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九大理系数学'09年後期[4]

九大理系数学'09年後期[4]

Qは次の規則で数直線上の負でない整数の上を正の方向へ動くものとする。ただしnは負でない整数とする。
(a) 時刻0では点Qは原点にある。
(b) Qが時刻Tで座標にあるとき、時刻には確率で座標へ移動し、確率で座標へ移動する。
(c) Qが時刻Tで座標にあるとき、時刻には確率1で座標へ移動する。
Qが時刻Tで座標jにある確率をと書くことにする。以下の問いに答えよ。
(1) すべての自然数jに対してを求めよ。
(2) Tjが自然数であるとき、となる条件をTjを用いて表せ。
(3) Tが自然数であるときを求めよ。

解答 意外と手強い確率の問題です。点Qの動きをどう見ていくか、ということで、見方によっては難問になってしまいます。特に、樹形図を描いて漸化式を立てようとすると泥沼にはまるかも知れません。
ここでは、以下のように記号の並べ方で考えることにします。
時刻
Tから時刻への点Qの動きには3通りあって、
・座標から座標への移動(確率,○で表します)
・座標から座標への移動(確率,◎で表します)
・座標から座標への移動(確率1,×で表します)
のいずれかが繰り返されるので、○と◎と×の並び方を考えることにします。
(a)より、最初は○か◎です。
(b)(c)より、○によってへ移動するので、最終回に○で終了する場合を除いて○の次には必ず×が来ます。また×によってへ移動するので、×が2回以上続くことはありません。 ・・・()
以後、
0245×68
のように、時刻Tにおける座標と時刻Tから時刻への移動を示す○,◎,×を、点Qの存在位置の座標と交互に書くようにします。
また、○と×の出現個数を
mとすると、◎(出現個数は)では座標が2進み、○あるいは×では座標が1進むので、時刻Tまでに至る座標は、
 ・・・①
になります。

(1) は時刻2までの移動の確率なので、○と◎と×のいずれかを2個並べることになります。
024 確率は、
023 確率は、
01×2 確率は、
これ以外の場合はありません。よって、
のときのときのとき
......[]

(2) 時刻Tまでに至る座標jが最大になるのは、時刻Tまでの移動がすべて◎のときで、各時刻に2ずつ座標が増えて、まで来ます。よって、となることはなく、のときです。
時刻Tまでに至る座標jが最小になるのは、時刻Tまでの移動が○か×だけになるときで、各時刻に1ずつ座標が増えて、まで来ます。よって、となることはなく、のときです。
jを満たす自然数のとき、()に注意して、○と×の個数mが、
であれば、であって、①より、時刻Tに至る座標がjとなるので、です。
よって、求める条件は、
または ......[]

(3) 時刻までで起こりうる全ての場合を書き出してみます。
0246810
0
24689
0
2467×8
0
245×68
0
23×468
0
1×2468
0
245×67
0
23×467
0
1×2467
0
23×45×6
0
1×245×6
0
1×23×46
0
1×23×45
偶数の座標に至るとき、最後の移動は◎か×で、○にはなりません。
座標
10に至るときは、全て◎で、確率は
座標
8に至るときは、◎が3回、○×の続きが1回で、確率は
座標
6に至るときは、◎が1回、○×の続きが2回で、確率は
これより、
Tが自然数であるとき、時刻Tまでに○×の続きの回数mは、を満たし、○×の続きの回数がmのとき(偶数の座標に至るとき、最後の移動が○になることはないので、必ず○×の続きで現れます)、◎は回で、時刻Tまでに至る座標は、

このとき、より、,よって、時刻Tまでに至る座標について、
時刻Tまでの並びの中に、◎と○は回現れます。
また、○×の続きを
1組として見ると、◎と‘○×'合わせて個の並べ方は、通りあります(組み合わせを参照)
 (の指数のnは◎と○の出現回数です)
(2)
より、のときには、です。
......[]


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  1. 2009/09/28(月) 11:59:01|
  2. 09年数学
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札幌医大数学'09年[3]

札幌医大数学'09[3]

平面上に2PQがある。ただしabは正の数とする。線分OPと線分OQ上に、それぞれ動点MNがあり、を満たすように動くとき、線分MNが通過する領域をTとする。ここでOは原点を表す。
(1) 領域Tは線分OPOQと、PQを結ぶ曲線で囲まれる。この曲線の方程式を求めよ。
(2) 領域Tを図示せよ。
(3) 領域Tx軸のまわりに1回転してできる立体をUとする。2PQが単位円周上にあるとき、立体Uの体積を最大にするようなaの値と、そのときの立体Uの体積を求めよ。

解答 体積を除いて実質的に数学Ⅱの範囲の微積分の問題ですが、ポイントとなるところは、(1)2次方程式の解の範囲を考える部分です。

(1)(2) Aとして、直線PAMから下ろした垂線の足をHとします。
であって、△OPAと△MPHは相似なので、
MPPHHM = OPPAAO =ba
とすると、
これより、Mの座標は
Nの座標は
直線
MNの傾きは、
直線MN方程式は、

rについて整理すると、
 ・・・①
ここで、Mが線分OP上の点であることから、
 ・・・②
であることに注意します。①の左辺をとおくと、r2次方程式は、②の範囲に解をもちます。②の範囲の両端において、

となりますが、線分MN上の点は、の部分であってかつの部分に存在するので、を満たします。つまり、

です。従って、
2次方程式が②の範囲に解をもつための条件は、の判別式Dのグラフの軸の位置に関して(2次方程式の解の配置を参照)
 ・・・③
 ・・・④
③と、より、
 ・・・⑤
④より、

線分MN上の点はの部分に存在するので、求める領域Tは、
かつ かつ
であって図示すると、右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
(1)PQを結ぶ曲線の方程式は、⑤の不等号を等号に変えて、
......[] ・・・⑥

(3) Uは、底円の半径b,高さaの円錐から、曲線⑥と直線に挟まれた部分を除いた図形になります。その体積Vは、
 ( )
 (定積分を参照)

2PQが単位円周上にあるとき、より、

とすると、においては,このとき、
a0

1

0
V00
>
増減表より(3次関数の最大最小を参照)、立体Uの体積を最大にするaの値は、 ......[]
そのときの立体Uの体積は、 ......[]


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  1. 2009/09/21(月) 23:25:57|
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長岡技科大数学'09年[2]

長岡技科大数学'09[2]

とする。とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) を示せ。
(2) を示せ。
(3) ()で定義される数列をとする。を求めよ。

解答 分数タイプの漸化式に従う数列の極限を求める問題ですが、一般項を求めるのではなく、不等式を導いて、はさみうちに持ち込む、という誘導がついています。

(1)


(2) より、
より
 ・・・①
また、より
 ・・・②
①,②より、

(3) (2)の結果において、とすることにより、
この不等式を繰り返し用いることによって、

より、とすると、
よって、
はさみうちの原理により、
......[]

追記1 ()で定義される数列の一般項を考えてみます。
aとおくことにより、
 ・・・③
分母を払って、

このaの値を用いて、とおくと、
よって、は、初項:,公比:等比数列です。

より、

追記2.関数について考えてみます。
または においては、です。また、においては単調に減少します。とくに、において、
 ・・・④
③より、を解くと、となりますが、においてはとなり、なので、の方を考えることにします。
平均値の定理より、
または
を満たす実数cが存在します。
においてはなので、であれば、であり、は、
nを大きくしていくとき、を満たしながら単調に減少していきます。なので、であることに注意してください。
においてはなので、であれば、であり、は、
nを大きくしていくとき、を満たしながら単調に増加していきます。より、であることに注意してください。
これより、のときはのときはとすると、より、

これより、
のとき,はさみうちの原理より、

となります。


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  1. 2009/09/17(木) 18:06:45|
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金沢大理系数学'09年後期[5]

金沢大理系数学'09年後期[5]

mnを自然数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数において単調に減少することを示せ。
(2) のとき、が成り立つことを示せ。
(3) を満たすnをすべて求めよ。
(4) k2以上の自然数とする。かつを満たす自然数の組の個数を求めよ。

解答 「を満たす異なる自然数の組を求めよ」という頻出問題であれば、
より、において単調増加において単調減少であることから、
となります。本問題は、これをもじった問題ですが、(4)は細かい場合分けが必要でなかなか面倒です。

(1)
 (商の微分法を参照)
において、より、
よって、において
単調減少です。

(2) (1)より、

m
nは自然数なので、 (対数関数を参照)

(3)  ・・・①
(1)より、においては単調減少ですが、
においては単調増加です。
従って、
(しかありませんが)であれば、
また、より、であれば、
より、
以上より、①を満たす
nは、 ......[]

(4) まず、かつであれば、(2)より、
より
 ・・・②
ここで、より、
 ・・・③
となりますが、②を考慮して、とすると、 (このときに、②を満たすmは存在しません)
そこで、の場合と、の場合を別に考えることにします。
また、のとき、を満たす自然数
nは存在しません。従って、のみ考えれば十分です。 ・・・④
のとき、とすると、は必ず成立します。 ・・・⑤
また、のとき、
(3)より、以外に、であれば、が成立します。よって、,つまり、のときには、②より、
 ・・・⑥
であれば、が成立します。
(i) のとき、を満たす自然数の組は、のみなので、④より、
(ii) のとき、ですが、④,⑤より、
(iii) のとき、ですが、では、は成立せず、④,⑤より、
(iv) のとき、であれば、が成立し、
(v) のとき、②を満たすmが存在しないことに注意して、の場合のみ、が成立し、
(vi) のとき、③が成立するので、⑥を満たす場合、及び、⑤よりとなる場合に、が成立します。また、⑥に出てくるが整数になるかどうか、つまり、kが偶数か奇数かで場合分けします。
(a) kが奇数のとき、⑥ を満たすmは、個あります。
の場合と合わせて、
 ・・・⑦
(b) kが偶数のとき、⑥ を満たすmは、個あります。
の場合と合わせて、
 ・・・⑧
(ii)(iv)の場合も⑦が成立し、(i)(iii)の場合も⑧が成立するので、以上より、
kが奇数のときk6以外の偶数のときのとき ......[]


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  1. 2009/09/15(火) 04:51:25|
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防衛大物理'09年[4]

防衛大物理'09[4]

光の速さは伝わる媒質の屈折率によって変化する。また、一般に同じ物質でも屈折率は光の波長によって異なる値をとる。
(1) 1に、波長589.3nmの光に対するいくつかの物質の屈折率(温度)を示す。この光が表1の物質中を伝わるとき、光の速さが最も遅くなる物質名を答えよ。また、その物質中におけるこの光の速さを有効数字3桁で答えよ。ただし、真空中の光の速さはとしてもよい。
(2) 1のように、屈折率の大きい物質1(屈折率)から屈折率の小さい物質2(屈折率)に光が入射するとき、入射角iがある角度(臨界角a)より大きいと光はすべて反射される。この現象を全反射という。臨界角aおよびのみたす関係式を求めよ。
(3) 2のように、物質1と物質2でできた細長い円柱がある。ここで、内側の物質1の屈折率は表2のように光の波長(光の色)によって異なる値をとるものとする。一方、外側の物質2の屈折率は赤から紫まで波長による変化はなく、とする。表2に示す単色光を、この円柱の中心軸に垂直な左端面から、入射角q で入射した場合について、以下の問いに答えよ。ただし、円柱の周囲は屈折率が1の気体であるとし、光は円柱の中心軸を含む平面内のみを進むものとする。
() 入射光が物質1と物質2の境界面で全反射して円柱内を進んでいくとき、q の最大値βとおよびのみたす関係式を求めよ。

() q のとき、物質1の円柱内を全反射して進んでいく単色光の色を答えよ。
() q のとき、物質1の円柱内を全反射して進んでいく単色光の色を答えよ。

解答 全反射を利用して光通信を行う、という、光ファイバーの原理を扱う基本問題です。なお、光の屈折を参照してください。

(1) 真空中の光速として、屈折率nの物質中を進む光の速さvは、で与えられます。n→大のとき、v→小となるので、光の速さが最も遅くなる物質は、屈折率が最も大きい、ダイヤモンド ......[] です。
ダイヤモンド中での光の速さは、
......[]

(2) 屈折角をrとして、屈折の法則より、

 ・・・①
ですが、,つまり、になると、①をみたす屈折角rが存在しなくなり、境界面で全反射するようになります。よって、臨界角aについて、
......[]

(3) 物質1と物質2の境界面に物質1側から光が入射するときの入射角をjとします。
左端面における屈折角は、となります。
左端面において、屈折の法則より、


 ・・・②
物質1と物質2の境界面において、屈折角をfとして、屈折の法則より、
②より、
 ・・・③
になると③をみたす屈折角fが存在しなくなり、物質1と物質2の境界面で全反射するようになります。をかけて2乗すると(です)
 ・・・④
() ④より、q の最大値b について、より、
......[]
() のとき、④より、


2より、赤、黄、青、紫、4色とも、この条件を満たすので、円柱内を進んでいく単色光の色は、赤、黄、青、紫 ......[]
() のとき、④より、


2より、青、紫がこの条件を満たすので、円柱内を進んでいく単色光の色は、青、紫 ......[]


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  1. 2009/09/14(月) 20:50:43|
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岩手大教育数学'09年[1]

岩手大教育数学'09[1]

次の問いに答えよ。
(1) 正弦と余弦の加法定理を用いてを示せ。
(2) 直角三角形ではない三角形の内角の大きさを、それぞれabgとするとき、
の値は、abgによらずに一定であることを示し、その値を求めよ。
(3) のとき、の値を求めよ。

解答 正接の加法定理がテーマの問題です。
(2)で登場する①式は、有名な関係式です。

,つまり、が定義できるようなabのときには、分母分子をで割って、

(2) abgが三角形の内角なので、
直角三角形ではないので、が定義できて、
(1)の結果を用いて、

 ・・・①

(3) (1)の結果を用いて、
 ・・・②
のとき、
②に代入すると、
......[]


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  1. 2009/09/09(水) 15:49:36|
  2. 09年数学
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東工大数学'09年後期[2]

東工大数学'09年後期[1]

aが与えられた実数のとき、xyz空間の点Cから出た光が球
でさえぎられてできるxy平面上の影をSとする。点Sに含まれる条件を求めよ。

解答 点光源による円の影が楕円になるという問題です。
Sの外周となる閉曲線をFとすると、Sは、曲線F及び曲線Fの内部、になります。
Bが曲線F上の点であるとき、BCを結ぶ直線は、球の接線になっています。このとき、球の中心ACを結ぶ直線と、直線BCのなす角q は一定です(Cを通る球の接線群と接点の集合の円とでCを頂点とする円錐を作ります)。ここに着眼します。
直線
BCと球との接点をDとすると、であり、三角形ADCとなる直角三角形なので、です。
 (空間ベクトルを参照)


より、

 (内積を参照)
よって、

両辺を2乗して、




よって、曲線Fは楕円(の場合の円も含む)であり、Sは楕円Fおよび楕円Fの内部、ということになります。点Sに含まれる条件は、
が楕円の周上または内部の点であること
......[] です。
注.「大学への数学」
'095月号に、直線BCのベクトル方程式と球の方程式を連立する解法が紹介されています。こちらもぜひ、参照してください。


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  1. 2009/09/07(月) 14:27:40|
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東北大文系数学'09年前期[4]

東北大文系数学'09年前期[4]

不等式が表す座標平面上の領域をDとする。実数aに対して、放物線Cで定める。このとき、C上の点がすべてDの点となるようなaの範囲を求めよ。

解答  ・・・①
C

絶対値記号の内側の正負により、(i) (ii) 2つの場合に分けて考えます。
(i) のとき、より、①は、

において、C上の点がすべて領域Dに含まれる条件は、
これより、
 ・・・②
の軸の位置は,頂点のy座標は (2次関数2次関数の最大・最小を参照)
(a) ,つまり、のとき、②が成り立つ条件は、
(b) ,つまり、のとき、②が成り立つ条件は、
これは、無条件に成立します。よって、
(a)または(b)より、 ・・・③
(ii) のとき、より、①は、

において、C上の点がすべて領域Dに含まれる条件は、
これより、
 ・・・④
の軸の位置は,頂点のy座標は
(a) ,つまり、のとき、④が成り立つ条件は、
(b) ,つまり、のとき、④が成り立つ条件は、
これは、無条件に成立します。よって、
(a)または(b)より、 ・・・⑤
(i)においても(ii)においても①が成立するので、③かつ⑤より、
......[]
注.上記において、(i)(ii)の関係と、(a)(b)の関係が異なることに注意してください。
(i)(ii)では、であってもであっても、「C上の点がすべてDの点」となるので、(i)から出てくる条件③と、(ii)から出てくる条件⑤の関係は、「③かつ⑤」です。
(a)(b)では、軸の位置は、から左にあるか、または、右にある、という関係なので、「(a)から出てくる条件 または (b)から出てくる条件」になります。


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  1. 2009/09/04(金) 15:35:05|
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早大教育物理'09年[2]

早大教育物理'09[2]

以下の問題の答を解答用紙の所定欄に記入せよ。
図Ⅱ-
1に示すように、平行平板コンデンサーに比誘電率の誘電体が挿入されている。コンデンサーの極板は一辺Lの正方形であり、極板間の距離はdである。挿入された誘電体は極板と平行に滑らかに動かすことができる。スイッチSを閉じ、電圧Vを印加してコンデンサーを充電した後、再びスイッチを開いた。真空の誘電率をとして以下の問いに答えよ。ただし、コンデンサーの端の効果は考えなくてよい。
1 コンデンサーの電気容量(静電容量)はいくらか。
2 コンデンサーに蓄えられたエネルギーはいくらか。
次に図Ⅱ-2に示すように、誘電体を右側にxだけ引き出した。以下の問いに答えよ。
3 このときのコンデンサーの電気容量はいくらか。
4 誘電体を引き出すために誘電体に加えられた仕事はいくらか。
5 xLに比べて十分短いとして、誘電体に働く力の向きと大きさを求めよ。
必要ならば、1に比べて非常に小さいときに成り立つ近似式を用いよ。ただしqは実数である。
誘電体を引き出すために加えていた力を時刻ではずすと、誘電体は運動を始めた。誘電体の質量をm,左から右に向かう方向を運動の正の方向として以下の問いに答えよ。
6 運動を始めた瞬間に誘電体が受ける力の大きさをとする。誘電体が再び元の位置に戻る時刻を求めよ。
7 問6の時刻における誘電体の速さを求めよ。
8 誘電体は運動を続け、ある時刻で速度がゼロとなった。その時刻で表せ。
9 問6から問8の結果を用いて、誘電体の速度を時間の関数として図示せよ。横軸はを単位として時刻からまで描き、速度の目盛は各自で記入すること。
誘電体を元の位置に戻してコンデンサーを放電させた後、再び電圧Vを印加してコンデンサーを充電した。今度はスイッチを閉じたままにして、誘電体を右側にxだけ引き出した。
10 誘電体を引き出すために加えられた仕事はいくらか。
11 として、誘電体が受ける力の大きさを有効数字一桁で求めよ。解答には単位を明記すること。
12 加えられた力をはずすと、誘電体は運動を始める。どのような運動を行うか説明せよ。

 問10では、静電容量の増減、静電エネルギーの増減、仕事の正負に注意して、慎重に考える必要があります。

1 極板間距離d極板面積,極板間の誘電体の誘電率がなので、コンデンサー静電容量は、
......[]

2 コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは、
......[]

3 誘電体が存在しない部分の極板面積なので、この部分の静電容量は、
誘電体が存在している部分の極板面積なので、この部分の静電容量は、
並列の合成容量Cは、
......[]
スイッチを開いてから誘電体を引き出しているのでコンデンサーが蓄えている電気量は変わらず、このときのコンデンサー両端の電圧は、
静電エネルギーは、
また、
 ・・・①

4 誘電体を引き出すために誘電体に加えられた仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの増加分として、

......[]

5 より、問4の結果に問題文中の近似式を適用します。このために、が出てくるように式変形します。
 (問題文中の近似式を利用)
 (を無視)
誘電体を一定の大きさF外力で、距離xだけ引き出すとして、誘電体に加えられた仕事は、
よって、外力の大きさ、即ち、誘電体に働く(外力とつり合っていて、外力とは等大逆向きです。力のつり合いを参照)の大きさは、
......[] (この結果は実際に、xに依存せず一定です)
外力の向きは誘電体を引き出す向きです。誘電体に働くは、外力とつり合うので、その向きは、左向き ......[]

6 問5で求めたの大きさFxに依存しないので、運動を始めた瞬間に誘電体が受けるであれば、誘電体が受けるのまま一定で、誘電体は等加速度運動をします。
誘電体の加速度aとして、誘電体の運動方程式

時間の間にx進むので、

......[]
注.問題文に「」という記述が出てきて悩むのですが、この「」は誘電体が図Ⅱ-1位置にいることを意味するだけで、解答で用いたx,つまり、誘電体に加えていたをはずした時刻における位置を示すxとは別のxということにします。

7時刻における誘電体の速さとすると、誘電体を引き出すときに誘電体が受けた仕事運動エネルギーに転化する(力学的エネルギー保存則を参照)ので、
......[] (時刻における速度の向きは左向きです)

8 運動の対称性より、における運動と、における運動とは、運動の向きが逆になり、において速さは次第に減少しゼロに戻ります。次に速度がゼロになる時刻は、
......[]

9 運動の対称性より、問8におけるの運動との運動とは、の向きが逆で、速度変位の符号が入れ替わります。以降、周期で同様の運動が繰り返されます。誘電体の速度のグラフは右図。

10 今度はコンデンサー両端の電圧Vのまま一定です。誘電体をx引き出したときのコンデンサーの静電エネルギーは、問3Cを用いて、
コンデンサーの静電エネルギーの変化は、
電池がした仕事Wは、電池が供給した電荷(実際には、コンデンサーから電荷が戻ってきます)であることから、公式(電位・電圧を参照)より、
誘電体を引き出すために加えられた仕事として、
 ・・・②
......[] ( )
注.②式は、電池と外力が誘電体に対してした仕事が、コンデンサーの静電エネルギーの増加になる(ここではですが)、ということを表しています。

11 この場合においても、問5の状況と同様に、誘電体に働くと誘電体を引き出す外力はつり合っています。よって、問10の結果より、誘電体が受けるの大きさをFとして、問5と同様に、


......[]
12 図Ⅱ-1の位置を中心とし、中心の左側、右側において、それぞれ等大逆向きで中心に向かう加速度で等加速度運動を行いながら、振動を続ける。 ......[]



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  1. 2009/09/03(木) 14:58:00|
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