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東北大文系数学'10年後期[2]

東北大文系数学'10年後期[2]

OABにおいて、辺OA11に内分する点をM,辺OB21に内分する点をNとし、線分ANと線分BMの交点をPとする。以下の問いに答えよ。
(1) ベクトルを用いて表せ。
(2) とする。辺OAを含む直線をl,辺OBを含む直線をmとする。△ABPの外接円がlmに接するとき、内積を求めよ。

解答 (1)2通りの解法を書いておきます。教科書通りの解法と、別解のおすすめ解法です。(2)はかなり面倒で、無闇に計算すると何をやっているのかわからなくなります。

(1) MPBが一直線上の点であることから、MPPB = t として、
 (共線条件を参照)
より、
 ・・・①
NPAが一直線上の点であることから、NPPA = s として、
より、
 ・・・②
1次独立であることから、①,②の係数を比較して、
連立して解くと、
①より、
......[]
別解.メネラウスの定理より、

MPPB = 11
よって、

(2) ABPの外接円の中心をQとします。
外接円がlmに接するので、,これより、
 (内積を参照)
 ・・・③

また、△OAQ≡△OBQより、 ・・・④
一方、点
Qは、辺PAの垂直二等分線と辺PBの垂直二等分線の交点です。PAPBの中点をCDとすると、
 ・・・⑤
より、
 ( )



 ( )
 ( )
 ・・・⑥
ところで、(1)の結果より、
 ( ③,④)
 ・・・⑦
 ( ③,④) ・・・⑧
⑦,⑧を⑥に代入して、

......[]
注.(2)の計算のポイントは、③,④をうまく利用できるかというところにあります。


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  1. 2010/11/30(火) 11:31:54|
  2. 10年数学
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北大物理'10年後期[2]

北大物理'10年後期[2]

次の文章の (1) から (8) に適切な数式を入れよ。また、 (i) (ii) には選択肢の欄から適切なものを選び、記号で答えよ。

1 図1のように、磁束密度の一様な鉛直上向きの磁場中に半径の導体円環を水平に置き、そのうえにL字型の導体棒AOPを、Oが円環の中心にくるように乗せる。AOPは円環とPで接触しながら、AOのまわりで滑らかに回転できる。この導体棒と導体円環の間に抵抗の抵抗器を取り付けることにより、閉じた回路AOPQAをつくる。導体の太さ、抵抗および回路の自己インダクタンスは無視できるものとする。
導体棒を一定の角速度で図
1の向きに回転させたところ、回路に電流が流れた。この回転によって導体棒OP中の自由電子は (i) に磁場からローレンツ力を受け、このことにより誘導起電力が発生する。時間の間にOPが円環内を通過する面積は (1) と表されるので、OP間に生ずる誘導起電力の大きさは (2) となる。また、この時間tの間に抵抗器で発生するジュール熱は (3) である。

(i) の選択肢
() OからPの向き   () PからOの向き
() Pの進む向き    () Pの進む向きと逆向き
() 鉛直上向き     () 鉛直下向き


2 次に、図2のように、AOに半径の糸巻きを取り付け、糸の先端に質量のおもりをつける。さらに抵抗器と直列に、内部抵抗を無視できる起電力の電池を接続する。重力加速度の大きさをとする。

電池を
(ii) となるように接続したとき、導体棒と糸巻きが図2の向きに回転しておもりが巻き上がり、その回転はほどなく一定の角速度になった。このとき回路を流れる電流の大きさをとすれば、この電流による抵抗器での電圧降下と導体棒OPで発生する誘導起電力の和がであることから、 (4) と表される。また、このとき導体棒OPが磁場から受ける力の大きさは (5) である。
角速度が一定のときには、回転軸
AOのまわりの力のモーメントがつりあっている。力FOPに一様に作用しているので、モーメントを考える上では力の作用点はOPの中点と考えてよい。この力のモーメントとおもりによる大きさ (6) の力のモーメントとのつりあいから、 (7) の電流が流れていることがわかる。
時間の間におもりが受ける仕事は、位置エネルギーの変化から、
w を用いて (8) と求められるが、この仕事と抵抗器で発生するジュール熱の和は、電池のする仕事に等しい。

(ii) の選択肢
() Cが正極、Dが負極   () Dが正極、Cが負極  


解答 円内を時計の針のように回る導体棒に発生する誘導起電力を扱う問題です。

1(i) 導体棒OP中の自由電子(負電荷)は上から見て、反時計回りに回転するので、実質的に時計回りの方向に電流が流れる効果があります。これを左手中指の向きとします。磁場の向きを左手人差し指の向きとします。フレミング左手の法則より、自由電子は左手親指の向き、つまり、POの向きに磁場からローレンツ力を受けます。() ......[]
(1) 時間の間のOPの回転角はです。この間にOPが円環内を通過する面積Sは、
 (一般角を参照)
......[
]
(2) 時間の間にOPが円環内を通過する部分を貫く磁束Fは、
OP間に生ずる誘導起電力の大きさは、 (電磁誘導の法則を参照)
......[]
(3) 抵抗器に流れる電流Iは、
 (オームの法則を参照)
時間tの間に抵抗器で発生するジュール熱は、
 (電力を参照)
......[
]

2(ii) 2の矢印の向きにOPを回転させるために、OPは、上から見て反時計回りの力を受けるはずです。この力の向きが、左手親指の方向、磁場の向きが左手人差し指の向き、すると、フレミング左の法則により、左手中指はPOの方向を向き、この方向に電流が流れるはずです。このように電流を流すとき、Dが正極、Cが負極となります。() ......[]
(4) 抵抗器での電圧降下です。OPで発生する誘導起電力は、問1(2)と同様に、,よって、
......[]
(5) 導体棒OP磁場から受けるの大きさは、
......[]
Fによるモーメントは、
(6) おもりによるモーメントモーメントの大きさは
......[]
......[]
(8) おもりが巻き上がる速さ時間の間に、おもりが上昇する距離
おもりが受ける仕事は、位置エネルギーの変化に等しくなります。
......[]
この仕事と抵抗器で発生するジュール熱の和は、
 ( (4))

となり、電池がする仕事に一致します。


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  1. 2010/11/28(日) 10:34:54|
  2. 10年物理
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山梨大医数学'10年[4]

山梨大医数学'10[4]

とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフをかけ。
(2) の第n次導関数をとする。このとき、任意の正の奇数nに対して、であることを示せ。
(3) であることを示せ。
(4) 任意の正の実数aに対して、であることを示せ。ただし、必要ならばであることを用いてもよい。

解答 定積分の値の評価の問題ですが、(2)(4)は、考え込むかも知れません。

(1)
とすると、
 (積の微分法を参照)
とすると、
変曲点は、 ......[]
より、漸近線 ......[]
増減表は、以下の通り。
x

0

0
00
1

グラフは右図。

(2) (1)より、のとき、より、です。
より、のときも、
より、です。
を見ていると、の形
(高次の導関数を参照)になっていて、nが正の奇数の時には奇数次の項のみの整関数、nが正の偶数のときには偶数次の項のみの整関数となることが予測できます。
注.整関数というのは、という多項式の形に表せる関数のことです。
のとき、
のとき、
のとき、
となっています。

mを自然数だとして、のとき、は奇数次の項のみの整関数、と仮定します。

 ・・・①
奇数次の項の微分は偶数次の項となり、偶数次の項の微分は奇数次の項となることに注意します(微分・導関数を参照)
①において、とすると、仮定により、は奇数次の項のみの整関数です。
中カッコ内をとおくと、は偶数次の項のみの整関数、も偶数次の項のみの整関数なので、中カッコ内は偶数次の項のみの整関数になります。
同様に、①において、とすると、は奇数次の項のみの整関数、も奇数次の項のみの整関数なので、中カッコ内をとおいて、これは奇数次の項のみの整関数です。
よって、帰納的に、
nが奇数の時には奇数次の項のみの整関数、ということが示せました(数学的帰納法を参照)
よって、
nが正の奇数のとき、なので、です。
別解.どうやって思いつくのかわかりませんが、以下のような絶妙な解法があります。
微分して、
さらに微分すると、
これを繰り返すと、
 ・・・②
となることが予測できます。これを数学的帰納法で示し、を代入することによっても、題意を示せます。

(3) (1)の増減表より、において、です。
において積分すると(定積分と不等式を参照)

(4) (3)より、のときには、
は明らかです。
のとき、曲線は下に凸なので、において、のグラフは、その両端を結ぶ線分よりも下側に来ます。従って、は、
4頂点とする台形の面積Sよりも小さくなります。
ところが、のとき、となってしまうので、
が言えず、(3)を用いても、とできません。
従って、であって、となるような、別のを探すことになります。
高校の範囲ではの積分計算を行えないのですが、であれば、積分計算を実行できます。
のときだけ考えればよいので、だとすると、として、
つまり、であればです。のときには(3)を利用することにして、両辺をにおいて積分すると、
右辺の積分は、とおくことにより、xのときt (置換積分を参照)
以上より、の場合には、
より、なので、

追記.実は、この問題には背景があります。(2)に出てきたを用いて、と表される多項式をエルミート多項式と言います。このときのを母関数と言います。

などとなります。
②と、 ・・・③, ・・・④,とから、

 ・・・⑤
④両辺を微分すると、

③より、
 ・・・⑥
⑤と比較して、

 ・・・⑦
⑥で番号を1つずらせて、
 ・・・⑧
⑧を微分して、
⑦を用いて、
 ・・・⑨
これが、が従う微分方程式です。
大学で学ぶ物理の中で「量子力学」という分野があります。その中の「調和振動子」の問題で登場する
微分方程式です。(2)の別解は、こうしたところから発想したものでしょう。


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  1. 2010/11/26(金) 15:31:48|
  2. 10年数学
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首都大文系数学'10年[3]

首都大文系数学'10[3]

実数abcdに対しx3次の整式を考える。ただし、とする。方程式3つの解をabgとするとであることが知られている。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) ,和を、それぞれabcdを用いて表せ。
(2) もしaが実数でないならば、方程式aの共役な複素数を解に持つことを証明せよ。
(3) abgのうち実数となるものの個数は0123のどれか。考えられる可能性をすべて、理由を述べて答えよ。
(4) もし、ならば、解abgのうち正の実数となるものの個数は0123のどれか。考えられる可能性をすべて、理由も述べて答えよ。

解答 3次方程式がテーマの問題です。なお、高次方程式を参照してください。

(1)

係数を比較して(恒等式を参照)
 ・・・①
より、
......[]

(2) aが実数でないので、です。
よって、

よって、方程式を解に持ちます。

(3) abgが実数であれば、①より、も実数なので、実数解の個数が3となる場合があります。
(2)より、実数でない解a1個もつと、その共役複素数 ()も解になるので、実数でない解が1個、つまり、実数解の個数が2個ということはあり得ません。
①で、だとすると、は実数なので、①より
であって、gは実数です。従って、実数解の個数が1となる場合があります。
また、実数でない解
a1個もつとき、これ以外に、実数でない解g ()をもつと、その共役複素数も解でなければならず、も解なので、より、3次方程式の解が4個ということになってしまいます。よって、実数解の個数が0ということはあり得ません。
以上より、実数解の個数は
1,または3 ......[] です。

(4) なのでadは同符号で、(1)の結果よりです。
abgの中に実数でないものがあるとき、aが実数でないとして、(2)よりも解ですが、だとすると、 (絶対値を参照)よりで正の実数解はありません。
abg3個とも実数であれば、より、abg3個とも負、または、1個が負で2個が正のいずれかです。
従って、正の実数となるものの個数は、
0または2 ......[] です。


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  1. 2010/11/24(水) 10:19:00|
  2. 10年数学
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北見工大数学'10年[4]

北見工大数学'10[4]

(1) を求めよ。
(2) 微分可能な関数
を満たすとする。の値を求めよ。
(3) (2)の関係式を満たす関数を求めよ。

解答 積分方程式の問題です。定積分の上端・下端に変数が入っている場合には、(i) その変数に、定積分が0になるような値を代入する、(ii) その変数について微分する、ことによって解決します(定積分と微分(その2)を参照)

(1)  (部分積分を参照)

 (C:積分定数)  ......[]

(2) 与式において、を代入すると、定積分は0となり、
......[]

(3) 両辺をxで微分すると、

 (積の微分法を参照)
両辺にをかけると、
よって、(1)の結果を用いて、
 ・・・①
とすると、(2)の結果を用いて、

①に入れ戻して、
......[]


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  1. 2010/11/23(火) 11:29:06|
  2. 10年数学
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東北大物理'10年後期[1]

東北大物理'10年後期[1]

1のように、傾きq の斜面をもつ質量の台が水平面の溝に置かれている。この斜面上の点Pから質量mの小球を長さの糸でつるしたところ、点Aの位置で静止した。座標軸は、図のように、水平面と台の斜面が交わった直線に平行な方向にx軸を、溝に平行な方向にy軸を、xy平面に垂直な方向にz軸をとる。小球に、x軸の正の向きに初速度を与えたときの運動を考える。重力加速度をgとし、小球の大きさ、糸の質量、すべての摩擦および空気抵抗は無視でき、また、糸は伸び縮みしないものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

(1) はじめに、台が溝に固定されている場合を考える。初速度を与えた後、小球は斜面上を円運動し、糸がたるむことはなかった。
(a) 小球が図1の点B ()に達したときの小球の速さを、gq を用いて表せ。
(b) 小球が最上点Cまで到達するために必要なの最小値を、gq を用いて表せ。

(2) 次に、台が溝の中をy方向にのみ、なめらかに動ける場合を考える。初速度を与えた後、小球は斜面上を円運動し、糸がたるむことはなかった。
(a) 小球の速度のy成分を,台の速度のy成分をVとする。Vとの間に成り立つ関係式を記せ。
(b) 初速度を与えてから点Cを通過して再び点Aに戻るまでの小球と点Py座標の時間変化を、それぞれ太い実線と太い破線として表したグラフとして最も適当なものを、図2()()の中から1つ選び、記号で答えよ。

(3) で、台が溝の中をy方向にのみ、なめらかに動ける場合を考える。小球が最上点Cの位置に到達したときに糸を切った。その後、小球は斜面上を運動して図1の点Dを通過した。ただし、点Dと点Az座標は等しいとする。
(a) 小球が点Cの位置に到達したときの台の速度のy成分を、gから必要なものを用いて表せ。
(b) 糸を切った後の台の加速度をaとし、斜面上に固定した座標系から見た点Cから点Aに向かう向きの小球の加速度をbとする。aおよびbの大きさを、gを用いて表せ。台の運動方程式と、斜面上に固定した座標系から見た小球に働く力の斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えるとよい。
(c) 小球が点Dに到達したときの台の速度のy成分を、gを用いて表せ。
(d) 小球が点Dに到達したときの小球の速度のy成分およびz成分を、gを用いて表せ。

解答 相対運動と斜面上の不等速円運動の融合問題です。最後の相対運動を考える部分はかなりややこしくなります。小球がどういう運動をしているのか、じっくり考えてください。

(1)(a) A位置エネルギーの基準とします。小球の力学的エネルギーは、点Aでは運動エネルギー,点Bでは運動エネルギー位置エネルギー力学的エネルギー保存より、
......[]
(b) 最上点Cでの小球の速さとすると、運動エネルギー位置エネルギー,点Aと最上点Cとの間の力学的エネルギー保存より、
 ・・・①
糸の張力Tとして、最上点Cにおける小球の運動方程式は、
 ・・・②
小球が最上点に到達する条件は、最上点で、糸がたるまないこと、即ち、張力で、①,②より、

よっての最小値は、 ......[]

(2)(a) 台と小球から成る系に、y方向に働くはありません。よって、y方向では運動量保存則が成立します。最初、台にも小球にもy方向の速度成分はないので、
......[]
(b) (a)の結果を時間積分すると、台のy座標Y,小球のy座標について、
これより、小球の運動のy方向の振幅は、台の運動のy方向の振幅2倍となり、yが増大するときYは減少します。こうなっているのは、() ......[]

(3)(a) 小球が最上点Cに到達したとき、小球の速度x軸負方向を向いていて、y成分はゼロです。ということは、問2(a)より、このときの台の速度y成分についても、
......[]
(b) 台と小球の間に働いている垂直抗力Nとします。
y方向について、台の運動方程式:
 ・・・③
斜面と垂直な方向での小球に働く力のつり合い
 ・・・④
斜面に沿って下向き方向について、小球の運動方程式
 ・・・⑤
③-④×より、


なので、

aの大きさ: ......[]
⑤より、
なので、

bの大きさ: ......[]
(c) 斜面上で見て、Dに到達したときの小球の速度の斜面に沿う方向の成分を ()とすると、小球の斜面に沿う方向の運動は、加速度bの等加速度運動で、等加速度運動の公式より、
 (に注意)
 ・・・⑥
斜面上で見たときの小球の
速度y方向成分は、と問(3)(b)の結果を用いて、
水平面上で見たときの小球の速度y方向成分をとして、
 ・・・⑦ (相対運動を参照)
(2)(a)の結果で、として、
 ・・・⑧
これらより、
⑦を用いて、
......[]
(d) 小球が点Dに到達したときの小球の速度y成分は、⑧より、
......[]
z成分は、⑥と問(3)(b)の結果を用いて、
......[]


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  1. 2010/11/22(月) 10:15:02|
  2. 10年物理
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名工大数学'10年前期[4]

名工大数学'10年前期[4]

関数 ()に対して次の問いに答えよ。必要ならば、自然対数の底eの値はであることを用いてよい。
(1) 関数の増減を調べよ。
(2) 曲線上の点Pにおける法線の方程式を求めよ。
(3) Pからx軸に下ろした垂線をPQとする。(2)で求めた法線x軸との交点をRとする。2QRの距離の最大値を求めよ。

解答 面倒な微分の計算問題です。

(1) の分母がのままでは、微分計算で不利なので、と変形するべきです。また、商の微分法より積の微分法のほうがラクなので、として微分を実行します。

とすると、

のときより、
関数の増減は以下の通り
(関数の増減を参照)
x1



0
0(0)

(2) Pにおける接線の傾きは、
Pにおける法線の傾きは、
Pにおける法線の方程式は、
......[]

(3) Qの座標はです。
x軸との交点は、の方程式でとして、


これがRx座標です。
とおくと、
 (商の微分法を参照)

とすると、 ∴
ここで、
のとき
増減表は以下の通り。

t1

e


00
0(0)
より、
従って、は、のとき最大値
......[]


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  1. 2010/11/19(金) 11:20:45|
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岐阜薬大数学'10年[6]

岐阜薬大数学'10[6]

楕円O,直線l (),直線がある。楕円Oと直線lが接しているとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。また、楕円Oと直線2個の共有点をもつように、tの値の存在範囲を求めよ。
(2) 直線lと直線の交点を点Hとするとき、点Aと点Hとの距離stを用いて表せ。また、楕円Oと直線2個の共有点PQをもつとき、tを用いて表せ。ただし、とする。
(3) 楕円Oを直線lのまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

解答 斜回転体の体積の問題ですが、楕円を斜めに回転させてみよう、というわけで、いろいろと工夫が必要になります。ていねいな誘導に沿って進めて行きます。

楕円O ・・・①
直線
l ・・・②
直線 ・・・③

(1) ①と②を連立すると、

楕円Oと直線lが接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式について、
 (2次方程式を参照)
より、 ......[]
これより、直線l ・・・④
①と③を連立すると、

 ・・・⑤
楕円Oと直線2個の共有点をもつので、この2次方程式は2個の相異なる実数解をもちます。判別式について、

......[]

(2) ③と④を連立すると、
(とおきます) ・・・⑥
これが点
Hx座標です。点Aから、直線:に垂線AKを下ろすと、直線lの傾きが1であることから、直角三角形AHKは直角二等辺三角形で、AKAH = 1より、
 ・・・⑦
の下で、⑤の2解をpq ()とすると、
P,点Qx座標はpqです。
直線の傾きがであることから、




......[]

(3) 断面積を直線lに沿って積分すれば良いわけですが、直線lに沿って座標をとり、直線lと垂直な平面で回転体を切ったときの断面積を考えます。
AHの長さsを直線lに沿ってとった座標とします。lが垂直なので、断面積は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものになります。
のとき、点Hx座標は0のとき、点Hx座標は2
tの範囲を動きますが、このとき、
 ( (2))
⑦を用いて置換積分をします。sのときt
は、とおくととなり、半径2の円の面積の,つまりになります(置換積分(その2)を参照)
とおくと、tのときutのときu
以上より、
......[]


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  1. 2010/11/18(木) 18:09:53|
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熊本大医数学'10年[2]

熊本大医数学'10[2]

赤球4個と白球6個の入った袋から2個の球を同時に取り出し、その中に赤球が含まれていたら、その個数だけさらに袋から球を取り出す。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 取り出した赤球の総数が2である確率を求めよ。
(2) 取り出した赤球の総数が、取り出した白球の総数を越える確率を求めよ。

解答 確率の基本問題です。各場合で2回目に取り出す球の数が変わることに注意して計算しましょう。

(1) 赤白合わせて10個の球から2個の球を取り出す方法は通り(組み合わせを参照)
(i) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球2個を取り出す方法は、赤4個の中から赤2個を取り出すので通りあり、その確率は、
このときはさらに球を2個取り出すことになります。赤白合わせて8個の球から2個の球を取り出す方法は通り。赤球の総数が2個のときには、白球2個を取り出すことになります。その方法は、白6個の中から白2個を取り出すので通り。その確率は、
赤球4個と白球6個入った袋から赤球2個を取り出し、赤球の総数が2となる確率は、
(ii) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球1個を取り出す方法は、赤4個の中から1個、白6個の中から1個取り出すので通りあり、その確率は、
このときはさらに球を1個取り出すことになります。赤白合わせて8個の球から1個の球を取り出す方法は通り。赤球の総数が2個のときには、この1個が赤球になります。その方法は、3個残っている赤球から1個を取り出すので通りあり、その確率は、
赤球4個と白球6個入った袋から赤球1個を取り出し、赤球の総数が2となる確率は、
(iii) 赤球4個と白球6個入った袋から白球2個を取り出したときには、この後、球を取り出すことはなく、赤球の総数が2個になることはありません。
(i)(iii)より、取り出した赤球の総数が2となる確率は、
......[]

(2) 問1と同様に3通りに分けて考えます。
(i) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球2個を取り出す(確率)ときには、赤球の総数が白球総数を越えるのは、さらに取り出す2個の球が「ともに白」にはならないときで、問1(i)余事象であって、その確率は、
(ii) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球1個を取り出す(確率)ときには、赤球の総数が白球の総数を越えるのは、さらに取り出す1個の球が赤球のときで、問1(ii)の事象であり、その確率はです。
(iii) 赤球4個と白球6個入った袋から白球2個を取り出したときには、赤球の総数が白球の総数を超えることはありません。
(i)(iii)より、取り出した赤球の総数が、取り出した白球の総数を越える確率は、
......[]


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  1. 2010/11/17(水) 17:10:39|
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横市大物理'10年[3]

横市大物理'10[3]

なめらかに動くピストンをもつシリンダー内に、nモルの単原子分子理想気体が封入されている。この気体の圧力をp,体積をVとして、右のp-V図に示すように、ABCDA1サイクルとする熱機関をつくる。ABおよびCDの過程は定圧変化、BCおよびDAの過程は断熱変化である。状態ABCDの体積はそれぞれであり、状態ABの圧力は,状態Cと状態Dの圧力はである()。ここで、気体定数をRとする。また、気体が吸収する熱量は正の値、放出する熱量は負の値とする。このとき、以下の設問に答えよ。
(1) 状態ABCDの絶対温度をそれぞれ求めよ。
(2) ABおよびCDの過程において、気体が吸収または放出する熱量およびをそれぞれ求めよ。
(3) 次に、BCおよびDAの過程について考える。
(a) それぞれの過程において、温度は上昇するか下降するかについて、熱力学第一法則を用いて説明せよ。
(b) それぞれの過程において、気体がする仕事およびを求めよ。
(4) さらに、ABCDAの過程について考える。
(a) この1サイクルの間に気体がする仕事の合計を求めよ。
(b) この1サイクルに対する熱効率eを求めよ。
(c) 断熱変化ではpVの間に「」という関係がある(gは定数)。ここで、BCおよびDAの過程に対するgの値は同じである。このとき、として、上記(b)で求めた熱効率exgで表せ。さらに、として、xeの関係の概略をグラフに描け。

解答 断熱変化の基本問題ですが、普通は温度に着目して考えて行くのが、本問では、圧力体積に着目するので、やりにくい部分があるかも知れません。

(1) 状態Aにおける状態方程式
......[]
状態Bにおける状態方程式
......[]
状態Cにおける状態方程式
......[]
状態Dにおける状態方程式
......[]

(2) 単原子分子理想気体の定圧モル比熱です。ABCD定圧変化なので、定圧モル比熱の関係式:を用いて、
......[]
......[]

(3) 単原子分子理想気体の定積モル比熱です。
(a) BCの過程では、体積が増大しているので、気体は正の仕事をします。断熱変化なので、気体は熱のやりとりをせず、熱力学第一法則において、となり、 (内部エネルギーを参照)です。より、温度は下降します。
DAの過程では、体積が減少しているので、気体は負の仕事をします。熱力学第一法則において、となり、です。より、温度は上昇します。
(b) 熱力学第一法則より、BCの過程では、
......[]
熱力学第一法則より、DAの過程では、
......[]

(4)(a) 1サイクルでは、温度が最初の温度に戻ってくるので、内部エネルギーの変化はゼロです。断熱変化BCDAの過程においては、のやりとりはないので、1サイクルについて熱力学第一法則より、
......[]
注.定圧変化ABCDの過程での仕事を求め、として求めることもできます。
(b) 熱効率eは、気体がした正味の仕事を気体が吸収したで割ったものです。
......[]
注.で割ると当然1になります。熱効率の分母の気体が吸収した熱には、気体が捨てた熱 ()を含まないように注意してください。
(c) BCの過程において、 ・・・①
DAの過程において、 ・・・②
①,②より、
これを(b)の結果に代入すると、
①より、,よって、
......[]
を代入すると、
図示すると右図。


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  1. 2010/11/15(月) 15:54:24|
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旭川医大数学'10年[2]

旭川医大数学'10[2]

とする。となるtに対して、xy平面上の点Pと点Qを通る直線をとする。次の問に答えよ。
1 直線の方程式を
とする。のとき、を求めよ。
2 行列は逆行列をもつことを示せ。
3 
を満たすものとし、点Rが描く曲線をCとする。このとき、点Rは直線上にあり、曲線Cの点Rにおける接線はと一致することを示せ。

解答 行列を使って記述された問題ですが、実質的には三角関数の計算問題です。

1 直線は、点Pを通るので、
 ・・・①
直線は、点Qを通るので、
 ・・・②
①×-②×より、
 ・・・③
 
(加法定理を参照)
は、より、,よって、③より、
......[]
①×-②×より、

......[]

2 として、



より、
よって、なので、
A逆行列を持ちます。

3 与式より、
 ・・・④
 ・・・⑤
は、④,⑤を連立したときの解ですが、④は直線の方程式にほかならないので、点Rは直線上の点です。
④,⑤を連立させると、問
2より、なので、
となりますが、ここにの具体的な形を代入し、媒介変数表示された関数の微分公式を用いて接線の方程式を求めるのでは大変です。
そこで、が出てくるように、④を微分してみます。
 ・・・⑥
⑥-⑤より、
 ・・・⑦
ここで、となる可能性があるので困ります。
よりなので、

は同時にゼロになることはないので、も同時にゼロになることはありません。
注.なので,つまりは、()においてゼロになります。のとき、となるので、、つまりは、少なくともにおいてゼロになります。
以下、点Rにおける接線上の点をとして、接線の方程式を考えます。
のとき、で、⑦より
のとき
()には、⑦より、
を満たすtとすると、なので、,ということは、における接線は、x軸に垂直で、となります。
のとき、接線は、

 ・・・⑧
のとき、より、となるので、⑧は、の場合を含んでいます。⑧は、④を用いると、
として、
よって、曲線Cの点Rにおける接線はと一致します。


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  1. 2010/11/14(日) 22:28:28|
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阪大理系数学'10年後期[4]

阪大理系数学'10年後期[4]

Cは、2つの放物線 () ()で囲まれた領域内にあり、両方の放物線と共有点をもち、さらにy軸上に中心をもつとする。このとき、以下のことを示せ。
(1) Cおよぼのそれぞれと1点のみを共有するならば、かつである。
(2) Cおよびのそれぞれと2点を共有するならば、かつである。

解答 と放物線の位置関係の問題なのですが、結局2次方程式を考えることになります。

(1) C、放物線y軸に関して対称なので、Cが共有点をもつときにおいて共有点をもてば、y軸に関してその共有点と対称な点もまた共有点となり、共有点は少なくとも2個あります。Cも同様です。
従って、C1点のみを共有するのであれば、その共有点はy軸上の点であり、放物線の頂点です。同様に、C1点のみを共有するのであれば、その共有点はy軸上の点での頂点です。ということは、円Cは、2を直径の両端とする円で、中心,半径の円だということです。円C方程式は、

 ・・・①
と連立すると、

のときです。
以外に共有点はないので、
xの方程式として解を持たないか、あるいは、が解になればよいので、より、
 ∴  ・・・②
①と、 を連立すると、

のときです。
以外に共有点はないので、
が解を持たないか、あるいは、が解になればよいので、より、
 ∴  ・・・③
②,③より、Cおよぼのそれぞれと1点のみを共有するならば、かつです。

(2) (1)と同様に考えます。Cy軸に関して対称であることから、Cが共有点を2点持つのであれば、その2点はy軸に関して対称でy座標は共通です。また、2共有点は接点で、そのx座標は絶対値が等しく正負が異なります。同様にCが共有点を2点持つのであれば、その2点はy軸に関して対称でy座標は共通です。こちらも、2共有点は接点で、そのx座標は絶対値が等しく正負が異なります。
Cの中心を,半径をrとして、円Cの方程式を、

 ・・・④
とします。
と連立すると、
 ・・・⑤
重解をもつので、判別式について、
 ・・・⑥ (2次方程式を参照)
この条件下に⑥の重解は、
 ・・・⑦
④と、 を連立すると、
 ・・・⑧
重解をもつので、判別式について、
 ・・・⑨
この条件下に⑧の重解は、
 ・・・⑩
⑦,⑩に文字cが入っているので、cを求めます。
⑥-⑨より、

⑦より、
このとき、の方程式より、
これが、以外の2解を持つために、より、
 ・・・⑪
⑩より、
このとき、の方程式より、

これが、以外の2解を持つために、より、
 ・・・⑫
⑪,⑫より、Cおよびのそれぞれと2点を共有するならば、かつです。


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  1. 2010/11/13(土) 12:09:44|
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福井大医数学'10年[2]

福井大医数学'10[2]

表の出る確率がp,裏の出る確率がのコインがある。このコインを投げ、その結果により、駒が2ABの間を移動し、ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う。
ルールa) 駒はゲームを始めるとき点Aにいる
ルールb) 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり、裏が出ればもう一方の点に移動する
ルールc) k回目のコイン投げの結果、駒が点Aにいるときはポイント新たに獲得し、点Bにいるときはkポイント新たに獲得する ()
nを自然数として、以下の問いに答えよ。
(1) n回コインを投げた結果、駒が点Aにいる確率をとおく。を求めよ。
(2) k回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値をとおく。のとき、npを用いて表せ。
(3) (1)で求めたpの関数と考え、と書くとき、次の極限値を求めよ。

解答 確率と漸化式の融合問題に、区分求積法の処理が続いている問題です。

(1) ルールa)より、数列の初項について、と考えることにします。
回コインを投げた結果駒が点Aにいる確率はで、点Bにいる確率はです。
回コインを投げたあと、点
Aにいる駒はn回目のコイン投げで、確率pで表が出て点Aに留まります。
回コインを投げたあと、点
Bにいる駒はn回目のコイン投げで、確率で裏が出て点Aに移ります。
n回コインを投げた結果、駒が点Aにいるのは、上の2つの場合であって、その確率は、

 ・・・① (2項間漸化式を参照)
aとおいて、
 ・・・②
aについて解くと、であれば、
のとき、①-②より、
これより、数列は、初項,公比
等比数列です。
 ・・・③
のとき、①は、となりますが、コイン投げで必ず表が出るので、駒は点
Aにいつづけることになり、です。これは、③に含まれます。
......[]

(2) k回目のコイン投げの結果、駒がAにいる確率はで、このときの得点は,駒がBにいる確率はで、このときの得点はkです。(1)の結果を用いて、得点の期待値は、


 ・・・④
 ・・・⑤
とおくと、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
⑥-⑦より、



 ・・・⑧
④,⑤,⑧より、
......[]

(3)

 (区分求積法を参照)

......[]


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  1. 2010/11/11(木) 15:36:13|
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九大物理'10年[3]

九大物理'10[3]

無風状態の空気中を伝わる速さの音波について考える。以下の問いに答えよ。

1.文中の空欄にあてはまる数式を答えよ。
3(a)のように点Mに静止している振動数測定器に対して、救急車が直線P上を(ただし、)の速さで近づきながら、一定の振動数の音を出している。すなわち救急車は1秒間にf 個の音波(1波長分を1個と考える)を発している。測定器からの距離がの地点を点Aとする。点Aで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 ア である。救急車が点Aを通過後、秒後に点Bに来た。ただし、点Bは点Aと点Mの間にある。点Bで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 イ である。測定器が点Aからの音波を感知してから、点Bからの音波を感知するまでの時間は、 ウ となる。時間 ウ の間には個の音波が含まれるので、測定器が測定した音波の振動数は、 エ となる。

2.文中の空欄にあてはまる数式を答えよ。
3(b)のように直線P上にある点Mから測定器を点Oに離した場合を考える。問1と同じく、救急車は直線P上をの速さで左から右に移動しながら、一定の振動数の音を出している。直線P上のある地点を点Cとし、線分OCと直線Pのなす角をとする。救急車が点Cを通過後、秒後に点Dに来た。線分ODの長さをとする。図3(b)のように線分OCに対して点Dからの垂線の足を点Hとする。時間が十分短いとき、角DOCは十分小さいので、線分ODと線分OHの長さが等しいと見なせる。このことを利用すると、線分OCの長さは、 オ となる。点Cで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 カ である。測定器が点Cからの音波を感知してから、点Dからの音波を感知するまでの時間は、 キ となる。時間 キ の間には個の音波が含まれるので、測定器が測定した音波の振動数は、 ク となる。

3.問2において、振動数の時間変化を測定器で測定した。測定した振動数の時間変化を正しく表したグラフを、図3(c)の①~⑥の中から一つ選べ。なお、各グラフ中の2曲線は、測定器の設置場所が直線Pから近い場合と遠い場合を表しており、横軸の点は救急車が点Mで発した音波が測定器に到達した時刻である。
次に、測定器が直線Pから遠い場合の曲線は曲線A (実線)、曲線B (破線)のうちどちらであるかを記号で答えよ。

4.実際の救急車は、「ピーポーピーポー・・・・」というように「ピーポー」音を一定の時間間隔で繰り返し発している。問1の図3(a)のように救急車が測定器に近づくときに、測定器に到達する「ピーポー」音の時間間隔をとして、次の関係式の中で正しいものを記号で答えよ。
(A) 
(B) 
(C) 

解答 斜め方向のドップラー効果を考える問題です。

1() 距離を速さで進むので、点Aで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 ......[]
() 点Aから点Bまでの距離,点Bから点Mまでの距離,点Bで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 ......[]
() 点Aから点Bまでの移動時間()の結果を加え、()の結果を引くことにより、測定器が点Aからの音波を感知してから、点Bからの音波を感知するまでの時間は、
......[]
() 測定した音波の周期は、()時間を波の個数個で割ることにより、
測定器が測定した音波の振動数は、
......[]

2() より、
線分OC長さは、 ......[]
() ()距離を速さで進むので、点Cで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、 ......[]
() 点Cから点Dまでの移動時間,点Dから点Oまで音波が伝わる時間より、測定器が点Cからの音波を感知してから、点Dからの音波を感知するまでの時間は、
......[]
() 波の個数()時間で割ることにより、測定器が測定した音波の振動数は、
......[]

3 救急車が直線P上で点Cよりもずっと左にいるとき、つまり、のとき、問2()の結果より、
救急車が点Mに向かって移動し、q が増大すると、が減少し、は次第に減少します。救急車が点Mに来てのとき、なので、,救急車が点Mから右に移動するとはさらに減少し、、のとき、
こうなっているグラフは①
......[]
測定器(O)が直線Pから遠ざかると、同じ角q になる位置は、次第に点Mから離れてきます。つまり、同じ振動数になる時刻はから離れてきます。ということは、グラフの傾きがなだらかになる、ということなので、測定器が直線Pから遠い場合の曲線は、曲線B ......[]

4 問1()で見たように、ドップラー効果により、救急車が近づくとき、音波の周期は短くなって観測されます。救急車が時間間隔で「ピーポー」音を出すとき、観測される時間間隔も短くなって、となります。(B) ......[]


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  1. 2010/11/08(月) 14:55:34|
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筑波大数学'10年[2]

筑波大数学'10[2]

3つの曲線
 ()
 ()
 ()
について以下の問に答えよ。
(1) の交点、の交点、の交点のそれぞれについてy座標を求めよ。
(2) によって囲まれる図形の面積を求めよ。

解答 においてであることを意識して解答しましょう。なお、三角比を参照してください。

(1) の交点は、
として、
 (三角関数の合成を参照)
より、

このとき、 ......[]
の交点は、
より、
より、
これを満たす
xaとすると、このとき、より、
......[]
の交点は、


または
いずれにしても、
このとき、
......[]

(2)
より、において、から上にあります。
また、のとき、
において、より、から上にあります。
において、より、から上にあります。
において、より、より下にあります。
によって囲まれる図形は、右図黄緑色着色部で、その面積
Sは、
より、
 (不定積分の公式を参照)


......[]


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  1. 2010/11/04(木) 08:09:07|
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名大数学'10年[4]

名大数学'10[4]

xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。
(1) のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ。
(2) abは実数でとする。のグラフ上に、点以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在することを示せ。

解答 「無限個」であることをどう示すか、という問題です。なお、整数を参照してください。

(1)
x6の倍数であるとき、はともに整数で、yも整数となり、6の倍数は無限に存在するので、のグラフ上に無限個の格子点が存在します。

(2) のグラフ上の以外の2個の格子点を (mnpqは整数、)とします。格子点が2つ存在するので、です。
 ・・・①
 ・・・②
①×n-②×mより、
 ()
①×-②×より、
xの倍数であるとき、はともに整数で、yも整数となり、の倍数は無限に存在するので、のグラフ上に、点以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在します。


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  1. 2010/11/03(水) 08:53:38|
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大分大医数学'10年[2]

大分大医数学'10[2]

中心のxyz座標がで半径が1の球Gと点Pに関して、点Pを通る直線が球Gと共有点をもつとき、この直線とxy平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ。また、その方程式が表す図形を実数aに関して分類せよ。

解答 円錐を平面で切ったときの切り口は2次曲線です。

Gの中心をC,点Pを通る直線と球Gとの共有点をAxy平面との共有点をBとします。
Cから直線PAに下ろした垂線の足をHとすると、直線PACを通る場合を除いて、三角形PCHは直角三角形で、
この結果は、直線PACを通る場合()にも成立します。Hは球Gの表面上または球内の点なので、であって、
なので、
 (内積を参照)
 ・・・①
Bxy平面上の点なのでとおくと、
 (空間ベクトルを参照)



これらを①に代入して、
展開して、
左辺、右辺の定数項について、

より、
外形では、不等号を等号にし、またxy平面上の図形であることから、
かつ ......[] ・・・①
の係数は、
の係数が正、0,負によって分類します。
(i)
とすると、
のとき、①は、直線
のとき、①は、
(ii)
とすると、
の係数は正なので、①は、
これは楕円です。
(iii)
とすると、
の係数は正なので、①は、
これは双曲線です。
以上をまとめると、
のとき楕円,のとき直線,のとき双曲線,のとき放物線,のとき楕円
......[]


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  1. 2010/11/02(火) 09:58:54|
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