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東北大理系数学'09年後期[2]

東北大理系数学'09年後期[2]

アメ玉の入った缶がある。白のアメ玉が11個、赤黄緑青の4色のアメ玉がそれぞれ1個ずつ、合計15個入っている。缶の中身をよく混ぜてから3個同時に取り出す。取り出した3個について以下の確率と期待値を求めよ。
(1) 3個とも白のアメ玉である確率。
(2) 緑のアメ玉が含まれる確率。
(3) 緑と青のアメ玉の個数の合計の期待値。
(4) 白以外のアメ玉の個数の期待値。

解答 確率期待値に関する基本問題です。(3)では、15個中に緑玉と青玉は2個あるので、3個取り出せば、そのうちの個が緑と青の個数の合計の期待値になりそうです。(4)では、白以外の玉は4個あるので、3個取り出せば、そのうちの個が白以外の個数の期待値になりそうです。

(1) 全事象は、15個のアメ玉から3個を選ぶので、通り(組み合わせを参照)
取り出した3個とも白になる場合の数は、11個の白玉から3個を選ぶので、通り。
求める確率は、
......[]

(2) 取り出した3個の中に緑のアメ玉が含まれる場合の数は、取り出した3個のうち1個は緑玉で確定し、緑以外の14個から残り2個を選ぶので、通り。
求める確率は、
......[]

(3) 取り出した3個の中に緑と青がともに含まれる場合の数は、取り出した3個のうち2個は緑玉と青玉で確定し、緑と青以外の13個から残り1個を選ぶので、通り。
緑と青で2個になる確率は、
取り出した3個の中に緑が含まれ青が含まれない場合の数は、取り出した3個のうち1個は緑玉で確定し、緑と青以外の13個から残り2個を選ぶので、通り(青が含まれ緑が含まれないときも同様)
緑と青で
1個になる確率は、
求める期待値は、
......[]

(4) 取り出した3個が3個とも白以外になる場合の数は、白以外の4個から3個を選ぶので、通り。この確率は、
取り出した3個のうち2個が白以外になる場合の数は、白以外の4個から2個を選ぶのが通り、白11個から残る1個を選ぶのが通りで、通り。白以外が2個になる確率は、
取り出した3個のうち1個が白以外になる場合の数は、白以外の4個から1個を選ぶのが通り、白11個から残る2個を選ぶのが通りで、通り。白以外が1個になる確率は、
求める期待値は、
......[]


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  1. 2009/07/31(金) 13:21:22|
  2. 09年数学
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防衛医大数学'09年[1]

防衛医大数学'09[1]

曲線上の点Pにおける接線と法線をそれぞれとする。曲線と接線y軸で囲まれる部分の面積を,曲線と法線y軸で囲まれる部分の面積をとする。ただし、のとき、とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 接線と法線の方程式を求めよ。
(2) pを用いて表せ。
(3) を求めよ。

解答 (1)(2)は標準問題ですが、(3)の極限を求めるところで苦労させられます。接線と法線については、接線と法線の公式、面積計算については、定積分と面積(その2)を参照してください。

(1)
Pにおける接線
......[]
Pにおける法線
......[]

(2) より上に凸な曲線で、接線は曲線から上に来ます。
のとき、
 (不定積分の公式を参照)




......[
]
のとき、
......[]
のとき、において法線は曲線から上に来ます。のときを含めのとき、


のとき、において法線は曲線から下に来ます。
結局、,いずれであっても、
......[]

(3) の極限は、の形が悪いので、はさみうちに持ち込むことが考えられます。
の中にが出てきますが、例えば、において成立する不等式:
を利用して、のとき、より、
としても、
となり、のときに左辺と右辺が同じ値に収束してくれません。この考え方では、はさみうちの左辺と右辺が同じ値に収束する形を作るのが難しく、なかなかうまく行きません(この方法での解答は旺文社全国大学入試問題正解を参照してください)
そこで、
ロピタルの定理に頼ることになるのですが、ロピタルの定理は高校数学の教科書に登場しないので、証明なしで用いてもよいのか不安です。
本問では、問題文でわざわざ、「のとき、とおく」と指定されているので、以下のようにして、「ロピタルの定理より」という言い方を回避することができます。

pの関数において、より、
として、(2)の結果をpで微分し、
のとき、
のときは、

......[]


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  1. 2009/07/30(木) 12:37:27|
  2. 09年数学
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北大物理'09年前期[3]

北大物理'09年前期[3]

1のように、断熱素材でできた球皮とゴンドラ等からなる気球が地面に置かれて浮上せず静止している。大気(空気)は温度の理想気体とみなすことができる。大気の圧力は重力のため高度が低いほど高いが、ここではまず、その圧力の高度依存性を無視して気球の中心の高度での大気の圧力で近似する。
一方、密閉された球皮内には大気と同じ圧力
pと温度Tを持つ単原子分子理想気体が入っており、球皮内の気体の内部エネルギーは、気体定数を用いて、と書くことができる。球皮は最初十分にしぼんだ状態であり、球皮内に装着されたヒーターにより、球皮内の気体の温度を上昇させ気体の体積を膨張させることができる。このとき、球皮内の気体の圧力と大気圧は常につり合っているとする。以下の文章の (1) から (10) に適切な数式を入れ、 (11) には有効数字2桁の数値を入れよ。

1 球皮内の気体の体積は、状態方程式より (1) と書くことができる。いまヒーターによって熱量をゆっくり気体に与えたところ、気体の温度と体積がそれぞれおよびだけ変化した。この過程で球皮内の気体が外部にした仕事は (2) であり、その内部エネルギーの変化は (3) となる。したがって、熱力学第一法則より、Qおよびを用いて (4) と表せる。この式と状態方程式により、球皮内の気体の定圧モル比熱(圧力一定の条件での気体を単位温度上昇させるのに必要な熱量)Rを用いて (5) と書くことができる。

ゴンドラの質量を,球皮内の気体と空気のモル質量(当たりの質量)をそれぞれおよびとし、重力加速度の大きさをとする。また、気球の質量は球皮内の気体とゴンドラの質量のみを考慮し、ほかはすべて無視せよ。気球の体積は球皮内の気体の体積のみを考慮し、ほかはすべて無視せよ。

2 気球に働く重力の大きさは (6) である。一方、気球を図1の状態から温めて体積がになったとすると、この体積を占めていた空気のモル数は、Tpを用いて (7) と表せる。重力のため大気の圧力は下方ほど高い。このことから浮力が生じる。浮力の大きさはアルキメデスの原理から正確に求められ、気球に働く浮力の大きさは (8) となる。以上より、気球を浮上させるにはその体積 (9) より大きくする必要があり、気球に (10) より多い熱量を与えなければならない。
例としてのヘリウムガスを用いた気球の場合を考える。空気のモル質量はである。大気の温度がの場合に、のゴンドラをつけた気球を浮上させるためには、ヘリウムガスの温度を (11) より高くする必要がある。

解答 熱気球を浮上させるために、気体の温度をどれほど高くすればよいか、を考える基本問題です。

1(1) 球皮内の気体の体積として、状態方程式
 ・・・①
......[]
(2) 体積変化するとき、気体が外部にした仕事は、
......[]
(3) より、内部エネルギーの変化は、
......[]
(4) 熱力学第一法則より、ヒーターで気体に与えたは、
 ・・・②
......[]
(5) ヒーターでを与えるとき、球皮内の気体は(大気圧と常につり合っているので)定圧変化し、変化後の圧力で、状態方程式
 ・・・③
③-①より、
 ・・・④
②より、
 ・・・⑤
定圧変化のとき、より、定圧モル比熱は、

......[]

2(6) 球皮内の気体の質量,ゴンドラの質量と合わせて、
これに働く重力の大きさは、
......[]
(7) 体積を占める空気のモル数をとして、状態方程式
......[]
(8) アルキメデスの原理より、気球に働く浮力の大きさは、球皮内に空気があるとしたときの空気に働く重力の大きさに等しく(浮力の向きは重力と逆向き)

......[]
(9) 気球に働く浮力の大きさが気球に働く重力の大きさを上回ると気球が浮上します。
(とおきます)
......[]
(10) 浮上を開始するまでヒーターで温める間の体積変化は、
④,⑤より、気球に与えるべき熱量は、
 ・・・⑥
......[]
(11) 気球が浮上するときのヘリウムガスの温度とすると、浮上を開始するまでの温度変化は、
⑥式に数値代入して、

......[]
注.問題文に与えられている数値の有効数字がバラバラですが、こうした場合には、最も少ない有効数字で見るようにします。本問では、M2桁が最も少ないので、解答も有効数字2桁で答えます。


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  1. 2009/07/27(月) 07:54:34|
  2. 09年物理
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奈良県立医大数学'09年[1]

奈良県立医大数学'09[1]

xyz空間において原点Oを中心とする半径1の球面をSとし、球面Sから点Nを除いた部分に属する点Pに対して、2NPを通る直線とxy平面との交点をQとおく。
(1) Qの座標を求めよ。
(2) 球面S上の任意の点Rに対してRのどんな近くにも、S上の点で各座標abcがすべて有理数からなるものが存在することを証明せよ。

解答 (2)が問題ですが、「条件を満たす点が存在すること」の証明は、条件を満たす点を求める方法・手順を説明すればよいのです。指定された手順により条件を満たす点を定めることができる、ということは、条件を満たす点が存在する、ということです。

(1)
直線NP上の点をとして、直線NPベクトル方程式
直線NPxy平面との交点においては、として、
Pは点Nと異なる点なので、
よって、点Qの座標は、 ......[]

(2) 球面S上の任意の点Rについて、点Rが点Nの位置に来るように回転させて考えることにすれば、点Rが点Nだとして考えて一般性を失いません。
そこで、点Nのどんな近くにも、S上の点Aで各座標abcがすべて有理数からなるものが存在することを証明することにします。
また、「点
Nのどんな近くにも」という表現を、点Nのどんな近くに点Nとは異なる点Pをとったときにも、を満たす点A (abcは有理数)が存在する、として考えます。
ここで、点
Pの部分にとる場合には、点の代わりに点を点Pとして考えれば、より、
なので、であればです。
そこで、点
Pの範囲にとって考えることにします。
球面
S上のの部分にあってNとは異なる任意の点Pに対し、(1)より、直線NPxy平面との交点Qです。ここで、
 ・・・①
を満たす有理数r (どんな実数に対しても、それよりも大きな有理数は必ず存在します)と有理数k (kは何でもよい)をとって、
とすれば、XYは有理数であって、
 ・・・②
このとき、球面S上の点Aで、直線NAxy平面との交点がとなる点を考えます(ANとは異なり、また、とします)(1)と同様に、
つまり、
 ・・・③
Aは球面S上の点なので、
②を用いて、
 ・・・④
より、 ・・・⑤
となり、
rは有理数なので、cは有理数です。よって、③より、abも有理数です。
 ( ) ・・・⑥
①の右辺をとおくと、

Pは球面S上の点なので、
④と同様にして、
より、
⑥と同様にして、
①:より
これは、任意の点Pに対してPよりもNに近い点Aが存在することを意味します。
即ち、点
Nのどんな近くにも、S上の点Aで各座標abcがすべて有理数
からなるものが存在し、題意は証明されました。(証明終)


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  1. 2009/07/26(日) 17:05:13|
  2. 09年数学
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埼玉大理数学'09年前期[3]

埼玉大理数学'09[3]

xy平面において2つの曲線 ()を考える。次に、の点における接線をとする。ただし、のとき、接線は直線とする。
(1) 接線と円が共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲にあるとき、接線と円の共有点をPQとする。ただし、共有点が1点の場合はとする。このとき、線分PQの中点Mの軌跡Cの方程式を求めよ。
(3) 軌跡Cと円に囲まれ、点を含む図形の面積を求めよ。

解答 (3)の定積分計算がなかなか面倒です(置換積分を参照)

(1) について、
のとき、接線は、上の点を通るので、接線と円は共有点をもちます。
のとき、における接線
これを、に代入して、
をかけて整理すると、
 ・・・①
左辺をとおくと、接線と円が共有点をもつとき、2次方程式は、の範囲に重解も含めて2実数解をもち、その条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
判別式: ・・・②
軸の位置: ・・・③
端: ・・・④
②より、
 ・・・⑤
③の左の不等号はであれば必ず成立します。右の不等号より、
 ∴  ・・・⑥
④は、

より、必ず成立します。よって、,⑤,⑥より、
のときを含めて、共有点をもつaの範囲は、
......[]
別解.円と直線の位置関係を考える場合には、点と直線の距離の公式を用いるのが便利です。
と接線が共有点をもつのは、円の中心と接線との距離が半径
1以下の場合です。よって、




(2) PQx座標をpqとします。pqは①の2解です。解と係数の関係より、
PQの中点Mx座標Xは、
aについて解くと、
 ・・・⑦
(1)よりなので、
 ・・・⑧
My座標Yは、⑦をの式に代入することにより、

として、M軌跡Cの方程式は、
......[]
⑧より、

(3) 面積Sを求める図形は右図黄色着色部分で、円から下側、Cから上側の部分であり、の部分に存在します。
このうち、は、右図の黄緑色着色部分の面積で、
 (置換積分(その2)を参照)
文字の置き方を考えることになりますが、なるべく分母を簡単にしたいので、とおきます。xのとき、t
また、
 (置換積分を参照)
ここで、被積分関数を2つに分けて計算します。
とおくと、tのとき、q
また、において、



は、右図の水色部分の面積で、

......[]


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  1. 2009/07/22(水) 14:54:54|
  2. 09年数学
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山梨大医数学'09年[3]

山梨大医数学'09[3]

abt ()を実数とする。2次正方行列A
とし、とする。自然数nに対して、
とおく。
(1) を満たすを求めよ。
(2) nabを用いて (pqは実数)の形に表せ。
(3) が成り立ち、が存在すると仮定する。このとき、を満たすがただ1つ存在することを示せ。さらに、このに対してを求めよ。

解答 行列式の計算が面倒な問題です。(2)では、ハミルトン・ケーリーの定理による次数下げを利用します。

(1)
より、
 ・・・①


のときには、よりが存在します(逆行列を参照)
①より、
......[]
のときには、よりは存在しません。
①より、 かつ
のときには題意をみたすuvは存在しません。
のとき、
よって、wを任意の実数として、
......[]

(2)
両辺にをかけて、
 ・・・②
ここで、3項間漸化式があるときに、
と変形するのと同様の式変形を行います。
これより、
 ・・・③
同様に、
 ・・・④
③-④より、
......[] ・・・⑤
つまり、とするとき、
 ・・・⑥

(3) のとき、
より、
 ・・・⑦
これより、
のとき、成分について、
のとき (等比数列の極限を参照)
が存在するので、 (に注意)
の形を見ると、aについても
のとき、
のとき
が存在するので、
いずれにしても、のとき ・・・⑧
より、
 ・・・⑨
⑦より、



⑥を用いて、

 ・・・⑩
⑧より,よって、が存在します。
⑨より、
 ・・・⑪
これより、を満たすがただ1つ存在します。
のとき、⑥,⑧より、
⑧,⑩より、
よって、
⑪より、
......[]


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  1. 2009/07/21(火) 07:31:49|
  2. 09年数学
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福島県立医大数学'09年[4]

福島県立医大数学'09[4]

n2以上の自然数とし、kn以下の自然数とする。座標平面上の原点Oのまわりにx軸を回転した直線をとし、と放物線との2つの交点のうち原点以外の点をとする。また、以下の自然数kについて、三角形の面積をとおく。以下の問いに答えよ。
(1) 不定積分を求めよ。
(2) すべてのについて、次の不等式が成り立つことを示せ。
(3) 極限値を求めよ。

解答 はさみうちするときに、はさむものが区分求積法になる、という、極限の基本問題です。

(1)
とおくと、 (置換積分を参照)
(C:積分定数) ......[]

(2) 直線x軸のなす角はで、その傾きは
 ・・・①
放物線: ・・・②
①,②を連立すると、
①,②の2交点のうち原点以外の点x座標は、
()
②より、点の座標は
の座標は
より、
()
のとき、 (において増加関数)
よって、


(3) (2)の不等式をからまで辺々加え合わせることにより、
 ・・・③
ここでとすると、より、
 (区分求積法を参照)
とおくと、xのとき、q

結局、③において、
はさみうちの原理により、
......[]

追記.上記の区分求積法で、のとき、としているのを不思議に思う方がいらっしゃるかも知れません。
教科書では、で連続な関数
n個の和の極限について、
としています。
ですが、は有限な値なので、のとき、です。
であれば、個の和の極限について、


です。もっと極端なことを言えば、を満たす有限な整数mをとるとき、個の和の極限について、



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  1. 2009/07/19(日) 21:14:18|
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静岡大物理'09年[1]

静岡大物理'09[1]

1および図2に示すようなばねを用いた小物体の打ち出し装置を考える。この装置のばねの一端は固定され、他端には質量の薄い板が取り付けられている。小物体の質量を,用いたばねのばね定数を,重力加速度の大きさをとして、以下の問いに答えよ。ただし、ばねの質量、空気抵抗は無視できるものとする。
1 図1のように打ち出し装置を摩擦のないなめらかな水平面上に置いた場合について考える。
(1) 1(a)はばねが自然の長さの場合を示す。図1(b)のように、ばねが自然の長さからだけ縮められた位置に小物体を手で固定した。ばねを自然長からだけ縮めるのに必要な仕事を求めよ。
(2) 1(b)の状態で静かに手を離すと、小物体と板は右側の方向へ動き始め、ばねが自然の長さになったときに小物体は板から離れて打ち出された。打ち出される瞬間の小物体の速さを求めよ。
(3) 小物体が打ち出された後、ばねに取り付けられている板は単振動を行う。その周期と振幅を求めよ。
2 次に、図2のように打ち出し装置を鉛直に置いた場合について考える。
(1) 2(a)はばねが自然の長さの状態を表している。ばねに板を取り付け静止した状態が図2(b)であり、ばねは自然の長さからだけ縮んでいる。を求めよ。
(2) 2(c)は図2(b)の板の上に小物体を置いて静止した状態を示す。このとき、ばねは図2(b)の状態よりさらに縮んでいる。を求めよ。
(3) 2(c)の状態からさらにばねがだけ縮められた位置に、小物体を手で固定した状態が図2(d)である。図2(d)の状態で静かに手を離すと、小物体と板は鉛直上向きに動き始める。手を離した瞬間の小物体の加速度の大きさを求めよ。
(4) がある値よりも小さい場合、小物体は板から離れることなく単振動を行う。この場合、小物体の高さが最も高くなる位置での小物体の加速度の大きさkで表せ。
(5) (4)で求めた加速度の大きさが重力加速度より小さい場合、小物体は板から離れない。(4)で求めた加速度の大きさが重力加速度の大きさになるときのkgで表せ。
(6) 2(d)のとき、小物体はある高さまで板に付いたまま上昇し、その後、板から離れて打ち出された。打ち出される瞬間の小物体の速さkgで表せ。

解答 ばねの単振動に関する基本問題ですが、重要なポイントについて、おさらいしておきましょう。
1と問2の違いは、重力の位置エネルギーの考慮が必要かどうか、ということですが、問2の解答では、「重力+弾性力の位置エネルギー」を使って考えることにします。

1(1) ばねを自然長から縮めるのに必要な仕事 ......[]
(2) 1(b)の状態における小物体の位置エネルギー運動エネルギーはゼロです。求める小物体の速さとして、打ち出される瞬間(自然長になったとき)位置エネルギーはゼロ、運動エネルギー力学的エネルギー保存より、
......[]
(3) ばねの伸びとして、板には、ばねの弾性力が働きます。板の加速度として、板の運動方程式

これは、角振動数単振動を表します。周期は、
......[]
小物体が打ち出されたときに板の速さは最大で、単振動の公式より、板の単振動の振幅は、
......[]

2(1) 2(b)において、板に働くは、鉛直下向きの重力と鉛直上向きのばねの弾性力です。両者の力のつり合いより、
 ・・・①
......[]
(2) 2(c)において、板に働くは、重力とばねの弾性力です。両者の力のつり合いより、
 ・・・②
①より、
......[]
(3) 2(d)において、板に働くは、重力とばねの弾性力です。小物体+板の加速度として、手を離した瞬間の小物体+板の運動方程式
②より、
手を離した瞬間の加速度の大きさは、
......[]
注.はばねの縮みなので鉛直下向きが正方向です。加速度の正方向を鉛直下向きにとるのであれば、運動方程式は、
となり、
 (加速度は鉛直上向き)
となります。
(4) 小物体の高さが最も高くなる位置(このとき小物体+板の速さはゼロ)でのばねの伸びとして、小物体+板の(重力+弾性力の)位置エネルギー(変位をつり合いの位置から考えていることに注意)運動エネルギーはゼロ、図2(d)の状態での小物体+板の位置エネルギー運動エネルギーはゼロ、力学的エネルギー保存より、
 (は図2(d)の位置です) ・・・③
小物体の
高さが最も高くなる位置において、加速度として、小物体+板の運動方程式
②,③より、
小物体の高さが最も高くなる位置での小物体の加速度の大きさは、
......[]
(5) として、
......[]
(6) 打ち出される位置は自然長の位置です。打ち出される瞬間の小物体の速さ(板の速さです)として、打ち出される瞬間の(重力弾性力)位置エネルギー運動エネルギー力学的エネルギー保存より、
と問2(1)(2)より、
......[]

追記.問1(2)では、自然長の位置に来たときに小物体が板と離れることが問題文中に書かれています。ばねの伸び,板と小物体の加速度,板と小物体の間の垂直抗力として、板の運動方程式
 ・・・④
小物体の運動方程式
 ・・・⑤
(3)の解答中の運動方程式は④+⑤として得られます。を⑤に代入すると、
であれば、小物体と板とは接触していますが、となる瞬間に小物体と板とが離れます。これはのときで、ばねが自然長になるときです。
2において、ばねが鉛直になっているときには、ばねの伸び,板と小物体の加速度,板と小物体の間の垂直抗力として、板の運動方程式
 ・・・⑥
小物体の運動方程式
 ・・・⑦
⑥+⑦より、
⑦に代入すると、
この場合もやはり、ばねが自然長になるときとなり、小物体が板から離れます。
摩擦や空気抵抗を考えるような特殊な状況を除いて、単純な状況設定では、ばねが自然長になるときに、ばねに固定された板と固定されていない物体が離れる、と、思っていて良いでしょう。

また、問
2(4)(6)では、位置エネルギーを「重力弾性力の」位置エネルギーとして考えました。
弾性力位置エネルギー重力位置エネルギーを分けて考えることにすると、(4)では、弾性力位置エネルギーは、小物体が最高点のとき,図2(d)のとき重力位置エネルギーは、自然長の位置を基準にとると、小物体が最高点のとき,図2(d)のとき、となります。力学的エネルギー保存則の式は、
となります。②を用いると、
をかけて整理すると、

となり、③が得られます。しかし、この考え方では少々面倒です。
力のつり合いの位置
(ばねの縮みとなる図2(c)の位置)からのばねの変位x (伸びる方を正とします)として、ばねの縮みとなるので、重力位置エネルギーの基準をばねの縮みdとなる位置にとると、弾性力位置エネルギー重力位置エネルギーUは、
②を用いると、
従って、とすると、
となります。つまり、重力位置エネルギーの基準を、力のつり合いの位置と自然長の位置の中間点にとると、弾性力位置エネルギー重力位置エネルギーUは、
となって、あたかも、重力位置エネルギーを無視して弾性力位置エネルギーのみを考えたかのような値になり、計算しやすくなります。本ウェブサイトでは、この考え方の位置エネルギーを「重力弾性力位置エネルギー」と書くことにします。上記の解答では、この位置エネルギーの考え方を使って解答しています。但し、xは、自然長からの変位ではなく、つり合いの位置からの変位になることに注意してください。


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  1. 2009/07/17(金) 13:13:52|
  2. 09年物理
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金沢大理系数学'09年前期[3]

金沢大理系数学'09年前期[3]

とし、点Oを原点とするxy平面において、3OABを頂点とする三角形OABと、互いに相似な3つの二等辺三角形を考える。ここで、辺ABOBOAはそれぞれの二等辺三角形の底辺であり、点は直線ABに対して点Oと反対側に、点は第2象限に、点は第4象限に、それぞれあるとする。とおく。次の問いに答えよ。
(1) の座標を、rtの式で表せ。
(2) 直線,および直線の方程式をの形で求めよ。
(3) 2直線の交点をMとする。比rtの式で表せ。
(4) の座標をrtの式で表し、3直線1点で交わることを示せ。

解答 図形と方程式の分野の基本問題なのですが、問題文に想定されている状況がわかりにくく、基本問題と侮れない問題です。状況を把握することから既に問題になっていると思ってください。また(4)では、図形的な特質を活かして考えないと面倒なことになります。

(1) からOBに垂線を、からOAに垂線を下ろします。として、 ()です。

より、 ......[]

(2) 直線は、2Aを通るので、傾きは ()、方程式は、
 (直線の方程式を参照)
......[] ・・・①
直線は、
2Bを通るので、傾きは ()、方程式は、
......[] ・・・②

(3) ②×-①より、

②より、
......[]

(4) からABに垂線を下ろします。ABの垂直二等分線ですが、直線の方程式を求め、この直線上の点と点Bとの距離を考える、というようなことをやり出すと大変なことになります。
,また、△と△が相似なことから、
OABと△が相似なことから、
EF = OAOBAB = 1r
よって、

Fの座標はなので、の座標は ......[]
(3)
より直線OMの傾きはです。は直線OM上の点なので、3直線1点で交わります。


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  1. 2009/07/09(木) 13:36:05|
  2. 09年数学
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大分大医数学'09年[1]

大分大医数学'09[1]

()
とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) の値を求めよ。

解答 被積分関数の中にnが出てくるので、定積分の漸化式を考えたくなりますが、(1)を見れば、もっと別のことを考えなければいけません。

(1)  (不定積分の公式を参照)
......[]
とおくと、
xのとき、q (置換積分(その2)を参照)
......[]

(2) (1)の結果を見れば、を数列の一般項と見て漸化式を考えるのでは展望がないことは明らかです。かと言っての計算も展望がありません。
被積分関数の中に出てくるは、のときには、となりますが、のときにはとなるのでであり、とを分けて考える必要があることがわかります。そこで、積分区間をに分割して、
として考えることにします。
まず、ですが、においてなので、となりそうです。そこで、となるを探すことにします。つまり、となるで積分計算が簡単に行える形を考えます。
なので、です。よって、
のとき、
よって、はさみうちの原理より、
 ・・・①
次に、ですが、のときなので、となりそうです。そこで、となるを探すことになります。つまり、となるで積分計算が簡単に行える形を考えます。ここで、
ですが、なので、であれば容易に積分できます。において、
より、

よって、
のとき、
よって、はさみうちの原理より、
 ・・・②
①,②より、
......[]
追記.本問では、全く意味がありませんが、を計算してみます。
とおいて、右辺を通分すると、



 (分数関数の積分を参照)

とおくと、

xのとき、q,ただし、
以上より、



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  1. 2009/07/07(火) 13:34:35|
  2. 09年数学
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東北大理系数学'09年前期[6]

東北大理系数学'09年前期[6]

実数aに対して、xの方程式
が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。

解答 難問ではありませんが、地道で面倒な考察を必要とする問題です。こういう問題でこそ、東北大学を目指す気持ちの強さが現れると言えるかも知れません。
以下では、の場合はグラフから視覚的に判断できますが、の場合は判別式などを調べる必要があります。
なお、
2次関数2次方程式の一般論2次方程式の解の配置を参照してください。

 ・・・①
①の形のままでは、絶対値がついている上に、文字aを含むので大変です。
絶対値記号の内側は、で符号が変わるところとで符号が変わるところがそれぞれ
2カ所あることに目をつけて、①を、
 ・・・②
 ・・・③
の連立方程式と見ることにします。②,③とも、において絶対値記号の内側が符号を変えます。
②は、のとき、

のとき、
よって、②のグラフは右図のようになります。
③は、のとき、

 ・・・④
のとき、
 ・・・⑤
のとき、
 ・・・⑥
よって、③のグラフは、のとき、右図のようになります(のときは③はx軸に一致)。このとき、aがいかなる値であっても、のときとなることに注意します。つまり、③のグラフはaの値にかかわらず、点,点を通ります。
また、③は、のときのときとなるので、点,点を通ります
(この2点で折れ曲がります)
のとき③は
x軸に一致しますが、②はx軸と相異なる3個の共有点をもつので、不適です。以後、②の右辺をとおいて()の場合に分けて考えます。
(i) のとき
(a) において、③は、を通り、⑥より傾き ()の直線の一部になりますが、で、は増加なので、において、②と③のグラフは1交点をもち、方程式①は1解をもちます。
(b) において、③は、を両端とする傾き ()の線分で、であり、,つまり、のとき、点 (②のグラフとy軸との交点)を通ります。②のグラフはこの範囲で上に凸なので、③が点を通ることから、であれば、この範囲において、②と③のグラフは1交点をもち、方程式①は1解をもちます。
のとき、この範囲において、②と③のグラフは2個の共有点をもち、方程式①は2解をもちます。
(c) において、③は、を通り、傾き ()の線分で、はこの範囲で減少なので、のときには、において②と③は共有点をもたず、方程式①は解をもちません。
より、のときには、において②と③は共有点を1個もち、方程式①は1解をもちます。
以上より、方程式①が4解をもつのは、
 ・・・⑦
のときです。
(ii) のとき
(a) において、と④を連立すると、

 (左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、より、において、②と③は交点を
1個もち、方程式①は1解をもちます。
(b) において、と⑥を連立すると、

(左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、の軸:より、において、②と③は交点を
2個もち、方程式①は2解をもちます。
のときで、において、方程式①は
1(重解)をもちます。
のとき、において、方程式①は解をもちません。

()のとき、
のときには、より、において、方程式①は1解をもちます。
のときには、の軸:より、において、方程式①は解をもちません。
(c) において、と⑤を連立すると、

 (左辺をとおきます)
判別式:
のときなので、において、方程式①は解をもちません。
のときで、において、方程式①は
1(重解)をもちます。
のときですが、の軸:より、
のときには、軸:より、において、方程式①は2解をもちます。
のときには、より、において、方程式①は1解をもちます。
各範囲の解の個数は、aの値に従って以下のようになります。

101
111
121
111
110
111
112

表より、方程式①が4解もつのは、 ・・・⑧
⑦,⑧より、 ......[]


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  1. 2009/07/06(月) 11:39:39|
  2. 09年数学
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東工大数学'09年後期[2]

東工大数学'09年後期[2]

であるような点Pから双曲線へ引いた2本の接線の接点をABとする。tとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。

解答 試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。

ABx座標をab ()とします。
双曲線における接線は、
Pを通るので、
分母を払ってaについて整理すると、
 ・・・①
これをaに関する2次方程式とみると、判別式Dは、
となるので、①は相異なる2実数解abをもちます。解と係数の関係より、
 ・・・②
これより、です。ABの座標は
より、三角形OAB面積Sは、



ここで、2次方程式①の2解の差は、
これと②を用いて、
......[] (です)
においてにおいてより、Sは、のときに最小値 ......[] (関数の増減を参照)


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  1. 2009/07/02(木) 22:02:26|
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一橋大数学'09年後期[2]

一橋大数学'09年後期[2]

abとなる実数とし、とおく。
(1) を示せ。
(2) 区間におけるの最大値および最小値を求めよ。ただし、最大値、最小値を与えるxの値は求めなくてよい。

解答 3次曲線のグラフの特質を活かして解答しましょう。

よりの増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
a
b
00



とすると、
 ・・・①
注.なぜ、①のように因数分解できるか、と言えば、は極大値をもつので、x軸に平行な直線:と曲線で接していて、方程式:を重解にもつことがわかっているからです。の係数を見れば、解と係数の関係より、もう1つの解がだとわかります。
また、右図のように、とするとき、
ca(変曲点の位置)bdはこの順に等差数列になっていることにも注意してください。ここからも、とわかります。
また、同様に、とすると、


(1) であり、においては増加関数だから、

(2) なので、曲線は原点を通ることに注意します。
を考えるとき、となるところ、つまり、x軸がどの辺を通るか、ということが問題になります。
(i) ,つまり、のとき、x軸は極小を与える点から下を通ります。
このとき、において、なのでであって、
最大値は,最小値はです。
(ii) ,つまり、のとき、x軸は極小を与える点よりも上を通ります。
このとき、よりであることに注意すると、方程式:にそれぞれ1pqをもちます。つまり、このとき、です。
において、となるのでであり、この範囲では、が最大になりますが、においては、の大きい方が最大値になります。そこで、の差を調べてみます。

これは、のとき正で、
のとき負で、
となります
(3次関数の最大最小を参照)
以上より、
(i) のとき、最大値:,最小値:
(ii) のとき、最大値:,最小値:
(iii) のとき、最大値:,最小値: ......[]


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