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九大理系数学'09年後期[3]

九大理系数学'09年後期[3]

Oを原点とするxyz空間内の点ABCをそれぞれABCとし、2ABを通る直線をとする。以下の問いに答えよ。
(1) Pは直線上を動き、点Qy軸上を動くものとする。このとき、2PQとの距離の最小値を求めよ。また、PQとの距離が最小となるときのPQをそれぞれとする。の座標を求めよ。
(2) との距離がsであるような直線上の点の一つをSとする。点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。
(3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。

解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
直線上の点Ptを実数として、直線ベクトル方程式
 ・・・①
y軸上の点Qの座標はqを実数として ・・・②


これは、 かつ のときに最小値2となります。
よって、
2PQの距離の最小値は、 ......[]
また、PQの距離の最小を与えるの座標は、を①,②に代入して、
......[] (つまりは原点Oです)
別解.本問ではQy軸上の点で座標が簡単なので、2文字tqで表しても大した計算にはなりませんが、の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。
y軸に平行で直線を含む平面pの法線ベクトルは、y軸にも直線にも垂直、つまり、ベクトルにもにも垂直です。両者の外積は、
となるので、平面pの法線ベクトルとして、平面pの方程式は、
 (cは定数)
となります。平面pは、点Aを通るので、
 ∴
これより、平面pの方程式は、
2PQの最小値は、y軸上の任意の点(どの点でも平面pとの距離は同じです)、例えば原点と平面pとの距離となり、点と平面の距離の公式を用いて、
これで、簡単に最小値が求められますが、この解法では、最小値を与えるの座標が求められません。
そこで、
PQの距離が最小になるときに、y軸にも直線にも垂直になるという事実を利用します。は、上記のようにして得られたに平行になるので、実数kを用いて、とおけます。①,②を用いて、
これより、

これで、の座標が求められます。

(2) Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、は、にもにも垂直だということです。
とおくと、


これより、とおけます。として、
より、
よって、
......[]

(3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hy座標をuとすると、Fy座標もuです。①より、とおくと、
Fx座標、z座標は、より、Fの座標は
Dy座標をwとするとDの座標は
Gから三角形DEFを含む平面に垂線GTを下ろすと、y軸にもにも垂直で、

とおくと、

これより、とおけます。として、
より、

より、三角形DEFの面積は、
四面体
DEFGの体積は、高さはで、
......[]


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  1. 2009/06/26(金) 14:25:18|
  2. 09年数学
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徳島大数学'09年[4]

徳島大数学'09[4]

とする。
次の
2つの等式を満たす2次の正方行列XYについて、下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) Xを求めよ。

解答 最初からとおいてやっていくと大変なことになります。見通しが立つところまでは、Xのまま、行列の積が非可換()であることに注意して文字式の計算を進めましょう。

 ・・・①
 ・・・②
(1) とおくと、右からXをかけて、
 ・・・③ (逆行列を参照)
③を①に代入すると、
左からX,右からをかけて、
 ・・・④
 ・・・⑤
②のままではが面倒になるので、②両辺に左から
Yをかけて、
③を代入して、
右からをかけて、
④よりとなるので、

......[]

(2) と、⑤より、

とおくと、

 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑦よりなので、⑧より
⑥より,⑨より
(i) のとき、
⑦より、
(ii) のとき、
⑦より、
(iii) のとき、
⑦より、
(iv) のとき、
⑦より、
以上より、
......[]

別解.ハミルトン・ケーリーの定理より、
これを利用すると、Aの多項式はA1次式で表せるので、以下のような解答も可能です。
の逆行列を、
とおくと、より、


両辺を比較して、


⑤より、なので、

とおくと、
 (行列の積でAEは可換であることに注意)

両辺を比較して、

(i) のとき、

(ii) のとき、

この問題ではかなり遠回りになりますが、一般的に使える解法です。


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  1. 2009/06/25(木) 07:35:09|
  2. 09年数学
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筑波大数学'09年[3]

筑波大数学'09[3]

を整式で表される関数とし、とおく。任意の実数xについて
が成り立つとする。
(1) が成り立つことを示せ。
(2) は定数または1次式であることを示せ。
(3) およびを求めよ。

解答 連立微分方程式のように見えますが、は整式、という指定がついているので、現行の高校学習指導要領の範囲内で解決します。なお、本問のような、を利用する問題では、定積分を0にするようなxの値を代入することにより、隠れた条件が出てくるので注意してください。本問でも、(3)bの値を決めるところで考えることになります。

 ・・・①
 ・・・②
(1) ①両辺をxで微分すると、
 ・・・③
②両辺をxで微分すると、
 ・・・④ (積の微分法定積分と微分(その2)を参照)
この形のまま微分すると、右辺の微分でが残って困ることになります。(1)は、①,②よりを消去することが目的なので、③を考慮して、④両辺にをかけ、
 ・・・⑤
この両辺をxで微分すると、
 ( )
両辺にをかけて、

(2) としてn次の整式とし、次以下の整式と定数aを用いて、
とおけたと仮定します。
(1)の等式に代入すると、
整理して、
 ・・・⑥
次以下、次以下の整式なので、⑥の以外の項は次以下の整式になります。⑥が任意の実数xについて成立するためには、の係数は0でなければなりません(恒等式を参照)。ですが、では、にせよ、にせよ、n()の整式であることに矛盾します。
よって、であり、は定数または
1次式です。

(3) (2)より、とおけて、
これらを(1)の等式に代入すると、
 ・・・⑦
①にを代入すると、 
(を代入するのは、①の定積分の値を0にするため)
⑤にを代入すると、

⑦より、
......[]
⑤より、
......[]


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  1. 2009/06/23(火) 13:27:19|
  2. 09年数学
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早大理工物理'09年[3]

早大理工物理'09[3]

空間に固定された無限に長い2本のレールがある。レールはx軸に平行である。このレールにそって運動する質量Mの物体Aを考える(1)。物体A5つのなめらかな面をもつ。面12辺がレールに平行な長方形で、かつ、y軸に垂直である。面2は面1とのなす角がq の斜面である。面3x軸に垂直である。残りの2つの面はそれぞれ面1に垂直である。
y軸の負の方向に一定の速さvで運動する質量mの粒子Bが物体Aに衝突する。衝突は弾性衝突とする。粒子Bと物体Aとの間の摩擦、および重力は無視する。このとき、以下の問いに答えよ。
まず、物体
Aがレールに固定された状況を考える。
1 粒子Bが物体Aの面2に衝突するとき、粒子Bは面2に垂直な力積を受ける。力積の大きさをPとし、粒子Bの衝突後の速度のx成分とy成分をそれぞれとして、Pの関係式、およびPの関係式をそれぞれ書け。
2 衝突の前後で粒子Bの運動エネルギーが保存されることを用いて、Pを求めよ。答はvmq のうち適当なものを用いて表せ。
つぎに、物体Aがレールにそって自由に動ける状況を考える。レールと物体Aとの間の摩擦は無視する。
3 速さVx軸の正の方向に動いている物体Aの面2に粒子Bが衝突するとき、問1と同様に、粒子Bは面2に垂直な力積を受ける。このとき、粒子Bが受ける力積の大きさを求めよ。答はvVmMq のうち適当なものを用いて表せ。
4 速さVx軸の正の方向に動いている物体Aの面3に粒子Bが衝突するとき、粒子Bは面3に垂直な力積を受ける。この力積の大きさを求めよ。答はvVmMq のうち適当なものを用いて表せ。
さらに、粒子Bと同じ粒子が空間に一様に分布しており、それぞれがy軸の負の方向に一定の速さvで運動し、物体Aと衝突する状況を考える(2)。単位体積あたりの粒子数をnとする。物体Aの質量Mが粒子の質量mよりも十分に大きく、さらにnが十分に大きいとき、多数の粒子の衝突によって生じる平均の力により、物体Aはなめらかに運動する。このときの物体Aの運動について考える。粒子と物体Aとの衝突はすべて弾性衝突とする。レールと物体Aとの間の摩擦、粒子と物体Aとの間の摩擦、および重力は無視する。また、粒子同士の衝突、および粒子とレールとの衝突も無視する。このとき、以下の問いに答えよ。
5 物体Ax軸の正の方向に速さVで動いているとき、時間の間に粒子が物体Aの面2に及ぼす平均の力のx成分を,面3に及ぼす平均の力をとする。物体Aの質量は粒子の質量よりも十分に大きく()、さらに時間は十分に短いため、間の物体Aの速さは一定とみなせる。の間に物体Aの面2、および面3に衝突する粒子の数をそれぞれとして、をそれぞれ求めよ。答はmvVq のうち適当なものを用いて表せ。
6 をそれぞれ求めよ。ただし、面2の体積をSとする。答はvVnqSのうち適当なものを用いて表せ。
7 十分に時間がたつと、物体Aは初速度によらずにx軸の正の方向に等速度運動をするようになる。物体Aの質量は粒子の質量よりも十分に大きいとして()、このときの物体Aの速さを求めよ。答はvq を用いて表せ。

解答 ‘95[1]でも出題された斜衝突をテーマとする問題ですが、高難度の上にボリュームもたっぷりで、試験時間内に解ききることは無理ではないかと思います。
入試問題としては問
3までで充分で、問3にしても、誘導をつけなければ、解答に至るために十分な立式をすることは困難ではないでしょうか。
なお、
衝突・合体・分裂の問題を参照してください。

1 粒子Bが受ける力積x成分はy成分はです。運動量の原理より、x方向について、
......[]
y方向について、
......[]
注.に注意してください。

2 衝突の前後で粒子B運動エネルギーが保存される(エネルギーの原理を参照)ので、
 ・・・①
1の結果を用いて、
これらを①に代入し、をかけて、

粒子Bは面2に垂直な力積を受けるので,よって、
......[]

3 衝突後の粒子B速度の大きさをu,面2に垂直な方向となす角をjとすると、斜面に沿う方向には力積を受けないので、粒子B速度の斜面に沿う方向の成分は衝突前後で変化せず、
 ・・・②
粒子Bは面2に垂直な力積(大きさ)を受けるので、面2に垂直な方向について、運動量の原理より、
 ・・・③
粒子Bが面2に垂直で大きさ力積を受けるということは、物体Aはこれと等大逆向きの力積を受けるということです(作用反作用の法則を参照)。物体Aが受ける力積は、粒子Bが受ける力積の反作用の水平成分に等しく、大きさは,向きはx軸正方向です。物体Aに関して、x軸方向の運動量の原理より、
 ・・・④
衝突時点で系に仕事をする外力は存在せず、衝突前後の系の運動エネルギーは保存され、
 ・・・⑤
②,③より、
 ・・・⑥
④より、
 ・・・⑦
⑥,⑦を⑤に代入して2倍すると、
整理して、
をかけて、
粒子Bは面2に垂直な力積を受けるので,よって、
......[]
注.④は系のx軸方向の運動量保存を意味しますが、y軸方向では、レールが物体Aに及ぼす垂直抗力が働くので、系の運動量は保存しないことに注意してください。

4 衝突後の粒子B速さu,粒子B速度x軸正方向となす角をjとすると、そのx成分はy成分はです。
粒子Bは面3に垂直な方向に大きさ力積を受けるので、x軸方向の運動量の原理により、
 ・・・⑧
粒子By軸方向には力積を受けないので、粒子B速度y軸方向成分は変化せず、
 ・・・⑨
x軸方向について、系の運動量保存より、
 ・・・⑩
衝突時点で系に仕事をする外力は存在せず、衝突前後の系の運動エネルギーは保存され、
 ・・・⑪
⑧,⑨より、
 ・・・⑫
⑧,⑩より、
 ・・・⑬
⑫,⑬を⑪に代入して2倍すると、
整理して、
をかけて、
粒子Bは面2に垂直な力積を受けるので,よって、
......[]

5 問3,問4は粒子1個が面2から受ける力積の大きさで、物体Aは粒子1個からこれの反作用となる力積を受けます。面2、面3に衝突する粒子が個、個ある場合には、物体Aの面2,面3が受ける力積の大きさはとなります。
よって、個の粒子が面2に及ぼす平均のx成分をとして、とすると、
......[]
同様に、個の粒子が面3に及ぼす平均のは、
......[] (の向きはx軸負方向)

6 問題文の説明が少々足りませんが、ここは問5の結果を用いてを求めるのではなく、問7のために、問5を粒子の密度nを用いて表すことが目標です。
時間の間に物体Ax軸方向に移動するので、面2に衝突する粒子の個数は右図の黄色着色部分に存在する粒子の個数です。この部分の体積は、底面積Sで、高さが右図よりなので、です。よって、
......[]
3に衝突する粒子の個数は右図の水色着色部分に存在する粒子の個数です。この部分の体積は、です。よって、
......[]

7 物体A等速度運動をするとき、物体Aに水平方向に働く力のつりあいより、
5,問6の結果より、
より、
......[]


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  1. 2009/06/22(月) 02:38:01|
  2. 09年物理
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阪大理系数学'09年後期[2]

阪大理系数学'09年後期[2]

以下の問いに答えよ。
(1) が無理数であることを証明せよ。
(2) abを有理数とする。多項式を満たすとき、abを求めよ。
(3) n2以上の自然数とする。は有理数を係数とするn次多項式で最高次の係数が1であるとする。となるとき、を示せ。

解答 実数係数のn次方程式:

が、
pqを実数として、虚数解 ()をもてば、その共役複素数も解になることが知られています。
同様に、有理数を係数とする
n次方程式:

が、
pqを有理数、を無理数として、を解に持てば、も解になることを示そう、という問題です。なお、高次方程式を参照してください。
(1)については整数を、(3)については多項式の除算因数定理を参照してください。

(1) 背理法で示します。が有理数だとして、 (pqは互いに素な自然数)とおけたと仮定します。分母を払って2乗すると、
 ・・・①
右辺は
3の倍数なので、q3の倍数であり、

とおけます。①に代入し、
 ∴

右辺は3の倍数なので、p3の倍数になりますが、pqがともに3の倍数ということになり、pqが互いに素とした仮定と矛盾します。
よって、が有理数であるとした仮定は誤りで、は無理数です。
(証明終)

(2)

(1)を用いると、

......[]

(3) 数学的帰納法で示します。
() のとき、2次方程式で、(2)より、となる有理数係数の2次の多項式で最高次の係数が1となるものは、となりますが、は、を解にもつので、が成り立ちます。
() のとき、有理数係数のk次多項式で最高次の係数が1となるをみたすならばが成り立つと仮定します。
有理数係数の次多項式で最高次の係数が1となるをみたすとして、
 ・・・②
とおきます。両辺各項の係数を比較することにより、は有理数係数の
k次の多項式で最高次の係数が1,有理数cの係数です。

ですが、より、

または
(i) のとき、②より、

(ii) のとき、は有理数係数で最高次の係数が1k次の多項式なので、仮定によりです。よって②より、
いずれにしても、のときもが成り立ちます。
()()より、n2以上の自然数、を有理数係数で最高次の係数が1n次の多項式だとして、のとき、が成り立ちます。

追記.(3)を直接的な方法で考えてみます。
を計算するためには、の形の数を考える必要があります。
ですが、これを、
jが奇数の項と偶数の項に分けて足すことにより、という形に書くことができます。つまり、
 ・・・③
jが偶数のときは自然数で、も自然数なので、は自然数です。また、
より、です。
③の両辺に、をかけて、


より、連立漸化式
 ・・・④
が得られます。のでき方からして、であることが推測できますが、
 ・・・⑤
 ・・・⑥
であることから、という形の数列を考えてみると、
より、初項:,公比:等比数列なので、
よって、⑤,⑥より、
 ・・・⑦
(但し、は有理数)として、③より、
であれば、(1)より、
⑦より、
これで示せました。


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  1. 2009/06/17(水) 19:31:17|
  2. 09年数学
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東京医科歯科大物理'09年[1]

東京医科歯科大物理'09[1]

地表に対して上下(鉛直方向)に自由に動くことができる実験室があり、この中で実験をする。実験室の運動は地表に置かれた座標系で考え、おもり(大きさは無視できる)の実験については実験室に固定された座標系で考えるものとする。重力加速度の大きさはgとする。また、実験室の加速度aは鉛直上向きを正として表し、の範囲にあるものとする。
以下の各問いに答えよ。
実験室の天井に、バネ定数が
kで自然長がである軽いバネが固定してある。実験室が静止している状態で、バネの他端に質量mのおもりをつけたところ、バネはだけ伸びて静止した(1)

1 バネの伸びを求めよ。

つり合いの位置からバネをdだけのばし、そっと手を離すとバネは上下方向に単振動を始めた。

2 このときのバネの振動の周期を求めよ。
3 おもりの最大の速さとそのときのバネの長さLを求めよ。
4 振動の途中、バネの長さが最小になったときに、実験室が一定の加速度aで動き始めた。実験室が動きだした後のバネの振動の振幅Aと周期を求めよ。ただし、一定の加速度aに達するまでの時間とその間のおもりの変位は無視できるものとする。

つぎに、実験室が一定の加速度aで動いている状態で、図2のように固定点Pを通る鉛直線とバネのなす角がq となるようにおもりが水平面内で回転させると、バネの伸びはとなった。回転中にバネは途中で曲がったりせず、伸びは変わらないものとする。

5 このとき、,および回転運動の周期を求めよ。

同じく実験室が一定の加速度aで動いている状態で、別の実験を行った。長さrの伸び縮みしない軽い糸の一端に質量mのおもりを付け、他端を実験室の側壁に固定した。おもりは側壁にそって鉛直平面内を自由に回転できるが、おもりと側壁の間に摩擦は働かないものとする。図3のように固定点を原点Oに、水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとり、おもりは反時計回りに点A,点B,点C,点Dの順に各点を通るものとする。ただし、回転角fは図3のように点Bから反時計まわりにとり、 ()とする。

6 点Aの位置でおもりを静かに放した。最下点Bでの糸の張力の大きさSを求めよ。
7 おもりが点Aから動きだし、ABCD→と順に通って一回転するためには、点Aで円(点線)の接線方向(右下向き)にどのくらいの速さでおもりを放たなければならないか。その最小の速さを求めよ。
8 問7で求めたで点Aからおもりを放つとき、糸が切れずにおもりが回転運動をするための実験室の加速度aの範囲を求めよ。ただし、この糸は強度に限界があり静止した実験室内で、質量が以上のおもりをつけて鉛直に垂らしたときに切れるものとする。
9 問8で求めた条件(実験室の加速度aが糸が切れずに回転運動する範囲内にあり、で点Aからおもりを放つ)およびでおもりが回転運動しているとき、おもりの運動エネルギーKを回転角fの関数として、その概形をからの範囲で図示せよ。

解答 問4までは単振動の基礎問題、問5はバネ付き円錐振り子の問題です。問6以降の不等速円運動で、重力による位置エネルギーを考えるときは、慣性力があるので、重力加速度gではなく、見かけの重力加速度を使って考えることに注意してください。問9という条件は結果に影響しません。どこでおもりを放しても、最上点(D)で糸の張力0になるような初速度を与えれば、おもりの運動エネルギーf依存性は同じです。

1 おもりに働く力のつり合いより、
......[]
2 加速度として、おもりの運動方程式
これは、角振動数単振動を表します。
周期は、
......[]
3 最初につり合いの位置(振動中心)からdだけバネを伸ばして初速度0で放したので、放した位置が振動端となり、振幅dです。
単振動の公式を用いて、
おもりの最大の
速さは、 ......[]
4 バネの長さが最小のとき、バネは振動中心(つり合いの位置)よりdだけ縮んでいるので、このときのバネの伸びです。
実験室が加速度aで動きだし、重力加速度gが見かけの重力加速度に変わっても、バネ定数kとおもりの質量mには変化はなく、単振動の周期も変化しません。
......[]
実験室が加速度aで動きだすと、おもりには慣性力が働きます。このときのバネの伸びとして、おもりに働く力のつり合いより、

このときの単振動の振幅Aは、振動端におけるバネの伸びと振動中心におけるバネの伸びとの差の絶対値に等しく、
......[]
5 鉛直方向でのおもりに働く力のつり合いより、

......[]
おもりは水平面内で半径で円周を描いて等速円運動します。向心力は、おもりに働くバネの弾性力の水平方向成分で、等速円運動の角速度wとして、おもりの向心方向の運動方程式は、
回転運動の周期は、
......[]
6 最下点(B)における運動方程式は、糸の張力S,おもりの速さとして、
 ・・・①
最下点を重力位置エネルギーの基準として、A点における力学的エネルギーは、位置エネルギーのみで、最下点における力学的エネルギーは、運動エネルギーのみです。力学的エネルギー保存より、
 ・・・②
①,②よりを消去して、
......[]
7 おもりが一回転するためには、最上点(D)で、糸の張力である必要があります。
おもりの速さとして、最上点における運動方程式は、
 ・・・③
最上点における力学的エネルギーは、運動エネルギー位置エネルギーです。ここでは、A点で放すときに初速度を与えるので運動エネルギーがあります。
A点と最上点との力学的エネルギー保存より、
 ・・・④
③,④よりを消去して、

より、
......[]
8 問7より
よって、A点における力学的エネルギーは、

A点と回転角fの時点(おもりの速さvとします)とにおける力学的エネルギー保存より、

 ・・・⑤
回転角fの時点での運動方程式
 ・・・⑥
⑤,⑥よりvを消去すると、

においては、のときにSは最大値をとります。糸が切れない条件は、

と合わせて、 ......[]
9 ⑤より、おもりの運動エネルギーKは、
グラフの概形は右図。


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  1. 2009/06/16(火) 20:12:58|
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九大理系数学'09年後期[1]

九大理系数学'09年後期[1]

nを自然数とする。において定義された関数
について、以下の問いに答えよ。なお、必要ならば、任意の整数mについてが成り立つことを用いてよい。
(1) の導関数を求めよ。
(2) 関数を求めよ。
(3) のときのの間に成り立つ関係式を求めよ。
(4) nを用いて表せ。

解答 の定積分は、とおく(置換積分を参照)と、tのときuより、
 ・・・①
とできるので、この形の方が計算しやすいかも知れませんが、問題文中の式のままやってみます。マイナスがたくさんつくので慎重に計算する必要があります。

(1) ややこしくてミスし易いので、の原始関数を,つまり、として計算することにします(定積分の微分(その2)を参照)

......[]

(2)  (不定積分の公式を参照)


......[]

(3) 定積分の漸化式では、部分積分するのが定石です。




(4) (3)の漸化式を繰り返して用いることにより、


・・・・・・

 (但し、とします)
ここでとすると、問題文の指定により、 (関数の極限を参照)
......[]

追記.①の定積分で表されるpの関数:
をガンマ関数と言います。
自然数
nに対して、です。


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  1. 2009/06/14(日) 23:44:04|
  2. 09年数学
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横国大工数学09年後期[2]

横国大工数学'09[2]

次の問いに答えよ。
(1) をみたす正の整数xyの組をすべて求めよ。
(2) をみたす正の整数xyの組をすべて求めよ。
(3) を因数分解せよ。
(4) nを正の整数とする。をみたす正の整数xyが存在することを示せ。

解答 (4)では、(3)の利用の仕方で少々悩むかも知れません。
20097の倍数です。なお、整数因数分解を参照してください。

(1) です。
より、であって、以下の3つの場合に限られます。
(i)
連立して解くと、
(ii)
(iii)
......[]

(2) より、に限られます。
このうち、yが正の整数になるのは、の場合と、の場合のみです。
......[]

(3)


......[]

(4) (2)より、として、
 ・・・①
をかけて、
 ・・・②
となるので、①にをかけて、
とできないか、と、考えてみます。
これは、
となるので、
である必要がありますが、41がネックとなって、mを整数にできそうもありません。そこで、(3)をどうにかするのだろう、ということになります。
まず、②によると、の場合に、とすれば、
になるわけで、の場合には、をみたすxyが存在します。
の場合には、②を
2乗して、
 ・・・③
となりますが、ここで、(3)を使って、とすると、
とできるので、

とすれば、
 ・・・④
とできることになります。の場合にも、をみたす
xyが存在します。
の場合には、④の、
にさらに、②のをかけて行くことになります。
この左辺を、(3)を使って、として変形すると、
とできるので、の場合にも、をみたすxyが存在します。
あとは、この流れを、
連立漸化式を用いて、数学的帰納法の枠組みに入れればよいわけです。以下のような答案にまとめられるでしょう。

nを正の整数とするとき、をみたす正の整数が存在することを数学的帰納法により示す。
() のとき、とすれば、より、成り立つ。
() のとき、をみたす正の整数が存在すると仮定する。
つまり、
この両辺に、をかけると、
(3)において、とすると、
より、
()
とすれば、
よって、のときも、をみたす正の整数が存在する。
()()より、nを正の整数とするとき、をみたす正の整数が存在する。


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  1. 2009/06/12(金) 18:37:07|
  2. 09年数学
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広島大理系数学'09年[3]

広島大理系数学'09[3]

曲線上の点Aにおける接線をとし、点Bを通り直線に平行な直線をmとする。直線mと曲線2つの交点PQx座標をそれぞれab (ただし)とする。直線と直線の交点を,直線と直線の交点をとする。次の問いに答えよ。
(1) 平行四辺形の面積Sab で表せ。
(2) 直線mと曲線によって囲まれる図形の面積Tabの多項式で表せ。
(3) 線分PQの中点Rは第2象限にあることを示せ。
(4) であることを示せ。

解答 不等式の証明に曲線の凹凸を利用する、という技巧が知られていますが、少々アレンジして凹凸を考えてみよう、という問題です。

(1) とします。
より、Aにおける接線は、
ここで、とします。同様に、Bを通りに平行な直線は、
m
として、と連立すると、
 ・・・①
のグラフは下に凸なので、右図より、方程式①は相異なる2実数解をもちます。題意より、小さい方の解がaで大きい方の解がb です。従って、
 ・・・②
が成り立ちます。

直線
mは直線y軸正方向に1平行移動させた直線なので、平行四辺形は、底辺の長さ1,高さの平行四辺形で、その面積Sは、
......[]

(2) 求める面積Tは、
②を用いて、
......[]

(3)(4) P,点Qy座標より、線分PQの中点Rが第2象限にある、ということは、Rx座標ということです。(4)と合わせて、
 ・・・③
を示せばよいわけです。
こうした問題で不等式の証明をする場合に、曲線の凹凸に着目するとうまく行く場合があります。
下に凸な曲線上の点はその接線から上に来るので、点
P,点Qに着目すると、
より、
 ・・・④
という不等式ができます。
また、下に凸な曲線上の
2PQを結ぶ線分 ()上の点は、曲線から上に来るので、PQの中点について、
と②より、
 ・・・⑤ (とおけば、相加平均・相乗平均の関係:が導けます)
という不等式ができます。ですが、④,⑤から③を導き出すことができません。本問では、凹凸に着目するだけでは、③よりも甘い不等式しか導けないのです。そこで、(1)(2)で考えた面積を利用して、曲線の凹凸の具合をもっと厳しく評価せよ、というのが題意です。
(1)(2)を使うと、曲線の曲がり具合について、直線mと曲線とで囲まれる部分の面積Tが平行四辺形の面積Sよりも小さいという不等式を作ることができます。
また、曲線が下に凸であることから、線分
PA上の点は曲線から上にあり、線分AQ上の点は曲線から上にあり、面積Tは、三角形PABの面積と三角形QABの面積の和、つまり、平行四辺形の面積Sよりも大きいという不等式を作ることができます。従って、

()
で割ると、

これで③が導けました。線分PQの中点Rは第2象限にあり、です。


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  1. 2009/06/11(木) 16:20:07|
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名工大数学'09年[2]

名工大数学'09[2]

楕円を原点を中心に反時計回りに角だけ回転して得られる曲線をCとする。
(1) 曲線Cの方程式を求めよ。
(2) 直線Cと共有点を持つような実数tの範囲を求めよ。
(3) すべての頂点がC上にあり、1辺がx軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ。

解答 斜めの楕円を考えるのですが、楕円を斜めにしなくても、首を斜めにして楕円をそのままで考えることもできます。

楕円の方程式:
 ・・・①
原点を中心に反時計回りに角q だけ回転する1次変換を表す行列は、
です(1次変換(その2)を参照)。点
を施すと、
に来ます。

(1) 求める曲線Cの方程式はの関係式になりますが、既知の式はxyの関係式①なので、の逆変換により、xyを用いて、
と表し、これを①に代入するようにします。すると、
整理して、


曲線の方程式は、と書き換えて、
......[] ・・・②

(2) 本問では回転後の方程式を求めているので、(1)の結果を利用して解答しても良いのですが、一般的には、楕円を反時計回りに回転するのではなく、楕円をそのままにして、直線の方を回転して考える方が便利です。
直線x軸に平行な直線で傾き0ですが、原点を中心に反時計回りに回転すると、傾きはになります。
この
直線の方程式を、
 ・・・③
とおくと、原点との距離がなので、
 ・・・④ (点と直線の距離を参照)
③のcと④のtの符号は一致します。
直線③の
y切片cが変化し、楕円①と共有点をもつとき、その限界において、直線③が楕円に接します。接点をとして楕円①の接線は、
この傾きはの場合を除いて、

接点は①上の点なので、
(複号同順)
のとき、③,④より、
 ・・・⑤
のとき、③,④より、
 ・・・⑥
tが⑤と⑥の間の値をとるときに、直線Cと共有点をもちます。
......[]
別解.①と③を連立し、

 ・・・⑦
判別式:

とすることもできます。
また、②でとして、

判別式:
とすることもできます。

(3) (2)と同様に楕円を回転するのではなく、直線の方を回転して考えます。
問題文のx軸に平行な辺が乗っている直線をとすると、これを原点を中心に反時計回りに回転すると、③,④より、
 ・・・⑧
もう1頂点が楕円上を動くとき、三角形の面積が最大となるのは、この頂点における接線が⑧に平行、つまり接線の傾きがになるときです。傾きの接線は2本ありますが、このうち、三角形の面積が大きいのは、⑤,⑥より、もう1頂点が、のときにはのときにはのときです。
楕円①は
x軸に関して対称なので、の方だけを考えることにします。三角形の高さhは、と⑧との距離として、
三角形の底辺の長さdは、楕円①と直線③との交点のx座標の差にをかけたものになります。⑦の2解の差は、
底辺の長さは、
よって、三角形の面積Sは、
 ()
とおくと、
においてにおいてより、のときに最大(関数の増減を参照)で、
Sの最大値は、 ......[]


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  1. 2009/06/09(火) 17:14:51|
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岡山大理系数学'09年[2]

岡山大理系数学'09[2]

2×2行列ABが、条件
を満たしているとする。ただし、Oは零行列を表す。このとき以下の問い(1)(2)に答えよ。もし必要であれば、行列に対して
 ・・・()
が成り立つことを使ってもよい。ただし、Eは単位行列を表す。
(1) ある数abに対してとなることを示せ。
(2) (1)においてのとき、を示せ。

解答 行列の対角和をネタにした問題です。
(2)では、を満たす行列が出てきますが、これを射影子(正しくは、擬射影子)と言います。スペクトル分解に出てくる行列で、任意のベクトルの固有ベクトルの方向への成分を作る働きを持っています。以下で、行列式については、逆行列を参照してください。

問題文の条件:

 ・・・①
行列に対して、行列X成分p成分qの和(対角和と言います)と書くことにします。つまり、です。
Xの行列式はなので、()を、
 ・・・②
と書くことができます(ハミルトン・ケーリーの定理を参照)

(1) が存在すると仮定して、条件①のの左からをかけると、
となって条件①に反するので、は存在しません(背理法を参照)
同様に、が存在すると仮定して、条件①のの左からをかけると、
となって条件①に反するので、も存在しません。

よって、行列A,行列Bに②を適用すると、
とすれば、となります。

(2) (1)より、
これより、とおくと、条件①を用いて、
 ・・・③
また、は、であることを意味します。
は行列
C成分と成分の和、つまり、成分と成分の和ですが、これは、行列A成分と成分の和と、行列B成分と成分の和、との和であって、
②より、行列Cについて、
となりますが、③より、
よって、とおいて、
 ・・・④
と書くことができます。再び③より、
なので、
は、④よりとなって、にはなり得ないので、不適。
よって、
④より、


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  1. 2009/06/06(土) 18:32:42|
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東北大理系数学'09年後期[4]

東北大理系数学'09年後期[4]

abcdを満たす実数、xについての3次式とする。で割った余りとで割った余りは一致するものとする。その余りをとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) とおくと、を満たす3次式であることを示せ。
(2) abcdのうち少なくとも2つは等しいことを示し、それを用いて、またはが成り立つことを示せ。
(3) 3次式
が条件を満たすとき、であることを示し、となることを示せ。

解答 
多項式の除算の問題ですが、文字と項の数が多いので面倒です。文字に関する対称性によく注意して式変形するようにしましょう。

(1) で割るときの商をとすると、余りがなので、
 ・・・①
で割るときの商をとすると、余りがなので、
 ・・・②
①より、
これより、
②より、
これより、
は、
2次式で割ったときの余りなので、1次式、もしくは定数です。
は、
3次式から1次式もしくは定数を引いた式なので、3次式です。
以上より、を満たす
3次式です。

(2) abcdが相異なる4実数だと仮定すると、3次方程式は高々3個の解しか持ち得ませんが、(1)より、なので、相異なる4実数解をもつことになってしまいます。ということは、abcdが相異なる4実数だとした仮定は誤りで、abcdのうち少なくとも2つは等しくなります(背理法を参照)
より、abcdの中に等しいものがあるとすれば、acか、あるいは、bdです。つまり、
または
です。

(3) で割ると、商は,余りはになります。つまり、
abに入れ替えると、同様に、
よって、
 ・・・①
また、
acbdを入れ替えることにより、
 ・・・②
①,②の
xの係数を比較して、
 ・・・③

より、


(2)
より、またはであれば、いずれにしても、


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  1. 2009/06/05(金) 18:29:32|
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阪府大物理'09年前期[1]

阪府大物理'09年前期[1]

1に示すように、水平面から傾きqの斜面をもった質量Mの台を水平な床面上におき、その斜面上の床面から高さの位置Aに質量mの大きさが無視できる小球をおく。ただし、台の側面のOQは床面に垂直である。台を床に固定しておき、小球を静かに離すと、小球は斜面上を滑り落ち、高さhの台の端Oを通過した後、点Qから距離Lだけ離れた床面の点Pに落下した。台の斜面と小球との間に摩擦はなく、空気抵抗は無視できるものとする。重力加速度の大きさをgとして、以下の問に答えよ。
(1) 小球が斜面に沿った方向に、加速度の大きさaで運動しているとして、小球の斜面に沿った方向についての運動方程式を書け。
(2) 小球が点Aから点Oまで移動するのに要する時間tを、hgqのうち必要なものを用いて表せ。
(3) 小球が点Oを通過する瞬間の速さを、hgqのうち必要なものを用いて表せ。
(4) PQ間の距離Lを、hgqのうち必要なものを用いて表せ。

次に台の固定をはずし、台が床面を自由に運動できる場合を考える。なお、台と床面との間に摩擦はなく、台の底面は床面から離れることはないものとする。小球を再び床面から高さの位置Aにおいた後、静かに小球を離すと、小球が斜面を滑り落ちると同時に台は右の方向に動き出す。小球が台の斜面を滑り落ちて、点Oを通過する瞬間における、小球の台に対する斜面に沿った方向の速さを,台の床面に対する速さをとして、以下の問に答えよ。
(5) 小球を点Aから離した瞬間と、小球が点Oに達した瞬間との間において、小球と台の水平方向についての運動量保存の法則を、mMgqのうち必要なものを用いて等式で表せ。
(6) 小球を点Aから離した瞬間と、小球が点Oに達した瞬間との間において、小球と台の力学的エネルギー保存の法則を、mMghqのうち必要なものを用いて等式で表せ。
(7) を、mMghqのうち必要なものを用いて表せ。

解答 相対運動の標準問題です。

(1) 小球に働くの斜面に沿う方向の成分は、重力の斜面に沿う方向の成分で
斜面に沿う方向での小球の運動方程式は、
......[]

よって、小球の斜面に沿う方向の運動は等加速度運動です。

(2)小球は、この間に斜面に沿って動くので、等加速度運動の公式より、
......[]

(3) 等加速度運動の公式より、
......[]

(4) Oを通過した後の小球の運動は、水平方向に速さ等速度運動、鉛直方向に加速度g初速度等加速度運動です。
Oを通過してPに落下するまでの時間として、等加速度運動の公式より、


......[]

(5) 床面で小球の運動を見るとき、小球の速度の水平成分は、,鉛直成分はです。水平方向の運動量保存則より、
......[]
 ・・・①

......[]
 ・・・②

(7) ①を②に代入して、

......[]


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金沢大理系数学'09年[2]

金沢大理系数学'09[2]

関数は区間で連続で、偶関数、すなわちであるとする。次の問いに答えよ。
(1) を示せ。
(2) 関数 ()について

を示せ。
(3) 関数は、さらに等式
 ()
を満たすとする。このとき、関数について

が成り立つことを示し、を導け。

解答 本問だけだと、単なる計算問題ですが、物理の単振動を背景としている問題です。

(1) において、とおくと、tのとき、u
 (置換積分を参照)

(2) 絶対値を含む定積分は、絶対値記号内が0以上になるように積分区間を分割して計算します。においてはにおいてはです。

 (定積分と微分を参照)
 ・・・①

(3) ,また、(2)の結果より、
 ・・・②
 ・・・③
③においてとすると、
③を微分すると、
 ・・・④
①において、とすることにより、
 ( (1))
とおくと、
 ・・・⑤
④を微分すると、
 ( )
⑤より、
(C:定数)
より、

これより、恒等的に

追記.この問題で、積分するときの変数をsxt,積分の下端をと上端をTと書き直すと、
 ()

になります。を満たすとして、
 ・・・⑥
とおくと、
より、Etに依存しない定数になりますが、これは、力学的エネルギー保存則を表しています。物体の質量をmとして、は運動エネルギー,は位置エネルギーを表しています。本問では、の形が与えられてしまっていますが、⑥より、

となり、両辺をtで積分し、とおくと、tのとき、qより、

本問では、となるような条件設定がされています。

なお、同じようなことをすると、
単振動の運動方程式を微分方程式を持ち出さずに解くことができます。時刻tに位置xにいる質点が変位に比例する復元力を受けて運動しているとします。質点の速度は,加速度は
質点の
運動方程式は、,つまり、
 ・・・⑦
⑦は、線形二階微分方程式と呼ばれるものですが、高校数学の範囲では解くことができません。ですが、エネルギーに着目すると、
質点の力学的エネルギー:は、

 ( )
よって、力学的エネルギーEは時間が経過しても一定(力学的エネルギー保存則が成立)です。
より、
これよりには最大値が存在しますが、これを
Aとおく(振幅)と、のときなので、

 (とおいた)
逆関数の微分法の公式を用いて、
のとき,時刻tにおいてだとします。
両辺を
xの範囲で積分すると、
とおくと、xのときj




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