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九大物理'09年[3]

九大物理'09[3]

文中の空欄 ア から ソ にあてはまる数式を答えよ。ただし、角度および角速度の単位は、それぞれradおよびrad/sとし、円周率はpとする。必要があれば、三角関数の公式

を用いてよい。また、q の大きさが十分小さいときには、とせよ。
1 図4のように、xy平面上で時計回りに角速度の大きさがw で等速円運動をする物体を考える。xy座標の原点を円の中心とし、時刻tでの物体の位置と表す。ただし、円の半径をrとし、時刻0ではとする。同様に、速度,加速度と表す。答えは、rwtの中から必要な記号を用いて表せ。

時刻tでの物体の位置については、 ア  イ である。時刻0からまでの位置の変化は、が十分小さいときにはに等しいので、 ウ  エ である。のなす角はであるから、 オ  カ となる。同様に、速度の変化に等しいので、 キ  ク である。のなす角はであるから、 ケ  コ となる。
2 図5のように、質量mの多数の物体を、質量が無視できるバネ定数kの同じバネでつなぎ、なめらかな水平面上の直線(x)に沿って静止させる。このとき、各物体の間隔はdであり、左端からn番目の物体の位置とする。次に、それぞれの物体を振幅r,角振動数w x方向に単振動させる。時刻tにおいて、n番目の物体がはじめに静止していた位置からの変位をとする。以下では、すべての物体の変位が図6に示すように波長lの正弦波上にあり、時間の経過にしたがって、この正弦波がx軸の正の向きに進む場合を考える。このとき、ldにくらべて十分に大きく、物体に作用する力はバネによるもののみとする。 答えは、rwtdlmkの中から必要な記号を用いて表せ。


それぞれの物体の単振動は、等速円運動を直線上に投影した運動と考えてよい。いま、P番目の物体についてみたところ、対応する等速円運動の回転角がであり、単振動の変位はであった。このとき、番目と番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、それぞれ サ  シ となり、( サ )( シ )となる。時刻tにおいて、P番目の物体の加速度は ス であり、P番目の物体が左右のバネから受ける力の合力は セ であるので、この物体の運動方程式から、w lの間には ソ の関係がある。

解答 問1では、近似計算を促すような誘導がついていますが、入試問題としては教科書準拠義務があるとしても、空所補充問題で解法が問われることもなく、近似前の結果も問われておらず、受験生は微分して解答すればOKです(変位・速度・加速度を参照)
2()は符号がややこしいので注意してください。

1 この問題では回転角y軸正方向から時計回りに測っていますが、y軸を横軸、x軸を縦軸にとって見れば、x軸正方向から反時計回りにを測る場合と、x座標とy座標が入れ替わっているだけです(等速円運動を参照)
() ......[]
(
) ......[]
物体の速度について、
() ......[]
(
) ......[]
(
) ......[]
(
) ......[]
物体の加速度について、
() ......[]
(
) ......[]
(
) ......[]
(
) ......[]
注.問題文の誘導は問2との関連で言うと、速度ベクトル位置ベクトルよりも位相進んでいて、加速度ベクトル速度ベクトルよりも位相進んでいて、時刻tにおける速度加速度は、時刻0における速度加速度だけ回転させたものだ、と、言いたいのだろうと思います。

2() P番目の物体と番目の物体の位相差、また、番目の物体とP番目の物体の位相差は、距離d波長lより、です。
時間の経過に従って、正弦波x軸正方向に進むので、番目の物体の変位P番目の物体の変位よりも、位相だけ進んでいて、P番目の物体の位相なら、番目の物体の位相です。つまり、番目の物体に対応する等速円運動回転角は、 ......[]
() 同様に、番目の物体の変位P番目の物体の変位よりも、位相だけ遅れていて、P番目の物体の位相なら、番目の物体の位相です。つまり、番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、 ......[]
() を問1と同様に考えて、P番目の物体の加速度は、
......[]
() 番目の物体とP番目の物体の間のバネの伸びは、
 (加法定理を参照)
P番目の物体が左側のバネから受けるは、符号に注意して、
 ・・・①
番目の物体とP番目の物体の間のバネの伸びは、
P番目の物体が右側のバネから受けるは、符号に注意して、
 ・・・②
①+②より、P番目の物体が左右のバネから受ける合力は、
 ・・・③
......[]
() P番目の物体の運動方程式と、()、③より、

......[]


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  1. 2009/11/30(月) 17:59:51|
  2. 09年物理
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京都府立大数学'09年[1]

京都府立大数学'09[1]

定数aを実数とし、とする。関数
とする。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、tの値の範囲を求めよ。
(2) ytの式で表せ。
(3) がつねに成り立つように、aの値の範囲を求めよ。
(4) 方程式3個以上の異なる実数解をもつように、aの値の範囲を求めよ。

解答 三角関数と2次方程式・2次関数の融合問題です。

(1)  (三角関数の合成を参照)
ここで、aは、を満たす角で、

より
......[]

(2)
 (2倍角の公式を参照)
これとyの式を見比べると、より、
これより、
......[]

(3)
とおきます。軸の位置が、(1)で求めたという範囲のどこにあるか、(i) 範囲から左側() (ii) 範囲内の左側() (iii) 範囲内の右側() (iv) 範囲から右側() ということで分類して、の最大最小を考えます(2次関数の最大最小を参照)
(i) のとき、においてyは単調増加なので、
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
より、これを満たすaはありません。
(ii) のとき、軸は範囲の左側にあって、です。
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
と合わせて、 ・・・①
(iii) のとき、軸は範囲の右側にあって、です。
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
と合わせて、 ・・・②
(iv) のとき、においてyは単調減少なので、
最小値:
最大値:
となるために、
かつ
より、これを満たすaはありません。
①,②より、 ......[]

(4)  ・・・③
の解は、
 ・・・④, ・・・⑤
を連立したときの解です。④の実数解の個数は多くても2個です。⑤はtの値を固定するとき、実数解の個数は多くても2個です。
従って、③が
3個以上の相異なる実数解をもつとき、(1)より④はの範囲に2個の相異なる実数解をもちます。 ・・・⑥
このとき、④の解
tに対して⑤は自動的に1個または2個の実数解をもち、題意を満たします。
として、⑥より
(2次方程式の解の配置を参照)
④の判別式: ・・・⑦
の軸: ・・・⑧
端: ・・・⑨
⑦より、 ・・・⑩
⑨より、 ・・・⑪
⑩かつ⑧かつ⑪より、
......[]


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  1. 2009/11/28(土) 20:23:11|
  2. 09年数学
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阪大文系数学'09年[3]

阪大文系数学'09[3]

次のような、いびつなさいころを考える。123の目が出る確率はそれぞれ4の目が出る確率はa56の目が出る確率はそれぞれである。ただし、とする。
このさいころを振ったとき、平面上のにある点
Pは、123のいずれかの目が出るとに、4の目が出るとに、56のいずれかの目が出るとに移動する。
原点にあった点
Pが、k回さいころを振ったときににある確率をとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) が最大になるときのaの値を求めよ。

解答 確率3次関数の融合問題です。(2)の考え方は定型的なものなので、記憶するようにしてください。

(1) 原点にあった点P1回さいころを振って行ける可能性のある点は、に行ける可能性はありません。よって、
......[]
同様に考えて、原点にあった点P2回さいころを振って行ける可能性のある第1象限の点はのみで、に到達できる可能性はありません。よって、
......[]
原点にあった点P3回さいころを振ってに到達するのは、123のいずれかの目が2回、4の目が1回出たときで、3回の目の出方が通りあります。よって、
......[]

(2) 樹形図を書いて場合の数を数えようとすると大変なことになります。
こうした問題では、それぞれの事象の起こる回数に関する等式(不等式ということもあります)を立てます。
6回さいころを振るとき、123の目が出る(x座標が1増える)回数をiとし、4の目が出る(y座標が1増える)回数をjとし、56の目が出る(x座標とy座標が)回数をkとして、
x座標について、
y座標について、
これらを満たすijkは、
6回さいころを振るとき、123の目が3回出て、4の目が2回出て、56の目が1回出る目の出方のパターンは、通り(同じものを含む順列を参照)あり、その確率は、
......[]

(3)
とすると、
a,0,,,,
,0,
,0,,
,,,,,

増減表より(3次関数の増減を参照)が最大になるときのaの値は、 ......[]


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  1. 2009/11/27(金) 04:09:09|
  2. 09年数学
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阪大理系数学'09年前期[4]

阪大理系数学'09年前期[4]

平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
とおき、点Pであるようにとる。直線OPAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。
(1) は平行であることを示せ。
(2) であることを示せ。

解答 は単位ベクトルです。
ちょっと見た目では方針を立てにくそうですが、平面ベクトルの基本に忠実に、を、

と、1次独立な2個のベクトル1次結合の形に表すことにより解決できます。

Qは直線OP上の点なので、qを実数として、
と表すことができます。より、

 ・・・①
また、1次独立、つまり、1次独立なので、stを実数として、
 ・・・②
と表すことができます。
注.とするのでは遠回りになります。点
Pには意味がないことに注意してください。
①より、


より、
のなす角をq としてより、
 ・・・③
です。従って、
これより、
 ・・・④
と表せます。とおくと、と表せます。より、ですが、


とすると、となってしまうので、です。また、③より、

④より、

これより、は平行で、
これで、(1)(2)が示せました。

別解.平面幾何で考える方が容易かも知れません。

(1) とすると、より、

なので、という条件より、
よって、
より、
つまり、の二等分線と直線
OPは垂直です。題意より、なので、Aを通りOPに平行な直線との二等分線との交点をRとすると、四角形OQARは長方形です。
長方形
OQARの対角線OAQRの交点をSとすると、SOAQRの中点で、
である二等辺三角形であることから、
ORの二等分線であることから、
よって、より
これより、
QROAの中点Sを通るのでABの中点Mも通ります。


(2) Aを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点をTMを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点Uとすると、MABの中点なので、UBTの中点です。
ORの二等分線であることとであることから、である二等辺三角形です。
と、四辺形OQMUが平行四辺形であることから、


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  1. 2009/11/25(水) 12:33:24|
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千葉大物理'09年[7]

千葉大物理'09[7]

一定の加速度で加速しながら近づいてくる音源の音は時間とともにどのように変化するか考察してみよう。図のように音源Sは時刻において距離D離れた点Pを観測者Oに向かって走っており、そのときの速さはであった。音源から出される音の周波数は,音速はVであり、音源の速さは音速Vを超えないものとして、以下の問いに答えよ。
1 最初に音源の速さがで一定であった場合を考えよう。
(1) 時刻()から時間の間に音源Sから発射された波の個数はいくらか求めよ。ただし、1波長の波を1個と数えることとする。
(2) 時刻において、時刻で発射された波面と音源との間の距離を求めよ。
(3) 観測者Oに聞こえる音の周波数を求めよ。
2 次に音源Sが一定の加速度a ()で加速している場合を考える。問1と同様に、音源Sは時刻において点Pを観測者Oに向かって走っており、その速さはであった。
(1) 時刻()から微小時間の間に音源Sから発射された波の個数はいくらかを求めよ。
(2) 時刻において、時刻に発射された波面と音源Sとの間の距離を求めよ。ただし、加速度aは十分小さく、微小時間の間に音源の速さは変化しないものとみなす。
(3) 音源Sから時刻に発射された音を観測者Oが聞いた。このとき、観測者Oに聞こえる音の周波数を求めよ。
(4) 音源Sが観測者Oに到達する時刻を求めよ。
(5) 音源Sが距離D離れた点Pから観測者Oを通り過ぎるまでの間に音源Sから発射された音を、観測者Oが聞いた。このとき、観測者Oに聞こえる音の周波数の範囲を求めよ。
3 音波は音源Sから観測者Oに伝わるまでに時間を要するので、観測者Oが時刻tに聞く音はそれより以前に音源Sから発射された音波である。いま、問2と同じく音源Sが一定の加速度a ()で加速している場合を考える。時刻における音源Sの速さは,音源Sと観測者Oとの間の距離はDである。
(1) 時刻に音源Sから発射された音が観測者Oに届くまでの時間を求めよ。
(2) この音波が観測者Oに届く時刻t(1)で求めた時間を加えたものである。このことを利用して、を、DVaおよびtを用いて書き表せ。ただし、時刻tには音源Sはまだ観測者Oを通り過ぎていないものとする。
(3) 時刻tにおいて観測者Oに聞こえる音の周波数を、DVaおよびtで書き表せ。ただし、時刻tには音源Sはまだ観測者Oを通り過ぎていないものとする。

解答 問1ドップラー効果の公式を求める基本問題ですが、問3になると、細かい点で少々悩む部分があります。問題文をよくチェックするようにしましょう。

1(1) 周波数ということは1秒間個の波ができるので時間の間に発射された波の個数は、 ......[]
(2) 音波は速さV時間進むので、時刻に発射された波面は距離進みます。音源は速さ時間進むので距離進みます。波面と音源との間の距離は、
......[]
(3) 観測者は(2)で求めた距離の中に(1)で求めた個数の波があるように観測します。音は(2)で求めた距離速さVで進むので、音源を時間の間に出た音が観測者に聞こえる時間です。観測者に聞こえる周波数として、観測者が観測する波の個数は、
......[]

2(1) 1(1)と同様に、 ......[]
(2) 時刻における音源の速さは、
1と同様に、時刻に発射された波面は距離進みます。音源は速さ時間に進むので距離進みます。波面と音源との間の距離は、
......[]
(3) 音波は音源から発射されてしまえば音源の速度には影響されません。問1と問2を比べると、音波が発射されたときの音源の速さが、問1ではで、問2ではに入れ替わっています。従って、観測者に聞こえる音の周波数は、(3)の結果でとして、
......[]
(4) 音源Sが観測者Oに到達する時刻とします。音源は、初速度0加速度a等加速度運動時刻から時刻までに距離D進みます。


より、複号は+の方を採ります。
......[]
(5) 音源が観測者Oに到達したとき()の音源の速さは、
時刻t (音源の速さ)に発射された音波を観測者が聞くとき、その周波数fは、問1(5)の結果のvに入れ替えて、
ここで、より
......[]

3(1) 時刻に音源は点Pから距離の位置に来ています。
音源から発射された音が観測者に届くまでの時間は、
......[]
(2) (1)の結果より、
これより、


ここで複号をどちらにするか困りますが、「音源の速さは音速Vを超えない」という問題文の記述より、時刻における音源の速さ音速Vより小さいので、
これより、
従って、複号は-を採り、
......[]
(3) 時刻tにおいて観測者Oに聞こえる音波は、時刻に音源から発射されたものです。時刻における音源の速さは、(2)の結果より、
時刻tにおいて観測者Oに聞こえる音の周波数は、問1(5)に入れ替えて、
......[]


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  1. 2009/11/24(火) 18:19:16|
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横国大工数学'09年後期[5]

横国大工数学'09年後期[5]

で定義された関数
を考える。ただし、aは定数である。次の問いに答えよ。
(1) のとき、は増加関数であることを示せ。
(2) のとき、は減少関数であることを示せ。

解答 何の変哲もない微積の計算問題に見えるのですが、(2)が意外に厄介です。

 ()
対数微分法により微分します。
 (微分の公式を参照)

 ・・・①
どうでもいいように見えますが、(2)をにらんで、微分しやすいように、分子をできるだけ簡単な形にしておくのが、この問題のポイントです。

(1) のとき、
(とおきます)
 ・・・②
において、なので単調減少です。また、は連続な関数です。
のとき、 
(関数の極限を参照)
よって、においてです。
のとき、 ・・・③
よって、,従って、は増加関数です。

(2) ①より、 (とおきます)
②を用いて、


より、分子各項の係数は正または0なので、において分子は正です。よって、なので、において、は単調増加です。また、は連続な関数です。
のとき、より
よって、のとき、です。
③より、,従って、は減少関数です。


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  1. 2009/11/23(月) 14:41:02|
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奈良県立医大数学'09年[2]

奈良県立医大数学'09[2]

n2以上の整数とし、1からnまでの相異なるn個の整数を横一列に並べて得られる各順列sに対して、左からi番目の数字をと記す。このとき、条件,かつを満たす整数の対の個数をとおく。さらに1からnまでの順列s全体のなす集合をSとする。順列sS全体を動くとき、の総和を求めよ。

解答 抽象的なことを言っている問題文で、なかなか題意がつかめません。こういう問題では、の場合、の場合、・・・、と具体的に調べて行くことになります。問題文がどういうことを言っているのか、ということが把握できてから解答を考えるようにしましょう。

まず、整数
nを決めると、という個数があって、はその総和だというのですから、少なくともは、nに対して定まる数値だ、ということが言えます。そこで、と書くことにします。
また、
1からnまでの相異なるn個の整数を横一列に並べて得られる順列を,「条件,かつ」を条件Cと表すことにします。

のとき、
122個の数字で順列を作ると、2通りできます。
では、として
(1番目の数字) (2番目の数字)なので、となり、条件Cは満たされません。です。
では、として
(1番目の数字) (2番目の数字)なので、となり、条件Cは満たされています。これより、条件Cを満たす整数の対のみで、です。
これで、は、順列の中で、大小関係がひっくり返っている対の個数を言っているのだ、ということがわかります。また、です。

のとき、
1233個の数字で順列を作ると、6通りできます。
では、大小関係がひっくり返っている対はなく、です。
では、なので、条件
Cを満たす対のみで、です。
では、なので、条件
Cを満たす対のみで、です。
では、条件
Cを満たす対はで、です。
では、条件
Cを満たす対はで、です。
では、条件
Cを満たす対はで、です。
これより、です。
ここで、の場合との場合とを比較してみます。

(i) であるは、最大の3が末尾に来ているので、のときには条件Cは満たされません。だけを見ればの場合と同じで、ではではになります。
(ii) であるは、最大の32番目に来ているので、1であっても2であってもとなり、という対では条件Cが満たされます。だけを見ればの場合と同じで、の分だけ1個増えて、ではではになります。
(iii) であるは、最大の3が先頭に来ているので、,また、となり、という対では条件Cが満たされます。だけを見ればの場合と同じで、の分の2個が増えて、ではではとなります。
これで規則性が見えてきます。

のとき、順列は
24通りできますが、最大の4が何番目に来るかで場合分けして考えると、
(i) のときには、最大の4が末尾に来ていて、のときには条件Cは満たされません。だけを見ればのときと同じで、この場合のの和はです。
(ii) のとき(6通りの順列があります)には、最大の43番目に来ていて、のいずれについてもとなり、という対では条件Cが満たされます。だけを見ればの場合と同じで、6通りの各順列についての分だけ1個ずつ増えて、この場合のの和はです。
(iii) のとき(6通りの順列があります)には、最大の42番目に来ていて、となり、という対では必ずCが満たされます。だけを見ればの場合と同じで、6通りの各順列についての分の2個が増えて、この場合のの和はです。
(iv) のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が先頭に来ていて、となり、という対では条件Cが満たされます。だけを見ればの場合と同じで、6通りの各順列についての分の3個が増えて、この場合のの和はです。
以上より、です。

これで、一般の整数
n ()の場合について考えることができます。
順列は通りできますが、最大の数字
nが第k番目()に来る、つまり、だとすると、
(i) のときには、最大のnが末尾に来ていて、のときには条件Cは満たされません。,・・・,だけを見ればのときと同じで、この場合のの和はです。
(ii) のとき(kの各値について、通りの順列ができます)には、最大のnが第k番目に来ていて、としてという個の対では必ず条件Cが満たされます。からを除くとのときと同じで、通りの各順列について個増えて、この場合のの和はです。
以上より、
 (Σの公式を参照)

 ・・・①
これを用いて、

これより、
と予測できます。予測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明します。
() のとき、より、予測は成立します。
() のとき、予測が成立するとして、
①より、

よって、予測は成立します。
()()より、となる整数nについて、
......[]


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  1. 2009/11/22(日) 03:33:16|
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香川大医数学'09年[1]

香川大医数学'09[1]

次の問いに答えよ。
(1) x3次方程式 ()3つの解をabgとするとき、解と係数の関係を書き、それを証明せよ。
(2) を実数の範囲で因数分解せよ。
(3) xyzに関する次の連立方程式を解け。
ただし、とする。

解答 解と係数の関係をうまく利用して3次方程式を解く、という問題です。

......[]
x3次方程式3つの解がabgのとき、
と因数分解できます。右辺を展開すると、
両辺各項の係数を比較して、
これより、解と係数の関係が成立します。 (証明終)

(2) が出てくるように、
を展開してみます。


......[]

(3)
①を2乗して、

②を用いて、
 ・・・④
(2)の結果を用いて、
③,①,②,④を代入して、

 ・・・⑤
①,④,⑤より、
3解とする3次方程式は、(1)の結果を用いて、
 ・・・⑥
と書けるので、3解はらしい、ということになりますが、実際に、⑥左辺のt の係数について、
となるので、⑥左辺を因数分解すると、
より、
または または
......[]


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  1. 2009/11/21(土) 13:04:16|
  2. 09年数学
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東北大物理'09年後期[2]

東北大物理'09年後期[2]

1のように質量m,正の電気量qをもった点電荷が、電気を通さない長さRの糸で原点Oにつなげられ、xy平面内を円運動している。糸は伸び縮みしないものとし、点電荷にかかる重力の影響は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
(1) はじめに、点電荷がx軸上の点を速さで通過した瞬間に、図2のように大きさEの一様な電場(電界)x軸の正の方向にかけた。
(a) の電位を0として、点の電位を、EqRの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 点電荷は、糸がたるむことなく運動を続けた。点電荷が点を通過したときの速さをvとして、点電荷が点にあるときと点にあるときの間のエネルギー保存の式を、EmqRvの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 点電荷が点にあるときの糸の張力Fを、EmqRvの中から必要なものを用いて表せ。
(d) 点電荷が点にあるときに糸がたるまないためのEの条件を、mqRの中から必要なものを用いて表せ。
(2) こんどは、図3のように、電場の代わりに、紙面に垂直で磁束密度の一様な磁場(磁界)を、紙面の表から裏へ向かう方向にかけた。糸がたるむことなく点電荷が円運動を続けるためのの条件を、mqRの中から必要なものを用いて表せ。
(3) 次に、図4に示すように、磁場の大きさを時刻から時刻tの関数として変化させた。磁場を変化させている間も、糸がたるむことなく点電荷は原点Oの周りを円軌道を描いて回転し続けた。
(a) 点電荷の円軌道を貫く磁束の大きさが時間変化すると、電磁誘導によって円軌道に沿った誘導起電力が生じる。これは、同じ経路の導線に生じる誘導起電力と同じと考えてよい。この誘導起電力を、点電荷が円軌道に沿って1周する間に得る電位差と考えると、円軌道上で受ける誘導電場の強さを求めることができる。時刻からの間に円軌道に沿って生じる誘導電場を、mqRTの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 3(a)で考えた電場により点電荷の速さが変化する。時刻からの間の速さvを時刻tの関数として解答用紙のグラフに図示せよ。時刻におけるvの値も、mqRTの中から必要なものを用いて縦軸上に表せ。
(c) 点電荷が時刻に点を通過し、その瞬間に糸から切り離されたとする。その後の点電荷の軌道として適切なものを図5()()の中から1つ選び記号で答えよ。ただし、図5中の点線は糸から切り離される前の点電荷の軌道を示す。

解答 電場磁場それぞれの中で電荷がどういう円運動をするか、という問題です。糸がたるまない条件は、「糸の張力0」です。問(3)Tに説明がないのがやや不親切な気がします。なお、不等速円運動を参照してください。

(1)(a) 2電場の方向に距離離れているので、電位差は、
 (電位・電圧を参照)
電位は点の方が低く、点電位は、
......[]
(b) 位置エネルギーの基準として、点位置エネルギーは、
 (電位・電圧を参照)
における運動エネルギー,点における運動エネルギー
2点でのエネルギー保存の式は、
......[] ・・・①
(c) において、糸の張力F正電荷が受けるクーロン力(電界を参照)合力向心力となるので、この点における正電荷の法線方向の運動方程式は、
 ・・・②
......[]
(d) ①より、
②に代入して、
糸がたるまない条件は、より、
......[]

(2) 正電荷は円運動の接線方向にを受けないので、速さのまま等速円運動を続けます。正電荷磁場より受けるの大きさはで、円の中心を向く方向に働きます。糸の張力Fとして、円運動の運動方程式は、
よって、正電荷が円運動を続けるためには、より、
......[]

(3)(a) 磁束密度のとき、円軌道を貫く磁束は、

においては、正電荷が円軌道を一周する間の誘導起電力の大きさは、時間Tの間に磁束密度からまで変化するので、 (4の直線の傾き)より、
 (電磁誘導の法則を参照)
長さの円軌道上では電場は一様で、誘導電場(の大きさ)は、より、
......[]
においては、レンツの法則より、紙面を表から裏に向かう磁場が増大するので、誘導電場磁場を減少させようとする方向、つまり、裏から表に向かう磁場を作ろうとする方向で、図3の円で反時計回りの方向です。
(b) (3)(a)の結果に見るように、において、円の接線方向反時計回りに一様な電場ができていて、正電荷はこの方向に一定のを受けるので、正電荷の円の接線方向の速さは一定の割合で増加します(一種の等加速度運動のようになります)正電荷加速度aとして、接線方向の運動方程式は、

時刻における速さは、
においては、磁場の変化がなく誘導起電力0正電荷に接線方向にはが働かず、正電荷の接線方向の速さのままです。
においては、
磁場の変化率はでの変化率のです。正電荷の速さの変化率もで、今度は速さは一定の割合で減少してに戻ります。
においては、
磁場は変化せず、正電荷速さのままです。
以上より、
正電荷の速さvは右図実線のように変化します。
(c) (3)(a)において糸がたるまずに(張力)円運動していた、ということは、時刻において速さ正電荷が点から円運動を始めた時点では糸に正の張力が働いていたということです。点に戻ったときに速さに戻っているので、においては、正電荷に正の張力が働いています。これがなくなると、正電荷に働く向心力が弱くなり、円運動の半径が増大し、円軌道の中心も移動します。ですが、においても、正電荷は円運動を続けます。よって、() ......[]


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  1. 2009/11/19(木) 12:34:59|
  2. 09年物理
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信州大工数学'09年[2]

信州大工数学'09[2]

数列において
とおく。
 ()
のとき、一般項を求めよ。

解答 数列n項の和に関する等式が与えられている問題では、
を利用します
(数列の和と一般項を参照)
また、という形の
漸化式は、
であれば、で割ることにより、
これで2項間漸化式の基本タイプになります。
であれば、とおいて漸化式に代入し、が公比p等比数列になるようにab を定めることにより、一般項を求めることができます。本問はこのタイプです。
であれば、とおいて漸化式に代入し、が公比pの等比数列となるようにabgを定めることにより、一般項を求めることができます。

 ・・・①
とすると、より、
 ・・・②
①において、
nに代えて、
 ・・・③
③-①とより、
 ・・・④
 ・・・⑤ とおいて代入すると、

注.このとき、くれぐれも、とやらないように注意してください。
整理して、

ここで、,つまり、のとき、
となり、は公比2の等比数列になります。
⑤でとすると、②より、


よって、
⑤より、
......[]
別解.④で、nに代えて、
 ・・・⑥
⑥-④より、
とおくと、
 ・・・⑦
 ・・・⑧

⑦-⑧より、
④でとして、
は、初項:,公比
2の等比数列。

このに④を代入して、
......[]


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  1. 2009/11/18(水) 13:30:17|
  2. 09年数学
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明大理工数学'09年[4]

明大理工数学'09[4]

abは実数で、とする。xy平面上の点から曲線に接線を引くことができるための条件を求めたい。
(1) 曲線上の点における接線の傾きとy切片を求めよ。
(2) とおく。
(a) 関数の増減を調べ、極値を求めよ。
(b) のとり得る値の範囲を求めよ。必要ならば、を用いてよい。
(3) から曲線に接線を引くことができるための条件をabを用いた式で表せ。

解答 ノーヒントだと厳しい問題ですが、誘導通りに進めば手が止まることはないと思います。

(1)  (合成関数の微分法を参照)
における接線の傾きは、 ......[]
における接線の方程式は、
 ・・・①
このy切片は、 ......[]

(2)(a)
(複号同順)
のとき、関数の増減は以下の表の通り(関数の増減を参照)
t


a
000

増減表より、のとき極大値のとき極小値のとき極大値 ......[]
(b) 関数のグラフは、を考慮して右図のようになります。グラフより、の範囲は、より、
......[]

(3) 接線①が点を通るとき、
 ・・・②
これをtに関する方程式と見ると、この方程式が解をもつときに点を通る接線を引くことができます。
この右辺は
tを実数とするとき関数で、そのとり得る値は(2)(b)で求めた通りなので、のとき、方程式②が解をもつ、つまり、点から曲線に接線を引くことができるための条件は(微分法の方程式への応用を参照)
......[]
追記.2回微分すると、
これより、曲線は、のところに変曲点があるのですが、変曲点における接線は、
(3)の結果は、
(i) のとき、に接線が引けるのは、直線から上で直線から下の領域内の点からである。
ということを意味しています。同様に、
(ii) のとき、直線から上で直線から下の領域内の点からに接線を引くことができます。
(iii) においては、で最小値をとるようになり、
曲線から上で直線から下の領域内の点からに接線を引くことができます。
結局、曲線(黒色実線)に接線を引くことができる点は右図水色着色部(境界線を含む)です。青色細線は直線(変曲点における接線)です。


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  1. 2009/11/17(火) 03:04:37|
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大阪教育大数学'09年[4]

大阪教育大数学'09[4]

1個のさいころをn回投げるとき、k回目に出た目をとし、それらの積とする。そしてr桁の自然数となる確率をとする。次の問いに答えよ。
(1) のとき、nを用いて表せ。
(2)(i) 1個のさいころをn回投げるとき、1以外の目がちょうどs回出る確率をとする。sを用いて表せ。
(ii) を求めよ。

解答 (2)(ii)が難問です。(i)をどう利用するかがポイントです。

(1) いろいろな考え方が可能ですが、ここでは、(2)をにらんで、n回さいころを投げるときに1以外の目が何回出るか、ということで分類して考えてみたいと思います。
1桁の自然数になるのは、以下の4つの場合です。
(a) n回すべて1が出るとき、1通り。
(b) 1以外の目が1回出るとき、その1回に出た目が26までの5通り、26の目がn回のうちのどの1回に出るかがn通りで、通りあります。
(c) 1以外の目が2回出るとき、その2回に出た目が、

6通りあり、この2回がn回のうちのどの2回かが通りで、通りあります。
(d) 1以外の目が3回出るとき、その3回に出た目が、1通り、この3回がn回のうちのどの3回かが通りあります。
n回さいころを投げるとき、目の出方は通りあって、求める確率は、
......[]

(2)(i) 1以外の265通りの目がs回出るのが通り、1以外の目が出るのがn回のうちのどのs回かが通りで、n回さいころを投げて1以外の目がちょうどs回出る確率は、
 ・・・① (反復試行の確率を参照)
 (数列の極限を参照)
......[]
(ii) まず、n回すべて1,あるいは、1以外の目の出るのがちょうど1回のときには、1桁の自然数で2桁になりません。
2桁の自然数になるのは、例えば、1以外の目が2回出るとき、その2回に出た目が、
19通りあり、この2回がn回のうちのどの2回かが通りで、通りあります。
ですが、このまま、
1以外の目が3回出るとき、4回出るとき、と、やっていくと大変なことになります。そこで、(i)の利用を考えます。
と言っても、どう利用するのか、なかなか思い浮かびません。一つ気づきたいことは、
1以外の目が出る回数はいくら多くても良いわけではない、ということです。から考えると、1以外の目が7回以上出てしまうと、となってしまいます。従って、2桁の自然数になるためには、1以外の目の出る回数は、2回か、3回か、4回か、5回か、6回のいずれかでなければならないのです。
そこで、上記の通りの場合を考えると、この目の出方の集合は、
1以外の目が2回出る場合の目の出方の集合の部分集合です。ということは、n回さいころを投げて、1以外の目が2回出て、かつ、2桁の自然数となる確率をとすると、になるということです。
さらに言えば、として、
n回さいころを投げて、1以外の目がs回出て、かつ、2桁の自然数となる確率をとすると、となります。これで、(i)が利用できそうです。
n回さいころを投げて、2桁の自然数になる確率は、
 ・・・②
なので、
 ・・・③
です。これで、自体を求めるのは難しくても、は、はさみうちにするのだろう、という問題の構図がおぼろげに見えてきます。
③にをかけると、右辺は、①を用いて、
 ・・・④
ここでとすると、の項からの項ではとなり分母にnが余計にあるのでとなりますが、の項だけ分母にnが残らずとなり、のときに、③の右辺はとなることがわかります。だからと言って、ではなく、であることに注意してください。
そこで、今度は、よりも小さくなるものを探します。これもすぐには探せないので、まず、④でのときに有効な寄与をする項がの項だけというところに目を付けます。これは、で割って極限をとるからで、
6個の連続整数の積が出てくるの項が有効になるのです。そこで、の中で、で割って極限をとるときに有効になりそうなを考えてみます。②において、のときにであることは明らかなので、です。
は、
n回さいころを投げて、1以外の目が6回出て、かつ、2桁の自然数になる確率です。この6回の目の出方は、などから考えて、
2通りしかありません。
の方は、
n回のうちどの6回で2が出るかと考えて、通り、
の方は、
n回のうちどの6回で23が出るかが通り、6回のうちどの回が3かが6通りで、通り、

をかけて、とすると、
 ・・・⑤
この極限値は、先ほど④の右辺でとしたときの極限値と食い違っています。③のままでは、はさみうちの形にできないのです。なので、③の右辺のうち末尾のとしても、
となります。ここで、のとき、であったことを思い起こせば、はさみうちの形が得られたことがわかると思います。結局、
 ・・・②
において、のときであることから、
をかけて、
ここで、とすると、⑤と、のときであることから、左辺、右辺とも、
となり、はさみうちの原理より、
......[]
追記.予備校講師のようなプロなら最初からが支配的だろうということに気づくと思いますが、一般の受験生の皆さんは、いろいろと試行錯誤して最終解答にたどりつくので構わないと思います。


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  1. 2009/11/15(日) 01:05:16|
  2. 09年数学
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阪大物理'09年前期[3]

阪大物理'09年前期[3]

図のように、外部との熱の出入りがないように周囲を断熱材で囲んだシリンダーがあり、外部から支えることができるように棒がとりつけられたピストンで、シリンダーの内部が区切られている。ピストンは短い時間では熱を通さないとみなすことができる。またピストンを支える棒は熱を通さない。ピストンとそれを支える棒、およびシリンダーの熱容量は無視できる。さらにピストンとシリンダーの間の摩擦はないものとする。
ピストンによって分けられたシリンダー内部の右と左の部分に、それぞれの単原子分子理想気体が入っている。以下、左の部分を
A系、右の部分をB系と呼ぶ。単原子分子理想気体の定積モル比熱を,気体定数をRとする。また、温度はすべて絶対温度とする。
最初、
A系の体積がB系の体積が,また温度がそれぞれであり、ピストンは何の支えもなく静止していた。これを初期状態と呼ぶことにする。

1 の間に成り立つ関係式を求めよ。

初期状態から、A系とB系の温度と圧力が等しくなるような状態への変化の過程を、次のⅠとⅡの場合について考えてみよう。
[Ⅰの場合]
初期状態からピストンを通してゆっくりと熱が移動し、A系とB系の温度と圧力が等しい状態に達した。このときB系の体積が,温度がとなった。

2 を用いて表せ。
3 を用いて表せ。

[Ⅱの場合]
初期状態でピストンを固定した。この状態からピストンを通してゆっくりと熱が移動し、A系とB系の温度が等しい状態に達した。このとき温度がとなった。

4 を用いて表せ。
5 この変化の過程でA系からB系に移動した熱量をを用いて表せ。

この状態はA系とB系の温度は同じであるが、圧力は異なる。ここで手でピストンを支えながら固定を解き、A系とB系が同じ圧力になるまでピストンを支えながら単調に動かし、単原子分子理想気体を断熱変化させた。このときB系の体積が,圧力がとなった。また、単原子分子理想気体の断熱変化に対して、圧力pおよび体積Vの間には、 という関係が成立する。

6 Rを用いて表せ。
7 を用いて表せ。必要であればabとして用いてもよい。

これで圧力がつり合ったので手の支えを離す。しかしこの状態は温度が異なる。この状態からピストンを通してゆっくりと熱が移動し、A系とB系の温度と圧力が等しい状態に達した。このとき温度がとなった。
8 Ⅰの場合に問3で求めた温度と、Ⅱの場合の温度は、どちらが高いか、または同じか。以下より適当なものを選び、解答欄にその記号を記入せよ。また、その理由を簡単に述べよ。
ア.  イ,  ウ.

解答 問題文では、単原子理想気体を扱っていて、通常、定積モル比熱は、なのですが、わざわざ、「単原子分子理想気体の定積モル比熱をとする」と断っているので、絶対温度Tの気体の内部エネルギーUは、ではなく、とするべきです。
ただ、問題文の後半では、
断熱変化の過程において成立するポアッソンの関係式を、
(比熱比、は定圧モル比熱)
とせずに、
としています。が仮定されてしまっている、とも、言えるので、比熱比を知っている受験生には、問題文が整合性に欠けている、と思えてしまうことになります。

1 最初、ピストンに加わるはつり合っているので、A系とB系の圧力は等しくなります。この圧力とします。
A系の状態方程式 ・・・①
B系の状態方程式 ・・・②
①÷②より、
......[]

2 変化後のA系,B系の気体の圧力A系の体積として、
A系の状態方程式 ・・・③
B系の状態方程式 ・・・④
③÷④より、
シリンダーの
体積は変わらないので、
......[]

3 シリンダーが断熱材で覆われていて、A系,B系合わせた内部エネルギーが変化しないことから、
 ・・・⑤
......[]
なお、④÷②より、
これより、です。

4 ⑤と同様に考え、⑤式のとして、
......[]

5 B系の内部エネルギーは、最初は,変化後はで、内部エネルギーの変化は、
B系の気体は、体積変化がないので、仕事をしません。よって、熱力学第一法則より、B系が吸収した熱量、即ち、A系からB系に移動した熱量は、
......[]
なお、変化後のA系,B系の圧力として、
A系の状態方程式 ・・・⑥
B系の状態方程式 ・・・⑦
⑦÷②より、 ・・・⑧
⑥÷⑦より、 ・・・⑨
です。

6 B系の気体について、問題文の関係式を用いて、
⑦より、
よって、
......[]

7 断熱変化後のA系の体積とすると,A系の気体について、問題文の関係式と⑨,②より、
4,問6の結果より、
 ・・・⑩
より、
......[]

8 問3、問4の結果より、で、[][]の変化後の温度は同じです。つまり、[]の場合で、断熱変化前の温度と、断熱変化後にピストンを自由にしてA系とB系の温度が等しくなったときの温度を比較すればよいわけです。
[]定積変化の過程では、A系は温度低下とともに圧力が減少し、B系は温度上昇とともに圧力が増加します。
[]の変化後においては、B系の圧力A系の圧力を上回り、ここから断熱変化をすると、ピストンにはB系からA系に向かう方向のが働いて、ピストンは左に動きます。手で支えると、手には左向きのが働いて、シリンダー内の気体は、A系、B系合わせて、手に対して正の仕事をします(A系では断熱圧縮により温度が上昇し、B系では断熱膨張により温度が下降します)
手の支えを離した後では、
(ピストンが左に移動することにより、B系の気体がA系の気体に対して仕事をしますが)ピストンは外部に対して仕事をしません。
結局、断熱変化の過程で気体が外部に対してした
仕事の分だけ、シリンダー内の気体の内部エネルギーは減少し、温度は、,従って、よりも小さくなります。
ア.
......[]
理由:断熱変化の過程で気体が手に対してした仕事の分だけ内部エネルギーが減少するから。 ......[]
追記.断熱変化の過程で、手が仕事をされる、ということになかなか気づけないかも知れません。力尽くで計算してみます。
断熱変化後について、
A系の絶対温度として、
A系の状態方程式 ・・・⑪
B系の状態方程式 ・・・⑫
⑩と、⑪÷⑫より、

3と同様に考え、問3と考えると、
 ・・・⑬
⑫に問6,問7の結果を代入すると、より、
これを⑬に代入して、
より、
となるので、ですが、などの値が与えられていないので、この問題では、断熱変化の過程で何が起こるか、という物理的考察ができないと解答できません。


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  1. 2009/11/14(土) 04:18:27|
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横浜国大経済数学'09年[2]

横浜国大経済数学'09[2]

数列と関係式
 
で定める。次の問いに答えよ。
(1) nの式で表せ。
(2) 7で割り切れることを示し、7で割り切れるためのnの条件を求めよ。

解答 (1)があるので、(2)でもの一般項を求めたくなりますが、(1)を解答せずとも(2)だけで単独で解答することも可能です。
なお、
(1)については、漸化式の技巧を参照してください。

(1) は、初項:24,公比:8等比数列なので、
与えられた漸化式の第2式に代入して、
両辺をで割り、
 ・・・① とおくと、
 ・・・②
 ・・・③
③を解いて、
②-③より、
これより、は、初項:,公比:の等比数列なので、
①より、
......[]

(2) 与えられた漸化式の第1式で項番号を1ずらすことにより、
 ・・・④
さらに項番号を1ずらせて、
 ・・・⑤
のとき、は整数であって、
のとき、が整数であれば、与えられた漸化式より、も整数で、

数学的帰納法により、すべての自然数nについて、は整数です。
よって、⑤式のも整数であり、
7の倍数です。 ・・・()
与えられた漸化式の第1式でとして、
④でとして、
これらのことから、
m1以上の整数として、のときには7で割り切れず、のときに7で割り切れると予測できます。
のとき、のときには
()7で割り切れず、のときには()7で割り切れるので、予測は成立します。
のとき、予測が成立すると仮定すると、
7で割り切れず、7で割り切れます。このとき、()より、7で割り切れず、7で割り切れるので、予測はのときにも成立します。
以上より、
7で割り切れるためのnの条件は、
n3で割ったときの余りが1でない自然数であること” ......[]
別解.上記の(2)では、(1)も使わず、与えられた漸化式だけを用いて解答しましたが、もちろん、(1)の結果を利用しても、また、の一般項を求めても、解答できます。
(1)の結果を利用するのであれば、を与えられた漸化式の第1式に代入して、
 ・・・⑥


これで、7で割り切れることが言えます。
の一般項を求めるのであれば、⑥をで割り、
これは、数列階差数列であることを意味します。よって、
 ()
 (のときも成り立ちます)
これで、7で割り切れることが言えます。


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北大理系数学'09年後期[4]

北大理系数学'09年後期[4]

関数
と定める。でのの最小値とそのときのtの値を求めよ。

解答 絶対値を含む定積分の最大・最小の問題ですが、被積分関数の中に絶対値が2つ出てきます。2つの絶対値の中を0にするtの値は異なるので、別々に絶対値を外さなければいけません。


として、です。
については、絶対値記号の内側を
0にすると、
 (対数関数を参照)
ではなので、定積分の積分区間を、という2区間に分けます。
においてはにおいては

 (不定積分の公式を参照)

 (ここで、です)
 ・・・①
については、絶対値記号の内側を0にすると、
ではなので、定積分の積分区間を、という2区間に分けます。
においてはにおいては




 ・・・②
①,②より、
とすると、 (です)
t1

e

0



増減表(関数の増減を参照)より、 ......[] のとき、最小値: ......[]


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同志社大文系数学'09年[3]

同志社大文系数学'09[3]

O1つの頂点とする4面体OABCを考える。とし、がそれぞれ直交するとき、次の問いに答えよ。
(1) klmを実数とする。空間の点Pとするとき、内積klmを用いて表せ。
(2) Oからに下ろした垂線の足をHとする。を用いて表せ。
(3) の面積Sを用いて表せ。
(4) の面積をの面積をの面積をとする。の面積Sを用いて表せ。

解答 空間ベクトルの問題で、面倒そうに見えますが、という条件があるので、難しくはありません。悩むより先に手を動かせ、という問題です。
三平方の定理を思わせる
(4)の結果は、記憶しておくと、センター試験などで役に立つ局面があるかも知れません。

より、
 ・・・①


(1) ①を用いて、

......[]

(2) とおくと、より、
となるので、①を用いて、

 ・・・②

 ・・・③
②,③より、
 ・・・④
H上の点であることから、の係数の和は1 (平面のベクトル方程式を参照)で、

④より、
......[]

(3) ①を用いて、の面積Sは、


......[]

(4) の面積は、
の面積は、
の面積は、
これより、
......[]


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  1. 2009/11/07(土) 13:31:07|
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阪府大工数学'09年[5]

大阪府立大工数学'09[5]

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 積分を計算し、aq を用いて表せ。
(2) 極限が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。
(3) (2)の条件を満たすaに対して、極限aを用いて表せ。
(4) (2)の条件を満たすaに対して、極限aを用いて表せ。なお、であるすべてのxに対して
が成り立つことを用いてもよい。

解答 (4)が問題ですが、(3)を使って考えようとするとうまく行きません。問題文のヒントを利用し、面倒な計算を経て、はさみうちすることになります。
なお、“”という条件は、
(4)のみに対する条件でよいのではないか、と、思われます。

(1)
 (積和の公式を利用。三角関数の諸公式を参照)

......[
]

(2) とおくと、のとき
より、
のとき、 (極限の公式を参照)より、極限が正の値に収束するためには、まず、,即ち、a2以上の整数であること()が必要。
逆に、
a2以上の整数であるとき、より、とすると、
であるためには、さらにaが奇数であることが必要で、a3以上の奇数であるとき、
より、確かに正の値に収束します。よって、求めるaの条件は、
a3以上の奇数であること ......[]

(3) a3以上の奇数のとき、より、
 (加法定理を参照)
のとき、
......[]

(4) まず、a3以上の奇数であること、を用いて、(1)の計算結果に出てくるを直します。より、


(1)より、
 ・・・①
の中にという形が出てくるのですが、(3)の結果をそのまま使うのでは、の形になってうまく行きません(不定形の極限を参照)
そこで、問題文のヒントの利用を考えることになります。であることに注意して、問題文のヒントで、とすることにより、
 ・・・②
 ・・・③
に注意して、×②より、
 ・・・④
×③より、
 ・・・⑤
④,⑤を辺々加えることにより、

 ・・・⑥
従って、①を用いて、
より、⑥の各辺をで割って、
ここで、とすると、

......[]


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  1. 2009/11/06(金) 16:48:15|
  2. 09年数学
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同志社大理工数学'09年[4]

同志社大理工数学'09[4]

双曲線Cについて次の問いに答えよ。
(1) Cの漸近線の方程式を記せ。
(2) mを任意の実数として、直線が曲線Cに接していないことを示せ。
(3) Aを通るCの接線の方程式をすべて求めよ。
(4) C上にない点Pを通るCの接線がちょうど2本あって、2本の接線が直交するとき、pqがみたすべき条件を求めよ。

解答 楕円の直交2接線の交点の軌跡は準円と呼ばれる円:になることがよく知られていて入試でも頻出ですが、双曲線ではどうか、という問題です。

双曲線C ・・・①
は、右図黒色実線のように、x軸をはさんで、の部分との部分に分かれている曲線です(水色の直線は漸近線)

(1) Cの漸近線は、Cの方程式①の右辺の0にすることによって得られます。
......[]

(2)  ・・・②
①,②を連立しyを消去して、
 ・・・③
のときには、③を満たす
xは存在しません。つまり、直線②はCと接点も交点ももちません。
のときには、となり、これは重解ではないので、直線②は
C2交点をもちます(グラフで確認してください)
よって、直線が曲線
Cに接することはありません。

(3) Aを通りx軸に垂直なCの接線はありません。そこで、傾きをmとして、Aを通る直線を、
 ・・・④
とおいて、①と連立します。

これは、のときにx2次方程式になります。
Cと④は接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式について、
 (を満たします)
④より、Aを通る接線は、
......[]

(4) 計算の手間はほとんど変わらないので、を用いて、双曲線を、
 ・・・⑤
として計算することにします。本問では、です。
Pを通りx軸に垂直な⑤の接線はありません。そこで、傾きをmとして、Pを通る直線を、
 ・・・⑥
とおいて、⑤と連立します。
 (以下、をひとくくりにして計算するのがコツです)

これは、のときにx2次方程式になります。
⑤と⑥は接するので、この
2次方程式は重解をもちます。判別式について、


 ・・・⑦
⑦をmに関する2次方程式と見ると、2解をとして、2接線は直交するので、解と係数の関係を用いて、
 ・・・⑧
であれば、これは
Pが原点を中心とし、半径の円周上の点であることを意味し、楕円の場合に対応する結果となります。
ところで、,つまり、直線が漸近線に平行になるときには、直線は、双曲線と
1交点をもつか、交点をもたないかのいずれかで、接することはありません。
⑦を
m2次方程式と見るとき、を解にもてないので、

 ・・・⑨
本問では、⑧,⑨においてとして、
かつ ......[]


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  1. 2009/11/04(水) 22:41:18|
  2. 09年数学
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慶大医数学'09年[3]

慶大医数学'09[3]

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(3)に答えなさい。
正方形の
4つの頂点にの順に反時計回りに名前をつける。上には表を上にした硬貨を1枚ずつ置き、上には裏を上にした硬貨を1枚ずつ置く。いま次の操作Tを何回か繰り返し行う。
操作T4つの頂点のどれかを確率ずつで選ぶ。選ばれた頂点を
()とするとき、辺に沿って上の硬貨と並んでいる
硬貨
2枚のうち上の硬貨とは逆の面を上にしたものの枚数を
kとする。次に、上の硬貨を確率でひっくり返し、確率
でそのままにしておく。

以下、nを自然数とする。操作Tn回繰り返し行った結果、表を上にした硬貨がちょうど1枚だけある確率を,ちょうど2枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる確率を,ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率を,ちょうど3枚だけある確率をとする。
(1) である。
(2) のとき、の関係を4次の正方行列を用いて表すと、
である。これより任意のnに対してを求めるとである。
(3) 任意のnに対してであることを示せ。
(4) 任意のnに対してを求めると、である。これより、である。

解答 遷移図を書いて連立漸化式を作るタイプの確率の問題です。よく見るタイプとは言っても、一ひねり入っていて遷移図を作るだけでも非常に面倒です。
医学部の問題なのですが、出題者は医師志望者に、手間のかかる作業を正確かつ効率的に処理する能力を求めている気がします。
行列を用いて解答させる
(行列の積を参照)ようになっていますが、解答の形式が行列になっている、というだけで、行列の問題としての要素はありません。

以下では、表を上にした硬貨が、ちょうど
1枚だけある状態を「状態P」、ちょうど2枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる状態を「状態Q」、ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる状態を「状態R」、ちょうど3枚だけある状態を「状態S」、4枚とも裏を上にした状態を「状態T」、4枚とも表を上にした状態を「状態U」とします。
扱う状態が問題文に出てくる状態以外にもあり
(状態T,状態U)、必ずしも、
とならないので、注意が必要です。

(1) 操作Tを行って、初期状態(状態Qです)からを選択したときの状況を示したものが右図です。なお、○が表を上にした硬貨、●が裏を上にした硬貨を表します。
を選択するととなるので、の確率で①の状態Pに移行し、の確率で②の状態Qのままになります。
についても、同様にして考えたのが右図です。
() 右図で、操作T1回行った後に状態Pになるのは、①と③の場合で、この確率は、
......[]
() 右図で、操作T1回行った後に状態Qになるのは、②,④,⑥,⑧の場合で、この確率は、
......[]
() 右図で、操作T1回行った後に状態Rになる場合はなく、この確率は、
......[]
() 右図で、操作T1回行った後に状態Sになるのは、⑤と⑦の場合で、この確率は、
......[]

(2) 操作T回行った状態から、n回目の操作Tを行ったときの状況を右図に示します。
矢印で選択された硬貨を示しますが、1つの状態で2つの矢印がついているのは、どちらの頂点を選択しても同じ確率で同じ状態(硬貨の表裏の位置に違いはありますが)に至ることを意味します。
操作
T回行った状態には、状態P~状態U6通りの状態があり、状態P,状態Q,状態R,状態Sとなる確率はです。
右図では、操作
T回行った後、例えば、状態Pにおいて、確率が選択されてとなり、確率で状態Qに移行し、確率で状態Pのままとなります。確率が選択されてとなり、確率で状態Tに移行し、確率で状態Pのままとなります。また、確率が選択されてとなり、必ず状態Pのままになります。
操作
T回行った後、状態Q,状態R,状態Sにある場合も同様にして考えたのが右図です。状態T,状態Uにある場合には、必ず、n回操作後も状態T,状態Uのままになります。
右図より、操作
Tn回行った後、状態P,状態Q,状態R,状態Sとなる確率は、と書かれている状態の確率を加え合わせることにより、次のようになります。
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
以上より、
()  ()  ()  ()  () 0 () 0 ()  () ......[]
() ()の結果と③より、は初項0,公比等比数列で、
......[]

(3) ()の結果と①より、
 ・・・⑤
()の結果と④より、
 ・・・⑥
⑤-⑥より、
これと、()()の結果より、は初項,公比の等比数列で、
ゆえに、任意のnに対して、

(4) (3)の結果、及び②より、
 ・・・⑦
⑤×+⑦より、

これと、()()の結果より、は、初項,公比の等比数列。
 ・・・⑧
() ......[]
⑤×+⑦より、

これと、()()の結果より、は、初項,公比の等比数列。
 ・・・⑨
() ......[]
(
⑧-⑨)÷より、
(⑧+⑨)÷2より、


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