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東京慈恵医大数学'09年[2]

東京慈恵医大数学'09[2]

(1) 与えられた行列 (ただし)に対して、分数関数が定まる。
(i) 二つの行列 (ただし) (ただし)で定まる分数関数をそれぞれとする。また、二つの行列の積を
とするとき、であることが分かっている。
次の命題が成り立つことを証明せよ。
で定まる分数関数は、合成関数である。
(2) 漸化式
 () ・・・①
と、初項で与えられた数列の第nを用いて表したい。
行列
Aとし、 ()とする。
(i) 漸化式①で与えられた数列について、
が成り立つことを、数学的帰納法により証明せよ。
(ii) とする。を求め、さらにnを用いて表せ。
(iii) 数列の第 ()nを用いて表せ。

解答 分数タイプの漸化式行列を用いて扱おうという問題です。
なお、
漸化式の技巧行列の累乗を参照してください。

(1) 二つの行列で定まる関数は、
です。
で定まる関数は、
です。
よって、で定まる分数関数は、合成関数です。

(2)(i) 数学的帰納法により、
 ・・・②
を示します。
() のとき、より、なので、①より、
よって、②が成立します。
() として、のときに②が成立、つまり、
 ・・・③
が成立すると仮定します。
で定まる分数関数は、として、(1)より、
です。漸化式①より、
また、③より、
と書けますが、
より、②は、のときにも成立します。
()()より、漸化式①で与えられた数列について、
が成り立ちます。 (証明終)
(ii)  (逆行列を参照)
 (行列の積を参照)
......[]
ところで、
より、
両辺に左からP,右からをかけて、

......[]
(iii) (ii)より、



......[]


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  1. 2009/10/25(日) 20:50:56|
  2. 09年数学
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上智大理工数学'09年[1]

上智大理工数学'09[1]

極限値は自然対数の底eであり、その近似値はであることが知られている。ここでは、であることを次の手順で示そう。
(1) 自然数kに対して、であることを示せ。
(2) を二項定理を用いて展開することにより、
であることを示せ。

解答 参考書などによく出ている証明をすればよい問題なのですが、いざ、試験場で自分でやってみなさい、と言われると、難航するかも知れません。

(1) 数学的帰納法で示します。
() のとき、
よって、は成立します。
() のとき、
 ・・・①
が成立すると仮定します。
①の両辺に
2をかけて、
のとき、より、
よって、のときにも、が成立します。
()()より、自然数kに対して、が成り立ちます。

(2) 二項定理より、

 ・・・②
さて、ここで目標とすることは、これが、3以下、つまり、先頭の1を除いた第2項以降の和が2以下であることを示すことです。
このために、②の第
2項以降の各項が、初項1で和が2となるような等比数列の各項と比較できないか、考えてみます。
初項
1,和が2となるような無限等比級数の公比をrとすると、

となるので、②の第項、つまりと比較します。(1)を用いて、より、


・・・・・・
となるので、②の第2項以降について、
これより②は3よりも小さくなり、
 ・・・③
数列の各項について③が成り立つので、極限について、
が成り立ちます。


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  1. 2009/10/18(日) 01:25:20|
  2. 09年数学
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東京理科大理(数理)数学'09年[1]

東京理科大理(数理)数学'09[4]

対数を自然対数とする。数列 ()
により定める。ただし、とする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) 曲線x軸および2直線で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をとする。を求めよ。
(4) (3)で求めたに対して、を求めよ。
(5) (3)で求めたに対して、不等式
 ()
が成り立つことを証明せよ。

解答 数学Ⅲの範囲全般にわたる計算問題です。

(1)

 (C:積分定数) ・・・① (三角関数の積分を参照)
これより、
よりとなるので、

より、
......[]

(2) ①より、
よりとなるので、
......[]

(2)の結果を用いて、
......[]

(4) のとき、
 (数列の極限を参照)
......[]

(5)



のとき、より、
 (証明終)
別解.の形から、が従う3項間漸化式を考えます。
2解とする2次方程式は、
この2次方程式を特性方程式とする3項間漸化式は、
 ・・・②
です。そこで、②が成立するかどうか確かめてみると、


となるので、②が成立します。に対して、よりですが、より、となるので、


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  1. 2009/10/12(月) 21:30:14|
  2. 09年数学
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慶大理工物理'09年[1]

慶大理工物理'09[1]

以下の文章中の  に適切な数または式を記入しなさい。
人工衛星が地表すれすれを等速円運動するとき、その速さ
vは第一宇宙速度と呼ばれる。地球を質量M,半径Rの静止した球とし、万有引力定数をGとすると、万有引力が円運動の向心力となることから、第一宇宙速度は ア と表される。ただし空気抵抗はないものとする。一方、地上から打ち上げた人工衛星が無限の遠方にまで飛び去ってしまう最小の初速度は、第二宇宙速度と呼ばれる。これは、力学的エネルギー保存則により第一宇宙速度v イ 倍であることがわかる。
図のように、宇宙船が地球の重力の作用だけで地球に戻ることを考える。質量
mの宇宙船の速さは、地球から遠く離れた点Pにおいて、第一宇宙速度のa倍の速さである。点Pでは地球からの万有引力を無視できるとすると、宇宙船の力学的エネルギーは ウ である。点Pでの宇宙船の軌道を延長した直線と中心Oとの距離を半径Rb倍とする。ただし、である。このときの面積速度は、点Oと点P,および点Pから単位時間直進した後の宇宙船の位置Qの三点を結んでできる△OPQ(斜線)の面積である。したがって、面積速度は エ と求められる。
その後、宇宙船が地球に近づくと、万有引力のためにその軌道は地球の中心
Oに向かって曲げられる。地球に最も近づいた位置を点Tとして、距離TOX,点Tにおける宇宙船の速さをVとする、点Tでの面積速度は オ である。一方、点Tでは地球からの万有引力も考慮して、宇宙船の力学的エネルギーは カ となる。
以下では、宇宙船が地球をかすめるように通過する場合を考える。このとき最接近距離は地球の半径であるから、である。ケプラーの第二法則により、面積速度は一定、すなわち
()()であることを用いると、再接近点での速さは キ である。さらに、力学的エネルギー保存則も成り立つので、()()である。
これと
()の結果を用いると、変数としてaだけを含む式で、b ク と表される。
しかし、この速さは第二宇宙速度より大きいため、宇宙船は地球をかすめた後、無限の遠方に飛び去ってしまう。そこで再接近点で宇宙船の一部分
Bを進行方向前方に打ち出して、残りの部分Aに地表すれすれの等速円運動をさせた。このとき、ABの質量が等しいとすると、Aから見たBを打ち出す速さは、vを用いて ケ と表される。

 ケプラーの第二法則
(面積速度保存)を用いる基本問題です。

人工衛星の
質量mとします。
() 地表すれすれに運動する人工衛星に働く万有引力の大きさはです。等速円運動する質量mの人工衛星の運動方程式は、

......[]
() 地上において初速度の人工衛星の運動エネルギー位置エネルギー,無限遠において速さの人工衛星の運動エネルギー位置エネルギーは微小で、地上と無限遠との力学的エネルギー保存より、
人工衛星が無限の遠方に到達するためには、


......[
]
() 万有引力を無視できるとき、速さの宇宙船の運動エネルギーは、
......[]
() 点Pにおける宇宙船の面積速度は、△OPQの面積(底辺高さ)として、
......[]
() 点Tにおける宇宙船の面積速度は、直角をはさむ2XVの直角三角形の面積として、
......[]
() 点Tにおける宇宙船の運動エネルギー位置エネルギー力学的エネルギーは両者の和として、
......[]
() ()()より、
......[]
() ()()より、
()の結果より、

......[]
注.より、第二宇宙速度よりも大きくなります。
() Aの速度は第一宇宙速度vにすればよく、B速度とすると、運動量保存より、

A
から見たBを打ち出す速さ(相対速度を参照)
......[]


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