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奈良県立医大数学'09年[4]

奈良県立医大数学'09[4]

(1) 任意の正整数nに対して関数で定義されているものとする。このとき、
が成り立つかどうか調べよ。
(2) 各正整数nに対して、q の範囲を動くときの関数の最大値をとおく。このとき、極限値を求めよ。
ただし、aの範囲にある定数とするとき、であることは証明なしに用いてよい。

解答 (1)は、記号と記号が交換可能かどうかという問題です。
(2)は、(1)の被積分関数の最大値が、のときの定数倍に近づくように変化することを意味しています。

(1)
とおくと、qのとき、t (置換積分を参照)
のとき、 (数列の極限を参照)
のときより、のとき
以上より、
よって、は成り立ちません。 ......[]



とすると、においては、
()
各正整数nに対して、これを満たすq がただ1つ存在し、それをaとすると、

0


0
0

増減表(関数の増減を参照)より、は、において最大値をとります。
のとき、より(極限の公式を参照)
......[]


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  1. 2009/12/31(木) 13:12:18|
  2. 09年数学
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茶女大文教数学'09年[1]

茶女大文教数学'09[1]

正の整数nに対しnの正の約数すべての和をとおく。ただし、1nnの約数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 素数p,正の整数aに対し、とおく。paで表せ。
(2) 相異なる素数pq,正の整数ab,に対し、とおく。このとき、
が成立することを証明せよ。
(3) 正の整数aについてが素数とする。このとき、とおくと、
が成立することを証明せよ。

解答 約数に関するよく知られた事実を示す問題です。なお、整数を参照してください。

(1) の約数は、1p,・・・,
です。その和は、
......[] (等比数列を参照)

(2) の約数は、
1p,・・・,
q,・・・,
,・・・,
・・・・・・
,・・・,
です。その和は、


(証明終)

(3) は奇数の素数なので、(2)で、とすることにより、
 ( (1),また、は素数)
(証明終)

追記.(1)について、の約数の個数は、
で与えられることがわかります。
(2)については、自然数nと素因数分解されるとき、nの約数の個数,約数の総和について、

と一般化できます。
上記を含め、
(3)に関する背景については、高木貞治著「初等整数論講義」(共立出版)p.13p.15を参照してください。


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  1. 2009/12/28(月) 16:52:21|
  2. 09年数学
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横浜国大物理'09年[1]

横浜国大物理'09[1]

図のように、水平からの角度q のなめらかで摩擦のない斜面上にばね定数のばねがあり、その一端が斜面上の壁に固定されている。ばねの他端に質量の板が取り付けられ、つりあいの状態にある。ここで、この板のつりあいの位置を基準とした高さの斜面上の位置に質量の小球を置いて静かに手を離すと、小球は運動を始め、板に衝突した。小球と板の大きさ、および、ばねの質量は無視できるものとする。また、重力加速度をとする。以下の文章の空欄を埋めよ。

手を離してから小球が板に衝突するまでの時間は、
(1) [s]であり、衝突直前の小球の速さは (2) [m/s]である。
小球と板は完全非弾性衝突をし、衝突後一体となって運動した。ただし、衝突中の外力による力積は無視できるものとする。衝突直後の小球と板の速さは
(3) [m/s]である。また、衝突によって失われた小球と板の力学的エネルギーは (4) [J]となる。
一体となった小球と板は、斜面上の壁の手前のある位置で折り返す単振動をした。この単振動の中心は、ばねが自然長から
(5) [m]だけ縮んだ位置であり、周期は (6) [s]である。小球が板に衝突した直後から、後の小球と板の位置は、ばねが自然長から (7) [m]だけ縮んだときの位置となる。
以下では、小球と板の最高点がばねの自然長での位置と一致するような単振動をした場合を考える
(これ以降は記号hを使用せずに解答すること)。このとき、小球の初期の高さh (8) [m]と表せる。また、単振動中の小球と板の最大の速さは (9) [m/s]である。小球が板に衝突した直後から小球と板が最初に最高点に達するまでに、ばねの弾性力が小球と板にした仕事は (10) [J],重力が小球と板にした仕事は (11) [J]である。

解答 基礎事項の正確な理解が要求される、レベルの高い力学の総合問題です。
以下の解答で、
(9)では、弾性エネルギー重力の位置エネルギーを考えていますが、(11)では、弾性エネルギーのみで考えていることに注意してください。同じという形であっても、xは、前者ではつり合いの位置からの変位を、後者では自然長の位置からの変位を、表している、という両者の違いをしっかり理解してください。

(1) 小球に働く重力の斜面に沿う方向の成分はです。小球の斜面に沿う方向の加速度として、小球の運動方程式

求める時間として、小球は斜面に沿って時間の間に距離進みます。等加速度運動の公式より、

......[
]

(2) 求める小球の速さとして、
......[]

(3) 衝突直前に小球は運動量をもっています。衝突直後、一体となった小球と板(質量は合わせて)速さとすると運動量です。衝突前後の運動量保存より、

......[
]

(4) 衝突直前に小球は運動エネルギーをもっています。衝突直後、一体となった小球と板は運動エネルギーをもっています。衝突によって失われた力学的エネルギーは、
 ・・・①
......[]

(5) 小球+板が単振動している間、小球+板の位置(自然長の位置からの縮み)として、小球+板が受けるは、重力の斜面に沿う方向の成分(斜面に沿って下向き)とばねの弾性力(斜面に沿って上向き)です。小球+板の加速度として、小球+板の運動方程式
これは、小球+板が、角振動数振動中心の単振動をすることを意味します。
......[]
以後、とします。

(6) 単振動の周期は、
......[]

(7) 小球が板に衝突してから半周期後の小球+板の位置は、振動中心に関して、衝突した位置と対称な位置(正弦波で言えば、位相pずれることに相当します)です。
衝突した位置は、板だけのときのばねの縮みとして、力のつり合いより、

振動中心は、自然長の位置よりだけ縮んだ位置なので、後の位置は、
 (右図参照)
......[]

(8) 小球+板の最高点(振動端)自然長の位置に一致する、ということは、単振動の振幅だということです。
このときの力学的エネルギーは、ばねの弾性エネルギー重力の位置エネルギー運動エネルギー0です。
小球と板の衝突直後の
力学的エネルギーは、①より運動エネルギー弾性エネルギー重力の位置エネルギー
最高点にいるときと、衝突直後との力学的エネルギー保存より、

......[
]
注.ばねの弾性エネルギーx自然長の位置からの変位ですが、弾性エネルギー重力の位置エネルギーxつり合いの位置からの変位であることに注意してください。

(9) 小球+板の最大の速さは、単振動の公式より、
......[]

(10) ばねの弾性力が小球と板にした仕事は、衝突直後の弾性エネルギー (自然長の位置からの変位),最高点での弾性エネルギー0より、
......[]
注.弾性エネルギーは、ばねの弾性力がした仕事の符号を変えたものであることに注意してください。同様に(11)でも、重力の位置エネルギーは、重力のした仕事の符号を変えたものです(位置エネルギーを参照)

(11) 重力が小球と板にした仕事は、衝突直後のばねの縮み,最高点でのばねの縮み0であって、鉛直方向の高さの差がであることから、重力の位置エネルギーの増加分にマイナスをつけて、
......[]
.(10)(11)
()
は、弾性エネルギー重力の位置エネルギーにマイナスをつけたものになっています。


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  1. 2009/12/27(日) 09:16:21|
  2. 09年物理
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札幌医大数学'09年[4]

札幌医大数学'09[4]

定数に対し、で定義された関数
は、条件を満たす。ただしcは定数とする。
(1) abの関係式、およびacの関係式を求めよ。
以下とする。
(2) bcの値を求めよ。
(3) 定積分の値を求めよ。

解答 (1)で、xに依らずに「が定数」という場合には、xに特定の値を代入して必要条件を求める、という方針が有効です。
置換積分する
(3)も頻出技巧です。

 ・・・①
(1) ①においてとすると、
 ・・・②
①においてとすると、
 ・・・③
②,③より、


 (2倍角の公式を参照)
分母を払って、

より,従って、
()
②より、
逆に、のとき、をみたすxについて、
 (正接の加法定理を参照)

......[]

(2) のとき、 ......[]

より、
......[]

(3)
2項の定積分について、と置換すると、xのとき、t
 (置換積分を参照)


......[]
追記.(3)の技巧を利用する問題として、以下の積分の問題が頻出です。
と置換すると、xのとき、t
 ()


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  1. 2009/12/22(火) 20:03:32|
  2. 09年数学
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慶大医数学'09年[2]

慶大医数学'09[2]

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
abを正の定数、mを実数、kを負の実数とする。xy平面上の楕円Cと直線lが異なる2PQで交わるための必要十分条件はであり、このとき、である。さらに、点PQを固定して点Rを楕円C上で動かすときのの面積の最大値をAとするとである。次に、mを固定してkを動かすとき、Aが最大となるkの値はであり、その最大値はである。

解答 下手な計算をすればいくらでも面倒になってしまいます。工夫を心がけましょう。

楕円C ・・・①
直線
l ・・・②
①,②を連立すると、
分母を払って、

 ・・・③
③の判別式Dとして、

 ・・・④
l2PQで交わるための必要十分条件は、より、
より、 ・・・⑤
() ......[]
以後、がしつこく計算に出てくるので、これを、
とおきます。判別式はとなります。
③の
2解をab ()とすると、2解の差は、
PQSとすると、直角三角形PQSにおいて三平方の定理より、
PSQSPQ = 1
④とより、

 ・・・⑥
() ......[]
より、の面積が最大になるのは、Rが、傾きmの直線と楕円との2つの接点のうちにある方の接点に来たときです。
④において、の場合も含めてのとき、

接点がの部分にあるのは、のときで、このとき、2次方程式③は、重解:
をもちます。これがの面積を最大とするRx座標になります。②を用いて、この点のy座標は、
と直線l ()との距離dの面積が最大のときの高さ(底辺はPQ)になります。
 (点と直線の距離を参照。に注意)
() ......[]
の面積の最大値Aは、⑥と()の結果を用いて、
とおくと、

⑤より、pの範囲で動きます。
k

0

0



増減表より、Aを最大とするkの値は、
() ......[]
A
の最大値は、
() ......[]


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  1. 2009/12/21(月) 19:51:07|
  2. 09年数学
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神戸大理系数学'09年後期[3]

神戸大理系数学'09年後期[3]

を考える。とし、ab はいずれも、0の間の角度とする。abのいずれよりも小さい正の角度q に対して、4DEFGを次のように定める。
Dは、線分BC上にあってをみたす点
Eは、線分AB上にあってをみたす点
Fは、線分AC上にあってをみたす点
Gは、線分AE上にあってをみたす点
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 線分EGの長さをabq を用いて表せ。
(2) 極限を求めよ。

解答 公式を利用する極限の問題です。

(1) 三角形ADEにおいて、正弦定理より、
 ・・・①
三角形
AEFにおいて、正弦定理より、
①とより、
......[]

(2)




 (加法定理を参照)
よって、のとき、より、
......[]


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  1. 2009/12/19(土) 21:39:06|
  2. 09年数学
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鹿児島大物理'09年[2]

鹿児島大物理'09[2]

(a)のように、抵抗(電熱線)とピストンがついた十分長いシリンダを考える。シリンダ内を水で満たし、抵抗に電流を流して加熱する。以下の問いに答えよ。なお、ピストンの質量は無視でき、その動きはなめらかで、シリンダ内から外に熱は逃げないものとする。また、シリンダ内は、攪拌(かくはん)され温度は均一とする。
(1) 最初であった水に、1秒あたり一定の熱を加え、全てを蒸発させる。ピストンにおもりを、(i)乗せる場合、(ii)乗せない場合のそれぞれについて、シリンダ内の温度はどのように変化するか。最も適当なグラフを右の()()の中から一つずつ選べ。なお、各グラフの目盛りは共通で等間隔である。
(2) 電気抵抗と温度の関係が図(b)のグラフで与えられるものとする。抵抗で1秒間に発生する熱が一定であるように調節するには、温度Tに対し抵抗に加える電圧をどのように変化させるとよいか。TVの関係を式で表し、さらにグラフを描け。ただし、とする。
(3) 外気圧は1気圧で、最初、シリンダ内に水が入っていたとする。水が蒸発を始めてから終わるまでに、水(水蒸気)がピストンにする仕事を求めよ。ただし、水の質量はとし、重力加速度の大きさはとする。なお、解答には途中の計算も簡単に記せ。
(4) 次の文章はシリンダ内の気体の圧力について書かれたものである。空欄に入れる適当な数式や用語は何か。空欄①~⑤には最も適当なものを下の選択肢()()より一つずつ選べ。ただし、同じものを二度選んでもよい。空欄⑥には適当な式を記せ。なお、z軸は鉛直上向きにとり、ピストンはシリンダの底面より高さhにあり、気体の体積はVとする。また、物理量w の平均値はのように文字の上に横棒をつけて書き表すものとする。

シリンダ内の気体が質量mの分子N個からなると考えよう。速度で運動していた分子がピストンに衝突すると、分子の運動量は ① だけ変化する。このとき、分子がピストンに与える力積は ② の法則より ③ である。一方、ピストンに衝突した分子が再びピストンに衝突するまでの時間は ④ である。従って、気体分子全体がピストンを上向きに押す力の大きさは ⑤ となり、気体の圧力pは、分子1個の運動エネルギーの平均値を用いて ⑥ となる。

 選択肢  
() エネルギー保存 () 作用反作用 () 熱量保存 () ボイル・シャルル ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()

解答 (1)は水の蒸発熱温度上昇させるのに必要なよりもかなり大きいこと、(3)では気体定数の値を知っていないと、解答できません。(3)では、液体から気体になるときに体積が大幅に増大することが前提になっています。

(1) 水の比熱はほぼ圧力依存性が小さいことが知られています。従って、(i)(ii)におけるグラフの傾きはほぼ等しくなります。また、の水を温度上昇させるのに必要な熱量は、です。
水が沸騰して蒸発する間、全ての水が蒸発してしまうまで、温度沸点のまま変化せず、グラフは横軸に平行になります。また、水の沸点圧力が大きくなると上昇することが知られており、(i)の方が圧力が大きく沸点が高くなります。水の蒸発熱(気化熱)において、ほぼなので、の水をすべて蒸発させるのに必要な熱量は、です。(i)では、おもりを押し上げる仕事の分だけ余計に熱量が必要で、よりも大きな熱量が必要になります。
1秒当たり一定のを加えるので、時間熱量に比例し、(ii)で、水が全て蒸発するのに要する時間は、に要する時間倍です。(i)の蒸発では、これよりも長い時間を要します。
以上より、シリンダ内の
温度変化を表すグラフは、(i) エ (ii) ......[]

(2) (b)のグラフより、抵抗Rは、
と表せます。1当たり一定のを加えることから、抵抗消費電力は一定で、のとき、より、

......[]
グラフは右図実線。

(3) の水の質量で、なのでに相当します。理想気体は標準状態でも体積を占有します。水蒸気が生じた後、外気圧,水蒸気の圧力p,シリンダーの断面積S,おもりの質量m重力加速度の大きさをgとして、ピストンに働く力のつり合いより、
従って、水蒸気の圧力は、で一定です。
水の蒸発が終わるときの水蒸気の
体積V,水のモル数をn沸点Tとして、水蒸気の状態方程式は、
圧力一定より、水蒸気のした仕事は、
......[]

(4) 速度で運動していた分子がピストンに衝突してはねかえると、速度となり、分子の運動量の変化は、
() ......[]
作用反作用 () ......[]
作用反作用の法則により、分子がピストンに与える力積は、
() ......[]
ピストンに衝突した分子は、z方向に速さ距離運動するので、その時間
() ......[]
分子は、1秒間回ピストンに衝突し、分子が単位時間にピストンに与える力積、即ち、ピストンに及ぼすの大きさは、
N個の気体分子全体がピストンを上向きに押すの大きさは、を平均値として、
() ......[]
さらに、
より、なので、気体がピストンに及ぼすの大きさFは、
気体の圧力PFをシリンダー断面積Sで割って、
分子1個の運動エネルギーの平均値は、
また、と合わせて、
......[]


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  1. 2009/12/18(金) 14:31:18|
  2. 09年物理
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九大理系数学'09年前期[2]

九大理系数学'09年前期[2]

k2以上の自然数とする。「1」と書かれたカードが1枚、「2」と書かれたカードが2枚、・・・、「k」と書かれたカードがk枚ある。そのうちの偶数が書かれたカードの枚数をM,奇数が書かれたカードの枚数をNで表す。この枚のカードをよくきって1枚を取り出し、そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作をn回繰り返す。記録されたn個の数の和が偶数となる確率をとする。次の問いに答えよ。
(1) MNで表せ。
(2) MNで表せ。
(3) kで表せ。
(4) nkで表せ。

解答 MNkの偶奇で分かれますが、nに依存するわけではないので、標準的な2項間漸化式の問題です。

(1) 1回の操作で偶数を引く確率,奇数を引く確率はです。よって、
......[]
2回の操作で記録されたn個の数の和が偶数となるのは、1回目も2回目も偶数であるときと1回目も2回目も奇数であるときで、
......[] (和事象・積事象・余事象を参照)

(2) 回目までの操作で個の数の和が偶数となるのは、n回目までの操作でn個の数の和が偶数(確率)であって回目の操作で偶数のカードを取り出すときと、n回目までの操作でn個の数の和が奇数(確率)であって回目の操作で奇数のカードを取り出すときで、
......[] ・・・①

(3)kが奇数のとき、
 (等差数列を参照)

......[
]
kが偶数のとき、


......[]

(4) ①において、aに置き換えて、
 ・・・②
これを解いて、
①-②より、
これより、は、初項,公比
等比数列です。

(3)
の結果より、
kが奇数のとき、 ......[]
k
が偶数のとき、 ......[]


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  1. 2009/12/13(日) 23:43:53|
  2. 09年数学
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大阪府立大工数学'09年[3]

大阪府立大工数学'09[3]

Oを原点とする座標空間の4ABCDの位置ベクトルをそれぞれとする。また、2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルをとし、2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルをとする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの位置ベクトルは、
 (abgは定数)
であるとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) を成分表示せよ。
(2) 実数stuに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトルは、
 (stは実数)
であるとする。実数stを動かすとき、の最大値はであることを示せ。この最小値を点Pと平面OABとの距離という。ただし、平面OABとは3OABを通る平面である。
(4) Pと平面OABとの距離を内積を用いて表せ。
(5) の成分表示をとする。点Pと平面OCDとの距離が点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をlmnを用いて表せ。
((1)については計算の過程を記入しなくてもよい)

解答 平面との距離を考えようという問題です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1)については、計算過程は不要、とのことなので、外積を用いた受験技巧で結果を出してしまうのが良いと思います。外積は物理でも使う(ローレンツ力を参照)ので、高校範囲外と言っても、知っていて損になることはありません。

(1)  (外積を参照、外積の双方に垂直です)
よって、 ......[]

よって、 ......[]

(2) は、の両方に垂直なので、 ・・・①
①とより、

(3)

 ( (2))
実数stを動かすとき、これは、かつのときに最小値をとります。つまり、の最小値はです。

(4) Pと平面OABの距離は(3)よりです。
①より、
つまり、点Pと平面OABの距離は、 ......[]

(5) (4)を用いて、点Pと平面OABとの距離は、
Pと平面OCDとの距離は
両者が等しくなることから、

または ......[]

追記.本問によると、①より、平面OABの方程式を、
つまり、,平面OAB上の点をとして、
と表すことができます。は、平面OABの大きさ1の法線ベクトルです。
Pと平面OABとの距離は、
で与えられます。なお、点と平面の距離を参照してください。


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  1. 2009/12/12(土) 22:01:50|
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埼玉大工数学'09年[5]

埼玉大工数学'09[5]

次の問いに答えよ。
(1) 定積分を求めよ。
(2) 不等式
の定める立体の体積を求めよ。

解答 求積の計算問題です。定積分と体積を参照してください。(1)の定積分はすぐによく見慣れた定積分になります。

(1)  (置換積分(その2)を参照)
最後の定積分は、とおくと、tのとき、より、
......[]

(2) 与えられた不等式を
 ・・・①
と書き直すと、あるz座標のところでz軸と垂直な平面で切ったときの立体の断面は、半径の円になりそうだ、と、わかります。
断面にできる図形①が円、もしくは
1点を表すのは、
のときで、これより、①が図形として意味をもつのは、
のときです。このとき、断面にできる円(1点のときも含めて)の面積は、で、求める立体の体積Vは、zについて偶関数であることより、
 (部分積分法を参照)

(1)の結果を用いて、
......[]


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  1. 2009/12/09(水) 16:12:23|
  2. 09年数学
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京都府立大物理'09年[4]

京都府立大物理'09[4]

極板の面積がの平行平板が図のように配置されている。極板間の距離は,極板間の距離はである。極板の厚さは無視でき、極板間に生じる電場は極板に垂直であるとする。極板間の誘電率はとして以下の問いに答えよ。
(1) はじめ、スイッチSは開いており、極板に電荷を与える。
() これらの電荷によって極板間に作られる電場の強さを求めよ。
() の電位をとしたとき、の電位を求めよ。
(2) 次にスイッチSを閉じ、十分時間がたったものとする。
() 極板から極板に移動した電荷量を求めよ。
() 極板間の電場の強さおよび、極板間の電場の強さを求めよ。
() 極板に働く力の向きはどちらか。側を上として答えよ。
() 極板の電位を求め、dlを用いて表せ。

解答 「電荷Qから伸びる電気力線本になる」、というのが、高校物理風に述べたガウスの法則ですが、クーロンの法則の比例定数kは、真空の誘電率との間に、という関係があるので、電荷Qからは本の電気力線が伸びることになります。
電場ベクトルの大きさEは、単位面積あたりの電気力線の本数になるので、電荷面積Sの閉曲面で覆われていれば、


となります。この左辺のという量を「電束」と言います。従って、ガウスの法則を「電束電荷」という風に表現することができます。この方が覚えやすいのではないかと思います。「磁束」が磁荷から1本出る、と数える磁力線と思えばよいのと同様に、「電束」を、1[C]電荷から1本出る、と数える電気力線と思っていればOKです。

(1)() 電荷Qをもつ極板を取り囲む面積の閉曲面にガウスの法則を適用すると、極板の作る電場について、

 ・・・①
この
電場は、極板から上下に出て行く向き(電気力線の向き)です。
電荷をもつ極板を取り囲む面積の閉曲面にガウスの法則を適用すると、極板の作る電場について、

 ・・・②
この
電場は、極板に向かって上下から入ってくる向きです。
これより、極板間では、同じ大きさの両
電場からに向かう向きに強め合うので、電場の大きさは、①,②より、
......[]
() 極板間の電場は一様なので、公式: (電位・電圧を参照)が使えます。極板電位は極板電位よりも高いことに注意して、極板間の距離dであることと、()の結果を用いて、極板電位、即ち、極板間の電位差は、
......[]

(2)() 極板間に作られるコンデンサー容量は、
注.これより、(1)の状況下、つまり、極板電荷を保持しているときの極板間の電圧は、

極板間の電場の大きさは、

として、ガウスの法則を用いることなく、
(1)を解答することができます。
極板間に作られるコンデンサーの容量は、

並列接続になっていて電圧は共通で、電荷Qは、に分かれ、に蓄えられる電荷量は、

従って、極板から極板に移動した
電荷量qは、
......[]
() 両端の電圧Vは、
 ・・・③
は並列なので、両端の
電圧Vです。極板間の電場の大きさは、
......[]
極板間の電場の大きさは、
......[]
() 極板間に働くの大きさは、
 (向きは下向き)
極板間に働くの大きさは、
 
(向きは上向き)

のとき、より、下向き
のとき、より、合力は
0
のとき、より、上向き ......[]
() 極板の方が極板よりも電位が高く、極板電位は、③,()を用いて、
......[]


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  1. 2009/12/07(月) 15:23:17|
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阪大理系数学'09年前期[1]

阪大理系数学'09年前期[1]

放物線C上の点,・・・ を、 ()におけるCの接線が直線に平行であるようにとる。ただし、とする。三角形の面積をとし、直線Cで囲まれた部分の面積をSとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) Sを用いて表せ。

解答 放物線の異なる3を頂点とする三角形の面積がとなることを利用します。

(1) 直線が引けるということは、が一致することはない、ということです。つまり、
直線の傾きは、 (直線の方程式を参照)
における接線が直線に平行になることから、
 
(接線と微分係数を参照)
 ・・・①


 (三角形の面積を参照)

①より、
......[]
これより、は、初項,公比等比数列です。

(2) 直線の方程式をとして、を連立したときの解はです。これより、
においてはなので、
 (定積分の公式を参照)
これより、数列の初項は、
無限等比級数は、公比なので、収束して和をもちます。
和は、
......[]


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  1. 2009/12/04(金) 22:11:55|
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横国大経済数学'09年[4]

横国大経済数学'09[4]

t0でない実数とし、xy平面上の円Cとする。次の問いに答えよ。
(1) いかなるtに関してもCが接するような定円がただ1つ存在することを示せ。
(2) (1)の定円とCの接点の座標を求めよ。

解答 2円の位置関係の問題です。2円が外接するとき、2円の半径の和は中心間距離に一致し、片方の円が他方の円に内接するとき、2円の半径の差は中心間距離に一致します。

(1) C () ・・・①
(i) Cが中心,半径rの円に外接するとき、中心間距離:が、2円の半径の和に等しく、
両辺を2乗すると、

tについて整理すると、
 ・・・②
ここで、のとき(恒等式を参照)
つまり、


のとき、②はいかなるtに対しても成立します。
これは、円
Cが、いかなるtに対しても、定円 ・・・③ に外接することを意味します。
(ii) Cの半径はいくらでも大きくなるので、「いかなるtに関しても円Cが内接する」円はあり得ません。
中心,半径rの円が円Cに内接するとき、2円の半径の差が中心間距離に等しく、

tについて整理すると、
とすると、

なので、これを満たすrはありません。
つまり、「いかなる
tに関しても円Cに内接する」定円はありません。
(i)(ii)より、いかなるtに関してもCが接するような定円がただ1つ存在します。

(2) (1)の定円とCの接点は、両円の中心を結ぶ直線上にあります。
を結ぶ直線は、のとき、
 ・・・④
この直線と円の交点は、のとき、③,④を連立して、


接点は、両円の中心の間にあるので、,または、より、
このとき、④より、
求める接点の座標は、
......[]
注.接点は、を半径の比内分する点です。


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  1. 2009/12/02(水) 14:17:49|
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東北大理系数学'09年前期[5]

東北大理系数学'09年前期[5]

abcdpqを満たす実数とする。2つの行列を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) が成り立つことを示せ。
(2) Apqで表せ。

解答 成分計算をしてしまえば解決できますが、ハミルトン・ケーリーの定理を利用して、成分計算をできるだけ抑えて解答してみます。

に右から
Pをかければ、
 ・・・①
という形になり、ハミルトン・ケーリーの定理が使えそうです。
ハミルトン・ケーリーの定理より、
①より、

 ・・・②
両辺の成分と成分を比較して、
より、(i) または (ii)
(i) のとき、
より、

より、
より、
adは同符号で、
このとき、となり、
(ii) のとき、
②より、

より、 ・・・③
これは、に反するので不適。
以上より、
......[]
であって、が成立します。
注.であっても、

(i)では、で、
(ii)では、より、
③とハミルトン・ケーリーの定理より、

これより、が成立します。
別解.
(1)だけであれば、の左からをかけて、
の右からをかけて、
これより、が成立します。


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  1. 2009/12/01(火) 07:04:37|
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