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京大理系数学'11年[2]

京大理系数学'11[2]

abcを実数とし、Oを原点とする座標平面上において、行列によって表される1次変換をTとする。この1次変換T2つの条件
(i) を点に移す
(ii) と点Tによって点ABにそれぞれ移るとき、△OABの面積がである
を満たすとき、abcを求めよ。

解答 1次変換の基本問題です。

条件
(i)より、
よって、
 ・・・①
条件(ii)より、

OABの面積Sについて、
 (三角形の面積を参照)

のとき、①より、

のとき、①より、


以上より、
......[]


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  1. 2011/03/31(木) 07:48:47|
  2. 京大理系数学'11年
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京大理系数学'11年[1]

京大理系数学'11[1]

(1) 箱の中に、1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から2枚のカードを同時に選び、小さい方の数をXとする。これらのカードを箱に戻して、再び2枚のカードを同時に選び、小さい方の数をYとする。である確率を求めよ。
(2) 定積分を求めよ。

解答 確率と積分計算の基本問題です。

(1) 2枚選んだうちの小さい方が9ということはあり得ないので、ということは起こり得ません。
()のとき、Xを選ぶときもYを選ぶときも、小さい方がnであれば、大きい方は、以上9以下の通りあります。
9枚のカードから2枚のカードを選ぶ選び方は、通りあります。
この中で小さい方が
nになる確率は、
になる確率は、
求める確率は、
......[]

(2)
1項の積分は、とおくことにより、
xのとき、t (置換積分を参照)
2項の積分は、
 (置換積分(その2)を参照)
とおくと、
は、原点を中心とする半径の半円と
x軸、直線,直線で囲まれる部分の面積で、半径の円の面積のと、直角を挟む2辺がである直角二等辺三角形の面積の和に等しく、
よって、
......[]


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  1. 2011/03/30(水) 10:35:31|
  2. 京大理系数学'11年
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東工大物理'11年前期[3]

東工大物理'11年前期[3]

1のように、透明で一様な媒質中を音波が伝わっているところに光を入射させると、特定の入射の角度において、光の強い反射が観測される。これは音波によって生じる屈折率の変化のために、音波の各波面でわずかながら反射する光が互いに干渉し強め合うことによる。今、音波はz軸方向に速さwで進んでいるものとする。簡単のために、間隔d (音波の波長)で並んでいる音波の波面(反射面)でだけ光の反射が起こり、光は速さVで直進するものとする。波面以外の領域の屈折率は1であるとする。また反射面の厚みも無視できるものとする
今、図
1のように波長λの光を反射面に対して角度θ で入射させたところ、反射面に対して角度の方向に、波長の光が強く反射するのが観測された。このとき、λとは異なり、またθ とは異なっていた。その理由を以下で考えることにする。
(a) まず、一つの反射面における反射の法則を考えよう。以下の空欄にあてはまる数式を答えよ。

静止した鏡に光をあてると、入射の角度と反射の角度が等しくなることが知られている。これは、次のように理解することができる。図2のように、距離xだけ離れて鏡面で反射する二つの光路を考える。入射の角度をθ,反射の角度を,媒質の屈折率を1とすると、光路長の差は (符号は問わない)で与えられる。入射光の波長λを用いてを位相差に換算すると、となる。二つの光が互いに強め合うためには、,・・・ として、位相差がになる必要がある。実際には、距離xは様々な値をとる。いかなるxに対してもこの条件が成立するには、である必要があり、が導かれる。今の議論を音波による反射に適用してみよう。この場合、反射の法則はで与えられる。最初に述べたように、音波によって光が反射する際には、入射光の波長λと反射光の波長とが異なるため、θ も異なることになる。
(b) 次に、隣り合う反射面で反射する光の干渉について考えよう。
等間隔dで並んだ隣り合う反射面で反射する光が、互いに強め合うように干渉すると、強い反射光が観測される。反射した光が干渉によって強め合うためには、隣り合う2つの反射面に入射し反射した光波の位相差が、一般にはの整数倍になることが必要である。しかし、音波によって光が強く反射するのは、位相差がの場合だけであることがわかっている。このことを考慮して、隣り合った反射面からの反射光が干渉によって強め合うための条件をdλθを用いて表せ。
(c) 入射光の波長λと反射光の波長とが異なっているのは、実は反射面が動いていることによるドップラー効果のためである。具体的には、wVに比べて充分小さい今のような状況では、なる式が成立することがわかっている。この式と(b)の結果とから、反射光と入射光の振動数の差が音波の振動数に等しいことを導け。
(d) 3のように、音波によって強く反射した光を鏡に入射させた。鏡の角度を適度に調整したところ、折り返された光が音波によって再度強く反射するのが観測された。再度強く反射した光に関する記述として、正しいものを選べ。
音波に対して左側から照射している入射光の振動数に対して、再度強く反射した光の振動数は
() 変化しない。
() 音波の振動数だけ低くなる。
() 音波の振動数だけ高くなる。
() 音波の振動数の2倍だけ高くなる。
() 音波の振動数の2倍だけ低くなる。

解答 反射干渉の見慣れない事象を扱う問題ですが、問題文の説明を活かして考えれば平易な問題です。

(a)() 右図で、波面ACが波面BDまで進みます。ABCD光路長の差は、屈折率1なので、実距離の差でよく、
......[]
() 波長λの光の光路長Lに相当する位相は、です。
()位相差に換算すると、 ......[]
() 音波による反射の場合、入射光のABに対する位相,反射光のCDに対する位相,よって、強め合う条件は、
()
いかなるxに対しても成立するためにはより、
......[]

(b) 右図で上側の反射面で反射した光と、下側の反射面で反射した光との位相差は、PQの部分がQRの部分が
位相差は両者の和で、両反射光が強め合う条件は、「位相差の場合だけ」という問題文の記述により、
......[]
(c) 入射光の振動数,反射光の振動数です。振動数の差という形を目指します。
(b)の結果で分母を払うと、 ・・・①
問題文より、
分母を払うと、
移項し、①を用いて、
で割ることにより、
は音波の速さを音波の波長で割ったものであって、音波の振動数です。
よって、反射光と入射光の
振動数の差が音波の振動数に等しくなります。
(d) (c)の結果より、音波が速さwで近づいてくるとき、音波の波面で反射した光の振動数は、入射光の振動数よりも音波の振動数だけ高くなります。これが、鏡で反射して、さらに音波の波面で反射すると、さらに音波の振動数だけ高くなります。合わせて、再度強く反射した光の振動数は、音波の振動数2倍だけ高くなります。() ......[]


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  1. 2011/03/29(火) 00:39:45|
  2. 東工大物理'11年
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東工大物理'11年前期[2]

東工大物理'11年前期[2]

単位長さあたりの抵抗がRで太さが無視できる針金を使って、図1(i)のような回路を作る。図1(i)の回路は半径aの円と長さの線分からなっていて、円の中心をO,直径の両端をPQとする。点Oを座標の原点、また回路を含む平面をxy平面とし、それに垂直な向きをz軸とする。ここで、磁束密度 ()の外部磁場をの領域のみに加える。回路はxy平面内で点Oを中心に自由に回転できるとする。以下では回路自身の自己インダクタンスは無視する。次の問いに答えよ。

[A](a) 1(ii)のように時刻では回路上の点Pが座標にあったとして、時刻からこの回路を反時計回りに角速度ω で回転させる。時刻t ()OQ間に発生する誘導起電力の大きさEを求めよ。ただし針金の抵抗による電圧降下はEには含めないこと。

以下の(b)(f)の解答では、Bを用いずに(a)で求めたEを用いよ。
(b) 時刻t ()に、回路を角速度ω で回転させ続けるのには外から仕事をする必要がある。その仕事は単位時間当たりいくらか。ERaω のうち必要なものを用いて答えよ。

[B] 次に図2のように、この回路の直径PQと直交する方向の直径にも長さの同じ針金を渡して、点Oおよび両端で回路と接続する。この針金の端点を図2のようにRSと名づける。
(c) 2のように時刻では回路上の点Pが座標にあったとして、時刻からこの回路を反時計回りに角速度ω で回転させる。点PQRSOでの電位をそれぞれとおく。時刻tの範囲のとき、これらの電位を大きい順に並べ、大小関係がわかるように>,=を用いて書け。
(解答例:など。)
(d) 時刻に針金OQの向きに流れる電流はいくらか。ERaω のうち必要なものを用いて答えよ。

[C] 今度は図1(i)の回路で、図3(i)のようにこの回路の中心Oに小さなコイルを挿入する。コイルを挿入する前後で、直径PQ間の抵抗は変化していないものとする。また、コイルと図1の回路全体の相互インダクタンスも無視する。外部磁場中でコイルが運動することによる電磁誘導は無視できるものとする。
次の問いに答えよ。
(e) 3(i)のように時刻では回路が静止していて点Pは座標にあったとして、時刻からこの回路を反時計回りに角速度ω で回転させる。すると、コイルをの向きに流れる電流は図3(ii)のように変化して、一定値に近づく。でのグラフの接線が、と交わる点でのtの値をTとおく。このときコイルの自己インダクタンスLERaωTのうち必要なものを用いて答えよ。
(f) (e)でほぼ一定値になった後しばらくすると、電流の符号が変化した。この変化のグラフとして最も適切なものを図4()()の中から一つ選び、図中の時刻およびERaωTのうち必要なものを用いて答えよ。なお図4()()では、グラフの接線も点線で図中に書き込まれており、()では()では()ではとなる時刻における接線である。またこのグラフは模式図であり、横軸のスケールは正確ではない。

解答 電磁誘導自己誘導を扱う問題です。難しくはないのですが、目新しい問題なので、まごつくかも知れません。

[A](a) 1(ii)の状況で、点上に来ている針金上の点をR,点上に来ている針金上の点をSとします。
時刻tにおいて直径PQが角回転した時点で、弧QSPと直径PQで囲む部分で外部磁場(の部分)に存在する部分の面積は、,磁束は、,この部分に発生する起電力の大きさは、起電力の向きは、磁束が減少するのでレンツの法則より上向きの磁場を作るような電流()を流す向きで、Q電位が高く、O電位が低くなります。
このとき、弧
QRPと直径PQで囲む部分で外部磁場中に存在する部分の面積は、,磁束は、,この部分に発生する起電力の大きさは、起電力の向きは、下向きの磁場を作るような電流()を流す向きで、Q電位が高く、O電位が低くなります。
結局
OQ間に、大きさ起電力が並列に2個入ります。
よって、
OQ間に発生する誘電起電力の大きさEは、 ......[]
(b) 直径PQ間の抵抗,弧QSP,弧QRP抵抗はそれぞれで並列接続されるので、合成抵抗として、
の直列の合成抵抗
回路で消費される
電力は、
回転させ続けるのに必要な
単位時間当たりの仕事も、 ......[]

[B](c) の経路に囲まれる部分はすべて磁場内にあるので、この部分には起電力は発生せず、QS間の電流はゼロで、QS等電位です。
の経路に囲まれる部分で磁場中に存在する部分の面積は、,磁束は起電力の大きさは、,向きはの向きに電流を流す向きで、S電位が高くO電位が低くなりす。
の経路に囲まれる部分はすべて
磁場外にあるので、この部分には起電力は発生せず、PR間の電流はゼロで、PR等電位です。
の経路に囲まれる部分で
磁場中に存在する部分の面積は、,磁束は起電力の大きさは、,向きはの向きに電流を流す向きで、Q電位が高くO電位が低くなります。
これより、
電位を大きい順に並べると、 ......[]
(d) OQ間の抵抗QR間の抵抗RO間の抵抗,これらの直列接続の合成抵抗は、(c)の検討により、に流れる電流は、
......[]

[C](e) [A](b)より、回路の合成抵抗,充分時間が経過した後にPQに流れる電流は、 ・・・①
直後には、回路には電流は流れず、コイル両端に発生する誘導起電力と、回路の回転によりPQ間に発生する起電力Eが打ち消し合います(コイル両端の電圧が、PQ間の起電力に等しくなる)。このとき、グラフより、,よって、
①より、
......[] ・・・②
(f) 時刻に、Qに、Pに来たとき、の状況とPQが入れ替わった状況となり、以後誘導起電力の向きが変わります。誘導起電力の向きが変化してもコイルはそれまでの電流を維持しようとしますが、以後徐々に電流が減少し、コイルを導通させたのと同様の電流を流すようになり、最終的ににおける電流と符号が逆の電流が流れます。こうなっているグラフは、() ......[] ......[]
直後の時点で、PQ間の起電力Eからとなります。また、回路にはまだ電流が流れています。キルヒホッフ第2法則より、
この右辺は①よりEに等しく、
 ∴
グラフより、なので、②を用いて、
......[]


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  1. 2011/03/27(日) 01:47:12|
  2. 東工大物理'11年
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東工大物理'11年前期[1]

東工大物理'11年前期[1]

1のように伸び縮みしない軽い糸におもりとして小さな玉をつけた振り子を2つ用意し、2つのおもりがそれぞれの最下点において同じ高さで左右に接触するように配置する。左側を振り子1,右側を振り子2とする。振り子1,振り子2のおもりをそれぞれおもり1,おもり2とし、重力加速度をgとする。
2つのおもりは図の紙面内でのみ運動する。2つの振り子はおもりが衝突する以外、互いに干渉しない。振り子の振れは十分小さく、振り子の等時性が成り立つとする。空気抵抗は無視する。

[A] まず、2つの振り子の糸の長さがどちらもLである場合(2(i))を考える。おもり1,おもり2の質量をそれぞれ2つのおもりの間のはね返り係数をe ()とする。
両方のおもりを糸がたるまないように左右に引き離し、最下点からそれぞれ同じ高さhだけ持ち上げ(2(ii))静かに放すと、2つのおもりは最下点において衝突を繰り返した。
(a) おもりを放してから最初に衝突するまでの時間を求めよ。
(b) 1度目の衝突の直前のおもり1の速さvを求めよ。
(c) 1度目の衝突の直後のおもり1とおもり2それぞれの速度を求めよ。ただし速度は図2(ii)に示すように右向きを正、左向きを負とする。解答にはvを用いてよい。
(d) 4度目の衝突の直後のおもり1とおもり2それぞれの速度を求めよ。正負については(c)と同様に定義する。解答にはvを用いてよい。

[B] 次に、振り子1の糸の長さは[A]と同じLのままに保ち、振り子2はその周期が振り子12倍になるように糸を長さのものに取り替えた(3(i))。さらに、2つのおもりを互いに弾性衝突()するものに取り替えた。おもり1とおもりの質量をとおく。おもり2が最下点で静止している状態で、おもり1だけを糸がたるまないように左側に動かして最下点からある高さまで持ち上げ(3(ii))、時刻に静かに放した。2つのおもりはその後、最下点のみで何回か衝突し、において初めて元の状態(に運動を開始したときの状態)に戻った。ただし(a)で求めた時間である。
(e) 時刻におもり1を放してから、において2つのおもりが元の状態に戻るまでの間に、2つのおもりが衝突した時刻を全て挙げよ。解答にはを用いてよい。
(f) おもりの質量の比を求めよ。

解答 単純な繰り返し衝突の問題ですが、ヘタに計算を進めるといくらでも大変になってしまいます。全貌を捉えてから計算の方針を立てるようにしましょう。

[A](a) 単振り子周期の公式より、振り子の周期Tは、,おもりを離してから最初に衝突するまでの時間は、周期に相当し、
......[]
(b) おもり1を放すとき、おもり1は、重力位置エネルギーを持っています。最下点に来たとき、衝突の直前に、おもり1は、運動エネルギーを持っています。両者の力学的エネルギー保存より、
 ∴ ......[]
(c) 衝突直前の運動量は、おもり1,おもり2です。衝突直後の運動量は、おもり1,おもり2,衝突前後の運動量保存より、
 ・・・①

 ・・・②
①に代入して、
......[]
②に代入して、
......[]
(d) 2回目の衝突直前のおもり1,おもり2速度は、です。2回目の衝突直後のおもり1,おもり2速度とすると、運動量保存より、
反発係数の式
 ・・・③
ここからを求め、3回目の衝突、4回目の衝突、とやっていくと大変なことになります。③の分母は、ですが、②より、なので、③より、
 ・・・④
となります。3回目の衝突直前のおもり1,おもり2速度は、です。3回目の衝突直後のおもり1,おもり2速度とすると、運動量保存より、
反発係数の式
2回目の衝突のときと同様に、④を用いて、
一方で、運動量の総和の方は、衝突直後から次の衝突直前までで正負反転するだけです。
そこで、
速度の文字の設定をやり直し、n回目の衝突直後のおもり1,おもり2速度として、n回目の衝突について考えることにします。おもり1,おもり21回目の衝突直前の速度は、vですが、0回目の衝突直後のおもり1,おもり2速度を想定すれば、正負が逆転し、としておけばよいでしょう。
n回目の衝突直前の、おもり1,おもり2速度は、です。n回目の衝突前後の運動量保存より、
 ・・・⑤
反発係数の式
 ・・・⑥
⑤,⑥両式を、数列に関する連立漸化式と考えます。⑤より、
これより、は、初項,公比:等比数列です。
 ・・・⑦
⑥より、
これより、は、初項,公比:eの等比数列です。

⑦に、を代入して、

とすることにより、
......[]

[B](e) 振り子1[A]と同じなので、最下点で衝突するのであれば、1回目の衝突はにおいて起こります。
1回目の衝突直前のおもり1速度V ()n回目の衝突直後のおもり1、おもり2速度とすると、1回目の衝突前後の運動量保存より、
 ・・・⑧
反発係数の式

⑧に代入して、

の正負、つまり、
1回目の衝突後のおもり1の運動方向によって以後の運動状況が変わります。
(i) のとき、となりますが、[A](a)よりおもり1周期、おもり2周期で、おもり2半周期後最下点において、2回目の衝突がにおいて起こります。
2回目の衝突直後、となり、おもり1半周期後最下点において3回目の衝突がにおいて起こります。
3回目の衝突直後、となり、おもり2半周期後最下点において4回目の衝突がにおいて起こります。において、おもり1が停止していて、元の状態に戻りません。
(ii) のとき、なので、1回目の衝突後、おもり1は左へ、おもり2は右へ動きます。おもり1に最下点に来ますが、このときおもり2は最も右側に行っています。おもりが最下点のみで衝突する、ということは、この時点からさらにおもり1半周期(おもり2周期)において最下点で2回目の衝突が起こる、ということです。2回目の衝突直前に、おもり1,おもり2ともに左向きに、速度で動いています。最下点で衝突するためには、おもり2の方が速さが大きく、

のときには、おもり1,おもり2ともに最下点の左側に進み、おもり2周期の方が長いので、最下点の左側で衝突してしまうことになります。
のとき、
2回目の衝突前後の運動量保存より、
反発係数の式
について解くと、
 ・・・⑨
なので、2回目の衝突後、2個のおもりは、ともに左側へ動きます。おもり2周期の方が長いので、最下点の左側で衝突してしまうことになり、この場合も不適です。
(iii) のとき、なので、1回目の衝突後、2個のおもりはともに、右側へ動きます。おもり1が最下点に戻るとき、おもり2は最も右側に行っています。おもり1が、一旦左へ行き最下点に戻るとき、おもり2も最下点に来て、最下点で衝突します。2回目の衝突はにおいて起こります。2回目の衝突直前に、おもり1,おもり2速度は、で、⑨と同じ状況で、この場合にも⑨が成立します。なので、2回目の衝突後、おもり2は右側へ動きます。このとき、おもり1が衝突後にどちらに動いても、最下点で3回目の衝突が起こるのであれば、おもり2半周期後、に起こります。この後、までの間に、衝突が起こることはありません。
以上より、であって、2つのおもりが衝突する時刻は、 ......[]
(f) (e)(iii)の場合に、3回目の衝突直前のおもり1,おもり2速度です。
3回目の衝突前後の運動量保存より、
 ・・・⑩
反発係数の式 ・・・⑪
3回目の衝突後、時刻において、元の状態に戻るので、おもり2は停止しています。つまり、衝突直後はです。また、おもり1は、時刻において、時刻静かに放した状況に戻るので、衝突直後はです。⑪より、
 ∴

これと、⑩より、
 ( )
......[]


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  1. 2011/03/25(金) 13:22:02|
  2. 東工大物理'11年
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東工大数学'11年前期[4]

東工大数学'11前期[4]

平面上に一辺の長さが1の正方形DおよびDと交わる直線があるとする。この直線を軸にDを回転して得られる回転体について以下の問いに答えよ。
(1) Dと同じ平面上の直線Dのどの辺にも平行でないものとする。軸とする直線はと平行なものの中で考えるとき、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わることを示せ。
(2) Dと交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ。

解答 難問です。

(1) 右図のように、直線と平行にx軸を引き、頂点の1つが原点Oであるような、1辺の長さ1の正方形OABCを考えます。
直線OAの傾きをm ()として、その方程式は、 ・・・①
直線
BCの方程式を、 ()として、原点と直線BCとの距離は1なので、
 (点と直線の距離を参照)
より、
直線
BCの方程式は、 ・・・②
直線
OCは、直線BCと垂直なので、直線OCの傾きは(直線の平行・垂直を参照)、その方程式は、 ・・・③
②,③を連立すると、
,③より、
よって、
Cの座標は
直線
ABの方程式を、 ()として、原点と直線ABとの距離は1なので、
より、
直線
ABの方程式は、 ・・・④
①,④を連立すると、
,①より、
よって、
Aの座標は
②,④を連立すると、

よって、
Bの座標は
ここで、図形の存在範囲の左端
Cx座標を,右端Ax座標をとおきます。
また、辺
BC,辺ABを表す関数を,辺OC,辺OAを表す関数をとします。つまり、
のとき、②より、
のとき、④より、
のとき、③より、
のとき、①より、
正方形
OABCy軸方向にだけ平行移動させてx軸の回りに回転させることにより、正方形Dを直線と平行な直線のまわりに回転させるのと同一の状況を考えることにします。つまり、x軸の回りに回転させる、と考えます。
対称性より、
kについては、 (は、By座標の),また、mについては、Cy座標がAy座標よりも大きくなる範囲、,つまり、の範囲で考えれば十分です。
(i) のとき、回転体の体積は、
 ・・・⑤
(ii) のとき(右上図緑色線)
方程式は、1実数解の範囲に1実数解をもちます。
このとき、においては、回転体はを回転したものからを回転したものを取り除けば良いのですが、においては、の大きい方を回転することになります。
だとすると、
そこで、右上の図に、のグラフ
(青色線)を加えておきました。このグラフは、のところとのところで折れ曲がります。
のときにはより、なので、回転体の体積は、
の差を考えます。

 ・・・⑥
ここで、⑥のうち、における定積分の被積分関数について、
 ・・・⑦
よって、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑥のうち、における定積分の被積分関数について、この範囲では、なので
 ・・・⑩
よって、
これと、⑧,⑨より、 ・・・⑪
(iii) のとき(右上図赤色線)
方程式の範囲に1実数解を持ちます。
方程式の範囲に
1実数解を持ちます。
方程式の範囲に
1実数解を持ちます。
において、,つまり、
において、,つまり、
これより、回転体の体積は、


 ・・・⑫
このうち、における定積分の被積分関数は、⑦,⑩と同様にして、0以上の値をとり、しかも「恒等的に0」ではないので、

⑫のにおける定積分の被積分関数について、この範囲では、なので、
 ・・・⑬
また、⑫のにおける定積分の被積分関数については、この範囲ではとなり、のときと同じようには行きません。この定積分は、m0に近くkに近いと、被積分関数が負になることがあります。
における定積分は、なので、⑫のにおける定積分では、における定積分は、における定積分から引くのではなく、における定積分から引くことにします
(きわどいところから引くのではなく、余裕のあるところから引く)において、⑫の定積分の被積分関数の後ろ2項について、

において増加関数なので、xとして、
()
より、
 (置換積分をしている)
 ・・・⑭
なので、⑫のの部分の定積分、
 ()
のうちの一部を借りてきて、これと⑭との和をとると、
この被積分関数は、
より、
 ・・・⑮
問題は、という積分範囲が、の積分範囲に含まれるか、ということですが、直線ABにおいてとすると、となり、ですが、なので、


 ()
より、であって、積分範囲は積分範囲に含まれます。以上より、⑫は、




以上より、
(iv) のとき(右上図の橙色線)
方程式の範囲に1実数解を持ちます。
方程式が、
1実数解1実数解の範囲に1実数解を持ちます。
方程式の範囲に
1実数解を持ちます。
において、,つまり、
において、,つまり、
これより、回転体の体積は、




 ・・・⑯
このうち、における定積分の被積分関数は、⑦,⑩,⑬と同様にして、0以上の値をとり、しかも「恒等的に0」ではないので、




⑯のにおける定積分は、(iii) における定積分と同様に、上記と同じようにはいかないので、における定積分と合わせて考えることになります。,また、としてより、⑮を導いたのと同様にして、

(i)(ii)(iii)(iv)より、回転体の体積はのとき最大で、軸とする直線はと平行なものの中で考えるとき、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わります。

(2) (1)より、mを固定して考えるとき、回転体の体積の最大値は、
それぞれの定積分は、円錐、あるいは、円錐台の体積として、




これをとおくと、において、
 (商の微分法を参照)
 (関数の増減を参照)
よって、は増加関数で、
すべての回転体の体積の中で最大となる値は、
......[]


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  1. 2011/03/22(火) 12:17:31|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[3]

東工大数学'11前期[3]

定数kをみたすとする。xy平面上の点Aを通りx軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を、2XYをみたしながら動いている。原点Oを中心とする半径1の円と線分OXOYが交わる点をそれぞれPQとするとき、△OPQの面積の最大値をkを用いて表せ。

解答 最終的にの形が出てきますが、2次方程式の解の配置を考えることにより最大値を求めることができます。

とすると、
Y
より、 ・・・①
XYは第1象限の点なのでより、
また、で、△
OPQの面積Sは、
 (三角形の面積を参照)
と①より、
 ・・・②
とおくと、であって、①より、
より、
 ( )
より、
これらを②に代入して、

とおくと、であって、根号内を抜き出して、
 ・・・③
とおきます。です。分母を払って整理すると、
 ・・・④
とおくと、
u2次方程式④が、の範囲に実数解をもつ条件は、なので、④の判別式D,軸位置:について、
判別式:




 ・・・⑤ かつ
軸位置: ・・・⑥
ここで、より、に注意すると、
⑤より、
⑥より、
を考慮して、

かつ
これより、Sの最大値は、 ......[]
注.Sが最大となるのは、のときですが、このとき、方程式④が重解:
をもち、このとき、です。
別解.③のuの関数と見て微分すると、
において増減表は、
u0


0
p

増減表より(関数の増減を参照)のときにpは最大値をとります。


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  1. 2011/03/17(木) 18:20:13|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[2]

東工大数学'11前期[2]

実数xに対して
とおく。
(1) 関数の最小値を求めよ。
(2) 定積分を求めよ。

解答 面倒な微積分の問題に見えますが、場合分けするだけなので、この問題は落とせません。

(1) 絶対値を含む定積分では、絶対値記号の内側の正負で積分区間を分ける必要があります。
とおきます。
積分区間においてです。
(i) のとき、
よって、
(ii) のとき、
よって、
(iii) のとき、
(a) であれば、
(b) であれば、
以上より、の場合と、の場合に分けて積分計算を実行します。
の場合、つまり、(i)(ii)の場合、
 (不定積分の公式を参照)
より、 ・・・①
の場合、つまり、(iii)の場合、
を満たすtαとして、(iii)(a)では(iii)(b)ではより、







x


0

増減表より(関数の増減を参照)においては、 ・・・②
①,②より、の最小値は ......[]
別解.の場合については、相加平均相乗平均の関係を用いて、
(不等号の等号成立は、,つまり、のとき)
とすることもできます。

(2) (1)より、のときのとき


......[]


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  1. 2011/03/15(火) 21:34:49|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[1]

東工大数学'11前期[1]

nを自然数とする。xy平面上で行列の表す1次変換(移動ともいう)とする。次の問いに答えよ。
(1) 原点Oを通る直線で、その直線上のすべての点がにより同じ直線上に移されるものが2本あることを示し、この2直線の方程式を求めよ。
(2) (1)で得られた2直線と曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 (1)1次変換の問題ですが、(2)は数学Ⅱの積分の問題、(3)は数列の求和問題で、よくある3パターンの全く別の基本問題を融合させた問題です。

(1) ある直線上のすべての点がにより同じ直線上に移されるとき、その直線を、以下、不動直線と呼ぶことにします。不動直線がy軸だとして、y軸上の点を (tは実数)とすると、
 (行列の積を参照)
は、のときy軸上に来ないので、y軸は不動直線にはなり得ません。
y軸以外のOを通る直線をとして、上の点を (tは実数)とすると、
これもまた、上の点だとすると、
tは任意の実数なので、


これより、不動直線は2本あり、2直線の方程式は、 ......[]

(2) を連立すると、
 ∴
を連立すると、
 ∴
求める面積は、とで囲む面積から、とで囲む面積を引いたものになります。
 (定積分の公式を参照)
......[
]

(3)
 (数列の求和技法を参照)
......[
] (数列の極限を参照)


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  1. 2011/03/13(日) 16:31:25|
  2. 東工大数学'11年
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東大物理'11年前期[3]

東大物理'11年前期[3]

3-1のように、摩擦なしに動くピストンを備えた容器が鉛直に立っており、その中に単原子分子の理想気体が閉じ込められている。容器は断面積Sの部分と断面積の部分からなっている。ピストンの質量は無視できるが、その上に一様な密度の液体がたまっており、つりあいが保たれている。気体はヒーターを用いて加熱することができ、気体と容器壁およびピストンとの間の熱の移動は無視できる。また、気体の重さ、ヒーターの体積、液体と容器壁との摩擦や液体の蒸発は無視でき、液体より上の部分は圧力0の真空とする。重力加速度の大きさをgとする。以下の設問に答えよ。

Ⅰ まず、気体、液体ともに断面積Sの部分にあるときを考える。このときの液体部分の高さはである。
(1) はじめ、気体部分の高さは,圧力はであった。液体の密度を求めよ。
(2) 気体を加熱して、気体部分の高さをからhまでゆっくりと増加させた(3-2)。この間に気体がした仕事を求めよ。
(3) この間に気体が吸収した熱量を求めよ。

Ⅱ 気体部分の高さがhのとき、液体の表面は断面積の部分との境界にあった(3-2)。このときの気体の温度はであった。さらに、ゆっくりと気体を加熱して、気体部分の高さはとなった場合について考える(3-3)
(1) では、液体部分の高さが小さくなることにより、気体の圧力が減少した。気体の圧力Pを、xを含んだ式で表せ。
(2) では、加熱しているにもかかわらず、気体の温度はより下がった。気体の温度Tを、xを含んだ式で表せ。
(3) 気体部分の高さがhからに変化する間に、気体がした仕事Wを求めよ。
(4) 気体部分の高さがある高さに達すると、ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が0になり、xXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった。Xを求めよ。

解答 Ⅱ(4)以外は標準的な問題です。Ⅱ(4)だけ考え込みますが、火山の水蒸気爆発の状況を入試問題化したような問題です。火山の噴火口は、マグマの上昇する通り道に続いてマグマが噴火口にあふれ出すと広がるような構造をしています。雨水がしみこんでマグマ溜まりに触れて水蒸気となり、マグマの熱に熱せられて膨張し、マグマを押し上げると本問のようなことが起こります。

(1) 液体の密度ρとします。ピストンに働くは、ピストン上部の液体から受ける鉛直下向きの垂直抗力(液体に働く重力に等しい)と、気体の圧力による鉛直上向きのです。この2力のつり合いより、
......[]
(2) 気体を加熱している間、ピストンに働くのつりあいに関する状況は変化せず、気体の変化は定圧変化です。この間、気体がした仕事は、
......[]
(3) 気体のモル数をn気体定数Rとして、はじめの気体の状態方程式
 ・・・①
気体の高さhになったとき、気体の温度として、気体の状態方程式
 ・・・②
②÷①より、
この間の
内部エネルギーの変化は、
 ( )
熱力学第1法則より、気体が吸収したは、
......[]
別解.単原子分子理想気体なので定圧モル比熱です。定圧モル比熱の式を用いて、
としてもOKです。
Ⅱ 気体部分の高さhのときの気体の圧力温度は、Ⅰ(3)より、です。
(1) 断面積の部分での液体の深さとします。この部分にあふれた液体の体積です。
 ∴
ピストンに液体が及ぼす垂直抗力は、ピストン上に位置する液体(深さは、断面積Sの部分が断面積の部分が)に働く重力に等しく、
これと、気体がピストンに及ぼす圧力によるとの力のつり合いより、
(1)を用いて、気体の圧力Pは、
......[]
(2) 気体の高さとなったときの気体の状態方程式
 ・・・③
③÷②より、
(1)の結果を用いて、
気体の温度Tは、
......[] ・・・④
(3) 気体の圧力からPまで変化します。
気体の体積Vについて、を用いて、Ⅱ(1)の結果からxを消去すると、
従って、この間の変化のPV図は、右図のように直線的になり、気体の高さhからに変化する間に気体がした仕事Wは、PV図とV軸に挟まれた部分にできる台形(黄色着色部)の面積になります。気体の体積からまで変化するので、より、(1)の結果を用いて、気体がした仕事Wは、
......[]
(4) この間の温度変化は、Ⅱ(2)の結果を用いて、
内部エネルギーの変化は、
熱力学第1法則より、この間に気体が吸収したQは、
 ・・・⑤
さて、問題文の「ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量0になり、xXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった」の意味を考えます。
まず、注意しなければいけないことは、「ピストンを上昇させるために必要な
熱量0になる」と言っているのではないことです。気体にを加えなければ、気体は膨張せず、ピストンが上昇することはありません。
問題文は「さらに上昇させる」ために必要な
熱量について言及しているので、ここでは、上昇距離の変化分熱量の変化分に着目してください。
なのにとなると言っているわけです。
⑤式は
Qxの関数のように表示されている式ですが、xQの関数であるように捉えるとわかり易いと思います。熱量Qを増加させることにより()気体が膨張してピストンが上昇するわけですが()、「xXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった」と言っているのは、ある高さまで上昇すると、急激にxが増加するようになる、と、問題文は言っているわけです。xの変化率が急激に大きくなる、ということは、となる、ということです。これが、なのにになる、ということの意味です。このとき、です。
⑤を、
Qxの関数だとしてグラフに描くと、
より、右図のようになります。
において
Q最大で、となるので、
......[]


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  1. 2011/03/11(金) 13:07:44|
  2. 東大物理'11年
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東大物理'11年前期[2]

東大物理'11年前期[2]

電気製品によく使われているダイオードを用いた回路を考えよう。簡単化のため、ダイオードは図2-1のようなスイッチと抵抗とが直列につながれた回路と等価であると考え、Pの電位がQよりも高いか等しいときにはが閉じ、低いときにはが開くものとする。なお以下では、電池の内部抵抗、回路の配線に用いる導線の抵抗、回路の自己インダクタンスは考えなくてよい。

Ⅰ 図2-2のように、容量Cのコンデンサー2個、ダイオード,スイッチS,および起電力の電池2個を接続した。最初、スイッチS側にも側にも接続されておらず、コンデンサーには電荷は蓄えられていないものとする。点Gを電位の基準点(電位0)としたときの点それぞれの電位をとして、以下の設問に答えよ。
(1) まず、スイッチS側に接続した。この直後のを求めよ。
(2) (1)の後、回路中の電荷移動がなくなるまで待った。このときの,およびコンデンサー1に蓄えられた静電エネルギーUを求めよ。また、電池がした仕事Wを求めよ。
(3) (2)の後、スイッチS側に切り換えた。この直後のを求めよ。
(4) (3)の後、回路中の電荷移動がなくなったときのを求めよ。

Ⅱ 図2-2の回路に多数のコンデンサーとダイオードを付け加えた図2-3の回路は、コッククロフト・ウォルトン回路と呼ばれ、高電圧を得る目的で使われる。いま、コンデンサーの容量は全てCとし、最初、スイッチS側にも側にも接続されておらず、コンデンサーには電荷は蓄えられていないとする。
スイッチS側、側と何度も繰り返し切り換えた結果、切り換えても回路中での電荷移動が起こらなくなった。この状況において、スイッチS側に接続したとき、点と点の電位は等しくなっていた()。また、スイッチS側に接続したとき、点と点の電位は等しくなっていた()。スイッチS側に接続したときの点の電位Nで表せ。なお、点Gを電位の基準点(電位0)とせよ。

解答 Ⅰは教科書の例題レベルの問題です。試験会場で、壮大なⅡがコンデンサーの問題ではなくロジックの問題だと見破り易問だと感じた受験生は合格を確信できたでしょう。
以下では、ダイオードの等価回路で、
P電位Qよりも高いか等しいとき(が閉じる)を「順方向」、低いとき(が開く)を「逆方向」と言うことにします。

(1) スイッチS側に接続した直後、充電されていないコンデンサーは導通したのと同じになるので、回路は等価的に右上図のようになっています。右上図より、電位G電位に等しく、電位電位に等しくなります。は順方向、は逆方向です。
......[]
(2) 回路中の電荷移動がなくなるまで待ったときの回路は等価的に右下図のようになっています。右下図より、電位はともに電位に等しくなります。
......[]
コンデンサー1に蓄えられる静電エネルギーUは、
......[] (コンデンサーの過渡現象を参照)
コンデンサー1に蓄えられる電荷で、電池は電圧電荷を供給しているので、電池がした仕事Wは、
......[] (電位・電圧を参照)
(3) スイッチS側に切り換えた直後、充電されていないコンデンサー2は導通したのと同じになるので、回路は等価的に右上図のようになっています。右上図より、電位G電位より高く、電位電位に等しくなります。は逆方向、は順方向です。
......[]
(4) 回路中の電荷移動がなくなったときの回路は等価的に右下図のようになっています。コンデンサー1の上側の極板には最初、電荷が蓄えられていたので、右下図のように、コンデンサー1,コンデンサー2に蓄えられる電荷とすると、電荷保存より(合成容量の公式を参照)
両式より、
 ∴
電位なので、
......[]

Ⅱ スイッチSの切り換え、1回目、2回目、・・・、と各コンデンサーの電圧を調べて行きたくなるのですが、本問では、手に負えなくなります。
スイッチSの切り換えn回目の電位を求めるのではなく、「切り換えても回路中での電荷移動が起こらなくなった」状況で、電位を求めるので、この最終的な状況だけを考えることにします。
以後、点,・・・,における
電位,・・・,とします。
「スイッチ
S側に接続したとき、点と点電位は等しくなっていた()。また、スイッチS側に接続したとき、点と点電位は等しくなっていた()」という問題文のヒントについて考えてみます。
スイッチ
S側に接続したとき、点と点電位は等しくなっていた、ということは、電荷の移動がないのであれば、接続直後に、であったということです。なぜなら、であれば、間のダイオードが順方向にならず、にはなり得ないからです。つまり、スイッチS側に接続したとき、間のダイオードは順方向になっていて、ダイオード等価回路のスイッチが閉じており、電荷の移動が無く電流がゼロなので抵抗両端の電圧もゼロ、ダイオード両端の電位は等しい、ということになります。
また、にはならないので、間のダイオードは逆方向でダイオード等価回路内のスイッチは開いた状態にあります。この状況を右図に示します。
電荷の移動がない状況では、間のコンデンサーと間のコンデンサーとは()、両端の電位が等しいので、両端の電圧も等しくなります。
同様に、スイッチ
S側に接続したとき、点と点電位は等しくなっていた、ということは、間のダイオードは順方向でダイオード等価回路内のスイッチは閉じた状態にあり、電荷の移動が無く電流ゼロなのでダイオード両端の電位が等しくなるということです。
間のダイオードは逆方向になっていてダイオード等価回路のスイッチが開いた状態にあります。この状況を右図に示します。
電荷の移動がない状況では、間のコンデンサーと間のコンデンサーは()、両端の電位が等しいので、両端の電圧も等しくなります。
以上より、
電荷の移動がない状況では、G間のコンデンサーを除いて、全てのコンデンサー両端の電圧が等しくなります。最初からこの事実を直感できれば、本問は易問と言えるでしょう。答案には、
「スイッチSを切り換えても回路中での電荷移動が起こらない状況では、スイッチS側に接続したとき、間のダイオードが順方向で、間のダイオードが逆方向、スイッチS側に接続したとき、間のダイオードが順方向で、間のダイオードが逆方向となり、電荷移動が起こらなくなったとき、電流が流れず抵抗電圧はゼロで、間のコンデンサー以外の全てのコンデンサーの電圧は等しくなる。」
と書いておけば良いでしょう。
電荷の移動がない状況で、スイッチS側に接続したとき、間のダイオードは順方向で、G間のコンデンサーの電圧となり、電位は、です。
この後、スイッチ
S側に接続したとき、電荷の移動がないので、のままです。間のダイオードは順方向で、となります。電位なので、間のコンデンサーの電圧です。従って、G間のコンデンサーを除いて、全てのコンデンサー両端の電圧です。
Gからまで、電圧のコンデンサー1個と、電圧のコンデンサーが個直列に並ぶので、
......[]
からまで、電圧のコンデンサーがN個直列に並び、電位なので、
......[]


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  1. 2011/03/10(木) 20:15:54|
  2. 東大物理'11年
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東大物理'11年前期[1]

東大物理'11年前期[1]

1のように、長さで質量の無視できる棒によってつながれた、質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。ただしとする。棒は物体Aおよび物体Bに対してなめらかに回転でき、棒が鉛直方向となす角をθ とする。はじめ、物体Aは水平な床の上で鉛直な壁に接していた。一方、物体Bは物体Aの真上()から初速度0で右側へ動き始めた。その後の運動について以下の設問に答えよ。なお、重力加速度の大きさをgとして、物体Aと物体Bの大きさは考えなくてよい。また、棒と物体Aおよび物体Bとの間にはたらく力は棒に平行である。

Ⅰ まず、物体Aと床との間に摩擦がない場合について考える。
(1) 物体Bが動き出してからしばらくの間は、物体Aは壁に接したままであった。この間の物体Bの速さvを、θ を含んだ式で表せ。
(2) (1)のとき、棒から物体Bにはたらく力Fを、θ を含んだ式で表せ。棒が物体Bを押す向きを正とする。
(3) において、物体Aが壁から離れて床の上をすべり始めた。を求めよ。
(4) における物体Bの運動量の水平成分Pを求めよ。
(5) 物体Bが物体Aの真横()にきたときの、物体Aの速さVを求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。
(6) に達した直後に、物体Bが床と完全弾性衝突した。その後、物体Bが一番高く上がったときであった。を求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。

Ⅱ 次に、物体Aと床との間に摩擦がある場合について考える。今度は、において、物体Aが壁から離れた。これより、物体Aと床との間の静止摩擦係数μを求めよ。

解答 転倒の問題に見えますが、モーメントを考えるまでもない不等速円運動の問題です。運動量保存力学的エネルギー保存を考えるだけでOK

(1) 床を位置エネルギーの基準に取ります。のときの物体B位置エネルギーです。このとき、ABも停止していて運動エネルギーはありません。棒が鉛直方向となす角がθ のときのB速さvとして、B運動エネルギーAには運動エネルギーはなく、B位置エネルギーは、力学的エネルギー保存より、
......[]
(2) 棒に沿ってAに向かう方向(物体Bの円運動の向心方向)に物体Bが受けるは、と、重力の鉛直方向成分
物体B運動方程式は、
(1)の結果より、
......[]
(3) 物体Aが壁から受ける右向きの垂直抗力とすると、物体Aに水平方向に働くは、と、棒から受けるFの水平成分です。これらの力のつり合いより、

物体Aが壁から離れるとき(物体Aと床との間に摩擦がないので、垂直抗力がなくなった時点で、物体Aは壁から離れます) ()より、(2)の結果を用いて、
......[]
(4) のとき、物体B速さは、(1)(3)の結果を用いて、
物体B速度と水平方向とのなす角はαで、物体B速度の水平成分は、
物体B運動量の水平成分Pは、
......[]
(5) 物体Aが離れる瞬間のA速度0運動量0です。
物体Bが物体Aの真横に来たとき、物体Aと物体Bはともに速さVで水平方向に動いていて、この方向の運動量保存より、
() ......[]
(6) 物体Bと床との衝突では力学的エネルギーは失われません。最高点では、物体Bと物体Aは同じ速度になり、この速度をとすると、AB合わせて運動エネルギー,物体B位置エネルギーのときと、物体Bと床との衝突後の最高点()のときとの力学的エネルギー保存より、
水平方向の運動量保存より、
 ∴
() ......[]

Ⅱ 棒が鉛直方向となす角がθ のとき、物体Aが床から受ける垂直抗力を鉛直上向きにとします。物体Aが鉛直方向に受けるは、と、重力,棒から受けるの鉛直成分です。これらの力のつり合いより、

物体Aが壁から離れたあと、物体Aが水平方向に受けるは、棒から受けるの水平成分静止摩擦力で、これらの力のつり合いより、静止摩擦力に等しくなります。物体Aが滑り出す限界で、静止摩擦力最大静止摩擦力になります。
として、
(2)より、
として、
......[]


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  1. 2011/03/06(日) 20:04:33|
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東大理系数学'11年前期[6]

[東大理系数学'11年前期[6]]の続きを読む

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  1. 2011/03/05(土) 19:38:11|
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東大理系数学'11年前期[5]

東大理系数学'11年前期[5]

pq2つの正の整数とする。整数abcで条件
を満たすものを考え、このようなabcの形に並べたものをパターンと呼ぶ。各パターンに対して
とおく。
(1) パターンのうち、となるものの個数を求めよ。また、となるパターンの個数を求めよ。
以下、の場合を考える。
(2) sを整数とする。パターンでとなるものの個数を求めよ。
(3) パターンの個数を求めよ。

解答 パターンの背景はわかりませんが、要するに空間内の格子点を数える問題です。問題文に惑わされなければ、誘導がついているので、悩み込むことはないと思います。但し、細部では神経を使います。

整数の組と、パターンとは
11で対応します。パターンの個数は格子点の個数と一致します。

(1)
より、

より、
問題文中の条件:より、に限られます。このとき、
を満たす整数cの個数は個で、
となるパターンの個数も
......[]
より、

より、
問題文中の条件:より、に限られます。このとき、
を満たす整数cの個数は個で、
となるパターンの個数も
......[]

(2) のとき、

これより、を満たす整数cの個数について、
 ・・・①
また、
より、
これと、問題文中の条件:との共有部分を、以下で場合分けして、考えます。
(i) または ,即ち、 または のとき、
共有部分は存在せず、
パターンでとなるものの個数は
0 ......[]
(ii) ,即ち、のとき、
より、となるので、共有部分は、となり、
パターンでとなるものの個数は、①を用いて、
 (等差数列を参照)
......[]
(iii) ,即ち、のとき、
より、となるので、共有部分は、となり、
パターンでとなるものの個数は、①を用いて、
......[]

(3) (2)において、となるパターンが存在するのは、(ii)の場合と、(iii)の場合で、パターンの個数は、


......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/03/01(火) 10:38:49|
  2. 東大数学'11年
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