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早大教育数学'09年[4]

早大教育数学'09[4]

正の整数nに対して、集合の部分集合Mで条件
ならば
をみたすものを考える。このような集合Mに対してMの要素の個数をとするとき、の取りうる最大値をと表す。
次の問いに答えよ。

(1) n4の倍数のとき、が成り立つことを示せ。
(2) n4の倍数のとき、も成り立つことを示せ。
(3) を求めよ。

解答 (1)(2)は抽象的で考えづらい難問です。こうした問題は、程度として具体的に考えるようにします。
集合の部分集合Mで条件
ならば ・・・()
をみたすものというと、例えば、
は条件()を満たします。ですがです。
同様に、も条件
()を満たします。
のとき、
M1個の要素をもつので、です。
は条件
()を満たしません。のときとなってしまいます。
は条件
()を満たします。ならばならばとなっています。のときです。
も条件
()を満たします。このときです。
のとりうる最大値をとする」というのは、の場合、集合の部分集合をいろいろと考えて、条件
()をみたす部分集合を作ったときに、もっとも要素数の大きなものを考える、ということです。条件()をみたす部分集合Mの中に、12は同居せず、36は同居せず、というように考えて行くと、
のときのが最大要素数の部分集合になります。であれば、です。となるMは、他にも、などが考えられます。
そして、
(1)の問題文は、という不等式が成り立つことを示せ、と、言っているわけです。
というのは、集合の部分集合の中で条件
()をみたすものを考え、それらの中の最大要素数です。12は同居できないので、ということはあり得ません。条件()を満たすのは、で、です。
なので、は満たされています。
また、
(2)も満たされています。

さて、
(1)ですが、のとき、となる部分集合Mの中で、に注目します。この集合は、のときのを与える部分集合と、を満たす要素xから成る部分集合に分けることができます。の要素数は6なので、という不等式は、
のときに最大要素数を与える部分集合は、のときに最大要素数を与える部分集合の要素と、を満たす個の要素をすべて含んでいる。
と、言うことを示せばよいことになります。
一般の
nの場合を示すときには、以下とそれ以外とに分けて示すことになります。

(1) とします。
n4の倍数のときは正の整数で、集合は、の部分集合です。
の部分集合であって、条件
()を満たし (とおく)となる集合の要素はm個ありますが、それを小さい順に、,・・・,とします。
 ・・・①
また、,・・・, ・・・② です。
を満たす個の要素
xから成る集合は、条件()を満たします。つまり、であれば、です。
なぜなら、より、 ・・・③ となるからです。
ここで、を考えます。
,・・・,については、①より、であって、②を合わせて考えると、
,・・・,
また、,・・・,
nについては、③より、その2倍はの要素ではありません。
従って、のすべての要素について、であり、の部分集合で条件
()を満たします。また、より、
以上より、の部分集合Mで条件()を満たすものに対してMの要素の個数をとするとき、の取りうる最大値をとすれば、

(2) (1)に対し、の部分集合で条件()を満たしだとします。
つまり、は条件()を満たすの部分集合の中で最大要素数の集合(必ずしも一通りではありません)だとします。
の要素の中で以下の要素の個数を
kとすると、 ・・・④ です。
これを
背理法で示します。仮に、の要素の中で以下のものが個以上あるとして、そのうちのm個で集合を作ったとします(に入らない要素をbとします)。任意のについて、でもあるのでですが、であれば、 ()であって、(1)の集合の部分集合であって条件()を満たすので、,つまり、は条件()を満たす最大要素数の集合です。ところが、かつかつとなるbが存在し、,従ってなので、bを付け加えてできる集合もの部分集合であって条件()を満たしてしまいます。これは、が最大要素数の集合であることと矛盾します。よって、④が成り立ちます。
の要素の中で以上の要素の個数を
Kとすると、 ・・・⑤ です。
なぜなら、は、以上
n以下の整数の中では、を満たす奇数x (全部で個あります)と、を満たすy (個あります)について、y ()のいずれか1(yの中で同居しません)の計個,合わせて、個以外の要素を持ち得ないからです。
④,⑤より、


(3) (1)(2)より、n4の倍数のとき、
です。
4の倍数なので、
 (4の倍数)
・・・・・・
のとき、集合の部分集合で、条件()を満たす集合であって、要素数最大のものはで、です。
は、初項,公比4等比数列62項の和として、
......[]


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  1. 2009/05/30(土) 10:03:24|
  2. 09年数学
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横国大工数学'09年後期[3]

横浜国大工数学'09年後期[3]

xy平面上の領域で、方程式が表す曲線をCとする。正の数tに対して、直線Cと異なる2QRで交わるとき、次の問いに答えよ。
(1) Cを極座標に関する方程式で表し、rのとり得る値の最大値を求めよ。
(2) QRの座標をtを用いて表せ。
(3) 線分QRの長さが最大となるtの値を求めよ。

解答 なかなか素直に行かない微分の計算問題です。

(1) C ・・・①
に、 (より、)を代入する(極座標を参照)と、

のときには、
 ・・・②
ここで、とすれば
()となるので、②での場合を含んでいます。
注.現行の高校の教科書ではであることが想定されていて、の範囲においては、②でとなります。ですが、も許すことにする
(2象限、第3象限の部分にもグラフができます)と、極方程式②の表す曲線は右図のようになります。曲線Cに当たる部分を黒線、それ以外の部分を灰色の線で描きました。

②の右辺をとおくと、

 (商の微分法を参照)
この分子は、


より、においては増加、においては減少(関数の増減を参照)。よって、 ()の最大値は、
......[]

(2) ①を変形して、

 ・・・③
を代入して、
③より、
整理して、

相異なる2実数解をもつのは、根号内(判別式)が正のとき(2次方程式を参照)、つまり、のときで、問題文のという指定により、
このとき、
(複号同順)
よって、交点QRの座標は、 (複号同順) ......[]

(3) 直線③の傾きはなので、線分QRの長さは、QRx座標の差の絶対値の(直線の方程式を参照)で、

とおくと、
とすると、においては、
においては増加、においては減少。よって、線分
QRの長さ、即ち、を最大とするtの値は、 ......[]


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  1. 2009/05/29(金) 12:21:31|
  2. 09年数学
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阪大物理'09年後期[3]

阪大物理'09年後期[3]

音波について考えよう。
Ⅰ.気体や液体の一部分の圧力や密度を微小変化させると、その圧力や密度の変化は疎密波となって伝わっていく。これが気体や液体の中を伝わる音波である。音波の伝わる速さvは気体や液体の性質で決まる。この速さvを求めてみよう。
1のように、十分大きい筒の中にある液体の左端の部分を右向きに短い時間少し押すと、その部分の液体が圧縮され、その変位は右向きに形を変えないで速さvで伝わっていく。これをパルスという。液体に力を加える前の圧力をP,単位体積あたりの質量をrとする。パルスの部分は圧力がだけ大きくなっている。
圧縮されたパルスと一緒に右向きに一定の速さ
vで動く観測者から見てみよう。観測者から見ると、パルスは静止しているが、液体は左向きに速さvで動いている。図2のように、このパルス部分に短い時間の間に右から入ってくる長さの小さな液体の部分Lの運動を考える。Lの質量は一定であるが、の間に、パルスの中に入り、圧力はPからに、体積はからに、速さは左向きにvからに変化する。
1 以下の文中の  にふさわしい数式を解答欄に記入せよ。
筒の断面積をSとすると体積 (1) である。Lの左側の圧力は,右側の圧力はPだから、Lにはたらく力は右向きに (2) である。この力によりLは、後、パルスの中に入ったとき、速さは左向きに ()となって減速される。Lの加速度は、右向きを正として、,質量は (3) だから、運動の第2法則を使って、rvの間に (4) の関係式を得る。
であった
Lの体積は後にはとなる。Lの左端と右端がの間に各々進んだ距離を考えると、Lの長さはとなるので、vの間には (5) の関係があることがわかる。
さらに、体積の変化と圧力の変化に対しを定義する。
Bvrを使って上で求めた関係式(4)を表すと (6) となり、音波の伝わる速さvBrで表されることがわかる。
気体の場合も、同様の議論が成り立つ。大気中を伝わる音波の場合、
BPに比例することが示せ、である。その結果、を代入するととなる。

Ⅱ.媒質中を音波が伝わる速さをvとする。音源から振動数fの音波を発する。図3に描かれているように、音源は観測者に向かってVの速さで、観測者は音源に向かっての速さで運動している。このとき、観測者が観測する音波の振動数を求めてみよう。およびとする。
2 以下の文中の  にふさわしい数式を解答欄に記入せよ。
時間tの間に、音源は個の波(1波長分を1個と考える)を出し、波面はだけ進む。その間、音源は観測者に向かってだけ移動している。このことを考慮すると、観測者に向かって進む音波の波長は (7) となる。一方、観測者は媒質に対して速さで音源に向かって動いている。媒質の中を音波は速さvで伝播するから、観測者から見る音波の速さは (8) となる。したがって、観測される音波の振動数は、(7)(8)を使ってfvVで表すと (9) となる。

Ⅲ.次に、静止している音源から、音源に向かって速さVで近づいている物体に向かって振動数fの音波を出す。物体によって、音波は反射され、音源の場所に戻ってくる。
3 問2の結果を応用して、音源の場所に静止している検出器で観測される音波の振動数を求めよ。
4 図4のように人体の中にある動脈を流れる血液を考える。皮膚の上から、血流に45度の角度で、発信器からの超音波を発し、流れている赤血球に反射されてかえってきた超音波の振動数を検出器で観測したところ、だけ大きくなっていた。赤血球の流れの速さを、有効数字二桁の精度で求めよ。計算の過程も記述せよ。ただし、人体内での超音波の速さはとする。である。

解答 前半は、音速をどうやって求めるか、とうことをテーマにした問題です。後半は、ドップラー効果を利用して血流の速さを求めてみよう、という趣旨になっています。

Ⅰ.問1(1) 筒の断面積はSLの長さはだから、Lの体積は、
......[] ・・・①
(2) Lが左側から受ける力の大きさは,右側から受ける力の大きさは
Lに働く力は右向きに、
......[]
(3) 単位体積当たりの液体の質量(密度)rだから体積をかけて、Lの質量は、
......[]
(4) 運動の第2法則(運動方程式)より、
......[]
(5) 後のLの体積は、 ・・・②
②-①より、 ・・・③
題意の指定に沿って
Sを消去するために、③÷①として、
......[]
(6) (4)の結果をで割ると、
両辺にをかけて(5)の結果を使うと、

より、
......[]
注.気体の場合、問題文では、天下り的にと書いてありますが、以下のようにして導くことができます。
短い時間の間に、気体の絶対温度が
Tからに変わるとして、
状態方程式: ・・・④
後の
状態方程式 ・・・⑤
2次の微小量として無視すると、⑤-①より、
 ・・・⑥
短い時間の間では、気体は熱のやりとりをする余裕がないので、
断熱変化をすると考えます。時間の間に気体のした仕事,気体の定積モル比熱として内部エネルギーの変化は熱力学第一法則より、

これを⑥に代入すると、
 ・・・⑦
マイヤーの関係式より気体の定圧モル比熱は、
比熱比を用いると⑦は、
 
(ここから、として積分するとポアッソンの関係式: が導けます)
これより、
気体が空気の場合、酸素、窒素は2原子で分子を作るので、2原子分子理想気体として、
よって、となります。なお、と、のときの体積がであること、摂氏温度 (絶対温度Tは、)を用いて、
を書き直すと、④より、
ここで、を微小量として近似を行うと、
という、音速の摂氏温度依存性を表す、よく知られた関係式が得られます。

Ⅱ.問2(7) 波面の先頭が進み、音源が進むので、波面の先頭と音源との距離はです。この距離の中に個の波があるので、波長l(1個分の長さ)は、
......[]
(8) 観測者から見た音波の速度は、
観測者から見た音波の速さは、 ......[]
(9) 観測される振動数は、波の公式より、
......[]

Ⅲ.問3 まず、物体に観測者がいると考えると、速さVで音源に近づく物体が振動数fの音源の発する音を聞くので、物体が聞く振動数は、
物体がこの振動数の音を反射し、この物体が音源になると考えると、速さVで近づく振動数の音源の発する音を静止している検出器が聞く振動数は、
......[]
4 赤血球の流れの速さをVとして、超音波の伝播方向の赤血球の速度成分は、です。問3の結果より、音源の発する振動数と検出器で観測する振動数の差は、

......[]


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  1. 2009/05/28(木) 19:19:57|
  2. 09年物理
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北大理系数学'09年前期[5]

北大理系数学'09年前期[5]

自然数nに対して
とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) で表せ。
(3) を求めよ。
(4) を求めよ。

解答 定積分の漸化式は、部分積分に持ち込むのが定石ですが、だけは、

を利用するので注意してください。

(2)で得られる漸化式で、としてみれば、(4)の形が見えてきて、全体のストーリーが見渡せます。

(1) ......[] (不定積分の公式を参照)

(2)

 (置換積分を参照)
......[]

(3) (2)で得られた漸化式で、として行くと、



・・・・・・
 ・・・①
となり、(4)の形が見えてくるので、(3)とやって、最後は、とするのだろう、という、この問題のストーリーが見渡せます。
①の形では、のときを示すのは大変です。
そこで、元の定積分の形を見ることになりますが、被積分関数のを何らかの不等式ではさむのだろう、というアイデアが湧きます。
においてなので、です。
各辺に積分記号をつけると、すべての自然数
nについて、
 ・・・②
(2)の不等式を利用すると、より、

ここでとすると、なので、はさみうちの原理より、
......[]
注.②のだけでは、が収束することはわかりますが、極限値がわかりません。のときに0に収束するものをもってきて上から抑えてやる必要があります。
のグラフがを通り、において下に凸であることを利用すると、においてという不等式が得られます。これより、
ここからも、が言えます。

(4)  ・・・③ を数学的帰納法で示しておきます。
() のとき、③において、となりますが、(1)の結果より成り立ちます。
() のとき、③が成り立つと仮定すると、
(2)の漸化式を用いて、


 (kの上端の値に注意)
よって、のときにも、③が成立します。
()()より、すべての自然数nについて、③が成り立ちます。
(3)より、のとき、
......[]


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  1. 2009/05/26(火) 12:16:56|
  2. 09年数学
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静岡大理系数学'09年前期[1]

静岡大理系数学'09[1]

次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して、21で割り切れることを証明せよ。
(2) 次の条件を満たす定数でない多項式を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。
(a)
(b) すべての自然数nに対して、で割り切れる。

(2)は平凡にやってもできますが、因数定理を利用するとラクに証明ができます。

(1) 数学的帰納法により証明します。
() のとき、21で割り切れるので、成り立ちます。
() のとき成り立つと仮定すると、
(m:整数) ・・・①
とおくことができます。
のとき、


 ( )
は、21で割り切れるので、成り立ちます。
()()より、すべての自然数nに対して、21で割り切れます。(証明終)

(2) とおきます。


をともに割り切る多項式はなので、と推定することができます。
より、条件(a)は満たされています。
が条件
(b)を満たすことを、数学的帰納法で証明します。
() のとき、は、で割り切れます。
() のとき、で割り切れると仮定すると、
 ・・・②
とおくことができます。但し、xの多項式です。


 ( )
よって、のときも、で割り切れます。
()()より、すべての自然数nに対して、は、で割り切れます。(証明終)
別解.が条件(b)を満たすことについては、以下のように証明することもできます。
の解は、
とすると、
2解は、です。つまり、
 ・・・③
より、,また、
とおくと、③より、ゆえ、
 ( )
よって、因数定理より、は、でもでも割り切れて、で割り切れます。


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  1. 2009/05/25(月) 16:26:21|
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九大理系数学09年前期[3]

九大理系数学'09[3]

曲線の点Pにおける法線と点Qにおける法線の交点をRとする。ただし、とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) baに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。Aの座標をaで表せ。
(2) Pが曲線上を動くとき、(1)で求めた点Aが描く軌跡をとする。曲線と軌跡の概形を描き、の交点の座標を求めよ。
(3) 曲線と軌跡で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答 単なる微積の計算問題ですが、背景があります。
曲線


(1) のとき、点Pにおける接線の傾きはa,法線の傾きはです。法線の方程式は、
整理して、 ・・・①
同様に、点
Qにおける法線の方程式は、
 ・・・②
①,②を連立すると、


より、Rx座標は、
 ・・・③
①より、Ry座標は、
 ・・・④
のとき、点Pにおける法線は、,従って、Rx座標も0
②においてとすると、Ry座標は、
③でとすると、
④でとすると、
従って、③,④は、の場合でも成り立ちます。
baに限りになく近づくとき、
 (関数の極限を参照)
よって、A ......[]

(2) 軌跡に関して、 ・・・⑤
aを消去すると、

 (微分の公式を参照)
において、yxの減少関数(関数の増減を参照)
において、
yxの増加関数。
また、は上に凸な曲線
(関数の凹凸を参照)
のとき、
のときのとき
(注.これより、で尖っていることがわかります。これを尖点(せんてん)と言います)のとき
曲線と軌跡の概形は右図。
に⑤を代入すると、
⑤より、
の交点は、
......[]

(3) ⑤よりaを消去すると、
求める面積Sは、y軸に関する対称性を考慮して、
......[]

追記.
本問の類題として次の問題があげられます。防衛医大
'95[4]です。

関数をみたしている。曲線上の相異なる
2点をPQとして以下の問いに答えよ。
(1) の点Pにおける法線と点Qにおける法線の交点Rの座標を求めよ。
(2) のとき、線分PRの長さの極限値を求めよ。
(3) のとき、(2)の極限値を最小にするaの値を求めよ。

解答 かなり面倒ですが、本問と同様に素直に計算していきます。

(1) Pにおける法線は、
 ・・・①
Qにおける法線は、
 ・・・②
①,②を連立して、
交点Rx座標は、
......[]
①より、交点Ry座標は、
......[]

(2) とすると、

より、


(3) (2)の結果で、とすると、より、
とおくと、
とすると、より、 (底はe)
においてにおいてより、
PRを最小にするaは、 ......[]

九大'09年前期[3]の本問は、この防衛医大の問題で、とした場合にあたります。
曲線上の点においてこの曲線と接する円でこの曲線の微小部分を最もよく近似するものを曲率円
(あるいは、接触円)と言いますが、九大の本問で求めたは曲率円の中心になっています。
防衛医大の解答の途中に出てきた、の極限

が、一般的な場合の曲率円の中心です。曲線上を動く動点における曲率円の中心が描く軌跡(九大の本問で図示した軌跡)を縮閉線と言います。
防衛医大の問題で求めている
PRの極限は、曲率円の半径になっていて、曲率半径と言います。20054月に尼崎市で電車がカーブを曲がりきれずに脱線しマンションに激突する、という悲しい大事故が起きましたが、曲率半径はカーブの曲がり具合を考える上での重要な要素です。


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  1. 2009/05/23(土) 22:32:57|
  2. 09年数学
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早大理工物理'09年[2]

早大理工物理'09[2]

以下の問の答を解答用紙の解答欄に記入せよ。
摩擦なく動くピストンを備えた同形の容器を体積が無視できる細いパイプでつなぎ、容器全体に
1モルの単原子分子理想気体を封入した装置(図参照)について考えよう。2つの容器はパイプでつながっているので、気体の圧力は装置内のどこでも同一になる。
容器は高温物体に、は低温物体に接し、容器内の気体の温度はそれぞれ絶対温度
Tに保たれている。高温物体,低温物体と接している面を除き、容器およびピストンは熱を通さない素材でできている。
パイプには、容器内の気体とだけ熱をやりとりする「再生器」と呼ばれる装置
Gが備えられている。再生器Gはエネルギーを蓄えており、容器からに移動する気体を温度Tからに加熱、からに移動する気体をからTに冷却し、加熱時に放出した熱を冷却時に回収する。

図の装置について次の
4つの状態を考えよう。ただし、気体定数をRとする。

状態
A:容器内の気体の体積が等しくVである状態(総体積は)。このときの装置内の気体の圧力をとする。
状態
B:気体の圧力が状態Aと変わらずで、装置内の気体の総体積がになった状態。
状態
C:気体の圧力がとなり、装置内の気体の総体積が状態Bと変わらずの状態。ただし、実数xを満たし、圧力の変化率を表す。
状態
D:気体の圧力が状態Cと変わらずで、装置内の気体の総体積がになった状態。

1 状態Aの圧力を、TVおよびRで表せ。
2 状態Bにおける容器内の気体の体積を、TVRのうち適当なものを用いて表せ。
3 状態Cにおける容器内の気体の体積を、TVxRのうち適当なものを用いて表せ。
4 2つのピストンを同時にゆっくりと動かし、圧力をに保ちながら、装置の状態をAからBに変える。このとき、装置全体が外にした仕事およびピストンに気体がした仕事を、TVxRのうち適当なものを用いて表せ。
5 2つのピストンを同時にゆっくり動かし、総体積をに保ちながら、装置の状態をBからCに変える。この際に装置全体が外にした仕事およびピストンに気体がした仕事を、TVxRのうち適当なものを用いて表せ。ただし、x1より十分小さいとする。必要があれば、気体の体積変化が小さいときに気体がした仕事は、変化前の圧力pを用いてと与えられることを利用せよ。

装置の状態を、圧力を一定に保ちながらAからB,総体積を一定に保ちながらBからC,再び圧力を一定に保ちながらCからDにゆっくり変え、さらに総体積を一定にしてDからAにゆっくりと戻す過程をサイクルABCDAと呼ぼう。このサイクルについて考えよう。

6 圧力の変化率x1より十分小さいとする。装置の状態をサイクルABCDAに従って変化させるとき、装置全体が外にした仕事Wおよびピストンに気体がした仕事Yを、TVxRのうち適当なものを用い、に比例する項を無視して求めよ。必要があれば、近似式 (ただし、abは定数)を用いよ。
7 装置の状態をサイクルABCDAに従って変化させるとき、装置が高温物体から受け取る熱量Qを求めよう。再生器の働きのため、一連の状態変化の際に、容器からに移動した気体の量と、容器からに移動した気体の量が等しいとき、容器内の気体が容器内の気体および再生器Gから受け取る熱量と、内の気体が内の気体およびGに放出する熱量は等しい。このことと熱力学の第一法則を利用し、熱量Qを、WYのうち適当なものを用いて表せ。ただし、状態変化CDに伴い装置全体が外にした仕事を,ピストンに気体がした仕事をとした。
8 装置の状態をサイクルABCDAに従って変化させるとき、装置全体が外にした仕事Wを、装置が高温物体から受け取る熱量Qで割った量を、このサイクルの効率と呼ぶ。問6,問7の結果を利用し、効率を求めよ。

久々に見た物理の難問です。気体が移動してしまうので、装置全体としてpV図を描いて仕事を考えることができません。問7の意味不明のヒントから何を読み取るか、ということが問われています。再生器Gを意識せず、容器絶対温度になった気体が容器に移動し、容器絶対温度Tになった気体が容器に移動する、と、考えましょう。

容器
1,容器2の気体のモル数を,容器1,容器2の気体の体積とします。
 ・・・①
また、状態A (),状態Dにおいては、 ・・・②
状態
B,状態Dにおいては、 ・・・③
以下、状態
ABCDにおいて、の値が変化することに注意してください。

1 状態Aにおいて、
容器状態方程式 ・・・④
容器状態方程式 ・・・⑤
④÷⑤より、
①より、
⑤に代入すると、
......[]

2 状態Bにおいて、
容器状態方程式 ・・・⑥
容器状態方程式 ・・・⑦
⑦÷⑥より、
③より、
 ・・・⑧
⑦に代入して、
1の結果より、

これと①を連立して、
⑧に代入して、 ......[]

3 状態Bと状態Cの違いは、圧力だったものがに変わったことで、⑧式は状態Cにおいても成立します。
容器状態方程式
1の結果より、

これと①を連立して、
⑧に代入して、
③より、
......[]

4 ABにおいて、装置内の気体の体積変化は、
1の結果を用いて、
......[]
容器内の気体の体積変化は、
......[]

5 BCにおいて、装置全体では定積変化なので、気体は外部に対して仕事をせず、
......[]
容器内の気体の体積変化は、
......[]

6 状態Dにおいて、
容器状態方程式 ・・・⑨
容器状態方程式 ・・・⑩
⑨÷⑩より、
②より、
 ・・・⑪
⑩に代入し、
1の結果を用いて、

これと①を連立して、
⑪に代入して、
CDにおいて、気体の体積変化は、
1の結果を用いて、
DAは、装置全体では定積変化で、気体のした仕事は、
......[]
CDにおいて、容器内の気体の体積変化は、
ピストンに気体がした仕事は、
DAにおいて、容器内の気体の体積変化は、
ピストンに気体がした仕事は、
また、
として、
......[]

7 状態ABCDのいずれにおいても、高温の熱源は容器内の気体にを放出し続けていて、低温の熱源は容器内の気体から熱を奪い続けていることに注意します。問題文のヒントは、の移動が容器から容器への気体の移動に伴って起こることを指摘していると考えてください。
容器熱力学第一法則を考えると、状態Aから始まって状態Aに戻ってくるので、1サイクルでの内部エネルギーの変化は0です。1サイクルで容器1内の気体がした仕事は問6Yです。よって、熱力学第一法則より、装置が高温の熱源から受け取る熱量Qは、
......[]

8 装置の効率hは、気体が外部にした仕事を高温熱源が供給したで割って、
......[]


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  1. 2009/05/22(金) 23:06:47|
  2. 09年物理
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慶大理工数学'09年[B1]検討

慶大理工数学'09[B1]検討

[B1](解答はこちら) 直交変換をネタにした、京大理系'09年乙[4]とほぼ同一内容の問題です。もちろん、直交変換そのものは高校の範囲外ですが、高校の内容に通ずる関連事項も多いので、入試でも採り上げられます。「直交変換」という名前を覚えても得るものはありません。円を円自身に移す変換は、回転と対称移動になる、ということを理解しておけば充分です。よくよく考えれば、当然のことと納得がいくでしょう。
自分のやるものはこれだけ、と、決めてしまって、周囲のアドバイスも全く受け入れずに、ひたすら自分の可能性を狭めてしまう受験生を時々見かけるのですが、こういう問題が入試に出てくる、ということは、視野を、高校数学の外に広く向けておく必要がある、ということです。そもそも、何のために受験勉強するのか、と問われたときに、大学に行きたいから、ということでは困ります。より高度な専門的な勉強をしたいから、ということでなければ、受験勉強にも身が入らないでしょう。であれば、時々は、大学でどんなことをやるのだろう、と、興味を持っておくことも大切です。そうしたことで、こうした問題にも取り組めるようになるのです。
ただ、この問題は、具体的に円と直線の交点の座標を求めるようになっているので、解答の注.に書いておいたような方法で、幾つか点をとって行列を求めることができた受験生が多かったようです。ということは、抽象的に見える問題では、具体的に事例を挙げながら考えて行くと、問題が解ける、ということです。



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  1. 2009/05/20(水) 21:36:56|
  2. 慶大理工'09年
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慶大理工数学'09年[A4]検討

慶大理工数学'09[A4]検討

[A4](解答はこちら) 問題文、解答を読んでいかがでしょうか。何を言っているのかわからない問題文、何を言っているのかわからない解答、と、思う方と、簡単なことをバカ丁寧に書いている、と、思う方に分かれるのではないか、と、思います。
冷たく言うと、慶大理工に合格できるのは、後者の皆さんです。
慶大理工を目指す諸氏は、のグラフを頭に思い描きながら、問題文が何を言っているのか、は結局何なのか、何をすれば解答できるのか、ということを考えられるようにしてください。将来、研究者、技術者として社会の第一線に立つためには、自分が設計開発しているものが実際に形になったときに、どういう風に機能してどんな問題点が生じるのかを設計段階でイメージできることが最低限の条件です。これができないと、命令された通りに図面を描き、仕様書通りにコーディング・テストを行うだけの熟練技能者として扱われてしまいます。技術者として勝ち組になれるか負け組になってしまうかがここで分かれてしまうのです。
火を噴くテレビ、ガス漏れするストーブ、タイヤが外れてしまうトラック、銀行
ATMが止まってしまうオンライン・システムを技術者に開発されたのでは企業はやっていけないので、一般社会では厳しい目で技術者の選別が行われてしまう、というのが現実なのです。その第一歩がこの問題に現れている、ということが言えると思います。その分かれ目は、知識とか能力とか勉強量、というものではありません。意欲とかチャレンジ精神とか野心と言えるようなものです。教育評論家が言う教育的配慮のようなものは、激しい競争にさらされている技術の第一線では通用しないのです。
こちらをご覧の皆さんには、不親切そうに見えるわかりにくい問題文を前にして、甘いいたわりの言葉をかけてくれる人に寄りかかることなく、自分自身を厳しく見つめるようにお願いしたいと思います。



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  1. 2009/05/19(火) 10:04:13|
  2. 慶大理工'09年
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慶大理工数学'09年[A3]検討

慶大理工数学'09[A3]検討

[A3](解答はこちら) 一見して複雑そうですが、やってみると、問題文中の関数を微分して増減を調べ極値を求めるだけの問題です。円と双曲線の位置関係をつかんで解答できるに越したことはありませんが、必要以上に惑わされないようにしましょう。場合分けの端点の値を聞いてきていますが、の中に出てくるが定符号か、正負いずれの値もとり得るのか、結局、2次方程式が相異なる2実数解をもつかどうか、で、場合分けすればよい、と、気づけば大したことはないでしょう。


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  1. 2009/05/18(月) 10:09:37|
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慶大理工数学'09年[A2]検討

慶大理工数学'09[A2]検討

[A2](解答はこちら) 確率の問題ですが、主要部分は3項間漸化式を立てて一般項を求める、という平凡な問題です。3項間漸化式を立てるところは、少し熟考する必要がありますが、()()の具合から推測できるように配慮されているので、何とかなるでしょう。漸化式は、解ける、というだけでなく、自力で立式できるようにしておかなくてはいけない、ということです。
最後の期待値は、ノー・ヒントだと難しいですが、として計算するように指定されているので、単なる計算問題です。解答では、を代入して、を別々に計算していますが、

と書いてみると、なので、
とすれば、もっと要領よく計算できます。
なぜ、
5以上の目が出る確率がで求められるのか、と、言うと、「n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が5以上になる」というのは、5以上の目がn回出る場合だけでなく、回出る場合、回出る場合、・・・,を全て含んでいるので、ちょうどn回だけ5以上の目が出る確率をとすると、
,・・・
となっていて、
が、(回数)×(ちょうどその回数になる確率)の和になっているからです。2009年時点で、将来、学習指導要領が改訂され、高校数学で、統計や条件付き確率が必修になってくるようですが、そうなると、本問()はノー・ヒントで出題されるようになり、上記は重要な受験技巧の1つになるかも知れません。


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  1. 2009/05/17(日) 00:43:14|
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慶大理工数学'09年[A1]検討

慶大理工数学'09[A1]検討

[A1](解答はこちら) ことしの慶大理工の[A1]は特に検討するほどのこともない易問です。各学校の授業をよく聞いていれば、どんな受験生でも解答できるはずの問題です。
大学入試に深い思考力を要求するような問題が出題されると、難問奇問を出す大学入試が教育を歪めている、と、よく言われます。確かに、
東大理系09年前期[6]のような問題は困りますが、かと言って、本問レベルまで下げてしまうのはどうか、と、私は思います。
教科書レベルの基本問題もできない人間が、高難度の問題に挑戦できるのか、というようなことを言う先生が多いのですが、東大理系
09年前期[6]でそこそこの答案を書くのに、本問のような基本問題になるとやたらとミスを連発する、という受験生を、私は何人も見てきました。難問に積極的に挑戦するのだけれども、簡単な問題ではミスだらけになる、という人は実際にはかなり多いのです。易問でミスをしない人間を合格させてしまえば、難問に挑戦する人がいなくなってしまう、と、私は思います。
さりとて、数学のセンター試験のような試験も課されているので、受験生は、易問でミスをしない対策も充分に考えておかなくてはいけません。
本問では、ミスをこわがって、ていねいに見直しながらやっていくと、
[2][5]に取り組む時間が足りなくなります。しかも、ミスの多い人に限って、見直しをしたときにミスをやらかすのです。また、試験会場で、と因数分解してしまう人は、時間をかけて何度見直しても、に見えてしまうのです。多分、脳の血液の温度が上がりすぎて、脳内で視神経の回路と積の計算をする回路が切れてしまうのだろうと思いますが、熱くなっているときに、検算をしても無意味だということです。
かく言う私もミスが多いのですが、以前、雑誌「大学への数学」の東京出版の方に、一度、全く別のことをやって完全に忘れてから見直す、というチェックの手法を教えて頂きました。本問で言うのなら、見直しなしで、さっと、
5分程度で(1)(2)(3)の答案を書いてしまい、即、[2][5]に飛んでしまうのです。見直しをしっかりやってしまうと、視神経回路と積の計算回路の切れた状態が定着してしまい、[2][5]を解いて戻ってきても、切れた状態が維持されたままになるかも知れません。切れた状態が、[2][5]を解いている間に、復旧している必要があるので、最初は、どんどん答案を書いてしまって、戻ってきたときに、初見の感覚で見直すようにします。自分のミスには気づかないくせに、他人のミスにはやたらと気づく、というのは、新鮮な目で客観的に眺めるとミスに気づきやすい、ということなのです。


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  1. 2009/05/15(金) 07:54:07|
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早大理工数学'09年[5]検討

早大理工数学'09[5]検討

[5](解答はこちら) 平凡な微積計算・はさみうちの極限の問題なのですが、ボリュームはたっぷりあるので途中でメゲてしまった受験生が多いようです。(3)で挫折してしまった受験生は、極限の公式:が思いつけなかったのでしょう。この公式は、の導出に出てくるにおいて、とおき、とすれば得られる公式です。記憶していなかったとしても、試験場で即座に導出できて欲しい公式です。数学Ⅲの比重が高い早大理工、慶大理工あたりでは、を使う問題をよく見かけるので、来年、受験しようという方は、この辺は要注意です。
(3)では、はさみうちの形を作ることが目標になります。受験生の負担を軽くするために、問題文では、
がヒントとして与えられてしまっていますが、ノー・ヒントだったとしても、マクローリン展開などから、xが小さいときには、
 (右辺の末項のでは右辺がよりも大きくなってくれない)
となることを着想できると思います(証明はの増減を調べる)
xには、などの制限が付きますが、各辺から1を引いてxで割れば、
が得られます。


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  1. 2009/05/14(木) 07:49:49|
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早大理工数学'09年[4]検討

早大理工数学'09[4]検討

[4](解答はこちら) 空間図形と微分の融合問題で、解答者が自ら立式し微分して増減表を作成し最大・最小を求める、というタイプの問題です。試験会場では、結論は見えているのだけれども、説明の言葉がなかなか浮かばないという受験生が多かっただろうと思います。
こういう問題では、最初から上手に論述しようと思ってしまうと、時間を想定以上に使ってしまいがちです。最初は、答案用紙に少しスペースの余裕をもたせながら、式の羅列だけして最終解答を導いておいて、全問解答し終わってから、傍注をつけるなり、「理由は下記に示す」とかして、あいているスペースに説明書きを補足していく、という方針が良いと思います。答案用紙上で、解答があっちへ飛んだりこっちへ飛んだりするのは採点者の印象が悪くなりますが、採点者にわかるように書いてあれば大きな減点を食らうことはないでしょう。
へこみのない四角形の面積
Sについては、2本の対角線の長さを,対角線のなす角をとすると、とできます。(1)では、この技巧を利用することもできます。


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  1. 2009/05/14(木) 07:47:47|
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早大理工数学'09年[3]検討

早大理工数学'09[3]検討

[3](解答はこちら) 確率の問題に難問をよく出題する早大理工ですが、本問は比較的取り組みやすい問題です。ですが、なかなか、面白いところを突いた良い問題だと思います。来年以降、他大学でも本問をネタにした高難度の問題を出題するのではないか、という気がします。
ふつうの確率の問題では、根元事象
Aの場合の数を全事象Uの場合の数で割って、Aが起こる確率をと求めます。この問題では、などとなる根元事象ABC,・・・があり、確率がと等しくなる根元事象の数、と等しくなる積事象の数、と等しくなる積事象の数、などを数えて解答するようになっています。ここに、抽象化を行う操作が入るのですが、この抽象化自体を考えさせるような複雑な問題を工夫できそうです。
基本は、公式:

なので、ベン図を書いて納得しておいてください。トランプ・カードでは、1枚のカードの属性がマークと番号だけで、本問では、という設定ですが、1つのものに3つ以上の属性を与えるような問題、例えば、n個の球に色を塗り番号をつけ「○△×」のようなマークをつける、というようなことをすれば、3つ以上の根元事象について、となるような問題もあり得ます。


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  1. 2009/05/13(水) 05:06:45|
  2. 早大理工'09年
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早大理工数学'09年[2]検討

早大理工数学'09[2]検討

[2](解答はこちら) 1次変換がからんでいますが、実質は微分の計算問題です。1次変換と言っても、行列の積と逆行列の基本をついでに確認しておこう、という程度のものです。こうした問題では正解して当然、と、言うべきですが、実際には、どこかで、何らかの勘違い、計算ミスをやらかして、最終解答にたどりつけない、ということが往々にしてあります。受験生は、塾や予備校で有名な先生の板書をひたすらノートに写すのも良いですが、もっと、自分の手を動かして微積分の計算練習をするべきだ、と、私は思います。
よく、少年野球で、「プロ野球○○軍○○選手来たる」とか、「イチロー選手が指導に来た」というようなニュースを見かけますが、イチロー選手や落合さんに打撃法を教わっても、あの天才的な打撃法は普通の子どもでは真似ができないと私は思うんですね。よほど、プロ野球の
2軍で汗にまみれて練習しながら芽が出ずに消えていった名もない人の方が、少年野球の指導には向いているのではないでしょうか?ですが、どうしても名前を追うんですよね。
難関私大早稲田大学と言っても、実は、商の微分法を使って微分計算し、
2次方程式を解いて極値を調べ、増減表を書いて最大・最小を求める、という、こうした問題で正解できるかどうかで合格・不合格が決まっていると私は思います。塾や予備校で、微積分の計算について代表的な技巧を一通り練習できるような私的なプリントを配布する先生がいたら、受験生思いの良い先生だと私は思います。


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  1. 2009/05/13(水) 05:06:00|
  2. 早大理工'09年
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早大理工数学'09年[1]検討

早大理工数学'09[1]検討

[1](解答はこちら) ガウス記号が出てくると恐怖感を抱く受験生が多いので、2009年の早大理工は、いきなり第1問にガウス記号をもってきて驚かそう、ということのようですが、見かけ倒しで実は大して難しくありません。ガウス記号内が、ある整数から整数+1になるように場合分けしてしまえば手を動かすだけです。この問題で調子をつけて[2][5]を一気に、という感じでしょうか。
雑誌「大学への数学」の解答では、「場合分けする必要はない」と書かれていて、より優れた解法が紹介されています。ここで紹介するわけにはいかないので、ぜひ、「大学への数学」
4月号を熟読して優れた考え方を身につけて頂きたいと思います。また、本問を、場合分けせずに解答した受験生には拍手を送りたいと思いますし、こちらをご覧の皆さんには、本ウェブサイトに掲載されている解答よりも優れた解法で問題を解くことにプライドを感じて頂きたいと思います。
ですが、場合分けしないで解答しよう、という方針には、私には非常に抵抗感があります。試験会場で、ガウス記号内が、ある整数から幅
1の範囲内に収まるように場合分けしてしまえば、誰にでも、極めて明瞭に一本道で解答できます。しかし、場合分けせずに解答できないか、と、考え始めると、より優れた答案を書けるかも知れませんが、優れた解法を考えている間に、回り道の解法でも答案が書けてしまうかも知れません。であれば、試験会場では、多少遠回りでも直接的な考え方の方が良い、というのが、私のポリシーです。
本問で言うのなら、場合分けしても、ほとんど時間のロスはありません。だとすれば、先の見えている考え方で、速攻、手を動かしてしまった方が良いのではないか、と、私は思います。
場合分けしない解法では、私は、場合分けせずにすまないか、と、発想するのではなく、「ガウス記号を整数とおく」、というように理解をする方が良いように思います。

(m:整数)
この考え方は、'08年東工大前期[2]のように、極限を求める問題で、はさみうちの形を作るのに有効です。
早大理工の本問では、いきなり、

実数xに対して、x以下の最大の整数をで表す。nを正の整数とし、を求めよ。
という問題文にすると、平易な問題なのに、一見しただけで受験生が敬遠してしまわないか、と、心配して、出題者が(1)(2)をつけているわけで、などで実験してみて欲しい、という出題者の意図通り考えるなら、整数knで割れば、商をm,余りをrとして、
と書けるので、実数xとすれば、

とするのは自然な流れです。もちろん、自然な流れの通りに考えて行くと行き詰まる、という問題もありますが、そういう問題では、行き詰まってから発想の転換をすれば良いので、本問では、遠回りでも直接的な解法で良いのではないか、と、思います。

有名な先生の中には、種々の優れた解法を数多く暗記して記憶力に頼って解くべきだ、ということをおっしゃる方もいますが、私は、受験数学の解法を数多く暗記するくらいなら、英単語や英会話の言い回しをできる限り覚える方が良いと思います。受験数学の解法を数多く暗記しても、将来、社会に出たときにあまり役には立ちません。今、日本社会で活躍している企業経営者や国会議員や研究者では、米国に留学した、ハーバードで
MBAを取得した、という人が多いことに目を向けて頂きたいと思います。解法の暗記は最低限のものにとどめ、むしろ、将来、国際的に活躍できる素地になるものを身につけることを、お奨めしたいと思います。


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  1. 2009/05/12(火) 02:17:37|
  2. 早大理工'09年
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京大理系数学'09年甲[6]検討

京大理系数学'09年甲[6]検討

[6](解答はこちら) 曲線の長さの定積分は、2009年の時点においては、高校の範囲外ですが、京大の場合には予告されていたので、準備していた受験生が多かっただろうと思います。「平面の方程式」とは違い、曲線の長さは公式二つ(陽関数表示の場合と媒介変数表示の場合)を覚えるだけのことで、これを高校の範囲から削除したところで、受験生の負担が軽くなるわけではありません。特に、物理系・電子系の学部を目指す受験生は、大学に進んで物理を学ぶときに、線素、面素などに面食らわないように早いうちから曲線の長さを知っておくことには意味があります。
この問題は、甲問題ということもあって親切に半周分の長さを聞いてくれているので、積分計算に引っかかるところはありませんが、仮に一周分
()の長さを聞いている場合、うかつに、
と計算してしまうと、おかしなことになるので注意してください。という原則に従って被積分関数に絶対値記号をつけ、積分区間を分けて絶対値記号を外し、


と計算しなくてはいけません。
また、本問のように、極方程式:で表される曲線の長さについては、媒介変数表示が、

と与えられるので、
より、

 ・・・()
となります。これをあらかじめ答案上で導出しておいて、ここで、
として、
とする方が計算がラクにすみます。頻出というわけではないので、()を覚えてもあまりメリットはありません。のままで計算してあとで代入する方がよいと思っていれば充分です。


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  1. 2009/05/11(月) 04:34:47|
  2. 京大数学'09年
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京大理系数学'09年甲[5]検討

京大理系数学'09年甲[5]検討

[5](解答はこちら) 本問と同一テーマの問題は、過去にも、東工大'91年前期[1],東工大'07年前期[1]などに見られます。こうした問題の経験があれば、本問を確実に得点に結びつけることができたと思いますが、初体験だと、p2回割り切れ、p3回割り切れる、ということを見落として、誤答する危険性の高い問題です。易しい問題だけに、経験の有無が合格不合格に大きく響いてしまい、この問題を落としたために涙を飲んだ受験生も多いだろうと思います。そうした意味で、例えば、(1)として、2で何回割り切れるか、とか、3で何回割り切れるか、というような、ミスに気づかせる設問を入れておくような配慮が欲しかったと思います。
逆に言うと、京大では、誘導を設けない出題形式が多く見られるので、受験生が自分でミスの危険性に気づくようになっていて欲しいのです。本文で言えば、簡単だな、と感じても、実際にとして、を調べてみれば、どういうことに注意して考えて行くべきか、すぐにわかり、落とし穴にもはまらずに解答できるはずです。
最近、他の論文の転用をした論文であることが発覚した、などという不祥事の他に、論文を書く際の基礎実験に誤りがあって論文を撤回した、などというニュースも流れています。研究者として、論文を書く際に、データや計算や論理展開に誤りがないか充分にチェックする意識が身についているかどうか、というようなことまで問われているのです。
受験生の一人一人が、ミスをしないような考え方・計算方法、ミスに気づきやすいチェック方法、などを自分の性格に応じて日頃から考えておく必要がある、ということです。



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  1. 2009/05/09(土) 07:02:30|
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京大理系数学'09年甲[4]検討

京大理系数学'09年甲[4]検討

[4](解答はこちら) 若干問題文が異なりますが、実質的に、[4]と同じ問題なので、検討についても、[4]検討を参照してください。本問は、甲問題を解く受験生にはやや酷な気がします。


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  1. 2009/05/09(土) 07:01:19|
  2. 京大数学'09年
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京大理系数学'09年甲[3]検討

京大理系数学'09年甲[3]検討

[3](解答はこちら) 数学Ⅱの対数の分野の基礎知識を問う問題で、頻出分野とは言えないだけに、底が1より大きいか小さいかで真数の大小と対数の大小が同じだったり逆になったりすること、底が異なる項が混じるときにまず底を揃えるという基本操作をできるか、それに、複雑な不等式の処理、そうしたことを丁寧に行えるかどうか、平易ではあっても意外な落とし穴にはまりやすい問題です。
こうした問題が出題される、ということはどういうことか、と言うと、難関大学受験生は、高校数学の全分野にわたってしっかりと勉強しておかなくてはいけない、ということです。確率は嫌いだ、ベクトルには見向きもしない、ということでは、難関大制覇は無理です。重箱の隅をつつくような些末なテーマの問題であっても、それ相応に対応ができるように準備を進めて頂きたいと思います。
解答では、底を
xに揃えましたが、の符号が正負ともありうるので、気軽にをかけて分母を払うことができません(分母を払うのであれば、で場合分けする必要があります)。これが嫌であれば、底を10にして、とすることになりますが、底の変換の必要な項の数が増えるわりには、不等式の複雑さは緩和されません。ただし、扱いやすくはなります。
また、のときに、であってもですが、ではなくなので、錯覚しないように充分注意してください。そういう意味では、本問は、標準レベルではあっても得点しにくい問題と言えます。
もう一つ注意したいことは、過去問をチェックすることは重要なのですが、
2009年に対数が出題されたからと言って、2010年以降の入試で「対数」が重要テーマだとは言えない、むしろ、「対数」の出題確率は下がった、ということです。次の入試の出題予測をするのであれば、5年~10年にわたって出題されて来なかったテーマが重要なのです。過去問の出題分野の比率などをごていねい調べている参考書・問題集を見かけますが、全くナンセンスなことをやっているので、そうしたものに惑わされないように注意してください。


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  1. 2009/05/08(金) 05:36:07|
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京大理系数学'09年甲[2]検討

京大理系数学'09年甲[2]検討

[2](解答はこちら) 問題文が一見複雑そうに見えるのですが、題意さえしっかりとれれば、一本道の問題で、準備のできている受験生であれば、試験会場でも手が止まることなく最終解答にたどりついただろうと思います。
使われている基本事項は、対称移動、
3倍角の公式に、誰でも知っている三角形の面積の公式で、解法的にも、2つの三角形の面積の比を正整数として、正弦の絶対値が1以下という条件で正整数の値を探せばよい、という整数問題としてももっとも単純なタイプです。
仮に
3倍角の公式を覚えていないとしても、

とすれば、試験会場でも即座に導き出せるでしょう。
この問題では、
q は三角形の内角なのでは明らかですが、の符号は正負ともあり得て、として絶対値をつけるところだけ注意する必要があります。
京都大学を来年目指そうという方
(に限らず難関大学を目指す方)は、まずは、夏頃までに、全分野にわたって、このレベルの問題を必ず解けるように努力してください。他大学においても、このレベルの問題で確実に加点できていれば、これ以上の難問については3題に1題くらいができていれば充分に合格ラインに届きます。難問のうちで自分の得意とする分野の問題をものにできれば良いのです。逆に言うと、このレベルの問題でミスしてしまうと致命傷になってしまうので、標準問題でミスをしないようにトレーニングを積んでおいてください。


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  1. 2009/05/08(金) 05:35:08|
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京大理系数学'09年甲[1]検討

京大理系数学'09年甲[1]検討

[1](解答はこちら) 2009年の甲問題の[1]2007年と同様に、関連のない問1,問2の実質2問になっています。2問になっている分だけ深みのない問題ですが、ここでつまづくようだと大けがになります。問1が空間ベクトル、問2が確率の基本問題ですが、どちらも基礎力のしっかりした受験生でないと正解できません。
来年以降もこうした出題が続くのか予測はできません。どういう出題であっても冷静に対応できるようにしておくべきです。乙問題に比べればラクな甲問題ですが、きちんと正解しようと思うと、全分野にわたる標準的な解法の知識、それなりの計算技術、論理構成力が必要で、決して気を抜くことなく高度な学習に意欲的に取り組んで頂きたいと思います。
本問で言うなら、問
1の空間ベクトルは、あまり見かけないタイプの問題で、空間ベクトルを苦手分野として残してしまうような勉強をしていると不覚をとります。直線のベクトル方程式を持ち出すまでもありませんが、教科書に掲載されている事項についてはもれなく学習するように心がけましょう。問2の確率は、試験会場でも、の場合を別に調べておいて、最終結果でを代入して確認するくらいのことはやってください。確率ではほんのちょっとしたケアレス・ミスが得点的に大きく響くことがあります。


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  1. 2009/05/07(木) 10:15:54|
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京大物理'09年[3]検討

京大物理'09[3]検討

[3](解答はこちら) 位相速度と群速度の違いをテーマとする問題で、問題文の内容は高校物理から逸脱していますが、問題そのものは、屈折の法則や船首波、干渉に関する、むしろ標準的で取り組みやすい問題です。問題文では、「位相速度」と「群速度」の違いが実に分かりやすく説明されていて、京大受験生のみならず、量子力学を学ぶ全大学生に考えてもらいたい教育的配慮を感じます。出題者が物理の講義中に、学生に位相速度と群速度の違いを聞いたときにうまく説明できないので、何だ、キミはこんなこともわかっていないのか、と、ため息をついて問題文を作ったのではないか、と、勝手な想像をしてしまいます。
本問に出てくる「位相速度」は高校物理で学ぶ「波の伝わる速さ」のことで、振動数×波長、に一致します。「群速度」は波を固まりとして見たときの固まりの速さのことですが、問題文では図を用いてわかりやすく説明しています。
ところで、培風館の物理学辞典で「船の波」で引くと、水面を通過する際に物体の後ろにできる定常波群を「ケルビン波」と言う、と書かれているので、問題文の「ケルビン波」はくさび型領域にできる曲線
(船が作る波が干渉してできる山や谷)として出現する波のことを指していると思われます。
水面に生じる波には大きく分けて
3種類あり、波長が水深に対して小さいときにできるのが、水面で表面張力を復元力として生じる「表面張力波」(俗に言うさざ波)、重力を復元力として生じる「重力波」(アインシュタインの重力場の方程式から出てくる重力波とは別ものです)、波長が水深に対して大きくなるときにできる「長波」です。
表面張力波では、群速度は位相速度の培で、波長が小さくなるほど伝播速度が大きくなり、重力波では、群速度は本問にあるように位相速度の培で、波長が大きくなるほど伝播速度が大きくなり、両者の影響を合わせると、ほぼ波長のときに水面波の伝わる速さが極小値をもつことが知られています
(つまり、波長がより短くなると表面張力波が支配的になり、波長がよりも長くなると重力波が支配的になる)。また、重力波が伝わる速さは、本問問3で求めた,表面張力波が伝わる速さは (Tは表面張力、rは密度),長波の伝わる速さは (hは水深)になることが知られています。これらの導出は、流体力学の知識を必要とし高校物理の範囲を遙かに超えます(大学入試に出るとすれば、次元解析の問題として出題されます)。表面張力波と重力波は、波の伝わる速さが波長に依存するので、「分散性の波」(光と同様に分散という現象を起こす)と言われていて、位相速度と群速度が異なりますが、長波は、速さが波長に依存しないので分散性ではありません。
水深の大きな海で波長の重力波の速さはより
津波のように波長が長く海底にまで振動が伝わるような波では長波となり、水深として、速さは
(時速360km)
津波の伝わる速さは、海面を伝わる波に比べて非常に速い、ということがわかります。


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  1. 2009/05/07(木) 00:00:30|
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京大物理'09年[2]検討

京大物理'09[2]検討

[2](解答はこちら) サイクロトロン、ベータトロンを扱う問題は、京大でも過去に出題されていますが、それぞれ単独で出題されてきました。2009年度の問題は、過去に出題された内容をブラッシュ・アップし過去の不足分を補う内容になっている上に、サイクロトロンとベータトロンの両者を扱う、という欲張った問題になっていて、受験生は時間不足に苦しんだだろうと思います。両者に関する設問の最後の問1,問2,問3はいずれも、物理的にじっくり考え込む必要があるので、問題としては良問ですが、受験生にはいささか酷な気がします。本問を演習問題として試してみようという方は、それぞれが大問1題のつもりで時間をかけて取り組んでください。
サイクロトロンでは解答にも書きましたが、円運動する際の周期が半径や速さに依らず
(磁場によって定まる)に一定になります。このことから、荷電粒子を投入してから出てくるまでの時間を予測させたり印加電圧の周期を考えさせる難問が過去に出題されています。今回は、それを踏まえた上で、最終段階で荷電粒子の回転半径を一定にするための、磁束密度の変化、印加電圧の周期の変化の設定条件を問う内容になっています。荷電粒子のエネルギーに関する物理的状況がしっかり捉えられていないと解答できません。サイクロトロンに関して、動作原理に軽く触れるだけの教科書の記述を遙かに超える深い理解も要求されています。
ベータトロンは本問の問題文の記述にあるように、装置内で一様な磁場を一様に強くすると、加速された荷電粒子に中心方向に力が働いてしまい、荷電粒子を一定半径で加速することができません。京大に限らず、ベータトロンもいろいろな大学の入試問題に登場してきましたが、高校数学の範囲を超えてしまうような数式処理が必要となってしまうので、正確な扱いをする入試問題は難しいのではないか、と、思っていました。京大では、過去に磁束の変化が磁束密度の変化と円の面積の積の
2倍になる()ことを求めさせる問題までは出題されていましたが、この問題では、定性的であっても荷電粒子を一定半径で加速するための磁場の条件まで考えさせていて、ベータトロンの入試問題の決定版と言える内容になっています。
サイクロトロン、ベータトロンの問題として、それぞれが物理的な熟考を必要とする良問であるだけに、複数年に分けて
1題ずつ出題し、受験生にじっくりと考えさせる余裕を考慮して欲しかった、と、私は思います。京大には、何人ものノーベル物理学賞受賞者を輩出してきた、という自負があるのだろうと思います。京大物理をこなすためには、素粒子の実験を行うための加速器やカミオカンデのような最先端の科学技術について、定性的な概念を知っている、というだけではなく、数式を使った定量的な計算にまで踏み込んでトライしてみよう、という高度な学習意欲が求められています。


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  1. 2009/05/05(火) 07:35:03|
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京大物理'09年[1]検討

京大物理'09[1]検討

[1](解答はこちら) 2009年度の京大物理の力学は、例年と比較して易しめです。[2]が重たい問題なので配慮したのでしょう。ですが、ボリュームはたっぷりあるので、本問で時間を使いすぎると、[2]をじっくり解いている余裕がなくなります。従って、かなり急いで解き進む必要があります。
本問では、「加速度」と「加速度の大きさ」、力の向き
(特に摩擦力の向き)などに充分注意をしましょう。京大の物理の問題で感じるのですが、「速度」と「速さ」がごちゃ混ぜになっていて、符号をどうして良いのか悩む空所があります。論述問題であれば、採点者が答案の前後を見て判断できると思いますが、空所補充形式の京大物理では困ったことになります。本問では、わざと混ぜて受験生が符号を意識しているかを確かめようという意図があるのかも知れません。
本問では、剛体の転倒を扱っています。クレーンが転倒して被害が出るような事故も起きるので、教科書での扱いは小さいですが、「転倒」は入試では重要なテーマです。本問では、重力・慣性力の合力の作用線が斜面と接している物体の面の端のどちら側を通るか、というところに着目します。重力・慣性力の合力の作用線が斜面と接している部分を通過すれば、その交点に抗力
(垂直抗力と摩擦力の合力)が、重力・慣性力の合力と等大逆向きに働き、両者はつり合うので、物体は元々静止していれば静止の状態を続けます。重力・慣性力の合力の作用線が、物体と斜面が接している部分を通過しない場合には、抗力は物体の端点に働くので、物体に偶力が働くようになり、物体は回転を始めます。重力やクーロン力などを除いて、力は物体同士が接触している部分に働き、抗力が働く点は物体と斜面が接触している部分にしか働かず、従って、重力・慣性力の合力の作用線が接触している部分から飛び出してしまうと、物体は転倒してしまうのです。
「転倒」を除くと、本問では教科書レベルの基礎事項の理解が問われているだけです。摩擦力、慣性力、エネルギー、円運動の遠心力、と、力学全般に渡って出題されているので、しっかり勉強してきた受験生でないと完答は難しいですが、考え込むような部分はありません。基礎ができていれば、慎重かつ迅速に、要領よく処理を進めていけばよいのです。



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  1. 2009/05/04(月) 04:11:39|
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京大理系数学'09年乙[6]検討

京大理系数学'09[6]検討

[6](解答はこちら) 京大では頻出の、漸化式をからめた整数問題ですが、この問題は、京大の問題としても難問です。雑誌「大学への数学」に掲載されている受験報告では、(2)を完答できた受験生はゼロで、本ウェブサイトの解答の中で途中で行き詰まるポイントがあると書いたように、の連立漸化式からが奇数であることのみ証明し、が互いに素になることの証明を断念してしまった受験生がほとんどのようです。
本ウェブサイトでは、連立漸化式だけでは条件不足になるので、数学的帰納法の枠組みを変え、前
2つを仮定して次を証明する形にして、条件不足を補うように工夫しました。この証明に合わせて3項間漸化式を作りましたが、3項間漸化式を作るのに技巧が必要なので、連立漸化式を2段組み合わせて、からへ、からへ、というようにして条件を2つ作る考え方も可能です。また、「大学への数学」の解では、



を利用し、
(1)abと見ることにより、が互いに素となることを帰納法で示し、連立漸化式を1段使うだけで証明する方法が紹介されています。参考にしてください。個人的には、この問題を解くのに合理的な考え方であっても、一般的に広く使えるようには思えないので、3項間漸化式を用いて証明する方法を取りたいと思います。もちろん、ケース・バイ・ケースで最善の方法を考える、というのも大切なことですが。
本問では、ほとんどの受験生が途中挫折してしまっているようなので、試験会場では、本問
(2)が奇数になることの証明のみでやめておくのが賢明な選択なのかも知れませんが、東大'09年前期[6]とは違って、絶対に無理、という問題ではないので、時間的余裕があるのであれば、取り組んで頂きたいと思います。


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  1. 2009/05/02(土) 10:25:02|
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京大理系数学'09年乙[5]検討

京大理系数学'09[5]検討

[5](解答はこちら) 極座標を使って表されている曲線を回転させたときの体積と言っても、角q を媒介変数としてxyを表せば、単なる微積の計算問題でしかありません。本問では回転体にくりぬける部分もできずxの範囲を調べてその範囲で積分するだけです。多少面倒ですが、複雑な計算技巧を使う部分もありません。
とは言っても、試験場での高揚感の中でなかなかこうした問題をミスなく計算すること自体が難しいものです。を微分したときのマイナスを忘れたり、定積分の上端と下端を入れ替えるときのマイナスを忘れたり、単なる展開をミスしたり、試験が終わってから、なぜ、と自分を詰問したくなるようなミスをやってしまいがちです。
難関大学でも、必ず
1題はこうした微積の計算問題、特に考えることもなく、ただひたすら手を動かして計算するのみ、という問題を出題しています。そして、合格するためには、こうした問題をミスなく計算することが必須なのです。
数学的思考力・創造力を試すとは思えないような微積の計算問題が出題されてしまうからには、受験生もしっかりそれに対策をしておく必要があります。ぶっつけ本番で正確な計算を迅速にやろうとしても無理というものです。
各学校で配布される標準問題集で構いません。微分して増減表を書いて最大値・最小値を求めるだけ、あるいはグラフを描くだけ、また、置換積分や部分積分を使う面積計算、体積計算の問題を何度も繰り返して練習しておきましょう。できれば、時間を測って、どれくらいの時間で正解に達するか、その進歩の具合をチェックするようにして、何度も繰り返して計算することへのインセンティブを自分でつけるように工夫しましょう。数学的な思考力を磨くことも大切ですが、基礎体力となる微積の計算力向上もまた難関大学突破の必要条件です。



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  1. 2009/05/01(金) 11:05:27|
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