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東北大物理'10年[1]

東北大物理'10[1]

1のように、半径Rの円柱を4分の1にした台(以下、曲面台とよぶ)を水平な床面に置き、その曲面台の上方に左端が固定されたばねをのせた台を水平に配置する(以下、水平台とよぶ)。ばねの右端部には互いに連結された質量の小球Aと質量mの小球Bが取り付けてある。曲面台の最上部Sから水平台上面までの高さhは、水平台を水平のまま上下させることで変えることができる。重力加速度をg,ばね定数をk,曲面台と小球のはねかえり係数を1 (弾性衝突)とする。また、小球ABの大きさ、水平台の厚み、摩擦、空気抵抗の影響は無視でき、小球ABは紙面内でのみ運動し、曲面台は床面に固定されているものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

(1) ばねを自然長からdだけ縮めてから手を離すと単振動を起こした。最初、小球AB間は互いに連結されているが、何周期か振動した後、小球が右方向に運動していて、ばねがちょうど自然長となったとき、小球ABの間の連結を切り離した。
(a) 切り離す前の周期と切り離した後の周期の比を求めよ。
(b) 切り離した直後の小球Bの速度vを、mgkdの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 切り離した後の小球Aの振幅を、mgkdの中から必要なものを用いて表せ。

(2) 切り離された小球Bは、水平台上を移動した後、水平台の右端から速度で飛び出した。その後、図1のようにとなる曲面台表面の点Pに衝突し、さらに、はねかえって床面上に落下した。このとき、とし、小球Bは点Pで曲面台の表面に接するなめらかな平面ではねかえるとみなせることとする。
(a) Pに衝突するために必要な速度を、mgRの中から必要なものを用いて表せ。
(b) Pで、はねかえり直後における小球Bの速度のx成分とy成分を、mgRの中から必要なものを用いて表せ。ただし、水平右向きをx軸の正の向き、鉛直下方をy軸の正の向きとする。

(3) のとき、図2のように、小球Bは水平台表面から速度vで曲面台に到達し、さらに曲面台表面上を移動した後、ある点Dで曲面台表面から離れた。このとき、点Dの床面からの高さをHとし、水平台表面と曲面台表面はなめらかにつながっているものとする。
(a) 2のようにaとしたとき、gRmvの中から必要なものを用いて表せ。
(b) の場合、すなわち曲面台の頂点Sで、小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値を、gRmを用いて表せ。
(c) Dの高さHと速度vの関係を解答用紙のグラフに実線で描け。ただし、vが問(3)(b)よりも大きいときと小さいときの両方の場合について示せ。また、vが限りなく0に近いときとのときのHの値をグラフの縦軸上に記せ。

解答 力学全般を網羅している標準問題です。難問というわけではありませんが、力学全般について理解していないと答えられません。

(1)(a) 単振動の公式より、切り離す前の周期は、質量AB合わせてだから、
切り離した後の周期は、質量Aのみのだから、
......[]
切り離す前の単振動の角振動数は、
切り離した後の単振動の
角振動数は、

(b) 単振動の公式より、切り離す前の振幅dで、切り離す瞬間にばねが自然長2つの小球の速さ最大だから、速度vは、右向きを正として、
......[]

(c) 切り離した直後のA速度vです。切り離した後、Aだけで単振動するときの角振動数だから、単振動の公式:より、切り離した後のA振幅は、(a)(b)より、
......[]

(2)(a) 水平台右端よりPまで、Bは、水平方向に,鉛直方向にだけ移動します。また、この間に要する時間とすると、水平方向の移動について、
 ∴
鉛直方向の移動について、等加速度運動の公式より、
......[]

(b) Pに衝突する直前のB速さとします。重力による位置エネルギーの基準を点Pにとると、水平台から飛び出す瞬間に、B運動エネルギー位置エネルギーを持っています。Pに衝突する直前にB運動エネルギーを持っています。力学的エネルギー保存より、
(2)(a)の結果を用いて、

右図の衝突直前直後の速度のベクトル図において、弾性衝突B速さは変化せず、衝突面の法線が水平面となす角がであることから、直角三角形PQRと直角三角形PSTは合同です。従って、はねかえり直後の速度の鉛直成分(y成分)は、衝突直前の速度の水平成分に等しく、はねかえり直後の速度の水平成分(x成分)は、衝突直前の速度の鉛直成分に等しくなります。
はねかえり直後における小球
B速度は、問(2)(a)の結果を用いて、
x成分: ......[]
y
成分: ......[]

(3)(a) Dにおける速さとします。Dにおいて、Bに働く重力のみで、円運動の中心方向に向かう成分はです。運動方程式は、

 ・・・①
重力による位置エネルギーの基準を点Dにとると、水平台から飛び出す瞬間に、B運動エネルギー位置エネルギーを持っています。DにおいてBは、運動エネルギーを持っています。力学的エネルギー保存より、
①より、

......[]

(b) となるのは、のときで、

小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値は、 ......[]
(c) (3)(a)の結果より、のとき、

のとき、 (のときも)
のとき、
D高さH速度vの関係を図示すると右図実線。


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  1. 2010/07/26(月) 21:24:05|
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東大文系数学'10年[1]

東大文系数学'10[1]

Oを原点とする座標平面上に点Aをとり、の範囲にあるq に対して、次の条件(i)(ii)をみたす2BCを考える。
(i) Bの部分にあり、かつである。
(ii) Cの部分にあり、かつである。ただし、△ABCOを含むものとする。
以下の問(1)(2)に答えよ。
(1) OABと△OACの面積が等しいとき、q の値を求めよ。
(2) q の範囲で動かすとき、△OABと△OACの面積の和の最大値と、そのときのの値を求めよ。

解答 難問とは言えませんが、(2)では、正弦・余弦の値が汚くなるので、試験会場ではしっかり見直しさせられる問題です。これでいいのかな?もっと別の技巧でもあるのか?という気にさせられますが、基本に立ち返って考える「勇気」のようなものが必要かも知れません。

(1) OABの面積は、
 ・・・① (三角形の面積を参照)
ABCOを含むので、頂点Aと辺BCは原点に関して反対側に位置し、
より、△OACの面積は、
 (加法定理を参照)
 ・・・②
①,②より、とすると、


より、 ......[]

(2) OABと△OACの面積の和Sは、①,②より、

より、aを、
をみたす角として、
 (三角関数の合成を参照)
より、aは、を満たす角で、のときにとなりますが、このとき、であって、このq は、を満たしています。
よって、のとき、
Sの最大値: ......[]


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  1. 2010/07/22(木) 13:23:41|
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北大数学'10年後期[3]

北大数学'10年後期[3]

1辺の長さがaの正三角形から出発して、多角形,・・・,,・・・・・・ を次のように定める。
(i) AB1辺とする。辺AB3等分し、その分点をAに近い方からPQとする。
(ii) PQ1辺とする正三角形PQRの外側に作る。
(iii) ABを折れ線APRQBで置き換える。
のすべての辺に対して(i)(iii)の操作を行って得られる多角形をとする。
以下の問いに答えよ。

(1) の周の長さanで表せ。
(2) の面積anで表せ。
(3) を求めよ。

解答 フラクタルをテーマにした問題です。本問の操作によって得られる曲線をコッホ曲線と言います。図形の1部分をどんどん拡大していくと、普通は、だんだん滑らかな図形が現れてくるのですが、コッホ曲線のように、フラクタルでは拡大するとどんどん複雑な図形が現れてくるようになります。海岸線や雪の結晶など、自然界の現象では、フラクタルのような図形が現れることが知られています。

(1) の周囲の長さは、長さa1辺が3辺あるので、です。
からを作るとき、1辺の長さは、操作(i)3等分されます。よって、1辺の長さは、です(等比数列を参照)
また、からを作るとき、辺の個数は、
1ABから、APPRRQQB4個の辺ができます。よって、の辺の個数は、個です。
よって、の周の長さは、
......[]

(2) の面積は、
からを作るとき、の各辺について、1つの辺に接するように正三角形1個が付け加わり、正三角形の個数分の面積が増大します。正三角形の個数はの辺の個数に一致し、個です。
を作るときに付け加わる正三角形
1個の面積は、の面積ので、です。
のとき、を作るときに付け加わる正三角形
1個の面積は、を作るときに付け加わる正三角形1個の面積の(辺の長さは)です。のときもこうなります。
よって、のとき、からを作るときに増大する面積は、
 (階差数列を参照)

......[] (のときも成り立ちます)

(3) のとき、より、 (等比数列の極限を参照)
......[]
追記.(3)の結果と、より、操作を無限に繰り返していくと、は、有限な面積をもつのに、無限に周の長い図形になっていくことがわかります。


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  1. 2010/07/20(火) 21:46:22|
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一橋大数学'10年前期[1]

一橋大数学'10年前期[5]

n3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数をそれぞれ順に,・・・,とする。に対してとなる事象をとする。
(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる確率を求めよ。
(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる確率を求めよ。

解答 余事象を考える標準的な確率の問題です。

(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる事象の余事象は、,・・・,が全て起こらない、つまり、,・・・,となる事象です。
として、通りの各kについて、が起こらないのはとなるときで、の各1通りに対しての出方は以外の5通りあります。
の出方は
6通りあり、,・・・,が全て起こらない目の出方は、通り。
全事象は、サイコロを
n回投げたときの目の出方で、通り。
余事象の確率は、
 ・・・①
求める確率は、1から余事象の確率を引いて、
......[]

(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる事象の余事象は、,・・・,が全て起こらない、または、,・・・,のどれか1つだけが起きて他は起こらない、という事象です。
,・・・,が全て起こらない確率は、①より、
,・・・,のどれか
1 ()だけが起きて他が起こらないのは、
(i) のとき、,・・・,となりますが、の出方が6通り、として、通りの各jについて、の出方は以外の5通りあり、通り。
(ii) のとき、,・・・,,・・・となりますが、の出方が6通り、かつとして、通りの各jについて、の出方は以外の5通り,の出方は1通り()あり、通り。
(i)(ii)とも、通りについての各場合通りあるので、,・・・,のどれか1つだけ起こるのは、通り。
全事象は
(1)と同じく、通り。
余事象の確率は、
求める確率は、
......[]


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  1. 2010/07/18(日) 15:18:03|
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入試問題検討

入試問題検討


2010年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1]([2]と同一) 乙[2] ([3]と同一) 乙[3]([5]と同一) [4]   [5]   [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

慶大理工数学
[A1]  [A2]  [A3]  [A4]  [B1]

東大物理
1  2  3

東工大物理
[1]  [2]  [3]

京大物理
[]  []  []


2009年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

慶大理工数学
[A1]  [A2]  [A3]  [A4]  [B1]

東大物理
1  2  3

東工大物理
[1]  [2]  [3]

京大物理
[]  []  []


2008年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1] ([1]と同一) 乙[2]([2]と同一) [3]   乙[4]([4]に帰着) 乙[5] ([5]と同一) [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

慶大理工数学
[A1]  [A2]  [A3]  [A4]  [B1]

東大物理
1  2  3

東工大物理
[1]  [2]  [3]  [4]

京大物理
[]  []  []


2007年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1]   乙[2]([2]と同一) 乙[3] ([3]と同一) [4]   [5]   [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

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  1. 2010/07/18(日) 05:28:14|
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慶大理工数学'10年[B1]検討

慶大理工数学'10[B1]検討

[B1]
(解答はこちら) 慶大理工からして、こんな入試問題で良いのか、と、思ってしまう2010年入試ですが、本問もまた、意義が不明な問題です。
(1)(2)で「求める過程も書きなさい」とは言っても、論証問題ではなく単なる計算問題で、論述させる、というイメージではありません。入試問題としてよく知られた技巧を使うだけの問題で、着想力・構想力の必要な問題でもなく、考える要素も見られません。本年の慶大理工の問題は、慶大理工の受験生は言われた通りに作業できればよいので、創意工夫をする必要などはない、とでも言いたげです。これで、日本の科学技術の国際競争力が保てるのでしょうか?
(3)では、[A3]と同一趣旨の問題を出題していますが、[A3]を発展的に応用する、というわけではなく、同じことを繰り返すだけで、まるで、曲線上の点との距離の最小値の求め方だけを勉強した受験生を優遇したいかのように見えます。最近、学力低下が言われていて、京大・東工大も易化の傾向にありますが、残念です。


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  1. 2010/07/16(金) 15:08:09|
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慶大理工数学'10年[A4]検討

慶大理工数学'10[A4]検討

[A4](解答はこちら) 本年の5題の中では、この問題だけが、従来の慶大理工の雰囲気を残しています。他の4題のケアレス・チェックを念入りに行った上で本問を完答できていれば、合格を確信してよいと思います。本年の慶大理工は、この問題だけ、と、言ってもよいでしょう。
とは言っても、本問も数学Ⅱの微分の基礎事項がつかめていれば、充分に解答可能な問題です。
3次方程式が相異なる3実数解を有する必要条件は、2次方程式が相異なる2実数解をもち、3次関数が極大・極小を有することです。さらに、極大値と極小値が異符号であれば、必要十分条件となります。これは、教科書にも書かれていることです。
解答の
()の部分がわかりにくいかも知れません。kが、
 ・・・()
を満たすことがわかるのですが、この形ではkがどんな正整数値をとるのか即断はできません。そこで、両側の値の各々がどんな値なのか、整数値と比較してみると、左側は、
を満たすので、連続2整数、の間の実数であり、右側は、
より、
を満たすので、連続2整数、の間の実数、ということになります。であれば、()を満たす正の整数kを全て求めると、
ということになります。
この部分が少々工夫を要するのですが、
nに適当な整数を入れてみるとかすれば、空所補充問題なので、上記のようなことをせずとも切り抜けられるはずです。
のときのの解も、高次方程式を解くときの常套手段で、,・・・,と代入して行けば、すぐにという解が見つかるので、因数定理を用いて因数分解してしまえばよく、本問も容易に完答できます。



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  1. 2010/07/14(水) 16:25:43|
  2. 慶大理工数学'10年
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慶大理工数学'10年[A3]検討

慶大理工数学'10[A3]検討

[A3](解答はこちら) 解答にも書きましたが、本問は、論述問題だとすると、どう答案を書いていくか、少々悩むかも知れませんが、空所補充形式の問題なので、図形S上の点と点Pの距離がいつ最小になるか、ということを考えれば、即座に解答できるでしょう。論述問題だとしたらどうするか、ということも解答の追記に書いておきました。
図形
S上の点と点Pの距離の最小については、「図形と方程式」分野の基本ができていれば、教科書レベルの知識で充分に解答可能です。難関大学の受験とは言っても、まずは、教科書の例題を確実に解けるようなところから始めるようにしよう、ということが言えます。


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  1. 2010/07/13(火) 13:58:53|
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慶大理工数学'10年[A2]検討

慶大理工数学'10[A2]検討

[A2](解答はこちら) 慶大理工の問題だから、一筋縄ではいかないはず、と思っていると損をしてしまう問題です。
本問でまず着目すべきところは、問題文の
(1)(2)(3)で、作業回数が、2回、3回、4回となっていて、作業回数がn回となっていないところです。これで、この問題が数列との融合問題などではなく、センター・レベルの問題だとわかります。こうなってしまえば樹形図を描いて、全ての場合について数えてしまえばよい、数え漏れに要注意、ということになります。


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  1. 2010/07/12(月) 21:41:54|
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慶大理工数学'10年[A1]検討

慶大理工数学'10[A1]検討

[A1](解答はこちら) 数年前から易化傾向が続いていましたが、ことしの慶大理工は、どうしてしまったのかと言いたくなるような易しさです。問題の組み合わせとしても、首をひねりたくなるのですが、合格した受験生に話を聞いても、試験場で時間を持て余してしまう人が多かったようで、戸惑いがあったようです。慶大薬の方が遙かに高レベルの問題を出していて、こうした出題を続けるのであれば、慶大理工は並の中堅大学に落ちてしまうのではないかと危惧してしまいます。出題形式も、空所補充の割合が年々多くなってきていて、論述力・構想力は必要ない、という状況になっており、慶大理工からしてこれでは、今後、日本の技術力を担う優秀な人材を確保できるのか心配です。
もちろん、本問のような教科書の例題レベルの基礎問題の小問集合を入試問題中に含めることにも意味はあると思いますが、それにしても、東京理科大の小問集合と比較して、大きく見劣りします。有名進学校の生徒の中には、これなら高校の定期試験の方が大変だ、と、思う生徒もいるのではないでしょうか。出題なさる先生には、難し過ぎた
2000年頃に戻せとは言いませんが、せめて早大理工と肩を並べるレベルを維持し、論述部分をもう少し増やすなど、再検討をお願いしたいと思います。


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  1. 2010/07/11(日) 07:32:59|
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早大理工数学'10年[5]検討

早大理工数学'10[5]検討

[5](解答はこちら) 何人の受験生が完答できたのだろうかと思ってしまう難問です。本問のヤマは(3)にあり、(1)(2)(3)への誘導になっています。
結局、本問の仕掛けの中核部分は、解答途中の,つまり、表が回以上出る確率が、で打ち消し合うところにあるのですが、
(1)(2)の誘導だけでは、とても、このことに気づけないと思います。
参考書・問題集の解答を読んでいて思うのですが、どの本も、問題文のあとに「解答のポイント」とかが書いてあって、そこから一足飛びに解答まで一直線に進んでいくように書かれています。
紙面の都合などがあって、余計なことを書く余裕はないのだろうと思いますが、私は、これで、受験生の補助教材と呼べるのだろうか、と、思ってしまいます。
受験生が、こうした参考書を読んでどう感じるのでしょうか?
数学の問題は、問題文を見るなり、解答の方針を思い浮かべて道草をすることなく一本道で解かねばならないもの、と、思い込むではないかという気がするのです。問題文を見て解答の方針が思い浮かばないのは劣等生で、一気に解答が書けないのは努力不足なのだろうと、自己嫌悪に陥ってしまわないか、と、私は危惧してしまいます。
塾・予備校の授業でも、本問のような難問を、頭脳明晰な有名講師が鮮やかに解いて回るのを見て、受験生が、すごいなあ、と、驚嘆するのであれば、私は、実はほとんど教育効果は存在しないのではないか、と、考えています。
標準的な受験生が努力をして難関大学に挑戦するときに大切なことは、いろいろと試行錯誤し、苦悩し、工夫して、最終解答にたどりつくことだと私は思います。解答が書ければ、もちろん嬉しいですが、数学・物理の楽しさが最も大きいところは、解答が書けたところにあるのではなく、問題の本質がつかめずに紆余曲折しながらあれこれと思い悩むところにこそあるのではないか、と、私は思うのです。
であれば、参考書や問題集は、誤答例や失敗例などを中心に書くべきではないか、と、私は思うのです。読者には、その情報の多くは無意味なものであるかも知れませんが、少なくとも、入試問題の模範解答と言っても、さまざまな失敗の積み重ねの上に成り立っている、ということが受験生に見えるのではないかと思うのです。
また、塾・予備校でも、予習なしでやってきて授業中に行き詰まり立ち往生してしまう講師が、最も、受験生にとって教育効果の高い講師だ、と、私は思うのです。その講師が汗をかきながら苦し紛れにやっていることこそ、受験生がまさに試験会場でなすべきことだからです。ですが、残念ながら、日本では、塾・予備校経営者が、こうした善良な講師に、できそこないのレッテルを貼ってしまうのが現実ではないかと思います。
今、新しい情報端末が脚光を浴びていて、電子書籍元年などと言われていますが、今から
20年以上も前に電子書籍の開発に取り組んだことのある私としては、電子書籍ごときの普及に随分と時間がかかるもんだ、と、複雑な気持ちにさせられるとともに、真に、明日の日本の科学を担う世代の育成に役立つような電子書籍版参考書を、既存の紙ベースの出版社が企画してくれないか、と、期待してしまいます。電子書籍であれば、紙面の都合などという制約はなくなります。読者が不要と考えれば、失敗例の記述をパスして読めばよいのです。
本ウェブサイトの解答は、本問に限らず、ご覧の皆さんは、何でこんな回り道をするのか、と、感じると思います。一つには、実際に試験場でどういう道筋で解答にたどり着くのか、そのライブ感を伝えたい、という想いがあります。普通の受験生が本問の
(3)を一本道で解答するのは無理というものです。もちろん、受験生一人一人で、どういうアプローチを取るか、個性もあると思うので、ご覧になっている皆さんは、もっと別のアプローチを取るかも知れません。本ウェブサイトでは、こうやれば、制限時間内に充分に問題を解いていくことができる、という一つの例を示しているに過ぎません。何を悪戦苦闘しているのか、苦労して解いているんだな、と、感じて頂ければ幸いです。
本問では、もう一点、
(3)の結果の美しさにも感動させられます。入試問題として適切な問題か、という点ではやや疑問符がつきますが、受験生に、より高く跳躍しようという意欲を起こさせる、良問だと私は思います。どうやって、思いついた問題なのかわかりませんが、出題者の先生には敬意の気持ちを表したいと思います。


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  1. 2010/07/09(金) 17:09:46|
  2. 早大理工数学'10年
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早大理工数学'10年[4]検討

早大理工数学'10[4]検討

[4](解答はこちら) 空間図形の要素もありますが、主体は、という数学Ⅲの積分計算の部分にあります。計算はかなりややこしいですが、何とか正解しておきたい問題です。
空間図形の部分については、
慶大理工07[A4]などにも見えるタイプのもので、知識がないと手がつかないかも知れません。ですが、しっかりと準備しておけば定型的な処理で解決できます。数多くの入試問題の中では必ず出題されるタイプの問題なので、本問で理解をしておくようにしましょう。切り口を図示する部分がやや難航するかも知れません。東工大98年後期[2]に比べれば大したことはありませんが、解答の中で、x座標kを使って不等式を作っておき、後で、kxに書き換える、という要領を習得してください。
という積分は、解答に書いたように、

として部分積分することが多いと思いますが、本問のように、
(は双曲線関数です)
とおいて置換積分することもあります。これは、とおいて置換積分することに似ています。オイラーの公式:を思い浮かべれば自然な流れです。
なお、この積分には、他に、とおいて置換積分する技巧が知られています。今年、このことに関連した問題が
東大理系前期[4]で出題されました。東大理系前期[4]検討に書きましたので、参考にしてください。


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  1. 2010/07/07(水) 15:42:37|
  2. 早大理工数学'10年
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早大理工数学'10年[3]検討

早大理工数学'10[3]検討

[3](解答はこちら) 数学Ⅲの微分の問題なのですが、状況設定が意外に複雑で、丁寧に調べて行こうとすると手間がかかる問題です。こうした問題では、面倒だからと言って、答案の記述で手抜きをしてしまうと、大幅減点になってしまいます。上手に説明しようと見栄を張る必要はありませんが、説明の飛躍がないように、ステップバイステップで念入りに答案を書くように心がけましょう。
ただし、
(1)は、のグラフがy軸対称であることを利用し省力化することは可能です。省力化すること自体に難航するくらいであれば、解答のように素直に答案を書いても、充分に試験時間内に収まると思います。
(2)は、の連立方程式とみて、(1)のグラフを利用し、このグラフと直線が共有点をもつようなkの最大値を考える、という線形計画法的な解法も可能です。より効率的な解法を工夫してみてください。ここも、解答では素直にaの範囲とpの値で場合分けして考えていますが、策のないように見えても試験時間内で充分に解答可能で、安全な解決法です。より工夫して効率的な解答を目指すか、手間をかけて安全な解答で妥協するか、試験会場では、利害得失をよく考えて対処するようにしましょう。


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  1. 2010/07/01(木) 21:22:11|
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