイル1に流れる電流のつくる磁界からコイル2全体が受ける力の大きさと向きを、導出の過程も示して求めよ。

解答 相互インダクタンスを求めるのでやや目新しいですが、問題そのものは基本的です。

(1)() 導線ABを流れる電流が位置に作る磁界は、右ねじの法則より、のとき紙面に垂直に裏から表に向かう向きで、位置と導線ABとの距離であることから、 ......[] (電流のつくる磁界を参照)
() 導線CDを流れる電流が位置に作る磁界は、右ねじの法則より、のとき紙面に垂直に表から裏に向かう向きで、位置と導線CDとの距離であることから、 ()
導線ABと導線CDの寄与を加えて、位置にコイル1がつくる磁界は、
......[]

(2)() 微小量εと見て問題文の近似式を使うと、導線ABを流れる電流が原点付近の位置に作る磁界は、
......[]
() ()と同様にして、導線CDに流れる電流が原点付近の位置に作る磁界は、
導線ABと導線CDの寄与を加えて、コイル1が原点付近の位置に作る磁界は、


......[]
() コイル2の中心での磁界は、()の結果でとして磁束密度,コイル2面積,よって、コイル2を貫く磁束は、 ......[]
() ()の結果を用いると、時間の間に電流変化したときにコイル2に発生する起電力の大きさVは、電磁誘導の法則より、
......[]

(3)() ()の結果でとして、コイル1が原点付近の位置に作る磁界は、
()と同様にして、コイル2を貫く磁束は、
......[]
() コイル2を貫く磁界は、導線ABが導線CDよりもコイル2の近くにあるので、導線ABの影響を受けて導線ABがコイル2の中心に作る磁界の向き、つまり正の向きとなり、コイル2x軸正方向に移動すると、コイル2を貫く磁束は増加するので、負の向きの磁界を作る向き(レンツの法則を参照)、つまり、EHGFの向きに誘導電流を流す向きに誘導起電力が発生します。EFGHの向きの電流を正としているので、誘導電流の向きは負です。
コイル2に発生する起電力の大きさVは、電磁誘導の法則より、
コイル2に流れる負の電流Iは、オームの法則より、
......[]
() 単位時間当たりにコイル2に発生するジュール熱は、
......[]

1 ()で求めた単位時間当たりのジュール熱は、コイル2x軸に沿って正の向きに一定の速さvで移動させる外力F仕事率に等しくなります。
より、
コイル2は等速度運動するので、力のつり合いより、コイル1に流れる電流のつくる磁界からコイル2全体が受けるは、この外力Fと等大逆向きで、大きさは、
......[]
向きは、x軸負方向 ......[]


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  1. 2011/04/30(土) 21:46:02|
  2. 京大物理'11年
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京大物理'11年[1]

京大物理'11[1]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、十分広いフロントガラス面上を面に沿って回転せずに水平方向(1の矢印⇒の方向)に移動する質量Mのワイパーに関して、以下の問いに答えよ。
フロントガラスは平面で、水平面と角度
β をなすものとする。ワイパーは、重力に加えてフロントガラス面に対して垂直方向にの力を受け、フロントガラス面に押しつけられている。ワイパーは、時刻0に位置Aにおける静止状態から矢印⇒の方向に動き始め、時間とともに速度を増し、時刻において速度となった後、一定速度で運動を続ける。時刻より速度を減じ、しばらくして停止する。ワイパーとフロントガラスとの間の静止摩擦係数および動摩擦係数をそれぞれμ (),重力の加速度をgとし、水膜の有無による摩擦係数の違いおよび空気の抵抗は無いものとする。

(1) まず、水膜がない状況でワイパーを動かした場合について考える。
(11) 時刻0からの間にワイパーに一定の力を水平方向(1の矢印⇒の方向)に加えたところ、時刻0からの間にワイパーの速度は0からまで増加した。このとき、ワイパーの加速度は ア となり、加えた力は イ で与えられる。時刻0からの間にワイパーを動かすのに要した仕事は ウ となる。ワイパーの速度は時刻に達し、その後からの間は一定値となるように力が加えられる。時刻からワイパーに加えていた水平方向の力を0としたところ、ワイパーは距離 エ 進み、時刻 オ に停止した。
(12) 時刻0からと時刻からの間で、それぞれ一定の加速度が得られるように、ワイパーに種々の水平方向の力を加えた。その結果、図2の折線abcdの動きは実現したが、時刻における速度がより小なる動きは実現しなかった。
1 折線dの時刻0からの間の傾きが満たすべき条件を、その導出過程とともに示せ。
2 時刻にて速度が実現する図2の運動abcdの中で、時刻0からまでに水平方向の力のワイパーにする仕事が最小となる運動を選ぶとともに、最小となる理由を記せ。

(2) 次に、フロントガラス面上に降雨があり、雨が止んだ後にフロントガラス面上に一様な厚さの水膜が形成された場合について考える。
水膜の厚さは薄く、重力により落下しないものとする。ワイパーは位置Aから動き始め、図2の直線cに従い、通過した領域の雨水を全て集めながら水平方向(1の矢印⇒の方向)に進む。ワイパーにより集められた雨水はワイパーと一体となって動き、付着した雨水の質量だけワイパーの質量が増加した状態と同じとみなされるものとする。ワイパーが単位長さ進むと、ワイパーには質量nの雨水が付着する。また、ワイパーに付着していない水膜は静止しており、ワイパーの運動に影響を与えないものとする。
時刻
0からt ()の間にワイパーが通過する距離をsとすると、ワイパーが集める雨水の質量はとなるので、時刻tにおいてワイパーに加えるべき水平方向の力は カ となる。
時刻からまでは一定速度で運動する。このとき、時刻
t ()において加えるべき水平方向の力を求める。時刻tにおけるワイパーと雨水を合わせた質量と速度は、時刻における付着水量をで表すと、それぞれおよびとなり、時間後の時刻におけるワイパーと雨水を合わせた運動量の増加は、 キ ×となる。ワイパーに作用する水平方向の合力は キ で一定となり、時刻tにおいて加えるべき水平方向の力は ク となる。

解答 基礎事項を問う易問も、問題文の表現のまずさから(出題者が意図的にそうしているのかも知れませんが)難問になってしまう(物理的に難問というわけではありません)という例です。不明確な問題文で空所補充形式、というのでは、どういう採点をしているのかと思ってしまいます。なぜ、こんなワイパーなどで設問するのかという点についても意図をつかみかねます。

(1) 1矢印⇒方向(水平方向)にワイパーに加えたとすると、ワイパーに働くは、及び、フロントガラス面に垂直に働く,ガラス面から受ける垂直抗力N,鉛直下向きの重力,⇒と逆向きの動摩擦力です。
このうち、フロントガラス面に垂直な方向に働くは、図1で左下向きの,左上向きのN重力のこの方向の成分 (左下向き)です。この方向では力のつり合いが成立しています。
 ∴
() 時間の間の速度変化なので、ワイパーの加速度は、 ......[]
() 水平方向に働くは、矢印⇒方向の,矢印⇒と逆向きの動摩擦力です。
ワイパーの運動方程式
ワイパーに加えた
は、 ......[]
() 時刻0からの間にワイパーが移動した距離は、図2の部分に運動cを示す直線が作る三角形の面積として、です(変位・速度・加速度を参照)
ワイパーの最初の運動エネルギー0時刻でのワイパーの運動エネルギー,この間に動摩擦力がした仕事時刻0からの間にワイパーを動かすのに要した仕事(がした仕事)Wとして、エネルギーの原理より、
......[]
() 時刻以降では、がなくなり、停止するまでに移動した距離sとして、ワイパーの運動エネルギーから0になり、この間に動摩擦力がした仕事です。エネルギーの原理より、
......[]
() 停止した時刻をとして、運動量の原理より、
 ∴ ......[]
1 問題文の「時刻における速度より小なる動きは実現しなかった」という記述の意味するところですが、ワイパーの運動に何らかの制約があって、時刻における速度vが、となるということです。この制約は何かを考えることになります。
においては、ワイパーに水平方向に一定のが働き、ワイパーは等加速度運動をします。ここには、速度に制約を与えるような条件はありません。従って、制約ができるとすれば、時刻の動き出す時点です。最初ワイパーの速度0で停止していたので、までワイパーに働いていた摩擦力静止摩擦力であり、を加えてワイパーが動き出すためには、最大静止摩擦力を上回る必要があります。よって、
時刻におけるワイパーの速度vとして、
における運動方程式
よって、

以上よりv下限値について、
......[]
追記.問題文に「時刻における速度より小なる動きは実現しなかった」と書かれているので、上記のように解答しましたが、「傾きが満たすべき条件」という言い方からして、出題者は、
という答え方を想定しているような気がします。
2 ()と同様にして、水平方向の力のワイパーにする仕事,ワイパーの移動距離として、エネルギー原理の式を立てると、

従って、移動距離が最も小さい運動でが最小となります。ワイパーの移動距離は図2v-tグラフとt軸の間で挟まれる部分の面積なので、が最小となる運動はv-tグラフが最も下を通るd ......[]
理由.運動エネルギーの変化はどの運動も等しい。運動dが移動距離最小で動摩擦力に抗してする仕事が最小だから。 ......[]

(2)() 時刻t ()における加速度で一定です。時刻t におけるワイパー+雨水の質量で、ワイパーが受ける重力の大きさはとなり、ワイパーが受ける動摩擦力の大きさはとなります。ワイパーに加えるべき水平方向のとして、ワイパーの水平方向の運動方程式は、
......[]
() 時刻t における運動量時刻における運動量です。運動量の増加は、

......[]
() 動摩擦力の大きさは,ワイパーに作用する水平方向の合力なので、ワイパーに加えるべき水平方向のとして、力のつり合いより、
......[]


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  1. 2011/04/27(水) 21:23:25|
  2. 京大物理'11年
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早大理工数学'11年[5]

早大理工数学'11[5]

四面体OABCにおいてである。また、とする。以下の問いに答えよ。
(1) 内積を求めよ。
(2) OABを含む平面をHとする。H上の点Pで直線PCHが直交するものをとる。このとき、となるxyを求めよ。
(3) 平面Hを直線OAABBOで右図のように7つの領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キにわける。点Pはどの領域に入るか答えよ。
(4) ABで△ABCと△OABのなす角は鋭角になるか、直角になるか、それとも鈍角になるかを判定せよ。ただし、1辺を共有する2つの三角形のなす角とは、共有する辺に直交する平面での2つの三角形の切り口のなす角のことである。

解答 1次結合を作るだけなのですが、試験会場では意外と苦しむかも知れません。

(1) です。
より、
 (内積を参照)
......[]
より、
......[]
より、
......[]

(2)
直線PCHが直交する、ということは、が、Hを作る2つのベクトルのいずれとも垂直になる、ということです。(1)を使って内積計算をします。
より、
 ・・・①
より、
 ・・・②
①×6+②より、
 ∴ ......[]
②より、 ∴ ......[]

(3) (2)より、 ・・・③
となりますが、の係数が負であることから、点Pは直線OBよりも左側にあります。の係数が正であることから、点Pは直線OAよりも上側にあります。よって、点Pの位置は、ウかエです。ウとエを分けているのは直線ABなので、直線ABよりも右か左かあるいは直線AB上かを調べればよいことになります(平面ベクトルの応用を参照)
③を
1次結合で表すことを考えます。
の係数、の係数がともに正なので、点Pが入るのは、領域ウ ......[]
追記.と表すとき、であれば、点Pは直線AB上の点です。のときは点Pは直線ABよりO側の点です。のときは点Pは直線ABに関してOと反対側の点です。③では、なので、ここからも、点Pが領域ウにあることがわかります。

(4) Pから直線ABに垂線PKを下ろし、△OABを含む平面内で点Kを通るベクトルと、△ABCを含む平面内で点Kを通るベクトルとの内積の正負を考えればよい(2三角形のなす角は、内積が正なら鋭角、0なら直角、負なら鈍角)のですが、内積の計算は複雑です。ここでは、(3)を利用します。
2つの三角形が共有する辺ABに直交する平面として、点Kを通り直線ABに垂直な平面αを考えると、三角形OABを含む平面と平面αとの交線は、点Kで直線ABと直交します。三角形ABCを含む平面と平面αとの交線は直線CKです。直線CKは、直線ABと直交します。点Cから△OABを含む平面Hに下ろした点が点Pで、点Pは、直線ABの右側、△OABは辺ABを除いて直線ABの左側にあるので、△ABCと△OABのなす角は鈍角 ......[]


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  1. 2011/04/25(月) 11:36:38|
  2. 早大理工数学'11年
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早大理工数学'11年[4]

早大理工数学'11[4]

xy-平面上の原点をOとし、楕円 ()Eとする。E上の点PにおけるEの法線とx軸との交点をQとする。点Pの範囲を動くとき、が最大になる点Pを求めよ。

解答 は直線OPと法線のなす角なので、直線の傾きから正接の加法定理を考えることになります。

P楕円上の点なので、
よって、 ・・・①

PにおけるEの接線は、
この傾きは,よって、法線と
x軸正方向とのなす角をαとして、法線の傾きはです(2直線の平行・垂直を参照)
直線
OPx軸正方向とのなす角をβ として、直線OPの傾きは
なので、法線と
x軸との交点Qの部分にあることから、
よって、

 (正接の加法定理を参照)
 ( )
は一定値ではないので、相加平均相乗平均の関係の形では使うことはできませんが、①の右辺が一定であることに着目して、相加平均相乗平均の関係より、
(不等号の等号が成立するのは,つまり、のとき)
より、

不等号の等号が成立するのは、のときで、このとき、①より、
が最大となる点
Pは、 ......[]


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  1. 2011/04/23(土) 19:54:48|
  2. 早大理工数学'11年
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早大理工数学'11年[3]

早大理工数学'11[3]

とする。以下の問いに答えよ。
(1) のグラフの概形を次の点に注意して描け:の増減、グラフの凹凸、のときのの挙動。
(2) nを自然数とする。に対してxを動くときのの最大値を,最小値をとし、

とおく。を求めよ。
(3) およびを求めよ。
(4) nに対してであることを示せ。

解答 極限微分に関する基本問題です。こうした問題で着実に得点できるように、基本反復演習をしておいて欲しいというのが出題者の意図でしょう。
なお、とおいて置換成分することにより、なので、
(3)の結果は最初から見えています。

(1)  (商の微分法を参照)
とすると、 ∴ ,このとき、
とすると、 ∴
,このとき、
のとき、より、
これより、
(y)漸近線になります。
のときのの挙動を調べるために準備をします。
とおくと、

とすると、 ∴ ,このとき、
x0

×0
×

増減表より、 (関数の増減を参照)
で割ると、
において
のとき、
はさみうちの原理より、
また、のとき、,これより、
(x)が漸近線になります。
の増減表は以下のようになります。

x0
e

()
×0
×0
×(0)

以上より、のグラフは右図太線。

(2) より、 ()において、は単調増加です。この範囲におけるの最大値,最小値は、


 (Σの公式を参照)
......[
]


......[]

(3) (極限の公式を参照)を利用するために、(2)の結果で、で割ってをかけます。で割ってをかけます。
のとき、
(数列の極限を参照)
......[]

(4) において,
範囲内では、恒等的に,あるいはに等しい、ということはないので、
 (定積分と不等式を参照)
より、
各辺をについて加え合わせると、
より、


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  1. 2011/04/22(金) 12:55:24|
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早大理工数学'11年[2]

早大理工数学'11[2]

xy-平面上の円Cの内側を半径の円DCに接しながらすべらずに転がる。時刻tにおいてDは点Cに接しているとする。Dの周上の点Pの軌跡について考える。ある時刻において点Pにあり、Dの中心が第2象限にあるとする。以下の問いに答えよ。
(1) 時刻におけるDの中心の座標を求めよ。
(2) 1象限において、点PC上にあるときのPの座標を求めよ。
(3) Pの軌跡をxy-平面上に図示せよ。

解答 円の内側を転がるもう一つの円の周上の点の軌跡は、ふつう、ハイポサイクロイドになります。本問では、ちょっと図を描いてみれば、時刻にあった円D上の点が、x軸上のの部分を動くことはすぐわかります。点Pが最初にどこにいたのかがわからないのですが、最初の位置と中心を結ぶ半径がx軸となす角をαとおけば、ハイポサイクロイドの類題と同じように考えて行けます。

(1) 時刻tにおける円Dの中心の位置をQ Qを通りx軸に平行な直線と円Dとの交点のうち、x座標の大きい方をRとして,接点Tとします。
QTOは一直線上にあるので、時刻tにおけるQの座標はです。また、
 ・・・①
時刻において接点Tは点Aにあります。このとき、 ()とします。
D上の点で時刻Aに位置していた点をSとすると、時刻tにおいて、円D上の円弧TSと円C上の円弧TAの長さは等しいので、とすると、 (一般角を参照)より、

これより、時刻
tにおいて、
①に代入して、
 ・・・②
Pは、,これより、Pは直線上にあります。また、のときには、点Pは原点Oに来ます。
Pは時刻に来るので、
より、

②に代入して、 ・・・③
では、
よって、
において、
Dの中心Qが第2象限にあることから、


D
の中心Qの座標は、 ......[]

(2) Pは直線上の点ですが、この直線と円Cとの交点は、
1象限においては、
1象限において、点PC上にあるときのPの座標は、 ......[]

(3) ③より、
より、
求める
軌跡は、直線の部分で、図示すると右図太線。


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  1. 2011/04/20(水) 01:19:04|
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早大理工数学'11年[1]

早大理工数学'11[1]

xy平面上の放物線Cとする。以下の問いに答えよ。
(1) C上の点におけるCの法線の方程式を求めよ。
(2) を通る法線の数を求めよ。
(3) を通るCの法線の数が2となるためのt に対する条件を求めよ。

解答 (3)では、結局、3次関数の極値を調べることになります。

(1) C
微分すると、
における接線の傾きは
法線の傾きは (直線の平行と垂直を参照)、法線の方程式は、

......[] ・・・①

(2) ①が点を通るので、


a
3通りの値が3本の異なる法線を与えます。よって、点を通る法線の数は、3 ......[]

(3) ①が点を通るので、

とおくと、
法線の数が
2となるために、は極大、極小をもつ必要があり(3次関数の増減を参照)2次方程式は相異なる2実数解をもちます。よって、が必要で、のもとに、は、2をもちます。
このとき、法線の数が
2となるために、のもとで極大値あるいは極小値が0となることが必要十分で、

より、 ......[]


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  1. 2011/04/19(火) 11:02:05|
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慶大理工数学'11年[B1]

慶大理工数学'11[B1]

座標空間で次の8つの点
ABCD
E
FGH
を頂点とする1辺の長さ2の立方体ABCD-EFGHを考える。いま、点Pを正方形EFGH内の点(辺上も含む、ただし)とし、点Aと点Gを通る直線をとする。
(1) Qを直線上の点で (t は実数)を満たすものとする。が直交するときt xyで表すととなる。
(2) Pから直線に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあることを証明せよ。
(3) Pが原点Oを中心とするxy平面上の半径1の円周上を動くとし、Pの座標を ()と書くことにする。このとき、三角形APGの面積の最大値と最小値、およびそれらを与えるθ の値を求めよ。求める過程も書け。

解答 (3)では、図形的に見ていくことも可能ですが、素直に計算でやってみます。腕尽く計算だとかなり面倒になります。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1) 直交するので、当然、内積を考えます。

より、


(
) ......[]

(2) Pは正方形EFGH内の点であることから、
ただし、より、
よって、

より、点Pから直線に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあります。
(証明終)

(3) PからAGに垂線PQを下ろすと、(1)で、とすることにより、




とおくと、より、

 (2倍角の公式を参照)
これより、
三角形APGの面積は、AGを底辺と見ると、高さPQが最大のとき最大、高さPQが最小のとき最小で、より、
,つまり、のとき、は最大値をとり、このとき、三角形
APGの面積は最大値をとります。
,つまり、のとき、は最小値をとり、このとき、三角形
APGの面積は最小値をとる。
最大値:
(のとき),最小値: (のとき) ......[]


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  1. 2011/04/17(日) 23:04:00|
  2. 慶大理工数学'11年
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慶大理工数学'11年[A4]

慶大理工数学'11[A4]

1辺の長さが1の正五角形の5つの頂点に反時計回りにABCDEと名前をつける。いま、初めに頂点Aに白玉を1個、頂点Cに赤玉を1個置き次の操作を繰り返し行う。

 [操作] コイン1枚とさいころ1個を同時に投げる。コインの表が出たら白玉を、裏が出たら赤玉を選んでさいころの出た目の数の長さだけ正五角形の辺上を反時計回りに動かす。また、玉が到達した頂点に別の色の玉がある場合は、玉を動かす前にあった2つの玉の位置を入れ替えるものとする。


例えば1回目にコインの表とさいころの6の目が出たとすると白玉がABCDEABと動き、白玉の位置が頂点Bとなる。続いて2回目にコインの裏とさいころの4の目が出たとすると赤玉がCDEABと動き、到達した頂点Bに白玉があるので、赤玉を頂点Bに置き、頂点Bにあった白玉を頂点Cに移す。
以下、
2つの玉が正五角形の隣り合う2頂点にある状態を「状態(S)」と呼ぶことにする。
(1) 2回目の操作を終えたとき頂点Dと頂点Eに玉がある確率はである。
(2) n回目の操作を終えたとき状態(S)となる確率をとする。である。またの間にはという関係式が成り立つ。これよりnを用いて表すととなる。
(3) n回目の操作を終えたとき初めて状態(S)となる確率をとする。nを用いて表すとである。
いま、状態(S)となるまで操作を繰り返し、状態(S)となった時点で操作を終了する。ただし、操作をr回行っても状態(S)とならない場合はr回で操作を終了することとする。このとき、操作を行う回数の期待値をrを用いて表すととなる。

解答 推移確率2項間漸化式を使って考える問題です。n回目操作終了後の状態から1回の操作でどのように回操作終了後の状態に推移していくかを考えれば漸化式を作ることができます。

(1) 2回の操作終了後、玉がDEにあるのは、
Aにいた白玉がDに行って(表が出てさいころの目が3,確率)、かつ、Cにいた赤玉がEに行く(裏が出てさいころの目が2,確率)か、
Aにいた白玉がEに行って(表が出てさいころの目が4,確率)、かつ、Cにいた赤玉がDに行く(裏が出てサイコロの目が16,確率)
場合です。1回目と2回目に起こる事象が入れ替わる場合を考慮して、求める確率は、
() ......[]

(2) 白玉と赤玉の最初の位置が隣接していないので、1回の操作で赤白の入れ替わりが起こるときには、操作後に白玉と赤玉が隣接することはありません。
1回の操作で表が出て隣り合うのは、さいころの目が136となって、白玉がBDに行くときで、この確率は、
1回の操作で裏が出て隣り合うのは、さいころの目が24となって、赤玉がEBに行くときで、この確率は、
1回の操作で状態(S)となるのは、このいずれかの場合で、その確率は、
(
) ......[]
を計算したときの操作前の状況は、白玉と赤玉が1つの頂点を空けて位置している、という状況ですが、白玉と赤玉が隣接していないときはすべてこの状況にあります。つまり、状態(S)にない場合、白玉と赤玉は1つの頂点を空けて位置しています。を求めたのと同様にして、状態(S)にない場合、1回の操作で状態(S)となる確率はです。
状態
(S)にある場合、つまり、白玉と赤玉が隣接している場合、例えば白がAにいて赤がBにいる場合、1回の操作後に再び白玉と赤玉が隣接し状態(S)となるのは、
・表が出て、さいころの目が162つの玉の位置が入れ替わるか、さいころの目が25で白玉がCに行くかAに戻るときで、この確率は、
・裏が出て、さいころの目が42つの玉の位置が入れ替わるか、さいころの目が35で赤玉がEに行くかBに戻るときで、この確率は、
このいずれかの場合で、その確率は、
ここで、
n回目操作終了後の状態から1回の操作でどのように回操作終了後の状態に推移していくかを考えます。
n回目の操作終了後に状態(S)になく(確率)回目操作終了後に状態(S)となる確率は
n回目の操作終了後に状態(S)にあって(確率)回目操作終了後にも状態(S)にある確率は
回目の操作終了後に状態(S)にあるのは、このいずれかの場合で、その確率は、
() ......[]
 ・・・① (2項間漸化式を参照)
 ・・・②
を解くと、
①-②より、
これより、は、初項,公比
等比数列です。

(
) ......[]

(3) (2)の検討より、状態(S)にないとき、1回の操作で状態(S)になる確率がなので、1回の操作で再度状態(S)にない確率はです。
のとき、n回目の操作終了後に初めて状態(S)となるのは、回状態(S)でないことが続いて、n回目の操作で状態(S)になるときで、その確率は、
 ・・・③
1回の操作で初めて状態(S)となる確率は、で、③はのときにも成立します。
() ......[]
状態(S)となった時点で終了するので、
のとき、
1回の操作で終了する確率は2回の操作で終了する確率は,・・・,回の操作で終了する確率は
r回の操作で終了する確率は、状態(S)になる確率が,状態(S)にならない確率が
操作を行う回数の期待値は、とおくと、
ここで、とおくと、
よって、
 ・・・④
明らかにのときなので、④はのときにも成り立ちます。
() ......[]


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  1. 2011/04/16(土) 11:32:21|
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慶大理工数学'11年[A3]

慶大理工数学'11[A3]

実数θ
の範囲を動くとする。空間内の動点Pと点Qを通る直線が、xy平面と交わる点をRとする。xyθ の関数として表すと、
となる。これより、xyを用いて表すと、
となる。したがって、θ が上の範囲を動くとき、点Rxy平面上の軌跡の方程式をとすれば、となる。
次に、
xy平面内の領域D
と定め、領域Dの面積を求めることを考える。直線を原点Oを中心として、回転した直線の方程式はとなる。また、曲線を原点を中心として、回転した曲線の方程式を ()とすれば、
となる。領域Dを原点を中心として、回転した領域をとすれば、領域Dと領域は合同だから、
である。

解答 有名曲線だし、穴埋め問題なので座標回転を持ち出すまでもないでしょう。

直線PQ上の点は、
xy平面上では、
として、よりなので、
よって、

()  () ......[]

 ・・・①

()  () ......[]


 ・・・② (双曲線を参照)
と①より、

よって、
②より、となりますが、複号は、-をとると、より、となってしまうので、+をとることになります。よって、

()
(
) ......[]
直線と原点との距離はです。直線を原点Oを中心として回転したとき傾きの直線になりますが、原点との距離はやはりです。傾きの直線を ()として、原点との距離は、
 (点と直線の距離を参照)
よって、回転後の直線の方程式は、 ・・・③
() ......[]
②はを漸近線とする直角双曲線です。②のの部分を回転すると第1象限に来ますが、漸近線はx軸とy軸になり、直角双曲線は (p:定数)となります。
②は
y軸とで交わりますが、この点を回転するとに来ます。直角双曲線を通るので、
回転後の直角双曲線は
(1象限にあるので) ・・・④
() ......[]
③,④を連立すると、


面積Sは、
 (不定積分の公式を参照)
() ......[]


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  1. 2011/04/12(火) 22:28:43|
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慶大理工数学'11年[A2]

慶大理工数学'11[A2]

kを実数として、x4次関数
と定める。
(1)方程式は、kの値によらずを実数解としてもつ。また、この方程式の実数解がのみとなるのは、のときである。
(2) のとき、で最小値をとる。
(3) 方程式が相異なる4つの実数解をもつようなkの値の範囲は、である。kがこの範囲にあるとき、4つの解をabcd ()とする。をそれぞれkを用いて表すと、
となる。また、のとき、である。

解答 3次関数、4次関数、3次方程式、4次方程式に関する内容豊富な問題です。

(1)


 (高次方程式を参照)
よって、方程式は、kの値に寄らずを解にもつ。
() ......[]
または
3
次方程式:が、を解に持つために、
であることが必要で、
逆に、のとき、は、を解にもつので、の実数解はのみになります。

() 0 ......[]

(2) のとき、
とすると、
で割ると、商が,余りは
とすると、より、
 (複号同順)
x


1
000
8

増減表より、は、において最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
()  () ......[]

(3) 方程式が相異なる4つの実数解をもつとき、
より、以外の相異なる3実数解をもちます。より、 ・・・①

より、の解になり得ないので、方程式を考える代わりに、で割って、
を考えます。とおくと、
より、以下の増減表が得られます(関数の増減を参照)
x
1
2
×0
×9

増減表と、により、,即ち、が相異なる3実数解をもつのはのときで、①より、は相異なる4つの実数解をもちます。
() 9 ......[]
より、ですが、これと増減表より、は、の範囲に各々1解ずつもち、4つの解abcd ()について、
これより、acdは方程式3解で、解と係数の関係より、
() 1 () ......[]
より、
のグラフは
漸近線をもつので、となる解cは、のとき、となります。従って、のとき、
() ......[]


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  1. 2011/04/10(日) 21:51:54|
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慶大理工数学'11年[A1]

慶大理工数学'11[A1]

(1) とする。定積分
の値はである。
(2) kを実数とする。座標平面上で、点を直線に関して対称移動した点をとすると
が成り立つ。
(3) 負でない実数を満たすものが与えられているとき、数列を次のように定める。に対してを大きさの順に並べ、大きい順にとする。たとえばとするとき、であり、である。
次に、はどれも0ではなくが満たされているとする。このときである。

解答 (2)はよくある問題ですが、(3)は少し面倒です。

(1)()  (部分積分法を参照)




......[]

(2)(i) のとき、直線x軸です。x軸に関して対称移動させるとに来ます(1次変換を参照)。よって、
 ・・・①
(ii) のとき、です。
の中点は直線上の点です。
 ・・・②
を結ぶ直線は直線と直交するので、傾きについて、
 ・・・③
②,③を行列を用いて書くと、
左から、をかける(逆行列を参照)と、
この結果は①を含んでいます。
()  ()  ()  () ......[]

(3) より、を大きさの順に並べて、
を大きさの順に並べて、
() 9 () 3 ......[]
()のとき、とおくと、,また、です。
に注意して、以下の3通りに限られます。
(i) のとき、を第3式に代入すると、


整理して、
より、
(ii) のとき、
を第3式に代入すると、
となってしまうため、この場合はあり得ません。
(iii) のとき、第1式と第2式より、
より
この場合もあり得ません。
よって、(i)より、
であることから、より、,・・・,
 (等比数列を参照)
() ......[]


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京大理系数学'11年[6]

京大理系数学'11[6]

空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点ABCDを同時に通る球面が存在することを示せ。

解答 京大でよく見かける「......が存在することを示せ」という問題です。考えにくい問題であることが多いのですが、どういう手順で......が求められるか、ということを説明すれば答案を書くことができます。......を求める点順が説明できれば、......は必ず存在するからです。

4つの頂点ABCDを同時に通る球面が存在するとして、その中心をOとすれば、
OAOBOCOD
となります。従って、4ABCDから等距離の点が存在することを言えば、4つの頂点ABCDを同時に通る球面が存在することが言えます。
まず、三角形
ABCを含む平面内で、
OAOBOC
を満たす点は、三角形ABCの外心Pです。任意の三角形ABCに対して、外心は必ず存在します。
空間内で、

OAOBOC
を満たす点Oは、三角形ABCの外心Pを通り、三角形ABCに垂直な直線l上の点です。
ここで、線分
ADの垂直二等分面(ADの中点を通りADに垂直な平面)αを考えます。線分ADの垂直二等分面αが三角形ABCに垂直になることはありません。なぜなら、αが三角形ABCに垂直なとき、点Dは三角形ABCを含む平面上にあって、このとき、四面体ABCDができないからです。
従って、平面
αが直線lに平行になることはなく、平面αは直線lと交点をもちます。この交点を改めてOとすると、Oは、平面α上にあるので、
OAOD
を満たします。このとき、
OAOBOCOD
となり、4ABCDから等距離の点Oが存在して、4つの頂点ABCDを同時に通る球面が存在します。

追記.空間ベクトルで考えてみます。
頂点Aを原点とするような座標系をとり、BCDの位置ベクトルをとします。また、4つの頂点ABCDを同時に通る球面が存在するとして、その中心の位置ベクトルをとします。
より、
よって、
これは、として、が、3元連立1次方程式
 ・・・()
の解であるということであって、連立方程式()が解を持てば、四面体ABCDに対してが存在し、4つの頂点ABCDを同時に通る球面が存在することになります。
()は、行列逆行列を持てば、()の右からをかけることにより、
として解を求めることができます。ここでは四面体ABCDができているので、1次独立で、が存在するので、()は必ず解を持ちます。


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京大理系数学'11年[5]

京大理系数学'11[5]

xyz空間で、原点Oを中心とする半径の球面S3を通る平面αが共有点をもつことを示し、点がその共有点全体の集合を動くとき、積xyzがとり得る値の範囲を求めよ。

解答 前半は、平面の方程式の知識が無くても解答できるように工夫されています。後半は、lmn3文字の対称式が登場しますが、3次方程式を考えることにより解決できます。なお、微分法の方程式への応用を参照してください。

3を通る平面α上の点Pの位置ベクトルをとすると、lmnを実数として、
と表せるので、
原点Oと点Pとの距離2乗は、
コーシー・シュワルツの不等式より、として、 (不等号の等号は、kを実数として、のとき成立),よって、
 (不等号の等号は、,即ち、よりのとき成立)
より、

 (不等号の等号は、のとき成立)
より、平面α上の点で原点Oとの距離が、球面Sの半径よりも小さい点が存在するので、平面αと球面Sとは共有点を持ちます。
平面
αと球面Sの共有点においては、原点Oとの距離がになるので、

より、
lmn3解とする3次方程式
は、重解も含めて3個の実数解をもちます。
とおくと、


x


00

増減表より(3次関数の最大・最小を参照)3次方程式:が重解も含めて3個の実数解をもつのは、
のときで、のとりうる値の範囲は、
......[]
注.になるのは、になるときで、lmnのうち2つが,残る1つがのときです。になるのは、になるときで、lmnのうち2つが,残る1つがになるときです。

別解.京大では、平面の方程式も試験範囲に含まれるので、平面αの方程式を、3を通ることから、
とおき、原点と平面αとの距離dが、
であることから、球面Sと平面αが共有点をもつ、とすることもできます。


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京大理系数学'11年[4]

京大理系数学'11[4]

n2以上の整数であり、 ()であるとき、不等式
が成立することを示せ。

解答 数学的帰納法で示します。

() のとき、

よって、
与不等式は成立します。
() のとき、与不等式が成立すると仮定します。
両辺にをかけると、

 ・・・①
この右辺ととの差をとると、


( ,・・・,)
よって、

 ・・・②
①,②より、

よって、のときにも与不等式は成立します。
()()より、2以上の整数nについて、
が成り立ちます。


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京大理系数学'11年[3]

京大理系数学'11[3]

xy平面上で、のグラフとのグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

解答 以下では、定積分の公式にこだわってみます。

は、
絶対値記号の内側の正負で分けて考えます。
より、
のとき、 ・・・①
のとき、 ・・・②
①とを連立すると、


②とを連立すると、

これより、のグラフは右図のようになっていて、黄緑色で塗られた部分の面積を求めることになります。
とすると、
求める面積
Sは、
 (定積分と面積を参照)


......[]


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