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大阪市大数学'10年[4]

大阪市大数学'10[4]

abをみたす実数とする。は閉区間で定義された連続関数で、をみたすとする。座標平面上、不等式をみたす点全体からなる図形をAとする。Aの面積Sが正のとき、Aの重心のy座標は、
で与えられる。この事実を用いて、次の問いに答えよ。
1 rをみたす実数とする。不等式をみたす点全体からなる図形をBとおく。Bの重心のy座標rを用いて表せ。
2 tは正の実数とする。不等式をみたす点全体からなる図形をCとおく。Cの重心のy座標tを用いて表せ。
3 問1で得られたと問2で得られたについて、の大小を比較せよ。

解答 単なる積分の計算問題ですが、問題文で与えられている式は興味深い式です。

1 図形Bは右図黄緑色着色部の部分です。Bの面積は、半径1の円の面積から半径rの面積を引いて2で割り、
Bの部分に存在し、問題文の重心のy座標の式で、

また、として、


 (定積分を参照)


Bの重心のy座標は、
......[]

2 図形Cは右図黄緑色着色部の部分です。Cの面積は、半径1の半円の面積と、横2t の長方形の面積を加えて、半円の面積を除き、
Cの部分に存在し、問題文の重心のy座標の式で、

また、として、


 (1項の定積分は半径1の半円の面積に相当します。置換積分(その2)を参照)
Cの重心のy座標は、
......[]

(3) (1)より、
とすると、 (関数の極限を参照)

(2)
より、
より、
......[]

追記.問題文の重心のy座標を与える式:について説明しておきます。
位置xに置かれた幅の細長い棒が、の部分にあるとします。
棒の重心の
y座標はです。棒の質量は棒の面積に比例します。
棒全体での
重心y座標は、質量と各棒の重心のy座標をかけたものを加え合わせ全質量で割ったものになるので、

また、この両辺にをかけると、
となり、横浜国大工08年前期[4]で触れましたが、パップス・ギュルダンの定理が導けます。


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  1. 2010/09/30(木) 15:02:05|
  2. 10年数学
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筑波大数学'10年[1]

筑波大数学'10[1]

とおく。ただしとする。
(1) となるaの範囲を求めよ。
(2) の極小値が以下となるaの範囲を求めよ。
(3) におけるの最小値をaを用いて表せ。

解答 (3)では、最小値しか聞かれていませんが、最大値も考えることにします。

(1)

とすると、
と合わせて、
......[]

(2)  (微分を参照)
とすると、
より増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
0
a
00
0

増減表より、極小値はです。
これより、となるaの範囲は、 ......[]

(3) まず、極小を与える ()との位置関係を考えると、2つの場合に分けられます。
さらに、の範囲の端での関数値と極大値,極小値の大小関係によって場合分けすることになります。
最小値だけであれば
(1)(2)で充分ですが、最大値も考えるのであれば、を比較します。
より、であればであればです。
(1)(2)も含めて以上より、(i) (ii) (iii) (iv) 4つの場合に分けて考えます。
(i)(ii)(iii)においては、の範囲内に、極大、極小を与えるいずれも含みます。(iv)においては、の範囲内に、極大を与えるは含みますが、極小を与えるは含みません。
(i) のとき、
より、
最大値は、 
(3次関数の最大最小を参照)
最小値は、
(ii) のとき、
より、
最大値は、
最小値は、
(iii) のとき、
より、
最大値は、
最小値は、
(iv) のとき、
より、
最大値は、
最小値は、
以上より、におけるの最小値は、
のときのときのとき
......[]
追記.まで広げて考えると、
(v) のとき、最大値:,最小値:
(vi) のとき、最大値:,最小値:
のようになります。
問題文で
axを入れ替えると、「aの範囲を動くとき、直線の通過範囲を求めよ。」という問題になります。(i)(vi)により、右図黄緑色の範囲になります。本問は、このうちの部分の下限の境界線を求めているわけです。


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  1. 2010/09/28(火) 15:11:17|
  2. 10年数学
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東京医科歯科大物理'10年[2]

東京医科歯科大物理'10[2]

金属導線中の電子の運動について考えてみよう。
右図のような半径
r,長さl の円筒状の導線の両端AB間に電圧Vを加える。ただし、Aの電位よりBの電位の方が高いものとする。また、電子の質量をm,電子の電荷を (),導線の抵抗率をr,導線の単位体積中の自由電子の数をn,円周率をpとする。
以下の各問いに答えよ。


1 この導線の電気抵抗RrlVmernpのうちの必要なものを用いて表せ。
2 この導線中に生じている電場の大きさErlVmernpのうち必要なものを用いて表せ。また、電場の向きはABBAのどちらであるか答えよ。

自由電子は電場の存在下では平均するとAB方向に運動しているので、以下では一次元の運動として考える。また、導線中を移動する自由電子には速さに比例する抵抗力が働くものとし、比例定数をkとする。

3 自由電子の運動の向きは、ABBAのどちらであるか答えよ。
4 加速度をa,速さをvとして、自由電子の運動方程式を求めよ。ただし、問3で求めた電子の運動の向きを正とする。
5 vが小さいとき、電子は問3の向きに加速度運動しているが、vがある大きさに達すると等速度運動をするようになる。そのときのvの大きさrlVmenkpのうちの必要なものを用いて表せ。
6 定常電流では、自由電子が導線中を平均してで働いているとして、導線を流れる電流の大きさIrlVmenkpのうちの必要なものを用いて表せ。
7 導線の抵抗率rrlmenkpのうちの必要なものを用いて表せ。

抵抗力に現れる比例定数kの意味について、自由電子と金属原子(陽イオン)の衝突から考えてみよう。
自由電子の運動について、定常電流ではつぎのように考えてよいだろう。

(1) 自由電子は、熱振動している金属原子と衝突すると、それまでに電場から得たエネルギーを全て失う。しかし、電場から力を受けているので、再び問3の向きに動きだす。
(2) それぞれの自由電子が金属原子と衝突する時刻や、衝突後つぎの金属原子と衝突するまでにかかる時間は、さまざまである。ここでは、長時間での平均を考え、ある自由電子がで速さが0であり、時間T(ごと)に衝突を繰り返すとする。

8 自由電子の平均の速さrlVmenTpのうちの必要なものを用いて表せ。
9 一つの自由電子の運動エネルギーの時間変化の様子をグラフに示せ。
10 kmTを用いて表せ。
11 一般に金属導線の抵抗率は、温度上昇とともにどのように変化するか。その理由を問7,問10の結果も考慮に入れて説明せよ。

解答 抵抗モデルに関する基本問題です。電流・オームの法則を参照してください。

1 導線の電気抵抗は、導線の断面積であることから、
......[]

2 導線内には、電位の高い方から低い方に向かって一様な電場が生じていて、電場の大きさは、 ......[]
電場の向きは、BA ......[]

3 自由電子負電荷を持っているので、電場と逆向きのを受け、運動の向きは、AB ......[]

4 自由電子が受けるは、大きさ電気力(向きはAB)、これと逆向きの抵抗力で、抵抗力は向きも含めて自由電子加速度aとして運動方程式は、
......[]

5 問4の運動方程式において、最初速さvに近いうちはですが、vが大きくなるに従ってaは減少して0に近づいてきます。になってしまうと、自由電子は等速度運動するようになります。このときの速さとして、
......[]

6 導線を流れる電流の大きさは、導線の断面積であることから、
......[]

7 問1、問6の結果と、オームの法則より、
抵抗率rは、 ......[]

8 抵抗力を考えないときの自由電子の運動方程式は、問4の運動方程式からの項をとって、

時間Tの間、自由電子等加速度運動を続けるのですが、時間t ()経過後の自由電子速度vは、
 ・・・①
自由電子の平均の速さは、の中間における速度と考えられ、
......[]

9 時間t ()経過後の自由電子運動エネルギーは、①より、
以降は、これを繰り返すことになります。グラフは右図実線。

10 問5の等速度運動時の速さが、問8の平均の速さに一致すると考えます。
......[]

11 問7,問10の結果より、導線の抵抗率は、
 ・・・②
となり、時間Tに依存します。
金属原子は隣接する原子と結合していて自由に動き回ることができないのですが各原子ごとに熱振動しています。金属原子は、
自由電子と衝突すると自由電子からエネルギーをもらって熱振動のエネルギーが次第に大きくなってきます。結果的に、金属の温度が上昇してジュール熱を発生するのですが、温度が上昇して熱振動が激しくなると、金属原子が自由電子と衝突しやすくなり、自由電子が衝突後に次の金属原子と衝突するまでにかかる時間Tがだんだん短くなります。すると、②より抵抗率rは大きくなります。

金属導線中を電流が流れると、金属導線の温度が上昇し、金属原子の熱振動が激しくなり、時間
Tが短くなる。その結果、金属導線の抵抗率は温度上昇とともに大きくなる。 ......[]


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  1. 2010/09/28(火) 00:17:35|
  2. 10年物理
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九大数学'10年前期[2]

九大数学'10年前期[2]

次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし、出た目が気に入ればその目を得点とする。そうでなければ、もう1回サイコロを振って、2つの目の合計を得点とすることができる。ただし、合計が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって、2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問いに答えよ。
(1) 競技者が常にサイコロを2回振るとすると、得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると、得点の期待値はいくらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには、競技者は最初の目がどの範囲にあるときに2回目をふるとよいか。

解答 確率の基本問題です。全ての場合を書き出しても解答できるでしょう。

1回目に出る目を
a2回目に出る目をbとして、サイコロを2回振ったときに出る目をのように書くことにします。

(1) 2回サイコロを振って、2つの目の合計が7以上(得点は0)にならないのは、以下の場合です。
得点2となるのが
得点
3となるのが
得点
4となるのが
得点
5となるのが
得点
6となるのが
2回の目の出方は各々なので、得点の期待値は、
......[]

(2) 最初の目が6になる確率はで、このとき得点は6です。得点の期待値は、
......[]

(3) (2)の場合に加えて最初の目が5のときにも2回目を振らないとすると、期待値は、(2)の場合よりも増えて、(1)減るので、になります。
さらに最初の目が4のときにも2回目を振らないとすると、期待値は、増えて、(1)減るので、になります。
さらに最初の目が
3のときにも2回目を振らないとすると、期待値は、増えて、(1)減るので、になります。
さらに最初の目が
2のときにも2回目を振らないとすると、期待値は、増えて、(1)減るので、になります。
さらに最初の目が
1のときにも2回目を振らないとすると、期待値は、増えて、(1)減るので、になります。このときには、最初の1回しか振らないので、としても期待値を求められます。
以上より、得点の期待値を最大にするためには、最初の目が
1以上2以下の範囲 ......[] のとき、2回目を振ればよいことになります。


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  1. 2010/09/26(日) 13:03:47|
  2. 10年数学
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九大理系数学'10年後期[3]

九大理系数学'10年後期[3]

が、行列を用いて次のように与えられている。
以下の問いに答えよ。
1のときのとする。点の座標を求めよ。
2のときのとする。点の座標を求めよ。
3 (ただしkは正の定数)のときのとする。点の座標を求めよ。
4.点と点の間の距離をとする。を求めよ。

解答 行列無限等比級数の融合問題です。行列の累乗を考えるまでもなく、行列を次から次へとかけていくだけです。
とおきます。


1
,・・・・・・,
 ・・・① 
(行列の積を参照)
......[
]

2
,・・・・・・,
 ・・・②

......[]
注.1.,2.より、行列の固有値1に対する固有ベクトルが,固有値に対する固有ベクトルがだということがわかります(固有値・固有ベクトルを参照)

3であることを利用します。
①より、 ・・・③
②より、 ・・・④
③+④より、
......[]

4
の公比について、より、無限等比級数は収束して和を持ちます。
......[]


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  1. 2010/09/25(土) 21:14:18|
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阪大理系数学'10年前期[4]

阪大理系数学'10年前期[4]

半径3の球と半径1の球が、内接した状態で空間に固定されている。半径1の球Sが次の条件(A)(B)を同時にみたしながら動く。
(A) Sの内部にあるかに内接している。
(B) Sの外部にあるかに外接している。
Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき、立体Dの体積を求めよ。

解答 空間図形の体積の問題ですが、球を円と読み替えれば、二球の位置関係を二円の位置関係として考えて行くことができます。立体Dがどういう図形になるのか、ある程度の説明は必要でしょう。

の中心を原点、これに内接する球の中心の座標をとするような座標系をとります。また、球の半径を,球の半径をとします。

Sの半径をとし、球Sの中心と球の中心との距離をとすると、条件(A)より、中心間距離は半径の差以下(二円の位置関係を参照)なので、
 ・・・①
Sの中心と球の中心との距離をとすると、条件(B)より、中心間距離は半径の和以上なので、
 ・・・②
Sの中心の座標をとすると、①より、
 ・・・③
②より、
 ・・・④
(A)かつ(B),即ち、③かつ④を満たす範囲Dは、xを固定して考えれば(x軸に垂直な平面上では円周とその内部、または、2つの円周に挟まれた部分になる)わかるように、x軸のまわりに回転しても同じ範囲(回転対称)になります。
よって、立体
Dを、xy平面()で切断したときの断面(右図黄緑色着色部分)x軸のまわりに回転させた図形として考えることができ、立体Dの体積を回転体の体積として求めることができます。
右図断面は、

かつ
として表せますが、円から、 かつ を満たす部分(範囲Eとします)を除いた図形です。範囲Eは、2本の境界線はどちらも半径1の円なのでに関して対称であって、範囲Ex軸のまわりに回転させた回転体の体積は、円の部分をx軸のまわりに回転させた回転体の体積2倍です。
より、
よって、
立体Dの体積Vは、半径2の球の体積からを引いて、
......[]



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  1. 2010/09/21(火) 13:42:38|
  2. 10年数学
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名大物理'10年[1]

名大物理'10[1]

1のように、水平な床の上に質量の水平な台を置き、大きさが無視できる2つの小物体ABの台の上面での運動を考える。紙面に垂直な方向の運動は考えない。小物体ABの質量はともにmとする。台の上面のうちPQ間はなめらかであり、この区間では台と小物体ABとの間の摩擦は無視できる。QR間には摩擦があり、小物体ABと台の上面QR間との間の静止摩擦係数はm,動摩擦係数はである。また、小物体Aと小物体Bの衝突における反発係数(はねかえり係数)eを満たす。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。
はじめに、台を床に固定具で固定し、小物体
Bを台上から取り除く。台上での小物体Aの運動を考える。図2のように、小物体Aを台の上面のP点から初速度で右向きに滑らせたところ、小物体AQ点から距離だけ離れた台上の点で静止した。

設問(1):運動をはじめてから静止するまでの小物体Aの運動を考える。(a)小物体Aの速度の時間変化、(b)運動エネルギーの時間変化、(c)P点から小物体Aまでの距離の時間変化を示すグラフとして適切なものを次のア~クからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、グラフの横軸は小物体Aが運動を開始してからの時間を表し、縦軸は速度、運動エネルギー、または距離を表すものとする。

設問(2):距離を、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

次に、台を床に固定具で固定したまま、小物体Bを台上のQ点に静かに置く。図3のように台の上面のP点から、初速度で小物体Aを右向きに滑らせると、小物体Aと小物体Bは衝突を起こし、衝突後、Q点からそれぞれ右に距離だけ離れた台上の点に静止した。

設問(3):衝突直後の小物体Aと小物体Bの運動エネルギーを、mmegの中から適切なものを用いてそれぞれ表せ。

設問(4):距離と距離との差を、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

次に、台を床に固定する固定具を取り外し、台が床の上を自由に滑ることができるようにする。床と台との間の摩擦は無視できる。静止した台の上のQ点に小物体Bを静かに置く。図4のように、台上のP点から初速度で小物体Aを右向きに滑らせると、小物体Aと小物体Bは衝突した。衝突直後の台の速度は0であった。小物体Aは、小物体Bとの衝突後、QR間の点で台との間の相対速度が0となり、以降は台と一体となって運動した。さらにその後、小物体Bは、QR間の点で台との間の相対速度が0となり、以降は台と一体となって右向きに速度で運動した。

設問(5):速度を、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

設問(6):小物体Aと台との間の相対速度が0となってから、小物体Bと台との間の相対速度が0となるまでの間の台の運動を考える。小物体Aと小物体Bが台に及ぼす力をすべて解答欄の図中に矢印で示し、それらの力の大きさを解答欄の図中に数式で記せ。解答に際しては、力の向きに留意して矢印を図示せよ。数式は、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

解答 衝突に関する標準問題です。設問(6)はいわゆる「親亀子亀」の問題です。

(1) 小物体Aは、PQ間においては、速さで等速度運動をします。運動を始めたとき時刻とし、Qを通過する時刻として、時刻t ()におけるA速度は、
Qを過ぎると、動摩擦力を受けるので、加速度aとして、運動方程式は、

よって、小物体AQを過ぎると等加速度運動をするようになります。静止する時刻として、時刻t ()におけるA速度は、
よって、時刻tにおけるは、
(a)小物体A速度の時間変化を表すグラフは、ア ......[]
時刻tにおける小物体A運動エネルギーは、
(b)運動エネルギーの時間変化を表すグラフは、エ ......[]
時刻tにおける、P点から小物体Aまでの距離は、
(c)P点から小物体Aまでの距離の時間変化を示すグラフは、カ ......[]
注意.上記では、計算によって示していますが、(a)では、途中まで等速度運動、そこから加速度一定で直線的に速度が減少してやがて速度0になるグラフ、(b)では、途中まで運動エネルギー一定で、それ以降は、時間t2次関数となり、下に凸なグラフ、(c)では、途中まで傾き正の直線、それ以降は上に凸な放物線、という感覚で選べばよいでしょう。

(2) 小物体AQを通過するときにもっていた運動エネルギー,これが、動摩擦力のする仕事を受けて0になるので、エネルギーの原理より、
......[]

(3) 衝突直後の小物体A,小物体B速度とします。衝突前の運動量は、小物体A,衝突直後の運動量は、小物体A,小物体Bです。衝突前後の運動量保存より、
 ∴  ・・・①
①に代入して、

衝突直後の小物体
A運動エネルギーは、
......[]
衝突直後の小物体B運動エネルギーは、
......[]

(4) (2)と同様に、小物体Aに関するエネルギーの原理より、
 ・・・②
小物体Bに関するエネルギーの原理より、
 ・・・③
③-②より、
......[]

(5) 系に水平方向に働く外力はないので、小物体Aが運動を始めたときと、小物体ABが台と一体となって運動したときとで、運動量が保存されます。
......[]

(6) 小物体Aと台との間の摩擦力静止摩擦力で、その大きさをfとします。小物体Aが台から受ける摩擦力の向きは水平方向右向き、台が小物体Aから受ける摩擦力の向きは水平方向左向きです。小物体A加速度aとしてA運動方程式は、
 ・・・④
小物体Bと台との間の摩擦力動摩擦力で、その大きさはです。小物体Bが台から受ける摩擦力の向きは水平方向左向き、台が小物体Bから受ける摩擦力の向きは水平方向右向きです。小物体B加速度bとしてB運動方程式は、
 ・・・⑤
小物体Aと台は一体で運動しているので台の加速度a,台の運動方程式は、
 ・・・⑥
④,⑥より、
 (小物体Aと台の加速度,小物体B加速度)
小物体Aと小物体Bが台に及ぼすは、摩擦力と鉛直下向きの重力を含めて右図。


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  1. 2010/09/20(月) 16:16:40|
  2. 10年物理
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京大文系数学'10年[2]

京大文系数学'10[2]

座標平面上の点の範囲を動くとき、のそれぞれの最大値と最小値を求めよ。

解答 線形計画法の典型問題です。

 ・・・
() の範囲の境界線は、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①と②を連立すると、①×2-②より、
 ∴
①,②の交点は
①と③を連立すると、①-③×
2より、
 ∴
①,③の交点は
②と③を連立すると、②×
2-③より、
 ∴
②,③の交点は
これより、
()を図示すると、右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
とおき、と変形すると、傾き
y切片kの直線を表します(直線の方程式を参照)
kが大きくなるに従って、直線は上にずれて行きます。範囲()を通過する直線を考えます。
kが最大になるのは、直線を通過するときで、このとき、
kが最小になるのは、直線を通過するときで、このとき、
よって、の最大値:6,最小値:2 ......[]
とおくと、原点を中心とする半径の円(のときは原点1)を表します(円の方程式を参照)
kが大きくなるに従って、円の半径が大きくなります。範囲()を通過する円を考えます。
kが最大になるのは、円を通過するときで、このとき、
kが最小になるのは、円が直線②のの部分と接するときで、このとき、
②とを連立して、


この2次方程式が重解をもつので、
 (このとき、重解はを満たします)
の最大値:,最小値: ......[]


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  1. 2010/09/17(金) 08:42:37|
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横浜国大工数学'10年後期[4]

横浜国大工数学'10年後期[4]

次の問いに答えよ。
(1) で定義された関数とする。
が成り立つことを示せ。
(2) 極限
を求めよ。

解答 Σを含むまま式変形を行うとわかりづらくなります。Σを含まない形に書き直して変形するのが安全です(Σの公式を参照)

(1)


(2)  (対数関数を参照)
と見て、(1)を使うと、より、

とすると(区分求積法を参照)
 (部分積分法を参照)


2項の積分は、とおく(置換積分(その2)を参照)と、xのとき、q
......[]


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  1. 2010/09/16(木) 06:58:38|
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東医歯大数学'10年[1]

東医歯大数学'10[1]

abcを相異なる正の実数とするとき、以下の各問いに答えよ。
(1) 次の2数の大小を比較せよ。
(2) 次の4数の大小を比較し、小さい方から順に並べよ。
(3) xyzを正の実数とするとき、
のとりうる値の範囲を求めよ。

解答 (2)は、失敗すると、うまく因数分解できないので、難航するかも知れません。(1)の利用法を考えましょう。

(1) より、
......[]

(2) とおきます。まず、abcに数値代入して、大小関係を調べます。
のとき、
のとき、
以上より、と推定できます。

ここで、方針が見えずに悩むかも知れません。(1)に出てきた形が見えるので、(1)の利用を考えましょう。





......[]

(3) まず、変数を1つにするためにとしてxの関数で考えてみます。
とおきます。
x0
1
×0
×6

において連続な関数で、より、は、となるすべての実数値をとり得ます。また、
以上より、のとりうる値の範囲は、
......[] ・・・①
注.「とりうる値の範囲を求めよ」という問題なので、相加平均相乗平均の関係より①,というだけでは不十分です。でも不十分です。6以上のある値をとり得ない、ということが起こり得るからです。6以上の全ての値をとり得る、ということを示しておく必要があるので注意してください。


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  1. 2010/09/15(水) 11:31:46|
  2. 10年数学
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東北大物理'10年前期[3]

東北大物理'10年前期[3]

1に示すような長さで両端の開いた管(開管)が、z軸上の回転軸に開管の中心が原点と一致するように固定されている。回転軸が矢印の方向に回ることにより、開管はx-y平面内でz軸の正方向から見て反時計回りに回転できる。開管内部には低周波発信器に接続された小型スピーカーが取り付けられている。低周波発信器から適切な振動数の正弦波を小型スピーカーに入力すると、開管内の気柱に両方の開口端が腹の位置となる定常波を作ることができる。定常波を音源とした音は、両方の開口端が出口となり周囲に伝わる。この音の波形は、x-y平面上に置かれたマイクを通してオシロスコープで調べることができる。
床や壁などは、音が通過および反射をしない材質でできているとして、以下の問いに答えよ。解答は、解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく考え方や計算の過程も記せ。


(1) 1のように、開管の中心軸をy軸と一致させて開管を静止させた。低周波発信器の振動数をゼロからゆっくりと増加させていくと、ある振動数になったとき開管内の気柱に基本振動の定常波ができ、開口端から音が響き始めた。この音をx軸上に置かれたマイクを通してオシロスコープで調べた。オシロスコープの時間軸1目盛りの間隔を (ミリ秒)にしたところ、図2で示すような波形を観測することができた。
(a) オシロスコープに表示された波形から、定常波の周期の数値および振動数の数値を求めよ。
(b) 音速がであるとき、図2で観測した音の波長の数値を、有効数字2桁で求めよ。
(c) 開管内の気柱の固有振動のうち、波長がに対応する低周波発信器の振動数の数値を求めよ。
(d) 低周波発信器の振動数をf に固定して、開管内の気柱に作られる定常波の波長をとした。2つの開口端から出た音の干渉を調べるため、マイクをの線上でy軸正方向に移動させた。マイクを通してオシロスコープで測定した振幅とマイクのy座標位置の関係を示す最も適切なグラフを、図3()()の中から1つ選べ。また、そのグラフを選んだ理由を記せ。なお、グラフを見やすくするために、○で示す測定値はなめらかな破線で結んである。

(2) 次に、低周波発信器の振動数を問(1)(c)で求めたf に固定し、開管を角速度w で回転させた。このとき、回転による開口端の速度は音速Vより十分に遅く、実験室内には風がない。また、開口端外からの音はないものとする。
(a) 開管の中心軸がy軸と重なるとき、2つの開口端はそれぞれの位置にある。このときの時刻をとし、そのときにあった開口端の速度のx成分y成分を、wt を用いて表せ。
(b) マイクをの長さに比べると開管から十分に離れたx軸上の点に移動した。開口端速度のx方向成分が周期的に変化するため、ドップラー効果により開口端から放出される音の波長もまた周期的に変化する。マイクの位置で観測される音の波長の最小値と最大値を、wVを用いて求めよ。
(c) 回転する2つの開口端からの音波には、ドップラー効果による振動数のわずかな違いがあるため、うなりが生ずる。振動数の違いは周期的に変わるので、うなりの回数もまた周期的に変化する。マイクの位置で観測されるうなりの単位時間あたりの回数の最大値を、wVを用いて表せ。

解答 その昔、1960年代から1970年代にかけて、多くのロック・バンドで使われていたレスリー・スピーカーがネタになっていて、当時、ハモンド・オルガンに酔っていたオールド・ロック・ファンがしびれてしまう問題です。
入試本番間近だというのに、レスリーが泣かせてくれる、ユーライア・ヒープの名曲「7月の朝」を聞きながら数学の難問を考えていた頃が懐かしいですね。


(1)(a) 2よりオシロスコープで観測された波形の周期2ミリ秒です。
定常波の周期は、 ......[]
振動数は、 ......[]
(b) 波の公式より、波長は、 ......[]
(c) 開管の基本振動の波長は、
波の公式より、 ......[]
注.なのでの振動は、5倍振動です。
(d) まず、きちんと計算してみます。y軸上でに位置する開口端と、x軸から距離yの位置との距離は、
y軸上でに位置する開口端と、x軸から距離yの位置との距離は、
両経路の経路差ですが、yから大きくしていくとき、両開口端から来る音が最初に強めあう条件は、
より、両辺を2乗して、
これより、
で割って、さらに2乗すると、


の線上でy軸正方向に移動すると、の位置では両音源から等距離にあって強め合うのですが、そこから次第に音の振幅は減少して極小になったのちに増大して、で極大になります。こうなっているグラフは()です。
ここでは、理由を書けばよいので、以下のような概略の近似計算で
OKでしょう。
() ......[]
理由:経路差は近似的に、マイク位置のy座標y,原点とマイクを結ぶ直線とx軸のなす角をq として、
の線上でからy軸正方向に移動すると、最初に強め合う条件は、
よって、おおよそで最初に強めあう。これに最も近いのは() ......[]

(2)(a) 右図より、最初ににあった開口端の速度x成分y成分は、
......[]
(b) 最初ににあった開口端が発する音は半周期ずれて観測されるだけなので、最初ににあった開口端の発する音のドップラー効果を考えれば十分です。
十分に離れたx軸上の点においては開口端から出てくる音が進む速度はx軸方向成分のみ考えればよく、ドップラー効果の公式より、観測される音の振動数は、
波長は、
のときに最大で、最大値は、 ......[]
のときに最小で、最小値は、 ......[]
注.問題文にを微小量と考えよ、という指示がついていますが、1次の項を無視すると、ドップラー効果そのものを無視することになってしまいます。
(c) 最初ににあった開口端が発する音を観測してドップラー効果による波長が最大となるとき(振動数が最小値をとるとき)、最初ににあった開口端が発する音のドップラー効果による波長が最小(振動数が最大値をとる)になります。このときに、両振動数の差が最大となり、単位時間あたりのうなりの回数も最大になります。よって、求める最大値は、

......[]


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  1. 2010/09/13(月) 13:13:29|
  2. 10年物理
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九大理系数学'10年後期[1]

九大理系数学'10年後期[1]

直線 (ただしaは正の実数)lとし、曲線 (ただし)Cとする。曲線Cが直線lの下側にあり、曲線C上の点と直線lとの距離がで表されるとき、以下の問いに答えよ。
1.関数を求めよ。
2.曲線Cx軸で囲まれた図形を、x軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。
3Vが最大となるようにaの値を定めよ。

解答 標準的な微積分の計算問題ですが、3.では少し工夫します。

1.直線lと、曲線C上の点との距離がであることから、
 (点と直線の距離を参照)
曲線Cが直線lの下側にあることから、,よって、

t
xに入れ替えて、
......[]

2とすると、

のとき、
曲線
Cx軸で囲まれた図形は、の範囲に存在します。



......[]

3のままaで微分するのでは計算が大変になることは見えています。などとおくのでは分母の形が簡単にならずに不利です。分母を簡単にするのであれば、とおけばVが微分しやすい形になります。
そこで、とおきます。よりです。
 (微分の公式を参照)
x1
3

0
V0

増減表よりのときV最大(関数の増減を参照)となります。このとき、より、 ......[]


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  1. 2010/09/10(金) 03:55:49|
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早大教育数学'10年[2]

早大教育数学'10[2]

底面が正六角形ABCDEFで頂点がOの正六角錐O-ABCDEFがある。底面の辺の長さをaとする。2つの面△OABと△OBCのなす角をq とするとき、を求めよ。

解答 図形問題ですが、空間ベクトルでも、三角比を用いても解答できます。

1次独立です。より、
 (内積を参照)
 ・・・①
OAB≡△OBCより、同様に、 ・・・②
より、


これより、
 ・・・③
OB上にHをとって、となるようにします。このとき、です。
とおくと、①を用いて、



OABと△OBCのなす角q は、境界線BCに垂直な線分AHと線分CHのなす角に等しく、
 ・・・④

①を用いて、
 ・・・⑤
同様に、 ・・・⑥
①,②,③を用いて、


 ・・・⑦
⑤,⑥,⑦を④に代入して、
......[]
別解.△OAB余弦定理を適用して、

AからOBに垂線Hを下ろすと、
同様に、
ABCに余弦定理を適用して、
注.正弦定理より、とすることもできます。
AHCに余弦定理を適用して、


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  1. 2010/09/08(水) 12:02:32|
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横浜国大工数学'10年前期[4]

横浜国大工数学'10年前期[4]

abを正の実数とする。曲線
C
は領域Dに含まれている。次の問いに答えよ。
(1) が存在する範囲をab平面上に図示せよ。
(2) Cが囲む部分の面積が最大になるときのabの値を求めよ。

解答 東大96年前期[6]と実質的に同じ問題です。丁寧に場合分けして考えて行くことになります。なお、2次関数の最大・最小関数の増減を参照してください。

(1) 曲線C楕円です。曲線C上の点は、q を媒介変数として、
 ・・・① (2次曲線の媒介変数表示を参照)
と表すことができます。点が、領域Dに含まれるとき、


 ・・・②
①のが曲線C上を動くとき、は、となるすべての実数値をとります。
()とおくと、②は、
() ・・・③
(i) のとき(のグラフは下に凸)
かつ
よって、

これより、 ・・・④
(ii) のとき、
()
よって、

 ・・・⑤
(iii) のとき(のグラフは上に凸)
軸の位置: ()1より左か右かでさらに場合分けします。
より、(a) (b) で場合分けします。
(a) のとき、つまり、のとき、
(i)と同様に、 ・・・⑥
(b) のとき、つまり、のとき、
の最大値:
 ・・・⑦
④,⑤,⑥,⑦より、
のとき
(④,⑤,⑥をまとめて)のとき、
とすると、
とすると
a0

1

0
00

以上より、が存在する範囲をab平面上に図示すると、右図黄緑色着色部(a軸上、b軸上を除き、他の境界線を含む)
これを見ると、求める範囲を、
のとき、のとき、
と言い換えることができます。

(2) 楕円Cが囲む面積Sは、長軸、短軸の長さが (もしくは、)となるので、
 ・・・⑧
の範囲でaを固定すると、Sbが最大値をとるときに最大値をとり、ここでaを動かすと、
の範囲で
aを固定すると、Sbが最大値をとるときに最大値をとります。
とすると、
とすると、においては
a

1

0
0

増減表より、のとき最大値をとり、このとき、は最大値をとり、となります。
......[]
別解.⑧のグラフを(1)の図に描き込むと、a軸,b軸を漸近線とする直角双曲線になります。直角双曲線はSを大きくすると右上にずれて行きます。直角双曲線は下に凸なので、
() ・・・⑨
と接するときにS最大となります。
⑧と⑨を連立して、
2乗して整理すると、
 ・・・⑩
⑧と⑨が接するとき、⑩が重解をもつのでのグラフの傾きが0より


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  1. 2010/09/06(月) 10:34:35|
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静岡大物理'10年[1]

静岡大物理'10[1]

1に示すように地球と点Aの距離が,点Bとの距離がrn倍である軌道上を周回する質量の人工衛星がある。点Aを通過する人工衛星の速さを,地球の質量を,万有引力定数をとし、次の問いに答えよ。

1 人工衛星が楕円軌道()で周回している場合を考える。ただし、地球と人工衛星との間にはケプラーの法則が成り立ち、地球の中心と人工衛星を結ぶ線分が単位時間に描く面積(面積速度という)が一定である。図1の点Cでは、この面積速度の大きさは線分の長さ,速さ,線分と速度のなす角を用いてで表される。なお、線分ABは楕円の長軸であり、点A,点Bにおける速度の方向は線分ABに対して垂直である。
(1) Aにおける力学的エネルギーを表せ。
(2) Aにおける面積速度をrを用いて表せ。
(3) Bにおける速さnを用いて表せ。
(4) Aにおける速さnGMrを用いて表せ。
(5) nが限りなく大きくなるときの速さを求めよ。

2 人工衛星が速さ,半径rで等速円運動()している場合を考える。ただし、地球は球体で自転による影響は無視できるものとする。
(1) 人工衛星に働く遠心力を表せ。
(2) 人工衛星に働く力のつり合いの式を表せ。
(3) 人工衛星の速さがのとき、地表からの高さはいくらか。ただし、地球の半径は,地表の重力加速度の大きさはとし、有効数字2桁で答えよ。
(4) 人工衛星の地表からの高さが地球の半径Rに等しいとき、人工衛星に働く重力加速度の大きさは地表の重力加速度の大きさの何倍か。有効数字2桁で答えよ。

解答 万有引力と楕円運動に関する基本問題です。

1(1) Aにおける運動エネルギー万有引力位置エネルギー力学的エネルギーは、
......[]
(2) Aと地球の中心を結ぶ線分と、点Aにおける速度とのなす角はなので、点Aにおける面積速度は、 ......[]
(3) Bと地球の中心を結ぶ線分と、点Bにおける速度とのなす角はなので、点Bにおける面積速度は、
面積速度一定のケプラーの法則より、
......[]
(4) (1)と同様に、点Bにおける力学的エネルギーは、
Aと点Bにおける力学的エネルギー保存より、よって、
(3)の結果を代入して、
をかけて整理すると、

......[]
(5) のとき、 ......[]

2(1) 人工衛星に働く遠心力は、 ......[] (地球の中心から外に向かう方向)
(2) 人工衛星に働く(1)遠心力万有引力 (地球の中心に向かう方向)
両者の力のつり合いより、
......[]
(3) (2)より、
地球の半径,地表での重力加速度として、地表で質量mの物体に働く重力万有引力に等しいことから,これより、,よって、
地表からの高さは、
......[]
(4) 人工衛星と地球の中心との距離になります。このとき、重力加速度として、万有引力は、
......[]


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  1. 2010/09/05(日) 21:40:05|
  2. 10年物理
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一橋大数学'10年前期[2]

一橋大数学'10年前期[2]

aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線とそれぞれ点A,点Bで接している。
(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線上にあることを示せ。
(2) 直線ABの方程式がであるとき、amの値を求めよ。

解答 数学Ⅱの微分の計算問題です。

(1)
とおきます。
 (微分を参照)
傾きm接線をもつとき、

 ・・・①
この方程式の2解をab として、解と係数の関係より、
 ・・・②
A,点Bの座標は、,線分ABの中点Cは、
②を用いて、




より、線分ABの中点Cは、曲線上の点です。
追記.より、曲線は変曲点をもちます。
3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。

(2) 直線ABと曲線は、3ABCで交わります。
直線AB
と連立すると、
 ・・・③
直線AB上の点C上の点なので、③はという解をもちます。よって、
より、aは実数なので、 ......[]
このとき、③は、

()は、線分ABの中点Cの座標なので、ABx座標はです。方程式①の2解はであって、②より、
......[]


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  1. 2010/09/03(金) 08:49:25|
  2. 一橋大数学'10年
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静岡大理数学'10年[2]

静岡大理数学'10[2]

次の問いに答えよ。
(1) 不等式が成り立つことを示せ。
(2) 関数の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。

解答 として、を既知として認めてしまえば単なる計算問題ですが、以下では、を既知としないでやってみます。素直に考えて行くと泥縄式になってきますが、数学の勉強、とは、そういうものかも知れません。

(1)
(積の微分法を参照)
とすると、
より,よって、

においては増加,においては減少(関数の増減を参照)
以上より、は単調増加。
ここで、としたときに、
0以上の値に近づいて行けばが言える ・・・① のですが、問題は、です。
のときを既知としてもよいかも知れませんが、ここでは、確認しておくことにします。
においてのときなので、を言うためには、
においてとなり、のときとなる関数を見つけてきて、
はさみうちにすることになります。
の候補は、です。のとき、です。において、であってくれればよい
(元の不等式に戻ってしまいます)のですが、xで両辺を割ると、になるので、の最小値を調べてみます。
とすると、
においてよりは減少、においてよりは増加。
よって、において最小値 ()をとります。よって、において、
両辺にxをかけて、

目標の不等式が成り立つことを示せてしまいました。
また、における不等式、
において、とすると、となり、はさみうちの原理より、
これより、①において、となるので、やはり、
となります。ですが、この証明はの最小値を考えることにより、既にすんでいます。(1)の答案としては、以下のようなものになるでしょう。

を考える。

とすると、
においてよりは減少、においてよりは増加。
よって、において最小値
()をとる。よって、において、
両辺にx ()をかけて、


問題文を見ただけで最初から以上のような答案を書くのは難しいと思いますが、の増減からを言うためには、というところから思いつけば、充分に試験会場で間に合うはずです。

(2)

とすると、
とすると、
のときのとき

x0


×0
×0
y×

(1)の結果よりにおいて,ここで、とするとはさみうちの原理より,よって、
増減表
(関数の増減関数の凹凸を参照)より、グラフは右図実線(白マルは除く)

追記.上記と同様に、が問題になることがあります。上記と同じようにやろうとして、の各辺にxをかけての形ではさみうちに持ち込もうとしても、のときなので、そもそも、という不等式が成立しません。
そこで、では、の各辺にをかけることを考えます。まず、の最小値を調べます。
とすると、
においては減少,においては増加。
の最小値:より、
よって、
各辺にをかけて、
ここでとすると、,はさみうちの原理より、


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