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山形大医数学'10年[3]

山形大医数学'10[3]

(1) を満たすxの範囲を求めよ。
(2) のとき、の大小を調べよ。
(3) pである定数とする。のとき、の大小を調べよ。

解答 (3)は簡単に調べる方法はなさそうです。(1)から(2)への展開を応用することにします。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。

(1) とおきます。
 ・・・① (積の微分法を参照)
とおきます。
とすると、
x
0
0
0

増減表より(関数の増減を参照)
よって、①より、 
(等号はのみにおいて成立)
従って、は連続であってかつにおいて増加関数で、
のときより、
のとき、より、
また、
以上より、,つまり、を満たす
xの範囲は、 ......[]

(2) のとき、(1)より、
両辺をxで割って、
のとき、(1)より、
両辺を
xで割って、
よって、のとき、

(3) (1)(2)同様のアプローチをして、まず、分母を払って左辺から右辺を引いた形の関数の増減を調べ、そこから不等式を導くことにします。
ここで、中カッコ内を、
とおきます。
とおくと、
に注意して増減表を作ると、
x
1
0
0

増減表より、,よって、において、
 (等号はでのみ成立)
は連続であってかつにおいて減少関数で、です。
なので、のとき、に注意して、
のときで、で割って、
のときで、で割って、
よって、のとき、 ......[]


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  1. 2011/01/29(土) 16:06:45|
  2. 10年数学
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横浜国大工数学'10年後期[5]

横浜国大工数学'10年後期[5]

2つの数列
で定める。次の問いに答えよ。
(1) に対して、
  
を示せ。
(2) に対して、を示せ。
(3) n2以上の自然数とする。である自然数kに対して、
を示せ。
(4) に対して、を示せ。ただし、 () を証明なしに用いてよい。

解答 以下では、とします。(1)(4)では、二項係数の定義: (組み合わせを参照)を使います。

(1) かつ のとき、

,・・・, ()より、
かつ のとき、
かつ のとき、
のとき、,このとき、またはなので、
以上より、
に対して、 

(2) 二項定理より、
 ・・・①
(1)の結果を用いて、

(3) kについての数学的帰納法により示します。
() のとき、

よって、であり、与不等式は成立します。
() かつ ()のとき、与不等式が成立するとします。つまり、
このとき、
 ・・・②
この左辺は、
 (Σの公式を参照)
②両辺にをかけると、よりなので、
この左辺は、

よって、

よって、のときにも、与不等式は成立します。
()()より、n2以上の自然数とすると、である自然数kに対して、与不等式が成立します。
注.のときはに限られるので、()だけで完結していることに注意してください。

(4) のとき、①と同様にして、
 (注.のとき中カッコ内は0です)
 (注.のとき中カッコ内は0です)
和をとるときkが動く範囲をとしているので、上記はの場合です。(3)の結果を用いて、

問題文のヒント: ()を用いて、以下、のとき、
 (等比数列を参照)
 (のとき)
のとき、
のとき、
よって、 に対して、
追記.(2)の結果と合わせて、となりますが、ここで、とすると、となることがわかります。
(自然対数の底)です(極限の公式を参照)


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  1. 2011/01/27(木) 13:46:41|
  2. 10年数学
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富山大医数学'10年[3]

富山大医数学'10[3]

行列で表される座標平面上の点の移動を考える。原点を通る直線l上のすべての点がl上に移されるとき、この移動によってlはそれ自身に移されるということにする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 原点を通る直線で、この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件をabcを用いて表せ。
(2) abc(1)の条件をみたすとき、(1)2つの直線は、直線に関して対称であることを証明せよ。

解答 1次変換の問題です。x軸に垂直な直線と、そうでない直線(傾きが存在する直線)に分けて考えます。

(1)(i) それ自身に移される直線がのとき、
直線上の点は、tを任意の実数として、と表せます。
これが、再び直線上の点であるために、
直線上のすべての点について、つまり任意の実数tについて、これが成り立つために、
 ・・・①
が必要です。
逆にのとき、つまり、のとき、
直線以外にもそれ自身に移される直線が存在するとします。
直線上の点は、
tを任意の実数として、と表されます。
これが、再び直線上の点であるために、

直線上のすべての点について、つまり任意の実数tについて、これが成り立つために、
 ・・・②
または
が必要ですが、のとき、つまり、のとき、
となり、任意の実数kについて、直線がそれ自身に移される直線となり、「ちょうど2つ存在する」という条件を満たしません。従って、ですが、このときは、②より、 (直線は)となり、移動Aによってそれ自身に移される直線がちょうど2つ、直線と直線が存在します。よって、①と合わせて、この場合の必要十分条件は、
かつ  ・・・③
(ii) それ自身に移される直線が2本ともの形をしているとき、
直線上の点は、tを任意の実数として、と表されますが、
これが、再び直線上の点であるために、

直線上のすべての点について、つまり任意の実数tについて、これが成り立つために、
 ・・・④
それ自身に移される直線がちょうど2本存在するために、 (のときは④が2次方程式になりません)であってかつ、直線の傾きk2通り存在する、つまり、2次方程式④が異なる実数解をもつことが必要十分です。よって、
かつ 判別式: ・・・⑤ (2次方程式の解の理論を参照)
③,⑤を合わせて、(i)(ii)より、求める必要十分条件は、
......[]

(2) abc(1)の条件をみたすとき、まず、のとき、つまり③のとき、それ自身に移される直線は、直線と直線でこの2直線は、直線に関して対称です。
の場合は、直線の傾きkは、相異なる2実数解を有する2次方程式④を満たします。
2次方程式④の2解をとすると、解と係数の関係より、
 ()
直線,即ちと直線は、直線に関して対称です。(証明終)


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  1. 2011/01/25(火) 21:04:41|
  2. 10年数学
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センター数学IIB '11年第4問

 センター数学IIB '11年第4問 

四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、とおき、とおく。
を用いて表すとである。辺
OD12に内分する点をLとすると
となる。
さらに辺
OBの中点をM3ALMの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、は実数stを用いてと表されるので、
となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、となる。
また、である。よって、を計算すると、のとき、直線
AMと直線MNは垂直になることがわかる。

解答 この空間ベクトルの問題には、図形的な要素はあまりなく、ひたすら計算、ということになるでしょう。04の数値しか出てこないので、問題文を読み違える、ということでもなければ、ミスの可能性も低かったと思われます。

() a () b ......[]
より、
() 2 () 3 () 1 () 1 ......[]
より、
 ・・・①
 ・・・②
() 1 () 2 () 3 () 3 () 2 () 3 ......[]
1次独立で、点Nが辺OC上にあることから、②のの係数について、
これを解いて、
②より、

() 1 () 4 ......[]
①より、
 ・・・③
より、
 (内積を参照)

より、

より、

(
) 1 () 2 () 0 () - () 2 ......[]
直線AMと直線MNが垂直になるとき、です。①,③を用いて、



() 2 ......[]


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  1. 2011/01/21(金) 12:14:44|
  2. センター数学'11年
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センター数学IIB '11年第3問

 センター数学IIB '11年第3問 

数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pで表す。
数直線上に点をとる。線分
31に内分する点をとする。一般に、自然数nに対して、線分31に内分する点をとする。点の座標をとする。
であり、である。数列の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数
nに対してとする。
 ()
である。したがって、 ()であり、
 ()
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        
次に、自然数nに対してを求めよう。とおくと
 ()
であり、したがって
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        

解答 やや面倒な計算はありますが、標準的な内容なので、細心の注意を払って正解したい問題です。

を結ぶ線分を
31内分する点は、より、です。
() 7 () 4 ......[]


 ()
() 1 () - () 1 () 4 ......[]
は、初項1,公比等比数列です。
 ()
(
) ......[]
階差数列の公式より、のとき、

 (のときもとなり、正しい結果を与えます)
() 9 () 5 () 4 ()
とおくと、
      ・・・①
 ・・・②
①-②より、
 ()
()  () ......[]

() 1 () 6 () 9 () 4 ()  () 3 () 4 () ......[]


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  1. 2011/01/21(金) 09:08:31|
  2. センター数学'11年
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センター数学IIB '11年第2問

 センター数学IIB '11年第2問 

座標平面上で、放物線Cとする。
曲線
C上の点Px座標をaとする。点PにおけるCの接線の方程式は
である。のとき直線x軸と交わる点をQとすると、Qの座標は
である。
のとき、曲線
Cと直線およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
である。
のとき、曲線
Cと直線および直線で囲まれた図形の面積をTとすると
である。
のときはのときはであるとして、に対してとおく。
aがこの範囲を動くとき、Uで最大値をとり、で最小値をとる。

解答 センター試験の微積の問題としては、この程度が適切だと思います。以前の複雑で面倒な計算をさせる問題では何を試験したいのかわからなくなります。今後も、今年の方針を継続することを期待します。

C
Pにおける接線は、
() 2 () a () 2 ......[]
直線x軸と交わる点Qは、として、
 ∴
より、Q
(
) a () 2 () 0 ......[]
のとき、曲線Cと直線およびx軸で囲まれた図形は、右図黄緑色着色部です。この面積Sは、
 (定積分と面積を参照)
() 3 () 1 () 2 ......[]
のとき、曲線Cと直線および直線で囲まれた図形は、右図水色着色部です。この面積Tは、

() 3 () 2 () 4 () 8 () 3 ......[]
問題文に、「のときはのときは」という記述が見えます。ここで、STの結果を確認してから先に進むようにしましょう。
に対してとおくと、


のときのとき
のとき

a0

2

0
U

増減表より、Uは、で最大値をとり、で最小値をとります(3次関数の最大・最小を参照)
() 0 () 8 () 3 () 4 () 3 () 8 () 2 () 7 ......[]


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  1. 2011/01/20(木) 18:57:40|
  2. センター数学'11年
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センター数学IIB '11年第1問

 センター数学IIB '11年第1問 

[1] のとき、関数
の最小値を求めよう。
とおくと

であるから
となる。また
である。
のとり得る値の範囲は

であるから、t のとり得る値の範囲は
である。したがって、y,すなわちのとき、最小値をとる。

解答 この問題は落とせません。

 (三角関数の合成を参照)
とおくと、
 ・・・①
() 2 () 2 () 3 () 1 ......[]
 (半角の公式を参照)
これより、
 ・・・②
() 2 () 2 ......[]
①より、
() 2 () 3 ......[]
のとき、

(
)?6 ......[]
より、
 ・・・③ (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
() - () 1 () 3 ......[]
②より、
は③の範囲に含まれるので、yで最小となります(2次関数の最大・最小を参照)
のとき、
 ∴
よって、yは、,即ちのとき、最小値をとります。
() 1 () 6 () - () 3 ......[]


[2] 自然数xで、条件
  ・・・①
  ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、
xを正の実数として、条件①を考える。①はとおくと
となる。この2次方程式を解くと
となる。したがって、条件①を満たす最小の自然数xであり、以上のすべての自然数xは①を満たす。
次に、条件②について考えると、②を満たす最大の自然数
xであり、以下のすべての自然数xは②を満たす。
したがって、求める
x以上以下の自然数である。

解答 対数の基本問題です。整数がからんでいると言っても大したことはありません。

①より、



() 7 () 2 () 0 () 4 () 3 () 5 () 2 ......[]
x
は自然数でなので、です。従って、
()
を満たす最小の自然数は6で、6以上のすべての自然数xは①を満たします。
() 6 ......[]
②の左辺は、xも単調増加、も単調増加なので、も単調増加です。②のxに適当に数値代入して、②の成立不成立を調べます。
としてみると、,成立します。
としてみると、より、,成立します。
としてみると、より、,成立します。
としてみると、より、,②は成立しません。
従って、②を満たす最大の自然数
x11であり、11以下のすべての自然数xは②を満たします。
() 1 () 1 ......[]


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  1. 2011/01/20(木) 10:44:58|
  2. センター数学'11年
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センター数学IA '11年第4問

 センター数学IA '11年第4問 

1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pであり、5以上の目が出る確率qである。
以下では、
1個のさいころを8回繰り返して投げる。

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。
1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率はである。
1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。

(2) 次ののうちに等しいものはである。ただし、は解答の順序を問わない。
     
     

(3) 得点を次のように定める。
8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合、
について、第n回目に初めて4以下の目が出たとき、得点はn点とする。
また、4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは、得点を0点とする。
このとき、得点が
6点となる確率はであり、得点が3点となる確率はである。また、得点の期待値はである。

解答 序盤の凡ミスの連鎖反応で全滅、ということがないように工夫された出題になっています。(2)が意味不明ですが、(1)の結果から、パスカルの三角形を作るための公式: (組み合わせを参照)を意識させようというのでしょうか?を考えれば、2個はすぐ見つかります。

1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pは、です。
() 2 () 3 ......[]
5
以上の目が出る確率qは、です。
() 1 () 3 ......[]

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は、反復試行の公式より、
() 5 () 6 ......[]
1回目に4以下の目が出て(確率p)、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る(確率)確率は、
() 2 () 1 ......[]
1回目に5以上の目が出て(確率q)、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る(確率)確率は、
() 3 () 5 ......[]
注.(キク)(ケコ)を合わせると(オカ)なので、とすることもできます。

(2) ,また、公式:より、
() ()
()  () ......[] (サ,シは逆でもOK)
注.
 
 

(3) 得点が6点になるのは、8回の中で4以下の目がちょうど3回出て、第6回目に初めて4以下の目が出る場合、つまり、1回目から5回目まで5以上の目が出て(確率)6回目、7回目、8回目には4以下の目が出る(確率)場合です。この確率はです。
() 3 () 5 ......[]
得点が3点になるのは、1回目と2回目に5以上の目が出て(確率)3回目に4以下の目が出て(確率p)4回目から8回目までの5回のうち24以下の目が出る()場合です。この確率は、

() 1 () 0 ......[]
得点が1点になるのは、1回目がpで、2回目から8回目までの7回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
2点になるのは、1回目がq2回目がpで、3回目から8回目までの6回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
4点になるのは、1回目から3回目がq4回目がpで、5回目から8回目までの4回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
5点になるのは、1回目から4回目がp5回目がpで、6回目から8回目までの3回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点の期待値は、

() 1 () 1 () 2 () 7 () 2 () 9 ......[]
追記.この問題を解くのには関係ありませんが、(2)によると、


となり、(3)において、得点nが、となる確率を加えると、8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率になることがわかります。
一般的に言うと、


 ()


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  1. 2011/01/19(水) 12:27:32|
  2. センター数学'11年
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センター数学IA '11年第3問

 センター数学IA '11年第3問 

Oを中心とする円Oの円周上に4ABCDがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは、それぞれ
であるとする。

(1) とおくと、△ABCに着目して
となる。また、△ACDに着目して
となる。よって、であり、円Oの半径はである。
また、四角形
ABCDの面積はである。

(2) Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると、である。また、線分OEと辺ADの交点をFとすると、であり、
である。
さらに、辺
ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに垂線を下ろし、直線OGとの交点をHとする。
4EGは同一円周上にある。に当てはまるものを次のから一つ選べ。
CF  HD  HF  HA  OA
したがって
である。

解答 (1)は問題集などでよく見かける問題です。ですが、本番では、(2)で難航した受験生が多かったのではないでしょうか?
途中で、
BCが円Oの直径であることがわかってしまうので、右図のような図を描けば何でもないのですが、問題文とにらめっこになってしまうと行き詰まってしまいかねません。図が描きにくいのですが、図が描けたかどうかで勝負が分かれたと思います。

(1) 四角形ABCDは円に内接する四角形なので、対向する内角は互いに補角をなし、
ABCにおいて余弦定理より、

 ・・・①
() 3 () 5 ......[]
ACDにおいて余弦定理より、

 ・・・②
() 1 () 2 ......[]
①,②より、

(
) 1 () 2 ......[]
これより、で、①より、
() 2 () 1 ......[]
Oの半径をRとして、正弦定理より、

(
) 7 ......[]
これで、BCが円Oの直径になっていること(OBC上の点)がわかるので、右図を描くことができます。
ABC面積は、
ACDの面積は、
四角形ABCDの面積は、
() 5 () 3 ......[]

(2) は、半径と接線のなす角でです。
() 9 () 0 ......[]
同様に (半径)OE共通により、
OAE≡△ODE
これより、OEADは直交し、です。
() 9 () 0 ......[]
また、△OAEと△OFAは相似なので、OAOEOFOA
 ・・・③
() 7 ......[]
別解.△AEFの外接円を考えると、AEはこの円の直径、また、OAはこの円の接線です。方べきの定理より、

EHOと△GFOはどちらもを共有する直角三角形で相似です。これより、
この2角を弦HFの上に立つ円周角と見れば、EGHFは同一円周上の点です。
() ......[]
別解.より、この2角を直径EGの上に立つ円周角と見れば、EGHFは同一円周上の点です。

EHOと△GFOが相似であることから、
OEOHOGOF
 ( )
(
) 7 ......[]
別解.四角形EGHFの外接円に方べきの定理を適用して、


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  1. 2011/01/18(火) 23:06:44|
  2. センター数学'11年
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センター数学IA '11年第2問

 センター数学IA '11年第2問 

abcを定数とし、とする。x2次関数
  ・・・①
のグラフをGとする。Gのグラフと同じ軸をもつとき
  ・・・②
となる。さらに、Gが点を通るとき
  ・・・③
が成り立つ。
以下、②,③のとき、
2次関数①とそのグラフGを考える。

(1) Gx軸が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
である。さらに、Gx軸の正の部分が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
である。

(2) とする。
における2次関数①の最小値がであるとき、
である。一方、における
2次関数①の最大値が3であるとき、である。
のときの①のグラフをそれぞれとする。
x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すれば、と一致する。

解答 計算がラクになるように配慮されていますが、センター試験としては、比較的高度な問題です。abcの値、相互関係に注意して解答を進めます。

①右辺を平方完成して、

 (2次関数を参照)
①のグラフGの軸は、です。
の軸はですが、と一致するので、
より、
() - () 1 () 4 ......[]
これで①は、
となりますが、を通るので、

(
) 3 () 4 ......[]
これも入れると、①は、
 ・・・④
となります。

(1) Gx軸が異なる2点で交わるので、④でとしてできる2次方程式、
は、相異なる2実数解をもち、判別式Dについて、
 ・・・⑤
() - () 3 () 2 () 1 () 2 ......[]
さらに、Gx軸の正の部分が異なる2点で交わるので、⑤に付け加えて、
④の軸について、 ・・・⑥ 
(2次方程式の解の配置を参照)
G
のグラフが上に凸であることから、区間端()においてであって、
 ・・・⑦
かつ かつ ⑦より、
() 1 () 2 () 3 () 4 ......[]

(2) Gの軸がにあって、上に凸なので、においては、2次関数①は単調増加です。④より、①はで最小値をとり、これがとなることから、

(
) 1 () 2 ......[]
という範囲はGの軸の位置を含むので、④を平方完成して、
 ・・・⑥
より、において最大値をとり(2次関数の最大・最小を参照)、これが3になることから、

より、
() 3 () 2 ......[]
④でとして、は、
⑥でとして、は、
からへの平行移動は、頂点の移動で考えます。の頂点はの頂点はにあり、x軸方向に2y軸方向に3だけ平行移動すれば、と一致します。
() 2 () 3 ......[]


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  1. 2011/01/18(火) 11:18:00|
  2. センター数学'11年
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センター数学IA '11年第1問

 センター数学IA '11年第1問 

[1] とすると


である。このとき、不等式
を満たすxの値の範囲は
となる。

解答 分母の有理化の問題です。後半の計算に前半の計算結果を活かすようにしましょう。

() 3 () 2 () 2 ......[]
() 2 () 3 ......[]

() 8 () 2 () 6 () 3 ......[]
なので、



(
) 4 () 2 () 3 () 3 () 6 () 2 () 6 ......[]


[2]
 実数abに関する条件pqを次のように定める。
p
q または
(1) 次ののうち、命題「q p」に対する反例になっているのはである。
   
   
(2) 命題「p q」の対偶は「 」である。
に当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。
かつ    
または    
かつ    
または    
(3) pqであるための
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件ではない
十分条件であるが、必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

解答 まともに体当たりしなくてもよいでしょう。(1)は、暗に、適当に値を代入して、真偽や、必要条件か、十分条件かを判断してはどうか、ということを示唆しています。
ですが、アインシュタインの理論が正しいか誤っているかをカンで判断してよい、と言うのであれば、「論理」の問題を出題する意味があるのでしょうか?


(1) 命題q p」に対する反例というのは、条件qを満たすが条件pは満たさない例、となるものです。
のとき、
条件pは、となり成立。条件qは、またはとなり成立。よって、反例にはなりません。
のとき、
条件pは、となり成立。条件qは、またはとなり成立。よって、反例にはなりません。
のとき、
条件pは、となり不成立。条件qは、またはとなり不成立。よって、反例になりません。
のとき、
条件pは、となり不成立。条件qは、またはとなり成立。よって、これが反例になります。
() ......[]
反例が挙げられるので、命題「q p」は偽です。 ・・・①
(2) 命題「p q」の対偶は、「 」です。
は、
は、
かつ
(
)  () ......[]
かつ
かつ
というわけで、対偶が成り立つので、元の命題「p q」は真です。 ・・・②
(3) ①,②より、pqであるための十分条件ですが、必要条件ではありません。
() ......[]
追記.落ち着いてやれば以上の通りで、出題者の意図もそこにあります。ですが、センター試験には厳しい時間制限があって最終解答しか要求されません。条件qの「または」という言葉と、abの絶対値が大きくても条件qが成立する場合があることから、カンでマークしておけば得点できるでしょう。例年の問題も証明してみる必要のない問題です。


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  1. 2011/01/17(月) 14:11:21|
  2. センター数学'11年
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早大理工物理'10年[2]

早大理工物理'10[2]

以下の問題の  にあてはまる式、数字、文字、または語句を解答用紙の該当欄に記入せよ。

1のように、水平な面内で、半径Rの円形をしたレール上にある質量mの物体Aと質量の物体Bの運動を考える。それぞれの物体は、図2の断面図のようにレールの壁および床とつねに接しており、レールの円周方向に沿ってのみ運動できる。物体ABとレールの壁、床との摩擦はない。運動を考えるとき、物体の大きさとレールの幅は無視できるものとする。点Oを中心にして、線分OPを基準とした回転角をで表し、の範囲で定義する。重力加速度はgで表す。

最初
(時刻のとき)、物体Aにあり、一定の速さで反時計回りに等速円運動をしていた。また、のとき、物体Bで静止していた。このとき、物体Aは、レールの底面および内壁から抗力を受け、全抗力の大きさは (1) となる。なお、壁から受ける抗力は、を向く。一方、物体Bに働くレールからの抗力の大きさは (3) である。二つの物体は、 (4) 1回目の衝突をする。ここで、物体ABの衝突は弾性衝突であり、衝突時間は短く無視できるものとすると、衝突後の物体Aの速さは (5) であり、物体Bの速さは (6) である。さらに、 (7) のとき、2回目の衝突が (8) で起こる。2回目の衝突後、物体Aの速さは (9) となり、物体Bの速さは (10) となる。以上のことから、衝突の起こるレール上の位置は全部で (11) カ所あり、2010回目の衝突は (12) で起こることがわかる。また、2010回目の衝突の直前の物体Aの速さは (13) であり、物体Bの速さは (14) である。

次に、物体
Bの代わりに、レールの底面とのみ摩擦のある物体Cを用いた場合を考える。運動を考えるとき、物体の大きさとレールの幅は無視できるものとする。ここで、物体Cと底面との間の動摩擦係数をで表し、物体Cの質量は物体Aと等しくmとする。最初(のとき)、物体Aにあり、一定の速さで反時計回りに等速円運動をしていた。このとき、物体Cで静止していた。物体ACの衝突は弾性衝突であり、衝突時間は短く無視できるものとする。さらに、衝突時間が短いため、物体Cに働く静止摩擦力による力積は無視できるものとする。1回目の衝突直後、運動している物体Cに働く摩擦力の大きさは (15) であり、物体Cが角度α だけ進んだときの、二つの物体の運動エネルギーの和は (16) で与えられる。したがって、物体Cが物体Aと再度衝突するためには、速さ (17) より大きくなければならない。

解答 円周上での衝突、ということで身構えてしまいますが、やや、肩すかしという感じです。

(1) 速さ等速円運動しているので、物体Aには向心力が働きます。この向心力は壁から受ける垂直抗力によるものです。また、物体Aには鉛直下向きに重力が働き、鉛直方向の力のつり合いより、物体Aは床から鉛直上向きに垂直抗力を受けます。
全抗力は、両者の合力として、
......[]
(2) 壁から受ける抗力は、「物体からO ......[] を向きます。
(3) 物体Bには鉛直下向きに重力が働き、鉛直方向の力のつり合いより、物体Bに働くレールからの抗力の大きさは、 ......[]
(4) 最初、時刻においてにいた物体Aが、の位置にいる物体Bと衝突するまでに、円周の半分を速さで進むので、それに要する時間tは、 ......[]
(5) 衝突直後の物体A,物体B速度として、衝突前後の運動量保存より、
両式を連立して解くことにより、 ・・・①
衝突後の物体
A速さは、 ......[]
(6) 衝突後の物体B速さは、 ......[]
(7) 1回目の衝突後、2回目の衝突までに要する時間Tとして、この間に物体Aが進んだ距離と物体Bの進んだ距離の和が円周の長さになるので、

2
回目の衝突が起きる時刻は、 ......[]
(8) 物体Aは時計回りに、角だけ回ります。つまり、衝突位置は、から戻ったところで、2回目の衝突は、 ......[] で起こります。
(9) 2回目の衝突直後の物体A,物体B速度として、衝突前後の運動量保存より、
反発係数の式より、
両式を連立して解くことにより、 ・・・②
2回目の衝突後、物体A速さは、 ......[]
(10) 2回目の衝突後、物体B速さは、0 ......[]
(11) 2回目の衝突で物体Bが止まってしまうので、3回目の衝突もの位置で起こります。この衝突後、物体A,物体B速度は、①と同様に、
1回目の衝突から2回目の衝突のときと同様に、4回目の衝突は、3回目の衝突位置から時計回りに回った位置で起こります。としてθ を考えると、4回目の衝突はの位置で起こります。この衝突後、物体A,物体B速度は、②と同様に、
4回目の衝突で物体Bが止まってしまうので、5回目の衝突もの位置で起こります。この衝突後、物体A,物体B速度は、①と同様に、
1回目の衝突から2回目の衝突のときと同様に、6回目の衝突は、5回目の衝突位置から時計回りに回った位置、で起こります。この衝突後、物体A,物体B速度は、②と同様に、
6回目の衝突で物体Bが止まってしまうので、7回目の衝突もの位置で起こりますが、このときの衝突の状況は1回目の衝突と同じです。
つまり、以後は、衝突を
6回繰り返すたびに同じ状況が現れます。
衝突回数
n6で割ったときの余りをm ()として、n回目の衝突位置は、m回目(但し、のときは6回目)の衝突位置と同じです。
1回目の衝突から6回目の衝突までで、衝突位置は、となるので、衝突の起こるレール上の位置は全部で、3カ所 ......[]
(12) で余り0なので、2010回目の衝突の状況は6回目の衝突と同じです。2010回目の衝突の起こる位置は、 ......[]
(13) 2010回目の衝突の直前の物体A速さは、 ......[]
(14) 2010回目の衝突の直前の物体B速さは、 ......[]
(15) 衝突直後の物体A,物体C速度として、運動量保存より、
反発係数の式より、
両式を連立して解くことにより、
衝突後、物体
Aは停止し、物体Cのみ運動し、物体Cに働く動摩擦力の大きさは、 ......[]
(16) 物体A運動エネルギー0です。物体Cが角度だけ進んだとき距離進みます。この間に動摩擦力が物体Cに対してした仕事の分だけ運動エネルギーが減るので、このとき、二つの物体の運動エネルギーの和は、
......[]
(17) 物体Aが止まっているので、物体Cが物体Aと再度衝突するためには、物体Cは角度だけ進む必要があり、このときも運動エネルギー0より大きい必要があります。よって、

......[
]


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  1. 2011/01/16(日) 18:11:02|
  2. 10年物理
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早大教育数学'10年[3]

早大教育数学'10[3]

座標平面上で、を、それぞれ、中心が,半径が211である円周とする。点Pは点を出発点とし、円周上を反時計回りに等速で秒で一周する。点Qは点を出発点とし、まず円周上を反時計回りに等速でa秒で一周し、続いて円周上を時計回りに等速でa秒で一周する。
PQが同時に出発するとき、線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ。ただし、aは正の定数である。

解答 三角関数を含む関数の最大最小の問題です。数学Ⅱの範囲内で解決します。

以下では、回転角は各円の中心から
x軸方向に進んだ点より出発して反時計回りに測ることにします。円の中心が,半径がr,回転角がθ であれば、動点の座標はとなります。
また、時刻秒で
PQは初期位置に戻ってくるので、時刻で考えれば十分です。

時刻において、点
P秒で角回るので、時刻t での回転角はです。円周上を回る点Pの座標は (三角関数を参照)
時刻において、点Qa秒で角π回るので、時刻t での回転角はです。円周上を回るので、点Qの座標は
時刻において、点
Qa秒で角π回り、時計回りに、円の中心からx軸負方向に進んだ点より出発するので、時刻tでの回転角はです。円周上を回る点Qの座標は
以上を見ると、回転角にがよく出てくるので、これを
θ とおくことにします。つまり、
 (のときのとき)
このとき、における点Pの座標は
における点
Qの座標は
における点
Qの座標は、
より、Q
(i) のとき、

 (加法定理を参照)
とおくと、より
 (2倍角の公式を参照)
において、は、のとき最小値のとき最大値36 ・・・①
(ii) のとき、

とおくと、より
(とおきます)
 (微分・導関数を参照)


x

1

0
36494

増減表より(3次関数の最大・最小を参照)は、のとき最小値4のとき最大値49 ・・・②
①,②より、は、のとき最小値 (より、,つまり、)のとき最大値49
よって、PQの長さの最大値7 (のとき),最小値 (のとき) ......[]


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  1. 2011/01/14(金) 12:45:36|
  2. 10年数学
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東大理系数学'84年[6]

東大理系数学'84[6]

xy平面において、不等式の表す領域をDとし、不等式の表す領域をEとする。このとき、次の条件()を満たす点P全体の集合を求め、これを図示せよ。
() Pに関してDと対称な領域をUとするとき、
が同時に成り立つ。ただし、は空集合を表すものとする。

解答 領域についての条件になっていますが、境界線についての条件として考えればOKです。

右図に、問題文の状況を示します。は黄色着色部分、は水色着色部分です。


Dの境界線上の点をとして、これとPに関して対称な点をとします。
の中点がになるので、

 (内分・外分を参照)
が成り立ちます。これより、
 ・・・①
stは、
を満たすので、ここに①を代入すると、

これより、Uの境界線は、
 ・・・②
で、Uに属する点はを満たします。②の右辺をとおきます。

ここで、
Dの境界線Eの境界線の交点を求めておきます。
両式を連立して、


交点はです。
が成り立つ、ということは、
Uの境界線②は、この交点よりも下を通る、ということです。つまり、より、
 ・・・③

さらに、が成り立つ、ということは、
Uの境界線②がよりも下を通ることを考慮すると、Dの境界線Uの境界線②がにおいて2共有点(1接点の場合を含む)をもつことと同値であり、
さらに、と②を連立させて得られる
2次方程式:
即ち、
となる2実数解(重解を含む)をもつことと同値であり、
従って、この左辺をとおいて、

判別式: かつ の軸: かつ 区間の端:
と同値です(2次方程式の解の配置を参照)
より、③のもとで、
かつ  ・・・④

同様に、が成り立つことも、Uの境界線②がよりも下を通ることを考慮すると、と②を連立させてできる2次方程式:
即ち、
が、となる2実数解(重解を含む)をもつこと同値であり、
従って、この左辺をとおいて、

判別式: かつ の軸:
かつ 区間の端:
と同値です。
より、③のもとで、
かつ  ・・・⑤

かつ かつ ⑤,より、
かつ かつ かつ
図示すると右図黄緑色着色部(太線上を含み白マルと破線上を含まない)



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  1. 2011/01/13(木) 15:08:34|
  2. 10年数学
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千葉大数学'10年[11]

千葉大数学'10[11]

は実数全体で定義された関数とする。実数aに関する条件(P)を考える。
(P) 正の実数rを十分小さく選べば、をみたすすべての実数xに対してが成り立つ。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 実数aが条件(P)をみたし、かつ、で微分可能ならば、であることを証明せよ。
(2) 関数
で定義されているとき、条件(P)をみたすような実数a全体の集合を決定せよ。
(3) 一般に、実数全体で定義された関数に対し、次の命題は正しいか。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。
(命題) すべての実数aが条件(P)をみたすならば、は定数関数である。

解答 本格的な数学の香りが漂う問題ですが、見慣れない問題なので、どうやって答案を書くか悩むかも知れません。なお、証明の技巧を参照してください。

以下で、

です。

(1) において、です。
また、で微分可能なので、極限値が存在して、
 ・・・① (微分・導関数を参照)
です。
ここで、を、
2つの部分に分けて考えます。
(i) において、より、
 ・・・② (関数の極限を参照)
(ii) において、より、
 ・・・③
①,②,③より、
 (証明終)

(2) のときのとき
より、
のとき、
のとき、
これらより、
のグラフは右図のようになります。これより、以下のようにaの範囲を分けて考えます。
(i) のとき、においては減少関数なので、どんな小さな正数rに対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となり、条件(P)は成立しません。
(ii) のとき、においてなので、
(a) のとき、となるようにrをとれば、より、
を満たすすべての実数xに対して、で、条件(P)が成立します。
(b) のとき、となるようにrをとれば、より、を満たすすべての実数xに対して、で、条件(P)が成立します。
(iii) のとき、なので、を満たすrをとれば、より、を満たすすべての実数xに対して、 (右図を参照)で、条件(P)が成立します。
(iv) のとき、においては減少関数なので、どんな小さな正数r ()に対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
(v) のとき、においては増加関数なので、どんな小さな正数r ()に対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
(vi) のとき、においてなので、となるようにrをとれば、より、を満たすすべての実数xに対して、で、条件(P)が成立します。
(vii) のとき、においては減少関数なので、どんな小さな正数r ()に対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
(viii) のとき、においては増加関数なので、どんな小さな正数rに対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
以上より、条件(P)を満たすような実数a全体の集合は、
......[]

(3) 定数関数であれば条件(P)を満たすこと、また、連続かつ増加である範囲、連続かつ減少である範囲をもつ関数では条件(P)が満たされないことは明らかです。
(2)(iii)の場合でも条件(P)が成立することを考えると、関数に不連続点があって、その不連続点を含む適当な範囲内で、その不連続点において最大となっていて、不連続点以外では定数値をとる関数であれば、条件(P)が成立します。
従って、
xが整数値のときxが整数値でないときとなるような関数では、定数関数ではないのに、すべての実数aが条件(P)を満たします。
命題は正しくない。反例は、
xが整数値のときxが整数値でないときとなるような関数 ......[]
注.上記の反例で、整数よりも、ほんのちょっとだけ小さい実数a、あるいは、ほんのちょっとだけ大きい実数aのとき、条件(P)は成り立たないのではないか、と、感じる人がいるかも知れません。
ですが、整数をnとして、となるようなaを、どんなにnの近くとっても、rとなるようにとれば(とします)なので、を満たすすべての実数xに対してとなり条件(P)が成立します。
また、となるような
aを、どんなにnの近くにとっても、rとなるようにとれば(とします)なので、を満たすすべての実数xに対してとなり条件(P)が成立します。
ある実数
aのどんなに近くにaと異なる実数bをとっても,または、を満たす実数cがとれる、という実数の性質を、実数の稠密性と言います。


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  1. 2011/01/12(水) 11:41:39|
  2. 10年数学
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長崎大物理'10年[3]

長崎大物理'10[3]

図のように円筒容器が水平に置かれている。この円筒容器の壁は断熱されており、中は断熱性の仕切り板(断面積S)と円筒容器の外部との熱の出入りが自由なピストン(断面積S)によって2つの部分に区切られている。これらの仕切り板とピストンは左右になめらかに動く。左側には単原子分子の理想気体Aが封入されており、熱が加えられるようにヒーターが取り付けられている。また右側には単原子分子の理想気体Bが封入されている。初期状態では、気体A、気体Bの圧力は,温度はであり、どちらの気体も円筒容器の外部の圧力および温度と等しかった。また、円筒容器の左側から仕切り板までの距離と仕切り板からピストンまでの距離はともにであった。ただし、仕切り板の厚さは無視できるものとする。
過程a
初期状態において、ヒーターで気体Aに熱を加えると、仕切り板とピストンはゆっくり右側に移動した。そして、しばらくして熱を加えるのをやめると、仕切り板とピストンは停止した。このときの気体Aの温度はであった。
() 気体Aの内部エネルギーの変化量Sを用いて表せ。
() ピストンが停止したときの気体Aの体積Sを用いて表せ。
() 気体Aに加えられた熱量QSを用いて表せ。
過程b
初期状態において、ピストンを動かないように固定してヒーターで気体Aに熱を加えると仕切り板は停止した。このときの気体Aの温度はであった。
() 仕切り板が停止したときの気体Aの圧力を用いて表し、また、仕切り板が移動した距離を用いて表せ。
() 気体Bが周囲から加えられた仕事をWとして、気体Aと気体Bが吸収または放出した熱量をそれぞれSWのうち必要なものを用いて表せ。ただし、吸収の場合を正、放出の場合を負とする。
() 過程bにおける気体Bの圧力と体積の関係についてグラフを描き、さらに気体Bが周囲から加えられた仕事Wに相当する面積を斜線によって示せ。

解答 本問のような気体の基本問題では、状態方程式熱力学第一法則を素直に適用することを考えましょう。また、ピストンや仕切り板に対して働く力のつり合いを見落とさないようにしてください。

初期状態では、気体
A,気体Bは、同一状態で同一体積のため、ボイル・シャルルの法則によりモル数は等しくnだったとします。ピストンに働く力のつり合いより、気体Bの圧力は外部の圧力に等しく、外部の圧力です。また、気体定数をRとします。

過程a
初期状態の気体A、気体B体積で、状態方程式は、
 ・・・①
加熱中、また、加熱後にピストン、仕切り板が停止したときにも、ピストン、仕切り板に働くのつり合いが成立するので、気体A,気体B圧力はともにのまま一定で、過程aにおいて、気体A、気体B定圧変化をします。
こうした問題では、仕切り板、ピストンを動かし始める
、停止させるは無視できるほど小さく、また、仕切り板、ピストンは、無視できるほど小さな速さで等速度運動(従って、のつり合いがつねに成立している)と考えます。こうした過程は、つねに熱平衡が保たれていて準静的過程と言います。
加熱後、ピストン、仕切り板が停止したときの気体
A体積として、状態方程式は、
 ・・・②
() 気体A温度変化なので、気体A内部エネルギー変化量は、
①より、,よって、
......[]
() ②÷①より、ピストンが停止したときの気体A体積は、
......[]
() 気体A定圧変化をしたので、定圧モル比熱の式より、気体Aに加えられた熱量Qは、
......[]

過程b
加熱後、ピストン、仕切り板が停止したとき、仕切り板が右に移動したとして、気体A体積,気体B体積です。仕切り板に働くのつり合いより、気体A圧力とすると、気体B圧力です。
このときの気体
A、気体B状態方程式は、それぞれ、
 ・・・③
 ・・・④
() ③+④より、を消去して、
 ・・・⑤
⑤÷①より、
......[]
③÷④より、

......[]
() ピストンが固定されているので、気体BはピストンBに対して仕事をしません。ということは、気体Bがされた仕事W (つまり、気体Bがした仕事です)は、すべて仕切り板の移動により、気体Aから受けた仕事です。過程bにおいて、気体B等温変化をしていて内部エネルギーの変化はゼロです。よって、熱力学第一法則より、気体Bが吸収した熱量は、
......[]
気体Aがした仕事はWで、気体A内部エネルギーの変化は、①を用いて、
熱力学第一法則より、気体Aが吸収した熱量は、
......[]
() 過程bの途中での気体B圧力P体積Vとすると、気体B等温変化をするので、状態方程式は、
従って、過程bにおける圧力P体積Vの関係をグラフに描くと右図実線のような直角双曲線の一部となり、初期状態においては、であり、過程bの最後では、であって、周囲から加えられた仕事Wに相当する面積は右図斜線部となります(気体がした仕事を参照)


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新潟大数学'10年[2]

新潟大数学'10[2]

次の条件()()を満たす数列について考える。
() である。
() ,・・・,,・・・ はどれも自然数である。
() ,・・・,,・・・ の中にはすべての自然数kが現れ、その個数はk以上以下である。
条件()()を満たし、すべての自然数kがちょうどk個現れる数列
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 項数5の数列で、数列の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ。
(2) 数列の第210の値を求めよ。
(3) のとり得る最小の値を求めよ。

解答 群数列の問題です。各群の個数から、指定された項がどの群に属するか、ということを不等式を書いて求めます。なお、Σの公式を参照してください。

(1) 条件()()より数列各項は小さい順に、'1''2''3',・・・と現れます。条件()より、'1'1個以上3個以下、'2'2個以上4個以下、'3'3個以上5個以下続きます。以下で、数列と表すことにします。集合の記号を用いて書きますが、集合の要素は順序づけられていると思ってください。
11個、22個、33個以上になれば初めの5項は、
11個、23個、33個以上になれば、
11個、24個になれば、
12個、22個、33個以上になれば、
12個、23個になれば、
13個、22個になれば、
これで全部です。
......[]
注.入試の答案として単に結果を書くだけであれば、=と書くのがよいように思います。

(2) kk個続くところを第k群とすると、第k群までの項数は、
210項が第k群に属するとして、
 ・・・①
となるはずですが、なので、です。
これより、
......[]

(3) (1)の結果を見ていると、が最小になるのは、同じ自然数が最も多く続くときで、'1'3個、'2'4個、'3'5個、・・・、'k'個続くときです。k個続くところを第k群とすると、第k群までの項数は、
①と同様にして、第50項が第k群に属するとして、
 ・・・②
より、②を満たすkは、です。
8群までの項数は、
です。第52項までであれば、'8'10個続きますが、第50項まででは、'8'8個続くことになります。よって、このとき、

......[]


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  1. 2011/01/06(木) 09:17:14|
  2. 10年数学
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旭川医大数学'10年[3]

旭川医大数学'10[3]

関数 ()の逆関数を ()とおくとき、次の問いに答えよ。
1 のとき、xを用いて表せ。
2 曲線 ()と直線 ()2つの交点のx座標を、それぞれab ()とおくとき、t と関数gを用いて表せ。
3  ()とおくとき、 ()を示し、を最小にするt の値を求めよ。

解答 面倒な微積の計算問題です。符号もややこしいので注意してください。

1 関数 ()の逆関数が ()であるとき、
 ・・・①
ここで、です。また、のときには、となります。
両辺を
xで微分して、
と①より、,よって、
......[]
別解.の逆関数をと書けば、逆関数の微分法の公式を用いて、


2  (半角の公式を参照)は、のときのときのとき
では増加関数、では減少関数です。
曲線と直線
2つの交点のx座標ab について、となっています。
従って、です。これらを用いて、
 (三角関数の積分を参照)




......[
]

3 問2の結果を用いて、

 ・・・②

とすると、においては、

 ()
①において、とするととすると
を考慮すると、
よって、②より、
増減表は以下のようになります
(関数の増減を参照)
t0

1

0
0
0

増減表より、において
また、を最小にする
tは、 ......[]


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  1. 2011/01/05(水) 08:44:58|
  2. 10年数学
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鹿児島大数学'10年[3]

鹿児島大数学'10[3]

座標平面において、点Cを中心とし、半径がの円をSとする。S上に点Nをとり、とする。このとき、次の各問いに答えよ。ただし、Oは原点を表すものとする。
(1) x軸上に点Pをとり、直線NPと円Sとの交点のうち、Nと異なるものをQとする。とおき、の形で表したとき、abxで表せ。
(2) x軸上に2をとる。直線と円Sとの交点のうち、Nと異なるものをとし、直線と円Sとの交点のうち、Nと異なるものをとする。このとき、が成り立っていれば
が成立することを証明せよ。ただし、は零ベクトルを表すものとする。

解答 内積計算を利用する平面ベクトルの計算問題です。(1)がなくて(2)だけになっている問題でも、1次結合の形に表すようにしましょう。

(1) より、 ・・・①
となっています。
と表すとき、NQPは一直線上の点なので、
 ・・・② (共線条件を参照)
より、
 ( )
 ( )


のとき②よりで、となってしまうので不適。
のとき②より
......[]
これより、x軸方向の単位ベクトルとして、より、
 ・・・③

(2) ③において、とすることにより、
③において、とすることにより、

より、
ここで、の係数について、

 ( )

 ( )
よって、
 (証明終)


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  1. 2011/01/04(火) 11:01:09|
  2. 10年数学
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横浜国大物理'04年[3]

横浜国大物理'04[3]

重力加速度をgとして次の問いに答えよ。
(1) 次の文中の空白を埋めよ。
両端が固定された長さの弦にできる定常波の腹がn()のときの波長は (a) と表される。のときの振動を (b) と呼ぶ。弦を伝わる波の速さは、張力Tと弦の単位長さ当たりの質量(線密度)rとによって (c) と表される。

(2) 同じ材質でできた、断面が円形で直径の異なる針金Aと針金Bがある。
針金Aを用いて、図のように一端を壁に固定し他端には滑車を通して質量mのおもりを付ける。壁と滑車の間の距離はである。その中央を指ではじくと、3個の腹のある定常波ができて、振動数はfであった。
(a) 針金Aの線密度を求めよ。
針金Bについても図と同じ条件で振動させると、同様に3個の腹のある定常波ができた。同様の設定で針金Aと針金Bを二つ並べて同時にはじくと単位時間あたりk回のうなりが観測され、針金Bにおもりをわずかに追加すると、うなりは消えた。この間、針金Bの腹の数は変化しなかった。
(b) おもりを追加する前に針金Bに生じた波の振動数はいくらか。
(c) おもりを追加した後、針金Bについているおもりの質量はいくらか。
(d) 針金Bの直径は針金Aの直径の何倍か。

解答 弦の振動に関する問題です。(2)では少々悩むかも知れませんが、既知の物理量を(1)(c)の結果にあてはめた式を書いてみることで視野が開けます。

(1)(a) 2個分の長さ波長になります。弦の長さを腹の数ので割り、波長lは、
......[]
(b) 基本振動 ......[]
(c) 公式なのですが、公式として記憶していなくても、次元解析で求めるようにしましょう。
長さ質量時間の次元をそれぞれとします。
波の
速さvの単位はで、次元は、長さ時間で割った次元です。
張力Tの単位はで、次元は、質量長さをかけて時間2乗で割った次元です。
線密度rの単位はで、次元は、質量長さで割った次元です。
vTrの間に、という関係があるとすると、次元について、

両辺の各指数を比較して、

これより、とわかります。

......[]

(2) 針金A線密度r,針金A,針金Bの断面の円の半径abとします。
単位長さあたりの質量断面積に比例するので、針金B線密度は、
 ・・・①
になります。
(a) (1)(a)の結果より、腹が3個できるときの波の波長は、です。また、弦の張力はおもりにはたらく重力に等しくなります。波の公式より、(1)(c)の結果を用いて、
 ・・・②
......[]
(b) 針金Bの方が断面積が大きく線密度も大きいので、(1)(c)の結果からして、針金B振動数は、針金A振動数fよりも小さくなります。よって、
......[]
(c) おもりを追加する前は、針金Bの弦の張力で、振動数だったので、波の公式より、
 ・・・③
おもりを追加した後、針金Bについているおもりの質量とすると、振動数fだったので、波の公式より、
 ・・・④
③÷④より、
......[]
(d) ②÷③より、
①より、
......[]


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  1. 2011/01/03(月) 12:29:19|
  2. 10年物理
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