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早大理工数学'10年[2]検討

早大理工数学'10[2]検討

[2](解答はこちら) 問題文で新概念を定義して、受験生が未経験のものにも柔軟に対処できるか、という能力を見ようという問題です。早大理工では、しばしば見られるタイプの問題です。
本問はかなり面倒ですが、難問というわけではありません。見慣れないからという理由で拒否反応を示すのではなく、寛容な気持ちを持ち問題文の意図を読み取って忍耐強く対処すれば、得点源とすべき問題と言えます。
1次変換の問題のようにも見えますが、行列の計算としては大したことはなく、むしろ、論理的に完璧な答案を書けるかどうかが問われている問題です。
いきなり
(4)が来ると戸惑うだろうと思いますが、親切な誘導がついていて、受験生が自分でカラクリを発見できるようになっているので、素直に取り組んでいけば解答可能なはずです。
入試問題の背景などを説明すると、自分には関係ない、という態度をとる受験生がいるのですが、ことしの早大理工は、定型パターンの問題だけをひたすら反復練習する、という狭い視野の勉強をしてきた受験生には厳しいことになったでしょう。未知のことがらに対して幅広い関心をもつことが大切だ、ということを本問は教えてくれています。
解答では、からを求めることを、のように表記して解答しました。いろいろな書き方が可能ですが、一々行列を使って答案を書くのでは面倒なので、試験場においても、何らかの省力化を工夫して書きたいところです。この辺の巧拙が合格できるかどうかにも響いてしまうので、日常的なことから細かい工夫をすることを心がけるようにしてください。



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  1. 2010/06/29(火) 11:09:36|
  2. 早大理工数学'10年
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早大理工数学'10年[1]検討

早大理工数学'10[1]検討

[1](解答はこちら) この問題のポイントは、119という数値にあると言ってもよいでしょう。
または
という範囲が出てきたときに、受験生は、ホントかな、と思ってしまいがちです。基礎事項への理解度があやふやだと、何となく気分的に変だからは不適だ、などとやってしまいかねません。あやふやな理由で答案を書くのでは、数学では得点になりません。円と直線の位置関係について、図を描いて出てきた結果があり得る、ということを確信できるだけの理解度が問われている、とも、言えます。
本問では、円と直線の位置関係を、円の方程式と直線の方程式の連立からでなく、円の中心と直線との距離から考える、といった基本技巧の知識も必要です。
教科書レベルの基礎事項からしっかりマスターしておくべきだ、ということを本問は教えてくれています。



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  1. 2010/06/26(土) 21:19:53|
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京大物理'10年[3]検討

京大物理'10[3]検討

[3](解答はこちら) クントの実験の問題が、本問、東大10[3]と出題されています。ですが、両者で扱い方に違いがあります。
気柱内で、粉や微粒子の集まりの中心の位置は腹なので、問題文の図
1を見ると、振動板のところは腹になります。ですが、インターネット上で紹介されているクントの実験の様子を見ると、振動板位置は節です。東大の問題でも固定端で節です。ですが、本問では、問題文で指定されているので、振動板位置は自由端で腹、という状況設定で考えることになります。
今後、クントの実験が入試問題で採り上げられるときには、振動板の位置が固定端なのか自由端なのか明示されていないと受験生はどうしてよいのかわからない、ということになるような気がします。
また、本問では、気柱内の空気の密度の扱い方が従来と異なっています。密度の大小は、気柱内の各空気粒子が、左に変位しているか、右に変位しているか、というところから考えるのが普通です。ある地点で、左側の粒子が右に変位し右側の粒子が左に変位していれば、その地点の密度は最大になります。ですが、本問では、定常波ができている場合とできていない場合とで筒領域内の空気の密度を比較する、という考え方が提示されています。問題文中の密度比の式では、グラフ曲線の接線の傾きが正にも負にもなるので、注意が必要です。物理の入試問題と言っても、数学の微積分で履修した内容を活用して考えるようにしましょう。
本問の解答に必要な知識は教科書レベルで充分ですが、問題文の指摘に合わせて、柔軟に考察を進めて行く必要があります。



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  1. 2010/06/21(月) 08:15:59|
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京大物理'10年[2]検討

京大物理'10[2]検討

[2](解答はこちら) 電磁場中の荷電粒子の運動に等加速度運動、等速度円運動をからめた問題です。扱う範囲は広いのですが、問題を解くのに必要な知識は、各問、教科書レベルの内容です。基礎がしっかりできていれば、満点も狙えます。本問では高級な技巧は必要ありません。難しいことはできなくてもよいから、高校物理の基礎を固めてきて欲しい、という京都大学の先生の受験生に対するメッセージが感じられる問題です。
ただし、等加速度運動の部分の計算が煩雑なことには注意が必要です。速度の
y成分が要求されていても、問1,問2で、座標yの値が要求されているわけではないので、計算をしなくても、荷電粒子の運動のイメージがつかめて欲しい、ということは言えます。この辺は、等加速度運動といえど、教科書傍用問題集程度の問題を一通り解いておくくらいの勉強量が要求されています。
(2)の運動を勘違いし易いのですが、こうしたところは、物理の問題と言うよりも、目の前の状況を正確に扱うことができるか、という、処理能力が求められている、と言えます。勉強に限らず、日常的な課題についても、合理的に効率的に処理する心がけを持つようにしましょう。


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  1. 2010/06/17(木) 22:05:42|
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京大物理'10年[1]検討

京大物理'10[1]検討

[1](解答はこちら) 力学的エネルギー保存、運動量保存に、衝突、円運動、相対運動をからめた問題ですが、この問題のポイントは、運動している物体上の円運動をどう扱うか、という点にあります。
(1)では、台車が固定されていて、小球が円運動するだけなので、不等速円運動の基本パターンです。
(2)になると、ひもにつるされた小球が落下運動を始めると台車が動いてしまうので、床から見ていると、小球の運動は円運動になりません。この状況のまま、小球の運動を考えようとすれば難しいことになるでしょう。ですが、設問()で「相対的な速さ」を聞いているので、相対運動を意識して台車から小球の運動を見ることになります。台車上で見ると、小球はやはり円運動していて、(1)と同じように扱うことができます。但し、力学的エネルギー保存と運動量保存は床から見て考えます。
小球、台車の位置を考えるときには、系の運動量が保存されることと、最初に小球、台車とも静止していたことから、重心が動かないことを利用するのが便利です。これを促すために、本問では、問
1が設けられています。問1のような誘導がなくても、重心に着目して考えるべきです。
誘導なしでは厳しい問題ですが、誘導に乗って考えて行けば決して難しくはありません。教科書レベルの知識で充分に解き進むことができます。また、誘導がない問題であっても、本問と同様に解くようにしてください。



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  1. 2010/06/14(月) 21:48:33|
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京大理系数学'10年乙[6]検討

京大理系数学'10年乙[6]検討

[6](解答はこちら) 多数の項の積になる確率の対数の極限が、区分求積法によって定積分になる、という流れは、定型パターンの問題と言えると思います。本問を見ておけば、今後、類題に当たっても対処できるでしょう。
ですが、確率の考え方自体は、定型的に思わない方がよいと思います。というのは、本問のような問題で、個の箱に
n個のボールを入れる場合の数が、通りになって、通りにならないのか、わからない、PCの違いがわからない、という、疑問を抱く方がいるからです。この場合は通りで、別の場合では通り、というように、パターン化して扱おう、と、発想せずに、問題ごとに考えるようにして頂きたいと思います。
くらいで具体的に見てみましょう。本問の場合、
6個の箱(1~箱6とします)があり、3個のボール(ABCとします)の各1個について、等しい確率6個の箱のいずれかに入ります。どの箱にも1個以下のボールしか入らない確率を求めることになります。だとすると、
ボールが1個ずつ3個の箱に入るとき、6個の箱からボールの入る3個の箱の選び方が通り、
ボール
2個が1個の箱に入りボール1個が別の1個の箱に入るのは、6個の箱からボール2個の入る1個の箱の選び方が6通り、その各1通りについて、ボール1個の入る箱の選び方が5通りで、通り、
ボール
3個が1個の箱に入るとき、6個の箱からボール3個の入る1個の箱の選び方が6通り、
求める確率は、 ・・・①
と考えるのは、誤りです。というのは、
ボールが
1個ずつ3個の箱に入るときの場合の数を20通りとしていますが、そのうちの1通り、例えば、箱1と箱2と箱31個ずつボールが入る場合と、
ボール
3個が1個の箱に入るときの場合の数を6通りとしていますが、そのうちの1通り、例えば、箱13個のボールが入る場合とが、
同様に確からしい、とは言えないからです。
1と箱2と箱31個ずつボールが入る、とは、言っても、箱1A,箱2B,箱3Cが入る場合、箱1B,箱2C,箱3Aが入る場合、など、6通りの場合があるのに対し、箱13個のボールABCは入る方は1通りしかありません。
本問では、ボール各
1個は「どの箱に入る確率も等しいとする」という前提で考えています。「箱1A,箱2B,箱3Cが入る場合」と「箱13個のボールABCが入る場合」であれば、同様に確からしいとは言えますが、①式の分母の20通りと30通りと6通りとでは、その各1通りが同様に確からしいとは言えないのです。
本問では、全事象は、ボール
Aの入り方が箱1~箱66通り、ボールBについても6通り、ボールCについても6通りで、通り、とすれば、この各1通りが「同様に確からしい」と言えるようになります。
そのときに、どの箱にも
1個以下のボールしか入らない、という場合の数は、ボールAが箱1~箱66個の箱のどれかに入り、ボールBについて、ボールAが入らなかった箱5個のどれかに入り、ボールCについて、ボールABが入らなかった箱4個のどれかに入るので、通り、
求める確率は、,つまり、
となります。
ですが、もし、
3個のボールの入れ方通りの各1通りが同様に確からしい、という設定の問題であれば、答えはになります。
つまり、何を同様に確からしいと考えるか、ということによって、通りか、通りか、ということは違ってきます。重要なことは、事象
Aの起こる確率:において、分母と分子すべてにわたって、何を同様に確からしいとしているか、という考え方が揃っている、ということです。


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  1. 2010/06/08(火) 15:53:54|
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京大理系数学'10年乙[5]検討

京大理系数学'10年乙[5]検討

[5](解答はこちら) 本問は、(1)は数値代入していけば数学的帰納法が見えてきますが、(2)は少し難航するかも知れません。
(1)は、「nを正の整数、とする。」と言われた時点で、nに数値代入して、のときのとき,・・・、という具合に進めて行くのが定番と言ってもよいので、試験会場でも必ず思いつけるようにしてください。
で割り切れるがでは割り切れない」というのは、を素因数分解すると、の形になる、ということなので、正の奇数を
pとして、
とおくことになります。
のときには、
のときには、
のときには、
という流れが見えてくれば、に偶数をかけてになり、さらに偶数をかけてになる、というところから自然に数学的帰納法の枠組みに行き着けるでしょう。

(2)は最初から結末までのストーリーを見透かすのは困難です。(1)とのつながりから、正の偶数mを、素因数分解の形を考えて、 (qは正の奇数)とおくことになります。また、「で割り切れる」という問題文から、として、(1)を用いて、
とおき、
という因数分解を考えれば道が開けます。
一気に解決しようと欲張らないで、問題文から得られる情報を数式化し、
(1)の結果を利用しつつ、一つずつていねいに片付けていけば、自然な流れに乗ることができると思います。
結局、ある程度のレベルの問題を自力で解いた経験と、問題文を論理的に読解する力があれば、京大理系を制覇できる、ということです。自力で解く問題と言っても、あらゆるパターンの問題を網羅的に解く、という必要はありません。受験生一人に与えられた時間を考えてもそれは無理というものです。特徴的な問題を週に数題じっくり時間をかけて取り組む、ということを考えてください。読解力をつけるために、私は、友人同志で何かテーマを決めて、論説文を書き、お互いに読み回して討論してみることをお奨めします。感情的にならずに冷静に討論するためには、どう論述すればよいかというトレーニングをするうちに、書き手の気持ちを探る読解力もついてきます。



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  1. 2010/06/07(月) 04:18:05|
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京大理系数学'10年乙[4]検討

京大理系数学'10年乙[4]検討

[4](解答はこちら) 解答では、正弦定理と余弦定理を用いましたが、余弦定理を使わなくても解答できます。
bの値を求めるだけなら大した問題ではないのですが、この問題のポイントは、三角形が鋭角三角形であることをどうやってチェックするか、というところにあります。解答のように、長さabの辺と向かい合っている角をABCとすれば、正弦定理を用いて、であることがわかります。これで、となります。また、から,つまり、もわかります。
これでとなるので、,あるいは、を確認できればよいわけです。解答では、
b2次方程式がの範囲に解をもつ条件を調べました。ですが、以下のようにする加法定理を用いる解法も考えられます。

とおくと、
より、においては減少関数で、,つまり、
が確認できて、
が求める解だということがわかります。
易しそうな問題に見えても、答案の論理をしっかり見ようという京大数学の方針を、本問で感じ取るようにしてください。



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  1. 2010/06/03(木) 22:20:34|
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東工大物理'10年前期[3]検討

東工大物理'10年前期[3]検討

[3](解答はこちら) 設問の仕方はやや変わっているのですが、内容的には気体の頻出問題です。気体分野を苦手とする受験生をよく見かけますが、状態方程式の方に関心が向かい過ぎていて、熱力学第一法則への意識が薄いことが理由のように思います。本問では、熱力学第一法則が重要なキー・テーマとなっています。熱力学第一法則:は、気体が吸収した熱Qが、気体がした仕事Wに使われ、残りは内部エネルギーの変化分になる、という法則です。お金の問題に直して言えば、もらったお金Qが使ったお金Wと貯金になる、という簡単な内容の法則です。必ずマスターし、実戦の場で使いこなせるようにしておいてください。断熱変化の場合に仕事を聞かれたとき、より、として仕事を求めますが、仕事と言っても、結局、温度変化を求めることになります。
また、本問では、熱の移動や熱容量もテーマになっています。熱の移動は、
Aが失った熱がBの受け取った熱になる、という極めて当然なことです。「熱容量」は、物体の温度を上げるのに必要な熱量、と言うとわかりにくいですが、要するに熱しやすいか熱しにくいか、ということです。人間でも、ちょっとしたことで頭に血が上ってカーと燃えたかと思うと次の瞬間にはさめている、という人もいますが、何をされても冷静沈着な人もいます。それと同じことです。
「物理法則」というと、まるで原子爆弾でも扱うかのような恐怖感を感じる人がいるのですが、高校の教科書に登場する物理法則は、いずれも、身の回りで日常的に起こっていて、常識的にとらえられるようなことばかりです。教科書傍用問題集で少し練習して慣れてもらえれば何でもないことなので、こわがらないようにしましょう。

[A](a)のポアッソンの式:は圧力pと体積Vに関する式なので、ポアッソンの式を立てると、状態方程式は立てない、と、勘違いしている受験生もよく見かけます。ポアッソンの式は状態方程式と相反する関係式ではなく、ポアッソンの式と状態方程式は連立して使うのだ、と、覚えておいてください。
気体分野は、入試物理の範囲の中では、覚えることが多く、それらを連携させて問題を解くので、敷居が高く感じられて毛嫌いされてしまう面もありますが、基礎事項をしっかりマスターしてしまえば、入試物理の範囲の中ではもっとも得点しやすい分野です。食わず嫌いにならないようにしましょう。



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  1. 2010/06/02(水) 16:45:36|
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