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東大理系数学'10年前期[2]検討

東大理系数学'10年前期[2]検討

[2](解答はこちら) 解答にも書きましたが、07年前期[6]をやや易しくした問題です。難解な07年前期[6]と比べると、本問(1)のアイデアは、グラフを描き補助線をいろいろと引いてみれば試験会場でも気づけるだろうと思います。もし、気づけない、と、おっしゃる方がいるのであれば、漠然と現状肯定の生活で妥協してしまわないで、身の回りのことから細かい工夫を凝らすことを考えてみてください。
忘れ物が多い方は、忘れ物チェック・シートを用意して外出する前にチェックするようにしましょう。
興奮しやすく慌てふためいてミスを乱発する方は、驚くようなことが起きたときに一度大きく深呼吸するようにしましょう。
待ち合わせの時刻を守れない方は、日常的な行動に要する時間を調べて、待ち合わせ時刻から逆算して分刻みでスケジューリングをしてみましょう。
数学の解法パターンに習熟するだけでなく、こうした日々の工夫をする心がけが、試験会場でも、いろいろと試行錯誤し、アイデアをひねり出す意欲につながるはずです。
本問
(2)のポイントは、解答中の不等式⑤:
で、とした式を辺々加え合わせることにあります。隣接する項の和の中に打ち消し合うものがあって、和の先頭と末尾が生き残り、結果の形が得られる、という技巧を使います。また、本問では、(1)で得られた形を単純に加え合わせるのではなく、目的の形ができるように式変形しなければいけない、というところが壁になっています。こうした点は、91年前期[6]や、物理08年前期[3]などにも見られます。一ひねりで済まずに、もう一ひねり、さらに二ひねりする、という粘り強さが要求されます。ちょっと行き詰まった、というだけで諦めてしまわずに、何とか解決策を見出せないものか、こちらがだめならあちら、あちらもだめならさらにその向こう、という感じでどこまでも突き詰めていく気持ちが必要です。ここも、数学の難問に次から次へと挑戦していく、という数学的技巧の側面を磨くだけでなく、日常生活の中で不撓不屈の精神を鍛えましょう。


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  1. 2010/04/27(火) 16:06:12|
  2. 東大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[1]検討

東大理系数学'10年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 2変数関数の最大・最小問題の解法には、以下のようなものがあります。
(i) 2文字の2次式の場合には、1文字ずつ平方完成します。
(abは実数)の最小値を求めるのであれば、まずaについて平方完成し、残った部分はbについて平方完成します。


なので、Pは、,かつ、,つまり、かつのときに最小値3をとります。

(ii) 分母・分子が同次式の分数の形をしている場合には1変数関数に直せます。
2変数の分数でも、分母・分子が同次で、次数が一致している場合には、2変数の比を新たに変数に取り直すと1変数の関数に直すことができます。
例えば、早大理工
01[2]

Aは中心O,半径1の円の内部およびその周上を動き、点Pは中心,半径1の円の内部およびその周上を動くとする。このとき、とおく。次の問いに答えよ。
(1) 直線APの傾きをmとする。kmを用いて表せ。
(2) kの値のとり得る範囲を求めよ。

解答 kについて、分母、分子とも1次式です。(1)は、2変数の比を考えるように促すヒントです。
(1) にはなり得ないので、直線BPの傾き: (直線の方程式を参照)より、kの式の分母・分子をで割って、
......[]
(2) 2円の中心Oの中点Mです。直線APをいろいろと動かしてみると、直線APMを通過してかつ、2円に接するときにmが最大・最小となることがわかります。このとき、APは接点になり、として、
より、となります。従って、mのとりうる値の範囲は、
 ・・・①
(1)の結果より、
このグラフは、を漸近線とする双曲線です。①の範囲において
kmの増加関数で、
......[]
次の東工大99[1]も同様の発想で解答できます。

正の実数abpに対して、

の大小関係を調べよ。


解答 ab2変数関数ですが、分母・分子ともp次の同次式なので、 ()1変数関数と考えることができます。の分母・分子をで割って、
として、
 (商の微分法を参照)
(a) のとき、より、において最大で、より、 (不等号の等号はのとき)
(b) のとき、より、において最小で、より、 (不等号の等号はのとき)
(c) のとき、
のときのときのときなので、(a)(b)(c)より、
またはのときかつのときかつのとき
......[]

(iii) 1文字を固定して他方の文字を変化させ、最大最小を固定した文字の関数として求めておき、はじめに固定していた文字をさらに動かして最大最小を求めます。
例えば、東大83[3]では、

平面上に点Oを中心とする半径1の円Cがある。また、この平面上のOと異なる点Aを通って直線OAと垂直な空間直線lがあり、平面とのなす角がである。このとき、円Cと直線lの間の最短距離を、2OA間の距離aで表せ。

解答 点Oを原点として、直線OAの方向にx軸、平面上に直線OAと垂直な方向にy軸、この平面と垂直にz軸をとります。円周C上の点Pの座標はとして、と表せます。直線lの方向ベクトルをとそます。
注.直線lの方向ベクトルは、の複号の取り方で4通りの可能性がありますが、どれをとっても結果に変わりはありません。
直線lAを通るので、l上の点Qの座標は、tを実数として、
 (空間ベクトルを参照)
と表せます。



 (という条件付きなら(i)の場合になりますが、ということもあり得るので、のときに最小値をとるとは限りません)
tq 2変数関数になりますが、まずq を固定してt2次関数と見ると、のときに最小となり、このとき、
今度はq を動かすと、これをに関する2次関数と見ることができて、より、
(a) のとき、のときに最小値
(b) のとき、のときに最小値
となります。よって、円Cと直線lの間の最短距離は、
のときのとき
......[]
京大99年後期[2]では、

abgを満たすものとする。このとき、の最大値を求めよ。

解答 abg3変数がありますが、という関係があるので実質的に2変数です。また、3変数とも、です。
ここで、g を固定してを動かすと、より、
 (不等号の等号はのときに成立)
とおくと、
においては、のときのときより、の最大値は (関数の増減を参照)で、の最大値も、のときに ......[]


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  1. 2010/04/26(月) 15:40:45|
  2. 東大数学'10年
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京大物理'10年[3]

京大物理'10[3]

次の文を読んで、  には適した式または数値を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1~問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、一端に振動板(スピーカー)を取り付けた円筒形の透明な容器に、ふたをして空気を密閉し、水平に置いた。ふたは、容器内の気圧が外気圧と等しくなるように水平方向(1x軸方向)に動くが、音波によって振動することはないとする。また、この容器の内壁には、はじめ、軽い粉が水平方向に一様に薄く置かれている。容器内の空気は理想気体であるとする。
まず、容器内の空気の絶対温度をにした。このとき、気柱の長さ
(振動板からふたまでの距離)になった。この状態で、振動板から単一振動数の音を発し、その振動数を変化させていったところ、振動数がfのとき、図1に示すように容器内の3ヶ所(うち1ヶ所は振動板近傍)に等間隔に粉が集まり、気柱が共鳴を起こしていることがわかった。なお、図1x軸は、気柱の左端を原点()とした気柱の水平方向の座標軸であり、目盛りはの間隔で付けてある。

1 粉の集まりの中心の位置(振動板の近傍の集まりについては、振動板の位置)は、3ヶ所とも共鳴の定常波の腹の位置である可能性と、3ヶ所とも節の位置である可能性がある。また、この気柱の右端のふたは固定端であると考えてよいとする。気柱に生じた定常波による、ある時刻における各xでの空気の変位yを、解答用紙のグラフに記入せよ。なお、グラフ中の破線は、その時刻における腹の位置での空気の変位を示す。空気の変位yx軸の正の向きを正とする。

気柱の共鳴音波の波長および気柱内の音速は、fを用いて、それぞれ あ  い と表される。なお、この気柱が共鳴を起こす最も低い振動数はfを用いて う と表される。
気柱に定常波がある場合の、気柱の各点での空気の変位と空気の密度との間の関係を考えよう。定常波がない場合に、位置
x (は正の微小量)の間の筒状の領域を筒領域Ⅰと呼ぶ(2参照)。定常波がある場合に、位置xにおける空気の変位をy,位置における空気の変位をとすると、筒領域Ⅰ内にあった空気は位置 え  お の間の筒領域Ⅱに移動する。したがって、この2つの筒領域の空気の密度の比は、を用いて
 か 
と表される。したがって、問1のグラフの曲線の{き:① yが最大 ② yが最小 ③ 傾きが最大 ④ 傾きが最小}の位置xが空気の密度が最小になる位置である。

2 問1のグラフのx軸上に、問1で考えた時刻における空気の密度が最大となる位置のすべてに○印を、空気の密度が最小となるすべてに×印を記入せよ。ただし、気柱の端点は除く。

次に、振動数fの音を振動板から発しながら、この容器内の空気の絶対温度をから上げていくと、容器のふたが水平方向に動いていき、気柱の長さがになった。このとき、気柱に再び共鳴が起こり、こんどは容器内の4ヶ所(うち1ヶ所は振動板近傍)に等間隔に粉が集まった。このときの、気柱の共鳴音波の波長は、を用いて く と表される。また、容器内の空気の絶対温度を用いて表すと け である。
仮に、空気中の音速が温度によらず一定であれば、
2つの波長は等しいので、 こ (数値)であり、絶対温度を用いて さ と表される。
しかし、実際には、空気中の音速は温度によって変化し、絶対温度
Tにおける音速V
 ・・・・・・(1)
と表される。およびbは正の定数である。温度が高くなると音速は大きくなるので、比は、音速が一定の場合の値 こ {し:① より大きくなる ② と同じである ③ より小さくなる}

3 上の実験における測定値fのみを用いて、式(1)の定数bを表せ。ただし、導出の過程も示せ。

解答 東大10[3]と同じく、クントの実験の問題です。節・腹の考え方は、問1の問題文中で指定されています。この指定に即して考えます。

1 粉の集まりの位置3ヶ所が腹になります。ふたの位置(固定端)と腹と腹の中間点で節になります。
ある時刻における各xでの空気の変位yのグラフは右図のようになります。
注.右図とx軸に関して対称なグラフでもOKです。ただし、問2の答が違ってきます。

() 気柱の長さ波長倍に相当します。つまり、,よって、
......[]
() 波の公式より、
......[]
() 共鳴を起こす最も低い振動数とは、基本振動数のことです。基本振動では、右端が固定端で節、左端が腹になるので、波長より、
......[]
() 位置xにあった空気分子は、位置xからx軸正方向にyだけ変位しているので、
......[]
() 位置にあった空気分子は、位置からx軸正方向にだけ変位しているので、
......[]
() 筒領域Ⅰ内にあった空気の質量mとして、定常波がないときの筒領域Ⅰの体積なので、その密度
定常波があるときの筒領域Ⅱの体積なので、その密度
......[]
() ()の結果より、空気の密度が最小になる位置は、が最大になる位置です。つまり、問1のグラフの接線の傾きが最大になる位置です。
......[]

2 空気の密度が最大となる位置は、が最小になる位置で、問1のグラフの接線の傾きが負であってかつその絶対値が最大となる位置です。空気の密度が最小になる位置は、グラフの接線の傾きが正であってかつ最大となる位置です。よって、空気の密度が最大・最小になる位置は右図の○と×。
注.問1で右図を反転させたグラフを描いた場合には、○と×の位置が入れ替わります。

() 絶対温度になったとき、振動板位置を含めて4ヶ所が腹、ふたの位置が節なので、気柱の長さに相当し、
......[]
() 絶対温度からに変化するまでの間、ふたに働く力のつり合いが成立しているので、容器内の気体は定圧変化をします。シャルルの法則より、
......[]
() ()の結果より、絶対温度のときの音速は、
のときなので、()()の結果を用いて、
......[]
() ()()の結果より、
......[]
() のときにとなるのであれば、であり、

......[]

3 (1)式でのときより、
 ・・・(2)
(1)式でのときより、
 ・・・(3)
(2)(3)より、
......[]
(2)
に代入すると、
......[]


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  1. 2010/04/19(月) 10:25:12|
  2. 京大物理'10年
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京大物理'10年[2]

京大物理'10[2]

以下の(1)(2)  には適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1~問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

(1) 1(a)に示すように、xyz空間に電場が加えられている。この電場は、図1(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさの電場が、次の半周期にはy軸の負の向きに大きさの電場が加えられる。加えられる電場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ荷電粒子Pが、時刻tで原点()にある。この粒子Pは、y軸方向の電場によって加速度運動をするが、この運動のようすはで粒子Pに与える初速度によって異なる。重力の影響は無視できるとする。

(1a) において粒子Pは原点に静止しているものとする。のときには、粒子Py軸の正の向きに加速される。での粒子Pの速度のy成分と座標yはそれぞれ イ  ロ で表される。のときには、粒子Pは、での速度のy成分 イ と座標 ロ を初期値としてy軸の負の向きに加速される。のとき、粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数として表すと ハ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。それらの結果から、 ()での粒子Pの速度のy成分は0であるが、粒子Pは時間の経過とともに原点から離れていくことがわかる。

1 以上の結果をもとに、における粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中にはにおける速度のy成分の値を記入せよ。また、における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中ににおける座標yの値を記入する必要はない。

(1b) において、粒子Pの速度のx成分z成分として、速度のy成分を適切な値にすれば、時間が経過しても粒子Pが原点から遠く離れていかないようにすることができる。そのとき、およびでの粒子Pの座標yがともにになり、またでの速度のy成分のときと同じ値である。この条件は、での粒子Pの速度のy成分 ニ の場合に満たされる。このとき、における粒子Pの速度のy成分は- ニ となる。
のときには、粒子Pでの速度と座標を初期値としてy軸の負の向きに加速される。のときの粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数として表すと ホ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。

2 以上の結果をもとに、における粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中にはにおける速度のy成分の値を記入せよ。また、における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中ににおける座標yの値を記入する必要はない。

(2) 2(a)に示すように、xyz空間に電場または磁場が加えられる。これらの電場と磁場は、図2(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさの電場のみが、次の半周期にはz軸の正の向きに磁束密度の大きさの磁場のみが加えられる。加えられる電場や磁場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ粒子Pで原点()にある。
最初に、のときの粒子Pの運動が(1b)の場合と同じになるように、での粒子Pの速度のx成分z成分として、速度のy成分 ニ とする。
一方、のときには、磁場の影響を受けて大きさが ヘ のローレンツ力が粒子
Pに作用する。このため、粒子Pxy平面内で円運動を始める。この円運動の中心はx軸上にあり、そのx座標は ト で与えられる。このとき、円運動の半径は磁束密度の大きさに応じて変化するが、の間に粒子Pが運動する軌跡の長さは チ となり、磁束密度の大きさによらない。
いま、磁束密度の大きさ リ に選ぶと、粒子
Pは、の間にxy平面内で円軌道を半周した後、において再びのときと同じ速度のy成分 ニ と座標をもつようにすることができる。このとき、粒子Px座標は ヌ となる。それ以降の ()のときには、粒子Pは、y軸方向にはのときと同じ運動を行い、x軸方向には原点から離れていく。

3 以上の結果をもとに、における粒子Pxy平面内での運動の軌跡を描け。軌跡には、粒子Pの進む向きを示す矢印を付けよ。また、粒子Pにおけるy座標とにおけるx座標の値を記入せよ。

解答 電磁気の基本と、等加速度運動、円運動との融合問題です。以下の問1,問2では、速度のy成分だけでなくy座標についても計算式を求めた上でグラフを書いていますが、実戦的には、計算なしで感覚的にグラフを描きたいところです。
細かいことですが、問
2問題文中の「グラフ中ににおける座標yの値を記入する必要はない。」のは、問題文中でと指定されているので、の間違いではないかと思われます。
()が何をすれば良いのか、少々悩むかも知れません。円運動の半周の長さ()2通りに表されることを利用します。

(1)(1a)()において、 y軸正方向の電場電荷qをもつ粒子Pに、y軸正方向に大きさを及ぼします(電界を参照)。粒子P加速度aとして、運動方程式
 (よって、粒子Pの運動は等加速度運動)
等加速度運動の公式より、における粒子P速度y成分は、
......[]
において、速度y成分時刻tの関数として表すと、
 ・・・①
y座標を時刻tの関数として表すと、
 ・・・②

() ②より、における粒子のy座標は、
......[]

() においては、電場の向きが逆になり、加速度となるので、粒子P時刻tにおける速度y成分は、
......[] ・・・③
時刻tにおけるy座標は、


 ・・・④
これより、において、です。

1 における-t グラフは、を結ぶ線分です。における-t グラフは、を結ぶ線分です。以後、 ()における-tのグラフは、におけるグラフの繰り返しになります。
におけるy-t グラフは、を頂点とする下に凸な放物線、におけるy-t グラフは、を頂点とする上に凸な放物線です。以後、におけるy-t グラフは、におけるグラフを平行移動したグラフになります。における両グラフを図示すると、右図実線。
(1b)() における速度y成分をとして、時刻t ()におけるy座標は、

におけるy座標になるとして、
......[]
において、となるので、このとき、における粒子P速度y成分について、
より、におけるy座標も、問題文にあるように、
となります。

() における速度y成分は、加速度となるので、
......[]

2 における速度y成分がになると、における-t グラフは、問1-t グラフを軸負方向にだけ平行移動したグラフになります。また、
 ()

 ()
以後、 ()におけるy-t グラフは、におけるグラフの繰り返しになります。
における両グラフを図示すると、右図実線。

(2)() において粒子が受けるローレンツ力の大きさは、
......[]

() 粒子には中心方向のローレンツ力のみ働き、円の接線の方向にはが働かないので、粒子の運動は等速円運動です。円運動の半径rとして、粒子の運動方程式は、

円運動の中心のx座標rに等しく、 ......[]

() 一定の速さ時間運動するので、軌跡の長さは、
......[]

() 時間で粒子が半周するので()の結果はに等しく、
......[]

() 円軌道を半周してとなったときのx座標は、
......[]

3 なので、において、粒子は、原点から一旦y軸の負側に移動し、で反転して時刻に原点に戻り、においては、を中心とし半径の円周のの部分を半周し、時刻に到達します。以後、x軸方向に原点から離れて行きながら、y軸方向にはにおける運動を繰り返します。時刻におけるy座標です。軌跡は右図実線。


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  1. 2010/04/11(日) 23:35:01|
  2. 京大物理'10年
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京大物理'10年[1]

京大物理'10[1]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、水平な床の上に質量Mの台車(全長)が置かれている。台車には中央部に支柱によって支持された水平な棒が取り付けられている。その水平な棒の中央から大きさが無視できる質量mの小球(質点)が、長さhのひもでつるされている。支柱と棒とひもの質量は無視できる。小球は最下点(ひもと水平面とのなす角が)で台車と滑らかに接する。台車と小球の間の摩擦は無視できる。以下では、小球は図1中のxy平面(鉛直平面)内で運動するものとする。台車は床と離れることなく、x方向に運動するものとする。台車には軽く薄い壁C (質量と厚さが無視できる)が取り付けられている。小球と壁Cのはね返り係数(反発係数)eとする。重力加速度の大きさをgとする。

(1) はじめに、台車を床に固定する。このときに図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに小球を離すと、小球はxy平面内を降下する。小球が最下点Bに到達する直前の小球の速さは ア であり、このときのひもの張力は イ である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球は力積を受けないとする。最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は ウ である。

(2) つぎに、台車が床の上を摩擦なく移動できるようにする。このとき、はじめに台車を動かないように押さえて、図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに台車と小球を同時に離すと、台車と小球が運動する。小球が点Aから最下点Bに到達する直前の小球の速さは エ であり、このときのひもの張力は オ である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球および台車は力積を受けないとする。小球は最下点Bから壁Cに到達するまでの間、台車に対して相対的な速さ カ で運動する。小球が最下点Bから壁Cに到達するまでの時間は キ である。また、小球が壁Cに衝突してはね返ってから台車の端Dに到達するまでの時間は ク である。したがって、最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は、台車を固定したときの時間 ウ  ケ 倍となる。

1 上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、小球と台車をまとめて一つの系と呼ぶことにする。この系の重心(質量中心)は水平方向には動かない。この理由を50字以内で簡潔に説明せよ。

2 上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、台車を動かないように押さえて小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げ、台車と小球を同時に離した瞬間の台車の位置を基準点とすれば、小球が壁Cに衝突してはねかえって台車の端Dに至った瞬間に台車はどの位置にあるか。問1で述べたこと(系の重心が水平方向に動かないこと)を利用して、導出の過程も含めて解答せよ。なお、ひもの長さhは台車の全長の半分Lより短い()

解答 相対運動がテーマの問題です。()や問2で相対運動を意識して解答するようにしましょう。

(1)() 最下点Bに到達する直前の小球の速さとします。点Aにおいて小球は位置エネルギーをもち、最下点では運動エネルギーをもちます。点Aと最下点との力学的エネルギー保存より、

......[]
() ひもの張力Tとします。最下点Bにおいて小球に働く力は、鉛直上向きのTと鉛直下向きの重力です。最下点における運動方程式
 (不等速円運動を参照)
()の結果を代入し、
......[]
() ひもを切った瞬間から小球が壁Cに到達するまでの時間
Cに衝突した直後の小球の速さ (反発係数の式を参照)
小球が壁
Cから端Dに来るまでの時間
ひもを切った瞬間から端
Dに到達するまでの時間は、()の結果を用いて、
......[]

(2)() 小球が最下点に来たときの小球の速度,台車の速度とします。点Aにおいて小球は位置エネルギーをもちます。小球が最下点Bに来たとき、小球の運動エネルギーは,台車の運動エネルギーはです。小球が点Aにあるときと最下点Bに来たときとの力学的エネルギー保存より、
 ・・・①
小球が点Aにあるとき、小球も台車も運動量は0です。小球が点Bに来たとき、運動量の水平成分は、小球が,台車がです。水平方向の運動量保存より、

 ・・・②
①に代入して、

......[]
() 台車上の観測者から見れば、小球の運動は円運動です。②より、台車上で見たときの小球の速度(相対速度を参照)
 ・・・③
これより、台車上で見た、最下点Bにおける小球の運動方程式は、
()の結果を用いて、
......[]
() BからCに至るまでの、小球の台車に対する相対的な速さは、③と()の結果を用いて、
......[]
() 小球が最下点Bから壁Cに到達するまでの時間は、()の結果を用いて、
......[]
() 台車上で見た、壁Cと衝突した直後の小球の速さ,小球が壁Cから端Dに来るまでの時間は、
......[]
() ひもを切った瞬間から端Dに到達するまでの時間は、()()の結果より、
()()の結果より、
よって、()
......[]

1 棒が最初に位置する地点を座標0として、水平方向右向きに座標軸をとり、時刻tにおける小球、台車の棒の位置の座標xX,小球、台車の速度vVとします。
系の重心座標で与えられます。これを時刻tで微分すると、運動量保存より、最初に小球も台車も静止していたので、
よって、は一定で、重心は水平方向には動きません。
理由:水平方向に外力が働かず、系の運動量の水平成分が保存され、小球も台車も最初に静止していたから。
(46) ......[]

2 問1より、となるので、最初の小球と台車の位置,小球が端Dに至った瞬間における小球と台車の位置より、
最初の位置から右にの位置 ......[]


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  1. 2010/04/07(水) 14:36:34|
  2. 京大物理'10年
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東工大物理'10年前期[3]

東工大物理'10年前期[3]

シリンダーとなめらかに動くピストンからなる、熱容量が無視できる密封容器に、1モルの単原子分子理想気体(以後、気体という)を封入する。気体定数をRとし、気体の圧力と温度が、容器内で場所によらず同じ値をとるものとする。以下の問いに答えよ。ただし、温度は全て絶対温度で表すものとする。

[A] 容器の外には、気体と熱のやりとりをする物体などはないものとして、ピストンに加えた力による気体の状態変化を考える。状態変化前の気体の圧力、体積、温度をそれぞれとする。
(a) 気体を圧縮すると、体積が,温度がとなった、この状態変化では、気体の圧力pと体積Vとの間にの関係があることを利用し、bのみを用いてaを表せ。
(b) (a)の状態変化において、ピストンに加えた力が気体にした仕事をWとする。bのみを用いてWを表せ。

[B](c) (a)の状態変化の後、ピストンを固定し、熱容量の物体を容器に接触させ、容器を通して物体と気体との間のみに熱が伝わるようにした。容器に接触する前の物体の温度をとする。物体を容器に接触させてしばらくすると、気体と物体が同じ温度になった。bxのみを用いてcを表せ。
(d) 一方、問(a)の状態変化の後、熱容量の物体と容器を接触させると同時に、気体の圧力を一定に保つようにピストンを動かし、しばらくすると気体と物体が同じ温度になった。このときの気体の体積をとするとき、bxのみを用いてeを表せ。

[C](e) (d)の状態変化の後、ピストンを固定し、温度の熱源を物体に接触させた。気体、物体、熱源の三者の間で熱が伝わるものとする。熱源を物体に接触させてしばらくすると、気体、物体、熱源ともに温度になった。このときの気体の圧力をとするとき、bxのみを用いてfを表せ。
(f) (e)の状態変化の後、気体、物体、熱源の温度を一定に保たせながら、ゆっくりとピストンを動かし、気体を膨張させた。この間に熱源と気体との間でやりとりされる熱量を,ピストンを介して気体がする仕事をとするとき、の絶対値との絶対値の大小関係を答え、その理由を簡潔に記せ。

解答 断熱変化熱の移動をからめた問題です。液体・固体の質量比熱として、熱容量となりますが、気体では、モル数をモル比熱として、熱容量になります。単原子分子理想気体のモル比熱Cは、定積変化であれば定積モル比熱定圧変化であれば定圧モル比熱です。

[A](a) 初期状態の状態方程式
 ・・・①
状態変化後の圧力として、状態変化後の状態方程式
 ・・・②
②÷①より、
 ・・・③
問題文中の関係式:
(断熱変化を参照)を用いて、
③より、

......[]
(b) 気体とのやりとりをする物体はないので、熱力学第一法則より、気体がした仕事と、内部エネルギーの変化とについて、
ピストンに加えたが気体にした仕事Wは、①を用いて、
......[]

[B](c) ピストンを固定するので、気体の変化は定積変化で、気体のモル比熱定積モル比熱となり、気体1モルの熱容量(定積モル比熱×モル数)です。物体から気体に移動したが、気体が受け取ったに等しくなるので、

......[]
(d) 気体の変化が定圧変化になると、気体のモル比熱定圧モル比熱となり、気体1モルの熱容量です。
同じ温度になった後の状態方程式
 ・・・④
④÷②より、
 ・・・⑤
物体から気体に移動したが、気体が受け取ったに等しくなるので、


⑤より、
......[]

[C](e) ピストンを固定しているので、気体の体積はのままで、気体、物体、熱源ともに温度になった状態における状態方程式
 ・・・⑥
⑥÷①より、
......[]
(f) 気体の温度が一定なので、気体の内部エネルギーの変化は0です。熱力学第一法則より、
の絶対値との絶対値は等しい。 ......[]
理由:温度一定で、気体の内部エネルギーが変化しないから。 ......[]


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  1. 2010/04/04(日) 13:19:14|
  2. 東工大物理'10年
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東工大物理'10年前期[2]

東工大物理'10年前期[2]

真空中に半径Rの絶縁体球があり、この球内に単位体積あたり ()の負電荷が一様に分布している。図1に示すように、この球の中心を含む平面に沿って狭い隙間を開ける。平面上の隙間を含む平面をxy平面とし、球の中心を座標の原点Oとする。隙間の幅は無視できるとする。この隙間内で原点Oより距離r ()の点における、絶縁体球全体の電荷による電場は、原点Oを中心とする半径rの球内に存在する全電荷が原点Oに集中していると考えたときに、この電荷が作る電場と等しいことが知られている。
この隙間内で、正電荷
qをもち、質量mで大きさの無視できる荷電粒子が摩擦なく運動する。以下の問いに答えよ。ただし、重力の影響を無視し、この荷電粒子は絶縁体球と絶縁されており、この荷電粒子の運動に伴う絶縁体球内の電荷の分布の変化はないとする。

[A](a) 原点Oから距離r ()にこの荷電粒子があるとき、この荷電粒子の受ける力は原点Oに向かう向きであり、大きさはと書ける。Cを求めよ。ただし、真空中のクーロンの法則の比例定数をとする。
以下の問いでは、答にCが含まれるときには、問(a)で得られたCの値は代入せずにCを用いよ。
(b) rに比例する形であることに着目して、原点Oから距離r ()にこの荷電粒子があるときの静電気力による位置エネルギーを答えよ。ただし、原点Oを位置エネルギーの基準点にとることとする。
(c) 原点Oにあるこの荷電粒子にx軸の正の向きに速さを与える。この荷電粒子が絶縁体球の表面()まで到達するためのの最小値を求めよ。

[B] つぎに、z軸の正の向きに磁束密度の大きさがBの一様磁場を加える。
(d) (c)と同様に、原点Oにあるこの荷電粒子にx軸の正の向きに速さを与えたところ、図2に示す曲線に沿ってこの荷電粒子は運動し、絶縁体球の表面に到達した。球の表面に到達したこの荷電粒子の速さvを求めよ。
(e) 原点Oから距離r ()にあるこの荷電粒子に適当な速度を与えると、この荷電粒子が隙間内で原点Oを中心とする半径rの等速円運動を行う。図3に示すように、円運動がxy平面で(i)時計回りのとき、(ii)反時計回りのとき、それぞれについて円運動の角速度の大きさを求めよ。
(f) 以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。
(e)では、この荷電粒子の円運動が(i)時計回りのときと(ii)反時計回りのときとで角速度の大きさが異なっている。もし、この荷電粒子の運動を、原点Oを中心として、角速度xy面内を時計回りに回転運動している観測者Kから見ると、(i)時計回りのときと(ii)反時計回りのときとでこの荷電粒子の円運動の角速度の大きさは等しく、ともにと観測される。
これは物理的には次のように解釈できる。観測者
Kから見たときの電場や磁場の観測値は、静止している観測者Sから見たときとは異なる。観測者Kから観測すると、この隙間内の磁場はなく、電場は原点Oに向かう向きとなっている。このために、観測者Kから見たときのこの荷電粒子の円運動の角速度の大きさが、(i)時計回りのときと(ii)反時計回りのときとで等しくなっている。また、観測者Kから見たときの電場からこの荷電粒子が受ける力の大きさは (は定数)と書ける。ここで、であり、この値はCとは異なっていて、確かに電場の観測値は、観測者Kと観測者Sで異なっていることが分かる。

解答 運動する観測者Kから見た電磁場が静止している観測者Sから見た電磁場と異なっていることをテーマにした問題です。誘導に従って進めば、解答できるでしょう。

[A](a) 半径rの球の体積,原点Oを中心とするこの球内に存在する電荷の総量は,原点Oから距離r ()の位置に電荷qの荷電粒子があるとき、この荷電粒子が受ける静電気力の大きさFは、

(の向きは中心向き)
......[]
(b) 静電気力による位置エネルギーは、静電気力に逆らう外力が原点から距離rの位置まで電荷qを持ってくるのに必要な仕事に相当します。静電気力の向きは中心方向なので、外力の向きは中心から外に向かう方向、つまりrを大きくする方向です。よって、外力正電荷に対して正の仕事をするので、求める位置エネルギーは右図黄緑色着色部の三角形の面積となり、
......[]
積分で求めると、
(c) 絶縁体球の表面に達したときの荷電粒子の速さvとして、原点Oにあるときと絶縁体球表面に到達したときとのエネルギー保存より、
絶縁体球の表面まで到達する条件は、において正電荷運動エネルギーを持っていること、つまり、です。より、

の最小値は、 ......[]

[B](d) 磁場が運動する荷電粒子に及ぼすローレンツ力は、荷電粒子の速度に垂直で荷電粒子に仕事をしません。(c)と同様に、エネルギー保存より、
......[]
(e) 荷電粒子の移動方向を電流の向きと考えると、フレミング左手の法則より、磁場が荷電粒子に及ぼすローレンツ力の向きは、(i) 時計回りのときには中心に向かう方向、(ii) 反時計回りのときには中心から外に向かう方向で、その大きさは、原点から距離rの位置にいる荷電粒子の速さv角速度の大きさをwとしてです(ローレンツ力を参照)。また、等速円運動する荷電粒子の加速度の大きさはです。
(i) 時計回りのとき、向心力ローレンツ力静電気力で、運動方程式

より、
(とします) ......[]
(ii) 反時計回りのとき、ローレンツ力(i)とは逆向きになり、運動方程式

より、
(とします) ......[]
(f) 観測者Kから見た(i)(ii)相対角速度が同じ大きさになるので、観測者K角速度W (i)(ii)角速度の平均になります。(i)(ii)では逆方向に回ることに注意します。角速度の大きさについてですが、時計回りに回るときに角速度を正とすると、(i)の場合の角速度(ii)の場合の角速度になるので、(e)の結果を用いて、
......[]
......[]
観測者Kから見て、(i)(ii)どちらの場合も、同じ角速度で、つまり、同じ大きさの向心力を受けて等速円運動をしています。この向心力電場から受ける力と見て、荷電粒子が電場から受けるの大きさをと書くと、観測者Kから見たときの運動方程式は、②の結果を用いて、
......[]


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