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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
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東工大物理'10年前期[2]検討

東工大物理'10年前期[2]検討

[2](解答はこちら) 運動する観測者から見た電磁場は、静止している観測者から見た電磁場とは異なって見える、ということをテーマとした問題です。
磁束密度の大きさが
Bの一様な磁場の中を、電荷qをもつ荷電粒子が速さvで磁場と垂直な方向に運動しているとします。磁場は荷電粒子に、荷電粒子の運動方向と磁場の双方に垂直な方向に、大きさのローレンツ力を及ぼすので、この力を受けて荷電粒子は運動の方向を変えます。
この現象を、この荷電粒子と同じ速度で運動する
(電荷をもたない)観測者から見るとどう見えるか、というと、同じ速度で運動しているので静止して見える荷電粒子に大きさのローレンツ力が働いて運動方向が変わるように見えるのです。静止していればローレンツ力は0になるはずなので、この観測者には、どうしてローレンツ力が発生し、荷電粒子の運動方向が変わるのか、説明することができなくなってしまいます。
そこで、磁場中を運動する観測者から見ると、誘導電場ができていて、荷電粒子は誘導電場から力を受けるように見える、と、考えます。誘導電場の大きさを
Eとすると、電荷qがこの電場から受ける力の大きさはなので、先のローレンツ力の大きさと等しいとして、


つまり、速さvで磁場と垂直な方向に運動する観測者には、大きさの誘導電場が、磁場と速度の双方に垂直な方向にできていて、この電場が荷電粒子に力を及ぼすように見える、と考えます。観測者が、磁場と垂直な平面内で、半径rの円軌道上を角速度w で等速円運動していれば、として、観測者には、大きさの誘導電場ができているように見えます。
これが、アインシュタインの相対性理論の出発点になっているのですが、こうしたことが、本問の背景にあります。以上のことを少しでも知っていれば、本問は問題なく解答できると思います。注意すべき点があるとすれば、
[A](b)で、原点からの距離rの地点での静電気力をとして、この位置エネルギーを求めさせているのですが、こうしたところでは、位置エネルギーの定義をしっかり理解できているか、ということが問われます。何気なく参考書や問題集の解答を読み流してしまうと、いざ、位置エネルギーを求めよ、と、言われたときにまごつきます。簡単な問題のように見えても、どういう力の仕事を考えていて、力はどちらを向いているのか、移動方向とどういう関係にあるか、こうした基本的なことが理解できていないと解答できません。物理には、こうしたところがいくつかあって、単に公式の字面を記憶していても、実際の問題に当たったときに、公式の適用の仕方がわからない、ということが起こります。公式の意味するところからしっかりと理解するように心がけてください。


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  1. 2010/05/31(月) 04:52:05|
  2. 東工大物理'10年
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東工大物理'10年前期[1]検討

東工大物理'10年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 等加速度運動と衝突の問題です。解答の通り、問題文の誘導通りに進めて行けば、ややこしいですが難問というわけではありません。
ところで、本問は恐らく、出題者の想定は、解答の「追記」までのものだろうと思います。ですが、これでは、小球と斜面の衝突で、斜面に沿う方向の速度について、斜衝突の原則から外れてしまいます。さりとて、
[B](c)(d)という流れでは、斜面に垂直に衝突したので垂直に跳ね返る、として考えて行かないと解答できません。であれば、問題文中に「小球は、物体Bの斜面と垂直に跳ね返った」と明記するか、それと同等の条件(小球と物体Bとの衝突の瞬間に物体Bと床との固定を外す)を記述してくれていないと、「追記」に書いた、もう一つの本来の斜衝突としての解答があり得てしまいます。
物理の入試問題では、問題文がうまくできていなくて、どう解答して良いか迷うような局面に出会うことがあるかも知れません。こうしたとき、受験生としては、わざわざ出題者の意図に逆らったりせずに、本問であれば
[A]からの類推で[B]も同様にして良いのだろう、と判断して解答するべきです。問題文に書かれている状況が、不合理だ、とか、あり得ない、と、追求してみても、合格という目標に近づけるわけではありません。問題文をよく読んで、出題者が何をさせたいのか、出題意図の把握に努めるべきです。
ただ、本問と同様の状況で、斜衝突として答えさせる問題もあり得るので、「追記」以降についても参考にしてください。追記では、水平方向の運動量保存、反発係数の式と力学的エネルギー保存を用いて解答してありますが、斜衝突の問題であることが明確であれば、力学的エネルギー保存の式を立てると面倒になるので、相対速度の衝突面に沿う方向の成分が変化しない
(追記では、速度を求めた後で確認しています)として立式して解答してください。


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  1. 2010/05/30(日) 08:47:23|
  2. 東工大物理'10年
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京大理系数学'10年甲[6]検討

京大理系数学'10年甲[6]検討

[6](解答はこちら) 解答にも書いた通り、本問は過去に別の大学の入試問題として採り上げられたことのある問題です。回転体の体積を求める問題でも、曲線を回転するというのではなく、図形や立体を回転する、という問題があります。本問では立方体を回転するのですが、回転軸から最も遠い点を探すことがポイント、という点では、他の回転体の体積の問題と共通です。この手の問題の中で特徴的な問題と言えるので、理工系大学志望者が全員、体験しておくべき問題だと私は思います。
回転体を回転軸に垂直な平面で切ったときの断面内のすべての点について、回転軸との距離を考え、その最大値を,最小値をとして、断面は、半径の円から半径の円を切り抜いた図形になります。
tは、回転軸に沿う方向での基準点から距離とします。回転体の体積Vは、断面積をtについて積分し、であれば、
として計算できます。どういう図形を回転する場合でもこの考え方は同じです。一度体験して納得しておけば、試験場でまごつくこともないでしょう。
一つ申し上げておきたいのは、受験準備のための限られた時間を有効に使うために、本問のような特徴的な問題、この一題を解いておくと幅広い応用が利くような問題を選んで解いていくように心がけて頂きたいということです。同じようなタイプの問題を数多く解けば、頭脳への沈着度は高くなりますが、時間的制約のために、覚えておける解法パターンの数は限られてしまいます。一度問題を解いて終わり、ということにせずに、何度か復習するようにすれば、同一タイプの問題を少なく抑えることは可能なはずです。勉強の密度・効果を高めるように工夫しましょう。
また、難関大学の入試問題の中には、過去問では見あたらないオリジナリティー溢れる問題もあるので、問題を見てから新鮮な気持ちで解法を考える、というトレーニングももちろん大切です。それと並行して、解法パターンのレパートリーを効率的に増やしておく努力も続けるようにしてください。



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  1. 2010/05/29(土) 06:11:21|
  2. 京大数学'10年
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京大理系数学'10年甲[5]検討

京大理系数学'10年甲[5]検討

[5](解答はこちら) 実力充分の受験生であれば、問題なくこなすことのできる問題ですが、これから受験準備を始めようという方が、この問題を解いてみてどう思うか、ということが気になります。
の交点を
aとして、積分計算をして面積Tを求めると、aaが混じった式になります。問題文では、条件を満たすaの値を問うているので、Taだけを用いて表さなければ、最終解答に到達できません。そこで、aaで表さないといけない、ということになるのですが、これがうまくいかない、というところが、この問題のポイントです。諦めの早い受験生だと、aを消せない、という時点で見限ってしまうかも知れません。
ですが、
Tの式にaが残っていると言っても、という形で残っていて、であれば、aを用いて表すことができるので、aを消去して、Taだけを用いて表せるのです。固定観念にとらわれずに、ちょっと視野を広げてみれば、別の見方が見えてくる、ということだと思います。
実際には、学校や塾で教わって、一つの技巧の知識として持っているので、この問題はこうやればできる、として解答した受験生が多く、出題者の意図通りになっていないと思いますが、本来であれば、教わっていなくても、試験場で、
aで表せている、ということに気づいて、解けて欲しい問題です。
こちらをご覧の皆さんに申し上げたいのは、本問では、
aaで表さないといけないという固定観念にとらわれないようにして頂きたい、ということです。自分は決めてかからないと解けない、と、思い込んでしまう受験生が多いのですが、一つの問題の見方を決めつけて見るようにしないで頂きたいのです。昨日はうまく行ったけれども、同じ方法で取り組んだら今日はうまく行かなかった、ということはよくあることです。野球の投手が毎日同じ攻め方をしていたら、バッターの方は学習してしまって、次に来るボールをあらかじめ予測してしまうようになる、というようなこともあります。受験生の大半がこういう考え方をするだろう、と思うと、出題者側は必ず裏をかいてくるのです。正攻法はこうだが、裏をかかれたらどうするか、裏の裏をつかれたら、という感じで、全ての問題の解法パターンをあらかじめ知識として持とうとするのは無理です。
試験会場で、異なる観点からものを眺めることができるように、いわゆる「常識」的なものの考え方だけで全てを見限ることのないようにしましょう。



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  1. 2010/05/27(木) 23:30:14|
  2. 京大数学'10年
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京大理系数学'10年甲[4]検討

京大理系数学'10年甲[4]検討

[4](解答はこちら) 解答に書いた通り、「数学的帰納法」が浮かべば一本道の問題のはず、なのですが、本問のような問題文の場合、
 ・・・()
を必至に証明しようとして難航する受験生の姿をよく見かけます。しかし、どうやってみたところで証明できるはずがありません。()は証明の仮定であって、証明すべき対象ではないからです。証明すべき対象は、すべての正の整数nに対して「」になることです。
こうした受験生でも、「すべての正の整数
nに対して3で割ると1余ることを示せ」という問題文だと、数学的帰納法を使って(二項定理でも簡単ですが)きちんと証明できます。本問のように、証明すべき命題の中に仮定とする式が紛れていると間違う人が出てくるのです。
とにかくそこに‘
n'の出てくる式が書いてあったら、それを証明するのが「数学的帰納法」ということではありません。「AであればB」、つまり、「A B」を示すのであれば、示す対象はBであってAではありません。
私は、これは「数学的帰納法」の理解の問題、というよりも、論理構造の読解の問題、という方が良いように思います。日本語は、情緒的な言語で、論理構造を的確に表現するのに向いている言語とは言えないような気もするのですが、さりとて、数学的帰納法の論理構造は、できる限り多くの人に知っておいて欲しいことがらです。
また、こうした間違いが起こることの背景には、討論することをあまり好まず、はっきりと発言する人を見ると遠ざけたいと感じることが多い、日本人の習性のようなものがあるような気もします。同じ電磁波なのに、照明の光は美しいと感じて、携帯電話の電波は危険と感じる人がいる
(確かに周波数は違いますが)、というのも、同じようなことかも知れません。あるいは、買い物をしたときに、「ありがとうございました」と言われて、本当にこの店員さんは「ありがとう」と思っているのか怪しく感じることがある、ということにも共通するものがあるかも知れません。
ですが、もし、携帯電話の電波が人体に危険だ、と、主張するのであれば、科学的に論理的に証明できるのでなければ説得力がありません。科学の分野では、「ありがとう」と言われたら素直に感謝の気持ちを受け取り、感謝してもいないのに口先だけ「ありがとう」と言うことがないような文化を作らなければいけないと、私は思います。「
AならばB」と言われたら、Aが仮定であってBが対象である、という論理構造を正確に意識するべきです。同じ日本語でも、好きなのに「嫌い!」という言葉を投げつける文学分野と、論理構造を明確にすべき科学分野とでは、言語が違う、と、思うようにするべきなのでしょう。


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  1. 2010/05/26(水) 06:09:59|
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京大理系数学'10年甲[3]検討

京大理系数学'10年甲[3]検討

[3](解答はこちら) 本問は、角の最大をどうとらえるか、ということも課題ですが、直線とx軸とのなす角の正接を考えれば、関数
の最大値をどうやって求めるか、という問題に帰着します。
最大、最小の問題なので、機械的に微分してしまいがちです。

において、ではでは,よって、で極大かつ最大で、最大値はとなります。
微分による解法の場合、微分の計算が煩雑になることが多く、導関数が必ずしも見やすい形にならないこともありますが、時間をかければ必ず解答できるという安心感があります。ですが、面倒な微分の計算をし終わってから、別のラクな解法に気づいても手遅れです。
本問では、解答のように相加平均・相乗平均の関係を利用するという技巧を用いることにより、煩雑な計算なしで最終解答が得られます。
但し、相加平均・相乗平均の関係では、等号成立条件が必ず成立するというわけではありません。
例えば、の最小値を求める問題で、という条件がつくと、の等号成立条件,つまり、が成立せず、最小値を求めることができません。
ですが、技巧がうまく使えない、ということに気づくのに大した時間はかからないでしょう。
従って、こうした最大最小問題では、最初から微分して後でラクな解法に気づいて後悔する、ということにならないように、まず、微分を使わない解法を試し、うまく行かなかったら、微分する、という方針で行くべきです。
ちなみに、本問では、

とおいて、分母を払い、2次方程式:
が実数解をもつ条件、
判別式:
より、
として、最大値
1を求める、という解法もあります。


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  1. 2010/05/25(火) 00:18:25|
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京大理系数学'10年甲[2]検討

京大理系数学'10年甲[2]検討

[2](解答はこちら) 空間ベクトルの基本問題です。学校によっては、期末試験の方が難しい、というような学校もあるかも知れません。
ただ、教科書の例題、という雰囲気ではなく、ベクトル計算の過程でちょっと気づきたい部分があり、一応の受験準備が功を奏する問題ではあります。
ベクトルの図形問題では、点
Pを考えるときに、平面ベクトルであれば、

空間ベクトルであれば、

などととして、
1次独立なベクトル1次結合を呼ばれる形を作って考えるのが基本です。
もちろん、この問題でも、基本通りに進めて解答できますが、いつでも無理に基本通りでなければいけないと思わないで、問題の状況に合わせて柔軟な方針で臨めばうまく行くように問題ができています。
基本はもちろん大切です。難問でも、基本に戻って考え直すことによって道が開けることがあります。ですが、
1つの考え方に凝り固まってしまわずに、自然な流れに乗っていろいろと試してみる、というフトコロの深さのようなものも大切にしましょう。


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  1. 2010/05/23(日) 23:45:42|
  2. 京大数学'10年
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京大理系数学'10年甲[1]検討

京大理系数学'10年甲[1]検討

[1](解答はこちら) ひょっとするとセンター試験よりも易しい確率の問題です。出題者としては、これくらいはできて当然と思っているのでしょうけれども、こういう問題の方が試験会場では大変かも知れません。つまらない勘違いをやってしまうと、それが大きな得点差となり命取りになります。時間的余裕があるなら、全ての場合を書き出してしまう、というようなことをやってでも、もれなく重複なく数えているか、数え間違いがないか、確認するべきでしょう。また、こうしたことは、普段からやっていないと、なかなか試験会場で気が回らないものです。基本問題であっても、時間のムダと思わずに確認するクセをつけたいものです。


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  1. 2010/05/22(土) 04:39:59|
  2. 京大数学'10年
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東大物理'10年前期[3]検討

東大物理'10年前期[3]検討

[3](解答はこちら) 最近、ドップラー効果の入試問題は1次元的なものばかりで、斜め方向のドップラー効果を扱う問題を見かけませんでした。そこで2010年の入試では、難関大学で出題するところがあるだろう、と、予測していたら、案の定、東大が出題してきました。本問は基本的な問題なので、初めて取り組む、という受験生でも、それほどまごつくことはなかったと思います。ドップラー効果というよりも、むしろ本問の最後の近似の仕方を手間取った受験生の方が多かったことでしょう。
過去問をよく研究している受験生に申し上げたいことは、過去に出題されているから準備をしておくべき、というのではなく、過去に出題されていないテーマの方に注意をして欲しい、そして、物理の教科書で採り上げられている内容については、過去に出題されていないから無視、ということをせずに、あまねく勉強しておくべきだ、ということです。また、教科書・参考書の記述の暗記に走るのではなく、本問解答のように、振動の様子を絵に描いて、実際の振動を目で見ているかのように考えるようにしてください。試験場で、覚えてきたことを再現するのではなく、問題文に記述されている状況に物理法則を適用して、試験会場でこそ、研究者の気分を味わいながら、物理を実践してみて頂きたいのです。
さて、本問は、ことし南アフリカでサッカーのワールド・カップが開催されるので、サッカー場をネタにしたのかも知れませんが、理系の受験生も新聞記事などに充分注意しておくべきだ、ということを申し上げたいと思います。
斜め方向のドップラー効果の問題は、本問のように、直線運動する物体の発する音をその直線上以外の所から観測する、というタイプと、円運動する物体の発する音を外から観測する、というタイプの
2種類あります。音源が直線運動する問題が出たので、来年は、音源が円運動する問題が要注意です。このタイプの問題では、円運動する物体の速さをvとして、観測者に向かう方向の速度成分 (は、物体の速度と観測者に向かう方向とのなす角)が時間変化することに注意します。物理の他分野でも、こういう感じで、入試問題の予測をして頂きたいと思います。
さて、日本人のアマチュア天文家により
2005年に発見された超新星が、実は連星の片方が恒星の寿命を迎えて超新星爆発をしたものであった、というニュースが最近伝えられました。連星というのは、2個の星がペアになって相互に影響し合いながら円運動している天体です。どうして、超新星爆発を起こした星が連星の片方だったとわかったのでしょうか?詳しい研究内容はわかりませんが、円運動する恒星の速度変化によるドップラー効果が検出されたのではないでしょうか?上記のが時間変化し、ドップラー効果による振動数のずれが時間変化すると、うなりの振動数も時間変化を起こし、連星から地球に到達する光の強度が時間変化するようになります。来年度の入試では、こうしたストーリーの問題が出題されそうな気がします。今までも、重力レンズ、宇宙ヨット、彗星の木星への衝突、小惑星の地球への衝突など、ニュースで伝えられる天体現象は、入試のテーマとして採り上げられてきました。
円運動する物体が起こすドップラー効果の問題を練習しておいて欲しい、ということもそうなのですが、科学関係のニュースにも充分目を光らせておいて頂きたいのです。科学関係のことがらが何かニュースに出る、ということは、そのニュースに関連した内容を研究テーマとしている研究者がいるということです。こちらをご覧の皆さんには、その研究者が入試問題を作るのであれば、どういう問題を作るか、ということを、ぜひお考え頂きたいと思います。ニュースなんて理系の受験生には関係ない、と、思ってしまう受験生は、残念ながら難関大学向きとは言えません。



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  1. 2010/05/21(金) 01:43:21|
  2. 東大物理'10年
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東大物理'10年前期[2]検討

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[2](解答はこちら) 東大ではキルヒホッフの法則を前面に採り上げる問題は珍しいので、試験会場で本問を目の前にしてため息をついた受験生が多かったのではないかと想像します。電気回路の問題は、慣れていれば、連立方程式を立てて解くだけのことなのですが、慣れていないと、本問のように単純な直列並列ではない回路で、電流をどうおくか、ループをどう見るか、といった基本的なところからまごつくことになりかねません。
大学によっては出題傾向に明らかな偏りがあって、過去問をよく研究しておくことが受験対策になるのですが、東大の場合には、入学してきた学生に弱点があったりすると、その弱点を調べる問題を出題しておこう、というようなことがあるのではないか、という気がします。あるいは、できる限りオリジナルな問題で受験生の生の実力を見よう、ということなのかも知れません。従って、過去問で頻出だからよく練習しておこう、過去問で見当たらないから無視しよう、という方針で準備をすると、試験会場で、入試準備が役に立たずに愕然とする、ということが往々にして起こり得ます。
解答では、設問ごとに連立方程式を立てて解いていますが、スイッチを開閉させたり、棒の固定を外したりするだけで回路そのものは問題を通して変わらないので、はじめから全ての回路要素を入れた連立方程式を立て、

 ・・・⑥
 ・・・⑦
を得ておいて、⑥式でとすればⅠ(2)の答えが出てきます。解答のⅡでは、として(1)の答えを求め、として(2)の答えを求めました。
もっとも、本問が回路方程式を解くだけの技術的な問題かと言うと、そういうわけではなく、Ⅱ
(2)で棒が等速運動することから棒に働く電磁力がゼロ、つまり、棒を流れる電流がゼロ、ということを見破る必要があり、物理的な考察も必要な問題です。試験時間が150分で理科2科目なので軽めの問題が多いのですが、技術的なことも要求しながら、物理的考察も要求する、というのが東大物理の特徴と言えます。東大制覇のためには、物理の理論的側面にばかり目を奪われるというのではなく、それなりに受験技巧的なもの、また、教科書に載っていることであれば一通り全般的に見ておく、という準備が必要です。かなり前ですが、過去には交流なども本格的に扱われたことがあります。時間の有効活用のためにムダなものはやらないということではなく、高校の範囲にあるものは基本常識として身につけておこう、という寛大な学習態度が求められていると考えてください。


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  1. 2010/05/18(火) 04:31:50|
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東大物理'10年前期[1]検討

東大物理'10年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 今年も東大の[1]は、昨年[1]と同様、力学の総合問題でした。昨年が単振動だったので今年は円運動、という感じですが、円運動だけでなく、衝突、運動量、エネルギー、摩擦、と、幅広く力学の内容が扱われています。かと言って、では来年は万有引力だろう、というほどには、東大の出題に一定の傾向が見られる、ということではなく、来年はどうなるかわかりません。昨年、今年と2年続けて、入試問題として頻出の内容が扱われてきましたが、過去には、特殊な事例を扱う問題も見られます。
東大の入試問題と言っても、本問では、運動方程式、円運動の加速度がになること、運動エネルギーと位置エネルギーの総和は、摩擦などの外力による仕事を受けなければ一定のまま変化しない、という力学的エネルギー保存則、運動量保存、反発係数の式、静止摩擦力は最大静止摩擦力以下であること、動摩擦力や最大静止摩擦力は垂直抗力に摩擦係数をかけたものになること、など、物理の教科書に書かれている基礎事項で解答を進めていくことができます。やや入試技巧的な知識ですが、円運動を続ける条件が、最高点での物体と軌道との接触の維持、つまり、最高点でであること、であること、も使いますが、これも、どの理工系大学を受けるのにも必要になる知識です。
昨年[3]など、やや教科書内容から離れた内容が出題される場合もありますが、問題文にきちんとした説明があり、特殊な入試技巧を使うわけではありません。
つまり、東大物理では、教科書を一通りしっかり理解して、標準的な問題集で各分野数十題も解いてあれば充分です。高難度の問題がないとは言えませんが、ほとんどの問題でレベルがそれほど高いというわけではありません。それにもかかわらず、入試の結果を見ると、合格者の出身高校は毎年同じような高校が並びます。いわゆる進学校では何か特別なことをやっているのだろう、と、白い目で見られるかも知れません。ですが、私の通っていた高校もいわゆる進学校の一つですが、学校の授業では入試対策と言えるようなことは何もやりませんでした。今ではどうかわかりませんが、難関大学を狙おうという受験生の皆さんには、ぜひ、「東大合格のためには特別な知識はいらない」ということを頭に入れておいて頂きたいと思います。
東大合格者の中には数学オリンピックなどの入賞者もいますが、そういう人もいる、というだけであって、数学オリンピックを目指すことが東大合格の条件、というわけではありません。甲子園で活躍する高校野球の選手でも、全員が将来、有名プロ選手になるようなスーパースターばかりというわけではなく、ほとんどの選手が、甲子園を目指して日々の練習で鍛えて上手になった普通の高校生です。そして、この日本を支えているのは、そうした日々の努力で仕事をこなしている「普通の」人たちです。

日本は狭い国土に一億人がひしめき、有力な地下資源もなく、広大な農地もなく、一億人が生活していくためには、農林水産業や鉱業や土木工事では無理です。どうしても、商工業や文化的産業でやっていくしかありません。しかしながら、環境対応自動車や
3次元テレビのような分野でも、最近、日本はアジア諸国に追いつかれ追い抜かれかねない状況にあります。こちらをご覧の皆さんには、好むと好まざるとにかかわらず、先進的な科学技術の開発の現場で活躍して頂かなくてはいけません。科学の進歩なんて、雲の上の出来事で自分には関係ないなどと思わずに、自分こそが日本の牽引者となって、科学の進歩に名を残すような大きな仕事をするんだ、という意欲に燃えて頂きたいと思います。
東大・東工大・京大・早慶をはじめとする難関大学で、そうした意欲的な技術者・研究者を数多く養成して欲しいと思う一方で、難関大学を狙うということは決して雲の上を狙うような特別なことではなく、それなりの努力は必要ですが、日々の高校の授業をきちんとこなしていくという当たり前のことで充分だ、ということも頭に入れておいて頂きたいと思います。今の自分の力では東大なんて無理だ、などと思うのは大きな錯覚です。本問は、きちんと基礎ができている受験生であれば解答可能な問題です。高校の授業をきちんとこなし、少し問題集がやってあれば、充分に東大の合格ラインに届きます。
現時点での高校物理教科書には「ゆとり教育」の弊害と言える大きなカリキュラム上の問題点があります。ですが、大学で専門的な勉強を続けていくのに必要な基礎知識が一通り網羅されています。様々な制約をかかえながらも執筆者がわかり易く物理の興味深い内容を次世代に伝えようとする情熱をひしと感じます。ぜひ、高級入試技巧の暗記に走ろう、などと思わずに、まずは、教科書の基礎事項からしっかりと勉強するようにしてください。それが本問のような問題を解けるようになる近道であり、東大合格の条件です。



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  1. 2010/05/16(日) 01:06:36|
  2. 東大物理'10年
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東工大数学'10年前期[4]検討

東工大数学'10年前期[4]検討

[4](解答はこちら) 今年の東工大は、この問題だけで決まったと言ってもよいのではないかと思います。実地でも、ほとんどの受験生が本問に大半の時間をかけたと思いますが、簡単な例から調べ始めて悪戦苦闘しながら発展させて行き、たとえ不十分解であっても大体のところを押さえてあれば合格できたと思います。ですが、入り口で堂々巡りになってしまうとか、放棄して本問を完全断念、ということになってしまうと、涙を飲むことになったのではないでしょうか。[1][2][3]の易しさを思うと、出題者も承知の上でのことだったかも知れません。
解答は、標準的な受験生の姿を思い浮かべながら悪戦苦闘して解答していますが、手慣れた受験生やプロの予備校講師であれば、解答のように実験しながら方向性を探るのではなく、最初から、が十分条件、が必要条件で、十分条件の範囲が必要条件の範囲に含まれるためにはどうすればよいか、と、考えるだろうと思います。その上で全体的な方針を立て、一気に結論に到達した上で、分母=
0のような特殊な場合を繕いつつ答案をまとめて行く、というように進むだろうと思います。
高校数学の基礎がしっかりできている受験生であれば、解答とは異なるアプローチであっても、時間をかけて試行錯誤すればそれなりに取り組めると思うので、ここでは、どうしたら、最初から「必要条件、十分条件」と着想できるか、ということを考えてみたいと思います。

一つには、数多くの入試問題に当たって、解法パターンのライブラリを充実させておく、ということが言えますが、他の科目の勉強も抱えている受験生ではそういうわけにも行かないでしょう。レベルの高い問題を要領よくうまく選び、実際に時間をかけて取り組めばよいのですが、どういう問題を選択し、どういう視点から問題を眺め、どういう解き方をしていればよいのか、ということを考えて頂く必要があります。
頭脳明晰な予備校講師だと、この問題を解説するとき、「この問題は、必要条件・十分条件の問題で、云々」と話し出して、鮮やかに解き進めて行くだろうと想像します。本問が、頻出パターンの問題であれば、しっかりその話を聞いて復習し自分のものにすればよいでしょう。ですが、本問は、頻出パターンというわけではなく、今後
100年くらいは類似問題は出ないだろうと感じるような問題で、こうやればできる、という話を聞いていたところで、標準的な受験生が実地に本問のような問題を初見で解けるとはとても思えません。
駆け出しの若い講師だと、本問のような問題の解説をするときに、説明があちこち飛んだり、自己矛盾に陥るようなことがあるのではないか、と、思います。私は、有名講師の鮮やかな解答に感心するよりも、そうした新米講師の話を、自分だったら、どういう説明の仕方を工夫し、どういう流れでどう理屈付けするだろうか、という問題意識を持ちながら聞いている方が、実戦的な学習になるのではないか、と、思うのです。講師が黒板を前に苦しみ出したりすれば、それこそ、その悪あがきの仕方そのものが、ことしの東工大合格の処方箋のようなものです。

では、日常の勉強でどういうことに注意して欲しいか、と、言えば、よく言われることですが、次のようなことだと思います。

・問題文の条件式を式変形する場合には、同値変形であるか、ということに絶えず注意を払う。
・問題文の条件に適当に数をあてはめて条件に適合する答えを見つけた場合には、問題文に対して十分条件となるものを調べただけなので、必要性のチェックをする、つまり、他にも、問題文の条件を満たす答えがあるのではないか、と、頭をめぐらせてみる。
・問題文の条件をあれこれいじっているうちに答えらしきものに行き着いた場合には、十分性をチェックする、つまり、答えらしきものが本当に答えになるのか、条件を満たすかどうかを確かめてみる。
といったことを、どんな問題においても、「意識する」ことです。
特に、本問のような
2次方程式・2次不等式の解を扱う問題、余事象を考える確率の問題、対偶を考える証明問題、除外点を有する軌跡や領域図示問題などでは充分に注意して頂きたいと思います。こうしたことは、日常の行動においても重要なことと言えます。これも、よく言われることですが、うまい話には裏がないか、詐欺師にダマされないように気をつける、センター試験準備は3日でOKというような安易な解決法は疑ってみる、といったことも同様なことです。大切なことは、意味不明な流行に流されずに、「論理的に」適正なことかどうか、絶えず神経を使う、ということです。
また、難問に取り組むときの着想の仕方ですが、
2点注意しておきたいと思います。一つは、ありきたりの発想ではうまく行かないだろうと覚悟すること、もう一つは、既に自分が獲得している知識の中で解けるはずと自分に言い聞かせること、です。2点で矛盾しているようですが、自分が通常取り組んでいる解答の流れではうまく行かないからと言って、数学の公式・定理や物理法則を踏み外した解法が存在するわけではない、ということです。ありきたりの発想でうまく行かないときは、例えば、本問解答のように、いろいろと実験をして何が問題の核心かと考えてみましょう。抽象的・一般的な問題では、個別の特定のことがらを調べると、問題の核心に迫ることができる場合があります。また、証明問題では、結論の方から逆にたどってみたり、結論の通りにならなければどういう不具合があるか(背理法の発想)を考えることにより道が開ける場合もあります。いつもと違う方向から眺めてみる、ということを試してみてください。
もちろん、自分が既に習得している解法では解けない、ということもあると思いますが、自分が持っている解法パターンでいろいろと試してみて、どうやってもうまく行かないという苦しみを味わっておくことが大切です。その苦しみを経ているからこそ、本ウェブサイトや参考書などで新たな解法を身につける場合に、新たな解法の有難味が身にしみてわかるのであって、苦しみが底にあるからこそ、新たな解法が頭脳の中に定着できるのです。受験生の実力が伸びるきっかけとなるのは、解けなかった悔しさ、模試でライバルに負けた悔しさ、こういうものです。この苦しみ・悔しさなくして、学校でいすに座ったまま人の話を聞いているだけで解法パターンが増えていくわけではありません。
自力で解く問題の選び方ですが、微積の計算練習であれば、計算時間の短縮が目標になるので、解法のわかっている問題で練習するのがよいでしょう。ですが、本問のような論理的に入り組んでいる問題に対処する力をつけるためには、解法のわかっていない問題で頭をひねるのでなければ意味がありません。高校の先生や予備校講師の中には、解法のわかっていない問題に取り組むことを時間のムダのように言う先生が多数いますが、テニスや将棋をうまくなりたければ、自分よりも実力の上の人と試合をしなければ実力の向上はあり得ません。勉強時間の割りに実力が向上しないと悩んでいる人は、解法の分かっている問題ばかりを解いていないか自問自答してみてください。既に解けるようになっている問題に取り組むばかりでは実力は向上しません。むしろ、解法のわかっていない問題に意欲的に挑戦することに快感を感じるように心がけて頂きたいのです。未知の解決法に挑戦することこそが、将来、皆さんが研究者・技術者として、最前線の科学技術の進歩にかかわることにつながる、と、考えてください。



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  1. 2010/05/14(金) 02:49:47|
  2. 東工大数学'10年
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東工大数学'10年前期[3]検討

東工大数学'10年前期[3]検討

[3](解答はこちら) もともと東工大では、確率として頭をひねるような難問は、あまり見かけないのですが、それにしても、本問はセンター試験よりも易しい問題なので驚きました。逆に、試験場では何か裏があるのかと悩んでしまうかも知れません。
ことしは、
慶大理工[2]もとても易しいのですが、文系大学では、昨年の一橋大09年前期[5]など高難度の問題が出ています。本年早大理工[5]も難問です。早大理工は昔からレベルの高い確率の問題をよく出題しているので、その流れに乗っていると思いますが、本問などで感じるのは、実際の入試で理系の確率の出来が良くないのではないか、と、言うことです。個人的にも、確率を苦手にする受験生が増えているような印象を受けます。
最近の受験生を見ていて感じるのは、専門指向が強過ぎて、自分が目指すものと少しでも方向性が違うと思い込むと
(実際には必要不可欠なことであるのに)無視を決め込もうとする傾向があることです。確率の問題を解く上で必要な読解力でさえ不要としてしまっていないか、と感じます。
入試問題の出題者が、どうせ確率は難問を出すと出来が悪いので易しい問題にしよう、と、思ってしまえば、それまでなのですが、私は、出題者には、今年の早大理工のように受験生の実力差のつく問題として確率の問題を選ぶようにして頂きたい、と思うのです。
受験生の将来を考えるとき、計算技巧のようなものはハンドブックでも引けばすぐに調べがつきます。計算速度はコンピュータに任せればよいのです。研究者・技術者として重要なことは、計算能力などの博学な専門知識ではなく、社会全般にわたる幅広い識見なのではないかと思うのです。幅広い識見・素養を磨く上でも、文章を正しく読み書きし、その意味を読解できる能力は必要不可欠です。数学の入試問題では、そうした能力を測る問題は、やはり、確率分野の問題だと思うのです。
東工大を志望する受験生は、本問を見て東工大では確率の難問はなし、と、決めつけてしまわないで、上記の一橋大や早大理工の問題にもチャレンジして頂きたいと思います。また、読解力をつけるために、センター試験でも必須となる現代国語の授業も大切にして頂きたいし、地歴公民もしっかり勉強して頂きたいと思います。遠回りに見えますが、それが、実は問題解決能力を高める秘薬であり、合格の秘訣なのです。
ケプラーが天体運動の観測データからケプラーの
3法則を導き出したり、そこからニュートンがさらに運動の3法則を導き出したり、現代物理学が、良質の鉄鋼を得るための黒体放射スペクトルの研究から始まったりすることには、社会的な必然性があるのです。それが理解できれば、数学・物理の基礎事項の重要度を見直すことができると思います。


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  1. 2010/05/13(木) 03:37:17|
  2. 東工大数学'10年
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東工大数学'10年前期[2]検討

東工大数学'10年前期[2]検討

[2](解答はこちら) 本問は、数学Bのニュートン法を背景とした問題です。
ニュートン法は、方程式の解を
cとするとき、以下のようにしてcの近似値を数値計算で求められる、というものです。
を許容誤差として、

(i) として、適当な初期値をとる。
(ii) に対して、としてを取り、が満たされなければ、k1つ増やして、(ii)の操作を繰り返す。
(iii) 最終的なの値をcの近似値とする。
実数aの平方根を求める場合には、とすると、の解がですが、より、(ii)は、
となり、この操作を、得られたを次の回のとしてが十分に小さくなるまで繰り返します。コンピューターで計算するときは、数値を有限桁で打ち切ることになるので、整数化するという意味で、右辺にガウス記号をつけて、このxとしたもの
が本問の()です。
本問によると、
aの値によっては、操作(ii)でうまくxの値を求めることができずに、近似値が求められないことがあり得る、ということになります。
()としてを求めることを考えてみます。初期値をとして、



これで、となり、の近似値として、が得られます。nを整数として、の形に表せない整数aであれば、()が解を持つので、何回か繰り返すうちに、いずれ、()の解に行き着きます。
ところが、,初期値をとすると、





この後、14141413を繰り返すことになります。本問の結果によると、 のときには()が解を持たないので、にはなり得ず、を繰り返し処理の終了条件にしてしまうと無限ループに陥ることになります。
本問は、以上のことについて知識がなくても誘導通りに進めば解答できますが、パソコンで
C言語やJava言語を用いてプログラミングできる方は、数学Bの教科書に載っている程度のことでも問題意識を持っていれば、難関大の入試で役立つことがあると思います。
蛇足ですが、高校教科書で実用価値のない
BASIC言語を使うのはいい加減にやめるべき(アルゴリズム、フロー・チャートのみで充分)だと個人的に思うのですが、教育関係者の方はどうお考えなのでしょうか?


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  1. 2010/05/12(水) 01:30:31|
  2. 東工大数学'10年
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東工大数学'10年前期[1]検討

東工大数学'10年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 本年の東工大前期は、[4]以外は易しく、[1][2][3]で確実に得点しておく必要があります。
本問解答
(1)では、わざわざ半角を持ち出してやっていますが、のまま、増減を考える方がずっとラクにすみます。
より、は、においては減少、において増加。
より、において、は唯一の解aを持つ。
として片付きます。また、ここから、においてにおいてであることも容易にわかります。
(3)では、よりただちにが言えます。
(2)なしで(3)を、と言われると辛いかも知れませんが、以前の東工大なら、(1)(2)もなく、いきなり、
の大小を比較せよ。
という問題文だっただろうと思います。だとしても、の増減を調べ、における解をaとおいて定積分をaを用いて表す、という流れは変わりません。本問の誘導を自力で思いつけるようにしたいものです。
本問は、計算ミスさえしなければ、どう回り道をしたところで解答時間に大きな違いが出る、というほどのことはありませんが、
[4]になるべく時間が割けるように、ご覧の皆さんは、できるだけ工夫して解答するようにしてください。


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  1. 2010/05/10(月) 03:03:13|
  2. 東工大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[6]検討

東大理系数学'10年前期[6]検討

[6](解答はこちら) 本問は、ほぼ、1次結合と内積、相似比だけで解答できてしまうので、特殊な受験技巧を使うようなところはありません。解答では無理矢理にメネラウスの定理も使いましたが、使わなくても解答可能です。最大値も2次関数なので基本的と言えるでしょう。特別な勉強をしていなかった受験生でもコツコツやっていけば最終解答にたどりつくことができると思います。ですが、(3)まで正解できた受験生は極めて少数ではないでしょうか。
東大理系では、息の長い思考が要求される問題は、毎年出題されていますが、本問のように、やることがはっきりしていて、手間のかかる処理だけが延々と続く、というタイプの問題は珍しいと言えます。強いて言えば、面倒な計算をさせられる微積の問題はあり得ますが、これは計算能力を見よう、ということでしょう。
本問については、空間ベクトルの問題なので仕方がないと言うべきか、あるいは、忍耐力のない学生に見かねた出題者が出題方針を変えたのか、わかりませんが、今年の東大受験生は大変だっただろうと思います。本問の
(2)(3)に取り組んで膨大な時間をかけたのにもかかわらずミスに終わった受験生が涙を飲み、さっさと放棄して他の問題に向かった受験生がガッツ・ポーズする、という構図は、素直に受け入れられるものではない気がします。
他の国立大学では、面倒な処理をこなせる持久力を見よう、という問題も見かけますが、合格者に違った能力を要求しているのだろうと好意的に受け取ることもできます。ですが、東大理系では、もう少し工夫した出題を考えてもらえないものか、と、感じます。言うは易く実現は困難ですが、解いていて楽しくなり、それでいて奥深さがあって、数学の思考力も要求される、という、全国の受験生が東大理系を目指してみよう、という気持ちを奮い立たせてくれるような、
'08年前期[5]のような問題が理想です。空間図形であれば、少々難度の高い問題ですが、'96年前期[3]'90年前期[3]のような問題を考案して頂くように願っています。


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  1. 2010/05/08(土) 23:29:06|
  2. 東大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[5]検討

東大理系数学'10年前期[5]検討

[5](解答はこちら) 本問は、上手に解答しようと思えば、より鮮やかな解法を工夫することが可能な問題ですが、私は、こうした問題は、多少時間をかけても安全な手順で確実に解いていく方が実戦的だと思います。
解答では、シラミつぶしで調べる
k6通りに限って調べる、という方針で書いてありますが、という制約の中でに限られる、という方針で進めば、2通りですみます(解答中の③式を見ながら各自工夫してみてください)
試験会場で、
2通りの場合分けですむ解法を思いつければそれで解答すればよいし、6通りの場合分けが必要になってしまってもそれで解答すればよいのです。6通りを2通りですまないか、と深追いしてしまうと、6通りの場合分けで解答する時間の方が短かった、ということになりかねません。
ただ、もし、
50通りを調べなければいけないのだとしたら、これを10通り程度にできないか、工夫する必要はあるでしょう。
整数問題では、こうした見極めが重要で、日常的な学習の中で、この解法で解くとどれくらいの時間がかかるか、また、解法を思いつくのにどれくらいの時間がかかるか、という問題意識を持つようにして、模試を受けるときなどに試してみるようにしてください。
本問は、
[3]ほどではありませんが、問題文を見るなり即、整数問題と判断できるわけではなく、問題文を読解して何を考えるべきか、というところから始める必要があります。数学の入試問題は物理の入試問題に比べれば遙かに短文ですが、俳句や詩を読んで情景を思い浮かべるのと共通するイメージ力が必要で、東大数学では特に言えることです。理工系難関大を目指す諸氏は、国語の授業中に、俳句など関係ないと思い込んで居眠りをしてしまう、ということがないようにしてください。
本問はまた、より鮮やかな解法にこだわり過ぎたり、短時間であっさりと処理しようと焦ったりすると、題意の解釈に想定以上の多大な時間をかけてしまう、という失敗をしかねない問題だと言うこともできます。試験会場で、多少ヘタでも、多少時間がかかっても、制限時間内に合格ラインに届く点数が取れればよい、という割り切りをすることは、受験生が、将来、技術開発者・研究者として、限られた時間的予算的制約を受けて科学の第一線で活躍する上でも大切なことです。



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  1. 2010/05/07(金) 10:27:51|
  2. 東大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[4]検討

東大理系数学'10年前期[4]検討

[4](解答はこちら) 本問は、という形の積分計算に関する技巧を背景とした問題です。
本年早大理工[4]では、とおいて、
より、
 (C:積分定数)
として積分を行っていますが、大学入試では、を利用して、以下のように部分積分を促す誘導をよく見かけます。


 (C:積分定数)
ですが、もう一つ、という置換積分をする方法が知られています。
より、
 (C:積分定数)
であれば簡単ですが、の場合は少々工夫をして、
より、
となるので、
 (ここがみそです)




として、図形的意味を確認しながら積分計算をしているのが本問です。

さて、頭を悩ます難問が続出の東大理系でも、いわゆる受験技巧を駆使するような問題が毎年
12題出題されています。2010年度では、本問がそうした問題に当たります。解答の(2)では、技巧に走らず素直な考え方でやってありますが、うまくやるのであれば、以下のような、逆関数を考える解法の方が容易に面積を求めることができます。
解答の図で、の交点を
Qとすると、(1)より、なので、より、
 ・・・①
曲線Cの範囲にある部分をとします。
問題となっている面積、つまり、と線分とで囲まれる図形の面積
Sは、と線分で囲まれる部分の面積をとして、①より、
となり、と直線,線分に囲まれた部分の面積に等しくなります。よって、曲線Cを与える関数を,この逆関数をとして、面積Sは、y方向の定積分:
で与えられます。解答中の⑤式:を利用すれば、より、
となります。

解答で書いた、
x方向の定積分のままで置換積分を行う考え方は、やや趣を異にしますが、円筒分割によるy軸の回りの回転体の公式の証明などに出てくる考え方と共通のものです。
例えば、東大
89[5]

とする。のグラフのの部分と
x軸とで囲まれた図形をy軸のまわりに回転させてできる立体の体積Vは、で与えられることを示し、この値を求めよ。

解答 たくさんの円筒に分割して積分することを図形的に説明することも可能ですが、ここでは、計算でやってみます。
においてから一旦増加して
()で極大値をとりまで減少する関数です。増加関数の部分の逆関数を,減少関数の部分の逆関数をとすると、
に対して、のときのときです。
各定義域において,また、に注意してください。

y軸の回りの回転体の体積なので、普通は外側から内側を引き、y方向に積分して、
とするわけですが、この問題で与えられているでは逆関数が求められないので、と置換して積分を行います。
より、
の積分では、yのとき、x
の積分では、
yのとき、x
ここで部分積分法を用いて、
となります。この結果を利用して、
とおくと、
xのとき、t
......[]


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  1. 2010/05/03(月) 23:14:11|
  2. 東大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[3]検討

東大理系数学'10年前期[3]検討

[3](解答はこちら) (1)を割り切ってパスし、(2)(3)だけを解答する、ということにすれば難問ではないし、合格のためにはその方が賢明だと思います。何と言っても(1)の問題文の意味するところが難解です。出題者がヒントのつもりで問題文に書いていることが、受験生にとっては迷惑なことになっているのですが、あらかじめ入試問題を多数の人にモニターしてもらうわけにもいかないので、こういうことは起こり得ると考えておく方が良さそうです。
(1)も以下の過去問の経験があれば、最初の1回の前後の関係を調べるというアイデアは樹形図から思いつけないことはないと思います。ですが、何十年分も過去問を見ておくのは普通の受験生では無理だと思います。また、日常生活から数学以外の課題に対しても、常識的な発想にとらわれずに奇抜なアイデアを思い浮かべる、ということをやっている受験生でないと、厳しいでしょう。

さて、解答に書いた東大
84[5]は以下の問題です。本問(2)(3)だけのときと比べると、こちらの方がやや難しい問題です。

各世代ごとに、各個体が、他の個体とは独立に、確率
p1個、確率2個の新しい個体を次の世代に残し、それ自身は消滅する細胞がある。いま、第0世代に1個であった細胞が、第n世代にm個となる確率を、と書くことにしよう。nを自然数とするとき、を求めよ。

解答 (i) のとき、のとき
(ii) のとき、
(iii) のとき
0世代から確率pで細胞1(0世代と同じ状況)になり、以降世代で細胞が1個になる確率は,一旦細胞が2個以上になってしまえば、細胞1個の状況には戻らないので、
これより、は、初項,公比pの等比数列で、
......[]
0世代から確率pで細胞1(0世代と同じ状況)になり、以降世代で細胞が2個になる確率は,第0世代から確率で細胞が2個になってしまうと、以降世代では、2個の細胞について、確率p1個の細胞から1個の細胞が生じるだけになるので、
で割って、
これより、の階差数列が,と見て、より、
......[]
0世代で細胞が2個あるとして、第n世代で細胞が3個になる確率をとします。
0世代で細胞が1個の状況で、第0世代から確率pで細胞1個になり、以降世代で細胞が3個になる確率は,第0世代から確率で細胞が2個になってしまうと、以降世代で細胞が3個になる確率はになるので、
 ・・・①
0世代で細胞が2個あるとき、確率で細胞は2個のままになり、以降世代で細胞が3個になる確率は,第0世代から確率で細胞が3個になってしまうと、以降世代では、3個の細胞について、確率p1個の細胞から1個の細胞が生じるだけになるので、
で割って、
これより、の階差数列が,と見て、より、

①に代入して、
で割って、
これより、の階差数列が,と見て、より、
......[]

東大90年前期[6]は以下の問題です。こちらは、本問(2)(3)と同程度です。

一つのサイコロを続けて投げて、最初の
n回に出た目の数をその順序のまま小数点以下に並べてできる実数をとおく。たとえば、出た目の数が526,・・・であれば、,・・・である。実数aに対してとなる確率をとおく。
(1) を求めよ。
(2) となるのはaがどのような範囲にあるときか。

解答(1) です。
などとなれば、となるわけですが、3回ごとに同じことが繰り返されることに着目します。
kを自然数として、サイコロを回投げたときにとなる確率を考えます。
サイコロを回投げてとなる
(確率)のは、1回目に1が出て(確率)、かつ、2回目に1が出る(確率)か、または、2が出て、なおかつ、2回目に2が出た(確率)ときは、3回目に12が出る(確率)か、または、3が出たときで、3回目に3が出た(確率)ときには、残る回でとなる(確率)ときです。よって、

これより、は、初項,公比の等比数列で、

のときより、
......[]
(2) 1回目に123が出る確率はです。このときにn回サイコロを投げて題意のようにしてできる実数は、1回目に3が出て以後6が出続けてできる実数以下です。また、サイコロの目は16しかないので、より大きく、1回目に4が出て以後1が出続けてできる実数未満の実数ができることはありません。よって、となるaは、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/05/02(日) 23:46:03|
  2. 東大数学'10年
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