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東工大物理'10年前期[1]

東工大物理'10年前期[1]

密度が一様で等辺の長さがLである直角二等辺三角柱の形状をした2つの物体ABがある。図に示すように、等辺の1つを下にして、2つの物体をz軸上で接するようになめらかな水平面上に置く。接する線分の中点を原点Oとし、物体に沿ってx軸を、鉛直上向きにy軸をとる。物体Aを水平面に固定し、物体Aの斜面の中点Pから斜面に垂直に速さで小球を投げ出したところ、小球は物体Aに衝突することなく、物体Bの斜面上の点Qに、斜面に垂直に衝突した。小球と物体Bとの衝突は弾性衝突であり、小球はxy平面内を運動する。小球の質量をm,物体Bの質量をM,重力加速度の大きさをgとして、物体Bを水平面に固定した場合と固定しない場合について、以下の問いに答えよ。

[A] 物体Bを水平面に固定した場合について考える。このとき、小球は物体Bの斜面上の点Qに衝突した後、点Pに衝突した。
(a) Qx座標とy座標をLを用いて表せ。また、gLを用いて表せ。
(b) 小球が点Qで物体Bと衝突してから、物体Aに衝突するまでに到達し得る最高点の水平面からの高さHLを用いて表せ。

[B] 物体Bを水平面に固定せず、物体Bが水平面上をx軸の正の向きに自由に運動できる場合について考える。このとき、物体Bの斜面上の点Qに衝突した小球は、その後、2つの物体に衝突せずに原点Oに落下した。
(c) 小球が物体Bと衝突してから原点Oに落下するまでに、小球が到達し得る最高点の水平面からの高さHを用いて表せ。
(d) 小球が物体Bと衝突した直後の、小球の速度のx成分vと、物体Bの速度Vを、mMおよびを用いて表せ。
(e) 小球が点Pから点Qまで運動するのに要する時間をTとするとき、小球が点Qに衝突してから原点Oに落下するまでに要する時間Tを用いて表せ。
(f) 物体Bの質量と小球の質量の比を有効数字2桁で求めよ。

解答 衝突に関する標準的な問題なのですが、[B]には問題点があります。

[A](a) 物体Aの斜面は直線,物体Bの斜面は直線です。小球の速度の方向は、小球の移動経路に引いた接線の方向になります。Pを出発したときの速度の方向は直線に平行な方向で、Qで物体Bに衝突したときの速度の方向は直線に垂直な方向です。PQ間で、小球の移動経路となる放物線は、Pにおいて接線の傾きは1Qにおいて接線の傾きはになりますが、放物線は軸に関して対称なので、Qy座標Py座標と等しく、 ......[],また、放物線の軸はy軸であって、Qx座標 ......[]

小球の運動のx方向成分は速度の等速度運動で、PからQまでに要する時間Tとすると、x方向に距離L移動するので、

等加速度運動の公式より、小球の速度y方向成分について、
......[]
これより、 ・・・①
別解.
Pから小球を投げ出した時点として、時刻tにおける小球の位置は、
 ・・・②
Qに来るとき、として、
 (つまり、PからQまでに要する時間Tとして、)
時刻tにおける小球の速度は、
において、
このとき、物体
Bの斜面に垂直に衝突するので、


②に代入して、のとき、
(b) 衝突によってエネルギーは失われません。Pから投げ出された時点と最高点(速度y成分は0になり速さx成分のとなる)とにおける力学的エネルギー保存より、

......[]
別解.等加速度運動の公式より、物体Bと衝突した時点として(このとき、速度のy成分は)時刻tにおける小球のy座標について、
これは、のときに最大値をとります。

[B](c) 小球は物体Bの斜面に垂直に衝突するので、物体Bから斜面に垂直に力積を受け、衝突直後の小球の速度x成分をv ()とするとy成分はとなります。
QからOへの移動時間とすると、QからOへの小球のx方向の移動について、

小球のy方向の移動について、

() ・・・③ ( )
最高点における小球の速さはなので、衝突直後と最高点での力学的エネルギー保存より、

(b)
の結果を用いて、
......[]
(d) 衝突後の物体B速度Vとすると、に注意して、衝突前後における水平方向の運動量保存より、
 ・・・④
反発係数の式
 ・・・⑤
④に代入すると、

......[]
⑤に代入して、
......[]
(e) ③より、 ......[]
(f) ③と(a)(d)の結果より、


......[]
追記.上記では、衝突直後の小球の速度x成分をv ()とするとy成分はになる、として解答しましたが、斜衝突の問題では、衝突面に垂直な方向では反発係数の式を立て、衝突面に平行な速度成分は変化しない、と考えるのが基本です。本問では、衝突によって物体Bが動いてしまいます。衝突直前では、小球は衝突面に平行な速度成分をもちません。衝突直後では、斜面から見た小球の速度の衝突面に平行な速度成分は、です。以下では、衝突直後の小球の速度になることを前提とせずに考えてみます。
衝突直後の小球の速さu,衝突直後の速度が水平方向となす角の大きさをq とすると、です。また、小球の速度の衝突面に垂直な方向成分はです。
水平方向の運動量保存 ・・・④
反発係数の式 ・・・⑥
力学的エネルギー保存 ・・・⑦
⑥より、

 ・・・⑧
④に代入して、
 ・・・⑨
⑧に代入して、
 ・・・⑩
⑨,⑩を⑦×に代入すると、より、
整理して、
をかけて、さらに整理すると、


は上記で求めた解ですが、もう一つ、という解が出てきます。
のとき、⑨よりとなり、なので、衝突直後の小球の
速度となり、よりです。
ですが、のとき、⑨より,⑩よりとなり、衝突直後の小球の
速度とはならず、なのでです。このときの、斜面に沿う方向での、斜面に対する衝突直後の小球の相対速度成分は、
となるので、斜衝突の原則を満たしています。
この場合、なので、という関数から考えて、のときのとき,とくに、のときのときとなっています。つまり、小球は斜面に垂直に衝突して入射角より大きな角の方向に跳ね返ります。
に速度で点
Qを飛び出し、時刻に原点に到達するとして、
これよりTを消去して、
 ・・・⑪
⑪に代入して、
を代入すると、
のときには、で原点に到達することはあり得ないので、

このときq は、の範囲内の角ですが、小球は物体Bと衝突後、のときと同様に原点Oに到達します。


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  1. 2010/03/29(月) 16:54:29|
  2. 東工大物理'10年
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東大物理'10年前期[3]

東大物理'10年前期[3]

管の中では気柱の共鳴という現象が起こるが、そのときの振動数を固有振動数と呼ぶ。なお、以下で用いる管は細いので、開口端補正は無視する。

Ⅰ 管の長さをL,空気中の音速をVとして以下の問いに答えよ。
(1) 管の両端が開いているときの固有振動数のうち、小さい方から3番目までの振動数を求めよ。
(2) 管の一端が開いていて、他端が閉じられているときの固有振動数のうち、小さい方から3番目までの振動数を求めよ。

Ⅱ 長さの透明で細長い管の左端に膜をはり、この膜を外部からの電流によって微小に振動させ、管の中に任意の振動数の音波を発生できるようにした。管は水平に置かれ、内部には細かなコルクの粉が少量まかれていて、空気の振動の様子が見えるようになっている。管の右端をふたで閉じて、音波の振動数をゆっくり変化させた。振動数をからまで変化させたとき、で共鳴が起こり、空気の振動の腹と節がコルクの粉の分布ではっきりと見えた。なお、他の振動数では共鳴は起こっていない。
(1) での共鳴のときの空気の振動の節の位置を管の右端からの距離で答えよ。
(2) この条件を用いて、音速Vを求めよ。

Ⅲ 次に、Ⅱで行った実験では閉じられていた右端を開いて、振動数をからまで変化させた。今度は振動数がで共鳴が起こり、管は大きな音で鳴った。ここで、である。を求めよ。

Ⅳ この装置を自転車に載せてサッカー場に行った。固有振動数の音を出しながら、図3に示すように、サイドライン上をA点からC点に向かって一定の速さvで走る。C点にはマイクロフォンと増幅器とスピーカーがあり、マイクロフォンでとらえた音を増幅してスピーカーで鳴らす。三角形BCDが正三角形になるように、サイドライン上にB点とD点を設定する。D点で装置からの音とスピーカーからの音を聞く。風の影響は無視して以下の問いに答えよ。
(1) 2つの音源からの音は、干渉によりうなりを生じる。B点からの音とスピーカーからの音が干渉して生じるうなりの振動数を、音速V,自転車の速さv,振動数を用いて表せ。
(2) 自転車がB点を通過するときのうなりの振動数はであった。この値を用いて自転車の速さを有効数字1桁で求めよ。なお、音速の値はⅡで求めたものを用いよ。

解答 Ⅱで、の差は、開管なら基本振動の振動数になり、一端閉管なら基本振動の2倍の振動数になるはずです。ですが、開管でもないし、一端閉管では基本振動の偶数倍の振動数になってしまうし、と、思うかも知れません。ここは、両端とも閉じられているので、両端とも固定端の弦のような振動になります。

(1) 開管の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。開いている両端は、空気が自由に振動できるので、振動の腹になります。腹と腹の間に節が1つできるのが基本振動です。腹と腹の間に、節が2つできてその間に腹が1つできるのが2倍振動、節が3つ腹が2つできるのが3倍振動です。
基本振動の波長は、で、振動数は、 (波の公式を参照)
2
倍振動の波長は、で、振動数は、
3倍振動の波長は、で、振動数は、
小さい方から
3番目までの振動数は、 ......[]
(2) 一端閉管の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。開いている側は、空気が自由に振動できるので振動の腹になりますが、閉じている側は、空気が振動できないので振動の節になります。開いている側が腹で、閉じられている側が節になり、その間に、腹も節もないのが基本振動、腹と節が1つずつあるのが3倍振動、腹と節が2つずつあるのが5倍振動になります。偶数倍の倍振動はできません。
基本振動の波長は、で、振動数は、
3倍振動の波長は、で、振動数は、
5倍振動の波長は、で、振動数は、
小さい方から
3番目までの振動数は、 ......[]

Ⅱ 管の右端はふたで閉じられているので自由に振動することはできず固定端になります。問題は膜がはられている左端ですが、微小な振動を与えるだけで自由に振動できるわけではないので、こちらも固定端になります。つまり、管内の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。
基本振動の波長は、で、振動数は、
管内には整数倍の倍振動が現れます。
(1) 振動数からまで変化させたとき、で共鳴が起こり他の振動数では共鳴は起こらないので、kを自然数として、k倍振動であれば、倍振動になります。
差をとると、
 ・・・①
従って、基本振動の振動数173Hzで、で共鳴するとき、右図のように管内には4倍振動が起きています。右端は節で、の管内にごとに節が生じ、節の位置は右端から、 ......[]
注.2倍振動は5倍振動はなので、からまでの間では、共鳴する振動数は、だけです。
(2) 音速Vは、①より、
......[]

Ⅲ 右端を開いたので一端閉管となり、Ⅰ(2)の結果より、基本振動の振動数fは、になります。この基本振動の奇数倍の振動数が可能なので、kを自然数として、管内に現れる振動の振動数は、
を満たします。
よって、

......[]

(1) ドップラー効果の公式より、Cで聞く振動数は、
自転車の速度方向成分はです。Dで聞く振動数は、
より、うなりの振動数は、
......[]
(2) (1)の結果を用いてとしてvに関する2次方程式を解こうとすると面倒なことになります。vを有効数字1桁で求めればよいので、として、先に近似してしまうことにします。(1)の結果の分母・分子をで割り、
 (2次以上の項を無視する)
とすると、
有効数字1桁で自転車の速さは、 ......[]


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  1. 2010/03/21(日) 04:49:30|
  2. 東大物理'10年
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東大物理'10年前期[2]

東大物理'10年前期[2]

2のように、水平面上に2本の導体レールを間隔lで平行に置き、磁束密度の大きさがBである一様な磁場を鉛直下向きに加えた。導体レールの上には、長さl,抵抗値Rの棒を導体レールと直角をなすように乗せた。導体レールには、図に示したように、4つの抵抗1234と、起電力Vの電池、スイッチをつないだ。抵抗123の抵抗値はRであり、抵抗4の抵抗値はである。自己誘導、導体レールと導線の抵抗、電池の内部抵抗は無視できる。

Ⅰ 棒が導体レールに固定されているとき、以下の問いに答えよ。
(1) 最初、スイッチは開いている。このとき、棒に流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 次にスイッチを閉じた。このとき、棒に流れる電流の大きさを求めよ。
(3) (2)のとき、棒に流れる電流が磁場から受ける力の大きさを求めよ。また、その向きは図中()()のどちらか。

Ⅱ 次にスイッチを閉じたまま、導体レールの上を棒が自由に動けるようにしたところ、棒は導体レールの上を動き始めた。以下の問いに答えよ。ただし、導体レールは十分に長く、棒はレールから外れたり落ちたりすることはない。また、棒が受ける空気抵抗、導体レールと棒の間の摩擦は無視できる。
(1) 棒の速さがになったとき、抵抗3に流れる電流が0になった。を求めよ。
(2) 十分に時間がたつと、棒は速さで等速運動をしていた。を求めよ。

解答 電磁気の基本問題ですが、本年の理系の合否を左右したのではないかという気がします。東大物理としては意表を突くようなテーマですが、過去問に出てこないテーマこそ出題可能性が高いのです。過去問しかやらないという方針の受験生には痛烈な警告となるでしょう。

(1) 問題文の状況を整理すると、スイッチが開いているとき、右図の回路と等価です。
抵抗1と棒の抵抗直列合成抵抗は、
です。ここに電流が流れるので、オームの法則より、
......[]
(2) スイッチが閉じているとき、右図の回路と等価です。このときに抵抗1に流れる電流とします。棒に流れる電流なので、抵抗3に流れる電流 (右図で右向きとして)です。抵抗2に流れる電流とすると、抵抗4に流れる電流 (右図で下向きとして)です。
キルヒホッフ第2法則より、右図ループ1について、
 ・・・①
ループ2について、
 ・・・②
ループ3について、
 ・・・③
①+②×4より、
 ・・・④
②×3-③

④に代入し、
......[] (電流の向きは、右図で左向き、図2では向こうからこちら向きです)
(3) 棒が磁場から受けるは、
......[]
フレミング左手の法則より、左手人差し指が磁場の向き、中指が電流の向き(向こうからこちら向き)の向きは親指の向きとして、() ......[]

Ⅱ 棒の速さ(運動方向は()の向き)vのとき、棒には、大きさ誘導起電力が生じます。フレミング右手の法則より、右手人差し指が磁場の向き、親指が運動の向き、起電力の向きは中指方向に電流を流そうとする向きで、図2でこちらから向こう向き(右図では下から上に電流を流そうとする向き)です。このときの状況は、右の回路と等価です。
抵抗1,棒,抵抗2に流れる電流として、
キルヒホッフ第2法則より、右図ループ1,ループ2については、①,②と変わりはなく、
 ・・・①
 ・・・②
ループ3については、
 ・・・⑤
①+②×3より、
 ・・・④
②×3-⑤

④に代入すると、
 ・・・⑥
抵抗3に流れる電流は、
 ・・・⑦
(1) のとき抵抗3に流れる電流0になるので、⑦においてとして、
......[]
(2) 棒が等速運動する、ということは、棒に磁場が及ぼす0で、棒を流れる電流0,ということです。⑥においてとして、
......[]


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  1. 2010/03/18(木) 09:42:38|
  2. 東大物理'10年
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東大物理'10年前期[1]

東大物理'10年前期[1]

途中で宙返りするジェットコースターの模型を作り、車両の運動を調べることにした。線路は水平な台の上に図1のように作った。車両はレールに乗っているだけであり、線路からぶら下がることはできない、車両の出発点である左側は斜めに十分高いところまで線路が伸びている。中央の宙返り部分は半径Rの円軌道であり、左右の線路となめらかにつながっている。円軌道の最下部は台の上面に接しており、以後高さは台の上面から測る。車両の行き先である右側の線路も十分長く作られているが、高さR以上の部分は傾斜角q の直線であり、この部分では車両と線路の間に摩擦が働くようにした。すなわち、ここでは2本のレールの間を高くしてあり、そこに車両の底面が乗り上げて滑る。傾斜角q は、この区間での動摩擦係数mを用いて、となるように設定されている。線路のそれ以外の場所ではレール上を車輪が転がるので、摩擦は無視することができる。重力加速度の大きさをgとし、車両の大きさと空気抵抗は無視して、以下の問いに答えよ。

Ⅰ 質量の車両Aが左側の線路上、高さの地点から初速度0で動き始める。車両Aが途中でレールから離れずに、宙返りをして右側の線路に入るためにが満たすべき条件を求めよ。

次に、左側の線路につながる円軌道部分の最下点に質量の車両Bを置いた。車両Aは円軌道に入る所で車両Bと衝突する。

Ⅱ 衝突後2つの車両が一体となって動く場合を考える。車両Aは左側の線路の高さの地点から初速度0で動き始める。一体となった車両がレールから離れずに宙返りするために、が満たすべき条件を求めよ。

Ⅲ 2つの車両が弾性衝突をする場合を考える。車両Aは左側の線路の高さの地点から初速度0で動き始める。車両Aは衝突後、直ちに取り除く。
(1) 衝突後に車両Bがレールから離れずに宙返りするために、が満たすべき条件を求めよ。
(2) (1)で求めた条件を満たす場合、車両Bは宙返り後、右側の線路を進む。右側の線路での最高到達点の高さを求め、最高点到達後の車両のふるまいを述べよ。

解答 計算はやや煩雑ですが、不等速円運動衝突の標準的な問題です。
Ⅱでは、衝突の際に
エネルギーが失われて、車両Aの出発時点と、車両Bが円軌道の最高点に来る時点とで、力学的エネルギー保存は成立していないことに注意してください。
Ⅲでは、弾性衝突でエネルギーは保存されるのですが、車両
Aと車両B質量が異なる場合には車両Aが衝突直後に運動エネルギーをもつので、やはり、出発時点の車両A力学的エネルギーと、円軌道の最高点での車両B力学的エネルギーは、等しくなりません。

Ⅰ 車両Aが円軌道の最高点を通過できれば宙返りして右側の線路に入ることができます。
そのための条件は、車両Aが円軌道の最高点で線路から離れないこと、つまり、円軌道の最高点で車両Aが線路から受ける垂直抗力となることです。
円軌道の最高点において車両
Aが受けるは鉛直下向きの垂直抗力重力です。この点での車両A速さとして、この点における車両A運動方程式は、
 ・・・①
出発時点での車両A力学的エネルギー位置エネルギーのみ,円軌道の最高点では運動エネルギー位置エネルギーで、両地点間での力学的エネルギー保存より、
これより、
これを①に代入して、

......[]

Ⅱ 一体となった車両A+Bが円軌道の最高点において受けるは、線路から受ける鉛直下向きの垂直抗力重力です。この点での車両A+B速さとして、この点における車両A+B運動方程式は、
 ・・・②
衝突直前の車両A速さ,衝突直後の車両A+B速さとします。車両Aは、出発時点で位置エネルギーをもち、衝突直前に運動エネルギーをもちます。両地点間の力学的エネルギー保存より、
 ・・・③
衝突前後における
運動量保存より、
 ・・・④
車両
A+Bは、衝突直後に運動エネルギーをもち、円軌道の最高点で運動エネルギー位置エネルギーをもちます。衝突直後と円軌道の最高点での力学的エネルギー保存より、
よって、④,③を用いて、

これを②に代入して、
Ⅰと同様に、円軌道の最高点で車両A+Bが線路から離れないことから、
......[]

(1) 車両Bが円軌道の最高点で受ける鉛直下向きの垂直抗力の大きさを,この点における速さとすると、この点での運動方程式は、
 ・・・⑤
車両Aの衝突直前の速度,衝突直後の車両A,車両B速度とします。
車両
Aの出発点と衝突直前との力学的エネルギー保存より、

 ・・・⑥
衝突前後での運動量保存より、
 ・・・⑦
 (弾性衝突より反発係数は1)
⑦に代入して、
 ・・・⑧
衝突直後と円軌道の最高点での車両
B力学的エネルギー保存より、
よって、⑧,⑥を用いて、

 ・・・⑨
これを⑤に代入して、
円軌道の最高点で車両Bが線路から離れないことから、
......[]
(2) 右側の斜面の高さR以上の部分において、車両Bは斜面から垂直抗力を受けるので、車両Bには動摩擦力 (運動方向と逆向き)が働きます。車両Bが斜面の高さR以上の部分を移動する距離なので、動摩擦力が物体にする仕事は、
です。車両B力学的エネルギーは、円軌道の最高点でのから、右側の斜面での最高到達点でのとなるまでに、動摩擦力がする仕事の分だけ変化する(エネルギーの原理を参照)ので、
⑨を代入することにより、

......[]
最高到達点で車両Bは一旦静止します。このときに車両Bが斜面に沿う方向に受けるは、静止摩擦力f (斜面に沿って上向き)重力の斜面に沿う方向の成分 (斜面に沿って下向き)です。この両者のつり合いの式を立てると、
静止摩擦係数をとして最大静止摩擦力はです。車両Bが滑り出さない条件は、
これより、
となりますが、より、この不等式は必ず成立します。よって、車両Bが滑り出すことはなく、
車両
Bは最高到達点で静止したままになる ......[]


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  1. 2010/03/16(火) 14:33:53|
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京大理系数学'10年乙[6]

京大理系数学'10[6]

n個のボールを個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をとする。このとき、極限値を求めよ。

解答 は、多数の項の積の対数になるので、対数の和の形となり、区分求積法の利用が見えてきます。

全事象は、
n個のボールの各1個について通りの箱の選び方があるので、通りです。
n個のボールを個の箱へ投げ入れるとき、どの箱にも1個以下のボールしか入っていないのは、個の箱のうちのn個の箱に1個ずつボールが入る場合です。
1個目のボールは、通りの箱の選び方があります。
2個目のボールは、1個目のボールが入った箱を除く通りの箱の選び方があります。
3個目のボールは、1個目のボール、2個目のボールが入った箱を除く通りの箱の選び方があります。
 ・・・・・・

n個目のボールは、1個目のボール、2個目のボール、・・・、個目のボールが入った箱を除く通りの箱の選び方があります。
これより、
n個のボールの入れ方は、通りあります。
どの箱にも
1個以下のボールしか入っていない確率は、



 (区分求積法を参照)
 (不定積分の公式を参照)

......[
]


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  1. 2010/03/14(日) 12:37:46|
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京大理系数学'10年乙[5]

京大理系数学'10[5]

次の問いに答えよ。
(1) nを正の整数、とする。で割り切れるがでは割り切れないことを示せ。
(2) mを正の偶数とする。で割り切れるならばまたはであることを示せ。

解答 (1)は、のときの倍数、のときはの倍数(2の倍数)のときはの倍数(2の倍数)、という具合になっています。の場合からの場合に行くときに、因数分解すれば2の倍数が出てくる、というわけで、数学的帰納法の枠組に乗せることができます。なお、整数を参照してください。

(1) 数学的帰納法により示します。
() のとき、で割り切れますがでは割り切れないので、題意は成立します。
() のとき、題意が成立し、として、で割り切れるがでは割り切れないと仮定します。
すると、pを奇数として、
 ・・・①
とおくことができます。
さて、とすると、

 ( )
pは奇数なので、で割り切れますがでは割り切れません。
よって、のときも題意は成立します。
()()より、nを正の整数、として、で割り切れるがでは割り切れないことが示されました。

(2) qを正の奇数,nを正の整数として、正の偶数mとします。
(1)より、とすると、で割り切れるがでは割り切れないので、pを奇数として、
とおくことができます。より、
中カッコ内は、,・・・,1はいずれも奇数で、奇数個(q)の奇数の和なので奇数です。
pと中カッコ内が奇数なので、で割り切れますがでは割り切れません。題意より、で割り切れるので、2の指数mに関して、
 ・・・②
が成立します。においては、
 (二項定理を参照)
であって、qは正の奇数なので、では②を満たす正の整数nは存在しません。また、のときには、すべての正整数nについてとなり、②を満たす正の整数nは存在しません。
よって、②を満たす
nは、のときののみで、このときmは、
または
に限られます。


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  1. 2010/03/14(日) 12:35:52|
  2. 京大数学'10年
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京大理系数学'10年乙[4]

京大理系数学'10[4]

とする。3辺の長さがabである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときaを用いてbを表せ。

解答 正弦定理と余弦定理を組み合わせただけの問題ですが、「鋭角三角形」という指定に注意が必要です。

長さ
abの辺と向かい合っている角をABCとすると、正弦定理より、
 ・・・①
鋭角三角形なので、


同様に、
①とよりは満たされていますが、
Bについても、より、
 ・・・②
余弦定理より、

この左辺をとおくと、より、

これよりb2次方程式1解、1解を持ちます(2次方程式の解の配置を参照)が、②より、鋭角三角形になるためには、となる解、即ち、大きい方の解だけが許されます。
......[]


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  1. 2010/03/13(土) 23:17:02|
  2. 京大数学'10年
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京大理系数学'10年甲[6]

京大理系数学'10[6]

座標空間内で、OABCDEFGを頂点に持つ立方体を考える。この立方体を対角線OFを軸にして回転して得られる回転体の体積を求めよ。

解答 同一趣旨の問題が慶大理工98[A3]にも出題されています。
端点が回転軸上にある線分を回転させると円錐面になり、回転軸と交点をもたない直線を回転させると双曲面になることに注意してください。

右図
()のように、対角線OFに関して、OAOCOD3辺,また、FBFEFG3辺は回転対称な位置関係にあります。また、ABAEは△OAFを含む平面に関して対称、AEDEは△OEFを含む平面に関して対称、DEDGは△ODFを含む平面に関して対称、DGCGは△OGFを含む平面に関して対称、CGCBは△OCFを含む平面に関して対称、CBABは△OBFを含む平面に関して対称です。
右図
()()に、対角線OFの方向から立方体を見た様子を示します。
OA上の点を通り対角線OFに垂直な平面で立方体を切ると、右図()黄色着色部のような正三角形になります。OA上の点が対角線OFから最も遠い点(のうちの1)です。
AB上の点Pを通り対角線OFに垂直な平面で立方体を切ると、右図()水色着色部のような六角形になります。Pが対角線OFから最も遠い点です。
これより、対称性から、回転体を、
OAABBFを対角線OFを軸にして回転したものとして考えることができます。
OABFを回転させると円錐ができ、ABを回転させると双曲面(の一部)ができ、この3つの部分に分けて体積を考えます。

対角線
OF上の点では、x座標、y座標、z座標が等しくなります。以下、対角線OFに垂直な平面と対角線OFとの交点をHとします。Hの座標は ()と表せます。
(i) 対角線OFに垂直な平面が頂点Aを通るとき、より、
 (内積を参照)

このとき、

OAを対角線OFを軸にして回転して得られる回転体は、半径の円を底面とし、高さがの円錐で、その体積は、
(ii) AB上に点P ()をとり、対角線OFに垂直な平面が点Pを通るとき、より、


より、
このとき、回転体をこの平面で切ったときにできる断面の円の半径は、

のとき
ABを回転して得られる回転体の体積は、断面の円の面積を回転軸に沿って積分すると(定積分と体積を参照)
のときtとして、置換積分を行うと、

(iii) BFを回転して得られる円錐の体積も(i)と同様に、

求める体積は、
......[]


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  1. 2010/03/12(金) 21:34:59|
  2. 京大数学'10年
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京大理系数学'10年甲[5]

京大理系数学'10[5]

aを正の実数とする。座標平面において曲線 ()x軸とで囲まれた図形の面積をSとし、曲線 (),曲線 ()およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。このときST = 31となるようなaの値を求めよ。

解答 積分による面積計算と三角関数の融合問題です。

曲線
()x軸とで囲まれた図形(右図黄色着色部)面積Sは、
 ・・・① (不定積分の公式を参照)
曲線と曲線の共有点は、
を連立すると、

は解にならないので、においては、で割ると、
これを満たすxの範囲にただ1つ存在するので、それをaとすると、
このとき、
 (三角比の拡張を参照)
()
() ・・・②
また、において、は単調減少、は単調増加なので、ではでは
これに注意して、曲線
(),曲線 ()およびx軸で囲まれた図形(右図斜線部)の面積Tは、

aの値が問われているので、②を利用してaを使って表します。
ST = 31と①より、

 ・・・③
 ・・・④
のもとで③を2乗すると、

......[] (④を満たしています)


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  1. 2010/03/11(木) 07:54:45|
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京大理系数学'10年甲[4]

京大理系数学'10[4]

数列は、すべての正の整数nに対してを満たしているとする。このとき、すべてのnに対してであることを示せ。

解答 「すべての正の整数nに対して」という問題文から数学的帰納法が思い浮かべば一本道です。

であることを
数学的帰納法で示します。
() のとき、
これより、
よって、より成立します。
() のとき,つまり、と仮定します。
のとき、
これより、

よって、のときにもが成立します。
()()より、すべてのnに対してとなります。


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  1. 2010/03/10(水) 21:38:53|
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京大理系数学'10年甲[3]

京大理系数学'10[3]

xを正の実数とする。座標平面上の3ABPをとり、△APBを考える。xの値が変化するとき、の最大値を求めよ。

解答 最大最小の問題では、即、微分法に頼る、というのではなく、相加平均・相乗平均の利用などをまず考えましょう。

直線
APx軸正方向とがなす角をa ()として、
直線
APの傾き: (直線の方程式を参照)
直線BPx軸正方向とがなす角をb ()として、
直線
BPの傾き:
ここで、
()よりです。
より、

相加平均・相乗平均の関係を用いて、
不等号の等号が成立するのは、,つまり、 ()のときです。
において
q の単調増加な関数なので、のとき、の最大値は ......[]


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  1. 2010/03/10(水) 11:45:36|
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京大理系数学'10年甲[2]

京大理系数学'10[2]

四面体ABCDにおいてはそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。

解答 空間ベクトルの問題ですが、無理に1次独立な3つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。

題意より、

 ・・・① (内積を参照)
目標は、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面を作る1次独立なベクトルと、が垂直であることを示すことです。
 ・・・②
 ・・・③
①より、
 ・・・④
 ・・・⑤
 ・・・⑥
④,⑤,⑥より、
②より、

同様に、①より、
 ・・・⑦
 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑦,⑧,⑨より、
③より、

よって、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面は辺CDと直交します。


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  1. 2010/03/09(火) 07:58:57|
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京大理系数学'10年甲[1]

京大理系数学'10[1]

1から5までの自然数を1列に並べる。どの並べ方も同様の確からしさで起こるものとする。このとき1番目と2番目と3番目の数の和と、3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ。ただし、各並べ方において、それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする。

解答 整数が少しからんだ確率の基本問題です。

全事象は、異なる
5個から5個選んで並べる並べ方で、通り。
1番目と2番目の数の和をa3番目の数をbとすると、4番目と5番目の数の和もaで、
 ・・・①
これよりは偶数なので、
bは奇数です。を満たす奇数は、
(i) のとき、①より
1から5までの2整数の和が7になるのは、2整数が、2534になるときです。
1番目と2番目が25のとき、どちらが2かが2通り、4番目と5番目のどちらが2かが2通り、両者は独立なので、通り。
1番目と
2番目が34のときも同様に4通り。
合わせて、通り。
(ii) のとき、①より
1から5までの2整数の和が6になるのは、2整数が、1524になるときです。
このときも
(i)と同様に8通り。
(iii) のとき、①より
1から5までの2整数の和が5になるのは、2整数が、1423になるときです。
このときも
(i)と同様に8通り。
(i)(ii)(iii)より、1番目と2番目と3番目の数の和と、3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなるのは、通り。
求める確率は、
......[]


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  1. 2010/03/09(火) 07:55:58|
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東工大数学'10年前期[4]

東工大数学'10前期[4]

aを正の定数とする。原点をOとする座標平面上に定点と、Aと異なる動点をとる。次の条件
AからPに向けた半直線上の点Qに対し
ならば
を満たすPからなる領域をDとする。Dを図示せよ。

解答 以下では、問題文中でPが満たすべき条件として出てくる命題を命題Cと呼ぶことにします。この“命題C ならば ”の意味するところがわかりにくいだけでなく、論理的に入り組んでいる上に、分母=0の考慮も必要で、難路を紆余曲折させられます。
まずは、簡単な場合から題意をつかむようにしましょう。
いきなり座標平面上で考えるのでは難しいので、
x軸上にをとって調べてみます。,また、PAと異なるのでであり、Qは、AからPに向けた半直線上の点なので、0になることを含めてと同符号です。
命題
Cは、
ならば  ・・・①
となりますが、これでも、わかりにくいので、数値を入れてみます。
①でとしてみると、なのでであって、

ならば
即ち、
ならば
となりますが、のときに、の分母が0になってしまうので、は命題Cを満たさず、のときは領域D内の点ではありません。
より、①でとすることはできません。
①でとしてみると、なのでであって、

ならば
即ち、
ならば
より、結局、
ならば
となりますが、これは成立しません。よって、のときも領域D内の点ではありません。
①でとしてみると、なのでであって、

ならば
即ち、
ならば
より、
ならば
となりますが、これは成立するので、は命題Cを満たし、のときは領域D内の点です。
試験場でも、
axにいろいろな値を入れて、命題Cが成立する場合、成立しない場合を試してみることになるでしょう。
ここで、数値代入してやってみたことを整理します。命題
Cの十分条件:から得られるQの座標に関する不等式の範囲を,必要条件:から得られるQの座標に関する不等式の範囲をとして、特定のについて、に含まれていれば命題Cが成立するので「は領域D内の点だ」と判断し、に含まれていなければ命題Cが成立しないので「は領域D内の点ではない」と判断しています。
であれば、一般的なについて、十分条件から得られる範囲が、必要条件から得られる範囲に含まれるようなを調べれば、「命題
Cが成立する」という条件を満たすPからなる領域Dを求められるはずです。

ここでは、必要条件、十分条件の範囲を考えやすくするために、

とおくことにします。ここに、PAと異なるのでQは半直線AP上の点なのでです。また、半直線APx軸正方向となす角をq ()とします。
Pの座標はQの座標はとなります。
さらに、命題
Cの必要条件の分母にOQが出てくるので、QOと一致しません。
QOと一致するとき、Qの座標について、
なので、,つまり、
また、より

kは任意の正数値をとり得てしまうので、Pの位置によってとなる可能性を排除することはできないので、
Pが存在する領域Dは、
となる範囲を含んでいてはならない ・・・()
ということに注意します。

さて、命題
Cの十分条件:より、
 ・・・②
となります。命題Cの必要条件から得られる範囲は、②を含まなければなりません。

命題
Cの必要条件:より、を用いて、
 ・・・③
ここで、

③の両辺は、負になることはなく、rで割って、両辺を2乗すると、
整理すると、
 ・・・④
(i) のとき、点PAを中心とする半径aの円周上の点ですが、④より、
より、
()を考慮すると、においてであればなので、
 ・・・⑤
()より、のとき、Pに来るので、領域Dからは除かれます。
よって、このとき、を除いて、“②
ならば ⑤”は成立し、命題Cが成立します。
(ii) のとき、点PAを中心とする半径aの円周より内側の点ですが、④より、
より、なので、
 ・・・⑥
このとき、“② ならば ⑥” (⑥の範囲が②の範囲を含む)が成立するために、
でなければなりません。分母を払って整理すると、

ここで、より、
 ・・・⑦
また、
(PAと異なる点)に注意すると、 かつ ”よりは除かれます。
()を検討します。のとき、Pは、x軸上のの部分を動きます。この部分は領域Dから除かれるべきですが、そもそも⑦に含まれていません。
よって、このときは、を除く領域⑦内に存在する
Pについて、“② ならば ⑥”が成立し、命題Cが成立します。
(iii) のとき、点PAを中心とする半径aの円周より外側の点ですが、④より、
 ・・・⑧
Px座標について、
(a) のとき、⑧の中カッコ内は正で、不等式⑧を満たすkは、
 ・・・⑤
このとき、“②
ならば ⑤”が成立します。
(b) のとき、より、不等式⑧を満たすkは、
 ・・・⑨
②を満たす
kのうち、となるkは⑨を満たさず、“② ならば ⑨”は成立しません。
(a)(b)より、です。
()を検討します。のとき、Pは、x軸上のの部分を動きますが、この部分はそもそもかつの部分には含まれていません。
よって、このときは、において、“②
ならば ⑤”が成立し、命題Cが成立します。

(i)(ii)(iii)をまとめると、命題Cが成立するのは、
を除く,または、
かつ (よりを除く),または、
かつ
のときで、Aを中心とする半径aの円周を表すことに注意して、整理すると、領域Dは、
かつ であってを除く部分
であって、図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含み白マルを除く)


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  1. 2010/03/08(月) 14:40:19|
  2. 東工大数学'10年
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東工大数学'10年前期[3]

東工大数学'10前期[3]

1からnまでの数字がもれなく一つずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く。このとき、引いたカードの数字のうち小さい方が3の倍数である確率をとする。
(1) を求めよ。
(2) 正の整数kに対し、kで表せ。

解答 東工大としては異例の平易な問題です。

(1) 全事象は、8枚の異なるカードから2枚を選ぶ選び方で、通り。
1から8までの数字のうち3の倍数は36です。
2枚引いたカードのうち小さい方が3のとき、大きい方は、4から85通り、
小さい方が
6のとき、大きい方は、782通り、
合わせて、小さい方が
3の倍数となるのは、通りです。
求める確率は、
......[]

(2) 全事象は、枚の異なるカードから2枚を選ぶ選び方で、通り。
1からまでの数字のうち3の倍数は、36,・・・,です。
2枚引いたカードのうち小さい方が3のとき、大きい方は、4から通り、
小さい方が
6のとき、大きい方は、7から通り、
・・・・・・
小さい方がのとき、大きい方は、2通り、
合わせて、小さい方が
3の倍数となるのは、
通り
です。
求める確率は、
......[]
注.ここでとすれば(1)の結果になるはずです。必ず確認するようにしましょう。


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  1. 2010/03/05(金) 12:43:45|
  2. 東工大数学'10年
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東工大数学'10年前期[2]

東工大数学'10前期[2]

aを正の整数とする。正の実数xについての方程式
()  
が解をもたないようなaを小さい順に並べたものを,・・・ とする。ここにはガウス記号で、実数uに対し、u以下の最大の整数を表す。
(1) の各々について()の解があるかどうかを判定し、ある場合は解xを求めよ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 [1]と同様に見た目は手強そうですが、誘導通りに解答すれば落とせない問題だということがわかります。
(3)では、出題者は、の形を断定する際の論述を見ようとしていると思われます。

ガウス記号の基本は、
xを実数,mを整数として、
です。本問もこれで解決します。問題文では「正の実数x」と書かれていますが、xとガウス記号を等置しているので、xは正の整数です。
各辺にをかけて、
各辺からを引き、
 ・・・①
ここで、x1から順に整数を入れていけば、問題の枠組みが見えてきます。本問では、aの方に整数値を入れる誘導がついています。

(1) ①において、
(i) とすると、
左側の不等号を満たす正の整数xは、のみです。このうちだけが右側の不等号を満たします。よって、()の解が存在し、解は ......[]
(ii) とすると、
左側の不等号を満たす正の整数xは、のみで、両方とも右側の不等号を満たしません。よって、()の解は存在しません。 ......[]
(iii) とすると、
左側の不等号を満たす正の整数xは、のみで、このうちだけが右側の不等号を満たします。よって、()の解が存在し、解は ......[]

(2) のとき()が解をもたないという(1)の結果から即としてしまうのは早計です。(1)では、が解になっている場合を調べていますが、xは「正の整数」なので、が解になる場合があるかも知れません。
が解になるとき、①でとして、aは、
これより、のときに、()の解になります。
同様に、が解になるとき、①でとして、
aは、
これより、のときに、()の解になります。
これで、が残りますが、このとき①は、
左側の不等号を満たすxは、のみですが、これは右側の不等号を満たさず、のときには、()の解は存在しません。
が解になるとき、①でとして、
aは、
が解になるとき、①でとして、aは、
これより、のときに、()を満たす正整数xは存在せず、()は解を持ちません。
従って、
(1)の結果も入れて、()が解を持たないようなaを小さい順に並べると、
,・・・・・・  ・・・②
となります。
......[]

(3) (2)で②のようになるのは、①で としたときに得られる不等式、
,・・・
のいずれかを満たす正整数aの集合
から、が漏れるからです。漏れる正整数が各不等式の右辺に出てくる整数値になっていることに注意すると、①の右辺x1から順に入れて得られる整数値をaがとるとき、つまり、nを正整数として、のときに、()の解が存在しないことが、予測できます。
として、のとき①は、
 ・・・③
より、③の左側の不等号を満たす正の整数xは、ですが、この全てが③の右側の不等号を満たしません。よって、のとき、()の解は存在しません。
また、が解になるとき、①でとして、
より、aは、
 ・・・④
となりますが、aが④のいずれかであれば、のとき、
が成り立つので、は①を満たし、()は解をもちます。
として、の間には、正整数はしかないので、正整数
a ()となるときには、()は解をもちます。
以上より、
 ()
です。

 (数列の求和技法を参照)
......[]


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東工大数学'10年前期[1]

東工大数学'10前期[1]

とする。
(1) において、は唯一の解を持つことを示せ。
(2) とする。(1)の唯一の解をaとするとき、Jの式で表せ。
(3) (2)で定義されたJの大小を比較せよ。

解答 見た目はやりにくそうですが、やって行くと典型パターンが見えてきます。

また、より、,よって、
とすると、
 ・・・①
とおくと、
 (微分の公式を参照)
とすると、においては、より、
x0


0
0

増減表より(関数の増減を参照)において、方程式,即ち、は、(の範囲に)唯一の解をもちます。

(2) における解aは、,即ち、①より、
() ・・・②
を満たします。
においては、より
においては、より ・・・③
よって、
ここで、
 (:積分定数,部分積分法を参照)
より、
 (:積分定数)
よって、

( )
......[
]

(3) の大小を比べればよいのですが、2で割って、の大小を比べることになります。②よりなので、なのかなのかがわかれば、Jの大小を判断できます。
aは、方程式①の解なのですが、(1)の増減を利用すると、においてにおいてなので、であればであり、であればです。
ですが、では、が困ります。③より、の正負との正負が逆になるので、を調べてみます。
( )
よって、より、(1)の増減表から
において
単調減少なので、
......[]


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東大理系数学'10年前期[6]

東大理系数学'10年前期[6]

四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、であるとする。また、3OABを含む平面をLとする。
(1) Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。を用いて表せ。
(2) をみたす実数tに対して、線分OAOB各々をtに内分する点をそれぞれとおく。2を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めよ。
(3) tの範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 空間的な発想力とか思考力というよりも、面倒な計算を強いられる空間ベクトルの問題です。体力派の諸氏以外は、基本問題の(1)はともかく、実戦的には後回しにするのが無難だろうと思います。

(1) 4つの面が合同、ということで、右図のように、

 
(内積を参照)

H
は△OABを含む平面L上の点なので、ab を実数として、
とおくことができます(ベクトルの1次独立を参照)
CHは平面Lに垂直なので、,よって、
 (内積を参照)

 ・・・①

 ・・・②
①,②を連立して、
......[]

(2) ですが、直線上の点をKとして(共線条件を参照)
 ・・・③
Hが線分上に位置するときのtpの値を調べます。(1)の結果と③の係数を比較して、

③より、
 ・・・④
と書けるので、のときの点,点を特に点P,点Qとすると、Hは線分PQ上の点になっています。また、点Hを通り平面Lに垂直な平面は△CPQを含む平面であり、2を通り平面Lに垂直な平面Mは、(CPQを含む平面であることを含めて)CPQに平行です。さらに言えば、△CPQPQを通る平面Mによる四面体の切り口なので、△CPQの面積は、のときの,つまり、です。
従って、平面
Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めるためには、△CPQの面積を求め、相似比を考えることになります。
ここで、右図のように、△
CPQと平行で辺ABを通る平面(従って平面Lに垂直)と直線OCとの交点をDとすると、△CPQと△DABは相似で、
PQAB = OPOA = 1
より、△CPQの面積と△DABの面積の比は(面積比・体積比を参照)
=1 ・・・⑤
DABの面積を求めるために、を調べます。
OPOA = OQOB = OCOD = 1
より、



よって、△DABの面積(三角形の面積を参照)
⑤より、△CPQの面積は、
(i) が線分OP上、線分OQ上にあるとき(端点Oを除く)、つまり、のときは、⑤と同様に、
AB =OA = t1
=1
 ・・・⑥
注.上記で、直線OHと直線BAとの交点をEとして、④より、
とわかるので、
とすることもできます。

(ii) が線分PA上、線分QB上にあるとき(両端を除く)、つまり、のとき、平面Mと直線OC,直線BC,直線ACとの交点をとして、平面Mによる四面体OABCの切り口は、△ではなく、△から△を取り除いてできる四角形になります。
OB= 1
OD = t1OC =
よって、△において、メネラウスの定理より、
これより、△と△の面積の比は、
:△=
の面積は、のときのと同じ式で与えられ、となるので、切り口の四角形の面積は、
以上まとめて、
......[]

(3) においては単調増加で、
において、
これは、ゆえ、のとき最大値: ()をとります(2次関数の最大最小を参照)
tを動くときのの最大値は、 ......[]


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  1. 2010/03/01(月) 16:57:54|
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