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阪大理系数学'10年前期[3]

阪大理系数学'10年前期[3]

mn3以上の整数とする。等式
を満たすmnの組をすべて求めよ。

解答 手がかりのつかみにくい不定方程式です。少し、試行錯誤してみます。なお、整数を参照してください。

 ・・・①
まず、①をについて解いてみます。
より、
仮に、だとして分母を払うと、


これでは、mn3以上であれば、どんな大きな数でも入ってしまう(という制約はありますが)ので、有意義な条件は出てきません。
①を
nについて解いてみると、
 ・・・②
より、
なので、分母を払って整理すると、

なので、
これで、に限られます。
②より、

 ・・・③
(i) のとき、③より、
これが3以上の整数となるのは、のときで、各一に対応して、
(ii) のとき、③より、
これが3以上の整数となるのは、のときで、このとき、
(iii) のとき、③より、
これが3以上の整数となるのは、のときで、このとき、
(i)(iii)より、 ......[]

追記.本問は平面グラフに関する「オイラーの公式」をネタにした問題です。各面が正n角形になっている正面体の1頂点にm個の正n角形がつながっているとき、①が成立します。以下のように、「オイラーの公式」そのものが入試問題となったこともあります。

慶大環境情報'97[5]

nに関する数学的帰納法:に対して命題が成り立つことを証明するには、次のことを示せばよい。
() のとき成り立つ。
() のとき成り立つとすると、のときも成り立つ。
(i) このことを用いて次のオイラーの公式の証明を完成させなさい。
平面上にある有限個の点とそれらを結ぶ互いに交わらない平面上の曲線からなる図形を平面グラフという。点を頂点、点を結ぶ曲線を辺と呼び、いくつかの辺によって囲まれた平面の有限領域であって、他の辺によって区切られていないものを面と呼ぶ。また平面グラフの任意の2点に対して、それらをそのグラフのいくつかの辺を用いて結ぶことができるとき、そのグラフは連結であるといい、そうでないとき非連結と呼ぶ。平面グラフGに対して、その頂点の個数を,辺の個数を,面の個数をと書く。このとき連結な平面グラフFに対してオイラーの公式が成立する。この公式はに関する数学的帰納法を用いて証明できる。
() ,すなわち、Gが一点からなるとき、より公式は成立する。
() のとき公式が成り立つとすると、のときも成り立つことを示す。Gから任意の一辺を消去したグラフを考える。このときは連結となる場合と、二つの廉潔な部分に分かれる場合が考えられる。前者を場合(A),後者を場合(B)とする。
場合(A):このとき、である。
場合(B):このとき、である。
ここで、の辺の数がk以下であることに注意すれば、
となる。このことから場合
(A)および場合(B)ともを導くことができる。よって数学的帰納法より求める公式が示される。
(ii) 連結な平面グラフGの外側の無限領域も一つの面として数えれば、オイラーの公式はとなる。Gの各面が3辺以上からなるとすればである、オイラーの公式に代入すればを得る。いま、平面上に5点を置く。各点から残りの4点へ互いに交わらない曲線で結べる平面グラフが存在したとすると、となり、これは上の不等式に矛盾する。したがってこのような平面グラフは存在しない。

解答 単なるパズルです。右図を見て考えてください。
(1) 1 (2) 0 (3) 0 (4)  (5)  (6) 0 (7)  (8) 0 ......[]
(9) Gの各面をバラバラにしてしまうと、多角形が個できるので、個の3角形の辺の個数個以上の辺ができます。実際には、2個の多角形が接して1本の辺ができているので、辺の個数は少なくともだけあります。多角形が4本以上の辺で囲まれていることも考慮すると、辺の個数以上です。∴
2 ......[]
(10)(11) オイラーの公式より、
(9)の結果に代入すると、

(10) 3
 (11) 6 ......[]
(12) 各点から残りの4点に線分を引くと、重複を考慮して、本引けます。
10 ......[] (このとき、となり不等式が成立しません)

さて、上記問題(ii)の場合で、個の凸n角形の面をもつ凸多面体をよく伸びるゴムのようなもので作って、1つの面の中に1点をとり、この点を開口部としてこの面から多面体全体を押し広げて、1つの平面上にぴったり重ねてみます(右図の例を見てください)。開口部となった点が無限遠に行ってしまったとして、このときできる平面グラフを考えると、多面体の面の数は,辺の数は,頂点の数はとなります。
凸多面体を各面ごとにバラバラにしたとき各面が個の凸
n角形になり、凸多面体の1つの頂点にm個の凸n角形がつながっているとします。
バラバラにしたときの辺
2本が重なって凸多面体の辺1本となるので、凸多面体の辺の本数はです。
バラバラにしたときの頂点
m個が重なって凸多面体の頂点1個となるので、凸多面体の頂点の個数はです。
上記
(ii)のオイラーの公式:に代入すると、
となり、本問の不定方程式になります。
詳しくは、講座・数学の考え方
15「代数的トポロジー」(枡田幹也著、朝倉書店)の冒頭部分などを参照してください。


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  1. 2010/08/30(月) 12:18:42|
  2. 10年数学
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名大物理'10年[2]

名大物理'10[2]

1のように、電池(起電力V),抵抗1 (抵抗値),抵抗2 (抵抗値),抵抗3 (抵抗値),抵抗4 (抵抗値R),コンデンサー(電気容量C),コイル(自己インダクタンスL),スイッチからなる回路がある。はじめ、すべてのスイッチは開いており、コンデンサーに電荷はたくわえられていない。電池の内部抵抗、導線およびコイルの抵抗は無視できる。以下の手順にしたがい、スイッチを開閉していく。各設問に答えよ。ただし、設問(1)(5)には、VRCLから適切なものを用いて答えよ。

コンデンサーを充電するために、スイッチを閉じ、充分に長い時間をおいた。


設問(1):コンデンサーに蓄えられているエネルギーを求めよ。
設問(2):電池のした仕事を求めよ。
設問(3):抵抗1で発生したジュール熱を求めよ。

次に、スイッチを閉じたまま、を開き、さらにを閉じ、充分に長い時間をおいた。

設問(4):コイルに流れる電流を求めよ。ただし、は図1において、下向きを正とする。
設問(5):コイルに蓄えられているエネルギーを求めよ。

最後に、スイッチを閉じたまま、を開いた。なお、は開いたままであった。

設問(6)を開いた直後に抵抗1に流れる電流および抵抗2に流れる電流を求めよ。ただし、は図1において、右向きを正とする。この設問にはを用いて答えよ。

解答 設問(3)0ではありません。0だとすると設問(6)の答の書きようがなくなります。スイッチを切り換えて充分に時間が経過したとき、コイルは導線と同じ状況になるのですが、これは、コイル両端の電圧0になる(なので、コイルを流れる電流が一定になる。自己誘導を参照)、ということであって、コイルを流れる電流0になる、ということではないことに注意してください。

(1) 充分長い時間の後、コンデンサーの充電が完了してしまうと、電流が流れなくなります(コンデンサーの過渡現象を参照)電流0なので、抵抗1,抵抗4両端の電圧0です(電流・オームの法則を参照)
コンデンサーの電圧は電池の電圧と等しくなり、コンデンサーは電荷を蓄え、静電エネルギーは、 ......[]

(2) 電池がコンデンサーに供給した電荷です。電池の電圧Vで一定なので、電池のした仕事は、 ......[]  (公式については、電位・電圧を参照)

(3) (2)で求めた電池の仕事(1)静電エネルギーの差は、
 ・・・①
これが、抵抗で消費されたジュール熱になります。抵抗1と抵抗4には常に等しい電流Iが流れるので、抵抗1で発生するジュール熱と、抵抗4で発生するジュール熱の比は、21になります。
抵抗
1で発生するジュール熱は、①ので、 ......[]

(4) 充分長い時間の後、コイルは導線と同じ状態になり、コイル両端の電圧0になります。
回路中の抵抗は、抵抗1と抵抗3並列接続させた合成抵抗と、抵抗2と抵抗4を並列接続させた合成抵抗直列になります。
 ∴
 ∴
よって、電池から流れ出す電流は、 ・・・②
抵抗
1,抵抗3両端の電圧は等しく、抵抗を流れる電流抵抗値に反比例するので、抵抗1に流れる電流は、②ので、 (右向き)
同様に、抵抗2に流れる電流は、②ので、 (右向き)
よってコイルに流入する電流は、 (下向き) ......[]

(5) コイルに蓄えられているエネルギーは、 ......[]

(6) を開いて電池との接続を切ってしまうと、電池から流れ出す電流はなくなりますが、コイルは電流を流し続けようとします。
このとき、右図のように、コイルから左の分枝と右の分枝に電流が分けて流れる状況になります。
左の分枝の
抵抗値,右の分枝の抵抗値です。コイル両端、つまり、左の分枝、右の分枝両端の電圧は等しいので、左の分枝を流れる電流,右の分枝を流れる電流 (右向きを正としているのでマイナスがつきます)は、抵抗値に反比例して、その比は、12となり、12に分けて、
......[]


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  1. 2010/08/29(日) 16:18:26|
  2. 10年物理
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熊本大医数学'10年[4]

熊本大医数学'10[4]

以下の問いに答えよ。
(1) p0でない定数とする。関数について、となるように、定数abを定めよ。
(2)  ()とおく。このとき、を求めよ。
(3) の値を求めよ。

解答 はまともに計算すると、部分積分2回行うことになりますが、計算ミスし易いので、本問の誘導のように、逆にを微分してとなるようにabを定め、原始関数を求めるようにしましょう。
(3)の極限では、少々工夫が必要です(極限の公式を参照)

(1) 
となるために、
 ・・・①
 ・・・②
②より,これを①に代入して、
......[]

(2) (1)より、
 (C:積分定数)
よって、とすることにより、


......[]

(3) 
ここでとすると、公式より、
また、公式と、より、
......[]


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  1. 2010/08/28(土) 00:08:59|
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九大数学'10年前期[1]

九大数学'10年前期[1]

三角形ABC3辺の長さをとする。実数を与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上にとなるように点Pをとる。次の問いに答えよ。
(1) abctを用いて表せ。
(2) Pを満たすとき、tを求めよ。
(3) (2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つあるとき、に関する条件を求めよ。

解答 余弦定理を使って解決します。

(1) 余弦定理より、
......[]

(2) (1)より、


P
は半直線AB上の点なので、です。のときに限っても解になります。
のときのみ
......[]

(3) (2)の結果で、に対応する点P,つまりとなる半直線AB上の点Pは、点Bに一致するので、辺AB上の点です。従って、「(2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つある」ためには、であればよいことになります。よって、
かつ  ・・・②
ここで、
また、のとき、 (余弦定理を参照)より
......[]


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  1. 2010/08/27(金) 10:10:03|
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北大数学'10年後期[4]

北大数学'10年後期[4]

座標平面上の点を点に移す点の移動f が行列を用いて
で表されるとき、f 1次変換という。このときA1次変換f を表す行列という。
tを実数とし、座標平面上に3PQRをとる。
(1) PQに移し、QPに移す1次変換gを表す行列を求めよ。
(2) さらに、gRR自身に移すとする。このときのt Rを求めよ。
(3) 上で求めたRのうちであるものについて、集合が集合と等しくなるような1次変換f の個数を求めよ。ただし、PQRf で移した点をそれぞれとする。

解答 1次変換に関する問題ですが、本問では、行列に関する以下の技巧を使います。

2個の1次独立なベクトルについて、
 ・・・①
であれば、

 
(行列の積を参照)
より、①の2式を1つにまとめて、
 ・・・()
と書くことができます。

(1) より、gを表す行列をBとして、
()を用いて、
を右からかけて(逆行列を参照)
......[]

(2) より、

両式とも変形すると、同一の方程式、
となり、 ......[]
のとき、Rのとき、R ......[]

(3)(i) (1)(2)1次変換gは、より、
 ・・・①
を満たします。
(ii) 恒等変換e (任意のベクトルについて)を表す行列は、単位行列ですが、となるので、①を満たします。
①となる可能性は(i)(ii)以外に、
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
4通りしかありません。
(iii)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
(iv)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
(v)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
(vi)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
以上より、①を満たす
1次変換は(i)(vi)の、6 ......[]

追記.本問では、行列や3点の座標が具体的に指定されていますが、指定なしで考えてみます。三角形ABC3頂点ABCの位置ベクトルをとし、1次独立だとします。stを実数として、
とおくことができます。
 ・・・①
を満たす可能性は、上記で書いたように以下の6通りしかありません。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(ii)は恒等変換で①は満たされます。
(i)が成り立ち、f を表す行列が存在するとして、

1次独立なのでは正則(逆行列が存在)で、右からをかけて、
としてAが定まります。
となるために、
これよりであれば、①は満たされます。
以下同様に(iii)(iv)においてもが存在して1次変換fを表す行列が定まります。
(iii)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、 または かつ'となりますが、‘かつ'のときにはとなり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。
(iv)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、 または かつ'となりますが、‘かつ'のときにはとなり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。
(v)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、であれば、①は満たされます。
(vi)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、であれば、①は満たされます。
従って、1次独立であればf を表す行列が存在し、
であれば、
(i)(vi)6個の1次変換が①を満たします。
であれば、
(i)(ii)2個の1次変換が①を満たします。
または であれば、(i)(ii)(iv)(v)4個の1次変換が①を満たします。
本問では、
とすると、となるので、①を満たす1次変換は6個ある、ということになります。


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  1. 2010/08/24(火) 21:32:40|
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東京医科歯科大物理'10年[1]

東京医科歯科大物理'10[1]

地表面上で静止した半径Rの球面の内側に沿って、図1のように質量mの物体が等速円運動している。球の中心点Oから垂らした鉛直線と球面との交点をA,軌道上の一点をBとすると、角AOBの大きさはq ()であった。ただし、物体の大きさおよび物体と球面との摩擦は無視できるものとし、重力加速度をgと表記する。
以下の各問いに答えよ。


1 物体が球面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。
2 等速円運動の周期Tを求めよ。また、Tq の関数とみなし、その概形を解答用紙中のグラフに図示せよ。

つぎに物体を点Bに静止させ、そっと手を離した。すると物体は点Aを通る振動を始めた。

3 手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。
4 点Aにおける物体の速さvおよび物体が球面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。

つぎに、図2のように、点Oを通る水平面で球を切断し上半分を除いて半球とし、これをの方向に加速度にて等加速度運動させる。ただし点Cは点Bから線分OAにおろした垂線の足である。半球とともに運動する観測者が物体を点Bに静止させ、そっと手を離した後の運動に関して、次の問いに答えよ。

5 物体は球面から離れたり半球の外に飛び出すことなく、点Aを通る振動を始めた。q の満たす条件を求めよ。
6 手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。
7 半球とともに運動する観測者から見た、物体の速さの最大値Vを求めよ。

解答 重力を考慮する必要のある鉛直面内の円運動は、不等速円運動になりますが、ここにさらに慣性力が加わるとどうなるか、という問題です。問5の聞き方が漠然としていて何をすればよいか悩みますが、別解のように最初から見かけの重力を考えれば一本道です。

1 物体は鉛直方向には動きません。鉛直方向に物体に働くは、下向きの重力垂直抗力の鉛直方向成分(上向き)です。鉛直方向の力のつり合いより、
......[]
2 水平面において、物体は、半径の円周上を等速円運動します。向心力垂直抗力の水平方向成分です。物体の速さvとして、運動方程式は、

長さ円周速さvで回るので、等速円運動の周期Tは、
......[]
グラフは右図実線。
3 物体は球面に沿って運動を始めるので、球面に垂直な方向(法線方向)では、力のつり合いが成立します。法線方向に物体に働くは、中心に向かう方向の垂直抗力重力の法線方向成分(中心から外向き)です。
......[]
4 A点を基準としてB点における物体の位置エネルギー A点での運動エネルギー力学的エネルギー保存より、
......[] ・・・①
物体が点
Aに来たときに物体に働く力は、鉛直上向きの垂直抗力と鉛直下向きの重力です。点Aにおける運動方程式は、
①より、
......[]
5 まず、半球とともに移動する観測者から見て、手を離した時に物体に働くは、垂直抗力重力慣性力ですが、いずれも、直線OBから点Aの位置する側の方に向くです。従って、手を離した後に、物体はBからAの側に動き始めるので、半球の右端から外側に飛び出すことはありません。
また、動き始めて以降、点Aに到達するまで、物体に働くは、物体の位置と球の中心を結ぶ直線から点Aの位置する側の方に向くので、物体は、Aの方へ動き続けます。しかも、慣性力重力もともに物体に正の仕事をなすので、物体の速さは次第に大きくなります。従って、物体は必ず点Aを通ります。
以上より、物体が振動するためには、物体が半球内面との接触を保ち、半球の左端から飛び出さなければよいことになります。
物体の位置と球の中心を結ぶ直線と直線
OAとのなす角がj ()のとき、法線方向に物体に働くは、垂直抗力N (中心を向く)重力の法線方向成分 (中心から外を向く)慣性力の法線方向成分 (中心を向く)で、物体の速さvとして、円運動の運動方程式
 ・・・②
Bから角jの位置まで物体が来るとき、点Bを基準として、重力位置エネルギー慣性力がする仕事
力学的エネルギー保存より、
 ・・・③
②に代入して、

 ・・・④
,つまり、において、N,つまり、のときに最小です。においてもであれば、物体は、BAの間で半球との接触を保ちます。よって、④でとして、
 (6で見るように、このNB点での垂直抗力です)
 ・・・⑤
半球の左端を越えない条件は、のときにとなることです。③より、
よって、
⑤も考慮して、より、
......[]
別解.上記では、あまりに大変です。以下のように、「見かけの重力」に着目しましょう。
AからBと逆の側へ回った点をDとします。鉛直下向きの重力方向の慣性力を合成すると、から時計回りに回転した方向(方向)を向く大きさの「見かけの重力」になります。
この状況は、半球を反時計回りに回転させ、
Dが底になるように半球を置いて重力加速度にしたのと同じ状況です。
となる位置に物体を置くと、
見かけの重力のために物体は半球の内面から離れてしまいます。
であれば、物体をどこに置いても
A側に動き始め、半球から飛び出すことはなく、必ずAを通ります。
ODに関する対称性から、半球の左端から物体が飛び出さないために,これより、となります。
6 ④においてとすることにより、手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさは、
......[] (に注意)
7 物体の運動エネルギーは、③より、jの範囲を動くとき、,つまり、のときに最大となり、そのときとして、
......[]


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  1. 2010/08/22(日) 22:59:10|
  2. 10年物理
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一橋大数学'10年前期[1]

一橋大数学'10年前期[1]

実数pqrに対して、3次多項式と定める。実数ac,および0でない実数bに対して、cはいずれも方程式の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
(1) のグラフにおいて、点における接線の傾きをとし、点における接線の傾きをとする。のとき、の大小を比較せよ。
(2) さらに、acは整数であり、b0でない整数であるとする。次を証明せよ。
(i) pqrはすべて整数である。
(ii) p2の倍数であり、q4の倍数であるならば、abcはすべて2の倍数である。

解答 一橋大では定番の3次方程式・整数の融合問題です。なお、整数を参照してください。

(1) 3次方程式は実数係数の方程式なので、が解になれば、その共役複素数も解になります(高次方程式を参照)。つまり、3次方程式は、3個の解、cをもちます。
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③

 
(微分を参照)
 (接線を参照)

①を用いると、
なので、 ......[]

(2)(i) 整数同士の和、差、積は整数なので、①,②,③より、abcが整数であれば、pqrも整数です。(証明終)
(ii) klを整数として、pqは、と書けます。
①より、

これより、c2の倍数です。mを整数として、と書けます。
②より、

よって、4の倍数です。
abがともに2の倍数であることを背理法により示します。
abがともに2の倍数であることを否定すると、
(a) abのどちらか一方が奇数で他方は偶数。
(b) abのどちらも奇数。
2通りの場合があります。
(a)では、abのどちらか一方が奇数で他方が偶数だとすると、はどちらか一方が奇数で他方は偶数です。このとき、は奇数となり、4の倍数になり得ません。
(b)では、jnを整数として、と書けるので、
となり、4で割ると2余る整数で、4の倍数になり得ません。
よって、
abがともに2の倍数であることを否定した仮定は誤りで、abはともに2の倍数になります。
以上より、abc2の倍数です。
(証明終)


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  1. 2010/08/19(木) 22:59:35|
  2. 一橋大数学'10年
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札幌医大数学'10年[4]

札幌医大数学'10[4]

整数nに対して、を次式で定義する。
(1) を求めよ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3) (ただしは有理数)と表されることを示せ。またのときのを求めよ。必要ならばpが無理数であることを用いてよい。

解答 (1)(2)はよくある積分計算問題(三角関数の積分を参照)ですが、(3)が変則的な数学的帰納法になります。

(1) より、
......[]





......[]

(2)
 (部分積分法を参照)





(3) 数学的帰納法により示します。の場合も考えて示す必要があります。
() のとき、(1)より、
よって、 (有理数) (有理数)とすれば、
(ただしは有理数)と表されます。
() のとき、 (ただしは有理数)と表されるとします。
(2)において、とすることにより、


(有理数) (有理数) ・・・①
とすることにより、のときにも、
(ただしは有理数)と表されます。
()()より、nが負の整数のとき、 (ただしは有理数)と表されます。

のときを調べます。
()
のとき、 (有理数) (有理数)とすれば、
(ただしは有理数)と表されます。
() のとき、 (ただしは有理数)と表されるとします。
(2)において、とすることにより、


(有理数) (有理数)
とすることにより、のときにも、
(ただしは有理数)と表されます。
()()より、n0以上の整数のとき、 (ただしは有理数)と表されます。

①を繰り返し用いることにより、ゆえ、のとき、

......[]


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  1. 2010/08/18(水) 08:49:16|
  2. 10年数学
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名工大数学'10年前期[1]

名工大数学'10年前期[1]

四角形ABCDは次の条件を満たす。
(i)
(ii)
線分ACと線分BDの交点をEとする。線分AB3等分して、点Aに近い分点をMとし、点Bに近い分点をNとする。とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 線分の長さの比の値を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) ab の大小を判定せよ。

解答 問題文を読んだだけではつかみどころがないのですが、右図を描けば見通しが良くなるはずです。

(1) 条件(i)(ii)より、△ABDである直角二等辺三角形、△BCDである正三角形です。
従って、で、△ABCである二等辺三角形。

 ・・・①
(2倍角の公式を参照)
より、
より、
①に代入すると、
......[] (分母の有理化を参照)

(2)
 ・・・② (正接の加法定理を参照)
を②に代入すると、
......[]

(3) なので、ab の大小関係と、の大小関係は一致します。
......[]


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  1. 2010/08/17(火) 12:23:46|
  2. 10年数学
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北大物理'10年前期[3]

北大物理'10年前期[3]

以下の問1から問3 (1) (7) に適切な記号または数式を記入し、 (a) (c) については末尾の選択肢から適切な語句または関係式を選び、()()の記号を入れよ。また問4は解答用紙中のグラフ内に作図せよ。

1 定圧モル比熱を,定積モル比熱を,それらの比g,気体定数をとする。理想気体ではとの間には (1) の関係が成り立つので、gおよびRを用いて (2) と表せる。また、理想気体の断熱変化では、圧力と体積の間にが成り立つ。
2 図1のように、大気圧下で断面積のシリンダー内をなめらかに動くピストンがあり、の理想気体が封入されている。ピストンおよびシリンダーは断熱材で構成されており、シリンダー内には加熱用のヒーターが取り付けられている。初期状態では気体の圧力は,体積は,温度はである。この状態をと呼ぶ。
状態からヒーターで気体にの熱を加えたところ、気体の体積は,温度はとなった。ここでヒーターのスイッチを切った。この状態をと呼ぶ。からへの変化は (a) 変化であり、RQを用いて (3) (4) と表せる。また、この間に気体が外部にした仕事と気体の内部エネルギー増加分は、RQを用いて (5) (6) と表せる。
3 状態から、図2の矢印の方向にピストンに力を加えてゆき、温度が初期温度と等しくなるまで気体をゆっくりと膨張させたところ、ピストンを引く力の大きさは,気体の体積はとなった。この状態をと呼ぶ。からへの変化は (b) 変化であり、AFgを用いて (7) と表せる。また、における気体の内部エネルギーをそれぞれとすると、それらの関係は (c) となる。
4 解答用紙のp-Vグラフ上におよびを表す点、ならびに、からからへの変化を表す直線または曲線を記入せよ。ただし図は概略でよい。

選択肢
() 定圧, () 定積, () 等温, () 断熱,
() , () , ()

解答 難問とは言えませんが、解答に使える文字が指定されていて、なかなか厄介です。

1(1) マイヤーの関係式より、
 ・・・①
R ......[]
(2) より、
①を代入して、
......[]
2(a) ピストンに働くのつり合いから、気体の圧力で一定で、の変化は定圧変化です。
() ......[]
 ・・・②
......[]
(4) 状態状態方程式
②を代入して、
 ・・・③
......[]
(5) 状態状態方程式
これと③を用いて、の過程で気体が外部に対してした仕事は、
 (気体がした仕事を参照)
......[]
(6) 熱力学第1法則より、の過程で、
......[]
3(b) を加えてピストンを移動させるとき、の移動はピストンの運動と比較して極めて遅いので、の移動を無視することができます。従って、の変化は断熱変化です。
() ......[]
(7) 状態において、ピストンを引くで、他に、ピストンに働くは、右向きの大気圧による,左向きの気体の圧力によるで、これらの力のつり合いより、
 ・・・④
理想気体の断熱変化において成り立つ、
ポアッソンの関係式より、
④を用いて、

......[]
(c) 状態では温度が等しいので、内部エネルギーも等しくなります。
() ......[]
4 右図。


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  1. 2010/08/16(月) 20:16:26|
  2. 10年物理
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横浜国大工数学'10年前期[1]

横浜国大工数学'10年前期[1]

次の問いに答えよ。
(1) を連続関数とするとき、
が成り立つことを示せ。
(2) 定積分
の値を求めよ。

解答 定積分の古典的な計算技巧に関する問題ですが、最近は、あまり見かけなくなりました。

(1)
とおくと、xのときt (置換積分を参照)
 ( 三角関数を参照)



(2) と見て(1)を用いると、
とおくと、
xのときt

 (分数関数の積分を参照)


 (対数関数を参照)
......[
]


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  1. 2010/08/15(日) 00:01:11|
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一橋大数学'10年前期[4]

一橋大数学'10年前期[4]

0以上の整数が与えられたとき、数列
により定める。
(1) のとき、10で割った余りを求めよ。
(2) のとき、10の倍数であることを示せ。

解答 3項間漸化式整数の融合問題ですが、(2)はともかく、(1)をどうやって攻めるかが大問題です。試験時間のことを考えるのであれば、以下のように泥臭く対応するべきではないでしょうか。

(1) 3項間漸化式: ・・・①
特性方程式は、
 ・・・②
これより、は、初項,公比等比数列です。
 ・・・③
 ・・・④
これより、は、初項,公比3の等比数列です。
 ・・・⑤
⑤-③より、

 ・・・⑥
10で割った余りを調べるために、⑥の中カッコ内を100で割ったときの余りを調べます。
3をどんどんかけていって、100で割ったときの余り、つまり、下2桁がどうなるかを調べます。ここで、の下2桁が‘01'となることに着目(です)すると、
より、で、の下
2桁は‘01'なので、より、の下2桁は‘83'です。
また、の下
2桁が‘04'になることに着目(です)すると、
より、の下
2桁は‘04'なので、より、の下2桁は‘-12'です。
よって、⑥の中カッコ内を
100で割ったときの余りは、より20で、⑥より、10で割った余りは、 ......[]
別解.整数m10で割った余り、つまり、整数mの最下位桁の数字をと表すと、pqrsを整数として、
 ・・・⑤
が成り立ちます。
なぜなら、
ijklを整数()として、と書けたとすると、
より、
また、
となるからです。実は、上記の解答で既にこの考え方を使っています。
10で割った余り、つまり、について、漸化式:と⑤より、
 ・・・⑥
⑥でとして、
同様に、
これより、連続する2項、について、
よって、⑥より、
同様にして、以後、 ()となります。
これより、数列は、について、周期
20で繰り返すことがわかります。
......[]

(2) ②より、は、初項,公比の等比数列です。
 ・・・⑦
④より、は、初項,公比
3の等比数列です。
 ・・・⑧
⑧-⑦より、

よって、10の倍数です。


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  1. 2010/08/14(土) 01:04:09|
  2. 一橋大数学'10年
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阪大理系数学'10年後期[3]

阪大理系数学'10年後期[3]

曲線C上に点Aをとる。ただし、とする。
(1) C上にありAとは異なる点Pについて、そこでの接線がAでの接線と平行となるようにpの値を定めよ。
(2) pは上で定めた値とする。Cx軸および2直線で囲まれた図形を、x軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。

解答 接線回転体の体積の基本問題です。(2)置換積分とおくのが定石ですが、なので、被積分関数の分母を簡単な形にするようにとおきます。

(1)
Pでの接線とAでの接線が平行になるので、両接線の傾きが等しく、
分母を払うと、


より、
......[]

(2) 求める回転体の体積Vは、より、
とおくと、

x
のとき、t




......[]


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  1. 2010/08/12(木) 10:17:08|
  2. 10年数学
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北大物理'10年後期[3]

北大物理'10年後期[3]

次の文章の (1) から (8) に適切な数式を入れよ。また、 (a) (b) には、mの中から選んで記入せよ。

1 図1のような装置はクインケ管と呼ばれ、Aから入った音は左と右に分かれて進み、再び出会って干渉しBで聞こえる。右側の管は可動で、その長さを連続的に変化させることができる。
Bでの音の強さは、音の波長を,左と右の経路の差をとしたとき、整数mを用いて、 (a) のとき強めあって大きくなり、 (b) のとき打ち消しあって小さくなる。音の周波数がのときに、図1のように右の管をゆっくりと引き出すと距離ごとにBで聞こえる音の強さが小さくなった。このときの波長はXを用いて (1) と表され、音の速さは (2) であることがわかる。次に、右の管を固定して音の周波数をゆっくりと変化させたところ、周波数が変化するごとにBで聞こえる音の強さが小さくなった。音の速さvは周波数によらないとすると、このときの左と右の管の経路の差はf vを用いて (3) と表される。
2 同様の現象は、光を用いても確かめられる。図2で、Pは真空中での波長がの単色光を取り出せる光源、Hは光の一部を透過し一部を反射する半透明鏡、は光線に垂直に置かれた平面鏡である。光源Pからの光線はH2つの方向に分けられた後、それぞれで反射され、再びHを経てQへと導かれ干渉する。装置全体は真空中に置かれ、Hの間には、内側の幅の透明容器Cが置かれている。
最初、
Qにおいて光が打ち消しあって暗い状態からをゆっくりと右方向にだけ平行移動させたところ、Qでの光は,明暗の周期を100回繰り返し暗い状態となった。このときのの移動距離xを用いて (4) と表される。次に、容器Cをある気体でゆっくりと満たしたところ、容器内部の屈折率は1からnへと連続的に増加し、Qでの光は暗い状態からk回の明暗の周期を繰り返し、暗い状態となった。真空中の光の速さをとすると、屈折率nの容器中を光がdだけ進むのに必要な時間は (5) なので、同じ時間内に真空中で光の進むことのできる距離は (6) である。このことから、容器を気体で満たしたことは、真空中での経路長が往復で (7) だけ伸びたことと同等であることがわかる。したがって、気体の屈折率nkを用いて (8) と求めることができる。

解答 音波の干渉に関する基本問題です。

1(a) 左右から来る音波が強め合うのは、経路差波長の整数倍になるときです。
......[]
(b) 弱め合うのは、経路差波長の整数倍+半波長になるときです。
......[]
(1) 経路差のとき弱め合うので、
 ・・・①
右の管をX引き出すと、右側の経路は長くなります。もともと右側がL長かったとすると、弱め合う条件は、
 ・・・②
②-①より、
......[]
(2) 波の公式より、
......[]
(3) このときの経路差,音の周波数とします。波長です。弱め合う条件は、
 ・・・③
音の周波数になったときの波長です。弱め合う条件は、整数mになることに注意して、
 ・・・④
④×-③×より、
......[]

2(4) で反射する経路とで反射する経路との経路差とすると、最初Qにおいて光が打ち消しあっているとき、
 ・・・⑤
を右方向に平行移動させると、経路差長くなります。この間に明暗の周期を100回繰り返すので、平行移動後に弱め合う条件は、
 ・・・⑥
⑥-⑤より、
......[]
(5) 真空中の光速とすると、屈折率nの媒質中の光速となります。距離進むのに必要な時間 ......[] (光の屈折を参照)
(6) 同じ時間内に真空中で光の進むことのできる距離は、 ......[]
(7) 容器を気体で満たしたことは、真空中での経路長が往復で、
......[]
伸びたことと同等です。
(8) 容器に気体を入れる前の弱め合う条件は、
 ・・・⑦
容器に気体を入れている間に、経路差伸びて、k回明暗を繰り返すので、この後の弱め合う条件は、
 ・・・⑧
⑧-⑦より、
......[]


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  1. 2010/08/11(水) 22:42:44|
  2. 10年物理
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東大文系数学'10年[2]

東大文系数学'10[2]

2次関数に対して
xについて恒等式になるような定数abcの組をすべて求めよ。

解答 数学Ⅱ・微積分の計算問題です。






より、
これがxについての恒等式になるために、
 ・・・①, ・・・②, ・・・③
②×に①を代入して、


のとき、①より,③より
のとき、①より,③より
......[]


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  1. 2010/08/09(月) 17:18:30|
  2. 東大数学'10年
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慶大医数学'10年[2]

慶大医数学'10[2]

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(2)(ii)に答えなさい。
座標平面において
A (ただし)x軸上の定点とし、曲線Cを双曲線に対する部分とする。曲線C上の点Qに対し、点Pが直線上を動くときのの最小値をと定義する。
(1) Qに対してaの式で表すとであり、Qに対してはである。
(2) さらにQが曲線C上を動くときのの最小値を考える。
(i) Qにおいて最小値をとるのはのときであり、Qにおいて最小値をとるのはのときである。
(ii) Qにおいて最小値をとるようなaの範囲を求めなさい。

解答 答えだけなら容易にわかってしまうので、空所補充問題としては難問とは言えませんが、仮に、きちんと論述する、ということになると厄介な問題です。なお、2次関数の最大・最小を参照してください。

双曲線Cと直線を図示すると右図のようになります。
両式を連立すると、より、においては、
双曲線
Cと直線の交点はです。

(1)() Qに対して、を最小とする、直線上の点Pは、Aに関する対称点Qを結ぶ直線と直線との交点です。
これ以外の直線上の点について、三角形の2辺の和は他の1辺より大きいので、
となるからです。
の最小値は、
......[]
() QAは直線の逆側にあるので、このQに対して、の最小値は、
......[]

(2)(i)() Qが、直線よりも下にある、つまり、領域内にあるとき、の最小値はです。
双曲線上の点のy座標をt ()とすると、x座標はです。

 ・・・①
のときに最小となりますが、なので、,つまり、である必要があります。
領域内の点
Qにおいて最小となるのは、Qy座標について、となるので、,つまり、 ......[] のときです。
() Qが、直線よりも上にある、つまり、領域内にあるとき、の最小値はです。
双曲線上の点のx座標をs ()とすると、y座標は ()です。

 ・・・②
のときに最小となりますが、なので、,つまり、である必要があります。
領域内の点
Qにおいて最小となるのは、Qx座標について、となるので、,つまり、 ......[] のときです。
(ii) Qに対して、の最小値は、
①で,②でとしたときにも、 (とおきます)となります。
(i)を整理すると、
・領域内に存在する双曲線上の点においてが最小値をとれば、
・領域内に存在する双曲線上の点においてが最小値をとれば、
ということになります。
問われていることには直接関係しませんが、のときとのときについて最小を考えてみます。
(a) のとき、
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、①においての範囲をtが動くので、は、 ()のとき最小値をとります。
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、②においての範囲をsが動くので、であることからであってsの増加関数で、です。
においては、
より、なので、Qが双曲線の部分を動くと、は、のとき最小値をとります。このとき、Qは双曲線Cの部分にあります。
(b) のとき、
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、②においての範囲をsが動くので、は、 ()のとき、最小値をとります。
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、①においての範囲をtが動くので、であることからであってsの減少関数で、です。
においては、
より、なので、Qが双曲線の部分を動くと、は、のとき最小値をとります。このとき、Qは双曲線Cの部分にあります。
(a)(b)より、のときには、Qは双曲線C以外の点で最小となります。
さて、
(a)(b)と同様に、の場合を調べてみます。試験会場ではこの場合だけ考えればOKです。
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、①においての範囲をtが動くので、であることからtの減少関数で、
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、②においての範囲をsが動くので、であることからsの増加関数で、
これより、のときに、は、
Qに来たときに最小になります。よって、Qにおいて最小値をとるようなaの範囲は、 ......[]


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  1. 2010/08/08(日) 10:37:10|
  2. 10年数学
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静岡大数学'10年[1]

静岡大数学'10[1]

kを定数とする。2次方程式2つの実数解ab をもち、ab を満たすものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) kの値の範囲を求めよ。
(2) kを用いて表せ。
(3) ab の差が整数であるときのkおよびab の値を求めよ。

解答 2 次関数・2次方程式と整数の融合問題です。

(1) とおくと、2次方程式解が、2実数解ab をもつので、です。
のグラフは下に凸な放物線で、ということは、においてにおいてにおいてとなる(2次関数を参照)ということです。よって、
2次方程式の解ab かつ  (2次方程式の解の配置を参照)
 ・・・①
 ・・・②
①かつ②より、
......[]

(2) 2次方程式の判別式D
2次方程式2解は、
 ・・・①
 (2次方程式の一般論を参照)
......[
]

(3) pを整数として、とすると、(2)を用いて、

として、(1)よりですが、なので、においては単調減少です。

これを満たす平方数は、のみです。このとき、で、

より、 ......[]
①より、
......[]


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阪大物理'10年前期[2]

阪大物理'10年前期[2]

電気力線について考察しよう。真空中に置かれた電気量 ()の正の点電荷から発生する電気力線の総本数NQに比例する。そこで、比例係数Aを用いてで与えられるとしよう。また、点電荷から発生する電気力線は、全ての方向に等しく放射状に広がる。このとき、電場(電界)の強さは、電気力線に垂直な面を考え、それを通過する電気力線の単位面積当たりの本数nに比例する。そこで、比例係数Bを用いてで与えられるとしよう。電場ベクトルの向きは電気力線の向きに等しい。一方、負の電気量の点電荷に対する電気力線は向きが逆になる。これらのことを踏まえて以下の問いに答えよ。なお、解答には係数ABを用いてよいが、問題中で与えられていない記号を用いてはならない。

Ⅰ.図1のように、原点Oに電気量 ()の点電荷を置いた。
1 点電荷から距離の点における電場ベクトルについて、動径方向(半径rの球面に垂直でrが増す方向)の成分を示せ。
2 図2(a)または(b)のように、のところに電気量のもう一つの点電荷を置いた。このとき、二つの点電荷を通る直線上の点Pでの電場ベクトルについて、動径方向の成分を示せ。ただし、点電荷から点Pまでの距離をaとし、図2(a)の場合と図2(b)の場合について、それぞれ答えよ。

Ⅱ.厚さが無視できる平板上に電荷を分布させた面電荷について考察しよう。図3のように、平板はz軸に垂直でにあり、x軸方向とy軸方向にそれぞれ十分に広い幅をもつ。この平板上に単位面積当たりの電気量がとなるように電荷を一様に分布させた。なお、以下の問いでは面電荷のふちの効果は考えなくてよい。
3 図3に示した面電荷によるでの電場ベクトルについて、z軸方向の成分を示せ。
4 図3で与えたの面電荷に加えて、図4のように、だけ離れたのところに同様の面電荷を与えた。ただし、単位面積当たりの電気量をとした。このとき、3つの領域における電場ベクトルについて、z軸方向の成分をそれぞれ示せ。

Ⅲ.図4において ()とし、また、二つの平板は導体でできた極板とすると、二つの面電荷はコンデンサーの二つの極板に蓄えられた電荷と等しくなる。
5 二つの極板を互いに接触しない範囲で十分に接近させた状態から、面間隔dの状態まで広げるのに必要なエネルギーを示せ。
6 面間隔dの状態において、二つの極板の間の電位差の大きさを示せ。また、この結果を用いて、コンデンサーとして考えたときの電気容量を示せ。

Ⅳ.図4において ()とした状態で、導体でできた極板の間に誘電体を挿入した。誘電体の厚さはdx軸方向とy軸方向の幅は極板のサイズと等しく、それぞれLMとする。
7 極板の間を全て満たす位置に誘電体を挿入した。このとき、誘電分極(不導体の静電誘導)によって誘電体の上と下の面に見かけの面電荷が発生した。その結果、問6で求めた誘電体を挿入しない場合に比べて極板の間の電位差は、この面電荷によってf倍になった。ここでfは誘電体の種類によって決まる1より小さな正の定数である。誘電分極によって誘電体の下の面に発生した見かけの面電荷について、単位面積当たりの電気量を示せ。さらに、極板をコンデンサーとして考えたときの電気容量を示せ。
8 問7の状態から誘電体を部分的に引き抜き、図5のように、x軸方向に深さ ()まで挿入した状態とした。誘電体が挿入されている領域と挿入されていない領域における下の極板()の面電荷について、単位面積当たりの電気量をそれぞれ示せ。
9 問8の状態において、二つの極板の間の電位差の大きさと、コンデンサーとして蓄えられている静電エネルギーを示せ。

解答 「誘電体を挿入するコンデンサー」という題材自体は頻出のものですが、既成の考え方を機械的にあてはめることができないように工夫されていて、考えづらい問題です。特に問8は、問6、問7をうまく利用する必要があります。

Ⅰ.問1 電荷から本の電気力線が発生します。Oを中心とする半径rの球面の面積です。点電荷Oに置くとき、Oから距離の点において、単位面積当たりの電気力線の本数は、
電場ベクトルの動径方向成分は、 ......[]

2 問1の結果より、電荷が点Pに作る電場は、大きさで、向きは動径方向正方向です。
電荷が点Pに作る電場は、大きさで、向きは、図2(a)の場合には動径方向負方向、図2(b)の場合には動径方向正方向です。
重ね合わせの原理より、点
Pにおける電場の動径方向成分は、
の場合には、
......[]
の場合には、 ......[]

Ⅱ.問3 平板の面積で、平板に分布する面電荷総電気量,平板の面電荷から発生する電気力線の総本数は本,平板をぴったりと覆う閉曲面を考えると、その面積単位面積当たりの電気力線の本数は電場の大きさは、,向きは、の場合、平板から出て行く向きで、の部分ではz軸正方向です(ガウスの法則を参照)
面電荷によるでの電場z軸方向成分は、 ......[]
電場の向きはの部分ではz軸負方向で、での電場z軸方向成分は、です。
4 問3と同様に、に位置する面電荷の作る電場z軸方向成分は、
において、において、
重ね合わせの原理より、両
面電荷の作る電場z軸方向成分は、
において、
......[]
において、 ......[]
において、 ......[]

Ⅲ.問5 に位置する面電荷総電気量ですが、この面電荷が、に位置する面電荷によりの部分に作られる電場から受ける電気力は、 (マイナスはz軸負方向のであることを意味します)
両極板を広げるのに必要なエネルギー、即ち、この電気力に逆らうz軸正方向の外力面電荷距離dだけ移動させるときにする仕事は、 ......[]
6 問4の結果より、において電場は一様で、
 ・・・①
公式:(電位・電圧を参照)より、極板間の電位差の大きさVは、
......[]
注.距離dの極板間の電位差が、単位面積当たりの電気量qをかけたものになることに注意してください。
コンデンサーに蓄えられた電荷で、公式:(コンデンサーを参照)より、コンデンサーの静電容量は、 ......[]

Ⅳ.問7 誘電体を挿入した後の極板間の電位差は、問6の結果をf倍して(誘電分極を参照)
注.極板間に誘電体を挿入すると、距離dの極板間の電位差は、単位面積当たりの電気量qをかけたものになることに注意してください。
極板間の電場の大きさは、公式:より、
極板間には、電気力線単位面積当たり本、発生しています。
①より、極板間には、もともと、大きさ
電場があり、単位面積当たり本の電気力線が発生していました。
誘電体の挿入により、極板間に本あった
電気力線本に減った、ということは、誘電体の上と下の面に見かけの面電荷が発生して、面電荷から発生した電気力線の一部本が、見かけの面電荷に終端してしまった、ということを意味しています。
面電荷と対向する誘電体の表面、つまり、誘電体の下の面には、とは逆極性の電荷(負電荷)が発生し、この面に発生した見かけの面電荷単位面積当たりの電気量は、
......[]
コンデンサーに蓄えられている電荷のままで、公式:より、静電容量は、
......[]
8 誘電体が挿入されている部分の面積で、問7と同様に、静電容量
誘電体が挿入されていない部分の面積で、静電容量
2つのコンデンサーは並列接続されていて、合成容量は、
コンデンサーに蓄えられている電荷のままで、公式:より、極板間の電位差は、
 ・・・②
7の注.を利用して、誘電体が挿入されている領域の単位面積当たりの電気量は、
......[]
6の注.を利用して、誘電体が挿入されていない領域の単位面積当たりの電気量は、
......[]
9 ②より、極板間の電位差の大きさは、 ......[]
静電エネルギーU(コンデンサーの過渡現象を参照)
......[]


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  1. 2010/08/05(木) 23:42:34|
  2. 10年物理
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東北大理系数学'10年後期[5]

東北大理系数学'10年後期[5]

以下の問いに答えよ。
(1) の範囲でを満たすxの個数を求めよ。
(2) の範囲でを満たすxの個数を求めよ。

解答 (2)が考えづらいですが、というような方程式と同様に、を、に分けて考えましょう。

(1) においてより、
のとき、
 ∴
の範囲で、を満たすx2個、を満たすx2(三角関数を参照)
合わせて、を満たす
x4 ......[]

(2) とおくと、において
のとき、
とおくと、

 
(合成関数の微分法を参照)
とすると、 ・・・①
においては、より、①を満たす
yは、の範囲に2つあり、 ()とします。
においてはより
においてはより
においてはより

増減表は、
y
a
b
1

00
0

ここで、より,またであることに注意します。増減表とより、方程式,即ち、は、解1g ()1d ()を持ちます。
を満たすxは、においてはのみです(三角関数を含む方程式・不等式を参照)
()を満たすxは、において2個あります。
()を満たすxは、において2個あります。
よって、を満たすxは、において5 ......[] あります。


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  1. 2010/08/03(火) 16:48:18|
  2. 10年数学
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一橋大数学'10年前期[3]

一橋大数学'10年前期[3]

原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点Axy平面上の点Bz軸上の点Cを、次をみたすように定める。
ただし、Ax座標,By座標,Cz座標はいずれも正であるとする。さらに、△ABC内の点のうち、Oからの距離が最小の点をHとする。また、とおく。
(1) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(2) Hz座標をtの式で表せ。

解答 凝らずに、三角比と直角三角形の相似を考えれば平凡に解決します。

(1) (三角比を参照)より、

AB
の中点をMとすると、三角形OABは二等辺三角形で、OMABは垂直です。
三平方の定理より、
三角形CABは二等辺三角形で、HCM上の点です。直角三角形OCMと直角三角形HOMの相似により、
......[]

(2) HからOCに垂線OKを下ろします。直角三角形OCMと直角三角形HKOの相似により、
......[]


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  1. 2010/08/02(月) 23:09:50|
  2. 一橋大数学'10年
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名大数学'10年[2]

名大数学'10[2]

関数について、次の問いに答えよ。必要ならば、任意の自然数nに対して
が成り立つことを用いてよい。
(1) のグラフの変曲点を求め、グラフの概形をかけ。
(2) とする。点を通るのグラフの接線が1本だけ存在するようなaの値を求めよ。また、aがその値をとるとき、のグラフのの部分、その接線およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

解答 微積分の標準的な問題ですが、ややこしい計算は慎重に行う必要があります。

(1)
 (積の微分法を参照)
とすると、

このとき、より、

 (複号同順)
とすると、
より、
また、より、

x

1

4
00
00
0

変曲点は、 ......[]
グラフの概形は右図黒色実線(関数の増減関数の凹凸を参照)

(2) のグラフ上の点における接線は、
 ・・・①
を通るので、
この右辺を、とおくと、
とすると、
t

0
1
4


000
0(0)

増減表より、接線がただ1本引ける、即ち、方程式:がただ1つの解をもつのは、 ......[] のときです(微分法の方程式への応用(2)を参照)
このとき、より、の解はです。
①に、を代入すると、接線の方程式は、
 ・・・②
において、接線②(右上図青色実線)は、曲線よりも上にあります。のグラフのの部分、その接線およびy軸で囲まれた図形(右上図黄緑色着色部)面積Sは、
 (部分積分法を参照)



 (C:積分定数) ・・・③
より、


......[]
追記.③の計算はミスしやすいので、
より、となり、
とする方が実戦的です。


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  1. 2010/08/02(月) 19:48:03|
  2. 10年数学
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