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茨城大理数学'09年[2]

茨城大理数学'09[2]

関数
を考える。以下の各問いに答えよ。
(1) 関数fのグラフについて、座標軸との交点、凹凸、漸近線を調べ、その概形をかけ。
(2) x軸、y軸および関数fのグラフで囲まれた図形Ax軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積Vを求めよ。
(3) 部分積分法により
を求めよ。
(Cは積分定数)を用いてよい。
(4) (2)の図形Ay軸のまわりに1回転して得られる立体の体積Wを求めよ。

解答 数学Ⅲの範囲全般にわたる基礎問題です。

(1)
よりは単調減少関数です(関数の増減を参照)
よりのグラフは上に凸です
(関数の凹凸を参照)
x軸との交点はy軸との交点はです。
のとき、より、
のとき、
よって、のグラフは
漸近線をもちます。
のグラフの概形は右図黒色太線。

(2) 図形Aは、右上図の黄色着色部分で、の範囲に存在します。回転体の体積は、



......[]

(3)  (部分積分法を参照)



(C:積分定数) ......[]

(4) 図形Aは、の範囲に存在するので、回転体の体積は、
積分を実行するためには、xyを用いて表す必要があります。
より、

とおくと、yのとき、u
 (置換積分を参照)

......[]


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  1. 2009/08/30(日) 08:19:59|
  2. 09年数学
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岐阜薬科大'09年[5]

岐阜薬科大数学'09[5]

鎖状高分子は、単量体と呼ばれる単位の繰り返しから成っていて、つながった単量体が位置を変えることにより、種々の形をとる。N個の単量体からなる鎖状高分子の形を、次の数学モデルで考察した。
① 鎖状高分子のN個の単量体は平面上の位置 (xyは整数)をとり、結合している単量体間の距離が1である。
② 1番目の単量体は、位置にある。
③ 連続してつながる3個の単量体は、直線、右回り,左回りのいずれかの位置にある。例えば、2番目の単量体が位置にあるとき、3番目の単量体は、のいずれかの位置にある。
④ いずれの単量体も他の単量体と同じ位置にあることはない。
なお、N個の単量体をもつ2つの鎖状高分子において、各単量体が同じ位置と順序で重なる場合に同じ形とみなす。次の問いに答えよ。
(1) 10個の単量体からなる鎖状高分子で、10番目の単量体が位置にあるとき、この鎖状高分子は、何通りの形をとりえるか。10番目の単量体が位置にあるとき、何通りの形をとりえるか。10番目の単量体が位置にあるとき、何通りの形をとりえるか。
(2) 2番目の単量体が位置にある5個の単量体からなる鎖状高分子を考える。鎖状高分子の可能な形は、すべて等しい頻度で現れるものとする。1番目の単量体と5番目の単量体の距離をdとするとき、2となる確率を求めよ。また、の平均値(期待値)を求めよ。

解答 確率の基本は、数え上げです。一つ一つの場合を細かくチェックすることをためらっていると時間だけが空しく過ぎていくことになります。

n番目の単量体の位置をとします。
n番目の単量体と番目の単量体の位置関係をによって考えることができます。
②より、です。
①,③より、に限られます。
のとき、
n番目から番目まで右に進むので、「右」と表すことにします。
同様に、のとき「上」、のとき「左」、のとき「下」と表すことにします。
③,④より、鎖状高分子が
N個の単量体からなるとき、,・・・,はすべて相異なります。特に、隣接する単量体の位置が一致することはないので、「右」の次に「左」が来ることはなく、「左」の次に「右」が来ることはなく、「上」の次に「下」が来ることはなく、「下」の次に「上」が来ることはありません。 ・・・()
以上の制約のもとに、鎖状高分子の形を、「右」、「左」、「上」、「下」の4文字からなる順列に対応させることができます。例えば、
 の場合、「上右右上右下下左左」という順列が対応します。


(1) 10個の単量体からなる鎖状高分子では、「右」、「左」、「上」、「下」の中から文字を9個選んで順列を作ることになります。
のとき、から出発して、x座標が5増加し、y座標が4増加するので、「右」を5個、「上」を4個並べて順列を作ります(同じものを含む順列を参照)
順列、つまり、鎖状高分子は、通り
......[] できます。
のとき、から出発して、
x座標が7増加するのですが、順列中に「左」を1個含むと、残り8個は「右」となり、どこかで「左右」または「右左」の隣接が出てきて()に反してしまうので、順列中に「左」は含まれません。つまり、「右」は7個含まれます。y座標の変化分は0なので、残り2個は「上」と「下」1個ずつになります。
()より「上」と「下」は隣接しないので、7文字の「右」の両端、あるいは、文字間の8カ所のうち2カ所を選んで、「上」、「下」2文字を入れることになります。「上」、「下」の入れ替えも考えて、
鎖状高分子は、通り
......[] できます。
の場合、から出発して、
x座標が5増加するのですが、順列中の「左」の個数は0個、または、1個、または、2個で、以下の3通りが考えられます。
(i) 「左」が0個の場合、「右」は5個、「上」は2個、「下」は2個です。
(ii) 「左」が1個の場合、「右」は6個、「上」は1個、「下」は1個です。
(iii) 「左」が2個の場合、「右」は7個になりますが、どこかで「左右」または「右左」の隣接が出てきて()に反するので、この場合はあり得ません。
(i)では、「上」2個が連続する場合と、連続しない場合、また、「下」2個が連続する場合と、連続しない場合があります。
(a) 「上」2個、「下」2個がともに連続する場合、

のようになりますが、5文字の「右」の両端、あるいは、文字間の6カ所のうち2カ所を選んで、「上上」、「下下」を入れることになります。入れ替えも考えて、通りあります。
(b) 「上」2個が連続し、「下」2個が1文字ずつになる場合、

のようになりますが、5文字の「右」の両端、あるいは、文字間の6カ所のうち3カ所を選んで、「上上」、「下」、「下」を入れることになります。「上上」、「下」、「下」の入れ替えが3通りあることを考慮して、通りあります。
(c) 「下」2個が連続し、「上」2個が1文字ずつになる場合も、(b)と同様に60通りあります。
(d) 「上」2個も、「下」2個も、連続せず各々1文字ずつになる場合、

のようになりますが、5文字の「右」の両端、あるいは、文字間の6カ所のうち4カ所を選んで、「上」、「上」、「下」、「下」を入れることになります。「上」、「上」、「下」、「下」の入れ替えが通りあることを考慮して、通りあります。
(ii)では、

のようになりますが、「右」と「左」は隣接しないので、「右」と「左」の間に「上」または「下」が入り、順列の中に「右上左」あるいは「右下左」という並びができます。「上」は1個なので、「右上左」の次に「下」が来ると「右上左下」となり、元の位置に戻ってしまうので、④に反してしまいます。同様に「右下左」の次に「上」が来ると、④に反します。
従って、この場合、「左」は、順列の左端、または、右端に来ます。
左端に来る場合、「左右」の間に「上」か「下」が入り、「上」が入るのであれば、「左上右右右右右」の「右」の並びの間の
4カ所あるいは右端、合わせて5カ所のうち1カ所に「下」を入れることになります。「左下右右右右右」となる場合と、「左」が右端に来る場合も考えて、通りあります。
以上より、鎖状高分子は、通り ......[] できます。

(2) 2番目がにあって5個の単量体からなる鎖状高分子の形に対応する「右」、「左」、「上」、「下」の4文字からなる順列は、最初が「右」、2番目は「右」以外になります。x軸に関する対称性により、2番目が「上」の順列と、2番目が「下」の順列では、が同じ値になるものが同数ずつ存在します。
(i) 2番目が「上」の順列になるとき、3番目、4番目の文字の違いにより、以下の9通りの場合が考えられます。
・「右上右下」では
・「右上右右」では
・「右上右上」では
・「右上上右」では
・「右上上上」では
・「右上上左」では
・「右上左上」では
・「右上左左」では
・「右上左下」ではに戻ってしまい④に反します。
結局、になるのが1通り、になるのが3通り、になるのが2通り、になるのが2通り。
(ii) 2番目が「下」の順列でも、になるのが1通り、になるのが3通り、になるのが2通り、になるのが2通り。
(iii) 2番目が「右」の順列になるとき、x軸に関する対称性により、3番目が「上」の順列と、3番目が「下」の順列では、の値が同じ値になるものが同数ずつ存在します。
(a) 3番目が「上」の順列になるとき、4番目の文字の違いにより、以下の3通りの場合が考えられます。
・「右右上右」では
・「右右上上」では
・「右右上左」では
(b) 3番目が「下」の順列でも、になる場合が各1通り。
(c) 3番目が「右」の順列になるとき、4番目の文字の違いにより、以下の3通りの場合が考えられます。
・「右右右下」では
・「右右右右」では
・「右右右上」では
以上より、の値と鎖状高分子が何通りの形をとりうるか、ということについて、次表が得られます。
2481016
(通り)46681

5個の単量体からなる鎖状高分子で2番目の位置がになるものは全部で通りあり、になる場合の数は4通りで、
となる確率は、
......[]
の平均値(期待値)は、
......[]


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  1. 2009/08/28(金) 23:19:16|
  2. 09年数学
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滋賀医大数学'09年[2]

滋賀医大数学'09[2]

(1) 積分とおいて計算せよ。
(2) のとき、次の不等式を証明せよ。
(3) n2以上の自然数のとき、次の不等式を証明せよ。

解答 (3)は一見、区分求積法にも見えますが、
となるので、左辺カッコ内ののをどう扱うかが問題になってしまいます。そこで、(2)を利用することを考えます。

(1) より、
xのときq
......[] (置換積分(その2)を参照)

(2) とすると、なので、証明すべき不等式の左辺は、となり、4頂点とする台形(右図水色着色部分)の面積になっています。
右辺は、曲線t 軸、さらに、t 軸上の点においてt 軸と垂直な2直線によって囲まれる部分の面積です。
ここで、の変化を調べてみます。
 (商の微分法を参照)
のとき、においては、なので、のグラフは上に凸です(曲線の凹凸を参照)
従って、曲線のグラフは、において、
2を結ぶ線分よりも上にきます。よって、
 (証明終)
(3) より、

これと、より、証明すべき不等式の左辺は、

と変形できます。
は、
4頂点とする台形の面積です。
は、
4頂点とする台形の面積です。
・・・・・・
は、
4頂点とする台形の面積です。
の場合には、証明すべき不等式の左辺は、右図黄緑色着色部分の面積になります。
のとき、
(2)においてとすると、より、
4頂点とする台形の面積について、
この不等式を、について辺々加え合わせることにより、
 (証明終)


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  1. 2009/08/26(水) 09:43:56|
  2. 09年数学
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入試問題検討

入試問題検討


2009年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

慶大理工数学
[A1]  [A2]  [A3]  [A4]  [B1]

東大物理
1  2  3

東工大物理
[1]  [2]  [3]

京大物理
[]  []  []


2008年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1] ([1]と同一) 乙[2]([2]と同一) [3]   乙[4]([4]に帰着) 乙[5] ([5]と同一) [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

慶大理工数学
[A1]  [A2]  [A3]  [A4]  [B1]

東大物理
1  2  3

東工大物理
[1]  [2]  [3]  [4]

京大物理
[]  []  []


2007年前期
東大理系数学

1  2  3  4  5  6

東工大数学
[1]  [2]  [3]  [4]

京大理系数学
[1]   [2]   [3]   [4]   [5]   [6]
[1]   乙[2]([2]と同一) 乙[3] ([3]と同一) [4]   [5]   [6]

早大理工数学
[]  []  []  []  []

慶大理工数学
[A1]  [A2]  [A3]  [A4]  [B1]

東大物理
1  2  3

東工大物理
[1]  [2]  [3]

京大物理
[]  []  []



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  1. 2009/08/24(月) 19:58:25|
  2. 未分類
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愛媛大物理'09年[4]

愛媛大物理'09[4]

1(a)のように、断熱材からなる内径断面積の円筒型シリンダーと質量のピストンが水平に設置してある。ピストンはシリンダー内を円滑に動き、シリンダーとの間の摩擦は無視できる。シリンダーの両端にはピストンにより隔たれた気密性の高い2つの空間(A室およびB)が存在し、それぞれに気体を封入できる。また、B室には通電加熱によるヒーターが設置してあり、必要に応じて気体を加熱できる。
いま、単原子分子からなる理想気体を両室に
1モルずつ封入したとき、ピストンはシリンダーの中央でつり合い、そのときの両室の圧力、体積、温度は、それぞれであった。シリンダーの中央を座標原点Oとして、A室側へのピストンの変位を正とし、ピストンの運動は可逆的になされるものとして、以下の問いに答えよ。

1 外部と熱のやりとりを行わない気体の状態変化を断熱変化と呼ぶ。その際、圧力Pと体積Vの間には、気体の種類に依存する指数b ()を用いて、次の関係が成り立つことが知られている。
いま、図1(b)のように、ピストンを原点OからA室側へ距離だけゆっくり移動させた後、静かに解放すると、ピストンは単振動を始めた。ピストンの運動について述べた以下の文章中の空白を適当な数字あるいは式で埋めよ。ただし、解答に用いることができる文字は、SMbxdである。
ピストンが任意の変位のときの
A室の体積をxを用いて表すと、 (1) となり、このときのA室の圧力は (2) と表される。一般に、変数1に比べて十分小さいとき、の近似式が成り立つとこが知られている。いま、初期状態からの体積変化量がに比べて十分小さいことを考慮すると、(2) (3) のように近似することができる。この近似のもとに、B室の圧力は (4) となる。これら2つの圧力を用い、ピストンの加速度をとして運動方程式を立てると、 (5) となる。得られた運動方程式から、ピストンが角振動数 (6) の単振動を行い、周期 (7) であることがわかる。また、ピストンは、x (8) のときに最大の速さ (9) になる。

2 次に、ピストンをA室側へ大きく移動させ、A室の体積をにした。
(1) ピストンを移動した後のA室およびB室の圧力および温度を求めよ。
再び、ピストンを原点Oで静止した状態に戻し、B室に設置されているヒーターに通電することにより、B室内の気体を一様に加熱した。加熱の進行に伴いピストンはゆっくりとA室側へ移動し、A室の体積がちょうどになった時点で加熱を止めた。
(2) 加熱後のA室およびB室の圧力および温度を求めよ。
(3) ヒーターからB室に投入された熱量、ならびにピストンを通じてB室の気体がした仕事を求めよ。ただし、必要であれば気体の熱容量を用いよ。

3 A室内は単原子分子の理想気体のまま、B室内を1モルの二原子分子からなる理想気体に置き換えた。B室内の気体を置き換えたほかは、問1とすべて同じ条件のもとで微小振動させた。次の問いに答えよ。なお、単原子分子および二原子分子からなる理想気体の指数bは、それぞれ、である。
(1) A室およびB室の圧力と体積の関係を表した図2のグラフの中から、最も適当なものを1つ選べ。
(2) ピストンの振動の様子を表した図3のグラフの中から、最も適切なものを1つ選べ。ただし、図3中のは周期を表し、このうちは問1(7)の周期を表す。

解答 空気バネによる単振動の問題です。

1 A室、B室の気体は外部とのやりとりをしないので、単振動している間の気体の変化は断熱変化です。
(1) ピストンがだけ正方向(A)に移動すると、A室の体積は、から減少して、となります。
......[]
(2) このときのA室の圧力として、A室の圧力体積は、と変化するので、問題文の関係式(ポアッソンの関係式)(bは比熱比です)より、
 ・・・①

......[
]
(3)
初期状態からの体積変化量に比べて十分小さいので、より、
......[]
(4) このときのB室の圧力として、B室の圧力体積は、と変化するので、①式の右辺のマイナスをプラスに変えた式が成立し、では、(3)の結果のの前のプラスがマイナスに変わり、
......[]
(5) ピストンに働くで、ピストンの運動方程式
(3)(4)の結果を用いて、
 ・・・②
......[]
(6) ②より、
これは、角振動数単振動を表します。
......[]
(7) 周期は、
......[]
(8) ②式は、単振動の振動中心であることを意味し、においてピストンは最大の速さになります。
0 ......[]
(9) 振動中心であって、最初にでピストンを静かに離したところから、単振動の振幅dです。最大の速さは、単振動の公式より、
......[]

2(1) A室、B室の最初の状態での状態方程式 ・・・③ (は気体定数)
ピストン移動後のA室,B室の圧力絶対温度とします。ピストン移動後について、
A室の状態方程式 ・・・④
B室の状態方程式 ・・・⑤
④÷③より、 ・・・⑥
⑤÷③より、 ・・・⑦

外力をかけて(つまり、ピストンにかかるについて、つり合いは成立していない)「ピストンをA室側へ大きく移動させ」という問題文の記述から、この間の変化は断熱変化と考えられます。断熱変化の関係式:より、
......[]
⑥,⑦より、
......[]
(2) 加熱後のA室,B室の圧力絶対温度とします。④、⑤はそのまま成立し、⑥,⑦も同じです。また、A室については、断熱変化のまま(B室はを加えるので断熱変化ではありません)なので、
......[]
ですが、今度は、ピストンに外力を加えるわけではないので、ピストンに働く力のつり合いが成立し、

......[]
(3) A室については断熱変化なので、熱力学第1法則より、A室内の気体がした仕事内部エネルギーの変化を温度変化として、

B
室の気体がした仕事は、
......[]
B室の内部エネルギーの変化は、
熱力学第1法則より、ヒーターからB室に投入された熱量は、
  ......[]
注.熱容量Cの単位に注意してください。定積モル比熱の単位はで、nモルの気体の内部エネルギーです。ここでは、であり、A室、B室の気体は1モルなのでであり、として考えます。
もちろん、単原子分子理想気体なので、としても
OKですが、文字Cの使用については、問3の問題文中で比熱比の値を指定しているので、の値を未知だとしても解答できるように、出題者が配慮したものと思われます。

3 問1と同じ条件なので、微小振動している間、A室,B室とも、気体は断熱変化します。A室を単原子分子、B室を二原子分子とするので、②式のbを、A室についてはB室についてはにする必要があり、②は、
 ・・・⑧
角振動数周期 ・・・⑨
A室、B室ともに単原子分子理想気体であれば、②でとし、
角振動数周期 ・・・⑩
(1) A室、B室それぞれについて、圧力P体積Vとして、断熱変化の関係式:より、
A室: ・・・⑪
B室: ・・・⑫
⑪,⑫とも、のときですが、
のとき、
A室ではB室ではより、A室の方が圧力が大きくなります。
のとき、
A室ではB室ではより、B室の方が圧力が大きくなります。
こうなっているグラフは、
() ......[]
(2) ⑨,⑩を見ると、より、⑨の周期の方が⑩の周期よりも長いことがわかります。また、⑧より、片方を二原子分子に変えても、振動中心のまま変わりません。こうなっているグラフは、() ......[]


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  1. 2009/08/24(月) 10:26:08|
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東京医科歯科大数学'09年[1]

東医歯大数学'09[1]

座標平面または座標空間において、座標成分がすべて整数である点を格子点という。以下の各問いに答えよ。
(1) を座標平面上の半径の円とする。が内部に格子点を含まないとき、の中心が存在しうる領域をの範囲で図示せよ。
(2) を座標平面上の半径の円とする。は中心をどのような位置に移動させても必ず内部に格子点を含むことを証明せよ。
(3) Sを座標空間内の半径rの球とする。Sは半径を変化させずに中心をどのような位置に移動させても、必ず内部に格子点を含むものとする。このときrのとりうる値の範囲を求めよ。ここでSの内部とは、Sの中心からの距離がrより小さい点全体からなる集合のことである。

解答 問題文の言っていることは直感的に納得できますが、きちんと論証しようとすると難しい、という問題です。

(1) 半径,中心の円が内部に格子点 (mn整数)を含むとき、
 ・・・① (領域を参照)
①を満たす集合は、を中心とする半径の円の内部の点の集合と見ることもできます。この集合をとします。
が内部に格子点を含まない(が内部にを含まない、但し、mnはすべての整数)
・・・・・・ かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ が内部にを含まない かつ ・・・・・・
は「・・・・・・ または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または を中心とする半径の円の内部 または ・・・・・・」ではない
は「格子点を中心とするすべての円」の周上から外側
よって、範囲で図示すると、右図黄緑色着色部分。

(2) 半径,中心の円の内部の点は、
 ・・・②
を満たします。
(1)の図示結果を見ていると、隣り合う4つの格子点を4頂点とする11の正方形の領域では、4つの格子点を中心とする4円が張り出していることがわかります。従って、座標平面を、隣り合う4つの格子点を頂点とする11の正方形に分け、この正方形領域内を、どの格子点が最も近いかによってさらに4つに分けて考えればよいことになります。このために、ガウスの記号を導入して考えます。
②の
abに対して、abを超えない最大の整数として、を含む11の正方形の下スミの点の座標は、と表せます。そこで、abを任意の実数とし、円の中心の座標に対して、この正方形を以下の4つに分けて考えることにします。
(i) のとき、
②において、とすると、は格子点です。このとき、
なので、
より、
これは、格子点が②を満たすことを意味します。つまり、円は内部に格子点を含みます。
(ii) のとき、
②において、とすると、は格子点です。このとき、
より、
よって、円は内部に格子点を含みます。
(iii) のとき、
②において、とすると、は格子点です。このとき、
よって、円は内部に格子点を含みます。
(iv) のとき、
②において、とすると、は格子点です。このとき、
よって、円は内部に格子点を含みます。
の中心をどのような位置に移動させても、上記の4通りのいずれかであって、必ず内部に格子点を含みます。

(3) Sの中心をとして、S内部の点は、
 ・・・③
を満たします。(2)と同様に、
のとき
のとき
これを、
 ・・・④
と表すことにします。
とすれば、点は格子点です。このとき、は、いずれも0からまでのすべての実数値をとり得ます。従って、
よって、abcが任意の実数値をとるとき、③が成立するためには、,即ち、であることが必要十分です(十分性「であれば球Sが内部に格子点を含む」は明らか)
......[]


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  1. 2009/08/19(水) 22:15:41|
  2. 09年数学
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阪大理系数学'09年後期[4]

阪大理系数学'09年後期[4]

abcを実数とする。とおく。2つの関数のグラフが異なる2PQを共有している。さらに点Pでの2つのグラフの接線が一致し、点Qでの2つのグラフの接線は直交しているとする。これらの条件を満たすようにabcを変化させるとき、2つのグラフで囲まれた部分の面積Sの最小値を求めよ。

解答 面積計算は、定積分の公式を利用します。

PQx座標をpqとします。
Pでの2つのグラフの接線が一致するので、点P2曲線は接します。また、点Q2曲線が交わるので、を連立すると、重解,解が得られます。よって、
 ・・・①
係数を比較することにより、
 ・・・②
①を用いて、2つのグラフで囲まれた部分の面積Sは、,いずれの場合もありうることと、,あるいは、において、であることに注意して、

 ・・・③
微分すると、
より、両曲線の点Qにおける接線の傾きは、
Qにおいて、両曲線の接線が直交することより、
②より、
ここで、③を見ているとSで表されるので、が出てくるように式変形します。
のとき、より、曲線の接線の傾きは0ですが、2次関数のグラフの接線がx軸に垂直になることはないので、題意より、です。よって、
③に代入すると、相加平均・相乗平均の関係より、
 (不等号の等号成立は,つまり、のとき)
よって、Sの最小値: ......[]

追記.整関数(xの多項式で表される関数)のグラフのにおける接線が一致するときに、方程式:を重解にもつことを示しておきます。
まず、における接線が一致することから、

 (傾きが一致する) ・・・④
 
(接点のy座標が一致する) ・・・⑤
xの多項式で表される関数で、です。
で割った余り
(x1次式、あるいは、定数) (CDは定数),商をとすると、
 ・・・⑥
xで微分して、
④より、
よって、
⑥より、
⑤より、
よって、
従って、を重解にもちます。



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  1. 2009/08/18(火) 07:53:33|
  2. 09年数学
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岐阜大数学'09年[1]

岐阜大数学'09[1]

abmを正の実数とする。xy平面上の点Aから直線へ下ろした垂線の足をとし、x軸に関してと対称な点をPとする。また、点Bから直線へ下ろした垂線の足をとし、y軸に関してと対称な点をQとする。以下の問いに答えよ。
(1) PQのそれぞれの座標を求めよ。
(2) 線分PQ21に内分する点をRとするとき、Rの座標を求めよ。
(3) mの範囲を動くとき、Rの軌跡を求め、図示せよ。

解答 軌跡に関する基本問題です。軌跡の範囲に注意しましょう。

(1) 直線は、直線に垂直なので、傾きは (2直線の平行・垂直を参照),方程式は、
 (直線の方程式を参照)
と連立すると、
Px座標はx座標と一致し、y座標はy座標の符号を変えたもの(座標平面における対称を参照)で、
P ......[]
直線の傾きも,方程式は、
と連立すると、
Qy座標はy座標と一致し、x座標はx座標の符号を変えたもので、
Q ......[]

(2) PQ21に内分する点Rx座標は、
 ・・・① (座標平面における内分・外分を参照)
 ・・・②
R ......[]

(3) ,つまり、のとき、Rx座標、y座標は0で、Rは原点に来ます。
のとき、②÷①より、
 ・・・③
これを①に代入すると、
よりなので、xで割って分母を払うと、

これは、中心,半径の円(円の方程式を参照)で、原点以外に、x軸とはy軸とはで交わります。
③より、
Rは、直線上の点であることがわかりますが、のとき、直線は、第2象限と第4象限、及び、原点しか通りません。従って、Rの軌跡も、第2象限、第4象限、及び、原点の範囲内に限られます。
求める軌跡は、円:の間で原点側の部分
(両端は含まない)、図示すると右図黒色太線(白マルを除く) ......[]


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  1. 2009/08/17(月) 11:15:56|
  2. 09年数学
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豊橋技科大数学'09年[1]

豊橋技科大数学'09[1]

二つの数列が次のように定義されている。
 ()
以下の問いに答えよ。
(1) 数列の一般項を求めよ。
(2) 数列が等比数列となるとき、kの値を求めよ。ただし、とする。
(3) (2)で求めたkの値を用いて、数列の一般項を求めよ。
(4) (1)(3)の結果を用いて、数列およびの一般項を求めよ。

解答 連立漸化式の基本問題です。連立漸化式の主要な解法は、
解法1等比数列の形を2通り作る。
解法23項間漸化式に持ち込む。
解法3行列の累乗を利用する。
3通りあります。本問では、解法1で解くように誘導がついています。最後に、別解として、解法2,解法3でもやってみます。

 ・・・①
 ・・・②

(1) ①-②より、
 ()
数列は、初項:,公比:等比数列です。
......[] ・・・③

(2) ①+②×kより、
 ()
として、
 ・・・④
ここで、であれば、は公比の等比数列になります。
 ・・・⑤
より、 ......[]
注.⑤を解くとという解も得られますが、のときには、(1)の等比数列になります。数列が等比数列になるというヒントがなくても、数列が等比数列になるようにkの値を定めれば、(1)の等比数列の形が得られることに注意してください。

(3) のとき、④は、
数列は、初項:,公比:8の等比数列です。
......[] ・・・⑥

(4) ③×2+⑥より、
......[]
⑥-③より、
......[]

別解13項間漸化式に持ち込んで解答してみます。まず、①において、として、
を消去することを考えます。
①の
nとして、
②を代入すると、
 ・・・⑦
①より、
 ・・・⑧
⑦に代入して、
 ・・・⑨
特性方程式:


は、初項:,公比:の等比数列です。
 ・・・⑩

は、初項:,公比:8の等比数列です。
 ・・・⑪
⑪-⑩より、

⑧に代入して、

別解2行列の累乗を利用してみます。①,②を行列を使って書くと、
とすると、なので、を求めます。行列の累乗はスペクトル分解によるのが便利です。
単位行列を
E,零行列をOとして、ハミルトン・ケーリーの定理より、
 ・・・⑫
これより、行列A固有値8をもつことがわかります。この2つの固有値を使って、

をみたす行列PQを求めると、
 ・・・⑬
 ・・・⑭
⑫より、
また、より、
,・・・,
これらを用いて、

これより、⑬,⑭を用いて、


注.(2)の⑤が重解をもつ場合(このとき、3項間漸化式の特性方程式も重解をもちます。また、⑫もの形となり、固有値は1個だけになります)、例えば、

 ・・・⑮
 ・・・⑯
のような場合、⑮+⑯×kより、
 () ・・・⑰
のときが等比数列となります。


のとき、⑰は、
は、初項:,公比:2の等比数列です。
このときには、等比数列の形を2通り作ることができません。⑮において、
 ・・・⑱
より、
で割って、
は、初項:,公差:の等差数列で、

⑱より、


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  1. 2009/08/16(日) 19:26:38|
  2. 09年数学
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名工大物理'09年[1]

名工大物理'09[1]

粗い平板の上を転がることなくすべる小さな物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、重力加速度の大きさをとする。物体の大きさは考えなくてよい。また、必要であれば以下の関係を用いよ。
「初項がで公比r ()の無限等比級数の和はで表せる。」
1 次の文中の()()の空欄に適切な式を入れよ。
1のように粗い平板を水平から測った傾斜角がとなるよう固定した()。この平板との動摩擦係数がである物体1と動摩擦係数がである物体2を用意し、それぞれ平板上に置いて静かに離した。その直後に両物体ともに平板に沿った方向にすべり始めた。このとき、物体1の加速度は,物体2の加速度はである。
物体
1,物体2が初速度0からまで加速するのに要する時間をそれぞれとするとき、を用いて表すとである。
2 図2に示すように粗い平板を水平から測った傾斜角がとなるよう固定した()。平板に沿ってx軸をとり、図中の矢の向きを正とする。質量がの物体1を点Pに、質量がの物体2を点Pからx軸の正の向きにだけ離れた点において静かに離した。物体2は静止したままであったが、物体1はその直後にすべり始め、物体2に衝突した。物体1と物体2の反発係数(はねかえり係数)e ()である。衝突は瞬時に起こるものとする。また、平板と物体1の動摩擦係数は,平板と物体2の動摩擦係数はである。
(1) での衝突直後に、物体1の速度は0となり、物体2は正の向きにすべりだした。このことからを求めよ。また、衝突直後の物体2の速度を求めよ。
(2) での衝突後、物体1は再度すべり始め、図3に示すように点からx方向にだけ離れた点において物体2と再衝突した。この再衝突の直前に物体2の速度はちょうど0となった。このとき、を用いて表せ。また、を求めよ。
(3) での衝突直後の物体12の速度を求めよ。
(4) での衝突後、物体1は再度すべり始め、図3に示すように点からx方向にだけ離れた点において物体2と再衝突した。この点における衝突直後の物体2の速度を求めよ。また、を求めよ。
(5) このように、物体12は衝突を繰り返しながら斜面をすべり、やがて両物体とともに斜面上で静止した。物体1が点Pから静止するまでにすべった距離を求めよ。
(6) 両物体が静止するまでに失った位置エネルギーの和をとし、両物体が平板との摩擦により失った力学的エネルギーの和をとする。を求めよ。
(7) 解答用紙には物体1の運動エネルギー変化を点Pの位置を原点としたxの関数として、点の位置まで破線で描いてある。同一グラフ上に物体2の運動エネルギーの変化の概略をxの関数として点から点の位置まで描け。

解答 難問というわけではありませんが、ボリューム満点の問題なので、急いで作業を進める必要があります。

1 物体1が斜面に沿う方向に受けるは、斜面に沿って下向きを正として、重力の斜面に沿う方向の成分が摩擦力,物体1加速度として、この方向の運動方程式
 ・・・①
物体2についても同様に、加速度として、斜面に沿う方向の運動方程式
 ・・・②
また、等加速度運動の公式より、
 ・・・③
() ①より、
......[]
() ②より、
......[]
() ③より、
......[]

2(1) 1qaに入れ替えることにより、物体1,物体2加速度は、
 ・・・④
 ・・・⑤
衝突直前の物体1速度として、等加速度運動の公式より、
 ・・・⑥
衝突前後の運動量保存より、
 ・・・⑦
 ・・・⑧
⑦,⑧より、
......[]
⑥,④より、
......[]
(2) 1回目の衝突から2回目の衝突までの時間として、物体2について等加速度運動の公式より、
 ・・・⑨
 ・・・⑩
 ・・・⑪
⑪を⑨に代入し、
⑩より、
 ・・・⑫
④,⑤より、
 ・・・⑬
......[]
⑨,⑫,(1)の結果、⑥より、
......[]
(3) 2回目の衝突直前の物体1速度は、⑩,⑫より、
2回目の衝突前後の運動量保存より、
 ・・・⑭
反発係数の式

 ・・・⑮
⑭に代入して、

(1)の結果を用いて、
......[]
⑮より、
......[]
(4) ここまでの速度の変化の具合を考えてみます。3回目の衝突直前の物体1速度とします。

初め→1回目1回目→2回目2回目→3回目
物体1
物体20
距離

これを見ると、衝突ごとに、衝突直前の物体1速度e倍が衝突直後の物体2速度になり、さらに、物体1の次の衝突直前の速度になることがわかります。これより、3回目の衝突直前の物体1速度3回目の衝突直後の物体2速度は、

......[]
また、(2)と同様に、 ......[]
(5) (4)の検討により、物体1が点Pから静止するまでにすべった距離は、初項,公比無限等比級数となり、
......[]
(6) 物体1がすべった距離(5)より,物体2がすべった距離です。
最終的に静止する地点を基準として、物体1の最初の位置エネルギーは、すべった変位の鉛直成分を考えて、,物体2の最初の位置エネルギーは、(1)の結果より、
両物体が静止するまでに失った
位置エネルギーの和は、
物体1が摩擦によって失ったエネルギーは、摩擦力のした仕事(負の値)のマイナスを取って、,物体2が摩擦によって失ったエネルギーは、同様に、 ()
両物体が平板との摩擦により失った力学的エネルギーの和は、
ここで、④,⑤,⑫より、
よって、
 ・・・⑯
......[]
注.は物体1と物体2の非弾性衝突の際に失われるエネルギーの総和を与えます。完全弾性衝突()の場合、⑯の分子だけ見ていると、ですが、このときは、であって、衝突は無限に繰り返されることになり、両物体とも斜面上で静止することは永久にありません(斜面が続いていれば)
(7) 物体1速度とします。
はじめから1回目の衝突までの間(間、つまり、)では、等加速度運動の公式より、
物体1運動エネルギーは、
1回目の衝突から2回目の衝突までの間(間、つまり、)では、

2回目の衝突から3回目の衝突までの間(間、つまり、)では、

以上より、物体1運動エネルギーについて、右図破線のグラフを描くことができます(3線分の傾きはで等しく、3線分は平行です)
物体
2速度とします。
()では、等加速度運動の公式より、
 ( )
物体2運動エネルギーは、⑥より、となるので、
x1次関数なので、このグラフは線分です。
()においては、 (これは、物体1直前の運動エネルギーe倍です)
()
直前においては、(2)の結果より、です。
()では、
 ( )
このグラフも線分で、 ()においては、 (これは、物体1直前の運動エネルギーe倍です)
()
直前においては、です。
以上より、物体
2運動エネルギーについて、右図実線のグラフを描くことができます(2線分の傾きはで等しく、2線分は平行です)
注.実戦的には、以上のような精密な議論なしに、衝突地点での物体
1運動エネルギーよりもやや小さいところと0とを結ぶ線分を引いておくのでよいと思います。


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  1. 2009/08/15(土) 23:38:19|
  2. 09年物理
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名大理系数学'09年前期[4B]

名大理系数学'09年前期[4B]

xyを正の整数とする。
(1) をみたす組をすべて求めよ。
(2) p3以上の素数とする。をみたす組のうち、を最小にするを求めよ。

解答 整数解を求める問題では、(整数A)×(整数B)=(整数C)という形を目指すとうまく行くときがあります。(整数A)×(整数B)=(整数C)となれば、(整数A)(整数B)(整数C)の約数に限られます。なお、整数を参照してください。

(1)
両辺にをかけて、

両辺に32を加えて、整数同士の積の形を作ります。

32の約数なので、,即ち、より、以下の表に示す6つの場合に限られます。
12481632
32168421
x91012162440
y362012865

表より、 ......[]

(2)
両辺にをかけて、

両辺にを加えて、整数同士の積の形を作ります。

p3以上の素数での約数なので、より、以下の表に示す6つの場合に限られます。
12p
p21
x
y

6通りの値の中では、なので、を含むものでの係数の大きいものが大きく、大きい順に、
となりそうです。これを確かめてみます。より、




以上より、
よって、の最小値はで、表より、このとき、
......[]


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  1. 2009/08/14(金) 09:32:21|
  2. 09年数学
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神戸大経済数学'09年後期[1]

神戸大経済数学'09年後期[1]

xyを正の実数とする。△ABCにおいて、とする。辺AB1yに内分する点をD,辺AC1xに内分する点をE,線分CD,線分BEの交点をPとする。さらに、直線APと辺BCの交点をFとおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) xyを用いて表せ。
(2) xyを用いて表せ。
(3) xyをみたしながら動くとき、の最小値を求めよ。

解答 平面ベクトルの基本問題です。

(1)
BPEは一直線上にあるので、sを実数として、
 ・・・① (平面ベクトルの応用を参照)
CPDは一直線上にあるので、tを実数として、
 ・・・②
一次独立なので、①,②のの係数は一致します。
 ・・・③
 ・・・④
③より、
④に代入して、
①より、
......[]
別解.メネラウスの定理より、

DPPC = y


(2) APFは一直線にあるので、kを実数として、
 ・・・⑤
FBC上の点なので、

⑤に代入すると、
......[]
別解.チェバの定理より、

BFFC = yx

(3) (2)の結果で、として、

 (内積を参照)
のときに最小値をとります。
の最小値は、
......[]


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  1. 2009/08/13(木) 09:36:49|
  2. 09年数学
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首都大理系数学'09年前期[2]

首都大理系数学'09年前期[2]

以下の問いに答えよ
(1) を満たす実数xyが存在するようなaの値を求めよ。
(2) 正の実数bcz
を満たすとき、のとり得る値の範囲を求めよ。

解答 指数対数の基本問題です。

(1) の両辺の対数をとり、
の両辺の対数をとり、
だとすると、より、となり得ないので、です。
よって、より、

......[]

(2)
ここで、とおくと、zがすべての正の実数をとるときにxは全実数をとり得て、

これをxに関する2次方程式とみると、この2次方程式は実数解をもつので、
判別式: (2次方程式の一般論を参照)


または
と合わせて、
......[]


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  1. 2009/08/11(火) 21:18:51|
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北見工大物理'09年[2]

北見工大物理'09[2]

[] 以下の問題文を読んでの中に適当な語句または式を入れなさい。また、{  }の中からは適当なものを選び、その記号を記入しなさい。
5のように断面積,長さの導体の両端に電圧を加えると、導体には大きさの一様な電界が生じる。導体を移動する電荷の自由電子は、電界から方向に大きさの力を受けて加速される。しかし、自由電子は熱振動する陽イオンとの衝突により方向の力を受け減速され、平均するとある一定の速さの方向に移動する。陽イオンとの衝突による抵抗力の大きさはvに比例すると仮定し、その比例定数をkとする。自由電子は一定の速さvで移動するのだから、電界からの力の大きさは抵抗力の大きさと等しい。これを式で書くととなり、この式からvが求まる。導体の自由電子密度をとすると、導体断面を単位時間(1)あたりに通過する電子数は個となる。したがって、電流Iは、で与えられる。この式に先に求めた電子速度vを代入して、導体の抵抗RLSneおよびkで表すと、と書ける。この結果、導体材料と温度が決まるとnkは一定なので、Rに比例しに反比例することがわかる。比例定数をrとするとと呼ばれ、knおよびeを用いてとなる。
[] 以下の問題文を読んでの中に適当な式または数値を入れなさい。ただし、はグラフを書きなさい。なお、電源の内部抵抗と銅線の抵抗は無視でき、抵抗およびRは温度に依存せず一定値とする。
6に示すようにの抵抗を直列につなぎこれに電圧を加えたとき、に加わる電圧をそれぞれとすると、となる。また、各抵抗に流れる電流をとすると、およびで与えられる。次に図7に示すように白黒電球との抵抗を直列につなぐ。白熱電球の電圧と電流の関係は、フィラメントで発生するジュール熱の影響で図8に示す特性をもつと仮定する。図7の回路で、電源の電圧をとすると、の関係が成り立つ。とし、の関係をグラフに示すととなる。この線と白熱電球の曲線の交点の電圧値はであった。したがって回路に流れる電流は、の関係から、となる。
9に示すように、の抵抗を並列につなぎこれに電圧を加えたとき、これらの抵抗に流れる電流の和をとするととなる。図10に示すように白熱電球との抵抗を並列につないだ回路に合計の電流が流れているとき、電源の電圧を,白熱電球に流れる電流をとすると、の関係が成り立つ。およびとし、白熱電球にかかる電圧の関係をグラフに示すととなる。この線と白熱電球の曲線の交点の電流値はであった。したがっては、の関係からとなる。

解答 抵抗モデル非直線抵抗の基本問題です。最後の数値計算のところでは、有効数字をどうするか悩みますが、問題文中で、25041など、出題者に有効数字への配慮が見られないので、計算値通りの値を解答にしておきます。

1 長さの導体に電圧を加えると大きさの一様な電界ができます。
......[]
2 導体に生じている電界()方向です。負電荷を有する自由電子は()方向にを受けます。
() ......[]
3 自由電子が受けるの大きさは、です。
......[]
4 電界から力を受けて自由電子は()方向に運動します。自由電子は、陽イオンとの衝突により運動を妨げられる向き、()方向に抵抗力を受けて減速されます。
() ......[]
5 () ......[]
6 自由電子に働く力のつり合いより、
......[]
これより、 ・・・①
7 ある断面を通過した自由電子は単位時間進みます。導体中のこの幅の部分にいる自由電子が、この断面を単位時間に通過します。このの部分の体積なので、単位時間に導体断面を通過する自由電子は、個あります。
......[]
8 電流の値は、単位時間に導体断面を通過する電気量なので、 ・・・②
......[]
9 ①を②に代入すると、
導体の抵抗Rは、オームの法則より、
 ・・・③
......[]
抵抗Rは導体の長さLに比例し、導体の断面積Sに反比例します。
10 L ......[]
11 S ......[]
12 ③の比例定数は、「抵抗率」と呼ばれます。
抵抗率 ......[]
13 ③:より、
......[]
14 
......[]
15 オームの法則より、
......[]
16 
......[]
 ・・・④
......[]
18 ④において、として、

 ・・・⑤
図示すると、右図赤色実線。
19 ⑤において、として、
......[]
20 より、

......[]
21  ・・・⑥
より、
......[]
22 ⑥において、として、

 ・・・⑦
図示すると、右図青色実線。
23 ⑦において、として、

23 ......[]


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名大理系数学'09年前期[1]

名大理系数学'09年前期[1]

とする。点Aを中心とする半径rの円が、双曲線2BCで接しているとする。ただし、とする。ここで、双曲線と円が点Pで接するとは、Pが双曲線と円との共有点であり、かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。
(1) rstabを用いて表せ。
(2) ABCが正三角形となるarが存在するようなbの値の範囲を求めよ。

解答 bの値をいろいろと変えて、どういう双曲線のときに正三角形ができるか感じをつかんでおくと、(2)の意味がつかめるでしょう。

(1) 双曲線 ・・・①
Aを中心とする半径r ・・・②
が①,②の共有点であることから、
 ・・・③
 ・・・④
①をxで微分すると(陰関数の微分法を参照)
のときには、
()における接線の傾きは、
 ・・・⑤
②をxで微分すると、
のときには、
()における接線の傾きは、
 ・・・⑥
双曲線と円は点Bで接するので、⑤と⑥は一致します。

双曲線は、より、の部分に存在するのでです。よって、

 ・・・⑦
ところで、のとき、と③よりですが、における双曲線の接線はx軸に垂直な直線です。における双曲線の接線はx軸に垂直な直線です。が円の接線になるとき、中心のy座標:となってしまうため、という条件下では、で双曲線と円が接することはありません。
また、のとき、円の接線は
x軸に垂直になりますが、⑤より、双曲線の接線の傾きはで、双曲線の接線はx軸に垂直ではなく、双曲線と円が接することはありません。
⑦のとき、です。よって、
......[]
③より、
より、
......[]
④より、
より、
......[]

(2) ABCが正三角形のとき、なので、です。よって、




のとき左辺は0ですが右辺は正なのでです。
 ・・・⑧
より、
より、
 ・・・⑨
逆に⑨が成り立つとき、⑧によってaを定めれば、(1)の結果を用いて、となるようなrを得ることができます。
よって、求める
bの範囲は、
......[]


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山梨大医数学'09年[4]

山梨大医数学'09[4]

放物線A上の点 ()における接線に関して、Aの頂点と対称な点Px座標、y座標をと表し、が描く曲線をBとする。
(1) を求め、さらにを求めよ。
(2) とする。を満たす実数uに対して、曲線Bx軸、直線によって囲まれる図形の面積をとするとき、を求めよ。
(3) 直線に関して放物線Aと対称な放物線をCとする。放物線Cy軸方向に2倍拡大した放物線をDとする。放物線Dと放物線Aによって囲まれる図形の面積を求めよ。
(4) 直線と放物線Dによって囲まれる図形を直線の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

解答 数学Ⅲ全般にわたってボリューム満点のこういう問題こそ、入試準備の演習課題として効率的で最適、という問題です。(3)の定積分は素直に計算すると、xにマイナスがついているのがいやらしく、充分注意して(危なければ、などとおいて置換積分する)計算する必要があります。

(1) A
Aの方程式両辺をxで微分して、

における接線: ・・・①
原点
O(放物線Aの頂点)を通り①と垂直な直線 ・・・②
①,②を連立して、

②より、
Aの頂点と点P(①に関してAの頂点と対称)を結ぶ線分OPの中点が、①と②の交点になります。よって、Pの座標は
......[]
......[] (関数の極限を参照)

(2) です。
より、であることに注意します。
のとき
Pですが、のとき、より、


よりなので、
これが曲線Bの方程式になります。のときなのでの場合を含んでいます。曲線Bx軸、直線 ()によって囲まれる図形(右図黄色着色部分)面積は、
(分母がなるべく簡単な形になるように)とおくと、
xのとき、s (置換積分を参照)
とおく(置換積分(その2)を参照)と、 ()として、sのとき、q
より、

 (半角の公式を参照)




のとき、より

......[]

(3) 直線に関して放物線Aと対称な放物線C
放物線Cy軸方向に2倍拡大した放物線D
ADの交点は、を連立して、


放物線Dと放物線Aによって囲まれる図形(右図黄緑色着色部分)面積は、
......[]

(4) Dの交点は、

の周りに回転させる回転体ですが、x軸の周りに回転させるときと同様に考えて、回転軸に垂直な断面の円の面積を、回転軸に沿って積分することにより回転体の体積を求めます(斜回転体を参照)
として、
D上の点Qを通りに垂直な直線は、
と連立して、交点Hx座標を求めると、

よって、
断面の円の面積は、
原点
OHとの距離は、
においてより、回転体の体積Vは、
 (回転軸に沿って積分するので、tではなく、OHについて積分する)
OHのとき、t


......[]


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  1. 2009/08/07(金) 09:00:43|
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上智大理工物理'09年[4]

上智大物理'09[4]

1のように、スリットおよびに十分広がった単色光を入射させる。十分遠方にこの二つのスリットと平行なスクリーンを置いたところ、ほぼ等間隔の干渉縞が観測された。の中点をOとし、Oからスクリーンへの最短の点をPとする。なお、を満たすときには、近似式
が成立する。また、空気の屈折率を1とする。
1.赤色、青色、黄色の3種類の単色光を使って、干渉縞の間隔を測定した。その結果[ 1 ]。入射光は変えず、の間隔を広げると、スクリーン上の干渉縞は[ 2 ]。また、入射光、スリット間隔とも変えず、空間全体を屈折率が1より大きい透明な液体で満たした。液体で満たす前と比較してスクリーン上の干渉縞は[ 3 ]
2.液体を除去し、図2のように点Oに新たなスリットを追加した。の間隔を変え、波長lの単色光を入射すると、点P3つのスリットからの回折光が強め合うのが観測された。OP間の距離をlとして、このような条件を満たす最小のスリット間隔をとすると、[ 4 ]となる。
3の間隔をに固定し、さらに点Oが中点となるように新たにスリット対を追加する。の間隔を満たし、かつすべてのスリットからの回折光が点Pで強め合う最小の間隔とする。同様な操作を繰り返し、中心を含めて合計個のスリットを作った。ただし、Mは自然数で、を満たすとする。
番目に追加したスリット対の間隔m番目に追加したスリット対の間隔とが
[ 5 ]
を満たすようにすると、すべてのスリットからの回折光が点Pで強め合うようになる。
4.次に、スクリーンをスリットから十分離し、その後スリットに向けて近づけていくと、いくつかの位置でやはりすべてのスリットからの回折光が点Pで強め合う。このときのOP間の距離のうち最大のものをとすると、[ 6 ]×lと書ける。ただし、は有限の値とする。また、この条件を満たす2番目に大きなOP間距離をとすると、
[ 7 ]
を満たす。
5.スリットのうち (kは整数)をすべて閉じる。残りのスリットからのすべて回折光が点Pで強め合うようなOP間距離のうち最大のものをとすると、[ 8 ]×lとなる。
65.で閉じたスリットを再び開き、今度はスリットのうち ()をすべて閉じる。残りのスリットからの回折光すべてが点Pで強め合うようなOP間距離のうち最大のものをとすると、[ 9 ]
[ 1 ]の選択肢
a) 縞の間隔が広い順に並べると、赤、青、黄であった
b) 縞の間隔が広い順に並べると、赤、黄、青であった
c) 縞の間隔が広い順に並べると、黄、赤、青であった
d) 縞の間隔が広い順に並べると、黄、青、赤であった
e) 縞の間隔が広い順に並べると、青、赤、黄であった
f) 縞の間隔が広い順に並べると、青、黄、赤であった
g) 縞の間隔はどの色でも変わらなかった
[ 2 ][ 3 ]の選択肢
a) 縞の間隔が広くなった
b) 縞の間隔が狭くなった
c) 縞の間隔は変わらず、縞自体が平行に動いた
d) 変化しなかった
e) 消えた
[ 4 ]の選択肢
a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)
[ 5 ]の選択肢
a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)  l)
[ 6 ][ 8 ]の選択肢
a)  b)  c)  d)  e) 1 f) 2 g) 3 h) 4 i)  j)  k)  l)  m)  n)  o)
[ 9 ]の選択肢
a) lの半分であり、点Pはスリットを閉じる前より明るくなった
b) lとは等しく、点Pはスリットを閉じる前より明るくなった
c) l2倍であり、点Pはスリットを閉じる前より明るくなった
d) lの半分であり、点Pの明るさはスリットを閉じる前と同じだった
e) lとは等しく、点Pの明るさはスリットを閉じる前と同じだった
f) l2倍であり、点Pの明るさはスリットを閉じる前と同じだった
g) lの半分であり、点Pはスリットを閉じる前より暗くなった
h) lとは等しく、点Pはスリットを閉じる前より暗くなった
c) l2倍であり、点Pはスリットを閉じる前より暗くなった

解答 題意のとりにくい問題文で、読解力も要求されています。問題で想定している物理的状況をしっかりつかんだ上で解答するようにしましょう。なお、二重スリット回折格子を参照してください。

1.スリット距離dとし、スクリーン上で点Pからx離れた位置をQとするとき、右図より、スリットを通過する2光の経路差は、問題文の近似式を用いると、
 ()

スリットを通過する2光が強め合うのは、経路差波長の整数倍になるときで、mを整数として、
明るい縞のできる位置は、
(とします)
隣接する明るい縞の間隔は、
 ・・・①
[ 1 ] 光の色の違いは波長の違いによります。波長lの長い順に赤、黄、青ですが、①より、波長→大のとき、縞の間隔→大です。よって、縞の広い順に、赤、黄、青となります。
b) ......[]
[ 2 ] ①より、d→大のとき、縞の間隔→小です。
b) ......[]
[ 3 ] 空間全体を屈折率nとなる液体で満たすと、経路差n倍されて (経路差を屈折率倍したものを「光路差」と言います)となります。2つのスリットを通過する2光が強め合う条件は、mを整数として、


となり、①と比較すると、なので、縞の間隔は小さくなります。
b) ......[]

2[ 4 ] 3つのスリットからの光が強め合うためには、を通過する2光が強め合えばよい(このとき、を通過する2光も強め合います)ので、この2光を考えます。を通過した2光の経路差は、
 ()
2光が強め合う条件は、mを正の整数として、

最小のスリット間隔になるのは、のときで、
l) ......[]

3[ 5 ] すべてのスリットからの回折光が強め合うためには、隣接する2光が強め合えばよいので、番目のスリットm番目のスリットを通過する2光を考えます。
2光の経路差は、,右図より、
 ()
2光が強め合う条件は、kを正の整数として、
 ・・・②
スリット対の間隔が最小になるのは、のときで、
よって、は初項,公差等差数列で、
 ・・・③
f) ......[]

4[ 6 ] 隣接する2つのスリットを通過する回折光が強め合う条件②において、l (),③を用いてとすると、
 ・・・④
のとき、のとき最大で、

e) ......[]
[ 7 ] ④において、として、のとき最大で、

f) ......[]

5[ 8 ] スリットのうち奇数番目をすべて閉じてしまうと、②のl,正の整数kjとして、
③のmとして、を代入すると、

のとき最大で、
f) ......[]

6[ 9 ] スリットのうち下半分にあるものをすべて閉じても、経路差に関する条件②に変化はなく、lと等しくなりますが、光の量が減るので点Pは暗くなります。
h) ......[]


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  1. 2009/08/06(木) 10:40:12|
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茶女大理数学'09年[3]

茶女大理数学'09[3]

aを正の数とし、次のような条件をみたす四面体OABCを考える。

(1) とおく。aを用いて表せ。
(2) ABCの面積をaを用いて表せ。
(3) が四面体OABCのすべての面と接しているとする。この球の半径をaを用いて表せ。
(4) 四面体OABCのすべての頂点が球の表面上にあるとする。この球の半径をaを用いて表せ。

解答 難問というわけではないので、素直に空間的に考えて行きたい空間図形の問題です。

(1)
ABCにおいて余弦定理より、
......[]

(2) q は三角形の内角でなので、
ABC面積は、
......[]

(3) の中心をPとすると、四面体POAB,四面体POBC,四面体POAC,四面体PABCの高さはいずれも球の半径になります。
三角形OABの面積は、
より、三角形OBCの面積は、
三角形OACの面積は、
四面体PABC,四面体POAB,四面体POBC,四面体POACの体積の和は、四面体OABCの体積Vになります。

......[]

(4) の中心Qは、4頂点OABCから等距離の点です。
OAOBOCが互いに垂直であることと、Qが、OAOBOCの各中点を通り、それぞれ、OAOBOCに垂直な3平面の交点になることから、OQは、Oにつながる3辺の長さが2である直方体の対角線であって、求める半径OQは、
......[]


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  1. 2009/08/05(水) 07:39:05|
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九大理系数学'09年前期[5]

九大理系数学'09年前期[5]

曲線上を動く点Pの時刻tにおける座標をと表し、Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれとする。すべての時刻tかつであるとして、次の問いに答えよ。
(1) Pが点を通過する時刻における速度ベクトルsを用いて表せ。
(2) Pが点を通過する時刻における加速度ベクトルsを用いて表せ。
(3) Pが曲線全体を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 単に微分していくだけの問題ですが、曲線の式が与えられていて、動点のx座標、y座標が時刻tの関数として与えられていないので、合成関数の微分法の利用を考えることになります。

(1) 曲線: ・・・①
yxで微分すると、
 ・・・②
ですが、yt で微分するときには合成関数の微分法を用います。
 ・・・③
より、
より、
 ・・・④
③より、
 ・・・⑤
Pが点を通過する時刻における速度ベクトルは、として、
......[]

(2) 加速度ベクトルのx成分は、
ですが、④ではxの関数で与えられていて、tの関数の形をしていないので、合成関数の微分法を用います。
 (商の微分法を参照)
加速度ベクトルのy成分、
も同様に、⑤ではxの関数で与えられているので、合成関数の微分法を用います。

Pが点を通過する時刻における加速度ベクトルは、として、
......[]

(3) Pが曲線全体を動くとき、(2)sは全実数をとります。
このままsの関数と見てsで微分してもよいのですが、計算をラクにするために、
()
とおいてuの関数と見ることにします(としないのは、分母をできるだけ簡単にするため)
より、
(とおきます。です)
u1

×0
×

増減表より(関数の増減を参照)の最大値は、
......[]


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  1. 2009/08/04(火) 18:14:40|
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群馬大医数学'09年[2]

群馬大医数学'09[2]

を展開して得られるxyの多項式について、次数が12である各項の係数の和を求めよ。

解答 を展開すると、という項が出てきますが、klmは、
を満たし、の係数は、
となります(同じものを含む順列を参照)。多項定理と呼ばれます。

を展開して得られる
xyの多項式に出てくる項は、klmn0以上の整数として、
 ・・・①
但し、
 ・・・②
①の次数はで、次数が12なので、②より、
 ・・・③


より、に限られます。
のとき、③,②より、
より、に限られます。
(i) のとき、①は、
(ii) のとき、①は、
(iii) のとき、①は、
のとき、③,②より、
より、に限られます。①は、
よって、次数が12である各項の係数の和は、
......[]


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  1. 2009/08/03(月) 11:17:24|
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阪大物理'09年後期[2]

阪大物理'09年後期[2]

1に示す装置(回転子)を用いて、発電機と電動モーターのはたらきについて考えてみる。
1の回転子は、1本の回転軸に垂直に取り付けられた絶縁体でできた2枚の円板(直径D)と、その円板の外周に回転軸に平行になるように取り付けられた細い4本の金属棒(abcd)からなる。回転軸は円板の中心を通っている。金属棒の長さはLで、その太さは円板の直径に比べて小さく無視してもよいものとする。金属棒の位置は等間隔になるように、円板の中心から見た角度ごとに取り付けられている。この回転子は回転軸と直交する一様な磁場(磁界)の中にある。なお、回転軸の位置は動かないように固定され、回転軸の摩擦および回転子に対する空気抵抗は無視できるものとする。
2は図1の手前から回転子を見たものである。以下の設問では図2に示すように、磁場(磁束密度)の向きは上向きとし、回転子は反時計回りに一定の角速度w ()で回転しているものとする。また、時刻tにおける、図2acを結ぶ直線と磁場のなす角度をとする。
Ⅰ.まず最初に、この回転子を用いて発電する場合を考える。図3のように金属棒と電線を用いて金属棒acおよびbdを含む2つの閉回路を作る。閉回路にはそれぞれ抵抗値Rの抵抗を直列に挿入する。電線と抵抗の質量は回転子の質量に比べて小さく無視できるものとする。以下の設問では、図3に示した矢印(および)の向きを電流の正の向きとし、正の向きの電流を流す起電力の向きを正の向きとする。なお、この閉回路に流れる電流が作る磁場の大きさは、一様な磁場Bに比べ小さく無視できるものとする。このとき以下の問いに答えよ。
1 時刻tに金属棒aに生じている誘導起電力を求めよ。
2 時刻tに金属棒acを含む閉回路に流れている電流を求めよ。また、時刻tにおけるこの電流による抵抗での消費電力を求めよ。
3 金属棒bdを含む閉回路でも抵抗で消費される電力があり、回転子全体ではの電力が消費される。PBDLRwt のうち必要なものを用いて表せ。
4 この回転子の回転の角速度wを一定に保つには、2つの抵抗で消費する電力Pに見合うエネルギーを外部から供給する必要がある。そこで図4のように、円板の外周に巻きつけたひもを大きさの力で引き、回転の角速度wを一定に保った。この力の大きさPDLwt のうち必要なものを用いて表せ。
以上のように、回転子に力を加え続け回転を維持することで、外部接続機器に電力Pを供給するのが発電機のしくみである。

Ⅱ.次に図5のように2つの閉回路に交流電源を追加し交流電流およびを流すことで、この回転子を電動モーターの部品として使用する場合について考える。電流およびの値が正のとき、図に示す矢印の向きに電流が流れる。なお、この閉回路に流れる電流が作る磁場の大きさは、一様な磁場Bに比べ小さく無視できるものとする。このとき以下の問いに答えよ。また、必要であれば次の三角関数の公式を用いてよい。
  
5 2つの閉回路に、回転子の回転の角速度wと同じ角周波数wをもつ次のような交流電流を流した。
, 
ここでIは正の定数である。また定数f ()は、回転子の回転と交流電流の位相の差を表している。このとき、この回転子が磁場から受ける力による、回転軸を中心とする力のモーメントMの大きさをBDLIwfのうち必要なものを用いて表せ。
6 回転子が一定の角速度wで回転し続けるためには、回転していない物体が回転運動を起こさない条件と同様に、回転子にはたらく力のモーメントの総和がゼロになる必要がある。そこで、図6に示すように、円板の外周に巻きつけたひもに負荷として大きさの力を加え、力のモーメントの総和をゼロとし、回転の角速度を一定に保った。この力の大きさBDLIwfのうち必要なものを用いて表せ。
7 最後に、この電動モーターが消費する電力を考えてみる。閉回路に挿入した交流電圧は、抵抗における電圧降下と誘導起電力に相当する電圧となる。これを考慮し、この電動モーターを回すために必要な電力BDLRIwfのうち必要なものを用いて表せ。

解答 一見して電磁気の公式を適用するだけの基本問題のように見えますが、電圧電流の符号に細かい神経を使う必要があります。

Ⅰ.問1 金属棒acを含む閉回路の面積です。時刻t に、磁束が貫く閉回路の有効面積Sは、
閉回路に生じる起電力Vは、電磁誘導の法則より、
 (マイナスはレンツの法則を意味する便宜的なものです)
となる時刻t においては、金属棒acを含む閉回路を貫く磁束は次第に増加します。従って、閉回路には磁束の増加を抑える向き、つまり、印加磁場と逆向き(2の下向き)磁場を作る向きの誘導起電力、つまり、右ねじの法則よりとなるような電流を流す向きの誘導起電力が発生します。この誘導起電力は正です。従って、acを含む閉回路に発生する誘導起電力Vと逆符号で、
 ・・・①
金属棒acには等しい起電力が発生するので、時刻t に金属棒aに生じている誘導起電力はこので、
......[]

2 時刻t acを含む閉回路に流れる電流は、①とオームの法則より、
......[]
時刻t における抵抗での消費電力は、
......[]

3 時刻t に図2bdを結ぶ直線と磁場のなす角度はです。よって、問2に入れ替えることにより、bdを含む閉回路における抵抗での消費電力は、
......[]

4 円板の半径で、金属棒の速さです。仕事率は問3Pに等しく、
......[]

Ⅱ.問5 の正の向きを図6の向きにとります。のときですが、このとき、フレミング左手の法則により、金属棒a磁場から受けると逆向きで、
()
のときも含めて、
同様に、のときで、
これはのときも含めて成立します。また、

うでの長さうでの長さですが、回転子を回転軸を中心として反時計回りに回転させようとする力のモーメントを正とするとき、
であれば、
モーメントと逆符号、モーメントと同符号、
であれば、
モーメントと同符号、モーメントと逆符号、
であれば、
モーメントと同符号、モーメントと逆符号、
であれば、
モーメントと逆符号、モーメントと同符号、
になります。従って、
モーメントは、

モーメントは、

以上より力のモーメントの総和Mは、


 () ・・・②
より,よって、力のモーメントMの大きさは、 ......[]

6 力のモーメントのつり合いより、 ( )
......[]

7 Ⅱにおいても、金属棒acを含む閉回路に発生する誘導起電力は、①と同様に、
キルヒホッフ第2法則より(金属棒の電圧降下は、起電力の符号を変えたものになることに注意)
に入れ替えることにより、
電動モーターを回すために必要な電力は、
......[]


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神戸大理系数学'09年後期[5]

神戸大理系数学'09年後期[5]

abcdを実数()とし、klmnを自然数とする。実数xの関数
について、以下のことを示せ。
(1) abcdと異なるxに対して、
が成り立つ。
(2) の範囲のxに対して、
が成り立つ。
(3) 次の2つの条件を同時に満たす実数tが存在する。
(i)
(ii)

解答 (3)は、(2)との関連が気づきにくいのですが、気づけてしまえば、(2)の不等式の左辺と右辺の動きを調べることにより解決します。

(1)
xで両辺を微分する(対数微分法を参照)と、より、

(2) の範囲内のxに対して、より、
(に注意)
両辺にを加えて、
(1)の結果とより、
 ・・・①
同様に、の範囲内の
xに対し、より、
両辺にを加えて、
(1)の結果とより、
 ・・・②

(3) 問題文の(i)(ii)で言っていることは、方程式の解tが、
の範囲にある、ということです。この範囲の左端と右端は、
これより、左端は、数直線上のを、lに内分するところにあり、右端は、mに内分するところにあります。これで(2)が利用できそうだ、ということがわかります。
(2)の不等式の左辺は、
(2)の不等式の右辺は、
と変形できます。つまり、方程式の解tは、(2)の不等式の左辺と右辺をゼロにする値の間にあるわけです。そこで、(2)の不等式の左辺と右辺をとおいて、どんな変化をするかを調べてみます。

 (微分の公式を参照)
より、において、単調減少で、,方程式は、この範囲にただ1つの実数解をもちます。

より、において、は単調減少で、,方程式は、この範囲にただ1つの実数解をもちます。
(2)より、の範囲のxに対して、
 ・・・③
また、のとき、,従って、は定符号なので、も定符号でです。
よって、において、③より、のグラフは、のグラフよりも上、のグラフよりも下を通るので、の連続性より、条件
(i)(ii)を満たす実数tが存在します。


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  1. 2009/08/01(土) 13:26:22|
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