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センター数学IIB '10年第4問

 センター数学IIB '10年第4問 

二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、である。とおく。
とする。辺
ABaの比に内分する点をX,辺BFbの比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をaとする。
(1) である。ベクトルは、abを用いてと表される。
である。
(2) 直線ECと平面aが垂直に交わるとし、交点をKとする。が三角形XYZ2辺と垂直であることから、が成り立つ。
以下では、とする。このときである。を実数cを用いてと表すと、である。一方、点Kは平面a上にあるから、は実数stを用いて
と表される。これらより、である。よって、点Eと平面aとの距離となる。

解答 空間ベクトルの問題ですが、問題文の誘導が意図していることを意識しつつ、想定されている状況の中で自分を見失わないようにすることが大切です。

(1) 平行六面体の各辺の長さは1なので、 ・・・①
より、
 ・・・② (内積を参照)
より、
 ・・・③
() 0 () 1 () 2 ......[]

 ・・・④
 ・・・⑤

 
( ①,②)
() a () b () 0 ......[]

(2) より、は三角形XYZ2辺と垂直になりますが、(1)は確認されているので、です。よって、④,⑤とより、

 ( ①,②,③)
 ・・・⑥
⑥でとすると、

() 2 () 2 () 3 () 4 ......[]
 ・・・⑦
と表すと、
 ・・・⑧
④より、,よって、

 ・・・⑨
⑧,⑨のの係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)

これらより、

(
) 4 () 2 () 5 () 8 ......[]
 ( ①,②,③)


(
) 5 () 2 () 8 ......[]


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  1. 2010/01/30(土) 17:41:44|
  2. センター数学'10年
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センター数学IIB '10年第3問

 センター数学IIB '10年第3問 

自然数の列1234,・・・ を、次のように群に分ける。
1 | 2345 | 6789101112 | ・・・
ここで、一般に第n群は個の項からなるものとする。第n群の最後の項をで表す。
(1) である。
 ()
が成り立ち
 ()
である。
よって、
600は、第群の小さい方から番目の項である。
(2) に対し、第群の小さい方から番目の項をで表すと
であり
が成り立つ。これより
 ()
となる。

解答 階差数列や数列の和をテーマとした問題です。教科書の例題に準拠した問題で、第2問と同様、受験生の基礎学力を調べるのに適切な問題だと思います。昨年の数列の問題と比べれば、センター数学の内容が大きく改善されたように感じます。

(1) 4群には、項あるので、
() 2 () 2 ......[]
n群の末尾から第群の末尾を引いたものは、第n群の項の数になります。
 ()
() 3 () 2 ......[]
階差数列の公式より、
 (Σの公式を参照)
() 3 () 2 () 2 () 1 () 2 ......[]
600
が第n群に属するのであれば、
整理すると、
 ・・・①
とするとなので、付近のの値を調べます。
のとき、
のとき、
よって、
より、①を満たすnは、で、600は第21群に属します。
より、第20群の末尾は590で、第21群の先頭は591です。600は、591から10番目の自然数で、第21群の10番目の項です。
() 2 () 1 () 1 () 0 ......[]
注.上記の解答では、十分条件を求めたに過ぎませんが、空所補充式のセンター試験では、これで解答できてしまいます。①をきちんと考えるのであれば、①の右側の不等号とより、

 ・・・②
①の左側の不等号とより、

 ・・・③
②かつ③より、となります。

(2) n群の末尾は、なので、第群の先頭は、で、第群の小さい方から番目の項は、

() 3 () 2 () 2 () 3 () 2 () 2 () 3 () 1 ......[]
 (数列の求和技法を参照)
() 2 () 3 () 3 ......[]


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  1. 2010/01/29(金) 16:09:38|
  2. センター数学'10年
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センター数学IIB '10年第2問

 センター数学IIB '10年第2問 

kを実数とし、座標平面上に点Pをとる。曲線
Cとする。
(1) Qにおける曲線Cの接線が点Pを通るとすると
が成り立つ。

とおくと、関数で極小値をとり、で極大値をとる。
したがって、点
Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは、kの値がまたはのときである。また、点Pを通る曲線Cの接線の本数はのとき本、のとき本、のとき本となる。
(2) とする。曲線
Dとする。曲線CDの交点のx座標はである。
の範囲において、
2曲線CDおよび2直線で囲まれた二つの図形の面積の和はである。

解答 昨年まで、センター試験の数学には問題点が多い、ということを書いてきましたが、本問に、それに対する改善の姿勢が見えます。煩瑣な文字計算を必要としない、こうした教科書の例題に即した標準的な問題の方が、数学の実力を適切に測れるのではないでしょうか。
数学の基礎学力を調べる問題にオリジナリティーは不要だと思います。


(1)  ・・・①
微分すると、
Qにおける曲線C接線の方程式は、
整理して、
これが点Pを通るので、

 ・・・②
() 2 () 1 () 2 () 1 () 8 ......[]
とおくと、
とすると、
t
1
3
00
0

増減表より、関数は、で極小値をとり、で極大値0をとります(3次関数の増減を参照)
() 1 () - () 8 () 3 () 0 ......[]
曲線と直線の共有点の数を考えることにより、t3次方程式②:は、
のとき、1
のとき、2
のとき、3
のとき、2
のとき、1
をもちます(微分法の方程式への応用を参照)。点Pを通る曲線Cの接線の本数は、3次方程式②の解の個数に一致するので、
接線の本数がちょうど
2本となるのは、またはのときです。
接線の本数は、のとき
1本、のとき3本、のとき1本です。
() 0 () - () 8 () 1 () 3 () 1 ......[]

(2) のとき、曲線C ・・・③
曲線D ・・・④
③,④を連立すると、


よって、曲線Cと曲線Dの交点のx座標は0です。
() 0 () 7 () 3 ......[]
の範囲において、2曲線CDおよび2直線で囲まれた二つの図形の面積の和Sは、範囲内の2曲線が交わり、においてにおいてであることを考慮して(定積分と面積を参照)

() 2 () 1 () 2 ......[]


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  1. 2010/01/26(火) 21:36:39|
  2. センター数学'10年
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センター数学IIB '10年第1問

 センター数学IIB '10年第1問 

[1] 連立方程式
()
を満たす正の実数xyを求めよう。ただし、とする。①の両辺で2を底とする対数をとると
が成り立つ。これと②より
である。
したがって、
2次方程式
 ・・・③
の解である。③の解はである。ただし、は解答の順序を問わない。よって、連立方程式()の解は
またはである。

解答 対数方程式に関する基本問題です。なお、対数関数を参照してください。

①の両辺で
2を底とする対数をとると
これと、②より、

(
) 7 () 1 () 2 ......[]
従って、解と係数の関係より、2次方程式
 ・・・③
の解になります。
③の解は、
従って、,または、
即ち、
または
(
) 7 () 1 () 2 () 3 () 4 () 8 () 1 () 6 ......[]
注.問題文の指定より、() 4 () 3でも正解です。


[2] の範囲で
 ・・・①
を満たすq の値を求めよう。
一般に、すべての
xについて
である。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
     
したがって、①が成り立つとき、となり、の範囲でのとり得る値の範囲を考えれば、またはとなる。よって、①を満たすq またはである。
である。の値を求めよう。①より
となり、この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
となる。ここでであるから
 ・・・②
が成り立つ。は②を満たしている。とすると、であるから
となる。ここで、より
である。

解答 三角関数の問題ですが、問題文が錯綜しているので、読み間違いに注意しましょう。

 (加法定理を参照)
より、一般に、すべてのxについて、
が成り立ちます。
()
①が成り立つとき、
 ・・・③
の範囲でのとり得る値の範囲は、

ここで、ですが、
のいずれにおいても、となるので、

のとき、③より、
のとき、③より、 (です。三角関数を参照)
() 6 () 1 () 0 ......[]
() 1 () 2 ......[]
(
2倍角の公式を参照)と①より、
() 2 ......[]
さらに、2倍角の公式を用いて変形すれば、
() 4 () 8 ......[]
ここで、より、で両辺を割ることにより、
 ・・・②
が②を満たすので、②左辺はで割り切れます。割り算を実行することにより、
より、のときは、
を満たします。より、
() 4 () 2 () - () 1 () 5 () 4 ......[]


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  1. 2010/01/25(月) 16:32:36|
  2. センター数学'10年
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センター数学IA '10年第4問

 センター数学IA '10年第4問 

袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。なお、同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。この袋から同時に5個の玉を取り出す。
5個の玉の取り出し方は通りある。
取り出した
5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点、1組だけあれば得点は1点、1組もなければ得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは通りであり、黒玉が含まれていないのは通りである。
得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは通りであり、黒玉が含まれていないのは通りである。
(2) 得点が1点である確率はであり、2点である確率はである。
また、得点の期待値はである。

解答 取り出された5個の玉について、黒玉、赤玉、白玉の個数のすべての場合について場合の数を調べても時間内に解答できると思います。ですが、5個の玉に書かれている数字に着目し、以下の、より効率的な方針に気がつきたいところです。

11個の玉はすべて色か数字が異なります。異なる11個の玉から5個の玉を取り出す取り出し方は、
通り (組み合わせを参照)
() 4 () 6 () 2 ......[]

(1) 得点が0点、ということは、取り出された5個の玉に書かれている数字は1から5までの全てだということです。
このとき、黒玉が含まれているのは、5通りの数字のうち、どの数字が黒の数字か、ということが、通り、残る4通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通り、よって、通りの取り出し方があります。
() 8 () 0 ......[]
得点が0点のとき、黒玉が含まれていないのは、5通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通りあります。
() 3 () 2 ......[]
得点が1点、ということは、取り出された玉に書かれている数字は4通りで、そのうち1通りの数字は赤と白の両方に書かれている、ということです。
5通りの数字から4通りの数字を選ぶ選び方が通りあります。
このとき、黒玉が含まれているのは、
4通りの数字のうち、黒の数字と赤白の両方に書かれている数字の2通りの数字の選び方が通り、残る2通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通り、よって、通りあります。
() 1 () 2 () 0 ......[]
得点が1点のとき、黒玉が含まれていないのは、赤白の両方に書かれている数字の選び方が通り、残る3通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通り、よって、通りあります。
() 1 () 6 () 0 ......[]

(2) 5個の玉を取り出すとき、赤と白の両方に同じ数字が書かれている組の数は、問題文にあるように、2組か1組か0組のいずれかです。
(1)で調べた通り、0組の場合が、通り、1組の場合が、通り、従って、2組の場合が、通りあります。
よって、得点が
1点になる確率,得点が2点になる確率は
() 2 () 0 () 3 () 3 () 5 () 3 () 3 ......[]
得点の期待値は、
() 1 ()0 () 1 () 1 ......[]


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  1. 2010/01/22(金) 15:30:48|
  2. センター数学'10年
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センター数学IA '10年第3問

 センター数学IA '10年第3問 

である直角三角形とする。
(1) の内接円の中心をOとし、円O3BCCAABと接する点をそれぞれPQRとする。このとき、である。また、
であり、である。
(2) Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする。このとき、
であり、である。また、点Sから辺BCへ垂線を下ろし、垂線とBCとの交点をHとする。このとき
である。したがって、である。
(3) O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる。このとき、
である。よって、であり、
である。

解答 方べきの定理を使うところがポイントです。方べきの定理が思いつけなければ、三角形ASRと三角形ARPの相似を考えます。

(1) 右図で、とすると、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①+②+③より、 ・・・④
④-②より、
④-③より、
④-①より、
四角形
BPORは正方形なので、
() 1 ......[]
従って、三角形ABCの内接円Oの半径は1です。
三角形
AQR余弦定理を適用して、

(
) 4 () 5 () 5 ......[]
三角形PQRの外接円の半径は1なので、三角形PQR正弦定理を適用して、

() 2 () 5 () 5 ......[]

(2) 直角三角形ABPにおいて、と三平方の定理より、

(
) 1 () 0 ......[]
直線APは円O2PSで交わり、直線ABは円ORで接するので、方べきの定理より、


(
) 3 () 1 () 0 () 5 ......[]
SH // AB
より、
APSP = BPHP = ABSH == 53

() 3 () 5 () 9 () 5 () 1 () 2 ......[]

(3) Tから辺BCに垂線TKを下ろすと、
() 1 () 2 ......[]
より、3CTSは一直線上にあります。RTは円Oの直径では直径の上に立つ円周角で、
また、は円
Oの弦PTの上に立つ円周角で、中心角

(
) 9 () 0 () 4 () 5 ......[]


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  1. 2010/01/20(水) 16:18:53|
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センター数学IA '10年第2問

 センター数学IA '10年第2問 

abを実数とし、xの二つの2次関数
 ・・・①
 ・・・②
のグラフをそれぞれとする。
以下では、の頂点は上にあるとする。
このとき

であり、の頂点の座標をaを用いて表すと
となる。
(1) の頂点のy座標は、のとき、最小値をとる。
のとき、の軸は直線であり、x軸との交点のx座標は
である。
(2) が点を通るとき、である。
のとき、x軸方向にy軸方向にも同じくだけ平行移動しても頂点は上にある。ただし、0でない数とする。

解答 悩むところもない基本問題なので、この問題は落とせません。

②を
平方完成して、
よっての頂点は、
これが上にあるので、

 ・・・③
また、 ・・・④
の頂点は、

() 4 () 2 () 1 () 3 () 1 ......[]

(1) の頂点のy座標は、
 ・・・⑤
より、のとき、最小値をとる。
() - () 1 () 3 () - () 4 () 3 ......[]
の頂点のx座標はなので、のとき、の軸は直線
() 1 () 3 ......[]
③,⑤より、のとき、
②は、
x軸との交点のx座標は、
として、
 (2次方程式を参照)
() 1 () 2 () 3 () 3 ......[]

(2) を通るとき、②でとして、
④より、


(
) 1 () - () 3 () 2 ......[]
のとき、②は、
x軸方向にpy軸方向にp平行移動すると、頂点はからに移ります(2次関数を参照)。これが上にあることにより、
整理して、
より、
() 3 ......[]


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  1. 2010/01/19(火) 16:30:00|
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センター数学IA '10年第1問

 センター数学IA '10年第1問 

[1] とする。aの分母を有理化すると
となる。
2次方程式の解は
である。
次のの数のうち最も小さいものはである。

  
      

解答 最後の大小比較は、見当をつけてから差をとってみます。

 (分母の有理化を参照)
() 5 () 2 () 1 () 2 ......[]

() 1 () 6 () 1 ......[]
aについて、より、
従って、の中で最小になる可能性があるのは、です。引いて比較すると、
よって、の中で最小のものは、
() ......[]



[2] 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。また、に当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。

自然数nに関する条件pqrsを次のように定める。
pn5で割ると1余る数である。
qn10で割ると1余る数である。
rnは奇数である。
sn2より大きい素数である。
また、条件rの否定を,条件sの否定をで表す。このとき
pかつr」はqであるための
であるための
pかつs」は「qかつs」であるための
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない

自然数全体の集合を全体集合
Uとし、条件pを満たす自然数全体の集合をP,条件rを満たす自然数全体の集合をR,条件sを満たす自然数全体の集合をSとすると、PRSの関係を表す図はである。

解答 本問では、条件pqrsを満たす自然数を具体的に挙げていけば、答がわかってしまいます(整数条件・命題を参照)
条件
pを満たすのは、161116212631364146,・・・
条件
qを満たすのは、111213141516171,・・・
条件
rを満たすのは、13579111315171921,・・・
条件
sを満たすのは、35711131719232931,・・・
条件「
pかつr」を満たすのは、111213141516171,・・・
となるので、「
pかつr」はqであるための必要十分条件です。
証明 条件pを満たす自然数、つまり、5で割ると1余る自然数は、k0以上の整数として、と書けます。
kが奇数のとき偶数、kが偶数のとき奇数になるので、「pかつr」を満たすのは、条件pを満たす自然数のうちで、kが偶数であるものであって、kは、m0以上の整数として、と書けます。
このとき、となり、「
pかつr」を満たす自然数の集合と、10で割ると1余る自然数の集合は一致します。つまり、
pかつr q (証明終)
() ......[]

条件sを満たす自然数、つまり、2より大きい素数は、すべて奇数なので、条件rを満たします。ですが、条件rを満たす自然数、つまり、奇数のうち、は素数ではありません。従って、
s r
この命題の対偶も成立し、
であるための十分条件であって必要条件ではありません。
() ......[]

条件「pかつs」を満たすのは、113141,・・・
条件「
qかつs」を満たすのは、113141,・・・
そこで、両条件を満たす
集合を考えてみます。問題文後半にあるように集合PRSをとり、さらに、条件qを満たす自然数の集合をQとします。
()()の結果より、
よって、

pかつs qかつs
() ......[]

上記よりですが、こうなっているのは、です。
また、なので、
これより、
PRSの関係を表す図は、
() ......[]


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横浜国大物理'09年[3]

横浜国大物理'09[3]

図は広い水槽を上方から見たものであり、水槽の壁面に平行な境界面を境として水深が異なっている。図のように、波のないときの水面と壁面との交線上の1点を原点Oとして、水面上にx軸とy軸をとり、鉛直方向にz軸をとる。また、図中で境界面より上側の水深の深い部分を媒質1,下側の水深の浅い部分を媒質2とし、その境界面のy軸上の点をAとする。媒質1の水面上を、速さ,波長の平面波が、図の左上の方向から境界面に入射角で進んでくる。水面上に生じる平面波を正弦波の横波であるとみなし、境界面での波の反射はないものとして、以下の文章の空欄を埋めよ。

(1) 入射波がA点に到達するまでの媒質1での波を観測する。まず、yz平面での波の変位を観測すると、y軸の負の向きに進む、波長 ア [m],速さ イ [m/s]の波が観測される。また、境界面での波の変位を観測すると、x軸の正の向きに進む、速さ ウ [m/s]の波が観測される。
(2) 入射波は境界面で速さが変化して、媒質2では屈折角の屈折波となる。屈折波の速さは エ [m/s],波長は オ [m],周期は カ [s]である。この屈折波の変位をyz平面で観測すると、AからOに進む波長 キ [m]の波が観測される。
(3) 壁面に達した屈折波は、壁面で反射する。この反射波と屈折波の合成波をyz平面で観測する。屈折波のAからOに進む波と、反射波のOからAに進む波とが重なり合い、壁面が自由端であるので、yz平面上では壁面を腹とする定常波となる。ここで、yz平面上で定常波の変位を観測したら、O点から数えてA点はちょうど3番目の節であった。これより、壁面と境界面との距離は ク [m]であることがわかる。また、合成波を壁面(xz平面)で観測すると、x軸の正の向きに進む、波長 ケ [m],速さ コ [m/s]の波が観測される。
(4) A点で最初に入射波を観測してから、A点で最初に定常波の節が観測されるまでの時間は サ [s]である。また、A点で最初に定常波の節が観測される時刻までに、屈折波は壁面の シ [m]の位置まで到達している。
(5) 反射波は媒質1に到達した後は、媒質1でも入射波と反射波によるy軸方向の定常波が観測される。yz平面において、この媒質1での定常波の隣り合う腹の距離は ス [m]となる。

解答 目新しい問題のように見えますが、波動現象を、物理の問題として波面の動きを目で見ているかのように考えることができるか、ということが問われています。
(3)以降になると、公式の暗記では歯が立たないでしょう。

(1)() 右図直角三角形BDCにおいて、より、yz平面での波の波長は、
......[]
() ()と同様に、yz平面での波の速さは、
......[]
注.波の公式で考えると、となります。
() 右図直角三角形EFGにおいて、より、境界面での波の波長は、
 ・・・①
同様に、境界面での波の速さは、
......[]

(2)() 媒質2における屈折波の速さとして、屈折の法則より、
 (本問の状況では、であることに注意)
屈折波の速さは、
......[]
() 波長も屈折波の速さと同様に、
......[]
() 波の振動数は、媒質2においても媒質1と変わらず、周期
......[] (波の公式を参照)
 
() 右図で、水色の矢印付きの線分は波の進行方向、青線は屈折波(入射波)の波面、緑線は反射波の波面を示します。太線は山、細線は谷を意味すると思ってください。①より右図で、
屈折波の波長AHは、直角三角形AJHにおいて、
屈折波の
yz平面での波長AIは、直角三角形AIHにおいて、
......[]

(3)() 右図より、O点が定常波の腹で、A点がOから3番目の節になる、ということは、
......[]
() 壁面は自由端なので、壁面に入射する波(屈折波)も反射した後の波も合成波も同じ波長速さの波です(波の反射を参照)。屈折波を壁面で観測したときの波長は、
......[]
() 屈折波を壁面で観測したときの速さは、()と同様に、
......[]

(4)() A点で最初に定常波の節が観測されるとき、A点を出発しK点で反射した波はL点まで来ています。このとき、入射波(屈折波)の波面は壁面のM点まで来ているので、y軸上では、AO2倍の距離進んでいます。y軸上で見た屈折波の速さは、()と同様にです。よって、A点で最初に入射波を観測してから、A点で最初に定常波の節が観測されるまでの時間は、()の結果を利用して、
......[]
() A点で最初に定常波の節が観測される時刻までに、上述のように、屈折波は壁面のM点まで来ています。
......[]

(5)() 反射波が媒質1に到達したとき、その波長は、入射波の媒質1における波長に戻ります。反射波のyz平面での波長()の結果よりです。定常波の隣り合う腹の距離は、波長なので、です。
......[]


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  1. 2010/01/17(日) 17:03:53|
  2. 09年物理
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東京理科大理数学'09年[2]

東京理科大理数学'09[2]

以下の(1)から(3)の問いに答えよ。ただし、(1)および(2)で得られた結論は、必要なら(3)の解答の際に用いてよい。
(1) をみたす実数tをとる。実数q の範囲を動くとき、関数の値が最大になるようなq の値と、関数の最大値を求めよ。
(2) (1)で求めたを用いて関数を定める。実数tの範囲を動くとき、関数の値が最大になるようなtの値と、関数の最大値Mを求めよ。
(3) 半径1の円Tに内接する三角形ABCの頂点Aにおける内角をtで表し、頂点Cにおける内角をq で表すことにする。
(a) 頂点Aにおける内角tが動く範囲を求めよ。
(b) 頂点Aにおける内角tを一定に保ちながら頂点Aが円T上を動くとき、線分ABと線分ACの長さの和が最大になるための必要十分条件を三角形ABCについての条件として述べよ。
(c) (b)で求めた条件をみたす三角形ABCの頂点Aにおける内角tを、(a)で求めた範囲で動かすことにより、この三角形の3辺の長さの和の最大値を求めよ。

解答 計算の部分と論述の部分を明確に分けて、受験生の力を評価しよう、という問題です。

(1)
 (和を積に直す公式を利用、三角関数の諸公式を参照)
より、となるので、,つまり、
......[]
のとき、は、
最大値: ......[]
をとります。

(2)  (微分の公式を参照)
よりとすると、,即ち、
t0


0
20

増減表より(関数の増減を参照) ......[]
のとき、は、
最大値: ......[]
をとります。

(3)(a) ......[]
(b) 正弦定理より、

線分
ABと線分ACの長さの和は、
 
(但し、)
内角tを固定してq を動かすと、(1)より、は、のときに最大値をとりますが、このとき、頂点Bにおける内角は、
となり、頂点Bにおける内角と頂点Cにおける内角が等しくなります。また、頂点Bにおける内角と頂点Cにおける内角が等しければ、となり、が最大になります。つまり、線分ABと線分ACの長さの和が最大になるための必要十分条件は、
三角形
ABCとなる二等辺三角形であること ......[]
(c)
三角形ABC3辺の長さの和は、
tを固定してq だけを動かすと、は、が最大になるとき、つまり、(1)より、のときに、最大値をとります。
tの範囲で動かすと、は、(2)より、のとき、
最大値: ......[]
をとります。


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  1. 2010/01/12(火) 13:43:48|
  2. 09年数学
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長崎大医数学'09年[4]

長崎大医数学'09[4]

すべての正の実数xに対して定義された連続関数は次の(a)(b)を満たすものとする。
(a) すべての正の実数xyに対して
(b) すべての自然数nに対して
この関数について、次の問いに答えよ。
(1) xを正の実数とするとき、次の値を求めよ。
(2) aを満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。
(3) abを満たす有理数とするとき、次の不等式を証明せよ。
(4) abを満たす実数でも(3)の不等式が成り立つことを用いて、正の実数xyに対して、次の不等式を証明せよ。

解答 問題文の関数は、条件(a)(b)から、対数関数のような関数を想定して考えます。(1)なら、だろうということになります。
(4)の不等式は、のグラフが上に凸な曲線であることを意味しています。この形のまま強行せずに、(3)を利用せよ、という問題文の指定に従って、変形してから示すようにします(不等式の証明を参照)

(1) (a)において、とすると、
また、(a)において、とすると、
 ・・・①
......[]

(2) aを満たす有理数のとき、となる自然数pqが存在します。
(1)の結果において、とすることにより、
(b)を繰り返し用いることにより、
 (ならですが)
 (証明終)

(3) より、
(2)の結果より、有理数について、
(1)の結果より、
 (証明終)

(4) (3)が使える形に変形します。


 ( (1))
となるので、
 ・・・②
を示すことにします。
xyは正の実数なので、相加平均相乗平均の関係より、
 (等号はのときに成立)
のとき、となり②の等号が成立します。
のとき、より、(3)の結果において、とすることにより、
以上より、②が成立し、
 (証明終)


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  1. 2010/01/11(月) 05:51:47|
  2. 09年数学
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信州大理医数学'09年[2]

信州大理医数学'09[2]

数列
を満たすものとする。このとき、次の和を求めよ。
(1)
(2)
(3)

解答 数列の和に関する基本問題ですが、注意が必要です。

まず、数列の一般項を考えます。

 ・・・①
 ・・・②
のとき、①より,②より
のとき、
①より、
 ・・・③ (数列の和と一般項を参照)
これは、よりのときにも成り立ちます。
②より、
 ・・・④
これは、よりのときには成り立ちません
(1) ③より、
 (Σの公式を参照)


......[
]

(2) のときにだけ成り立つので場合分けします。
のとき、より、
のとき、④より、
 (等比数列を参照)
これは、のときにも成り立ちます。
......[]

(3)
とおきます。
のとき、より、
のとき、
 (数列の求和技法を参照)

なので、これはのときにも成り立ちます。
......[]


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  1. 2010/01/09(土) 17:40:04|
  2. 09年数学
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北大物理'09年[2]

北大物理'09[2]

1のように、面積の薄い正方形の極板ABを距離だけ隔てて真空中に平行に配置し、スイッチおよび起電力の電池と導線で接続した。極板Bは接地されている。最初スイッチは開いており、極板ABに蓄えられている電気量(電荷)はゼロであった。真空の誘電率をで表す。極板間に生じる電界(電場)は一様であるとして、以下の文章の  に適切な数式を入れよ。問題文に現れる記号は解答に用いてよい。
1 スイッチを閉じて十分な時間が経過したとき、極板AB間にできる電界の大きさは、Vdを用いて (1) と表せる。一方、極板Aに蓄えられた電気量をとすると、極板AB間の電界の大きさは、QSを用いて (2) と表せる。したがって、極板ABの電気容量は、Sdを用いて (3) と表せる。また、極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、QCを用いて (4) となる。
2 次に、極板ABと同じ面積Sの正方形金属板Mを用意した。その厚さはである。この金属板Mには、問1で極板Aに蓄えられた電気量の2倍の電気量が蓄えられている。図2に示すように、スイッチを閉じたままの状態で極板AB間の電圧をVに保ち、この金属板Mを極板AB間に平行にゆっくり挿入した。ここで、極板ABと金属板Mは、極板に垂直な方向からみて正確に重なっているものとする。十分時間が経過した後、極板ABに蓄えられた電気量をそれぞれとする。ここでは正である。回路が接地されているためであることに注意して、Qのみを用いて表すと、 (5) (6) となる。また、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、Cを用いて (7) であり、金属板Mを含む極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、Cを用いて (8) となる。その後スイッチを開いて、金属板Mを極板Aに向かってゆっくりと距離だけ平行移動させた。この平行移動に要した仕事はCを用いて (9) である。このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさはCを用いて (10) であり、極板Aの電位はVを用いて (11) になる。

解答 前半は、静電容量の公式を求める内容になっていますが、受験生には、やや意表を突く出題かも知れません。(2)は公式から逆算してもよいでしょう。後半は、静電エネルギーの変化を考える基本的な問題です。
物理の入試問題一般に言えることですが、「問題文に現れる記号は解答に用いてよい」という問題文の指定に注意してください。個人的には、こうした曖昧な指定ではなく、「問題文に現れる記号のみを用いて解答せよ」と、明確な言い方にするべきではないか、と思います。


1(1) 電位差と電界の公式より、極板AB間にできる電界の大きさは、
......[]
(2) 極板Aをぴったりと覆う閉曲面の面積,極板A電荷から出る電気力線の本数です。極板Aが上側また下側に作る電界の大きさをとして、ガウスの法則より、
同様に、極板Bが上側また下側に作る電界の大きさは、
極板AB間では、とが重なり合うので、極板AB間の電界の大きさは、
......[]
(3) (1)(2)より、

......[
]
(4) 極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、極板Bがつくる電界中で、極板A電荷Qを、極板Bの位置から距離dだけ引き離すのに必要な仕事に等しくなります。極板間のクーロン力につり合う一定の大きさ外力距離d働く、として、
......[]

2(5) 極板Aと金属板Mの間にできるコンデンサーの静電容量は、
 ・・・①
極板Bと金属板Mの間にできるコンデンサーの静電容量は、
 ・・・②
金属板Mの極板A側の面には電荷,金属板Mの極板B側の面には電荷が蓄えられ、その和はです。
 ・・・③
キルヒホッフ第2法則より、コンデンサー電圧の和はに等しく、
①,②より、
 ・・・④
④-③より、
 ・・・⑤
......[]
(6) ⑤を③に代入して、
 ・・・⑥
......[]
(7) (2)の結果を利用して、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、①,⑤より、
......[]
(8) ①,⑤より、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは、
②,⑥より、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは、
金属板Mを含む極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、
......[]
(9) スイッチを開いて金属板Mを平行移動させるので、極板A,極板B電荷のまま変化しません。金属板Mの平行移動後、極板Aと金属板Mの間のコンデンサーの静電容量は、
極板Bと金属板Mの間のコンデンサーの静電容量は、
金属板Mの移動後、金属板Mを含む極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、
平行移動に要した仕事は、静電エネルギーの増加分に等しく、
......[]
(10) (2)の結果を利用して、このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、
......[]
注.金属板Mを平行移動しても、極板A電荷に変化がないので、極板Aと金属板Mの間の電界は、その距離によって変化することはありません。
(11) 極板Aと金属板Mの間の電圧は、
金属板と極板Bの間の電圧は、
極板A電位は、
......[]


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  1. 2010/01/07(木) 12:55:47|
  2. 09年物理
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和歌山県立医大数学'09年[3]

和歌山県立医大数学'09[3]

n4以上の自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) のとき、不等式
を示せ。必要なら、 ()であることは証明なしに用いてよい。
(2) のとき、不等式
を示せ。
(3) を小数で表したときの小数第2位までを求めよ。

解答 不等式を証明し、それを利用して近似値を求める問題です。
(1)(2)の不等式そのものは、左辺から右辺を引いて微分する、という基本パターンです(微分法の不等式への応用(その2)を参照)
ヒントで与えられている不等式、つまり、とするとき、数列が単調増加で
(従って)であることについては、極限の公式を参照してください。
(3)で、より大きい数は(2)を利用するとして小さい数はどうするのか?と思ってしまいますが、そもそも、示すべき不等式の右辺は二項定理を思わせる形をしているわけです。

(1)
とおきます。

ここで、ヒントの不等式をどう使うかを考えます。
 ・・・()
が成り立ってくれると都合がよいのですが。自然数lとすると、より、
のとき、
となり、()が成り立つことがわかります。これより、において、で、単調増加です。よって、
これより、は、において単調増加で、

(2)
とおきます。
よって、(1)より、において、であって、は単調増加です。

(3) のとき、を満たします。(2)で、として、

 ・・・①
一方、二項定理より、
においてなので、
として、
 ・・・②
①,②より、
これより、を小数で表したときの小数第2位までは、 ......[]


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  1. 2010/01/03(日) 23:40:39|
  2. 09年数学
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