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東大理系数学'11年前期[4]

東大理系数学'11年前期[4]

座標平面上の1Pをとる。放物線上の2QRを、3PQRQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心Gの軌跡を求めよ。

解答 問題状況の設定は目新しいですが、実質は対称式を利用する古典的な問題です。なお、座標平面における内分・外分を参照してください。

QRの中点Mは、
PQRの重心GPM21に内分する点で、その座標は、
よって、


 ・・・①
より、

Q
Rは異なる2点で、異なる実数αβ が存在するために、αβ 2解とするx2次方程式
は、相異なる2実数解をもち、この2次方程式の判別式Dについて、

 ・・・②
3PQRQRを底辺とする二等辺三角形をなすとき、より、
直線
QRの傾きは、
直線
PMの傾きは、
①より、

 ・・・③
 ・・・④
ここで、条件②を考慮すると、③より、
となるので、②より、

 ・・・⑤
④,⑤より、求める
軌跡は、曲線:の部分。 ......[]


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  1. 2011/02/28(月) 14:30:51|
  2. 東大数学'11年
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東大理系数学'11年前期[3]

東大理系数学'11年前期[3]

Lを正定数とする。座標平面のx軸上の正の部分にある点Pに対し、原点Oを中心とし点Pを通る円周上を、Pから出発して反時計回りに道のりLだけ進んだ点をQと表す。
(1) を求めよ。
(2) の範囲の実数aに対し、積分
を求めよ。
(3) 極限を求めよ。

解答 積分の計算問題です。見慣れない形ですが置換積分により解決できます。

(1) 原点を中心とし点Pを通る円周の半径はt です。とすると、弧PQの長さがLより、 (一般角を参照)

これより、
......[]

(2)  (合成関数の微分法を参照)

被積分関数の根号が開けるように、とおきます(置換積分(その2)を参照)
(より、) ・・・①
として、のとき、θ
において
 (三角関数を参照)

とおくと、θのときu

被積分関数を部分分数に分けます
(分数関数の積分を参照)
とおくと、この右辺を変形して、


 (不定積分の公式を参照)

ここで、①が使えるように変形します。
よって、
......[]

(3)
のとき、より(関数の極限を参照)
......[]


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  1. 2011/02/27(日) 14:37:54|
  2. 東大数学'11年
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東大理系数学'11年前期[2]

東大理系数学'11年前期[2]

実数xの小数部分を、かつが整数となる実数yのこととし、これを記号で表す。実数aに対して、無限数列の各項 ()を次のように順次定める。
(i)
(ii)
(1) のとき、数列を求めよ。
(2) 任意の自然数nに対してとなるような以上の実数aをすべて求めよ。
(3) aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いてと表すとき、q以上のすべての自然数nに対して、であることを示せ。

解答 とっつきにくそうな問題ですが、手を付けてみればそれほどでもない、という問題です。(3)は割り算の余りを使って考えます。なお、整数を参照してください。

(1) より、
のとき、とみて、(i)より、
(ii)として、
より、
であれば、
これより、すべての自然数
nについて、

(2) (1)a1つの候補です。
のとき、です。(i)よりですがなので、
 ・・・①
のとき、ですが、(ii)より、
pを整数として、とすると、,よって、
 ・・・②
よりなので、①より、②の複号は+をとり、
 ・・・③
また、①より、

 ・・・④
右側の不等号で、より
④の各辺を
2乗すると、
左側の不等号より、
これより、となりますが、これを満たす整数pは、
③でとして、

これより、
③でとして、
これは、
(1)より条件を満たします。
以上より、
......[]
追記.②からを導くところは、2次方程式の解の配置を考えて、以下のようにすることもできます。
a2次方程式は、より、正の解と負の解をもちます。正の解がの範囲に存在するために、 かつ

という条件がなければ、③で、となるすべての実数aを与えます。

(3) pqで割るときの商をk (k:整数),余りをj ()とします。です。
ここで、とします。です。
なので、
(i)より、
ここで、ならば
(であったとしても)(ii)より、以降、
特に、ならとなります。
以後として、ならば、
で割るときの商を
m (m:整数),余りを ()とします。です。

なので、
以降、のとき、として、
ここで、であれば
(であったとしても)(ii)より、以降、
特に、ならとなり、となります。
かつかつ・・・かつであれば、で割るときの商を
(:整数),余りを ()とします。です。

より、
こうして、数列を作ると、
,・・・,qはいずれも0以上の整数なので、であれば、
以降、
以上より、
q以上のすべての自然数nに対して、


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  1. 2011/02/26(土) 23:38:21|
  2. 東大数学'11年
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東大理系数学'11年前期[1]

東大理系数学'11年前期[1]

座標平面において、点Pを中心とする半径1の円をCとする。aを満たす実数とし、直線Cとの交点をQRとする。
(1) PQRの面積を求めよ。
(2) aの範囲を動くとき、が最大となるaを求めよ。

解答 弦の長さを、点と直線の距離の公式から考える標準的な最大・最小問題です。

(1) は、とすると、aの値にかかわらずとなるので、定点を通り傾きaの直線を表します(定点を通る直線を参照)
Pから直線,つまり、に下ろした垂線PHの長さは、
 (点と直線の距離を参照)
......[]

(2) のとき、
 (商の微分法を参照)


とすると、 ()
の範囲で増減表は(関数の増減を参照)
a0

1

0




これより、を最大とするaは、 ......[]

追記.(1)PHaの関数とみてとすると、
において、より、は減少関数で、です。これより、となります。
従って、のとき、直線と円は必ず
2交点をもちます(図形的に明らかですが)
また、
(2)では、 ()とおくと、
より (を満たす)のとき最大となりますが、このとき、
より、となります。


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  1. 2011/02/26(土) 09:19:17|
  2. 東大数学'11年
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鹿児島大数学'10年[6]

鹿児島大数学'10[6]

で表される曲線をCとし、PC上の点とする。次の各問いに答えよ。
(1) 曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
となることを証明せよ。
(2) 原点Oからlにおろした垂線をOHとする。Hの座標をとするとき、で表せ。
(3) Fとする。は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ。また、その値を求めよ。

解答 双曲線をテーマとする計算問題ですが、上手に計算しないと行き詰まります。

(1) C ・・・①
陰関数の微分法により、両辺をxで微分して、
 ・・・②
(i) のとき、
①でとすれば
における
Cの接線lは、 (複号同順) ・・・③
(ii) のとき、
②でとすれば、
 ・・・④
これが、PにおけるCの接線lの傾きです。接線lの方程式は、

PC上の点で①を満たすので、
 ・・・⑤
よって、接線lは、
ここで、とすると、③を含んでいます。
以上より、曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
 ・・・⑥
となります。

(2) 曲線Cの接線で、y()と垂直になるものはないので、接線lと垂直な直線OHの傾きは、④より、 () (直線の平行と垂直を参照)
直線OHは、
⑥と連立すると、

Hは、 ......[]

(3)




ここで、(2)の結果を用いて、

 ( )
よって、は点Pの取り方によらず一定で、その値は1 ......[] です。


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  1. 2011/02/11(金) 11:53:07|
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広島大理系数学'10年[5]

広島大理系数学'10[5]

4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする。すなわち、
とする。次の問いに答えよ。
(1) xおよびyAに属するならば、その積Aに属することを証明せよ。
(2) 0以上の偶数mに対して、Aに属することを証明せよ。
(3) mn0以上の整数とする。が偶数ならばAに属し、が奇数ならばAに属さないことを証明せよ。
(4) mn0以上の整数とする。の正の約数のうち、Aに属する数全体の和をmnを用いて表せ。

解答 誘導なしでいきなり(4)を聞かれると厳しい問題ですが、誘導に乗って進めて行けば、解答できます。なお、集合整数を参照してください。

(1) であれば、pq0以上の整数として、
と表すことができます。
0以上の整数なので、
となります。 (証明終)

(2) 0以上の偶数mは、k0以上の整数として、と表すことができます。
となりますが、より、です。従って、(1)より、です。
また、
(1)より、であれば、です。
よって、帰納的に
(数学的帰納法を参照)0以上の整数k,つまり、0以上の偶数mについて、
となります。 (証明終)

(3) 以下では、pq0以上の整数とします。
(i) のとき、は偶数です。
となりますが、(2)より、です。についても、より、で、(1)より、であれば、となり、帰納的にとなるので、(1)より、
となります。
(ii) のとき、は奇数です。
となりますが、(i)で見たように、なので、 (k0以上の整数)とおくと、
は、4で割ると3余るので、
となります。
(iii) のとき、は奇数です。
となりますが、(i)で見たように、なので、 (k0以上の整数)とおくと、
は、4で割ると3余るので、
となります。
(iv) のとき、は偶数です。
となりますが、,また、より、なので、(1)より、
となります。
以上より、が偶数ならばAに属し、が奇数ならばAに属しません。 (証明終)

(4) の正の約数は、pqを満たす整数として、の形に表せます。このうち、Aに属するものは、(3)より、が偶数となるもので、pが偶数ならqも偶数、pが奇数ならqも奇数となります。これらの和Sは、
 (等比数列を参照)

......[
]


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  1. 2011/02/10(木) 18:00:00|
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帯広畜産大数学'10年[2]

帯広畜産大数学'10[2]

関数tに関する最大値xの関数とする。
(1) のとき、xを用いて表し、曲線の概形を描け。
(2) 曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) 直線上の点Qから、曲線に引いた2本の接線の接点のx座標をそれぞれabとする。点Qの座標をabを用いて表せ。
(4) 2本の接線と曲線で囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。

解答 2次関数の最大最小がからみますが、数学Ⅱの範囲の微積の総合問題です。

(1)
より、のとき最大値をとります。
......[] を図示すると右図実線(白マルを除く)

(2) を連立して、
 ∴
求める面積は、においてより、
......[]

(3) 接点のx座標をpとします。
における接線 ・・・①
直線上の点
Qを通るので、
 ・・・②
判別式:
 ・・・③
よって、pに関する2次方程式②は、相異なる2解を持ちます。この2解がabです。解と係数の関係より、
 ∴ ()
Qの座標は、 ......[] (と書くこともできます)

(4) とします。①において、として、2本の接線は、
2本の接線と曲線で囲まれる図形を直線で分けて面積を考えることにより、この図形の面積は、



2次方程式②の2解の差 (2次方程式の一般論を参照)は、③のDを用いて、

のとき、最小値: ......[] をとります。


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  1. 2011/02/09(水) 14:17:23|
  2. 10年数学
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熊本大医数学'10年[3]

熊本大医数学'10[3]

関数 ()について、以下の問いに答えよ。
(1) の導関数を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) 条件 ()によって定まる数列の一般項を求めよ。

解答 (2)では定積分を実行しなくても(1)を利用して解答できてしまいますが、定積分を実行するなら、部分積分のような雰囲気になります。

(1)  (定積分と微分(その2)を参照)

 (正接の加法定理を参照)




......[
]

(2) (1)より、 ・・・①
の定積分の上端と下端を等しい、と、おくと、

このとき、
①より、

別解.定積分を実行してみます。
 ・・・②
とおくと、tのとき、u (置換積分を参照)


 ( )


(3) (2)より、

 ・・・③ (2項間漸化式を参照)
 ・・・④
③-④より、
は、初項,公比等比数列
......[]


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  1. 2011/02/06(日) 15:25:23|
  2. 10年数学
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京都工繊大数学'10年[4]

京都工繊大数学'10[4]

(1) 不定積分を求めよ。
(2) 実数aに対して定積分の値をとおく。aの範囲を動くとき、の最小値を求めよ。

解答 積分の計算問題です。要領よく計算しましょう。

(1)
 (不定積分の公式を参照)
 (C:積分定数) ......[]

(2)
とおくと、

 
(商の微分法を参照)
より単調減少関数で、
においてにおいて





 (対数関数を参照)
に注意して、増減表は以下のようになります。
a0
1
2

0



増減表より(関数の増減を参照)は最小値: ......[] をとります。


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  1. 2011/02/05(土) 21:27:41|
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茶女大理数学'10年[7]

茶女大理数学'10[7]

自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。

解答 階段型関数のグラフにより不等式を証明します。数学的帰納法によっても証明可能です。

右図で、橙色線で囲まれた領域の面積
Sは、
Sは、右図で、曲線x軸,で囲まれた領域に黄色着色部分を加えた領域(赤色線で囲まれた領域)の面積よりも小さく(のときのみ、Sは赤色線で囲まれる部分の面積に一致)、曲線x軸,y軸,で囲まれた領域(青色線で囲まれた部分)の面積よりも大きく、


別解.数学的帰納法によっても示せます。
() のとき、
より、
よって、与不等式は成り立ちます。
() のとき、与不等式が成り立つと仮定します。
各辺にを加えると、
 ・・・①
①の左辺について、


 ・・・②
①の右辺について、


 ・・・③
①,②,③より、
よって、のときにも与不等式は成り立ちます。
()()より、自然数nに対して、与不等式が成り立ちます。


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  1. 2011/02/04(金) 10:25:04|
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山梨大医数学'10年[2]

山梨大医数学'10[2]

表が出る確率がp,裏が出る確率がである硬貨をn回投げる。このとき、硬貨を1回投げるごとに、表ならばAを記録し、裏ならばBを記録して、1回目から順番に1列に並べる。ただし、n2以上の整数であり、とする。このように並べたn個の文字の中に組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいない確率をとし、どれもAAの順番に並んでいない確率をとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) となるようなpの値、および、そのときのを求めよ。ただし、となることを用いてもよい。

解答 3項間漸化式が美しくないので、極限をとるあたりで不安になりますが、腕尽くで強行突破することにします。

(1) n個の文字の中に組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいないとき、n個の文字の並びの中にAが出てくるとその次もAでなければならないので、一度Aが出てくるとその後は全部Aになります。このようになるのは、以下の場合です。
n個の文字の並びすべてAとなる場合、その確率
1番目がB2番目以降すべてAとなる場合、その確率は
1番目と2番目がB3番目以降すべてAとなる場合、その確率は
 ・・・・・・

n個の文字の並びすべてBとなる場合、その確率は
以上の場合はすべて互いに排反で、求める確率は、以上の各場合の確率の和となり、

のときは、
のときは、
のときのとき ......[]

(2) の状況も考えると、1個の文字の並びの中にAAの順の並びは現れないので、です。
のとき、2個の文字の並びの中にAAの順が現れる確率はで、現れない確率は、です。
以下、とします。
n個の文字の中に組ある連続する2文字が、どれもAAの順番に並んでいないとき(こうなる確率はです)
1番目がA (こうなる確率はpです)のときは、Aが続かないので、2番目は必ずBです(こうなる確率はです)3番目はAでもBでも良いのですが、3番目以降の個の文字の中に組ある連続する2文字は、どれもAAの順番に並んでいません(こうなる確率はです)
1番目がB (こうなる確率はです)のときは、2番目はAでもBでも良いのですが、2番目以上の個の文字の中に組ある連続する2文字は、どれもAAの順番に並んでいません(こうなる確率はです)
以上より、

 ・・・① (3項間漸化式を参照)
特性方程式: ・・・②
この2次方程式の判別式について、
 ()
より、2次方程式②は相異なる2実数解をもちます。②の左辺をとおくと、


これより、2次方程式②の2αβ について、

また、の軸の位置: より、 (2次方程式の解の配置を参照)

は、初項,公比β 等比数列
 ・・・③

は、初項,公比αの等比数列。
 ・・・④
③-④より、
のときの極限を求めたいのですが、なので、でくくります。

ここで、とすると、 (等比数列の極限を参照)

......[]
についても、のとき、
のとき、より、


 ( )
のとき、より、


 ( )

(3) のとき、②は、

 ( )
のとき、
とすると、



より不適。
のとき、
とすると、



より、
以上より、 ......[]
このとき、
......[]



......[]


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  1. 2011/02/03(木) 20:21:24|
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北大理系数学'10年後期[2]

北大理系数学'10年後期[2]

cを実数として、以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数xに対してとなるようなcの範囲を求めよ。
(2) c(1)で求めた範囲にあるものとする。2つの曲線,および、2つの直線で囲まれる図形の面積が4となるcの値を求めよ。

解答 微積分の範囲を網羅する計算問題です。

(1)
とおきます。
(i) のとき、
とすると、
x
0
0
0

増減表より(関数の増減を参照)
このときは、すべての実数
xについてとなります。
(ii) のとき、
x
0
0
0

増減表より、
においてになってしまいます。
(iii) のとき、
とすると、
()とおくと、
()
において増加で、
よって、

x

0

000
0

増減表より、となる実数xが存在します。
(i)(ii)(iii)より、すべての実数xに対してとなるようなcの範囲は、 ......[]

(2) 2つの曲線のグラフはともにy軸に関して対称です。

 (部分積分法を参照)


3項の積分はとおくことにより、xのときθより(置換積分(その2)を参照)


......[] ((1)を満たす)


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  1. 2011/02/02(水) 11:11:54|
  2. 10年数学
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