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東大理系数学'10年前期[5]

東大理系数学'10年前期[5]

Cを半径1の円周とし、AC上の1点とする。3PQRAを時刻に出発し、C上を各々一定の速さで、PQは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻まで動く。PQRの速さは、それぞれm12であるとする。(したがって、QCをちょうど一周する。)ただし、mをみたす整数である。△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。

解答 回転運動の問題のように見えますが、実質的には整数問題です。総当たりチェックする範囲を絞ることが目標です。以下では、tの可能性を6通りに絞り、その各場合について、を満たす整数mを探すことになります。

円の中心を原点
Oに沿ってこの方向にx軸,を反時計回りに回転した方向にy軸をとり、点Aの座標をとします。
3PQRが円周に沿って移動した距離は、tで、半径が1なので、この距離はそのまま回転角の大きさとなり、PQが反時計回り、Rが時計回りに動くことから、PQRの時刻tにおける座標は、
PQR () (三角関数を参照)
円周に内接する△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形になるための必要十分条件は、
PRが円の直径であって、かつ、
となることですが、
PRが円の直径であるためには、
かつ  ・・・①
QRの上に立つ円周角は円周角なので、
よって、 
(内積を参照)
 (加法定理を参照)
においては、より、
()
 ・・・②
①より、

かつ
 
(和を積に直す公式を利用)
のときにはとなり得ないので、両者がともに成り立つためには、
②より、
()
よって、jを整数として、

 ・・・③
より、




() ・・・④
のとき、④は、

③より、
また、②より、
のとき、④は、

のとき③より、
のとき③より、
また、②より、
のとき、④は、

このうち、③の右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき、
また、②より、
のとき、④は、

このうち、③の右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき、
また、②より、
のとき、④は、

このうち、③の右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、のときのとき
また、②より、
のとき、④は、

このうち、③の右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき
また、②より、
以上より、
......[]


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  1. 2010/02/28(日) 23:58:10|
  2. 東大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[4]

東大理系数学'10年前期[4]

Oを原点とする座標平面上の曲線
C
と、その上の相異なる2を考える。
(1) ()を通るx軸に平行な直線と、直線との交点を、それぞれ ()とする。このときの面積は等しいことを示せ。
(2) とする。このときCの範囲にある部分と、線分とで囲まれる図形の面積を、を用いて表せ。

解答 工夫の必要な求積問題ですが、問題文の指定を活かすことにより、面倒な計算を回避できます。

(1) y座標はですが、直線上の点なので、x座標もy座標と等しく、となります。
,つまり、原点O3頂点とする三角形の面積は、
,つまり、原点O3頂点とする三角形の面積は、
曲線C上の点の座標を使って表されているが同じ形をしているので、曲線C上の点について、がどういう値になるかを調べてみます。

(一定) ・・・①
従って、

(2) 求める面積をS,曲線Cx軸、直線で囲む面積をとしての面積をの面積をとして、となる場合を含めて、
(i) の場合、

(ii) の場合、

(iii) の場合、

いずれの場合も、
 ・・・②
問題文の要求は「を用いて表せ」ということなので、を使わずにで表すようにします。①を用いると、
 ・・・③
よって、
これより②は、
 ・・・④
また、曲線C上の点においては、より、の場合についても、
よって、③両辺をyで割って、
 ・・・⑤
さて、について、
 ・・・⑥ (定積分と面積を参照)
これも、を使わずで表すようにするために、
とおいて置換積分します。
 ・・・⑦
が困りますが、⑤を用いて、
 ( )
⑦に代入して、
よって、
xのときy
こうして、⑥は、
④に代入すると、
......[]


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  1. 2010/02/28(日) 11:11:51|
  2. 東大数学'10年
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東大理系数学'10年前期[3]

東大理系数学'10年前期[3]

2つの箱LR,ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率で出るコイン1枚を用意する。x0以上30以下の整数とする。Lx個,R個のボールを入れ、次の操作()を繰り返す。

() Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、個のボールを移す。ただし、のときのときとする。

m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率をとする。たとえばとなる。以下の問(1)(2)(3)に答えよ。
(1) のとき、xに対してうまくyを選び、で表せ。
(2) nを自然数とするとき、を求めよ。
(3) nを自然数とするとき、を求めよ。

解答 この問題も[1]と同様に、東大ではかなり以前によく出題されていたタイプの問題です(例えば90年前期[6]84[5])(1)の出題意図がつかみにくいのですが、漸化式を立てて機械的に処理せよ、というヒントです。一般的なxで考えようとすると討ち死にしかねませんが、(1)ができなくても、(2)(3)は、の場合との場合だけなので、樹形図を書いて行けば、(1)を利用しなくても解答できます。

(1) 操作()を一般的なxで考えて行くと、の場合分けが考えにくく(こうした問題もかつて東工大81[1]などに見られたものです)、混乱し易いので、試験場では、最初からの場合で樹形図を書いて行くのがよいと思います。右図にの場合との場合について樹形図を示します。
の場合、操作()1回行うと、裏が出たときに、L0個,R30個という状態になりますが、この後はとなりボールを移す操作は行われず、このまま変化しなくなります。また、操作()1回行っただけでは、L30個という状態にはなり得ないので、です。操作()2回行うと、確率で箱Lの個数が30個になります。よって、
 ・・・①
です。これ以降となり、このまま箱のボールの個数は変化しなくなります。また、確率L10個という状態になるのですが、これは最初の状態()と同じ状態です。別解にこのことに着目した解答を後述します。
の場合には、操作
()1回、または、2回行うときには、L30個という状態にはなり得ないので、です。3回行うと、確率で箱Lの個数が30個になるので,これ以降となり、このまま箱のボールの個数は変化しなくなります。4回行うと、となる場合以外にさらに確率で箱Lの個数が30個になり、
 ・・・②
となります。また、操作()4回行うと、確率で最初の状態(**)と同じ状態が出てきます。
さて、「
xに対してうまくyを選び、で表せ」という問題文の意図がわかりにくいのですが、m回操作後の確率を回操作後の確率を用いて表す、という発想では、考えづらくなります。
ここでは、
1回の操作であれば、樹形図はすぐに書けることをヒントにしましょう。1回の操作の樹形図だけから、の関係を考えるのであれば、Lx個,R個入れた最初の状態からm回操作を行うときの確率がで、1回操作後のLの個数y個から回操作を行うときの確率,ということになります。
つまり、であれば、最初に
L10個あるところから考えたm回操作後の確率がですが、最初の1回の操作後、L20個、あるいは、L0個の状態から考えた回操作後の確率との関係を考えるようにします。1回の操作でL20個,また、L0個の状態になる確率は、ともにです。1回目の操作と2回目以降の操作は独立でかつ表が出る事象と裏が出る事象は排反なので、
という具合にして、関係式を作ることができます。
但し、試験場でここが切り抜けられない場合、
(2)(3)は別解のように考えて解答してください。

以上を踏まえて、のとき最初の
Lの個数がxm回操作後にLの個数が30個になる確率と、最初の1回の操作後のLの個数がyで、以降回操作後にLの個数が30個になる確率との関係を求めます。
ここで、まず注意しなければいけないのは、操作
()においてのときとのときとで移動する個数が異なるということです。場合分けが必要になります。
(i) のとき、より、表が出れば(確率)L個となり、以降回の操作でL30個になる確率は,裏が出れば(確率)L個となり、以降回の操作でL30個になる確率はになります。従って、
 ・・・③
(ii) のとき、より、表が出れば(確率)L個となり、以降回の操作でL30個になる確率は,裏が出れば(確率)L個となり、以降回の操作でL30個になる確率はになります。従って、
 ・・・④
前述したように、Lの個数が0個になるか30個になってしまうと、となり、移動するボールの個数は0で、それ以降、Lの個数は変化しなくなります。つまり、Lの個数が0になってしまうと、以降何回操作しても、Lの個数は30になり得ません。よって、③の0です。また、Lの個数が30になってしまうと、以降何回操作しても、Lの個数はずっと30です。よって、④の1です。
よって、のとき、
......[]

(2) 以下では、とします。(1)の結果を用いて、のとき、より、
のとき、より、
両式より、
ここで、とおくと(2項間漸化式を参照)
 ・・・⑤
 ・・・⑥

⑤-⑥より、
数列は、初項 ( ),公比等比数列で、
......[]

(3) (1)の結果を用いて、
ここで、とおくと、
 ・・・⑦
 ・・・⑧

⑦-⑧より、
数列は、初項 ( ),公比の等比数列で、
......[]

別解.(1)が切り抜けられなくても諦めることはありません。樹形図で、何回かの操作の後に、最初の状態()が出てくることを利用すれば(2)(3)を解答できます。最初から(1)を放棄して、以下のようにする方が得点的にはよいかも知れません。
(2) のとき、2回の操作後に確率で最初の状態()が出てきます。
最初から始めて回の操作後にLの個数が30個になる確率はです。
2回操作後の()から始めて回の操作後にLの個数が30個になる確率はです。
樹形図より、最初から始めて回の操作後に
Lの個数が30個になるのは、最初の2回で、2回続けて表が出た場合(確率)と、2回の操作で表、裏と出て(確率)さらに以降の回の操作でLの個数が30個になる場合です。つまり、
この後、2項間漸化式を解くのは上記の通りです。
(3) のとき、4回の操作後に確率で最初の状態(**)が出てきます。
最初から始めて回の操作後にLの個数が30個になる確率はですが、こうなるのは、最初の4回で、3回続けて表が出た場合(確率)と、4回の操作で表、表、裏、表と出た場合(確率)と、表、表、裏、裏と出て(確率)さらに以降の回の操作でLの個数が30個になる場合(確率)です。つまり、
この後、2項間漸化式を解くのは上記の通りです。


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  1. 2010/02/27(土) 13:15:18|
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東大理系数学'10年前期[2]

東大理系数学'10年前期[2]

(1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。
(2) であるようなすべての自然数mnに対して、次の不等式を示せ。

解答 定積分に関する不等式を導く問題です。同一趣旨の過去問07年前期[6]と比べると、素直に考えて行ける分だけ、本問の方がやや容易かも知れません。

(1) 定積分の被積分関数は、の形の分数関数です。これを
として、曲線は、漸近線をもつ双曲線です(種々の関数のグラフ(1)を参照)
 (不定積分の公式を参照)
 ・・・①
①は、より、曲線x軸,y軸とで囲む部分、即ち、右図黄緑色着色部分の面積で、3頂点とする三角形の面積よりも小さくなるので、このことから与不等式の右側の不等号が示せそうです。
同様に考えて、与不等式の左側の不等号は、
3頂点とする三角形の面積と比較することにより示せるのではないか、と、期待できます。
を通る
直線は、
 ・・・②
を通る直線は、
 ・・・③
②とは、において、
より、直線②は曲線から上側にあり、
③とは、において、
より、直線③は曲線から下側にあります。
これより、直線③,曲線,直線②と
x軸,y軸とで囲む面積を比較して、
 (定積分と不等式を参照)

(2) 示すべき不等式の右辺は、
となっていて、同様に、不等式の左辺についても、
であることに着目します。
定積分
Iを計算した結果を入れた(1)の不等式
の各辺をで割ってできる不等式
 ・・・④
の右辺を、として加え合わせると、になるので、(1)の結果を変形して加え合わせればよい(数列の求和技法を参照)、ということになります。左辺の形も右辺に合わせて、になっていると都合がよいのですが、
より、
となるので、④より、
 ・・・⑤
⑤において、として、

・・・・・・
辺々加え合わせることにより、


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  1. 2010/02/26(金) 23:26:29|
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東大理系数学'10年前期[1]

東大理系数学'10年前期[1]

3辺の長さがabc の直方体を、長さがb1辺を回転軸として回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をabcを用いて表せ。
(2) のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。

解答 東大としては古典的な2変数関数の問題です。1文字を固定することにより解決します。

(1) 立体Vの底面は右図のようになっています。黒実線の長方形を回転軸の回りに回転したときに長方形が通過する領域です。
立体Vの底面積Sは、半径の円のと、直角をはさむ2辺がcaの直角三角形2個を合わせて、
立体Vの体積Wは、
......[]

(2) ①より、abcはいずれも正数なので、です。abc3変数ありますが、関係式:
 ・・・①
があるので、実質的に2変数です。bを固定すると、
 ・・・②
よりcを消去することができます。ここで、より、
と合わせて、
 ・・・③
(1)の結果に②を代入して、




bを固定してWa2次関数と見ると、と③より、Wは、
 ・・・④
の範囲の値をとり得ます。
ここで、
とおくと、
とすると、

b0

1

0
00

,増減表より(3次関数の増減を参照)
これより、
bの範囲で動かすとき、のとり得る値について、
 ・・・⑤
が成り立ちます。よって、④より、Vの体積Wのとりうる値の範囲は、
......[]
追記.④,⑤でとなるのは、かつまたはのときです。のときにはのときにはです。つまり、直方体が薄くなり、その2辺が、かつ (このとき),または、かつ (このとき)の長方形薄板に近づくときです。
⑤でとなるのは、またはのときです。のとき、
acにかかわらず、となります。のとき、かつとなります。
これより、となるのは、直方体が、辺
bの方向に薄くなる(直方体が厚さ02辺がacの長方形に近づく。またはのときに長さ1の棒を回転する場合を含む)か長さ1の細長い棒になるときです。


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  1. 2010/02/25(木) 23:53:56|
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早大理工物理'10年[3]

早大理工物理'10[3]

図のように、水平面上に2本の導体レールを、間隔で平行に置く。そしてレールの左端に、抵抗値Rの抵抗、起電力Eの電池、スイッチを、導線に直列につなぐ。また、それらと並列に、電気容量Cのコンデンサーとスイッチを、導線で図のように接続する。2本のレールの上に質量mの導体棒を、レールと垂直に置く。さらに鉛直下向きに、磁束密度Bの一様な磁場をかける。ここで導体棒とレールの間の摩擦は無視でき、また導体棒がレールの上を滑る際、導体棒とレールは常に直交しているものとする。さらに、この回路を流れる電流が作る磁場は無視できるものとし、レール、導体棒、導線の電気抵抗は無視できるものとする。また、導体棒の速度や導体棒に働く力については、図の右向きを正とする。

初めに、スイッチをともに開き、導体棒をレールの上に静止させた。そしてスイッチを開いたまま、スイッチを閉じた。すると、導体棒は動き始めた。


1 スイッチを閉じた直後に、導体棒が磁場から受ける力を求めよ。
2 導体棒が速さvで動いているとき、導体棒に生じる誘導起電力の大きさを求めよ。
3 スイッチを閉じてから十分に時間が経過したとき、導体棒の速度は一定となった。このときの導体棒の速度を求めよ。

次に、一度スイッチを開き、導体棒をレールの上に静止させ、スイッチを閉じた。このとき、コンデンサーに電荷は蓄えられていない。この状態で、スイッチを閉じた。ここで、スイッチを閉じた直後を時刻とする。さらに、時刻からまでの間に、導体棒の重心に手で力を加え、導体棒を等加速度運動させた。ただし、手で加える力の方向はレールと平行な方向で、その大きさは時間とともに変化する。そして時刻の直後に導体棒から手を離したところ、その後導体棒は、時刻での速度のまま等速度運動を続けた。

4 の時刻tにおける導体棒の速度を求めよ。
5 の時刻tにおける抵抗に流れる電流を求めよ。ただし、電池から抵抗に向かう電流の向きを正とせよ。
6 時刻からまでの間に、電池がした仕事を求めよ。
7 の時刻tにおけるコンデンサーに蓄えられた電気量を求めよ。
8 時刻からまでの間に導体棒に流れる電流の向きが反転するために、Tが満たさなければならない条件を求めよ。

以下では、時刻からまでの間に手が導体棒にした仕事と、時刻からまでの間に抵抗で発生したジュール熱が等しい場合を考える。

9 エネルギー保存の法則を使い、Tを、mRBCを用いて表せ。
10 手を離す直前の時刻に、手が導体棒に加える力を、ERBを用いて表せ。

解答 コの字型回路の問題ですが、導体棒に力を加えて加速度をつけるとどうなるか、というところが目新しい問題です。問3と問4の間の問題文に書かれている内容からいろいろなことが考えられるので混乱し易いかも知れません。一挙に全てを解決しようとせずに、一つずつ、手がかりのつくところから攻めて行きましょう。

1 スイッチを閉じると、導体棒には上から下に向かって大きさ電流が流れ、この向きを左手中指の向き、磁場の向きを左手人差し指の向きとすると、左手親指は、左から右へ向きますが、これが導体棒が磁場から受けるの向きです(フレミング左手の法則を参照)Fの値は正となり、
......[]

2 導体棒が右向きに動くと、この向きを右手親指の向き、磁場の向きを右手人差し指の向きとして、右手中指の向き(導体棒中で上向き)誘導起電力が発生します(フレミング右手の法則を参照)誘導起電力の大きさVは、
......[]

3 導体棒の速度が一定になる、ということは、磁場が導体棒にを及ぼさない、ということです。導体棒に電流が流れると磁場は導体棒にを及ぼしてしまうので、このとき、導体棒には電流は流れません。
電池E,抵抗R,導体棒、スイッチを周回する経路について、キルヒホッフの第2法則より、
......[]

4 において導体棒は等加速度運動しているので、その加速度a (題意よりです)として、時刻において導体棒は静止しているので、導体棒の速度vは、
と表せます。
においては、手で加える
がなくなり、導体棒が等速度運動するので、問3と同じ状況になり、導体棒の速度になります。
この
速度は、等加速度運動の時刻における速度なので、
 ・・・①
......[]

5 時刻tにおける抵抗に流れる電流として、電池E,抵抗R,導体棒、スイッチを周回する経路について、キルヒホッフの第2法則より、
4の結果を用いて、
......[]

6 時刻tにおいて、電池の仕事率です。
時刻からまでの間に電池がした仕事は、問5の結果を用いて、
......[]
別解.積分をしなくても、縦軸に仕事率、横軸に時間をとって、電池の仕事率のグラフを描き、3頂点とする直角三角形の面積として求めることができます。

7 時刻tにおいて、導体棒に生じる誘導起電力Vは、問2の結果に問4の結果を代入して、
コンデンサーCの両端の電圧Vなので、コンデンサーに蓄えられた電気量Qは、
......[]

8 時刻tにおいて、コンデンサーCに上側から流れ込む電流,導体棒に上から下に向かって流れる電流とし、問5の結果を用いて、

 ・・・②
とすると、
となる
時刻が、の間に入るためには、
......[]
このとき、においてはにおいてはです。つまり、導体棒がだんだん速くなり、導体棒に生じる誘導起電力が大きくなると、導体棒では上向きに電流が流れ、電池ではなく誘導起電力がコンデンサーの充電を行うようになります。

9 時刻からまでの間に、手が導体棒にした事を,抵抗で発生したジュール熱Hとします。問6よりこの間に電池はという仕事をしています。また、コンデンサーが静電エネルギーを蓄え、導体棒が運動エネルギー ( 3)を得ているので、エネルギー保存より、
題意より、として、
......[]

10 手が導体棒に加えるFとして、導体棒は他に磁場からを受けます。導体棒の運動方程式は、
①,②より、
 ・・・③
手を離す直前に、手が導体棒に加える
は、として、
......[]

追記.問4の結果と③を用いると、の間に、手が導体棒にした仕事は、



5の結果を用いて、抵抗で発生したジュール熱Hは、
とすると、

となり、当然のことですが、問9と同じ結果が出てきます。


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  1. 2010/02/23(火) 13:01:32|
  2. 10年物理
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早大理工数学'10年[5]

早大理工数学'10[5]

表の出る確率がp (),裏の出る確率がの硬貨が1枚ある。nを自然数とする。この硬貨を回投げたとき、表が回以上出る確率をとする。以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) となるpの範囲を求めよ。
(3) となるabnを用いて表せ。ただしabpを含まないとする。
(4) のとき、を最大にするnを求めよ。

解答 かつて確率の難問を出題していた早大理工の面目躍如、興味深い新傾向問題です。

(1) のとき、硬貨を2回投げて、表が2回以上出る確率は、
のとき、硬貨を4回投げて、表が3回以上出る確率は、表が3回出る確率が,表が4回出る確率が,よって、
......[] (反復試行の確率を参照)
のとき、硬貨を6回投げて、表が4回以上出る確率は、表が4回出る確率が,表が5回出る確率が,表が6回出る確率が,よって、
......[]

(2) (1)の結果を用いて、
のとき、となるので、カッコ内はで割り切れます。
 ・・・①
より、 ......[]

(3) 硬貨を回投げたとき、表が回以上出る確率は、表が回出る確率、表が回出る確率、・・・、表が回出る確率を加え合わせて、
と表せますが、これを一般的にpの整式で表すのは困難です。そこで、(1)の結果を使って予測してみます。
これより、のとき、です。
①より、
これより、のとき、です。
これだけでは、一般的な
nについて予測するのは難しいですが、仮に無理をしてを、
として計算し、
より、のとき、と求めてみても、不可能というわけではありませんが、やはり予測するのは厳しいでしょう。仮に予測できたとして、数学的帰納法でどう示すか、ということも課題になります。
数学的帰納法の枠組みに乗せるためには、の場合からの場合へどうつなげるか、ということを考える必要があります。そのためにのつながりを考えてみます。
は硬貨を回投げて回以上表が出る
(以下、これを「成功」と言うことにします)確率ですが、回投げて回以上表が出ると、回投げても「成功」は約束されています。ということは、からを引くと、のうちの回以上表が出る確率は消し合うことになります。ですが、回投げて回表が出た場合でも、続く2回のどちらか、あるいは、2回とも表が出れば回投げて「成功」できます。さらに言えば、回投げて「成功」できなかった場合でも、n回表が出ていれば、続く2回のどちらも表であれば、回投げて「成功」できます。
ここで整理します。硬貨を回投げて、表が
n回出る事象を「事象A」,表が回出る事象を「事象B」,表が回以上出る事象を「事象C」とし、事象A,事象B,事象Cが起こる確率をとすると、
硬貨を回投げて成功するのは、事象
B,事象Cが起きた場合で、その確率について、
硬貨を回投げて成功するのは、事象Aが起きてかつ続く2回のどちらも表が出た場合と、事象Bが起きてかつ続く2回のどちらか、あるいは、2回とも表が出る場合と、事象Cが起きた場合で、その確率について、
これより、
 ・・・②
ところで、事象Aが起こる確率は、
事象Bが起こる確率は、
②に代入して、


 ( 組み合わせを参照)
これで、数学的帰納法を使うことなく、abが求められました。
......[]

(4) のとき、

これより、,即ち、のとき、
,即ち、のとき、

よって、を最大にするnは、 ......[]


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  1. 2010/02/21(日) 00:51:44|
  2. 早大理工数学'10年
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早大理工数学'10年[4]

早大理工数学'10[4]

xyz空間において、2PQを考える。線分PQx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲面Sと、2つの平面およびで囲まれる立体の体積を求めよ。
(2) (1)の立体の平面による切り口を、平面上において図示せよ。
(3) 定積分の値をと置換することによって求めよ。これを用いて、(2)の切り口の面積を求めよ。

解答 という定積分は、早大、慶大の入試でよく見かけます。


Iを移項して2で割ると、
カッコ内の積分は、
を利用して、
(C:積分定数)
とすることが多い(早大理工98[5]など)のですが、ここでは、双曲線関数を使って置換積分する技巧を使うように指定されています。なお、置換積分(その3)を参照してください。

(1)
 (線分PQ上の点では)
平面と直線PQの交点Rは、
Rx軸の周りに1回転してできる円の半径は点Rx軸との距離、即ち、点との距離に等しく、その2乗は、
 ・・・①
この円は、曲面Sを平面で切ったときにできる円です。円の面積は、
Rが線分PQ上にあるときは、より、x座標kは、となります。
曲面
Sと、2つの平面およびで囲まれる立体Kの体積Vは、より、
......[]

(2) (1)の立体K内の点をとすると、立体Kを平面 ()で切ったときにできる断面の円内の点は、(1)に出てきた、を中心とし半径の2乗を①とする円周の内側となるので、①より、
()
を満たします。ここで、x座標kxに書き換え、とすると、立体Kの平面による切り口内の点は、
()
を満たします。境界線(右図実線)は、
 ・・・②
と、直線,直線ですが,②は、を漸近線(右図青線)とする双曲線です。
これより、切り口を図示すると、右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)

(3) は、と置換すると(置換積分を参照)
とすると、
とすると、
()
よって、
tのとき、s


 ( )


②より、
(2)の図より切り口はz軸,x軸に関して対称で、切り口の面積は、双曲線と直線x軸、z軸で囲まれる部分の面積の4倍に等しく、
......[]


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  1. 2010/02/20(土) 10:24:21|
  2. 早大理工数学'10年
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早大理工数学'10年[3]

早大理工数学'10[3]

abを実数とし、xy平面上の次の2つの関数のグラフについて考える。
 ・・・①
 ・・・②
以下の問いに答えよ。
(1) ①,②がただ1つの共有点をもつとき、baで表し、そのグラフをab平面上に図示せよ。
(2) (1)のグラフをと表す。定数pに対して
を最大にするaおよびその最大値を求めよ。

解答 (2)は細かくて神経がすり減りますが、難問というわけではなく、丁寧に解答しましょう。

(1) ①:のグラフは、の部分のグラフと、これをy軸に関して対称移動させたグラフを、点Pにおいてつなぎ合わせたグラフです。
(微分の公式を参照)より点Pにおける接線の傾きは1です。また、のグラフをy軸に関して対称移動させたグラフの点Pにおける接線の傾きはです。
は、において、また、において、下に凸、またなので、直線②がを通るとき、つまり、のとき、直線の傾き
aが、,あるいは、のときには、①と②は、以外にも共有点をもってしまいます(微分法の方程式への応用2を参照)。従って、
(i) ただ1つの共有点がのとき、
かつ
(ii) ただ1つの共有点がの部分に存在するとき、その共有点をQ ()として、直線②はQにおける①の接線になります。
において①は ()になるので、接線の傾きaについて、

接線が点Qを通ることから、

より、
()
これよりbにおいて単調減少(関数の増減を参照)
のときのとき
(iii) ただ1つの共有点がの部分に存在するとき、において①は ()であって、(ii)と同様に直線②は共有点Q ()における接線です。接線の傾きについて、

接線が点Qを通ることから、

より、
においてとするとになるので、
()のグラフは、 ()のグラフをb軸に関して対称移動させたグラフです。
以上より、のときのときのとき,求めるグラフは右図実線。

(2)
(i) において、
 (微分の公式を参照)
とすると、
のとき、
a1


0

この範囲では最大値は(関数の増減を参照)
のとき、
この範囲においては単調減少で、
(ii) において、
のときは単調増加で、この範囲では最大値は
のときより、この範囲における最大値も1
のときは単調減少で、この範囲では最大値は
(iii) において、
とすると、
のとき、
この範囲においては単調増加で、
のとき、
a

0

この範囲では最大値は
以上より、
のとき、においての最大値においての最大値において
より、最大値は
のとき、においてにおいてにおいて
最大値はにおいて
のとき、においてにおいての最大値においての最大値
より、最大値は
まとめると、
のとき、において最大値
のとき、において最大値1
のとき、において最大値 ......[]


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  1. 2010/02/19(金) 18:37:22|
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早大理工数学'10年[2]

早大理工数学'10[2]

xy平面上の点に対して、点,・・・ を次の式で順に定める。
以下の問いに答えよ。
(1) のとき、を求めよ。
(2) のとき、を求めよ。
(3) かつ のとき、となることを示せ。
(4) となる2以上の整数nが存在しないとき、点はどのような範囲にあるかを図示せよ。

解答 問題文に行列が出てきますが、行列1次変換の問題というほどのことはありません。
1象限、第4象限、・・・、x軸上の部分、y軸上の部分、・・・、という具合に分けて考えるように促す誘導に即して考えます。面倒ですが、すべての場合を調べても試験時間内にやりきれるでしょう。

のとき、 (行列の積を参照)
これは、を入れ替えてにマイナスをつける(図形的には、反時計回りに回転することを意味する)、ということです。
のとき、
これは、の双方にマイナスをつける(図形的には、反時計回りにp回転することを意味する)、ということです。
以上の規則でからを求めることを、のように表すことにします。

(1)
......[]
このまま続けていくと、となり、となっています。

(2)
......[]
 となっています。

(3) 以下では、とします。
として、


(4) のとき、として、

のとき、として、

のとき、として、


これより、ではが循環的に現れ、kを自然数として、
のときのときのとき
よって、となる
2以上の整数nは存在しません。
のとき、として、


これより、ではが循環的に現れ、kを自然数として、
のときのときのとき
よって、となる
2以上の整数nは存在しません。
のとき、として、

のとき、として、

のとき、として、

のとき、
これより、すべての整数について、
(3)を含めて以上より、
となる
2以上の整数nが存在しない”
かつ
の存在範囲を図示すると右図黄緑色着色部(太線を含み、点線と白マルを除く)


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  1. 2010/02/19(金) 10:49:33|
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早大理工数学'10年[1]

早大理工数学'10[1]

xy平面上の2ABを通り、直線と共有点をもつ円を考える。以下の問いに答えよ。
(1) この円の中心Pの軌跡を求めよ。
(2) この円の半径rの最小値を求めよ。

解答 出てくる数値が大きいのですが、慌てないように注意しましょう。

(1) 2ABを通る円Cの中心は、線分ABの垂直二等分線上にあります。
直線ABの傾きは,線分AB中点,つまり、です。これより、線分ABの垂直二等分線は、傾きが (2直線の平行・垂直を参照)を通る直線なので、
これより、Cの中心Pの座標を (tは実数)とおくことができます。
Cが直線 (即ち、)と共有点を有するのは、Cの中心Pと直線との距離が、円Cの半径以下のときです(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・①
より、
整理すると、
または  ・・・②
tは円の中心Px座標なので、円の中心P軌跡は、直線またはの部分 ......[]

(2) ②のとき、①は、
であって、これをt2次関数と見るとき、グラフの軸の位置は②に含まれませんが、②の範囲のtでは端点が最も近く、ここで半径rは最小値 ......[] をとります(2次関数の最大最小を参照)


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  1. 2010/02/18(木) 21:33:11|
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慶大理工数学'10年[B1]

慶大理工数学'10[B1]

aを正の定数とし、座標平面上の曲線Cと直線lを考える。
(1) 曲線Cと直線lがただ1つの共有点Aをもつとき、定数aの値と点Aの座標を求めなさい。求める過程も書きなさい。
(2) (1)のとき、曲線C,直線l,およびy軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めなさい。求める過程も書きなさい。
(3) a(1)で求めた値より小さい正の定数とする。このとき、直線lは曲線Cと共有点をもたない。点Pが曲線C上を動き、点Qが直線l上を動くとき、線分PQの長さが最小となるのは、点Pの座標がのときである。この点Py軸上にあるのはのときであり、このとき最小の線分の長さを求めるととなる。

解答 この問題も教科書の例題レベルの問題です。(3)[A3]と同一趣旨の問題です。

(1) 曲線Cは下に凸な曲線なので、曲線Cと直線lがただ1つの共有点をもつとき、直線lは曲線C接線になっています。
C
直線lCの接線になるとき、接線の傾きはaなので、
 ・・・①

接点はC上の点であってかつl上の点なので、そのy座標について、
 ・・・②
よって、より、接点のx座標は、
接線の傾きaは、①より、
......[]
接点のy座標は、②より、
共有点Aの座標は、 ......[]
別解.定数aの分離によっても解答できます(微分法の方程式への応用(2)を参照)
Clの方程式を連立して、
はこれを満たさないので、xで割って、
 ・・・③
Clがただ1つの共有点をもつとき、方程式③もただ1つの実数解をもち、この実数解が共有点のx座標になります。
とおいて、
とすると、
x
0

×0
×

より(関数の増減を参照)のとき方程式③はただ1つの実数解をもち、接点のx座標はになります。

(2) (1)のとき、直線lは、 となります。求める体積Vは、底面が半径の円で高さeの円錐の体積から、曲線Cy軸と直線で囲まれる部分をy軸のまわりに回転させた回転体の体積を引いたものになります(y軸のまわりの回転体を参照)
両辺の対数を考え、
 (部分積分法を参照)


......[]

(3) 線分PQの長さが最小になるのは、Pにおいて曲線Cに傾きaの接線が引けるときで、(1)の①,②と同様にして、接点のy座標は、
この両辺の対数を考えると、
接点のx座標は、
線分
PQの長さが最小となるときのPの座標は、 ......[]
Py軸上にあればx座標は0で、
......[]
このとき、Pの座標は,最小の線分の長さは、Pと直線lとの距離として、
......[] (点と直線の距離を参照)


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  1. 2010/02/17(水) 20:16:36|
  2. 慶大理工数学'10年
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慶大理工数学'10年[A4]

慶大理工数学'10[A4]

正の整数nkに対して、x3次関数
を考える。3次方程式が相異なる3つの実数解をもつような正の整数の組を見つけたい。
の導関数をとする。が相異なる
3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は個でなければならない。これより、nkの満たす不等式
 ・・・①
が得られる。
次にとおくと、も相異なる
3つの実数解をもたなければならない。これより、①を得たのと同様にして、nkの満たす不等式
 ・・・②
が得られる。
正の整数
nを与えるとき、連立不等式①,②を満たす正の整数kをすべて求めると
3つである。に対して、方程式を考えると、これはnに無関係に定まる解nを用いて表される2つの解
3つの実数解をもつ。

解答 枠の形がヒントになっています。誘導にうまく乗って解答を進めましょう。

()
が相異なる3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は2個でなければなりません(微分法の方程式への応用を参照)
2 ......[]
() よって、2次方程式の判別式について、

 ・・・①
......[]
()
①を得たのと同様にして、2次方程式の判別式について、


 ・・・②
2 ......[]
() ①について、より、
 ・・・③
②について、より、
 ・・・④
①とより、
 ・・・⑤
②とより、
 ・・・⑥
⑤,⑥より、
この不等式を満たす整数kは、③,④を考慮すると、
即ち、
......[]
() のとき、
 ・・・⑦
nに無関係に定まる解」という問題文の記述から、x1,・・・と順に代入して行きます。

 ・・・⑧
これより、は解をもちます。
......[]
() ⑧よりを因数にもつ(因数定理を参照)ので、⑦ので割って、

以外の解は、
() ......[]


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  1. 2010/02/17(水) 20:13:27|
  2. 慶大理工数学'10年
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慶大理工数学'10年[A3]

慶大理工数学'10[A3]

座標平面上において、以下の設問(1)(2)(3)のように図形Sと点Pを考える。図形S上を点Qが動くとき、線分PQの長さの最小値をと表す。
(1) 方程式の表す図形をSとする。点Pについてである。また、を満たす点P全体が描く図形は、不等式
の表す領域と一致する。
(2) 方程式の表す図形をSとする。点Pについてである。また、を満たす点P全体が描く図形の面積はである。
(3) 2つの式
の表す図形をSとする。を満たす点P全体が描く図形を図示しなさい。

解答 論述式であれば、どう論述するか悩む点があるかも知れませんが、空所を補充して図形を図示するだけなので、わざわざ面倒なことを考える必要はないでしょう。

(1)() Pと直線上を動く点Qとの距離の最小値は、点Pと直線との距離にほかなりません。点と直線の距離の公式より、
......[]
()() を満たす点Pは、直線との距離が1以下となる点で、

絶対値を外すと、
 (不等式と領域を参照)

(
) 3 () ......[]

(2)() Pと円周上を動く点Qとの距離の最小値は、点Pと円周の中心との距離から円周の半径を引いたものに等しく、
......[]
() を満たす点Pは、円周上の点から距離1以下の点ですが、点Pが描く図形は、原点を中心とする半径の円周から外側であって、かつ、原点を中心とする半径の円周から内側となる図形で、その面積は、
......[]

(3) 図形Sx軸の原点から右の部分です。を満たすのは、かつとなる部分、または、原点を中心とする半径1の円の内側となる点で、図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)

追記.論述する場合には、媒介変数表示を利用するのがよいでしょう。
(1) Pについて、直線上の点をQ (tは実数)として、線分PQの長さは、


 (等号成立はのとき。2次関数の最大最小を参照)
より、
Pのとき、
のとき、
(2) Pについて、円周上の点をQ ()として、線分PQの長さは、
 (三角関数の合成を参照)
 (等号成立は、のとき)
より、 (原点とPとの距離から半径を引いたもの)
Pのとき、
のとき、 ∴
(3) S上の点はQ ()と表せます。Pのとき、線分PQの長さはです。より、
(i) のとき、線分PQの長さは、のときに最小値
(ii) のとき、線分PQの長さは、のときに最小値
よって、を満たすのは、
(i) のとき、,即ち、
(ii) のとき、,即ち、


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  1. 2010/02/17(水) 20:10:38|
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慶大理工数学'10年[A2]

慶大理工数学'10[A2]

1234の番号が1つずつ書かれた4個の玉と1つの袋があり、番号1の玉だけが袋に入っている。この状態から始めて、
「袋から玉を
1個取り出し、その玉の番号を確認してから、次のルールに従い1個または2個の玉を袋に加える」
という作業を何回か続けて行う。
    ルール
取り出した玉の番号を
kとする。
() k4でないとき
番号の玉が袋に入っていなければ、取り出した番号kの玉を袋に戻し、さらに番号の玉を袋に加える。
番号の玉が袋に入っていれば、取り出した番号kの玉だけを袋に戻す。
() k4のとき、取り出した番号4の玉だけを袋に戻す。

(1) 上の作業を2回続けて行うとき、2回目に取り出す玉の番号が1である確率と2である確率はともにである。
(2) 上の作業を3回行うとき、取り出す玉の番号が3回とも1である確率はであり、取り出す玉の番号が順に123である確率はである。また、3回目に取り出す玉の番号が1である確率と2である確率はともにであり、3である確率はである。
(3) 上の作業を4回続けて行うとき、4回目に取り出す玉の番号が3である確率はであり、4である確率はである。

解答 センター試験でもお目にかかれない平易な確率の問題です。

作業を
4回行うときの樹形図を書いてみます。枠内の数字が袋の中の玉の番号です。

(1)() 樹形図より、2回目に取り出す玉の番号が1である確率、2である確率はともに ......[]

(2)() 樹形図より、3回とも1である確率は、
......[]
() 樹形図より、順に123である確率は、
......[] (3回目に取り出す玉が3の確率もです)
() 樹形図より、3回目に取り出す玉が1である確率は、
......[] (3回目に取り出す玉が2である確率もです)

(3)() 樹形図より、4回目に取り出す玉が3である確率は、
......[]
() 樹形図より、4回目に取り出す玉が4である確率は、
......[]


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慶大理工数学'10年[A1]

慶大理工数学'10[A1]

(1) 平面上の2つのベクトルを満たしている。このとき、の内積であり、のなす角q である。ただし、である。
(2) 関数における最小値はであり、最大値はである。
(3) 数列
()
を満たしている。この数列の一般項は、で与えられる。
また、である。

解答 いずれも、教科書の例題レベルの基本問題です。空所補充形式なので、ケアレス・ミスは致命傷です。

(1)()  ・・・① (内積を参照)
 ・・・②
①-②より、 ......[]
() と①より、
より、 ......[]

(2)()  (三角関数の応用を参照)
とおくと、よりであって、
とすると、
t0

1

00
67

増減表より、最小値は6 ......[]
() 最大値は ......[]

(3)() 与えられた漸化式で、とすると、左辺はとなるのに、右辺は0なので、です。そこで、与えられた漸化式をについて解くと、
とするとですが、なので、となるnはありません。そこで、両辺の逆数を考え、
とおくと、
 ・・・③ (2項間漸化式を参照)
 ・・・④

③-④より、
これより、数列は、初項,公比等比数列

......[]
() のときより、 (等比数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2010/02/16(火) 11:41:25|
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上智大理工物理'09年[1]

上智大理工物理'09[1]

摩擦がなく左右に無限に広がっている床の上に、図1のように一直線上に物体ABがある。物体Aと物体Bの質量はそれぞれmとそのr倍、である。
1.図1(a)では、物体Aと物体Bが速度で運動している。いま、図1(b)のように物体ABが、図1(a)の状態と同じ全運動量と全運動エネルギーをもって速度で運動している。このとき、2通りの可能性がある。一つはであり、もう一つの可能性はである。
次に、図2のように物体ABの右側に質量がmの物体Cを置き、物体BCを静止させた状態で、一番左の物体Aに右向きに速度v ()を与えた。物体同士の衝突は弾性衝突とする。
2ABに衝突したあとのABの速度はそれぞれ、である。この衝突の後、Aは右向きに進んだ。これより、であることがわかる。
3.次に、BCに衝突する。この衝突後のCの速度は、である。また、衝突後のBの速度はなので、Bは左向きに進むことがわかる。
43.の衝突後、左向きに進むBは、右向きに進んでいるAと衝突する。この衝突の結果、Aは静止し、Bは右向きに進んだ。Aが静止したことにより、質量がm2個の物体(物体Cと物体B)が動いている状態となる。したがって、Cの速度はこの衝突直前のAの速度と等しいはずである。よって、であることがわかる。また、右向きに進むBの速度も2.での衝突後のBの速度に等しい。
5Bの方が速いので、BCは再び衝突する。衝突後の速度は、それぞれとなる。

[ 1 ][ 6 ][ 8 ][ 9 ][ 11 ][ 12 ]の選択肢
a) 0 b) 1 c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)  m)  n)  o)  p)  q)  r)  s)  t)
[ 7 ]
[ 10 ]の選択肢
a) 0 b) 1 c) 2 d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)

解答 計算に頼って行けばいくらでも面倒になりますが、物理的な見方をすることによって簡単に解くことができる、ということを教えてくれる問題です。
2.以降では一々計算せずに、1.の結果を利用します。

1質量mの物体A質量の物体Bについて、最初の速度で、ABの間に何らかのやりとりがあった後に、速度になったとき、運動量保存とエネルギー保存が成立していた、と、問題文は言っています。高校物理に出てくる事項で思い出されるのは、完全弾性衝突です。論述式の試験ではないので、図1(a)と図1(b)の状況の間で、完全弾性衝突(反発係数が1)があったとして考えればOKです(衝突・合体・分裂の問題を参照)
 ・・・①
反発係数の式 ・・・②
②より、
 ・・・③
③を、①の両辺をmで割った式に代入すると、
整理して、

③より、
[1] l [2] j [3] f [4] m ......[]
注意.運動量保存の式①と力学的エネルギー保存の式:
を連立しても同じ結果が得られますが、2次方程式になってしまうので、非常に面倒になります。本問のように、運動量保存則と力学的エネルギー保存則が成立している状況では、1次方程式で解答できるので、上記のように、運動量保存と反発係数の式(反発係数は1)の連立で解答するべきです。
他にも、物体が摩擦のない可動斜面を登り降りする問題や、物体が別の可動物体に取り付けられたばねを押し縮めた後にばねと分離する問題などで、上記の解法が使える場合があります。

21.の結果でv0として、
Aが右向きに進んだ、と、いうことは、

[5] l
 [6] f [7] b ......[]

31.の結果で0として、

より、なので、Bは左向きに進みます。
[8] p [9] s ......[]

4.考え方が問題文中に指定されているので、素直に指定に従って解答します。3.の2.のと等しいとおくと、
分母を払って整理すると、
より、
[10] j ......[]
注意.問題文の指定を無視すると、以下のようになります。
1.の結果でとして、衝突後のA速度は、
2.の結果を代入して、
衝突後Aが静止したので、とすると、より、

54.の問題文にあるように、衝突前、B速度C速度となりますが、これは、2.の結果のA速度C速度としたものです。2.の結果は、静止していたBに、速度vAが完全弾性衝突した結果です。従って、ここで、BCに衝突すると、2.の衝突と逆の現象が起こり、Bが静止して速度0C速度vになります。
[11] a [12] b ......[]
注意.1.の結果で、とすると、

となります。


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  1. 2010/02/16(火) 10:50:06|
  2. 09年物理
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名工大数学'09年前期[3]

名工大数学'09年前期[3]

実数xに対して
とおく。
(1) を求めよ。
(2) に対してとおく。の導関数を求め、に対して等式が成り立つことを示せ。
(3) (2)を利用して極限を求めよ。
(4) 極限を求めよ。

解答 の逆関数がネタになっているユニークな発想の問題です。

(1)
とおくと、tのとき、q (置換積分(その2)を参照)
......[]

(2)  ・・・①
実数x ()とおきます。定積分で、とおくと、tのとき、j

として、
 ・・・②
両辺をxで微分すると、②を用いて、
......[]
①両辺をxで微分すると、

両辺を積分すると、
 (C:積分定数) ・・・③
(1)より、
また、においてとすると、
③において、とすると、

よって③より、

(3) ①においてとすると、
 ・・・④
(2)の結果より、
......[]

(4) (2)の結果より、

のとき、④よりとなるので、 (極限の公式を参照)が使えないか、と、考えます。これで、②の利用が見えてきます。
②,④より、のとき、より、
......[]


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  1. 2010/02/13(土) 13:58:25|
  2. 09年数学
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東京医科歯科大'09年[2]

東京医科歯科大'09[2]

正の実数abcを係数とする2次式に関して、次の条件Cを考える。
条件
C3で割り切れないすべての整数xについてが整数となる。
このとき以下の各問いに答えよ。

(1) が条件Cを満たすとき、は係数および定数項が整数となる1次式であることを示せ。
(2) 条件Cを満たすのうち、となるものを求めよ。
(3) 以下の条件が条件Cと同値となるような自然数の組のうち、が最小となるものを求めよ。
条件がいずれも整数となる。
(4) nを自然数とする。条件Cを満たすのうち、となるものの個数をnを用いて表せ。

解答 整数の問題ですが、(3)が答えにくい設問形式になっているなど、新傾向かつ難問です。
問題文を流し読みしただけでは、
(2)で、と条件Cだけでどうしてが求まるのか不思議に感じますが、が強力な制約条件になっており、ここから道が開けます。
また、こうした問題では、
xに簡単な数、などを代入して、感じをつかむことが大切です。本問でも、ここから手がかりが得られます。

(1)
xの係数:より、1次式です。
条件
Cより、は整数であり、は整数なので、
 (dは整数) ・・・①
は整数であり、は整数なので、
 (eは整数) ・・・②
②-①より、
よって、xの係数は整数です。②より、の定数項も整数です。
よって、題意は示されました。
が整数であるとします。条件
Cより、kを整数として、は整数で、

は整数になるはずですが、が整数であるとき、は整数で、

より、すべての3で割り切れない整数xについて、は確かに整数です。

(2)  ・・・⑤
また、条件Cが成立すれば、

は整数です。よって、
 (pは整数) ・・・⑥
 
(qは整数) ・・・⑦
と⑤より、
これを満たす整数qのみで、
⑥より、
aについても、と⑤より、
これを満たす整数
pのみで、
⑤より、
これより、
となります。このとき、xが整数であれば、
も整数であり、が整数であればも整数、また、が整数であればも整数になります。は整数なので、すべての3で割り切れない整数xについては整数となり、条件Cが満たされます。よって、
......[]

(3) 条件Cが成立すれば、1以外の整数であっても、⑥,⑦より、は整数です。従って、
条件C が整数
が言えます。
逆に、が整数であるとき、
も整数になります。また、も整数になります。
について、

は整数であり、の係数と定数項も整数です。従って、xが整数であるとき、も整数で、が整数であればも整数であり、が整数であればも整数です。よって、が整数であれば、すべての3で割り切れない整数xについては整数であり、条件Cが成立し、
が整数 条件C
が言えます。
これより、条件「が整数」は条件
1()です。・・・(**)
(2)
より、条件Cを満たすについて、であって、bは整数でなくが整数なので、(**)より、の最小値は2です。
また、このについて、はいずれも整数ではなく、
(**)より、のとき、は最小値4となり、さらにのとき、が最小になります。
以上より、条件が条件
Cと同値となるような自然数の組のうち、が最小となるものは、 ......[]

(4) (3)より、
が整数 条件C
であって、なので、

(kは整数)
とおくと、より、
(mは整数)
とおくと、
より、より、
 ・・・⑦
(i) kが奇数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
()
(ii) kが偶数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
()
上記のkmの値に対して、となるようにcを決めれば、が満たされるので、条件Cを満たすのうち、となるものの個数は、
 (等差数列の和の公式を使用)
......[]


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  1. 2010/02/12(金) 18:30:18|
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九州工大情報数学'09年[4]

九州工大情報数学'09[4]

箱の中に、数字の1を記入したカード、2を記入したカード、3を記入したカードがそれぞれn枚、合計枚入っている。ただし、であり、またカードの裏側には何も書かれていないものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 箱の中からカードを1枚取り出し、数字を見ないで伏せておく。次に箱の中から取り出したカードの数字が1である確率を求めよ。
(2) 箱の中から2枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字が異なる確率をnを用いて表せ。
(3) 箱の中から3枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
(4) 箱の中から4枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。

解答 (2)(3)余事象に着目してもよいのですが、(4)は余事象を考えてしまうと(3)の応用が効かなくなります。
この問題では、問われている方の事象を考える方が、
(2)(3)(4)のつながりがスムーズです。

(1) 枚のカードから2枚取る取り方は、1枚目の取り方が通り、1枚取ると枚残るので、2枚目の取り方が通りで、通り。
1枚目の数字がわからないので、1枚目が1かどうかで場合分けします。
1枚目に1を取る取り方はn通り、このとき、1枚残るので、2枚目にも1を取る取り方は通りで、通り。
1枚目に1以外を取る取り方は通り、このとき、1n枚残っていて2枚目に1を取る取り方はn通りで、通り。
求める確率は、
......[]
注.この結果は、1枚目の数字を見ないでおけば、2回目に1を引く確率は、1回目に1を引く確率と同じだということを表しています。

(2) 全事象は(1)と同じく、通りあります。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目は1枚目と異なるカードを取ります。1枚目と異なるカードは枚あります。
求める確率は、
......[]
別解.余事象に着目することもできます。余事象は、1枚目と2枚目が同じ数字になる事象です。全事象は、枚から2枚取る取り方として通り(組み合わせを参照)1枚目と2枚目が同じになる事象は、同一数字のカードn枚から2枚取る取り方が通り、数字は3種類あるので、通り、求める確率は、

(3) 枚のカードから3枚取る取り方は、1枚目が通り、2枚目が通り、3枚目が通りで、通り。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目に1枚目と同じものを取るとき通り、このとき3枚目には、1枚目、2枚目とは異なるものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
2枚目に1枚目と異なるものを取るとき通り、このとき3枚目には、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
求める確率は、
......[]
別解.余事象は、13枚目が同じ数字になる、か、13枚目で123の全ての数字が出る事象です。
全事象は、枚から3枚取る取り方として通り。
13枚目が同じ数になるのは、同一数字のn枚から3枚取る取り方が通り、数字が3種類で、通り。
13枚で123の全ての数字が出るのは、各数字n枚あって、123並び方通りあるので、通り。
求める確率は、

......[]

(4) 枚のカードから4枚取る取り方は、通り。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目に1枚目と同じものを取るとき通り、このとき、
(a) 3枚目に、1枚目、2枚目と同じものを取るとき通り、4枚目は、13枚目と異なるものを取るので通りで、通り。
(b) 3枚目に、1枚目、2枚目とは異なるものを取るとき通り、4枚目は、1枚目あるいは3枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
(a)(b)合わせて、通り。
2枚目に1枚目と異なるものを取るとき通り、このとき、3枚目は、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよく、通り、4枚目も同様に、通りで、通り。
求める確率は、
......[]


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  1. 2010/02/11(木) 17:47:54|
  2. 09年数学
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横浜国大物理'09年[2]

横浜国大物理'09[2]

図に示すように、起電力の電池E,抵抗値の抵抗R,電気容量のコンデンサー,電気容量のコンデンサー,自己インダクタンスのコイルL,スイッチにより構成された回路がある。初期状態ではスイッチは開いていて、コンデンサーには電荷(電気量)がたまっていないものとする。また、電池とコイルの内部抵抗は無視できるものとする。以下の文章の空欄を埋めよ。

(1) スイッチを閉じた直後に抵抗Rを流れる電流の大きさは ア [A]となる。また、十分に時間がたった後では、コンデンサーに蓄えられる電荷は イ [C],コンデンサーに蓄えられるエネルギーは ウ [J]となる。
(2) 十分に時間がたった後でスイッチを開放し、スイッチを閉じたところ、コイルの両端の電圧、各コンデンサーの両端の電圧、およびそれらを流れる電流は周期的に振動した。この振動の周波数は エ [Hz]である。
(3) スイッチを閉じた直後は、コンデンサーの極板間の電圧の大きさは,コンデンサーの極板間の電圧はであるから、コイルLの両端の電圧の大きさは オ [V] オ [V]の間を周期的に振動する。スイッチを閉じてから、コイルLの両端の電圧が最初にになるまでの時間は カ [s]となる。
(4) コイルLの両端の電圧がになった瞬間を考える。コンデンサーに蓄えられている電荷は キ [C],コンデンサーに蓄えられている電荷は ク [C]となり、コンデンサーに蓄えられているエネルギーは ケ [J],コンデンサーに蓄えられているエネルギーは コ [J]である。回路に蓄えられる電気エネルギーの総和は一定に保たれるので、コイルLに蓄えられているエネルギーは サ [J]となり、コイルLを流れる電流の大きさは シ [A]である。
(5) コンデンサーに蓄えられる電荷は周期的な時間変化をするが、コンデンサーに蓄えられる電荷がになった瞬間に、コンデンサーに蓄えられている電荷は ス [C]である。このとき、コイルLの両端の電圧の大きさは セ [V],コイルLを流れる電流の大きさは ソ [A]である。

解答 コンデンサーコイルに関する回路の問題ですが、単なる回路の問題とは言えない、慎重に考えるべき点のある問題です。
(2)(3)が見慣れない設定で悩みますが、問題文の()の書き方がヒントになっています。
(2)では、最初にの間の部分の電荷0でないので、は直列ではなく、L両端、即ち、両端の電圧Vが蓄える電荷Qとして、を直列として考えた合成容量 ()との間に、という関係は成立しません。
どういうことかと言うと、右図で、に最初
電荷が蓄えられていて、両端の電圧Vとしたときの電荷Qとすると、側の極板の電荷は、電荷保存より、

両端の電圧両端の電圧の和がVになるので、

直列の合成容量を用いて、
つまり、が直列であるときには、には等量の電荷が蓄えられるはずなのですが、の間に孤立している電荷があると、電圧だけずれるので、直列の公式通りにならなくなります。
ですが、は定数なので、
振動回路においては、の間に孤立している電荷は振動中心と振幅を変化させても、周波数には影響を与えません。従って、(3)の振動回路では、を直列として合成容量を考え、周波数を求めることができます。

(1)() を閉じた直後、は導通したのと同じで、電流の大きさは、オームの法則より、
......[]
() 十分時間が経過すると、電流は流れなくなりR両端の電圧で、に蓄えられる電荷は、
......[]
() に蓄えられるエネルギーは、 (コンデンサーの過渡現象を参照)
......[]

(2)() 直列の合成容量として、

振動の周波数は、

(3)() スイッチを閉じた直後、問題文より、コイルLの両端の電圧の大きさは (問題文の図のL上側が高電位)で、コイルL両端の電圧は、の間で振動します。
E ......[]
() スイッチを閉じてから、コイルLの両端の電圧が最初にになるまでの時間は、単振動の周期に等しく、
......[]

(4)() L両端の電圧になった瞬間に、に蓄えられている電荷として、電荷保存より、の上側の極板には、電荷が蓄えられています。このとき、両端の電圧両端の電圧が等しくなるので、

......[
]
() に蓄えられている電荷は、
......[]
() に蓄えられているエネルギーは、
......[]
() に蓄えられているエネルギーは、
......[]
() エネルギー保存より、Lに蓄えられているエネルギーは、
......[]
() このときの電流の大きさをとして、Lに蓄えられているエネルギーは、
 (自己誘導を参照)

......[
]
注.この電流の大きさが、電流の単振動の振幅であり、電流の最大値になります。また、この問題では、電流の最大値Iについて、 (最初の静電エネルギー)とならないので注意してください。

(5)() に蓄えられる電荷になった瞬間に、に蓄えられている電荷は、電荷保存よりです。
......[]
() 両端の電圧で、L両端の電圧の大きさは、両端の電圧の大きさに等しく、
......[]
() に蓄えられているエネルギーに蓄えられているエネルギーで、コイルに流れる電流として、エネルギー保存より、

......[
]


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  1. 2010/02/10(水) 19:11:12|
  2. 09年物理
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九大理系数学'09年後期[5]

九大理系数学'09年後期[5]

で定義された連続な関数とし、abを正の定数とする。このとき、
の関係を満たすものとする。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、
が成立することを示せ。
(2) が成立することを示せ。
(3) xについて連続な関数で、任意の二つの実数ab に対して、次の関係を満たすものとする。
さらに、で定義された二つの連続な関数は次の関係式を満たすものとする。
このとき、とおけば、
が成立することを示せ。
(4) であることを証明せよ。

解答 抽象的な問題というだけでなく、と、いろいろな関数の積分やら微分やらが出てくるので、目移りしてなかなか焦点が定まりにくい問題です。こういう時は、とにかく手を動かして、いろいろ試行錯誤するべきです。
(3)では、定積分に関する性質を利用するのですが、ここでは、自明とせずに、証明を試みます。

として、

 ・・・①

(1)  (積の微分法を参照)
 ・・・② (定積分と微分を参照)
より、,これを用いて、
①より、
これとより、

(2) なかなか手がかりのつかめない問題ですが、示すべき不等式:の右辺と①の右辺を比較してみます。
これが、において0以上となることが示せれば都合がいいのですが、(1)を見ると、という形が見えるので、より、
 ・・・③
とおいて、を示すことを目標にします。(1)の結果を用いて、
これより、において単調増加であり、②でとおくととなるので、③より(関数の増減を参照)
よって、①を用いて、

(3) として、
 ・・・④
問題文中の関係式:において、とすると、
()
よって、
 ・・・⑤
で定義された連続な関数について、
 ・・・⑥
となるので、とすることにより、
これと、④,⑤より、
注.⑥は既知としてもよいのですが、証明しておきます。
において、つねにであるときには、
 ・・・⑦
において、つねにであるときには、
 ・・・⑧
において、を満たすtn個あって、,・・・,とします。また、とします。となる整数kについて、のときであれば、
()
ですが、のときであれば、
従って、
より、

以上より⑦,⑧を含めて、⑥が成立します。

(4) (3)の結果を見ると、において定義された連続な関数について、①で、とし、とした不等式が成り立つので、(2)の結果で、とし、とした不等式が成り立ちます。よって、において、
 (証明終)


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京大文系数学'09年[2]

京大文系数学'09[2]

整式と実数C
をみたすとき、このCを求めよ。

解答 定積分の上端、または下端に変数xを含むときには、
 (aは定数)
を利用します(定積分と微分を参照)。また、上端と下端が等しくさせて、定積分が0となる場合を調べるようにします。

 ・・・①

①左辺第2項の定積分を変形すると、



が整式なので、も整式であり、この右辺の形から2次の整式です。
定積分は定数なので、abcを定数として、
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
とおくと、
ここで、とするととなるので、
 ・・・⑤
両辺をxで微分すると、より、
 ・・・⑥
②より、⑤を用いて、
 ・・・⑦
③より、


⑦に代入することにより、

⑥より、

......[]
④とより、
......[]


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横国大工数学'09年[4]

横国大工数学'09[4]

放物線上に2PQをとる。次の問いに答えよ。
(1) tがすべての実数を動くとき、直線PQが通過する領域を求めよ。
(2) tの範囲を動くとき、線分PQが通過する領域を求め、図示せよ。

解答 xy平面上における直線の方程式、あるいは、曲線の方程式がxy以外の助変数を含んでいて、この助変数がいろいろな値をとる、という設定の問題があります。このとき、助変数の値が変化すると、直線や曲線がxy平面上を動き回るのですが、動き回る範囲を求めたい、という場合の対処法を、この問題で考えてみます。
(2)は、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、xの範囲、tの範囲が複雑にからんで、いろいろと検討することがあり、きちんとやろうとすると難問です。

直線PQの傾きは、
直線
PQの方程式: (直線の方程式を参照)
整理して、
 ・・・①
の各値に対する直線PQを右図に示します。これで問題の概略はつかめます。

(1) tがすべての実数をとって変化するときに直線①が通過する領域を求める、という問題なのですが、各tの値に対して直線がどう動くかを見ようとすると、概略はつかめますが、正確な議論はできません。
①をxの関数と見るのではなく、x座標を固定してt2次関数と見ることにより、そのx座標のところでy座標がどういう範囲の値をとるのか、という見方をするようにします。
①の右辺をとおくと、

 ・・・②
tがすべての実数を動くとき、において最大値をとり、最大値以下のすべての値をとります。

x座標においてy座標がという範囲の値をとりうる、ということは、x座標を動かすと、直線①は領域:を動くということです。直線PQが通過する領域は、
......[] (図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む))
別解.①をt2次方程式
 ・・・③
と見て、tが実数であることから、これが、実数解をもつ条件、
判別式:

として領域を求めることもできます。

(2) tの範囲を動くときには、直線PQの通過範囲を考えるためには、②で与えられる関数の範囲においてとりうる値を考えることになります。
のグラフはに関して対称なので、の範囲に対して軸位置がどういう位置関係にあるか、ということで以下の4通りに場合分けします(右図参照)
(i) が範囲の左側にあるとき、,つまり、
(ii) が範囲内の中間よりも左側にあるとき、,つまり、
(iii) が範囲内の中間よりも右側にあるとき、,つまり、
(iv) が範囲の右側にあるとき、,つまり、
また、ここでは、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、線分PQ上の点のx座標の範囲を考える必要が出てきます。
より、
tに関して、のほかにという条件がつくので、という範囲(範囲Aとします)という範囲(範囲Bとします)の共通部分を考えなければいけません。
(a) のとき、となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。
(b) のとき、となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、
(c) のとき、となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、
(d) のとき、となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。
従って、(i)(iv)(a)(d)とから、xの範囲を、
()  ((i)かつ(b))
()  ((ii)かつ(b))
()  ((iii)かつ(c))
()  ((iv)かつ(c))
4つの範囲に分けて考えることになります。
より、各場合について、のとり得る値の範囲は以下のようになります(2次関数の最大最小を参照)
() のとき、より、は、,つまり、
という範囲の値をとります。
() のとき、より、は、,つまり、
という範囲の値をとります。
() のとき、より、は、,つまり、
という範囲の値をとります。
() のとき、より、は、,つまり、
という範囲の値をとります。
以上まとめて、線分PQが通過する領域は、
 ()
 ()
 ()
図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[]
注.点PQは放物線上を動く点なので、領域の境界線としてが出てきます。また、きちんとやれば、上記のようになるのですが、もう少し、簡単に済ませたければ、線分PQは、直線PQを放物線で切り取ったときの弦で、直線PQのうちを満たす部分だから、として、(i)(iv)の場合わけのみで、の範囲でのとり得る値を、
(i) のとき、
(ii) のとき、
(iii) のとき、
(iv) のとき、
として求め、との共通部分、とすることになります。
別解.2次方程式③:を考えるのであれば、③がの範囲に解をもつ条件を考えます(2次方程式の一般論を参照)
まず、重解を含めて2解を有するとき、
() 判別式:
() 軸:
() 端:
()かつ()かつ()より、
かつかつかつ ・・・④
の範囲に1実数解を有するとき、
または ・・・⑤
④または⑤では「直線PQ」の通過範囲になってしまうため、上記の注.のようにして、「線分PQ」の通過範囲は、“④または⑤”かつである、とすることになります。


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  2. 09年数学
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