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広島大理系数学'10年後期[3]

広島大理系数学'10年後期[3]

に対して ()を考える。以下の問いに答えよ。
(1) のとき、が成り立つことを示せ。
(2) 等式を示せ。
(3) が成り立つことを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。

解答 不等式の証明が付属していますが、三角関数で表される数列の和を求めよう、という問題です。

(1) のグラフとのグラフを考えます。

より、両グラフとも、2を通ります。
において、より、のグラフは上に凸です
(関数の凹凸を参照)
において、のグラフは両端を除いて、両端を結ぶ直線のグラフより上にあります。よって、,即ち、

(2)

 (2倍角の公式を参照)

(3) (2)をどう使うか、ということを考えることになりますが、示すべき不等式の分母を払うと、
となるので、Σ内の式と、(2)の右辺とを見比べて、
とおきます。(2)を用いて、
つまり、
これを、について、加え合わせると、左辺は、



 (数列の求和技法を参照)
となり、右辺は、
となります。

に対して、より、

(4) (3)で示したの式では、右辺の派手な分子に目が行きがちですが、とは言えないので(1)が利用できません。目立たないですが、分母のの方に着目します。
(1)においてとすると、のときより、

より、

追記.(3)の等式は、ド・モアブルの定理を使うと、等比数列の和の公式を用いて証明できます。ド・モアブルの定理より、iを虚数単位、nを整数として、








実部、虚部を比較して、


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  1. 2010/10/30(土) 13:32:22|
  2. 10年数学
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静岡大物理'10年[2]

静岡大物理'10[2]

電流と電圧の関係が図1で表されるような電球がある。ここで、電圧と電流の間の関係式は、
() ()
と表され、また、電球の明るさはその消費電力に比例するものとする。この電球と、起電力,内部抵抗の電池を用いて回路を作った。以下の問いに答えよ。ただし、数値は有効数字2桁で答えよ。

1 図2のように、この電球を電池1個につないだとき、電球に流れる電流を求めよ。

2 図3のように、電池2個を並列につないで電源とし、これに電球をつないだ。このとき、電球に流れる電流を求めよ。

3 「電流と電圧の関係が図1で表されるような電球の場合、2個の電球の明るさが同じとき、電球の電圧、電流はそれぞれ等しい」ことを説明せよ。

4 図3の回路について、新たに抵抗をつないで図2の電池1個の場合と同じ明るさになるようにした。
(1) 4のように抵抗をつないだとき、抵抗の大きさを求めよ。
(2) 5のように抵抗をつないだとき、抵抗の大きさを求めよ。

5 この電球2個と電池1個、および抵抗を用いて、図6のような2通りの回路ABを作った。回路Aと回路Bの電球の明るさが同じとき、抵抗の大きさを求めよ。ただし、途中経過を説明しながら記述すること。

解答 電池や非線形抵抗が直列になったり並列になったりするので、解けるのだろうか、と、思ってしまいますが、本問では、解けるようにうまく工夫されています。

1において、のとき、与えられた関係式より、です。

1 電球両端の電圧とすると、起電力,内部抵抗による電圧降下 (オームの法則を参照)なので、キルヒホッフ第2法則より、

 ・・・①
とすると、より、
このとき、より、
......[] (を満たす)
①より、このときです。
注意.とすると、
このときは、より、


よりとなりますが、を満たさないので不適です。
また、①のグラフを図
1に書き込んで交点のVIの値を読むことによっても解答できます。ここでは、あらかじめ、グラフからおよその値を知って、のときの式、のときの式を選んで、数式を用いて解答するのがよいでしょう。

2 同じ電池が並列になっていると、同じ電流が流れ、1個の電池に流れる電流となり、内部抵抗による電圧降下です。電球両端の電圧とすると、キルヒホッフ第2法則より、

 ・・・②
とすると、より、
このとき、より、

を満たすので、 ......[]
②より、このときです。
注意.とすると、
このときは、より、
よりとなりますが、を満たさないので不適です。
また、②のグラフを図
2に書き込んで交点のVIの値を読むことによっても解答できます。

3 2個の電球の明るさが等しいとき消費電力も等しくなります。
()のとき、
()のとき
 (2次関数を参照)
消費電力Pは、において、I単調増加関数なので、消費電力Pが等しければ、電球の電流Iも等しく、さらに、電球の電圧Vも等しくなります。

4 問3より、電球の電流電圧です。
(1) 電池1個に流れる電流は、問2と同様に考えてです。内部抵抗の電圧降下抵抗電圧降下なので、キルヒホッフ第2法則より、
......[]
(2) 抵抗に流れる電流,電球と抵抗が並列になっているので、両者の電流を合わせて、,電池1個に流れる電流は、キルヒホッフ第2法則より、

......[]

5 問3よりABで電球の電流電圧は同じ値になります。電球の電流電圧とします。
Aでは、抵抗,また、内部抵抗に流れる電流です。キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・③
Bでは、抵抗,また、内部抵抗に流れる電流です。キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・④
③×2-④より、

このとき、与えられた関係式より
③より、
......[]

追記.せっかくなので、問5の値が与えられていて、電球の電流電圧を求めることを考えてみます。
5Aで、だとします。③は、
になります。このグラフを図1に書き込んで、交点のVIを読めば、電球の電流電圧を求めることができます。
数式でやるのなら、このときは、なので、として、
より
5Bで、だとします。④は、
になります。このグラフを図1に書き込んで、交点のVIを読めば、電球の電流電圧を求めることができます。
この場合も、なので、として、
より
非線形抵抗が直列や並列になっていても、
1個のときと同様に解答できることを覚えておいてください。


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  1. 2010/10/29(金) 10:43:13|
  2. 10年物理
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千葉大数学'10年前期[10]

千葉大数学'10年前期[10]

以下の問いに答えよ。
(1) をみたす正の整数の組をすべて求めよ。
(2) をみたす正の整数の組をすべて求めよ。

解答 見慣れない整数問題ですが、基本に従って、「整数×整数=整数」の形を目指します。

(1)
nは正の整数なので、 () ()の約数です。
mを満たす整数として、
 ・・・①
とおくと、
 ・・・②
①より、
②に代入して、


中カッコ内は3の倍数ではないので、
 ・・・③
に限られます。
より、

①より、
③より、
......[]

(2) の形のままでは、「整数×整数=整数」の形が作れません。手がかりを探します。
まず、は奇数、40は偶数なので、は奇数で、kも奇数です。mを正の整数として、
とおくと、
これより、4で割ると1余る整数です。4で割ると3余り、4で割ると1余ります(この後、,・・・を4で割ると余りは3131,・・・と繰り返します)4で割ったときの商をs,余りをr ()とすると、

これより、4で割ったときの余りは4で割ったときの余りに一致します。
よって、
4で割ったときの余りが1になるのは、nが偶数のときです。となれば、目標の形が見えてきます。
pを正の整数として、とおくと、
 ・・・④
 ・・・⑤
40の約数で、12458102040のいずれかです。より、に限られます。
(i) のとき、
⑤より、
これを満たす整数
kはありません。
(ii) のとき、
⑤より、

④より、
(iii) のとき、
⑤より、

④より、
(iv) のとき、
⑤より、
これを満たす整数
kはありません。
以上より、 ......[]


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  1. 2010/10/27(水) 10:41:34|
  2. 10年数学
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東北大理系数学'10年前期[2]

東北大理系数学'10年前期[2]

abを正の実数とする。曲線Cと点Pを考える。以下の問いに答えよ。
(1) Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるような点の存在する領域を図示せよ。
(2) Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとする。2つの接点をABとしたとき、より小さくなるためのabの条件を求めよ。

解答 問題文をよく読んで勘違いのないようにしよう、という問題です。

 ・・・①


(1)  ・・・②
接点における接線は、
Pから引いた接線なので、を代入すると、です。
 ・・・③
この左辺をとおきます。③はです。
とすると、
なので、は、
極大値:
をとり、
は、
極小値:
をとります(3次関数の増減を参照)
Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるようにするためには、t3次方程式が相異なる3実数解を持てばよいのですが、そのためには、極大値が正でかつ極小値が負となることが必要十分です(微分法の方程式への応用を参照)
極大値:
より、
となりますが、このとき必ず、
極小値:
なので、が相異なる3実数解をもつ条件は、です。より、点の存在する領域を図示すると右図黄緑色着色部(点線の縦軸、境界線上、及び白マルを除く)

(2) Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとき、③:が相異なる実数解を2個もちます。つまり、③:が重解を1つ持ちます。このとき、のグラフは横軸と接するようになるので、極大値か極小値のいずれかは0になります。
のときは極大値が負となり③の実数解は1つです。でもでもなので、極小値が0になることはなく、極大値が0だとすると、
より、 ・・・④
このとき、
は、2解、をもちます。つまり、2接点のx座標は、0です。2接線の傾きは、②より、です。
両接線と
x軸とのなす角をabとして、より、両接線のなす角は、
 (正接の加法定理を参照)
より小さくなるためには、2接線のなす角がとなればよいのですが、このとき、となるので、
 ・・・⑤
④,⑤より、求める条件は、
かつ ......[]


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  1. 2010/10/26(火) 10:01:48|
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阪大理系数学'10年前期[1]

阪大理系数学'10年前期[1]

関数
を考える。ただし、対数は自然対数であり、eは自然対数の底とする。
(1) の第2次導関数をとする。等式
が成り立つことを示せ。
(2) 定積分を求めよ。

解答 実は、単なる計算問題なのですが、パターン問題しかやらない、不要に思うことには手を出さない、という主義の人には手強く見えてしまうと思います。難関大学を目指す人は、まず、こうした問題に対する恐怖感をなくすことから始めましょう。

 ・・・①


(1)  ・・・② (微分の公式を参照)
 (商の微分法を参照)
よって、
 (対数関数を参照)

(2) (1)より、です。これを用いて、
の具体的な形を代入しないで、のまま計算を進めるのがコツです。部分積分法を用いて、より、

②において、とすると、
に注意して、
......[]


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  1. 2010/10/25(月) 06:11:29|
  2. 10年数学
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阪大物理'10年後期[1]

阪大物理'10年後期[1]

1のように、半径の等しい二つの円筒12が、互いに逆向きに同じ角速度で回転している。その上に質量M,幅が一定で長さの厚さを無視できる一様な板を水平に乗せたとき、この板がどのような運動をするか考察しよう。円筒の長さは板の幅より大きいとする。図1は板の重心Gを含み、円筒の回転軸に垂直な断面を表している。円筒は同じ高さで、回転軸を平行に距離だけ離れて置かれ、板の長さ方向が円筒の回転軸に垂直になるように板を乗せた。円筒と板の接触は、円筒の回転軸に平行な方向には一様であるとすると、板の運動は図1で示した断面で考えることができる。図のように板の長さ方向に沿って水平方向にx軸をとり、板の運動はx軸上に限定されるとする。板と円筒1との接触の断面上の位置を点Pとし、円筒2との接触の断面上の位置を点Qとする。点Pと点Qの中点に原点Oをとり、図の右向きをxの正の向きとする。板と円筒の間の動摩擦係数は、接触位置の板と円筒の相対速度の大きさによらずである。重力加速度の大きさをgとする。

Ⅰ.最初、板の重心Gが原点Oと一致するように板を乗せると、板は静止したままであった。

1 円筒12が板に及ぼしている垂直抗力をそれぞれとし、鉛直方向の力のつり合い、重心Gのまわりの力のモーメントのつり合いを考え、およびを求めよ。

次に、図2のように板の右端を手でゆっくり右方向(x軸の正の向き)に引っ張り、d ()だけ移動させ静止させたところ、右端を引く力はFとなった。

2 Fの大きさを求めよ。
3 板をdだけ移動させるまでに、手が板にした仕事を求めよ。

その後、静かに手を離すと板は左右に往復運動を始めた。円筒の角速度は十分大きく、往復運動の速さは、接触の位置における円筒と板との相対速度の大きさに比べて、十分に小さいとする。板が動いている場合の力のモーメントのつり合いの条件は、板が止まっている場合と同じと考える。

4 この往復運動の振幅および周期を求めよ。
5 板の速さが最大となるときの重心Gの座標を求め、そのときの運動エネルギーを求めよ。

Ⅱ.図1の状態から、図3のように大きさが無視できる質量mのおもりを板の上に置くと、おもりは板の上をすべることなく、板と一緒に運動を始めた。前の運動と同じく、円筒の角速度は十分大きく、運動の速さは接触の位置における円筒と板との相対速度の大きさに比べて十分に小さいとし、板が動いている場合の力のモーメントのつり合いの条件は、板が止まっている場合と同じと考える。

6 おもりを乗せた直後に、板とおもりとの全体の重心の位置が、となるおもりの座標を求めよ。ただし、dはⅠ.で考えた図2dと同じとする。
7 板とおもりとの間の静止摩擦係数をmとすると、おもりが板の上をすべらずに、板が円筒から落下することなく、往復運動を続けるためのmおよびが満たすべき条件を求めよ。
8 この往復運動の振幅および周期は、問4の場合の振幅および周期のそれぞれ何倍になるか求めよ。
9 重心の速さが最大となった瞬間に、おもりをはずした。その後、板は往復運動を続けた。この往復運動の振幅は、おもりが乗っている場合の何倍になるか求めよ。

解答 力のモーメントの古典的な問題ですが、問7以降はかなり難しくなります。問5あたりでも、「仕事」や「エネルギーの原理」の意味をしっかりできていないと、まごつくかも知れません。

Ⅰ.問1 板に鉛直方向に働くは、上向きの垂直抗力と、下向きの重力です。これらの力のつり合いより、
 ・・・①
重心Gのまわりの力のモーメントは、右回りの,左回りので、これらのつり合いより、
以上より、
......[]

2 板に水平方向に働くは、右向きのF,右向きの動摩擦力,左向きの動摩擦力です。これらのつり合いより、
 ・・・②
鉛直方向の力のつり合いは、①のままです。
原点
Oのまわりの力のモーメントは、右回りの,左回りの,右回りので、こららのつり合いより、
 ・・・③
(①+③÷L)÷2より、

......[]

3 板の重心のx座標xとすると、問2dxに置き換えて、右向きの外力の大きさFは、
手が板にした仕事Wは、
......[] (エネルギーの原理を参照)
別解.F-x図は、を結ぶ線分です。この2点と3頂点とする三角形の面積から、でもOKです。

4 往復運動中の重心Gx座標xとすると、板に水平方向に働くは、右向きの動摩擦力,左向きの動摩擦力で、板の加速度aとして、板の運動方程式は、
 ・・・④
鉛直方向の力のつり合いは①のまま、力のモーメントのつり合いは③のdxに置き換えた式になります。④は②のFに置き換えた式なので、問2の結果を利用して、
 ・・・⑤
これは、
角振動数単振動を表します。のとき、板から静かに手を離したので、ここが振動端で、単振動の振動中心が力のつり合いの位置であることから、
往復運動の
振幅d周期Tは、 ......[]

5 板は単振動するので、板の速さが最大になるのは、
板の重心Gx座標が、 ......[]
のとき(振動中心に来たとき)です。このときの運動エネルギーは、振動端での位置エネルギーである問3仕事に一致し、 ......[] (エネルギーの原理を参照)
別解.公式より、このときの板の速さvは、
このときの運動エネルギーは、

Ⅱ.問6 質量Mの板の重心はにあります。おもりの位置とすると、板とおもりの重心x座標について、
......[]

7 おもりを板の上に置いた時点で、になるので、水平方向のつり合いが崩れ、板に左向きのが働いて、板が左に動き出すことに注意しましょう。
板がおもりに及ぼす静止摩擦力fとします。作用反作用の法則より、おもりは板に静止摩擦力を及ぼします。
板の
加速度aとして、板の運動方程式は、
 ・・・⑥
おもりも加速度aで運動するので、おもりの運動方程式は、
 ・・・⑦
板に働く鉛直方向の力のつり合いより、
 ・・・⑧
板の重心Gx座標xのとき、板+おもりの重力の作用点のx座標です。原点Oのまわりの力のモーメントのつり合いより、
 ・・・⑨
(⑧+⑨÷L)÷2より、
⑥+⑦より、

 ・・・⑩
⑤と比較すると、角振動数は問4の単振動と変わらず、振動中心がになったことがわかります。おもりを板の上に置いたときの板の重心G位置が振動端になるので、振幅dのままです。板が往復運動をするとき、板が最も左に来るのは、板の重心Gx座標のときです。 ・・・()
板が円筒から落下しない条件は、このときに、(i) 板+おもりの重心が円筒1との接点よりも左に来ない、かつ、(ii) 板の右端が円筒2との接点よりも左に来ないことです。
まず、おもりを板の上に置いたとき、板+おもりの重心の
位置が、円筒2との接点の右側に来てしまうと、この時点で板が傾いて落下してしまうので、板+おもりの重心の位置は、円筒2との接点から左側にあります。つまり、
板の重心の
x座標のとき、板+おもりのx座標で、円筒1との接点のx座標と比べると、であって、(i)の条件は必ず満たされます(板+おもりの重心の単振動では、原点Oが振動中心で振幅dです)
また、このとき、
(ii)の条件より、板の重心Gと右端との距離は、最も左に来るとき板の重心Gと円筒2との接点との距離以上でなければなりません。よって、
 ・・・⑪
おもりが板の上で滑り出さない条件(摩擦力を参照)を考えます。⑦,⑩より、
ですが、静止摩擦力の大きさが最大になるのは、のときで、このとき、なので、滑り出さないために最大静止摩擦力以下であるとして、

⑪と合わせて、求める条件は、
......[]
注意.なので、 ()です。という条件も必ず満たされています。

8 問7中の()の検討より、この往復運動の振幅および周期ともに問4の場合と同じです。
振幅が1倍、周期も1 ......[]

9 重心速さが最大になるのは、振動中心にくるときです。おもりをはずず直前では、板の重心Gx座標はです。振動中心に来た瞬間におもりをはずすと、おもりの運動エネルギーが失われて、この瞬間の板の運動エネルギーだけが残ります。
おもりを板の上に置いたときに、板は振動中心からdずれた位置にいるので、おもりをはずした瞬間の板の運動エネルギーは、問5の結果と同じくです(板だけで考えてください。おもりをはずすからと言って、おもりの運動エネルギーが板の運動エネルギーに加わるわけではありません)
ですが、おもりをはずして板だけの単振動になってしまうと、板の単振動の振動中心は原点
Oに戻ります。ということは、おもりをはずした瞬間に、板は振動中心からdだけ変位していて、位置エネルギーをもつことになります。板だけになったときの振幅Aとすると、振動端での板の力学的エネルギーは、問5の結果でとして、です。力学的エネルギー保存より、
......[]


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  1. 2010/10/24(日) 16:04:04|
  2. 東大数学'10年
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防衛大数学'10年[1]

防衛大数学'10[1]

実数xyについて、関係式が成り立つとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) とおくとき、tsの式で表せ。
(2) sのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) とおくとき、ksの式で表せ。
(4) kのとり得る値の最大値Mと最小値mを求めよ。

解答 対称式の問題ですが、(2)で困る人がいるかも知れません。「実数xy」というところに条件が隠れていることに注意してください。

(1)
より、
......[]

(2) とおくとき、xyX2次方程式
2解です。xyは実数なので、この2次方程式は実数解をもち、判別式Dについて、
(1)の結果を代入して、
よって、
......[]
注意.から導くこともできます。

(3)
 ( (1))
の範囲においては、のときに最大値のときに最小値 (2次関数の最大・最小を参照)
......[]


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  1. 2010/10/21(木) 07:37:59|
  2. 10年数学
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愛媛大理系数学'10年[3]

愛媛大理系数学'10[3]

2つの数列は、すべての自然数nについて
, 
を満たしているとする。
(1) 初項がであるとする。
(i) を求めよ。
(ii) を表すnの式を推定し、それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。
(2) 初項がであるとする。
(i) で表せ。
(ii) を求めよ。

解答 定型的でない連立漸化式の問題です。ビックリするような初項の(2)で、なあんだ、という気にさせられます。(2)を先にやる方が良いのですが、(1)の段階で気づけるでしょうか?

(1)(i) ......[]
......[]
......[
]
......[
]
(ii)
これより、と推定することができます。推定が正しいことを数学的帰納法で証明します。
() のとき、より、推定は成り立ちます。
() のとき推定が成り立つ、つまり、と仮定します。
よって、のときも成立します。
()()より、推定が正しいことが証明されました。

(2)(i)
......[]
(ii)
(i)より、
これより、と仮定すると、
(i)より、
よって、帰納的に、すべての自然数nについて、 ......[]
注意.(2)(i)は、初項がでなくても成立します。(1)の初項もを満たすので、(1)でもが成立します。(1)では、これに気づかなくても、計算がややこしいというわけではないので、実害はないと思いますが、実害があるような入試問題もあるかも知れません。(1)で難航するようなら、(2)も見てみる、という心がけをもつようにしましょう。


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  1. 2010/10/20(水) 07:28:25|
  2. 10年数学
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広島大理系数学'10年後期[1]

広島大理系数学'10年後期[1]

自然数のうち、28がどの桁にも現れないものを考え、それらを小さい方から重に並べた数列
1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 30, 31, 33, ・・・
とする。いま、自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数の個数をとする。例えばである。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) 自然数mに対し、を求めよ。
(3) 自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数の逆数の総和はより小さいことを示せ。
(4) すべての自然数nに対し、が成り立つことを示せ。

解答 難問に見えますが、親切な誘導に沿って進めば標準問題です。試験会場でパスしないようにしましょう。

(1) 2桁の自然数で、10の位にも、1の位にも、28が現れない数は、
10の位が、1, 3, 4, 5, 6, 7, 97通り、
1の位が、0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
よって、
......[] (場合の数を参照)
3
桁の自然数で、100の位にも、10の位にも、1の位にも、28が現れない数は、
100の位が、1, 3, 4, 5, 6, 7, 97通り、
10の位が、0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
1の位が、0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
よって、
......[]

(2) のとき、m桁の自然数で、各桁に28が現れない数は、
の位が、1, 3, 4, 5, 6, 7, 97通り、
の位からの位まで、
0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
よって、 
(のときも成り立ちます)
自然数mに対し、 ......[] (等比数列を参照)

(3) 自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数が、第k項から第l項まで(項数は)に位置しているとします。
のとき、
なので、すべての自然数
mに対し、
 (は、項の和)
よって、自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数の逆数の総和はよりも小さくなります。

(4) (3)に出てくる数列の中にあるm桁の整数の逆数の総和をとします。(3)の結果より、
です。M桁の整数だとすると、(3)の結果をからまでで考えることにより、
(2)の結果を用いると、Mは有限な値なので、
無限等比級数は、初項7,公比無限等比級数ですが、公比の絶対値は1よりも小さいので、収束して和をもち、
以上より、
すべての自然数
nに対し、が成り立ちます。


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  1. 2010/10/19(火) 09:41:19|
  2. 10年数学
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千葉大物理'10年[8]

千葉大物理'10[8]

屈折率の媒質1と屈折率の媒質2がある。ただし、とする。

1 図1に示すように、媒質1と媒質2の境界面ABは平行な平面で、その間隔はdとする。媒質1中での波長がlの光を媒質1から境界面Aに垂直に入射した。入射光が境界面Aに到達したときの位相は揃っているものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 媒質2中での波長lを用いて表せ。
(2) 境界面Aで反射された光と境界面B1回反射された光が媒質1中で互いに強め合う条件をld0以上の整数mを用いて表せ。
(3) 境界面AでもBでも反射されなかった透過光と、境界面Bと境界面Aで、この順に1回ずつ反射された透過光が互いに強め合った。波長lを固定したとき、この条件を満たす最小のdの値lを用いて表せ。ただし、とする。

2 図2のように、媒質1と媒質2が平らな面で接しており、この面以外に境界面は存在しないとする。媒質1と媒質2の境界面に立てた垂線と角度をなす方向から媒質1中での波長がlの平行な光を入射させた。細い実線は入射波の波面を表す。以下の問いに答えよ。
(1) 媒質1から媒質2に透過した光の進行方向と境界面に立てた垂線のなす角度をとする。の間に成り立つ関係式を書け。
(2) 境界面で反射された光と入射波が互いに強めあい、波の振幅が最大となる点のうち、境界面に一番近い点と境界面の距離(この点から境界面に下ろした垂線の長さ)hを、lを用いて表せ。

3 図3のように、媒質1と媒質2の境界面ABは平行な平面で、その間隔はdとする。媒質1中での波長がlの位相の揃った光を細いスリットSに垂直に入射させる。スリットと境界面Aの距離をとする。境界面Aから距離の位置に境界面Aに平行にスクリーンを置く。スリットSを通って境界面A上の点Pで反射された光と、スリットと境界面A上の点Oを通った後、境界面B上の点Qで反射された光がスクリーン上の同じ点Rに到達した。以下の問いに答えよ。
(1) スリットを通って境界面A上の点Oに入射する光が境界面に垂直な方向となす角度を,点Oを通って媒質1から媒質2に透過する光の進行方向と境界面Aに立てた垂線のなす角度をSPと境界面Aに垂直な方向のなす角度をとするとき、dの間に成り立つ関係式を書け。
(2) スクリーン上の点Rに到達した二つの光が強め合う条件をld0以上の整数mを用いて書け。
(3) dよりも十分小さいとき、と置くとよりも十分小さい。aの近似値をdを用いて表せ。必要があれば、
を用いて良い。
(4) dよりも十分小さいとき、スクリーン上の同じ点Rに到達した光が強め合う条件をld0以上の整数mを用いて表せ。必要があれば
を用いて良い。

解答 難問というわけではないのですが、公式をそのままあてはめる、という感覚では正解が得られないように工夫されている問題です。試験会場で、文章の形で暗記してきた物理法則を思い出すのではなく、まさに眼前で物理現象が起きているかのように捉えることができるか、ということが問われています。
真空中での
光速cとすると、屈折率nの媒質中での光速となります。振動数は真空中でも媒質中でも変わらないので、真空中での波長lとすると、媒質中での波長となります。屈折率は1以上で、媒質中では光速波長も小さくなることに注意してください。
3では、最終解答に使える文字が、だったり、だったりして、行ったり来たりするので面倒ですが、問題文の指定に即して答えるように注意してください。

1(1) 真空中での波長です。媒質2中の波長は、真空中の波長となり、
......[]
(2) 境界面Aで反射された光と境界面B1回反射された光との経路差は、境界面Bで反射する光が媒質2中を進む距離になるのでです。光路差は、この経路差に媒質2の屈折率をかけて、です。
境界面Aでの反射は、屈折率の小さい方から大きい方に入ろうとして起こる反射なので固定端の反射で、光の位相pずれます。境界面Bでの反射は、屈折率の大きい方から小さい方に入ろうとして起こる反射なので自由端の反射で、光の位相はずれません(波の反射を参照)
結局、両反射光では
位相pずれて、強め合う条件と弱め合う条件が逆になり、両反射光が媒質1中で強め合う条件(光の干渉を参照)は、光路差を真空中での波長(整数+)倍であるとして、
......[] ()
(3) 両透過光の経路差は、BAの順に反射する光が媒質2中を進む距離になるのでです。(1)と同様に、光路差は屈折率をかけてです。
境界面Bでの反射も、境界面Aでの反射も屈折率の大きい方から小さい方に入ろうとして起こる反射なので自由端の反射で、光の位相はずれません。
両透過光が強め合う条件は、
光路差を真空中での波長の整数倍であるとして、
 ()
dのとき最小で、
......[]

2(1) 屈折の法則より、 ......[]
注意.より媒質1内の方が光が速く進むので、で、です。左辺と右辺で分母・分子の大小関係が一致していることに注意してください。
(2) 右図より、反射光と入射光の経路差です。媒質1中での距離なので、光路差です。
1で見たように、反射光の位相pずれていることに注意して、反射光と入射光が強め合う条件は、
 ()
Hのときに最小で、最小値hは、
......[]

3(1) 右図で、です。
より、
......[]
(2) SPRと進む経路の長さです。光路長は、媒質1内なので屈折率をかけて
SOQと進む経路の長さは、媒質1中で,媒質2中で
SOQRでの光路長は、媒質1中では屈折率をかけ、媒質2中では屈折率をかけて2倍し、
境界面
Aでの反射は固定端の反射、境界面Bでの反射は自由端の反射で、両光は、位相pだけずれていることに注意して、両光が強め合う条件は、光路差が真空中での波長(整数+)倍であるとして、
 ()
を使って答えるために、両辺をで割って、問2(1)の結果を利用すると、
......[]
(3) 3(1)の結果に、を代入して、

......[]
(4) 3(2)の結果に、を代入して、
3(3)の結果を代入して、


を使って答えるために、問2(1)の結果より、求める条件は、
......[]


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  1. 2010/10/18(月) 22:55:05|
  2. 10年物理
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滋賀医大数学'10年[4]

滋賀医大数学'10[4]

2回微分可能な関数,すなわちの導関数及びの導関数が存在する関数が、すべての実数xについて
を満たしている。また、とする。
(1) を示せ。
(2) を示せ。
(3) すべての実数xについてであるとき、すべての実数xについて
が成立することを示せ。

解答 (2)の不等式の形から、平均値の定理が主役になりそうです。(3)が悩みます。の意味を考えてみましょう。
一例として、のような関数を考えてみます。

 (積の微分法を参照)

右図のように、では、 (関数の極限を参照)
では、
となっていて、は同じような変化をします。上記ではですが、ここで、においてになるとすると、の前後では正から負に符号を変えます。ということは、ここでです。なので、においてであればです。

pをある負数だとしてにおいてとすると、
 (定積分を参照)
これより、のときとなります。つまり、であるために、に引きずられてとなってしまうのです。
同様に、となるような
g があると、に引きずられてとなってしまいます。
(3)では、となるcの存在を仮定するととなりに矛盾することからを示すことにします。
は、
(2)の不等式を利用して、仮に、となるuの存在を仮定すると、のときが負値に近づきに矛盾することからを示すことにします。

(1) とおくと、
 (商の微分法を参照)
より、単調減少関数です。のとき、です。よって、

(2) 平均値の定理を使いたいのですが、
と見て、
となる実数cが存在するから、が単調減少であることを用いて、より、
とするのは、誤りです。
となる実数となるとは限らないからです。そこで、の形のまま、平均値の定理を使うことを考えます。
そのために、「となる実数
cが存在する」、という形にします。なので、
という関数を考えます。
において微分可能な関数なので、平均値の定理より、
()
となる実数cが存在します。
より、
は単調減少関数なので、より、
別解.積分によっても示せます。となるtに対して、(1)の結果を用いて、
 ・・・①
左側の不等号より、
の範囲で積分すると、


①の右側の不等号より、
の範囲で積分すると、


(3) 背理法で示します。
まず、「すべてのxについて」を否定すると、「ある実数xについてになる」ということになります。そこで、
となる実数
cが存在する、と仮定します。
平均値の定理より、のとき
(あとでとするので、cよりも大きいbを考えます)
 ・・・②
となる実数dが存在します。このとき、(1)の結果を用いて、
より、です。②より、
ここで、とすると、 (はさみうちの原理を参照)
これは、「すべての実数について」に矛盾します。従って、「となる実数cが存在する」とした仮定は誤りで、すべての実数xについて ・・・③

「すべての実数
xについて」を否定するために、
という関数を考えます。
より、は単調増加関数です。
となる実数
uが存在すると仮定します。は単調増加なので、のとき、
(2)の結果の右側の不等号について、のとき(あとでとするので、uよりも小さいabを考えます)

 ・・・④
ここで、とすると、 () となり、は、ある負の値に近づくか、あるいは、負の無限大に発散し、「すべての実数について」と矛盾します。従って、「となる実数uが存在する」とした仮定は誤りで、すべての実数xについて,つまり、 ・・・⑤
③,⑤より、すべての実数xについて、


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  1. 2010/10/16(土) 23:14:03|
  2. 10年数学
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電通大数学'10年後期[4]

電通大数学'10年後期[4]

PCDの辺PCの中点をA,辺PDの中点をBとする。として、線分ABab に内分する点をQ,線分CBa1に内分する点をR,直線PQと直線ARの交点をEとする。以下の問いに答えよ。
(1) ab を用いて表せ。
(2) aを用いて表せ。
(3) ab を用いて表せ。
(4) Eが直線CD上にあるとき、ab の満たす関係式を求めよ。
(5) ABを固定して、点P(4)で求めた関係式を満たしながら動くとき、△PABの面積の最大値Sを求めよ。

解答 平面ベクトルの基本問題ですが、(5)で、P軌跡楕円です。

(1) ......[] (ベクトルの内分・外分を参照)

(2) より、

......[]

(3) とおくと、(2)の結果を用いて、

 ・・・①
一方、(1)の結果を用いて、
 ・・・②
①,②の係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)
 ・・・③
 ・・・④
④より、
③に代入して、

のとき、Pは線分AB上に来て、△PCDができないので、より、
②より、
......[]

(4) より、
Eが直線CD上にあるとき、
......[]

(5) (4)の結果より、点P2定点ABとの距離の和が2なので、点Pは、AB2焦点とし、長軸の長さが2となる楕円上の点です。
この楕円の焦点間距離の,半長軸は1,半短軸は、
PABの底辺は1,高さが半短軸になるとき(このとき、)に、△PABの面積最大で、最大値Sは、
......[]


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  1. 2010/10/14(木) 05:47:45|
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千葉大数学'10年前期[8]

千葉大数学'10年前期[8]

abは実数とする。関数は、
をみたし、かつ、における最大値はである、このとき、
を最小にするabの値と、その最小値を求めよ。

解答 定積分で与えられる関数の問題ですが、定積分の上端と下端が定数で、被積分関数にも文字を含まなければ定数なので、定積分= cなどとおいて、定積分を計算してしまうことにより解決します。

 ・・・①
とおくと、
①に代入して、

 (2倍角の公式を参照)
 (不定積分の公式を参照)

 ・・・②
 (三角関数の合成を参照)
ここで、aは、を満たす角。
のとき、
範囲の幅があるので、は、のときに最大となり、最大値は、

②より、
両辺を2乗して、

 ・・・③



②,③より、
これは、のとき、最小値: ......[]
このとき、③より、
......[]


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  1. 2010/10/11(月) 09:55:50|
  2. 10年数学
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名工大物理'10年[2]

名工大物理'10[2]

1に示すように、磁束密度が一定の一様な鉛直下向きの磁界(磁場)の中に、充分に長い導体棒abと導体棒cdを間隔で平行に並べてレールをつくり、水平面に対して傾斜角が ()となるようにレールの端点bdを持ち上げた。このとき、レールの下端acとレールが垂直になるように配置してある。端点acは、の抵抗Aと起電力の直流電源で構成される電気回路に接続されている。以下の問いに答えよ。ただし、レールの電気抵抗、直流電源の内部抵抗、レールと導体棒の間の摩擦、および、レールに流れる電流がつくる磁界の影響は無視する。また、重力加速度は鉛直下向きにとする。

1 レール上に、長さ,質量で、の抵抗を持つ導体棒Xをレールと垂直になるように静かに置いたところ、導体棒Xはレール上に静止した。
(1) 抵抗Aを流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 抵抗Aにおける消費電力を求めよ。
(3) 磁束密度の大きさを求めよ。

2 次に、図2示すように、レールの端bdの抵抗Bでつないで、導体棒Xをレールと垂直になるように静かに置いた。すると、導体棒Xは、acと平行を保ったままレール上を動き始めた。ただし、導体棒Xと回路を流れる電流間に働く力については無視できるものとする。
(4) 導体棒Xは、レール上を昇るか降りるか。解答欄の選択肢のうち、該当する方を丸で囲め。
(5) 導体棒Xが動き出した瞬間に、導体棒Xを流れる電流の大きさを求めよ。
(6) 導体棒Xが動き出さないようにするためには抵抗Aの大きさを、もとの抵抗値Rの何倍にしておけばよいか求めよ。

3 次に、抵抗Bを取り除き、図1の状態に戻してから、図3に示すように、長さ,質量の抵抗を持つ導体棒Xと、長さ,質量の抵抗を持つ導体棒Yとを、絶縁体の軽いひもでつないで、導体棒Yが上になるようにレール上に静かに置いた。すると、ひもがたるむことなく、導体棒Xと導体棒Yがレール上をacと平行を保ったまま下向きに動き出し、充分時間が経過した後、導体棒Xと導体棒Yの速度が一定になった。以下の問いに答えよ。ただし、導体棒Xと導体棒Yはレール上にあるものとし、それぞれの導体棒を流れる電流間に働く力については無視できるものとする。
(7) 導体棒Xと導体棒Yの速度が一定になったとき、導体棒Xを流れる電流の大きさは、抵抗Aを流れる電流の大きさの何倍になるか求めよ。
(8) ひもがたるむことなく導体棒Xと導体棒Yが運動しているので、それぞれの導体棒の速度は等しい。その速度をEMRgaを用いて表せ。また、このときの抵抗Aを流れる電流の大きさをERを用いて表せ。なお、解答欄には、答えを導く過程も記せ。その際に、問題文に示される以外の量が必要であるならば、必要な量を新たに定義して用いてもよい。
(9) ひもの張力をMgaを用いて表せ。

解答 斜面になっているコの字型回路に、ひもで結んだ2本の導体棒を渡して磁場中で落下させて等速度運動に至ったとき、ひもの張力はどうなるか、という問題です。ややこしいですが、基本に即して考えればOKです。

1(1) 回路の合成抵抗は、抵抗2個直列になっているので,抵抗Aを流れる電流の大きさは、 ......[]
(2) 抵抗Aにおける消費電力は、 ......[]
(3) 導体棒Xに働くは、鉛直下向きの重力と、磁場電流に及ぼす電磁力です。電磁力の向きは、フレミング左手の法則より、図1で水平方向右向き。電磁力の大きさは、磁束密度の大きさをとして、
斜面に沿う方向での力のつり合いより、
 ・・・①
......[]

2(4) 導体棒Xと抵抗Bの並列接続による合成抵抗より,抵抗Aの直列接続による合成抵抗,抵抗Aに流れる電流は、,導体棒Xと抵抗B電流抵抗値に反比例し21になるので、導体棒Xに流れる電流は、 ・・・②
1のつり合いの状態から、導体棒Xに流れる電流が、からに減るので、導体棒Xに斜面に沿って上向きに働く電磁力の大きさも小さくなり、導体棒Xに働く合力は斜面に沿って下向きになります。
「昇る」と「降りる」の選択肢では、「降りる」
......[] の方を丸で囲みます。
(5) ②より、導体棒Xを流れる電流の大きさは、 ......[]
(6) 導体棒Xが動き出さないようにするためには、導体棒Xに流れる電流にする必要がありますが、このとき、抵抗Bに流れる電流,抵抗Aに流れる電流,回路の合成抵抗,導体棒Xと抵抗B合成抵抗なので、抵抗A ......[]

3(7) ひもがたるまないことから、導体棒Xと導体棒Yは同じ速度で運動し、導体棒Xと導体棒Yに発生する起電力も等しく(フレミング右手の法則を参照。起電力の向きはab側からcd側に向かう向き)なり、導体棒Xと導体棒Yの抵抗両端間の電圧も等しくなります。導体棒Xと導体棒Y電流抵抗値に反比例し21になります。抵抗A電流は、導体棒Xと導体棒Y電流の和になるので、問2(4)と同様に、導体棒Xを流れる電流の大きさは、抵抗Aを流れる電流 ......[]
(8) 導体棒X速さ,抵抗Aを流れる電流とすると、抵抗A電圧降下(7)の結果より導体棒X抵抗での電圧降下,導体棒Xを経て一周する回路の起電力キルヒホッフの第2法則より、
 ・・・③
導体棒X磁場から受けるの大きさは,向きは水平方向右向きで、このの斜面に沿う方向の成分は,導体棒X速度が一定になったとき、張力の大きさをとして、力のつりあいより、
 ・・・④
導体棒Yに流れる電流で、導体棒Y磁場から受けるの斜面に沿う方向の成分は力のつり合いより、
 ・・・⑤
④+⑤より、
 ・・・⑥
①より、 ・・・⑦
これより、
⑥に代入して抵抗
Aを流れる電流の大きさは、
......[] ・・・⑧
また、⑦より、 ・・・⑨
⑧,⑨を③に代入して、
......[]
(9) ⑧,⑨を④に代入して、張力は、
......[]


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  1. 2010/10/10(日) 21:05:12|
  2. 10年物理
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東北大理系数学'10年後期[4]

東北大理系数学'10年後期[4]

として、数列,・・・
 ()
で定義する。以下の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して
が成り立つことを示せ。
(2) すべての自然数nに対して
が成り立つことを示せ。
(3) すべての自然数nに対してを満たす正の定数aのうち、最大のものを求めよ。

解答 (3)は、(2)からと予測がつくので、対偶を考えることにします。高校の範囲では厳しい問題かも知れません。

(1) 細かく分けて、数学的帰納法で証明していきます。
(a) よりです。
であれば、
よって、帰納的に、すべての自然数
nに対して、です。
(b)
と仮定すると、
 ・・・①

よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、です。
(c) より、

よって、すべての自然数nに対して、です。
(d) より、
と仮定すると、(c)によりとなり、なので、①と同様に、

よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、
(a)(d)より、すべての自然数nに対して、

(2) より、
と仮定すると、よりとなるので、①と同様に、

よって、帰納的に、すべての自然数nに対して、,つまり、

(3) (2)より、だろう、という察しはつきますが、何をすれば、と断定できるのかを考えなくてはいけません。
そこで、「すべての自然数nに対してを満たす正の定数aのうち、最大のものを求めよ。」という問題文から、仮にとなればが満たせなくなる、ということを示すことにします。つまり、
「すべての自然数
nに対してのとき、」という命題の対偶、「のとき、 ・・・② となる自然数nが存在する」を示すことを目標にします。
まず、のとき、
つまり、となるので、であれば、②を満たす自然数nが存在するのは明らかです。以下、の場合を考えます。
ところで、①において、
(1)(2)でも書いたように、です。また、(1)の結果でとすると、 (等比数列の極限を参照)であることと、はさみうちの原理より、となります。
a ()を満たすいかなる実数であっても、nを十分に大きくとれば、
 ・・・③
となるようなが必ず存在します。なぜなら、③をみたす自然数nが存在しない、つまり、すべての自然数nについて、
であると仮定する(背理法については、証明の技巧を参照)と、

ここで、なので、は、2よりも小さなある定数です。ということは、のときになり得ず、不合理です。
つまり、のとき、③を満たす自然数
nが必ず存在します。このとき、③より、
 ・・・④
となります。③を満たす自然数nは複数個存在するかも知れませんが、そのうちの最小のn (このnNとします)に対するの値をhとおきます。つまり、
() ・・・⑤
(1)より、すべての自然数についてなので、となるすべての自然数nについて、より、
 (つまり、となるすべての自然数nについて、③,④が満たされる)
となるような自然数nについて、①と同様にして、
これを繰り返し用いて、
また、(1)の結果を用いて、,即ち、
 ・・・⑥
ここで、
 ・・・⑦
となってくれると都合がよいのですが、を両辺にかけると、
両辺の対数をとって、
より ()で割ると、
 ・・・⑧
よって、となるaに対して,④を満たすような自然数N,⑤を満たすようなh,⑧を満たすような自然数n ()をとると、⑥,⑦より、
よって、のときも合わせて、のとき、 を満たす自然数nが存在します。
従って、この命題の対偶、「すべての自然数
nに対してのとき、」も成立し、すべての自然数nに対してを満たす正の定数aのうち、最大のものは、 ......[]
注意.⑧を満たす自然数n ()が存在するか、という心配がありますが、のとき、より、
より、です。


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  2. 10年数学
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東京理科大理'10年[2]

東京理科大理'10[2]

とおく。
(1) 方程式の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ。
(2) 方程式のすべての実数解aに対して
が成り立つような、2次以下の整式を求めよ。
(3) aを方程式の実数解とするとき、もまた方程式の解であることを示せ。
(4) aを方程式の最大の実数解とするとき、の符号はそれぞれ正、負のどちらであるか、理由も含めて答えよ。

解答 3次方程式の問題ですが、(3)では、「恒等式」と「等式」の違いについて注意しましょう。なお、高次方程式を参照してください。

(1) 3次方程式3個の解をもっています。xにいろいろな数値を代入すると、
より、方程式は、において1つずつ実数解をもちます。従って、
正の実数解が
1個、負の実数解が2 ......[]

(2) 3次方程式3個の実数解をabgとします。

これがすべての実数xについて成り立つために、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①より、 ・・・④
となりますが、
2次の整式を、pqrを実数として、とおくと、④でとして、
 ・・・⑤
 ・・・⑥
 ・・・⑦
⑤-⑥より、
3個の解は互いに異なるのでより、で割って、
 ・・・⑧
⑥-⑦より、同様にして、
 ・・・⑨
⑧-⑨より、
より、,⑧より、,⑤より、
......[]
②より、
 ・・・⑩
2次の整式を、lmnを実数として、とおくと、⑩でとして、
 ・・・⑪
 ・・・⑫
 ・・・⑬
⑪-⑫より、
で割って、
 ・・・⑭
⑫-⑬より、同様にして、
 ・・・⑮
⑭-⑮より、
で割って、
⑭より、

⑪より、

a
を方程式の解とするとき、

 ・・・⑯
得られたは、⑯を用いて、
より、③を満たしています。
......[]
注意.④,⑩より、となることは明らかですが、④,⑩のaは「全ての実数」ではなく、3abgのみであって、④,⑩はa恒等式ではなく、恒等式の条件が使えないことに注意してください。
④は⑤,⑥,⑦を代表して書かれた等式、⑩は、⑪,⑫,⑬を代表して書かれた等式であって、「
aに関する恒等式」ではないのです。
上記のように、
pqrに関する連立方程式⑤,⑥,⑦,また、lmnに関する連立方程式⑪,⑫,⑬を解かなくても、2次関数のグラフは、通過する異なる3点が決まってしまえば、ただ1通りに決まります。
異なる
3を通ることから
異なる
3を通ることから
と断定できます。

(3) (2)より、
また、

ここで、⑯を用いて、
これより、は、
と因数分解できます。よって、もまた、方程式の解になります。

(4) (1)より、の符号はどちらも負 ......[]


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  1. 2010/10/06(水) 21:16:11|
  2. 10年数学
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北大数学'10年前期[4]

北大数学'10年前期[4]

に対して
と定める。ただし、 は自然対数の底である。
(1) 不定積分を求めよ。
(2) xの指数関数と多項式を用いて表せ。
(3) で極大となることを示せ。

解答 単なる微積の計算問題だろうと思って安易に取り組むと、(3)で予想外の落とし穴が待っています。

(1)  (部分積分を参照)
 (:積分定数) ......[]
 (:積分定数) ......[]

(2) の定積分は、定積分の中にある絶対値記号の内側の正負によって、積分区間を、2つにわけます。
1項の定積分ではより,第2項の定積分ではより
2項の定積分は、とおくと、tのときu





......[]

(3)
方程式は解くことができません。を代入してみると、
これで増減表を書けば、において極値をとる、と、言えそうですが、においてがどんな変化をするのか、の形を見ているだけではわかりません。が極大値ということもあり得ます。においてのグラフがx軸と平行な接線をもつだけでの近くでが符号を変えない、ということもあり得ます。
そこで、を微分してみます。
注.とすると、
となって、2解あることがわかります。従って、xを増加させていくとき、は、増加、減少、増加と変化します(関数の増減を参照)
におけるの符号を調べてみます。
においては減少していて、xを増加させていくとき、の前後では正から負へと符号が変わります。よって、において極小となります。


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  1. 2010/10/04(月) 11:17:42|
  2. 10年数学
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岐阜大物理'10年[3]

岐阜大物理'10[3]

次の文を読み、以下の問いに答えよ。
電気ヒーターに電流を流したとき発生するジュール熱を水熱量計で測定し、水の比熱を求める実験を行った。水熱量計は図
1のような断熱材で囲まれ、銅製容器とかくはん棒、電気ヒーター、温度計が入っている。電流計、電圧計、電源装置、スイッチを準備した。
実験1:最初、適量な水を水熱量計に入れて、その水の質量と温度を測る。次に、温度の温水を水熱量計に加えて、かくはん棒で手早く混合後、水の温度を測る。
実験2:水熱量計に水を入れて、電気ヒーターをこの水に浸して、回路のスイッチを閉じると同時に、かくはん棒でゆっくりとかきまぜながら、ストップウォッチで時間を読み始める。水熱量計からの熱の出入りができるだけ無いように注意して、30秒後に水温と、電気ヒーターにかかる電圧と流れている電流を読み取って、記録してグラフに表した。このとき、室温はであり、最初と最後の水温の中央の値が室温にほぼ等しくなるように測定した

1 実験1において、であり、であった。水熱量計の熱容量を、水の比熱を用いて表せ。

2 実験2において、電流計、電圧計、電源装置、スイッチを水熱量計に接続する回路図を描け。その際、図2に示す電気記号を用いよ。

3 実験2において、測定時間270秒内の、電圧と電流の測定値の平均はであった。測定時間内に電気ヒーターで発生したジュール熱を、有効数字3桁で求めよ。

4 実験2において、時間と水温の測定結果を図3に示す。のとき、水と容器が得た熱量を、水の比熱H,水熱量計の熱容量Cを用いて表せ。

5 実験1と実験2の結果より、水の比熱Hを、有効数字2桁で求めよ。

6 実験2で、「最初と最後の水温の中央の値が室温にほぼ等しくなるように測定した。」とあるが、その理由を50文字以内で説明せよ。

解答  に関する問題です。単位に注意して解答しましょう。

1 最初に水熱量計に入っていた水が吸収した,水熱量計本体が吸収した,加えた方の水が放出した,吸収したと放出したを等しいとおいて、
......[]

2 右図。

3 測定時間として、
......[]

4 水熱容量,水熱量計と合わせて熱容量
3より、温度変化は、
......[]

5 問1、問4の結果より、
これを、と等しいとして、
......[]

6 水熱量計及びその内部の水と、室内の空気との熱のやりとりの影響をトータルで無視できるようにするため。(49) ......[]


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  1. 2010/10/03(日) 17:23:48|
  2. 10年物理
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阪大理系数学'10年前期[2]

阪大理系数学'10年前期[2]

とする。2つの曲線
, 
の交点のうち、x座標とy座標がともに正であるものをPとする。Pにおけるの接線をそれぞれとし、y軸との交点をそれぞれQRとする。q の範囲を動くとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。

解答 2次曲線の基本問題ですが、実質的には三角関数の計算問題です。

 ・・・① (楕円を参照)
 ・・・② (双曲線を参照)
①より、 ・・・③
②に代入して、



より、
③に代入して、
より、
これより
Pの座標は、
Pにおけるの接線は、
とすると、
よって、
Q
Pにおけるの接線は、
とすると、
よって、
R
線分QRの長さは、相加平均・相乗平均の関係より、
不等号の等号が成立するのは、,つまり、より、のとき。
線分
QRの長さの最小値は ......[]


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  1. 2010/10/01(金) 10:08:05|
  2. 10年数学
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