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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
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北大理系数学'10年後期[1]

北大理系数学'10年後期[1]

次の連立不等式の表す領域をDとする。
(1) 領域Dを図示せよ。
(2) がこの領域Dを動くとき、の最大値Mと最小値mを求めよ。また、Mmを与えるDの点を求めよ。
(3) aを実数とする。点が領域Dを動くとき、が点で最大値をとるようなaの範囲を求めよ。

解答 線形計画法の問題です。

(1) 領域Dの境界線は、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①,②を連立すると、
整理して、

のときのとき
①,③を連立すると、


のときのとき
①,②,③はで交わります。領域
Dは円①から内側で、
において、とすると成り立つので、
3つの境界線で囲われた領域のうち、原点を含む部分で、図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む)

(2)  ・・・④
とおくと、傾きy切片kの直線を表します。点(1)で図示した領域Dを動くので、直線④は領域Dと共有点をもたなければなりません。こうなるのは、
(i) 直線④が円のの部分で接するときのkの値
から、
(ii) 直線④が点を通るときのkの値
までの間の値を、kがとるときです。
(i)は、①と④を連立して、
整理して、
 ・・・⑤
①と④は接するので、この2次方程式は重解をもちます。
判別式: (2次方程式の一般論を参照)

このとき⑤は、
 (複号同順)
となる解は、,このとき、
(ii)は、④にを代入して、
(i)(ii)より、
左側の不等号の等号は、のとき、右側の不等号の等号は、のときに成立します。以上より、
,これを与える
Dの点は,これを与えるDの点は ......[]

(3)  ・・・⑥
とおくと、傾きy切片kの直線を表します。点が領域Dを動くので、(2)と同様、直線⑥は領域Dと共有点をもちます。
kが最大値をとるので、kが最大値をとるとき、直線⑥はを通り、
 ・・・⑦
このとき、を通る直線が領域D2つの領域に分けるような直線であると仮定すると、2つの領域のいずれか一方の領域内の点を通り直線⑥と平行な直線(傾き)y切片はkよりも大きくなります。ということは、k最大を与える点ではない、ということになり矛盾を生じます。つまり、kの最大値を与える直線⑥が領域D2つの領域に分けることはありません。
ということは、直線⑥の傾きは、において円①と接する直線の傾きと、直線②の傾き
2までの間の値をとるということです。
直線⑥がにおいて円①と接するとき、と直線⑥との距離は
5となり(円と直線の位置関係を参照)
 (点と直線の距離を参照)
これと⑦より、

 (直線⑥の傾きは)
......[]


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  1. 2010/12/31(金) 10:56:27|
  2. 10年数学
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京都府立医大数学'10年[1]

京都府立医大数学'10[1]

Oを原点とする座標平面上の楕円Cを考える。
P (ただし、)を通る楕円C2つの接線をとし、それらと楕円との接点をそれぞれQRとする。点Qを通りと直交する直線をとし、点Rを通りと直交する直線をとする。直線の交点をSとする。ただし、Qx座標はRx座標より大きいとする。
(1) 2QRの座標をt を用いて表せ。
(2) Sの座標をt を用いて表せ。
(3) t 1より大きい実数全体を動くとき、点Sの軌跡を求めよ。
(4) であるとき、△OPSの面積をとする。を求めよ。

解答 まともに腕ずくで計算しようとすると収拾がつかなくなります。どうやって計算するか、ということが問われている問題です。なお、楕円を参照してください。

(1) Pを通る直線とおいてと連立していくと凄まじいことになります。傾きmを持ち出さずに、直接、接点の座標を求めるようにします。
接点QRの座標をとおきます。接点は楕円C上の点なので、
 ・・・①
における楕円Cの接線は、
 ・・・②
Pを通るので、
なので、

 ・・・③
を①に代入して、
整理して、
 ・・・④

③より、
Qx座標はRx座標より大きいので、
QR ......[]

(2) ここも(1)の結果をそのまま使って連立方程式を解くのでは大変です。QRの座標をよく見て、計算を工夫します。Qx座標はRy座標の倍、Rx座標はQy座標の倍になっていることに着眼します。対称性があるので、対称式の利用を考えます。
④の2解、つまり、QRy座標をab とおきます。よりです。
④において、
解と係数の関係より、
 ・・・⑤
ここで、のときにとなることに注意します。
(i) ,つまりのとき、QRです。Qにおける接線Rにおける接線Qにおける法線Rにおける法線
の交点Sの座標はです。
(ii) ,つまりのとき、
Qx座標は、③を用いて、
 ( )
同様に、Rx座標はです。
②より、
Qにおける接線は、
この傾きは,よって、Qにおける法線の傾きはQにおける法線は、
 ・・・⑥
同様にRにおける法線は、
 ・・・⑦
⑥,⑦を連立して、


より、
⑤を用いて、
⑥より、
(ii)の結果でとすると、となるので、(ii)の結果は(i)の結果を含んでいます。
よって、
Sの座標は、 ......[]

(3) Sx座標y座標の間には、という関係があります。
よりxtの減少関数(関数の増減を参照)で、のときのとき
これより、
S軌跡は、直線の部分 ......[]

(4) のとき、Pは直線の部分にあります。Sは直線の部分にあります。は直交するので、△OPSの面積は、 ()より、
のとき、 (関数の極限を参照)
......[]


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  1. 2010/12/30(木) 00:11:13|
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九大数学'10年後期[4]

九大数学'10年後期[4]

表と裏の出る確率がずつの硬貨を投げ、表なら1点、裏なら0点とする。knを正の整数として、以下の問いに答えよ。
1.硬貨を繰り返して投げ、得点の合計が3点に達したら終了することにする。ちょうど5回目で終了する確率はいくらか。また、ちょうどn回目で終了する確率をとするとき、を証明せよ。
2.硬貨を繰り返して投げ、得点の合計がk点に達したら終了することにする。ちょうどn回目で終了する確率をとする。kを固定したままnを動かすときのの最大値を求めよ。

解答 反復試行の問題です。1回の試行で事象Aの起こる確率がpのとき、n回の試行中k回事象Aが起こる確率がになる、という、反復試行の公式を使って解答しましょう。

1.ちょうど5回で終了するのは、4回目までに、表が2回、裏が2回出て(確率)いて、5回目に表が出る(確率)ときです。その確率は、
......[]
3回以上投げないと得点が3点にならないので、です。
のとき、ちょうど
n回目で得点の合計が3点になるのは、回目までに、表が2回、裏が回出て(確率)いて、n回目に表が出る(確率)ときです。その確率は、
これを使って、を計算するのはキビしいので、証明すべき式の形から、余事象を考えることにします。
確率がとなるのは、
n回目までに終了する、という事象です。この余事象は、n回目までに終了しない、つまり、n回硬貨を投げて、表の出た回数が0回か1回か2回、という事象です。n回硬貨投げを行って、表が0回となる確率は、,表が1回となる確率は、,表が2回となる確率は、
よって、余事象の確率は、
よって、n回目までに終了する確率は、
 (証明終)

2のときは、n回硬貨を投げても得点がk点になることはないので、です。
のとき、ちょうどn回硬貨を投げて得点がk点となって終了するのは、回目までに、表が回、裏が回出て(確率)n回目に表が出る(確率)ときで、その確率は、
 (ただし、) ・・・①
(i) のときは、ちょうどn回硬貨を投げて得点がk点となって終了するのは、1回目から回目まで裏が出てn回目に表が出る場合で、その確率は、
のとき、は、のとき最大値をとります。
(ii) のとき、①より、
としてみると、
,これより、
のとき、
のとき、
のとき、

これより、は、のとき、最大値
をとります。
(i)(ii)より、の最大値は、
のときのとき
......[]


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  1. 2010/12/28(火) 21:11:37|
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山口大物理'10年[2]

山口大物理'10[2]

1のようにx軸上の点に正の点電荷が置かれている。これらの点電荷が作る電場について、以下の問いに答えよ。ただし、は正の定数とし、真空の誘電率をとする。
1 x軸上に正の点電荷を置いた。この点電荷に働く力の向きは点電荷を置く位置によって異なる。点電荷qx軸の正の向きに力が働く区間と、x軸の負の向きに力が働く区間、また、働く力が0である点をそれぞれ答えよ。
ただし、点電荷Qのあるx軸上の点は除いて答えよ。
2 x軸上の点に置いた点電荷qに働く力の大きさは、それをx軸上の点に置いた場合に働く力の大きさの何倍であるかを答えよ。
3 z軸上の点における電場の大きさとその方向を答えよ。
4 yz平面内の点における電場の方向がy軸となす角度を答えよ。
5 図2のグラフにz軸上の電場のz成分が描かれている。この図を参考にして、点Aと点B間の電位差と、点Bと点C間の電位差はどちらが大きいか。理由を述べて答えよ。
6 原点O,点A,点B,点Cの電位の高さの順をOABCの記号で高い方から答えよ。
7 yz平面上の等電位線の概略図を描け。

解答 電位電場の定義の理解を問う問題です(電界を参照)。問7を原問題から変更しました。また、問題文ではが与えられているのですが、最終解答には出てこないので、以下では、を用いて書くことにします。

に置かれた
点電荷に置かれた点電荷とします。

1 点電荷qとの間では斥力が働きます。
点電荷qに置くとき、点電荷qから受けるの向きはいずれもx軸負方向です。従って、点電荷qに働くの向きはx軸負方向です。
点電荷qに置くとき、点電荷qから受けるの向きはいずれもx軸正方向です。従って、点電荷qに働くの向きはx軸正方向です。
点電荷qに置くとき、点電荷qは、点電荷からx軸正方向にを受け、点電荷からx軸負方向にを受けます。
点電荷qに置くとき、点電荷から等距離にあり、それぞれから受けるは大きさが同じで向きは逆なので、点電荷qに働く0です。
点電荷qに置くとき、点電荷qには点電荷の方が近いので、点電荷から受けるの方が大きくなり、点電荷qに働くの向きはx軸正方向になります。
点電荷qに置くとき、点電荷qには点電荷の方が近いので、点電荷から受けるの方が大きくなり、点電荷qに働くの向きはx軸負方向になります。
以上より、
点電荷qx軸の正の向きにが働く区間は、 ......[]
x
軸の負の向きにが働く区間は、 ......[]
働く0である点は、 ......[]
追記.位置xに置かれた点電荷qが、点電荷から受けるの大きさは、
 (クーロンの法則を参照)
点電荷から受けるの大きさは、
点電荷qに位置するとき、ともにx軸負方向なので、合力Fは、
点電荷qに位置するとき、x軸正方向、x軸負方向なので、合力Fは、
点電荷qに位置するとき、ともにx軸正方向なので、合力Fは、
ここからも答えられます。

2 との距離なので、点電荷qが、点電荷から受けるの大きさは、
との距離aなので、点電荷から受けるの大きさは、
どちらも向きはx軸正方向で、合力は、
との距離なので、点電荷qが、点電荷から受けるの大きさは
との距離なので、点電荷から受けるの大きさは、
どちらも向きはx軸正方向で、合力は、

......[]

3 より、との距離はです。
に作る電場は、ベクトルの向きに、大きさです(ガウスの法則を参照)
が作る
電場は、ベクトルの向きに、大きさです。
両電場は同じ大きさなので、合成すると、ベクトルの方向を向きます。求める電場は、で、向きはz軸正方向、大きさは、
......[]
注.計算しなくても、右図を描けば求められます。

4 より、との距離です。点電荷に作る電場は、ベクトルの向きに、大きさです。点電荷が作る電場は、ベクトルの向きに、大きさです。両電場は同じ大きさなので、合成すると、ベクトルの方向を向きます。このベクトルとy軸がなす角は、 ......[]
注.y軸正方向を向く単位ベクトルはで、このベクトルととのなす角q の余弦は、
です。

5 正電荷電場の向きに沿って電場の方向に動かすとクーロン力仕事をして電位は下がることに注意します。
3と同様に考えると、z軸上のの部分に位置する点に、が作る電場xz平面に関して対称で、両電場を合成すると、z軸正方向を向きます。従って、グラフに見るように、z軸上の電場z成分です。
ABCD距離はいずれもaです。
正電荷BからAまで動かすとき、静電気力とつり合う外力のする仕事AB間の電位差になります(電位・電圧を参照。なのでAの方が電位が高い)
グラフを見ると、
AB間での電場の方がBC間の電場よりも強いので、外力は、CからBまでの移動よりも、BからAまでの移動の方が、正電荷の移動に大きな仕事をする必要があります。つまり、AB間の電位差の方がCD間の電位差よりも大きいということになります。
AB間の電位差の方がBC間の電位差よりも大きい ......[]
理由:電場はz軸正方向を向いていて、AB間の電場の大きさの方がBC間の電場の大きさよりも大きく、正電荷を移動させるとAB間の方が大きな仕事を必要とするから。 ......[]
追記.z軸上の ()に作る電場は、向きがベクトルの向きで、大きさがに作る電場は、向きがベクトルの向きで、大きさがです。合成電場は、ベクトルの方向(z軸正方向)を向いていて、における電場z成分は、

 ・・・①
より、において極大値をとり、においてのときとなります。のグラフが問題文中の図に描かれています。
無限遠を基準として、に作る
電位は、に作る電位で、両者を重ね合わせて、における電位は、
 (となっています) ・・・②
これより、O ()における電位は、A ()における電位は、B ()における電位は、C ()における電位は、
これより、
(6の答)がわかります。

6 問5に書いたように、z軸上のの部分において、電場z成分は常になので、z座標が大きくなるに従って電位は下がります。つまり、電位の高い順に、
OABC ......[]

7 正電荷x軸上に存在するので、yz平面上での電位の分布はx軸、即ち、yz平面上での原点に関して回転対称になり、いろいろな電位の値に対して等電位線を描くと、原点を中心とする同心円になります。
より、との距離はです。
無限遠を基準として、に作る
電位は、
に作る電位に等しく、両電位を重ね合わせると、における電位vは、
等電位線はである点の軌跡で、分母を払い2乗して整理すると、
等電位線となる円の半径rとして、より、
これは、②と同じ形です。②を微分するとになります(において、電位v半径rの減少関数)が、これをさらに微分すると①です。これより、電位vを縦軸、半径rを横軸にとってグラフを描くと、において変曲点をもつような右上図のような曲線になります。
縦軸を等間隔に区切ると、等電位線の間隔は、最初大きく、
半径が大きくなるに従って、一旦小さくなり、再び、大きくなっていくことがわかります。
のとき
(とします)となりますが、等電位線間の電位差がで等間隔になるように等電位線を引くことにすると、のときのときのときのときのときのときのときのとき(右上図で緑色の線で示しました)となり、等電位線の状況を図示すると右下図のようになります。


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  1. 2010/12/27(月) 13:48:23|
  2. 10年物理
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東北大理系数学'10年後期[1]

東北大理系数学'10年後期[1]

n2以上の自然数とする。を満たす実数とする。を任意に並べ替えたものとするとき、
が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

解答 数学的帰納法に持ち込む部分に一工夫必要な問題です。なお、'87年東大理系[5]で、としてを証明する問題が出題されています。

() のとき、


 ( )
(i) のときには、
(ii) のときには、
 ( )
(i)(ii)より、
与不等式は成り立ち、等号成立は、(i)より、 ()のときです。
() のとき、与不等式が成り立つと仮定します。つまり、
となる任意の数列について、
 ・・・①
が成り立ち、また、等号成立は、 ()のとき、と仮定します。
(i) のとき、
①の両辺に、を加えることにより、
 ・・・②
が成り立ち、等号成立は、 ()のときです。
(ii) ①のm項からなる数列においてであったものを、新たに (jkは、を満たす整数)として得られる、項から成る数列を考えます。これで、となる任意の数列を構成することができます。
として、①の両辺に、

を加えると、右辺は、の第k項目を元のから、新たな数列の項を使ってできるに入れ替え、さらにを付加することになるので、となる項を除いた和だとして、


 ・・・③ (①の数列と③の数列は第k項目が異なることに注意してください)
以上より、

 ・・・④
ここで、仮定により、
 (は①ののことです)
④の残りの部分は、

 ( )


 ( )
よって、④より、
(i)(ii)より、
が成り立ち、等号成立は、 ()のときです。
よって、のときにも与不等式は成立します。
()()より、2以上の自然数に対して、
が成り立ちます。また、等号は、 () ......[] のときに成立します。

別解.より、
 ・・・⑤
です。
を任意に並べ替えたものとするとき、
2個ずつ選んで大きい順になるように並べ替えていくと、有限回(高々)の並べ替えでになります。
そこで、のうちの
2 (jkは、を満たす整数)を選んで、であれば、であれば、,他の (iは、を満たす整数)については、となるようにして、新たなを作ると、

 ( )
となることから、⑤が言えます。


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  1. 2010/12/24(金) 11:24:40|
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岐阜薬大数学'10年[2]

岐阜薬大数学'10[2]

一辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。
(1) 正二十面体の頂点の総数を求めよ。
(2) 正二十面体W1つの頂点をA,頂点Aからの距離が1である5つの頂点をBCDEFとする。を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ。
(3) 2つの頂点DEからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点Aでない方をGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ。
(4) Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ。

解答 空間図形の問題です。(3)で、球Sの直径がBGの長さとして求められることを指示してくれているので、何とかなるでしょう。ですが、正二十面体の図を描くことができないと厳しいかも知れません。
正二十面体を正面から見た図は、まず、六角形
BFEGHIを描いてください。次に、頂点Bの回りに正三角形が5個並ぶので、Bと対向する辺ACCIIJJFFAをつないでできる五角形ACIJFを描きます。同様にして、頂点Gを取り囲むように五角形DHKLEを描きます。最後に隣接する頂点を結んで正三角形の面を20個描きます。本問を解く場合には、右図のような図が描ければOKです。

(1) 20個の正三角形の各々が頂点を3個もつので、正三角形を切り離せば全部で個の頂点があるはずなのですが、5個の正三角形が1個の頂点を共有するので、正二十面体の頂点は、 ......[] あります。

(2) 正五角形BCDEFの内角はです。三角形BEFは、となる二等辺三角形なので、
三角形BEFにおいて正弦定理より、
とすると、
より、
......[]
......[]

(3) 正二十面体の外接球Sの中心Oは、直径BGの中点です。三角形BEGを含む平面で球Sを切ると、切り口はBGを直径、Oを中心とする円で、三角形BEGの外接円です。三角形BEGは、円の直径を斜辺とする三角形なので、である直角三角形です。,及び、三平方の定理より、
......[]

(4) DEの中点をMとします。
注.見づらいので、図ではGAとして描いてあります。
Oから三角形DEGに垂線ONを下ろすと、Nは三角形DEGの重心になります。
と、三平方の定理より、
正三角形DEGの面積は、
三角錐
ODEGの体積Vは、
......[]
これより、11の正二十面体の体積は、とわかります。


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  1. 2010/12/23(木) 11:36:29|
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群馬大医数学'10年[2]

群馬大医数学'10[2]

(1) nを自然数とし、とする。
() を満たす自然数mに対し、を証明せよ。
() を満たすnを求めよ。
(2) 実数xyが連立方程式を満たすとき、の最小値を求めよ。

解答 (2)は、xyのまま考えると失敗します。なお、対数関数線形計画法を参照してください。

(1)() の両辺の対数(底:10)をとると、


( )
() の両辺の対数(底:10)をとると、

より、
 ・・・①

より、
これを満たす整数
nは、 ......[]

(2)  ・・・②
 ・・・③
が表す領域を図示し、とおいて、と、杓子定規(しゃくしじょうぎ)にやろうとすると、のグラフがうまく書けずに失敗します。そこで、
() ・・・④
とおきます。底が2の対数を考えて、
 ・・・⑤
⑤を②に代入すると、

 ・・・⑥
⑤を③に代入すると、

 ・・・⑦
⑥,⑦の境界線を連立すると、
⑥,⑦を図示すると右図黄緑色着色部
(境界線を含む)
は、pq平面上で傾きの直線を表します。q切片kが最小になるのは、直線が点を通るときで、kの最小値は
よって、の最小値は、
......[]


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  1. 2010/12/22(水) 08:23:16|
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慶大理工物理'10年[2]

慶大理工物理'10[2]

以下の文章中のに適切な数式または数値を記入しなさい。ただし、解答に使える物理量は、および、Vmだけとする。

(1) 小球が図1のように、運動するなめらかな平板と弾性衝突をして進行方向を変える。xy軸を図1の方向にとり、小球はx-y平面内で運動するものとする。小球が平板に衝突する前後の速度は、静止した観測者から見てそれぞれであり、とする。平板はx軸に垂直で十分に広く、その速度のx成分は一定値Vであり、y成分は0で、これらは小球との衝突により変化しないとする。ただし、Vは正負いずれの値もとるが、小球と平板が衝突するようにを満たす。図1のように小球の入射角をq,反射角をとすると、およびの関係がある。なお、重力や小球の回転運動は考えなくてよい。
平板とともに運動する観測者から見ると、小球の速度のx成分は、衝突前は,衝突後はである。これを静止した観測者から見ると、衝突後の小球の速度のx成分はである。の場合は、平板とともに運動する観測者から見ると、小球と平板の衝突は図2のように見える。このときの入射角をiとすると、である。また、平板とともに運動する観測者から見ると、入射角と反射角が等しいこともわかる。一方、静止した観測者から見た反射角は、を満たす。このことから、のときだけとなり、ではではとなることがわかる。また、()より、ならばとなり、小球は衝突後もx方向に進み続ける()。このように入射角がq のとき、の範囲でVを変えれば、反射角の領域で変化させることができる。

(2) 以下では平板の速度のy成分は0のまま、x成分を一定の負の加速度 ()で変化させる。さらにここでは、小球と平板間の反発係数は,動摩擦係数はとする。また静止した観測者から見る場合だけを考え、小球は(1)と同様にx-y平面内で運動するものとする。ここでも重力や小球の回転運動は考えなくてよい。時刻で小球は平板に接触した後、平板から力を受けながら平板とともに進んだ。時刻での小球の速度を(1)と同様にと表すと(ただし)、小球が平板からはね返らなかったので、平板の速度のx成分は時刻ではであったことがわかる。また小球の質量をmとすると、時刻に小球が平板から受ける力のx成分はである。その後、時刻で平板を取り除いた。時刻での小球の速度をと表すと、小球がx方向へ進み続ける()ためには、とすればよい。の場合には、小球はに平板に接触した後、平板面上を運動する。この間、小球は平板から摩擦力を受け速度のy成分は減少する。時刻となる条件は、小球と平板面間の動摩擦係数を使って、と表される。反射角で与えると、かつならば反射角は最大値をとる。このようなTが存在するための条件は、入射角q (1)と同様にで与えると、である。

解答 考えにくい相対運動の問題です。以下では細かく丁寧に検討していますが、空所補充問題でもあり、本番では、正負に注意すれば、もっと感覚的に解答してよいと思います。

(1)() 衝突前、平板、小球のx方向の速度成分はそれぞれVです。平板とともに運動する観測者から見ると、小球の速度のx成分は、 ......[] (相対速度を参照)
弾性衝突なので反発係数を1として、反発係数の式より、
よって、
() 衝突後、平板、小球のx方向の速度成分はそれぞれVです。平板とともに運動する観測者から見ると、小球の速度のx成分は、
......[]
() 静止した観測者から見ると、衝突後の小球の速度のx成分は、 ......[]
() 平板とともに運動する観測者から見て、図2の小球の速度のx成分y成分,よって、
......[]
() より、
......[]
() のときなので、より、
......[]
の範囲でVを変えると、とするとき、
とするとき、
なので、
また、ではなので、
(三角関数を参照)に注意して、のとき、
よって、
() 0 ......[]
() ......[]

(2)() 小球が平板からはね返らなかったので、衝突直後の小球の速度のx成分時刻での平板の速度Vに一致します。()の結果で、とすると、
,∴
よって、での平板の速度Vは、 ......[]
() になっても小球は平板から離れず、平板(加速度で運動する)とともに運動する観測者から見ると、x軸正方向に慣性力が働きます。また、小球は平板と接触しているので、平板からx軸負方向の垂直抗力N ()を受けます。平板とともに運動する観測者から見て、力のつり合いより、
 ∴
時刻に小球が平板から受けるx成分は、 ......[]
() 静止した観測者から見て、の間、小球はx方向に加速度等加速度運動をします。時刻tにおける小球の速度のx成分vは、においてより、
時刻Tにおける小球の速度のx成分は、
となるためには、
......[]
() 平板とともに運動する観測者から見て、平板と接触を続ける小球が平板からy方向に受けるは、動摩擦力 (摩擦力を参照)で、の間、小球はy方向に加速度で等加速度運動します。
時刻tにおける小球の速度のy成分は、においてより、
となる時刻は、
小球はy方向に一旦停止すれば動摩擦が静止摩擦に変わり、そのままとなります。
においてとなるために、
......[]
() 「このようなTが存在するための条件」とは、となるようなTが存在するための条件、ということであって、()()の条件をともに満たすTが存在するための条件で、
であれば、条件を満たすTが存在します。よって、

......[]


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  1. 2010/12/19(日) 21:28:39|
  2. 10年物理
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弘前大数学'10年後期[3]

弘前大数学'10年後期[3]

放物線x軸で囲まれた領域をとする。直線に関してと線対称な放物線をとし、y軸で囲まれた領域をとする。の共通部分の面積を求めよ。

解答 ‘07年東京海洋大、'93年早大教育でも出題された定型パターン問題です。
定積分公式 ・・・()
のありがたさがしみじみわかります。
本問では交点の座標が整数なので、下手な計算をしても最終解答にたどりつけますが、交点の座標に根号が入る場合もあるので、必ず以下の解法で解答するようにしましょう。


 ・・・①
 ・・・②

まず、の交点を求める必要があります。①,②を連立して、①のyの式を②のyに代入するとx4次方程式となって大変です。は直線に関して対称な放物線なので、交点が存在すれば直線上にも交点が来ます。であれば、①,②を連立するのではなく、①とを連立すれば(2次方程式になります)直線上に来る交点を2つ求めることができるでしょう。ですが、①,②を連立して4次方程式になるということは、もう2交点あるかも知れません。そこで、①-②を作ってみます。3が消去されて、残りの項はどれもを因数にもつ(直線上に交点が存在する)ことに注目します。①-②より、

または
①において、とすると、


のときのときです。
①において、とすると、



のときのときです。
の位置関係を図示すると右図のようになっています
(面積を求めるの共通部分は黄緑色着色部)
が直線に関して対称なので、の共通部分も直線に関して対称で、求める
面積は、直線と、の部分と、の部分、に囲まれた部分の面積S2倍になります。
ここで、極力、上記の公式
()を用いて簡単な計算で解答することを目指します。
直線
(右図緑色の直線)で囲まれる部分(の範囲に存在します)の面積をを結ぶ直線 (右図青色の直線)で囲まれる部分の面積をで囲まれる部分の面積をとすると、
です。が直線に関して対称であることから、は、を結ぶ直線 (右図赤色の直線)で囲まれる部分の面積に等しく、こちらの面積として計算することにします。
 (直線で交わることに注意)
 (直線で交わることに注意)
 (直線で交わることに注意)

求める面積はこの2倍で、 ......[]
追記.公式()の使用を邪道だとして、ことさらに嫌う先生もいます。ですが、習得するのが困難な計算技巧ならともかく、便利に使える公式の使用を避ける方が邪道と言うべきです。'99年に東大が加法定理の証明を出題しましたが、東大の大問にもなるような証明を一々しなければ加法定理を使えない、というのでは科学の進歩にブレーキをかけるようなものです。人類の進歩とともに確立された科学技術の利便性は享受すべきであって、環境対策のために縄文時代人の生活をすべきだ、などというのはナンセンスです。先人が創意工夫を凝らし丹精込めて制作開発した伝統文化・科学技術は素直に継承して積極的に利用するべきです。


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  1. 2010/12/17(金) 10:08:45|
  2. 10年数学
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大分大医数学'10年[3]

大分大医数学'10[3]

微分可能な関数が次の方程式を満たすとする。
 ・・・(A)
ここにnは自然数、 ()は実数の定数で、である。また、k次導関数でとする。(A)のような方程式を第n階微分方程式といい、(A)に対してtn次方程式
 ・・・(B)
(A)の特性方程式という。このとき次の問いに答えよ。
(1) 特性方程式(B)の解が実数rであるとき、関数が方程式(A)を満たすことを証明せよ。
(2) n次方程式(B)が実数rk重解にもつとき、次のtに関する方程式はr重解にもつことを証明せよ。ただし、とする。
() tm次方程式が適当な多項式を用いてとなるとき、をこの方程式のk重解と定義する。ただし、とする。
(3) 実数の定数rに対してxの関数を ()とする。このとき、xおよびを用いて表せ。ただし、とする。
(4) 実数rn次方程式(B)k重解であるとき、 ()が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ。ただし、kは自然数とする。

解答 線形微分方程式をネタとする野心的な問題です。

(1) 特性方程式(B)の解が実数rであるとき、
 ・・・①
,・・・ より(積の微分法を参照) として、 (高次の導関数を参照)
(A)に代入すると、



 ( )

(2) n次方程式(B)が実数rk重解にもつとき、適当な多項式を用いて、
 ・・・②
よって、
この両辺をtで微分すると、
このとき、
より、方程式
は、r重解にもちます。

(3) より、,つまり、
この両辺をxで微分すると、
 ・・・③
さらにxで微分すると、
さらにxで微分すると、
これより、
と予測できます。これを、nに関する数学的帰納法により証明します。
() のとき、③より、予測は成り立ちます。
() のとき、予測が成り立つと仮定して、
両辺をxで微分すると、
よって、のときにも予測は成り立ちます。
()()より、nが自然数のとき、予測は成り立ちます。
......[]

(4) kに関する数学的帰納法により証明します。
()のとき、(1)より、実数rn次方程式(B)の解であるとき、 ()iは、に限られ、は微分方程式(A)を満たすので、題意は成り立ちます。
()のとき、題意が成り立つと仮定します。即ち、実数rn次方程式(B)m重解であるとき、 ()は微分方程式(A)を満たすと仮定します。
ここで、の場合を考えます。つまり、実数rn次方程式(B)重解だとします。
このとき、実数
rn次方程式(B)m重解になっているので、()の仮定より、 ()は微分方程式(A)を満たします。従って、の場合のが微分方程式(A)を満たすことが示せれば、「 ()が微分方程式(A)を満たす」ことが言えて、の場合にも題意が成り立つことを示すことができます。
(3)の結果でとして、

・・・・・・

さらに、
これらより、
は微分方程式(A)を満たすので、2番目の中カッコ内は、
です。
1番目の中カッコ内を考えます。実数rn次方程式(B)重解であるとき、(2)より、方程式
rm重解にもちます。すると、()の仮定において、,・・・,と見ることにより、は、微分方程式
を満たします。つまり、1番目の中カッコ内も
となります。
従って、
()が微分方程式(A)を満たし、の場合にも題意が成り立ちます。
()()より、kを自然数として、実数rn次方程式(B)k重解であるとき、 ()は微分方程式(A)を満たします。

追記.(A)のような微分方程式を線形微分方程式と言います。抵抗力がある場合の振動現象や、電磁気学におけるRLC回路の挙動を調べる場合などに出てきます。
以下、最高次の係数は1だとして線形微分方程式について考えます。
(1) 線形1階微分方程式: (r:定数)
両辺を積分して、
 (不定積分の公式を参照)
(C:積分定数)
とおいて、
 (A:定数)
同様にして、を与えられた関数だとして、の解は、
(とおきます。C:積分定数)
とおいて、
 ・・・④
以上の場合を斉次線形1解微分方程式と言います。次の方程式を非斉次線形1解微分方程式と言います。
 ・・・⑤
この場合の解は、④のAを関数に置き換え、を微分方程式⑤に代入し、
⑤より、

からを求め、積分計算を行うことによりが求められます。
(2) 線形2階微分方程式: (pq:定数)
()として、特性方程式:
このとき、とおくと、

となるので、(1)の場合の結果を用いて、 (C:定数)
これより、
この解は(1)の非斉次の場合の結果を用いて、
 ・・・⑥
 (D:定数)
と置き直して、
の場合(特性方程式が重解aをもつ場合)は、⑥が、
となります。
(3) 線形n階微分方程式
本問のような線形微分方程式は、が解であれば、も解になります。本問より、n次の特性方程式が異なるn個の解,・・・,をもてば、微分方程式(A)の一般解は、
 (,・・・,は定数)
n次の特性方程式が異なる個の解,・・・,k重解Rをもてば、微分方程式(A)の一般解は、
となります。


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  1. 2010/12/16(木) 01:03:05|
  2. 10年数学
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千葉大数学'10年[1]

千葉大数学'10[1]

直角三角形ABCは、が直角で、各辺の長さは整数であるとする。辺BCの長さが3以上の素数pであるとき、以下の問いに答えよ。
(1) ABCAの長さをpを用いて表せ。
(2) は、いずれも整数にならないことを示せ。

解答 ピタゴラス数をテーマとした整数問題です。

(1) CAの長さをq,辺ABの長さをrとすると、三平方の定理より、

pが素数で、qrは整数なので、
(i) かつ
(ii) かつ
(iii) かつ
3通りに限られます。
(ii)は、となるので不適です。
(iii)は、となるので不適です。
(i)より、辺ABの長さは,辺CAの長さは ......[]

(2) とも、背理法で示します。
(なのでmは自然数)とおくことができたとします。
 ・・・①
左辺のは、p3以上の素数なので、2の倍数ですが4の倍数ではありません。
右辺のは、
p3以上の素数で奇数なので、はともに偶数です。従って、4の倍数です。①では、4の倍数でない数と4の倍数が等しいことになり不合理です。
ということは、は整数ではありません。
(なのでnは自然数)とおくことができたとします。
 ・・・②
左辺のは素数pの倍数ですが、右辺のは、はともに素数pの倍数にはなり得ないので、は素数pの倍数ではありません。②では、pの倍数とpの倍数でない数が等しいことになり不合理です。
ということは、は整数ではありません。

追記.直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをab,斜辺の長さをcとして、
 ・・・③
が成立します。③をみたす整数abcの組として、や、などが知られています。
ここで、整数
abcの組が一般的にどのように表せるかを調べてみます。
まず、
cが偶数だとすると、4の倍数です。
cが奇数だとして、 ()とおくと、より、4で割ると1余る整数です。
③において、
abがともに奇数だとすると、ともに4で割ると1余る整数で、4で割ると2余る数ということになりますが、4で割ると割り切れるか、1余る数です。つまり、③をみたすabがともに奇数、ということはあり得ません。
abがともに偶数のときには、cも偶数になりますが、この場合には、abのどちらかが奇数になるまで2で割った形を考えれば、abのどちらか一方が偶数で他方が奇数として考えればよくなります。同様に、ab1以外の公約数をもつ場合も、公約数で割って考えれば、abが互いに素な場合を考えればよくなります。
abの偶奇が異なるので、の偶奇も異なり、は奇数で、cも奇数です。aが奇数でbが偶数だとすると、はともに偶数なので、 (mnより、ともに自然数で)とおくと、
このとき、
mnの最大公約数をdとして、abdの倍数となるので、abが互いに素であれば,よって、mnも互いに素です。が平方数となるためには、mnも平方数でなければならず、
(pqは互いに素な自然数で)
とおくことができます。こうして、
という表示が得られました。
ただし、
pqがともに奇数であるときには、abとも偶数になります。また、pqが互いに素でなくても、
なので、③がみたされます。以下、pqが互いに素な場合の例を示します。
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
こうして、ピタゴラス数が得られます。


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  1. 2010/12/14(火) 10:35:13|
  2. 10年数学
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新潟大物理'10年[4]

新潟大物理'10[4]

[1] 図のような、シリンダーとピストンからなる装置がある。シリンダー内に閉じ込めた気体には熱を与えることができる。ある気体をこのシリンダー内に閉じ込めて、この気体の性質を調べる。
ここで、閉じ込めた気体は単原子分子気体ではなく、その物質量も不明である。この気体は理想気体の状態方程式に従い、また、気体の内部エネルギーは気体の温度に対して
という比例関係を満たすことがわかっている。Cは比例定数である。以下の問いに答えよ。
まず、ピストンを固定した状態で気体に熱を与える。熱を与える前の温度がであり、気体にの熱量を与えたあと、気体の温度はに上昇した。

1 比例定数Cの値を有効数字2桁で求めよ。

次に、気体の圧力を一定値に保ちながらピストンがなめらかに動くようにする。気体の温度をにすると、体積はとなった。この状態の気体に熱量を与えると、気体は膨張し温度はになった。

2 このときの気体の温度変化
となることを導け。
3 この気体の定圧モル比熱と定積モル比熱の比の値を有効数字2桁で求めよ。なお、計算の過程も示せ。

[2] 図1のように、上端がふさがり下端は開いている円筒型の容器を密度,温度の液体に浸し、質量と体積が無視できる糸でつり下げて重量を測定したところ、重量計はを指した。次に、図2のように、この容器に物質量,温度の理想気体を入れてつり下げ、重量計がを指す位置に容器を静止させた。このときの、液体表面から容器内の液体と気体の境界面までの深さを,境界面から容器上面までの長さを,容器内の気体の圧力をとする。また、円筒容器の断面積はであり、気体定数を,重力加速度をとする。ただし、円筒容器は傾くことはなく、気体と液体および容器はつねに熱平衡を保ち、それらの温度は等しい。また、気体の質量は無視できるものとし、液体と容器は温度によって膨張収縮することはなく、液体表面に加わる大気圧も変化しないものとする。

1 以下の問いに、MnRTSgのうち必要なものを用いて答えよ。
(1) lを求めよ。
(2) pを求めよ。
2 温度をTからに上昇させ(),この場合に重量計がを指すように円筒容器の位置を変化させた。このとき、境界面の深さは,容器内の気体の圧力はであった。以下の問いに、MnRTSgのうち必要なものを用いて答えよ。
(1) の関係を求めよ。
(2) の関係を求めよ。また、温度がのときに重量計がを指す容器の位置は、温度Tのときよりも上か下かを答えよ。

解答 浮力を考える[2]は、温度を変化させたときに容器内の気体の高さが変化しないことに気づかないとヒドイ目にあいます。

[1] ピストンを固定しているので、を与える前後での気体の変化は定積変化です。
1 定積変化なので気体は仕事をせず、気体の内部エネルギーの変化をとして、熱力学第1法則より、
問題文中のより、
......[]

2 今度は、気体の変化は定圧変化です。気体のモル数を,変化後の気体の体積とします。
を与える前の状態方程式 ・・・①
を与えた後の状態方程式 ・・・②
②-①より、
気体がした仕事は、
①より、,これを代入して、
内部エネルギーの変化は、問題文中のより、
熱力学第1法則より、

3 定積モル比熱Cの間には、という関係があります(モル比熱を参照)
定圧モル比熱の式と問2の結果を用いて、
これより、
......[]

[2] 図1において、重量計がを指していた、ということは、円筒容器に働く重力だということです。
2の円筒容器内の境界面の高さでの液体の圧力は、容器内の気体の圧力に等しくなります。容器外でのこの高さの液体断面の面積とすると、この断面を上向きに押す,下向きに押すは、この断面上部の液体(体積)に働く重力を考えてです。両者の力のつり合いより、
 ・・・③
なお、
[2]では問1、問2とも、hlが最終解答に使えないことに注意してください。
1(1) 2では、重量計がを指していますが、円筒容器に働く上向きの張力が、下向きの重力以外に働きます。
円筒容器内の気体の体積です。円筒容器に上向きに働く浮力と、容器に働く張力重力の差とを考えて、力のつり合いは、
 ・・・④
......[]
(2) 2の円筒容器内の気体の状態方程式 ・・・⑤
(1)の結果を代入して、
......[]

2 温度になったときも、重量計の指す値はのまま変わらないので、円筒容器に働く力のつり合いは問1④と変化せず、円筒容器に働く浮力のままで、容器内の境界面から容器上面までの長さも変化しません。
(1) 温度になったときの円筒容器内の気体の状態方程式
 ・・・⑥
⑥-⑤より、
1(1)の結果を代入して、
......[]
(2) ③と同様にして、円筒容器内の気体の圧力になったときに、境界面の深さになったとして、
 ・・・⑦
⑦-③より、
2(1)の結果より、
......[]
のときはですが、境界面から円筒容器上面までの長さが変化しないので、温度のときの円筒容器の位置は温度Tのときよりも下 ......[] です。


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  1. 2010/12/13(月) 11:27:41|
  2. 10年物理
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京都府立医大数学'10年[3]

京都府立医大数学'10[3]

とし、座標平面上の2つの曲線 を考える。
(1) であるとき、は共有点をもたないことを示せ。
(2) であるとき、の共有点の座標をaを用いて表せ。
(3) (2)の場合で、共有点がの変曲点であるとき、aの値を求めよ。
(4) a(3)の値のとき、で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答 面倒な微積の計算問題です。慎重に計算するしかありません。

(1)
とおきます。
とすると、
ここで、
 ・・・①
であれば、xが全実数をとるときなので、①を満たす実数xはありません。また、です。従って、ならは減少、ならは増加、よって、において最小値をとります(関数の増減を参照)
とおくと、
 ( )
よりは単調増加で、において、
以上より、であって、方程式は解を持たず(微分法の方程式への応用(2)を参照)は共有点を持ちません。

(2) のとき、(1)について、
 (に注意) ・・・②
より、として、①は2を持ちます。
は、において、よりは減少し、
また、より、
x

0

000
00

増減表より、方程式は、実数解をもちます。また、においてが接することがわかります。
のとき、②より、
y座標はaです。
の共有点の座標は、
......[]

(3)

とすると、
このとき、

(2)より共有点のy座標はaなので、共有点が変曲点であるとき、 ......[]
このとき、変曲点の座標はとなります。
また、
y軸との交点は、 ()です。

(4) (2)(3)より、は変曲点で接していて、接点以外ではの上にあります。
, 
として、において、なので、で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vは、
は、は、より、
 (不定積分の公式を参照)



......[
]


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  1. 2010/12/11(土) 23:01:04|
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東北大文系数学'10年後期[4]

東北大文系数学'10年後期[4]

xy平面の点を結んでできる折れ線をグラフとする関数をとおく。このとき、積分
を最小にするabを求めよ、また、そのときの積分の値を求めよ。

解答 面倒な計算問題です。後半は、2文字が入り交じる2次式の最小値を求めることになりますが、1文字ずつ平方完成して行きます。

を結ぶ
直線は、
を結ぶ直線は、
において、
において、
これより、
 
(定積分を参照)








定積分は、 かつ のとき、つまり、のとき、最小値をとります(2次関数の最大・最小を参照)
最小にする
abの値は,そのときの定積分の値は ......[]


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  1. 2010/12/10(金) 20:31:55|
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兵庫県立大数学'10年[3]

兵庫県立大数学'10[3]

数直線上の原点に点Aがある。点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく。
Aが座標kの位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が,正の向きに2進む確率がである。」
Aが座標nの位置に立ち寄る確率をとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) で表せ。
(3) を求めよ。

解答 確率と数列の融合問題ですが、見慣れない漸化式が出てきます。予測して数学的帰納法で証明しておきましょう。

(1) Aが原点にいるとき1進む確率は、問題文中の規則でとして1となるので、原点にいるときには次は必ず座標1に来ます。つまり、
Aが座標1にいるとき、1進んで座標2に行く確率は2進む確率は2進むと座標3に行き座標2には立ち寄らないので、
Aは確率で座標2に来て、さらに1進む確率はで、このとき座標3に来ます。
座標
3に立ち寄る確率は、 ......[]

(2) Aが座標nに立ち寄るとき(確率)、ここからさらに1進んで座標に行く確率は
Aが座標nに立ち寄らないとき(確率)には、必ず座標に立ち寄ります。
よって、座標に立ち寄る確率は、
......[]

(3) (2)の漸化式を用いて、
これよりmを自然数として、
のとき、
のとき、
と予測できます。
のとき、より予測は成り立ちます。
ある自然数
mで予測が成り立つとして、(2)の漸化式を用いて、

よって帰納的に、予測は成り立ちます。
のときより、
これより、
nが奇数のときnが偶数のとき ......[]


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  1. 2010/12/08(水) 09:39:05|
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阪大物理'10年後期[3]

阪大物理'10年後期[3]

光の干渉現象を利用した物体の移動距離の測定について考察しよう。

Ⅰ.図1に示すように、レーザー光源から出た光をハーフミラーH1に入射する。ハーフミラーは入射した光のうち一部を反射し、残りを透過する装置である。光路1は、P1P2P3P2P5を通り光検出器に至る経路である。また光路2は、P1P4P5を通り光検出器に至る経路である。光路1を通る光(光線1)は、H1およびハーフミラーH2を透過した後、移動体に固定された反射鏡M2によって反射される。さらにH2で反射されて下方に進み、ハーフミラーH3を透過した後、光検出器に入射する。一方、光路2を通る光(光線2)は、H1で反射された後、反射鏡M1およびH3によって反射されて光検出器に入射する。光検出器では、光線1と光線2は干渉した光の明るさ(光の強度)を検出する。移動体を動かすと干渉した光の強度が変動する。これによって、移動体の移動距離を測定することができる。レーザー光源からH1までの距離はH1からH2までの距離およびM1からH3までの距離は等しくH1からM1までの距離およびH2からH3までの距離は等しくである。レーザー光の波長をとして、以下の問いに答えよ。ただし、ハーフミラーはいずれも厚さが無視できるものとする。また、光線2を遮断して光線1のみを光検出器に入射したときの強度と、光線1を遮断して光線2のみを光検出器に入射したときの強度が同じになるよう、ハーフミラーの反射率および透過率を調整してある。

1 移動体の上にある反射鏡M2の位置をx座標で表す。ただし、H2から距離dの位置を原点()とし、右向きを正にとる。M2が位置xにあるとき、光線1と光線2の光路長の差(光路差)dおよびxのうち適切なものを用いて表せ。
2 M2H2よりdの距離()にあるとき、光線1と光線2はちょうど同位相となって強めあった。光がハーフミラーおよび反射鏡の表面で反射するときは固定端反射となり、入射光と反射光が逆位相となる。光線2は光線1より反射する回数が1回多いため、光線1と光線2の光路長が等しいときは逆位相になって弱め合う。このことを考慮して、dの満たすべき条件をのうち適切なものと整数m ()を用いて表せ。
3 M2の位置xを変化させて、光検出器によって検出される光の強度(干渉光強度)Iを測定した。このときIは、を定数として、以下に示す式で表されることがわかった。
  (a)
(a)中のfは、光線1と光線2の光路差によって生ずる光の位相の差を表しており、光線1と光線2の位相差と呼ぶ。fおよびxのうち適切なものを用いて表せ。
4 M2が位置xにあるとき、干渉光強度Iはちょうどであった。その後、M2 ()に移動させたとき、Iは単調に減少して0となった。このときの移動距離を求めよ。ただし、レーザー光源の波長を ()とする。解答の数値は単位をnmとして有効数字3桁で求めよ。

Ⅱ.次に、図2に示すように、反射鏡M1とハーフミラーH3の間に光の振動数をわずかに変化させる素子(周波数シフター)を挿入した。周波数シフターは、振動数がの光を、よりわずかに大きい振動数の光に変換することができる。以下の問いに答えよ。ただし、周波数シフターの効果は振動数の変化だけであり、光線2の強度および光路長は変化させないものとする。

5 振動数が少しだけ異なる2つのおんさを同時に鳴らすと、うなりの現象が起こり、音の大きさが周期的に変化して聞こえる。光も音と同様であり、異なる振動数をもつ2つの光を重ね合わせると、うなりの現象が起こり、時間とともに変化する光強度(光のうなり)が観測される。図2の光検出器で検出される光のうなりの周期を、およびを用いて表せ。
6 以下の文中の  に適切な数式または数字を解答欄に記入せよ。

時刻において、M2にあるとき、光線1と光線2が同位相で重なり合ったとする。このとき、図2の光検出器で検出される干渉光強度Iは、時間tおよびを用いて、
  (b)
と表すことができる。レーザー光線としての赤色の光を用い、周波数シフターで光線2の振動数がとなるとき、1秒あたりのうなりの回数はとなり、光強度の時間変化を検出することが可能となる。光線1の波長は,光線2の波長はであり、その差は程度である。このように光線1と光線2の波長の差は非常に小さいため、波長による位相の差は生じないとすることができる。このことを考慮すれば、時刻において、M2が位置xにあるときの干渉光強度Iは、時間tおよび問3の式(a)における光線1と光線2の位相差fを用いて、
  (c)
と表すことができる。したがって、M2にあるときの干渉光強度で、M2が位置xにあるときの干渉光強度を、同時に測定できるように装置を工夫すれば、二つの時間波形の位相差を検出することにより、移動距離をより高精度に測定することができる。
7 M2にあるとき、干渉光強度Iの時刻からの時間変化のようすをグラフに描け。なお、解答用紙のグラフに示してある曲線は、同時に測定されたM2にあるときの干渉光強度の時間変化である。

8 検出できる最小の位相差がであるとき、光のうなりを利用した方法で測定できるM2の最小移動距離を求めよ、ただし、波長はを用いることとし、解答の数値はnmを単位として有効数字3桁で求めよ。

解答 難問というわけではないのですが、「位相」や「うなり」について完全に理解していないと答えられません。
周期T波長l振幅A時刻t位置xにおける変位yは、初期位相d (のときの位相)として、
 (正弦波の式を参照)
で与えられます。x軸正方向に進む正弦波では複号がマイナス,x軸負方向に進む正弦波では複号はプラスを採ります。この中カッコの中が「位相」です。周期は波1個分の時間波長は波1個分の距離ですが、波1個分の位相です。は波何個分か、ということを表していて、これにをかけると「位相」になるわけです。

Ⅰ.問1 光路1長さは、
光路2長さは、
光線1と光線2光路長の差(光路差)は、
......[]

2 のときの光路差は、
です。このとき、光線1と光線2同位相で強め合う条件は、光路長が等しいときに逆位相になることを考慮して、光路差波長の整数倍から半波長だけずれることであって(波の干渉を参照)
 () ......[]

3 光線1が固定端で2回反射していることを考慮して、光線1位相,光線2は固定端で3回反射しているので、光線2位相 (波の反射を参照),光線1と光線2位相差fは、
 ( 1)
 ( 2)
位相からの整数倍を除いても、変位は変わらないので、求める位相差は、
......[]
注.上記のように、距離波長で割ってをかけたものが位相です。mを整数として、
なので、位相のうちの整数倍を除いても、正弦波の変位は変わりません。

4 M2位置xにあるときに光線1と光線2同位相になっていました。M2に移動させたときに干渉光強度0になるということは、このときに光線1と光線2逆位相になるということなので、問3の結果で、とすると、位相差fpになります。
......[]

Ⅱ.問5 光のうなりの振動数(1秒あたりのうなりの回数)は、です。光のうなりの周期は、
......[]

6(1) かつのときに光線1と光線2同位相なので、時間に対応する位相差は、 ......[]
注.問3と同様に、時間周期で割ってをかけたものが位相になります。
(2) 1秒あたりのうなりの回数は、
......[]
(3) なので、問5では、うなりの回数を、光線2振動数から光線1振動を引く、として計算しました。光線1に対する光線2位相を考えることになります。M2位置xにあるときの位相のズレは問3fなのですが、距離の分だけ光線1が光線2に対して遅れるので、光線2の方は逆に光線1に対してfだけ位相が進むことになります。よって、M2位置xにあるときの位相差は、 ......[]
注.光速をとして、です。光源から光検出器までの光路1距離として、光線1の正弦波の変位は、
 ・・・①
として、光線2の正弦波の変位は、光源から光検出器までの光路2距離とし、位相pずれることを考慮して(3ではとしているので、光線2に対する光線1のズレを考えていますが、ここでは、とするので、光線1に対する光線2のズレを考えます)
 ・・・②
両波を重ね合わせると、
 ・・・③ (和を積に直す公式を利用)
問題文にあるように、の差が小さく、
 ( 1)
3の計算を用いて、
③のは、振動数の正弦波を意味しています。③のの部分が波の振幅に相当し、
となりますが、これは、振動数の正弦波を表していて、これが、うなりに相当します。振動数がうなりの振動数になっていますが、これは、人間の感覚が、うなりを光や音の強度で感じるためです。波の強度振幅2乗に比例することが知られています。
 (半角の公式を参照)
より、波の強度、つまり、うなりの振動数となります。また、この式から、うなりの位相差fであることがわかります。この式の右辺の中カッコ内が光線1と光線2位相差を表していて、時刻t 時間に代え、
となります。

7 問6問題文の「二つの時間波形の位相差」を実際に確かめてみようという問題です。問3の結果でとして、
6(3)位相差となります。
このグラフは、M2にあるときの干渉光強度のグラフを周期分だけ時間軸と逆の方向にずらせたグラフになります。図示すると右図実線。

8 問3の結果を用いて、

......[]


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  1. 2010/12/07(火) 11:17:38|
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奈良県立医大数学'10年[4]

奈良県立医大数学'10[4]

nを正整数とする。
(1) となる定数,・・・,を求めよ。
(2) さらにとする。1より小さい正の実数a0に近づくとき、極限は、正負いずれの無限大にも発散せず、有限の値をとることを証明せよ。(但し、極限値を具体的に求める必要はない。また、であることは証明なしに用いてよい)
(3) 極限値を求めよ。

解答 部分分数分解をテーマとした問題です。(2)は、具体的な値を求める必要はない、というヒントから、はさみうちを応用して考えます。

(1) 一気に片付けるのは大変なので、一つずつやっていきます。
のとき、より、
のとき、
とおくと、

 ・・・①
これより、

になりそうなので、n1つ変化したときの違いを調べてみます。
これで、以下のように数学的帰納法を利用した答案にまとめることができるでしょう。

となる定数,・・・,が、
であることを数学的帰納法により示す。
() のとき、より、
よって、成り立つ。
() のとき、となる定数,・・・,が、
だと仮定する。
両辺にを加えて、
左辺は、
となり、
よって、のときも成り立つ。
()()より、
となる定数,・・・,は、 ......[]

(2) (1)より、
両辺にをかけて、
の範囲で積分すると、
 ・・・②
 ・・・③
においては、
なので、

 ・・・④

よって、④より、

これと②,③より、
 ・・・⑤
ここで、とすると、より、

従って、

⑤において、のとき、左辺も右辺もある有限確定値に収束するので、中辺のも有限確定値に収束します(左辺と右辺が異なる値に収束するので、の値はわかりません)

(3) (2)の場合かと一瞬思いますが、被積分関数にxがかかっているので、(2)が利用できるわけではありません。従って、をどうやって積分するかを考えなければいけません。被積分関数は、xの分数式と対数関数の積になっていますが、xの分数式の部分がの形にならないか、と、考えてみます。つまり、

を部分分数に分けるために、
とおくと、

これより、
 (分数関数の積分を参照)

 (D:積分定数)
これで、部分積分法により、の計算が行えます。

2項の定積分は、再び、部分分数に分けるために、①において、
とすると、

以上より、

ここで、とすると、より、
......[]


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  1. 2010/12/03(金) 10:59:50|
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東工大数学'10年後期[1]

東工大数学'10年後期[1]

abtは実数で、とする。次の漸化式により、数列 ()を定める。


(1) abtnを用いて表せ。
(2) とするとき、が収束するためのabtについての必要十分条件を求めよ。

解答 (1)連立漸化式は、2つの漸化式で係数が入れ替わっているだけ、という最頻出タイプのものです。このタイプでは、が等比数列になります。
(2)の極限は一ひねり入っているので注意してください。なお、数列の極限を参照してください。

(1) とおくと、
 ・・・①
 ・・・②
①+②より、
数列は、初項,公比等比数列です。
より、
 ・・・③
①-②より、
数列は、初項,公比の等比数列です。
より、
 ・・・④
③+④より、
......[]

(2) のとき、であればであれば
これ以外のtに対しては、は発散します(等比数列の極限を参照)
であればであれば
これ以外の場合は、は発散します。
なので、となる
tは全実数です。

これを見ると、の双方が、「ともに収束する」ことはない、と、わかります。ということは、
(i) の項が収束するときにはが収束しないので、が収束するためには係数はゼロであり、
(ii) が収束するときにはが収束しないので、が収束するためには係数はゼロ
ということです。
ですが、よりなので、
(i)の場合は、あり得ません。
(ii)より、 かつ のときに、は収束します。
が収束せず、も収束しないときであっても、となるとき、
より、ですが、

となり、このときにも、であれば、となり収束します。
これ以外に、が収束する場合はありません。
以上より、が収束するための
abtについての必要十分条件は、
かつ または かつ ......[]


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