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一橋大数学'09年前期[3]

一橋大数学'09年前期[3]

pqを実数とする。放物線が、中心で半径1の円と中心で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。

解答 決して取り組みやすい問題とは言えませんが、'09年前期の一橋大の問題の中では、[1][3]しか標準的解法で解ける問題はないので、何とかものにしたい1題です。

放物線:

 ・・・①
は、頂点がにある放物線です(2次関数を参照)
とおくと、
 ・・・②
①と円
 (円の方程式を参照)
が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・③
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
の判別式: ・・・④
 ・・・⑤
です(右図参照)
注.円の存在範囲を考慮しないと、となるような
yの実数解もあり得てしまいます。
④より、

 ・・・⑥
⑤より、③を用いて、
 ・・・⑦
また、①と円

が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件は、
の判別式: ・・・⑩
 ・・・⑪
です(右図参照)。⑩より、
 ・・・⑫
⑪より、⑧を用いて、
 ・・・⑬
①がの両方と共有点をもつ条件は、⑥かつ⑦かつ⑫かつ⑬ですが、①の頂点の存在範囲は②を用いて、
⑥は、

⑦は、

⑫は、

⑬は、

以上より、①の頂点の存在範囲は、上記でとして、
かつ かつ かつ
であって、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
なお、境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
交わります。



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  1. 2009/03/31(火) 14:22:26|
  2. 一橋大数学'09年
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一橋大数学'09年前期[2]

一橋大数学'09年前期[2]

(1) 任意の角q に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxu平面上に図示し、その面積を求めよ。
(2) 任意の角ab に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。

解答 他サイトの解答を見ると、(1)ではの最大値が以下で最小値が以上であればよい、(2)ではの最大値が1以下で最小値が以上であればよい、と、単純に書かれています。言われてみれば確かにそうなのですが、点の存在領域を問題にしているので、どうしてもxyの方に目が向いてしまいがちで、試験会場でそう発想すること自体が難しいだろうと思います。
かつて出題された
'97年後期[5]などの難問でもそうなのですが、パラメータaを含むxyの式があって、の存在領域を求めよ、とか、曲線の通過領域を求めよ言われたら、xyではなく、パラメータaの方に着目する、ということを覚えておいてください。
本問では、
(1)ではq に、(2)では、の方に着目します。

(1)  ・・・①
のとき、①は任意の角q に対して成立するので、は求める領域内の点です。
ではないとき、
 (三角関数の合成を参照)
ただし、d は、をみたす角。
q が任意の角であるとき、
よって、任意の角q に対して①が成立するためには、
 ・・・②
かつ
 ・・・③
であることが必要十分です。
②より、 ・・・④
③より、
 ・・・⑤
④,⑤の境界線、は、連立すると、
より
となるので、交点
PQをもちます。
は、④,⑤をみたします。
よって、求める領域は、④かつ⑤で、図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)
なので、領域の面積は、半径
2の円の面積のから、頂角をはさむ2辺の長さが2の二等辺三角形の面積を引いて、直線と放物線とで囲まれる部分の面積を加えたものになります。
 (定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)

......[
]

(2)  ・・・⑥
のとき、⑥は任意の角ab に対して成立するので、は求める領域内の点です。
ではないとき、とおくと、ab が任意の角であれば、
 ・・・⑦
⑦をみたすようにabを動かすとき、は右図の正方形の水色着色部分(境界線を含む)にあります。
は、のときにみたされるので、ab平面で直線から原点側の領域を表します。
直線は、
a切片 ()b切片a軸の負側を通過する直線です(ならb軸の負側、ならb軸の正側を通過します)
は、のときにみたされるので、ab平面で直線から原点側の領域を表します。
直線は、
a切片 ()b切片a軸の正側を通過する直線です(ならb軸の正側、ならb軸の負側を通過します)
従って、⑦をみたす任意の
abが⑥をみたすためには、右図の正方形の頂点、
において⑥がみたされることが必要十分です。よって、



即ち、

ここで、であればはみたされ、であればはみたされるので、
 ・・・⑧
であれば十分です。⑧の境界線は、で交わります。
は⑥をみたします。
よって、求める領域は⑧で、図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)
領域の面積は、
x軸と放物線で囲まれる部分の面積の2倍で、
......[]


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  1. 2009/03/30(月) 15:56:19|
  2. 一橋大数学'09年
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一橋大数学'09年前期[1]

一橋大数学'09年前期[1]

2以上の整数mnをみたす。mnを求めよ。

解答 因数分解の公式:の利用により容易に解決します。なお、整数を参照してください。



 ( )

また、より、
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
4通りの場合に限られます。
(i)のとき、
9983の倍数でないので、これをみたす整数nはありません。
(ii)のとき、

より
(iii)のとき、

より、これをみたすnはありません。
(iv)のとき、
3の倍数でないので、これをみたす整数nはありません。
以上より、 ......[]


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  1. 2009/03/28(土) 17:26:30|
  2. 一橋大数学'09年
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京大物理'09年[3]

京大物理'09[3]

 次の文を読んで、  には適した式を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1~問3では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

(1) ホイヘンスの原理を用いると波の多くの現象が理解できる。図1に示すように、媒質Ⅰ ()を速さで進んだ波は、媒質2 ()を速さで進み屈折を起こす。角度で入射した線分ABを含む波面上の点Aは時刻に境界に到達した。その後時刻に、点Bは境界上の点Sに達し、点Aは点Cに到達する。この間()の時刻tに境界に達する点Pと点Sの間の距離は、時刻tを用いると あ である。また時刻tに境界上の点Pから放射され、時刻に点Qで波面CSに接する素元波の半径は、時刻tを用いると い である。以上から、媒質2の屈折角は、を用いると う となる。
(2) 浅い海の上を進む船は、くさび型の波面を伴う場合がある。(1)の結果を利用して、このくさび型の波面はできる条件を考えよう。船は大きさを持たず、図2に示すように、静止した水の上を一定の速さVX軸上を進んで波を発生させたとする。時刻tでの船の位置を点Pとする。また、波の速さはcとする。船は、各時刻に変位が同じ(位相が同じ)である波長lの素元波を放射しながら進むとする。
すなわち、図2の点Pから放射される素元波を、図1の点Pから放射される素元波と同様に扱うこととする。時刻に船が原点Sに到達した。このとき、図2のように、船は後方に原点を通るくさび型の波面を伴っていた。
1 波面とX軸がなす角度q に対してを求めよ。くさび型の波面ができるときに、船の速さVと波の速さcが満たす条件式を導け。

深い海の上を進む船の後ろにできる美しい波模様は、参考図のようにくさび型領域に限られる。このくさび型の領域は、問1の結果とは違って、船の速さによらない一定の角度を持つ。この違いは、波長より水深が深い場合には波長が短いほど水の波の速さが遅いという性質があることと、船が作る波は波長が異なる多くの波が重ね合わさっていることが原因である。この違いについて考えよう。
(3) はじめに、平面波の性質を調べよう。x軸の正の方向に進む平面波の波長をl,振動数をfとする。このとき、時刻t,位置xでの波の変位hは、三角関数を使ってと書ける。ここで、aは平面波の振幅である。ただし、時刻,位置での波の変位を0とおいた。この式に現れるは「波数」と呼ばれており、これをkとおく。また、角振動数を用いると、次のように表現が簡単になる。
   (i)
座標xと時刻tを固定したときのの値をその位置xと時刻tでの波の位相と呼ぶ。位相が一定の値()である位置xは、の関係を満たしながら、x軸の正の方向に一定の速度cで進む。この速度は平面波の「位相速度」と呼ばれている。波数kと角振動数wと用いて表すと え となる。
2 図3には、式(i)で表される波の時刻での変位hが描かれている。図3を参考にして、時刻におけるこの波の変位hの概略図を、の範囲で解答用紙の所定欄に書き入れよ。ただし、縦軸と横軸の数値と記号は図3と同じように記入せよ。

(4) 次に、波数kと角振動数wがわずかに異なる2つの平面波、波1と波2の重ね合わせを考えよう。波1と波2の波数を,角振動数をとする。また、波1と波2の振幅は等しく、aとする。ただし、は、それぞれ波数k,角振動数wに比べその大きさが十分小さい定数であり、とする。このとき、波1の変位を,波の変位をと表すと、重ね合わせた波の変位は、公式を用いて、以下のように書ける。
 お 
重ね合わせた波の変位hは、平面波の部分と、その振幅の変動を表す部分 お )の積になっている。この振幅の変動に着目して式(i)と比べると、この振幅の変動が速度で伝わることがわかる。この振幅の変動が伝わる速度を「群速度」と呼びとおく。
4には、重ね合わせた波の変位の時間変化の一例を描いた。ここで、振幅の変動を破線で表し、その腹と節の伝搬を矢印で、またにおける平面波の部分の位相と同じ位相を持つ点の位置を黒丸で、それぞれ示した。図4は、平面波の部分は位相速度cで伝わり、その振幅の規則的な強弱は群速度で伝わることを表している。
群速度は波の形やその発展を決めるために重要であるとともに、波のかたまりや波のエネルギーの伝搬を理解する上でも重要な物理量である。
1と波2の位相速度が等しい場合、位相速度cと群速度の関係は{か:①  ②  ③ }である。このとき、の点で観測される波の変位hの時間変化を、図5に示す。音のうなりと同じように変位hの振動の強弱が規則的に観測される。単位時間当たりのうなりの数は角振動数を用いると き である。
3 船の作る波の波長に比べ水深が十分深い場合、角振動数wと波数kの間には、の関係が成り立つ。ここで、gは重力加速度の大きさである。このとき、群速度と位相速度cをそれぞれ計算し、比を求めよ。
必要ならば、に対する次の近似式を用いよ。

深い海の上を進む船は多くの波長の波を造るので、重ね合わせの結果、振幅の大きな変動は群速度で伝わる。問3で求めた群速度と位相速度の関係から、波の伝わる範囲が狭まることが予想できる。さらに波長の異なる多数の波の効果を考慮すると参考図のような波の模様が作られることを示すことができる。この船の作る波は、ケルビン波と呼ばれる。

解答 問題文は高度な内容を含んでいますが、問題そのものは標準的です。

(1)() PからBSに垂線PHを下ろすと、より、
......[]
()  ......[]
()  より、
......[]
(2)1 より、
......[]
くさび型波面ができる条件は、より、
......[]
(3)() 波の公式を用いて、
......[]
2 時間(周期)経過後に波はx軸正方向に進んでいます。波の変位hの概略は右図実線。
(4)()  公式において、
とすると、より、

......[]
() 波1,波2位相速度が等しいので、
()

よって、

......[]
() として、単位時間当たりのうなりの数は、
......[]
3 
位相速度cは、
......[]

よって、群速度は、
......[]
......[
]


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  1. 2009/03/27(金) 18:49:02|
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京大物理'09年[2]

京大物理'09[2]

次の文を読んで、  には適した式を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1~問3では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
荷電粒子にエネルギーを与え加速する装置を加速器と呼ぶ。ある種の加速器では、運動する荷電粒子が磁場中を通るとローレンツ力を受けて曲げられることを利用し、磁場を用いて荷電粒子に円形軌道を描かせながら加速する。このような加速器の原理に関して、以下の問に答えよ。

(1) 1に示すものは、その一つでサイクロトロンと呼ばれる装置の概略図(a)と原理図(b)である。以下、原理図(b)にもとづき考察する。真空中に、半径の半円形で薄い中空の2つの加速電極を、直線部で距離だけ離して対向させて置く。ただし、dに比べて十分小さいとする。この両電極間のすき間をギャップと呼ぶことにする。この電極面に垂直に紙面奥から手前に磁束密度の一様磁場を与える。簡単のために、重力は無視でき、ギャップ部の磁場はないと仮定する。
左側半円電極()が正極、右側半円電極()が負極となるよう直流電圧がかけられているとき、の半円の中心部に置いたイオン源Sから電荷(),質量の荷電粒子が初速ゼロで供給された。直流電圧Vによる電極間の電場は一様かつ均一であると仮定する。荷電粒子は電極に向かって距離dにわたって加速され、速さ イ の空洞内に入り、磁場によってローレンツ力を受ける。これと遠心力がつりあって、荷電粒子は等速で半径 ロ の円軌道を半周描いた後、電極の直線部に到達しを出る。荷電粒子が電極空洞内にいる時間は、 ハ である。
この間に電極間電圧を反転させ、が負極、が正極となるように直流電圧
Vをかけると、再び荷電粒子はギャップを通過するときに加速され、の空洞内に入り等速円運動を始める。円運動の周期は、荷電粒子と一様印加磁場が決まれば変化しないので、継続して荷電粒子を加速するためには電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔は一定でよい。ただし、両電極間を通過する時間は ハ に比べて十分短いとする。
これを繰り返すことによって荷電粒子は加速され、描く円運動の半径はしだいに大きくなる。以下では、この円軌道が半円電極内にある場合を考える。描く軌道半径が
()になったとき、荷電粒子の速さは ニ となり、このとき荷電粒子が持つエネルギーは、 ホ である。また、これまでに電極間で加速された回数n ヘ である。
1 この後、回目()の加速後の軌道半径をRに維持するためには、一様磁場の磁束密度と電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔をそれぞれどのような値にすればよいか。n回目までの磁束密度と時間間隔を用いて求めよ。ただし、直流電圧の大きさVは一定とする。

(2) 円運動する荷電粒子を、軌道半径を変えないで加速する方法として、与える磁場の変化による誘導電場を用いるベータトロンと呼ばれる装置がある。この原理について考えてみよう。
まず図2のように、真空中において、半径の円柱形の鉄心を持つ電磁石の磁極のすき間に一様磁場を上向きに与えた場合を考える。重力の影響は無視できるとする。初期の磁場の磁束密度はで、その中を図2のように(1)と同じ荷電粒子が半径で等速円運動しているとき、荷電粒子の軌道断面を単位時間当たりに通過する電荷量、すなわち電流は、 ト と書ける。
この荷電粒子を加速するために磁場を変化させたとき、荷電粒子に働く力を次のように考えてみよう。磁場変化によって軌道半径が変わらないと仮定すると、この荷電粒子の運動は、その軌道上に置いた半径
rで変形しない抵抗のない円環に流れる電流と見なせる。この電流の大きさは ト である。このように仮定した円環に磁場変化を与えた。磁極間の磁束密度を一様に保ちながら、時間の間にだけ均一に増加させると、円環に誘起される起電力は円環を貫く磁束の単位時間当たりの変化で与えられ、その大きさは チ である。そのとき、円環上の電場の大きさは リ となり、これによって円環には電流が誘導される。
円環に電流が誘導されるということは、荷電粒子が誘導電場 リ による力を受けて加速されることと等価である。このとき、荷電粒子が受けた力積は荷電粒子の運動量の変化に等しいので、初期の磁束密度での速さを考慮すると後の速さは、 ヌ となる。荷電粒子に働く中心方向の合力は ル となり、このように磁極間に一様で、均一な磁場変化を与えて荷電粒子を加速した場合には、軌道半径が
{ヲ:① 大きくなる ② 変わらない ③ 小さくなる}ことがわかる。
実際のベータトロンでは、荷電粒子の軌道半径を変えないで加速するために、磁極間の磁場分布は一様ではなく、与える磁場変化も均一にならない工夫をしている。これについて考えてみよう。
2 前述と同じ初期の状態から時間の間に、軌道上の磁束密度を,軌道で囲まれる面を貫く全磁束をだけそれぞれ増加させたところ、軌道半径は変わらずに荷電粒子の速さの変化がとなった。このとき、 ル を導いた場合と同様に、軌道上の荷電粒子の運動量の変化と中心方向の力のつりあいを考えての関係式を求めよ。
3 上の問2の結果をもとに、実際のベータトロンの磁極の断面形状として図3(a)(b)のどちらが適当であるか選べ。図中の磁極間の矢印は磁力線の概略である。磁力線の密度は磁束密度の大きさに対応している。

解答 (1)だけ、(2)だけでも、大問1題として充分だと思いますが、欲張った問題です。(2)のベータトロンの考察の最後の部分は、過去に出題されてきたベータトロンの問題で残っていたモヤモヤ感を解消してくれていて、ベータトロンの決定版と言うべき内容に工夫されています。

(1)() ギャップ部分の電場が荷電粒子に対してした仕事が荷電粒子の運動エネルギーになります。
......[]
() 荷電粒子の円運動の軌道半径とします。荷電粒子が受けるローレンツ力の大きさは,これが、遠心力とつりあいます。
 ・・・①
()を用いて、

......[]
() 荷電粒子が電極空洞内にいる時間は、円軌道の半周の距離速さで進む時間であって、①と()を用いて、

......[]
注.問題文にも書かれていますが、荷電粒子が電極空洞内で半周する時間速さに依らないことに注意してください。これがサイクロトロンの特徴です。
() 軌道半径になったときの荷電粒子の速さとして、①より、
......[]
() このときの荷電粒子のエネルギーは、

......[]
() 直流電圧Vによる加速1回当たり荷電粒子のエネルギーずつ増加するので、加速された回数nは、()で割って、

......[]
1 n回加速後の荷電粒子のエネルギー
 ・・・②
回加速後の荷電粒子のエネルギー
 ・・・③
③÷②より、
......[]
n
回加速している間は、電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔は、()時間であればよく、
 ・・・④
n回加速後の時間間隔は、同様に考えると
 ・・・⑤
⑤÷④より、
......[]

(2)() ベータトロンにおいて、()と同様に、ローレンツ力遠心力との力のつり合いより、
 ・・・⑥

円運動する荷電粒子が周回する時間は、()と同様に、円周の距離速さで進む時間として、
電荷が同一地点を単位時間回通過するので、電流、即ち、単位時間に通過する電荷量は、
 (電流・オームの法則を参照)
......[
]
() 半径rの円を貫く磁束は、磁束密度と円の面積の積となり、
時間の間に磁束密度だけ増加すると、磁束の増加分は、
 ・・・⑦
円環に誘起される起電力の大きさは、電磁誘導の法則より、
 (磁束密度を増加させているのでであり、)
......[
]
() 一様な電場Eについて成り立つ公式: (電位・電圧を参照)より、円環上の電場の大きさは、一周するときの電位差を一周の距離で割って、

......[]
() 誘導電場から荷電粒子が受けるの大きさは、 (電界を参照)
時間の間に荷電粒子が受ける力積の大きさは、
これを運動量の変化に等しいとおいて(運動量の原理を参照)
 ・・・⑧
⑥より,また、⑧よりとなるので、時間後の速さは、

......[]
()  時間後のローレンツ力遠心力合力は、中心方向に、
 (2次の微小量として無視する)
 ( )
 ( ) ・・・⑨
()
......[]
() ()より、荷電粒子に中心方向にが働くので、軌道半径は小さくなります。
......[]
2 題意がとりづらいですが、「の関係式を求めよ」ということは、⑦の関係が成り立たないと考えよ、ということです。従って、⑥よりですが、r一定でに増加するときの運動量の増加量は、⑧ではなく、
とするべきです。
このとき、
()の⑨は、
となるので、時間後においても、ローレンツ力遠心力のつり合いが成立しています。
磁束の増加による起電力の大きさは誘導電場の大きさは,荷電粒子が誘導電場から受けるの大きさは,荷電粒子が受ける力積の大きさは(⑦を使っていないことに注意してください),これと運動量の増加量を等しいとおくと、
......[]
3 問2によると、磁束の増加分は磁束密度の増加分に円の面積をかけたものの2倍になっていますが、こうなるためには、円の中心に行くほど磁束密度が大きくなっている必要があります。従って、ベータトロンの磁極の断面形状は、(b) ......[]


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  1. 2009/03/26(木) 16:03:10|
  2. 京大物理'09年
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京大物理'09年[1]

京大物理'09[1]

次の文を読んで、  には適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

1のように、トラックが荷台に荷物を置いた状態で水平面の直線道路上を走る。その速さは図2に示すように、時刻0から時刻Tまで一定の割合で増加し、速さvに達する。荷物の大きさは縦、横、高さがそれぞれabhの直方体であり、その質量をmとし、重心位置は荷物の中心にあるものとする。また、トラックの荷台は常に路面と平行であり、荷台と荷物間の静止摩擦係数を,動摩擦係数をmとし、重力加速度の大きさはgとする。
速さ
vをある値に定め、加速を停止するまでの時間Tを変化させることによる荷台上の荷物の動きを考察しよう。このとき、走り始めから時刻Tまでの加速度の大きさは ア である。
まず、荷物が荷台をすべらないように走行するための条件を考える。時間
Tを長くとると荷物はすべらない。その間に荷物が荷台から受ける静止摩擦力は イ である。Tを短縮していくと荷物はすべり始める。荷物がすべらないためにはTはある値を越えていなければならない。その値をとしたとき ウ である。
次に、荷物は荷台をすべってもよいが荷台からはみ出さない条件、すなわち荷物が荷台上を動く距離が
Lを越えない条件を考える。荷物が荷台をすべっているとき、荷物の荷台に対する加速度は走行方向とは逆方向で、その大きさは エ となる。したがって、時刻Tに至るまでに荷物がすべる距離は オ となり、時刻Tでの荷物の荷台に対する相対速度の大きさは カ となる。時刻T以降で、荷物が荷台の上で停止するまでに動く距離は キ であり、結局 ク の条件が得られる。
次に荷物がすべらずに転倒する場合を考えよう。ここでは転倒の初期段階として荷物が回転を始める状況を考える。荷物が、
Pを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始めないためにはTはある値を越えていなければならない。その値をとしたとき、 ケ である。
荷物はすべるが回転を始めないための必要条件は、の表式により、 コ であることがわかる。

このトラックが図
3のように、半径Rの円周上を一定の速さVで走行している場合を考えよう。路面は内側に角度qで傾斜している。なお、Rに比べてトラックおよび荷物は十分小さいと仮定し、荷台面内での荷物の回転も起こらないものとする。
1 荷物がすべっていない状況を考える。このとき荷物と荷台との間に静止摩擦力が働かない状態での力の成分を図示し、そのときのトラックの速さ(とする)を求めよ。

トラックがこの円周上を速さで走行している場合を考える。その速さがある値を越えると荷物はすべり始める。そのときのトラックの速さは サ である。また、転倒の初期段階として荷物の回転を考えた場合、トラックの速さがある値を越えると、荷物はQを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始める。そのときのトラックの速さは シ である。したがって、荷物がすべり始めるときのトラックの速さと回転を始めるときのトラックの速さが一致する条件(荷物が回転を始めないためのがとり得る限界値) ス となる。

解答 基本に忠実に考えていけば充分に解答可能ですが、ボリュームはたっぷりあります。

() 時刻t ()における加速度の大きさは、時間Tの間に速度v増加するので、 ......[]
() トラックの荷台上で見て、荷物に働くは、トラックの走行方向と逆向きの慣性力,トラックの走行方向の静止摩擦力f,これらの力のつり合いより、
......[]
() 荷物がすべらない条件は、静止摩擦力f最大静止摩擦力以下となることで、
......[]
() 荷台上で見て、荷物に働く動摩擦力慣性力,荷物の運動方程式は、荷物の加速度a,走行方向を正の向きとして、

加速度は走行方向と逆向きなので、その大きさは、 ......[]
() 時間Tの間に荷物が進む距離は、
......[] (等加速度運動を参照)
() 時刻Tでの相対速度の大きさは、
......[]
() 荷物が停止するまでに動く距離として、時刻Tにもっていた運動エネルギー動摩擦力のする仕事によって失われてゼロになるので、エネルギーの原理より、
......[]
() 荷物の移動距離Lを越えないので、()()の結果より、
をかけて整理すると、

......[]
() 荷物の中心からPを通り紙面に垂直な軸に下ろした垂線と、荷物の高さ方向のなす角をjとすると、荷物が回転を始めない条件は、慣性力重力合力が荷物の高さ方向となす角がj以下であることです。右図より、
回転を始めない条件は、

......[]
() 荷物はすべるが回転を始めないための必要条件は、で、()()より、
......[]
1 荷台上で見て荷物に働くは、大きさで鉛直下向きの重力,大きさNで斜面に垂直上向きの垂直抗力、大きさで水平方向外向きの遠心力です。の成分は右図の通り。
鉛直方向の力のつり合いより、
水平方向の力のつり合いより、
によりNを消去して、
......[]
() トラックが速さVなので、荷物は外向きにずれて行こうとします。問1に加えて、荷物には斜面に沿って下向きに静止摩擦力fが働きます。
斜面に沿う方向の力のつり合いより、

斜面に垂直な方向の力のつり合いより、

荷物がすべり始める限界において、静止摩擦力f最大静止摩擦力に等しくなるので、

......[]
() 荷物の中心からQを通り紙面に垂直な軸に下ろした垂線と、荷物の高さ方向のなす角をfとします。転倒する限界において、重力遠心力合力、即ち、垂直抗力摩擦力合力(重力遠心力合力とつり合い、同じ大きさで逆向きになる)が荷物の高さ方向となす角がfに一致します。右図より、
分母を払って、

......[]
() ()()の結果が一致するとして、

......[]


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  1. 2009/03/25(水) 13:53:54|
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京大理系甲数学'09年[6]

京大理系数学'09[6]

極方程式 ()で表される曲線の長さを求めよ。

解答 曲線の長さは、媒介変数表示:で表される曲線のの部分の長さLの場合、次の積分で求めることができます。
 ・・・①
極方程式: ()で表される曲線の概形は右図のようになっています。
曲線上の点は、


q によって媒介変数表示されます(極座標を参照)
 (積の微分法を参照)

 (加法定理を参照)
 (半角の公式を参照)
においてはより、求める曲線の長さは、①を用いて、
......[] (不定積分の公式を参照)


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  1. 2009/03/24(火) 16:14:06|
  2. 京大数学'09年
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京大理系数学'09年甲[5]

京大理系数学'09[5]

pを素数、nを正の整数とするとき、pで何回割り切れるか。

解答 例えばとして考えてみます。
には
31つ含まれているので、1回割り切れます。
の中の
3の倍数は369で、素因数分解したとき、36には31つ含まれ、9には32個含まれるので、を素因数分解すると3の指数は4になり、4回割り切れます。
の中の
3の倍数は369121518212427で、このうち、3612152124の中には31つ含まれ、素因数分解したとき、918の中には32個含まれ、27の中には33個含まれるので、を素因数分解すると3の指数はとなり、13回割り切れます。
つまり、の場合、
1からまでの数の中にpの倍数、の倍数、の倍数が何個あるかを調べて行くことになります。
のときの検討を見ると、の倍数をの倍数に含め、の倍数を
pの倍数に含めて、1から27の中に、3の倍数が個,の倍数が個,の倍数が1個あるので、として、313回割り切れる、というように考えられることがわかります。従って、本問では、以下のように解答できるでしょう。
1からの中に、 ()の倍数は、個あります。
を素因数分解したときの
pの指数は,・・・, ()の和になるので、pで割り切れる回数は、
......[]


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  1. 2009/03/23(月) 14:39:00|
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京大理系数学'09年甲[4]

京大理系数学'09[4]

をみたす行列(abcdは実数)とし、正の整数nに対して
によりを定める。ならばすべてのnに対してであることを示せ。

解答 理系乙数学'09[4]と実質的に同じ問題です。
に、に、という具合に、数列の項番号が
1つずつずれているだけの違いです。


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  1. 2009/03/21(土) 14:25:04|
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京大理系数学'09年甲[3]

京大理系数学'09[3]

xyをみたす正の数で、不等式
をみたすとする。このときxyの組の範囲を座標平面上に図示せよ。

解答 の正負に注意しながら場合分けします。なお、対数関数を参照してください。

問題文の不等式において、より、


 (の正負が不明なので、気軽にをかけて分母を払ったりせずに、通分するようにしてください)

のとき、より、

ここで、

より、
または
のとき、より、



においてはなのでより、
のとき、より、


このときは、真数の大小関係と対数の大小関係が逆になることに注意して、
においてはなのでより、
のとき、より、



または
より、
または
以上より、

の範囲を図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線は含まない)


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  1. 2009/03/21(土) 14:22:15|
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京大理系数学'09年甲[2]

京大理系数学'09前期甲[2]

平面上に三角形と点を、に対してが辺に関して対称になるようにとる。の面積がの面積の正の整数倍となるとき、の値を求めよ。

解答 ちょっと見た目に複雑そうに見えますが、3倍角の公式で解決します。

 
()とすると、右図のように、となります。
面積は、
より、の面積は、

kを正の整数として、より、
より(三角関数の諸公式を参照)
()で両辺を割ると、
または
 ・・・① または  ・・・②
より、①では,②では
よって、①では,②では
より、①では,②ではに限られます。
以上より、
より、

......[]


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  1. 2009/03/20(金) 14:28:27|
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京大理系数学'09年甲[1]

京大理系数学'09[1]

次の各問にそれぞれ答えよ。
1 正の数aに対してxyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。Dを通り、3つの頂点OEGを含む平面に垂直な直線が辺BC(両端を含む)と点Pで交わるとき、aの値とPの座標を求めよ。
2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し、そうでないときは「失敗」とし、取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が2個、赤球が1個袋に入っていたとき、回まで失敗しn回目に成功する確率を求めよ。ただしとする。

解答 まずはウォーミングアップの空間ベクトルと確率の基本問題です。

1 
より、直線BCベクトル方程式
 ・・・①
よって、線分BC上の点Pの座標を ()とおくことができます。
題意より、直線
DPは、3つの頂点OEGを含む平面に垂直なので、かつです。

 ・・・② (内積を参照)
 ・・・③
③より、 ()
②より、
①より、
よって、
Pの座標 ......[]

2 1回目、3個の球から2個の球を取り出す方法が通り。2個の球がいずれも白球である(つまり「成功」する)のはそのうち1通りで、その確率,失敗する確率は
2回目、4個の球から2個の球を取り出す方法が通り。2個の球がいずれも白球である(「成功」)のはそのうち1通りで、その確率は,失敗する確率は
1回目に失敗して2回目に成功する確率は
のとき、回目まで失敗が続くと、赤球の個数は個になり、赤球、白球合わせて個の球があります。
n回目は個の球から2個の球を取り出す方法が通り。2個の球がいずれも白球(「成功」)であるのはそのうち1通りで、その確率は、
失敗する確率は、
以上より、回まで失敗しn回目に成功する確率は、
......[]


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  1. 2009/03/20(金) 14:25:40|
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京大理系乙数学'09年[6]

京大理系数学'09[6]

abを互いに素、すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし、さらにaは奇数とする。正の整数nに対して整数をみたすように定めるとき、次の(1)(2)を示せ。ただしが無理数であることは証明なしに用いてよい。
(1) は奇数であり、は互いに素である。
(2) すべてのnに対して、は奇数であり、は互いに素である。

解答 (2)は、単純な数学的帰納法でやろうとしてもうまく行きません。ここでは、連立漸化式に従う数列が3項間漸化式にも従うことを利用し、前2つを仮定して次を導く形の数学的帰納法を考えることにします。なお、整数を参照してください。

まず、
ABCDが有理数であるとき、
であれば、
かつ
であること ・・・() を示しておきます。
において、と仮定すると、
となって無理数が有理数に等しくなる、という不合理を生じるので、
よって、()が成り立ちます。

(1)
よって、
は整数なので、()より、
となります。ここで、は奇数、は偶数なので、は奇数です。
が公約数
d ()をもつとすると、pqを正の整数として、
 ・・・①
 ・・・②
とおくことができます。また、は奇数なのでdは奇数です。
②より,これを①×
aに代入して、

これより、daの約数です。また、①より、
右辺は、奇数dの倍数でbdの倍数になり、dabの公約数になります。題意より、ab1以外の公約数をもたないので、に限られ、は互いに素です。

(2) まず、(1)に習って普通に数学的帰納法でできないか考えてみます。
のときは、で、は奇数であり、は互いに素です。
のとき、が奇数であって、が互いに素であると仮定します。

は整数なので、
となります。ここで、は奇数では偶数なのでも奇数です。
が公約数
d ()をもつとすると、dは奇数です。
pqを整数として、
 ・・・③
 ・・・④
とおくことができます。
③×
a-④×より、
④×a-③×bより、
これらより、は公約数dをもちます。
は仮定により互いに素なので、
dの約数 ・・・⑤ ということになりますが、これだけでは条件不足で、に限る、ということが言えません。

そこで(1)の意味を考えてみます。(1)では、の場合を示したわけで、の場合との場合については既に示せているわけです。
一方で、③,④により、数列の連立漸化式が与えられますが、連立漸化式に従う数列は、
3項間漸化式: (rsは定数)にも従います。
3項間漸化式を利用すると、の場合、の場合を仮定して、の場合を導く、という形の数学的帰納法が利用できそうです。

まず、
3項間漸化式を作ります。
整数が、
 ・・・⑥
によって定まるとき、上記にも書きましたが、

より、

という連立漸化式が得られます。このとき、と仮定すると、
となるので、となり、すべての自然数nについて、
 ・・・⑦
が成り立ちます。とおくと、
⑥+⑦より、 ・・・⑧
⑥-⑦より、 ・・・⑨

3項間漸化式:
の一般項は、特性方程式:が異なる
2実数解abをもつとき()
の形に表せることを思い出すと、
の場合には、

より、ab は、2次方程式:2解なので、3項間漸化式は、
 ・・・⑩
 ・・・⑪
という形になりそうです。⑧を用いて、


 ( ab は、2次方程式:2)
となり、⑩が成り立ちます。⑪も⑨を用いて同様に示せます。

今度は、数学的帰納法の枠組みを変えて、
のときは、は奇数であり、は互いに素、また、(1)より、は奇数であり、は互いに素です。
のとき、は奇数であり、が互いに素、が互いに素だと仮定します。
 ・・・⑫
 ・・・⑬
⑫において、は奇数、は偶数なのでは奇数です。また、の公約数をdとすると、dは奇数であって、上記の⑤のときと同様にして、
⑫×
a-⑬×より、

⑬×
a-⑫×bより、

⑤でも見たように、
dは、の公約数で、が互いに素であるという仮定により、dの約数となり、rを整数として、
 ・・・⑭
とおけます。
⑩によると、
この右辺はdの倍数なので、dの倍数です。
同様に⑪より、
dの倍数です。
仮定により、は互いに素であり、
dの約数であって奇数なので、daの約数となり、sを整数として、
とおけます。⑭に代入すると、

これより、dは、奇数なのでbの約数で、abの公約数となり、に限られます。
つまり、のときも、は奇数であって、は互いに素です。
よって、数学的帰納法により、すべてのnに対して、は奇数であり、は互いに素です。


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京大理系乙数学'09年[5]

京大理系数学'09[5]

xy平面上で原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式 ()により表される曲線をCとする。Cx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

解答 単なる微積の計算問題です。この問題は落とせません。

曲線
Cは右図のような形をしています。
曲線
C上の点の座標は、xy座標系で、
 ・・・①
 ・・・②
と表せます(極座標を参照)。①より、
より、q 0からpまで動くと、1からまで動き、x3からまで単調に減少します。
従って、求める体積
Vは、
で与えられます。①を用いて、xの積分をq の積分に変える(置換積分を参照)と、①より、
 (積の微分法を参照)
xのとき、q
②より、




 (偶数乗のところは消える)

......[
]


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  1. 2009/03/18(水) 12:26:43|
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京大理系乙数学'09年[4]

京大理系数学'09[4]

をみたす行列とする(abcdは実数)。自然数nに対して平面上の点
により定める。の長さが1のとき、すべてのnに対しての長さが1であることを示せ。ここでOは原点である。

解答 ベクトルの大きさを変えない1次変換(直交変換と言います。直交変換については、1次変換その2を参照)は、回転変換(行列式が1)と鏡映変換(行列式が)に限られる、という、慶大理工'09[B1]と同一テーマの問題です。京大の本問では、という条件がついているので回転変換になります。また、そのほか、スタートがなので、x軸方向に長さを変えない1次変換(固有値に対する固有ベクトルが)も条件をみたします。

より、
 ・・・①
より、

 ( )
 ( )
または

(i) のとき、
①より、
また、より、 
(複号同順)
つまり、,または、 (bは任意の実数)
前者では、
後者では、
いずれにしても、です。

(ii) のとき、
①より、とおくことができます。よって、
 ・・・②
ABを実数として、
 ・・・③ ただし、であれば、
③がq に関わらず成立するためには、,つまり、
よって、②より、
 ・・・④
 ・・・⑤
④より、は直交する(内積を参照)ので、とおくことができます。
⑤より、
,または、
前者では、
これは、より条件をみたしています。
行列
Aは原点の回りに反時計回りに角q 回転する1次変換を表す行列なので、ベクトル
の大きさはの大きさと同じで1です。よって、です。
後者では、
これは、となり条件をみたしません
(ですが、このときもです)

以上より、の長さが1のとき、すべてのnに対しての長さは1です。


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  1. 2009/03/17(火) 07:48:12|
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京大理系乙数学'09年[3]

京大理系数学'09[3]

n枚のカードを積んだ山があり、各カードには上から順番に1からnまでの番号がつけられている。ただしとする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。1回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上にもどすか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う。これらn通りの操作はすべて同じ確率であるとする。n回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード(番号n)が山の一番上にきている確率を求めよ。

解答 試行をn回行うので、すべての試行で番号nのカードが1つ上に上がるのではなく、n回のうち1回だけ上に上がらない試行があること、また、番号nのカードが一番上にあるときとそうでないときとで違いがある(解答では、場合分けして考えます)ことに注意しましょう。以下の解答では、参考までに[...]内にピンク色の文字の場合を示します。
なお、
確率積事象を参照してください。

・番号nのカードが上からk枚目の位置()にあるとき、一番上にあるカードを取ると、番号nの下側では入れる位置が通り、番号nのカードの上側では入れる位置が通りあります。このとき、以下の(i)(ii)のいずれかの事象が起こります。
(i) 一番上にあったカードが番号nのカードよりも下側に入る事象
この確率は、n通りの位置のうちから通りの位置のどれか1つの位置を選ぶので、です。このときに、番号nのカードの位置が1つ上になり、上から枚目の位置にきます。
[番号6のカードが上から3番目にあるとき、一番上にあったカードが番号6よりも下側に入る確率は]
(ii) 一番上にあったカードが番号nのカードよりも上側に入る事象。
この確率はです。このときは、番号nのカードの位置は変わりません。
[番号6のカードが上から3番目にあるとき、一番上にあったカードが番号6よりも上側に入る確率は]

1回目の試行の前に、番号nのカードは上からn番目の位置にいます。
[1回目の試行の前に、番号6のカードは上から6番目にいます]
1回目に事象(i)が起きたとき、第2回目の試行の前に、番号nのカードは上から番目の位置にいます。
[1回目に事象(i)が起きたとき、第2回目の試行の前に、番号6のカードは上から5番目にいます]
2回目まで連続して事象(i)が起きたとき、第3回目の試行の前に、番号nのカードは上から番目の位置にいます。
[2回目まで連続して事象(i)が起きたとき、第3回目の試行の前に、番号6のカードは上から番目の位置にいます]
回目まで連続して事象(i)が起きたときには、第回目の試行の前に、番号nのカードは上からk番目の位置にいます。
[回目まで連続して事象(i)が起きたときには、第回目の試行の前に、番号6のカードは上から3番目の位置にいます]
上記の事象(ii)が起きるのは事象(i)回連続した後の第回目です。第回目以降は事象(i)が続いて、起こります。
[上記の事象(ii)が起きるのは事象(i)回連続した後の第回目です。第回目以降は事象(i)が続いて、起こります]

以下では、第1回目の試行から第回目の試行の間に事象(ii)が起きてしまうときに、n回の試行を終えたとき、番号nのカードが一番上に来る確率を考えます。

1回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起きる確率は、

[]
1回目に事象(i)が起こり、第2回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起こる確率は、

[]
2回目まで連続して事象(i)が起こり、第3回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起こる確率は、

[]
回目まで連続して事象(i)が起こり、第回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起こる確率は、
 ()
[]

・番号nのカードが上から1枚目の位置()にあるとき、つまり、第回目まで連続して事象(i)が起こり、第n回目の前に番号nのカードが一番上に来ているとき、最終的に番号nのカードが一番上にあるようにするためには、上記とは異なり、第n回目の試行では一番上のカード(番号n)を取って、再び一番上に置く(確率)ことになります。この確率は、

[]

以上より、求める確率は、だけが、,・・・,と異なる形をしていることに注意して、
 (k2からnまで動くときに1からまで動く)
......[
]


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京大理系乙数学[2]

京大理系数学'09前期乙[2]

平面上の鋭角三角形の内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、BCPを通る円の中心、CAPを通る円の中心、ABPを通る円の中心とする。このときABCが同一円周上にあるための必要十分条件はPの内心に一致することであることを示せ。

解答 十分性:「Pの内心」⇒「ABCが同一円周上」
の方はすぐですが、
必要性:「
ABCが同一円周上」⇒「Pの内心」
がなかなか厄介です。
必要性を示すときに、
Pが内心であることや、APが一直線上にあることを前提としないように注意しましょう。の二等分線であることは簡単に言えますが、P上には存在しないという仮定(誤りですが)に立って論証するようにします。
また、点
Pのまわりで角を考えると、などとうまく結びつかずに考えにくくなります。BCPを通る円の中心とする、ということは、は三角形BCPの外心だと言うことです。外心は各辺の垂直二等分線の交点なので、この垂直二等分線との間にできる角を考えるようにします。

ABCが同一円周上にあるとします(この円をDとします)
三角形
ABCの内部の点Pに対して、
BCPを通る円の中心は、PBの垂直二等分線とPCの垂直二等分線の交点です。
CAPを通る円の中心は、PCの垂直二等分線とPAの垂直二等分線の交点です。
ABPを通る円の中心は、PAの垂直二等分線とPBの垂直二等分線の交点です。
Dについて、上に立つ円周角は等しいので、
また、三角形と三角形は合同なので、
つまり、
また、
ABPを通る円について、PBの上に立つ中心角は円周角2倍です。
つまり、
 ・・・①
Dについて、上に立つ円周角は等しいので、
また、三角形と三角形は合同なので、
つまり、
また、
CAPを通る円について、PCの上に立つ中心角は円周角2倍です。
つまり、
 ・・・②
また、三角形は、である二等辺三角形なので、
これと、①,②より、
同様にして、
よって、点
Pは三角形ABCの内心です。

Pの内心だとします。
です。
また、を中心とし、
BCPを通る円について、PBの上に立つ中心角は円周角2倍です。
同様に、
PCの上に立つ中心角は円周角2倍です。
三角形の内角の和は
pなので、
よって、対向する頂角が互いに補角をなすので、四角形は円に内接する四角形です。
同様にして、四角形,四角形も円に内接する四角形です。

3つの四角形の外接円は、いずれも三角形ABCの外接円であって同一の円です。
従って、
ABCは同一円周上にあります。
以上より、
ABCが同一円周上にあるための必要十分条件は、「Pの内心に一致すること」です。


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  1. 2009/03/14(土) 13:23:32|
  2. 京大数学'09年
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京大理系数学'09年乙[1]

京大理系数学'09[1]

xyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEsに内分する点をP,辺CGtに内分する点をQとおく。ただしとする。Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなstのみたす条件を求めよ。

解答 2つのベクトル方程式が指定範囲に解をもつ条件を考えます。
なお、途中で
2つのベクトルの双方に垂直なベクトルを求める必要がありますが、これについては外積も参照してください。

より、
より、
双方に垂直なベクトルをとすると、

 (内積を参照)



よって、Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線のベクトル方程式:
 ・・・①
より、直線ACのベクトル方程式:
 ・・・②
線分AC上の点では
①と②が交点をもつとして、それぞれの
x成分,y成分,z成分を等しいとおくと、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
⑤より、
④より、
③より、
 ・・・⑥
より、 ・・・⑦
⑥より、ですが、より、
 ・・・⑧
⑦かつ⑧より、 ・・・⑨
⑥かつ⑨が満たされれば、③,④,⑤がを満たす解をもち、直線①と線分②が交点をもちます。
求める条件は、
......[]


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  1. 2009/03/13(金) 14:26:57|
  2. 京大数学'09年
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東工大物理'09年前期[3]

東工大物理'09年前期[3]

1のように、気球部と機械部で構成される気球がある。気球部は熱を通さない断熱膜でできており、その内部にはnモルの空気が密閉されていて気体の出入りはない。気球部の体積は変化でき、内部の空気と外部の大気の圧力は常に等しい。一方、気球内部の空気(以後、気球内ガスと呼ぶ)に対しては、機械部にある装置によって熱を加えたり奪ったりすることができる。気球は質量の無視できるロープで地上の巻き上げ機につながっており、断熱膜と機械部の体積は無視できるとする。
大気の圧力は地上においてはであり、高さとともに減少する。一方、大気の温度は高さによらず一定の値であるとする。空気は理想気体と見なしてよい。また、気体定数を
R,温度をTとすると、1モルの空気の内部エネルギーuとしてよい。
気球が押しのけた領域にあった大気の平均密度は、気球の中心の高さにおける大気の密度で近似できるものとする。空気
1モルあたりの質量をmとし、重力加速度の大きさをgとする。以下の問いに答えよ。
(a) 圧力がpで温度がの大気の密度(単位体積あたりの質量)rを、pRmを用いて表せ。
(b) 1のように、気球を地上の台上に固定したまま気球内ガスを加熱したところ、気球内ガスの温度がになったとき気球に働く浮力と重力がつり合った。このとき、気球内ガスを除いた気球の質量(断熱膜と機械部の質量の和)Mを、nmを用いて表せ。
(c) 気球を地上の台上に固定したまま気球内ガスをさらに加熱し、温度をにした。温度の状態から温度になるまでに加えられた熱量Qを、Rnを用いて表せ。
(d) (c)で温度がのときのロープの張力はどれだけか。問(b)の結果も用い、張力をgmnを用いて表せ。
(e) (c)で温度をにしたあと、図2のように巻き上げ機をゆるめて気球をゆっくりと上昇させる。すると気球はある高さまで上昇し、つり合って止まった。このときの気球内ガスの温度を求めよ。
(f) (e)の上昇過程で、気球内ガスが外の大気に対してした仕事を求めよ。
(g) (e)の過程ののち、ロープを切り離す。その後、気球内ガスから熱をゆっくりと奪い、気球をゆっくりと下降させて地上の台上にもどした。このときの気球内ガスの状態変化はどのようなものか。次の5つの選択肢の中から1つを選んでその番号を記せ。
定積変化, ② 定圧変化, ③ 等温変化, ④ 断熱変化, ⑤ ①~④のどれでもない

解答 (e)の過程において、気球内ガスが断熱膨張し気球内ガスの温度が下がっている、ということに気がつかないと、(f)(g)で戸惑うかも知れません。ですが、誘導がていねいなので何とか解答したい問題です。

(a) 温度の気球内ガス1モルについて、圧力p体積Vとして、
状態方程式 ・・・①
空気
1モルの質量mなので、空気1モルが占有する体積Vであれば、空気の密度rは、
よって、
これを①に代入して、
......[]

(b) 地上の大気の密度とすると、圧力温度なので、(a)の結果より、
 ・・・②
加熱後の気球内ガスの圧力は、断熱膜を通して大気圧とつり合っているので、大気圧です。温度になったので、(a)の結果より気球内ガスの密度は、
 ・・・③
このとき、気球の体積とすると、気球に働いているは、浮力,気球内ガスに働く重力,断熱膜と機械部に働く重力で、これら3力の力のつり合いより、
②,③を用いて、
 ・・・④
このときの気球内ガスの状態方程式
これを④に代入すると、
......[]

(c) 温度から温度への変化は、その間断熱膜を介して気球内ガスの圧力大気圧とのつり合いが成立しているので、定圧変化です。
1モルの空気の内部エネルギーだということは、空気の定積モル比熱、定圧モル比熱をとして、 (マイヤーの関係式を参照)
定圧モル比熱の式より、気球内ガスに加えられた熱量Qは、
......[]

(d) 温度になったときの気球の体積,気球内ガスの密度とします。は、(a)より、
 ・・・⑤
気球に働いているは、浮力,気球内ガスに働く重力,断熱膜と機械部に働く重力,ロープの張力Fです。力のつり合いより

②,⑤,
(b)の結果を用いて、
 ・・・⑥
このときの気球内ガスの状態方程式
これを⑥に代入すると、張力
Fは、
......[]

(e) 気球が上昇して力のつり合いが成立したとき(気球内ガスの温度)の気球の体積,気球内ガスの密度,また気球の高さでの大気圧,大気の密度とします。は、(a)より、
 ・・・⑦
気球に働いているは、浮力,気球内ガスに働く重力,断熱膜と機械部に働く重力です。力のつり合いより、
⑦と(b)の結果を用いて、
 ・・・⑧
このときの気球内ガスの状態方程式
これを⑧に代入すると、
......[]
別解.(d)の結果において、と書き換えとしても、が得られます。

(f) 気球内ガスは断熱膜で囲まれているので、(e)における過程は断熱変化です(温度,断熱膨張なのでに注意)熱力学第一法則により、気球内ガスが外気に対してした仕事は、内部エネルギーの変化をとして、
(e)よりなので、
......[]

(g) まず、ロープを切り離した後の過程は、問題文中に「熱をゆっくりと奪い」と書かれているので断熱変化ではありません。
気球の下降は問題文中に「ゆっくりと」と書かれているのですが、極めて小さな速さ等速度運動している、と、考えます。従って、気球が下降している間に、気球内ガスの圧力大気圧とのつり合いがつねに成立しており、高さの減少による大気圧の減少に伴って、気球内ガスの圧力と変化します。よって、定圧変化でもありません。
この過程において、気球内ガスの
圧力p体積V温度Tとして、状態方程式
を考えると、pと増大し、温度は、ロープを切り離した時の温度(e)により,地上において浮力重力のつり合いが成立していた時の温度(b)によりなので、気球の下降の前後での温度の変化はなく、Vは減少するので、定積変化でもありません。
気球に働く力のつり合い
(e)と同様にして考えると、下降の最初と最後で温度が一致するだけではなく、下降の過程において温度はつねにになっています。よって、この過程は等温変化で、③ ......[]


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  1. 2009/03/12(木) 08:40:44|
  2. 東工大物理'09年
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東工大物理'09年前期[2]

東工大物理'09年前期[2]

1のように、真空中に、面積S2枚の水平な金属円板からなる平行板コンデンサーがある。平行板コンデンサーの下電極はつねに固定されているが、上電極は鉛直方向のみに自由に動くことができる。下電極の位置を基準とし、鉛直上向きを正とする座標xを考える。上電極の質量をm,重力加速度の大きさをg,真空の誘電率をとする。ただし、電極間の距離はつねに金属円板の半径より十分に小さいものとする。また、電極の厚さ、および電極の振動によって発生する電磁波は無視できるとして以下の問いに答えよ。
[A] 平行板コンデンサーの上下電極に、それぞれおよび ()の電荷を蓄え、はじめに上電極をの位置に外力によって固定した。
(a) 外力を変化させ、上電極を位置からに移動させた。コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化を求めよ。
(b) 静電エネルギーの変化をもとに、上電極の位置がのときに、極板間に働く静電気力の大きさを求めよ。
(c) 2のように、ばね定数kの重さが無視できるばねを上電極に取り付け、ばねの上端を固定した。このとき、上電極はの位置で外力によって支えられており、ばねは自然長である。上電極を支えていた外力をはずしたところ、上電極は下電極に接することなく単振動をはじめた。上下電極の間隔が最も狭いとき、下電極の電位を基準として上電極の電位を求めよ。ただし、上下電極にはそれぞれおよびの電荷が常に蓄えられており、ばねに電荷が逃げることはないものとする。
[B] 1の平行板コンデンサーの上下電極を完全に放電した後、図3に示すように厚さ,誘電率,面積Sの誘電体円板を、下電極に完全に重なるように置き、電流計と起電力の電池を接続した。さらに外力を用いて、図4に示すように、上電極の位置がからの間で周期Tをもって周期運動するように動かした。上電極は時刻から (n0以上の整数)の間、一定の速度で動いている。電池と電流計の内部抵抗は無視できるものとする。
(d) を満たすある時刻tにおいて、上電極はの位置にあった()。平行板コンデンサーの容量を求めよ。また、平行板コンデンサーの上電極に蓄えられている電荷量を求めよ。
(e) aDに比べて十分に小さいとして、問(d)で求めたの近似値を求めてみよう。問(d)で求めたは、上電極の位置がのときのコンデンサーの容量をとすると、
と書ける。ここでであるので、bDに比べて十分に小さい。そのため、()1よりも十分に小さい。1より十分に小さいz ()に対して成り立つ近似式を使うと
と近似できる。()()を求めよ。
(f) (e)で求めたの近似値を用いて、電流計が示す電流の変化の様子を時刻0からの範囲で答案用紙の解答欄に図示せよ。また、電流計が示す電流の最大値を答えよ。ただし、電池の正極から電流が流れ出すときの電流値を正とする。また、時刻付近(答案用紙中の斜線の領域)における様子は示さなくてよい。

解答 コンデンサーに関する標準的な問題です。

[A](a) のとき、コンデンサーの静電容量静電エネルギーは、
のとき、コンデンサーの静電容量静電エネルギーは、
静電エネルギーの変化は、 ......[]
(b) 極板間には引力が働くので、両極板を引き離すために外力は正の仕事をすることになります。極板間の電気力線の密度は極板間距離が変化しても変わらないので、極板間の電界も変わらず静電気力も変化しません。静電気力に逆らって外力のする仕事,これが(a)静電エネルギーの変化分になるので、
......[]
(c) 極板間には引力が働くので、(b)静電気力の向きは、上極板では鉛直下向き(x軸負方向)です。上極板には他に、重力 (x軸負方向),上極板の位置をxとしてばねの伸びとなるのでばねの弾性力 (x軸正方向)が働きます。これらの力のつり合いより、
振動中心(力のつり合いの位置)x座標は、
はじめ、上極板はにいたので、単振動振幅,上下電極の間隔が最も狭いときには上極板は振動端にあって、そのx座標は、
(とおく)
このときの静電容量,下極板を基準とする上極板の電位は、公式(b)の結果を用いて、
......[]

[B](d) 極板間隔,極板間の誘電率のコンデンサーと、極板間隔,極板間の誘電率のコンデンサーの直列接続の合成容量になると考えます。
......[]
......[]
(e) のときの静電容量は、(d)として、
(d)は、
より、
() () ......[]
(f) 上極板は、においては、問題文のグラフより時間の間に距離a進むので、速さとなります。
jを自然数として、上極板の速度は、のときに、
のときに、
時刻付近を除いて(のときにが存在しない)電流 (電池の正極から電流が流れ出すときにコンデンサーの上極板の正電荷が増大するのでとなることに注意)は、(d)の近似を用いて、
よって、のとき、
()
のとき、
()
よって、電流の変化の様子は右図。また、
......[]


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  1. 2009/03/11(水) 12:47:22|
  2. 東工大物理'09年
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東工大物理'09年前期[1]

東工大物理'09年前期[1]

質量がmである2つの小さな物体ABを、自然長L,ばね定数kの重さが無視できるばねの両端につける。それを、物体Aが鉛直な壁に接するように、水平な床の上に置く。図に示すように、物体Bに力を加えてばねを自然長から長さlだけゆっくり縮め、瞬時に力を除く。物体Aが壁から離れた後、ばねの中点Pから見て、物体Aと物体Bはそれぞれ単振動する。物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、床と壁は平らでなめらかである。
(a) 物体Aが壁から離れるときの、物体Bの速さを求めよ。
(b) 物体Aが壁から離れた直後の、ばねの中点Pの速さを用いて表せ。
(c) 物体Aが壁から離れる時刻をとし、その後、ばねの長さがはじめて自然長Lになる時刻をとする。を求めよ。
(d) 時刻の後、ばねの長さが次に自然長Lになる時刻をとする。時刻におけるばねの長さLlを用いて表せ。
(e) 時刻における物体Aの速さを求めよ。
(f) 時刻に、物体Bに水平方向の撃力を加えたところ、ばねの中点Pが静止した。撃力とは極めて短い時間に物体に作用する力である。撃力の力積の大きさIを用いて表せ。

解答 東工大の力学の問題としては軽めです。問題文は、ばねの中点から見た相対運動として考えるように書かれているので、それに即して考えてみます。

(a) 物体Aの最初の位置原点にとってx軸を考え、物体B位置xとします。ばねの縮みです。物体B加速度aとして物体B運動方程式は、

これは、自然長の位置を振動中心とする角振動数単振動を表します。
物体
Aは壁から離れる瞬間まで静止しています。物体Aに働くは、ばねから受ける左向きの弾性力と壁から受ける右向きの垂直抗力Nです。両者の力のつり合いより、
物体Aが壁から離れる瞬間にとなります。

従って、物体Aが壁から離れる瞬間に、ばねの長さ自然長で物体Bは単振動の振動中心にあり速さが最大になっています。最初に長さlだけ縮めて瞬時にを除いたので単振動の振幅lです。単振動の公式より、
......[]
別解.ばねが最も縮んだときと、物体Aが壁から離れる瞬間との力学的エネルギー保存より、
 ∴

(b) 物体Aが壁から離れる瞬間以降の物体A,物体B位置とします。系の重心、つまり、ばねの中点P位置は、
P速度は、
物体Aが壁から離れた直後に、より、点P速さは、
......[]
別解.物体Aと物体Bからなる系の質量で、系の重心はばねの中点にあり、重心の速さはばねの中点の速さになります。物体Aが壁から離れる瞬間の系の運動量は、物体B運動量(物体A運動量0)と見れば,重心の運動量と見れば,両者は一致するので、
......[]

(c) 物体Aが壁から離れる瞬間以降、ばねの長さです。右向きを正として、物体Aに働く,物体Bに働くです。物体A,物体B加速度として、
物体A運動方程式 ・・・①
物体
B運動方程式 ・・・②
①+②より、
よって、物体
A+物体B加速度で、系の重心,つまり、ばねの中心Pは、初速度のまま等速度運動を続けます。ここで、
 ・・・③
同様に、
 ・・・④
また、は定数なので、
①に③を、②に④を代入することにより、①,②を、

と変形することができます。これが、ばねの中点から見た物体A,物体Bの運動方程式です。これより、

よって、物体A,物体Bともに、重心から見た運動は、角振動数単振動になります。周期Tは、
ばねは自然長から一旦伸びてまた縮むのですが、の後、はじめてばねが自然長になる時刻は、
......[]
別解.ばねをばねの中点P2つに分け、半分ずつのばねで物体A,物体B単振動を行う、と、考えると、半分のばねのばね定数はになるので、単振動の周期,求める時刻はこの半分で、

(d) において、ABとも振動中心にあり、となるので、単振動の振幅Cとして(物体Aと物体Bの運動は、ばねの中点に関して対称なので、両者の振幅は一致し、変位の符号が逆になります)
 ・・・⑤
 ・・・⑥
⑤を微分すると、

ここで、とすると、このとき、より、

 ・・・⑦
⑥-⑤より、ばねの
長さは、
 ・・・⑧
時刻の後、次にばねが自然長になる時刻は、から半周期後で、
を⑧に代入すると、時刻tにおけるばねの長さは、
 ( )
......[] ( )
別解.においては、ばねの縮み最大値dとなり、物体Aは物体Bに対して静止の状態、つまり、物体Aと物体Bは同じ速度uになります。との運動量保存より、

 ( (a))

(e) における物体A速さは、1周期前ののときの速さに等しく、0 ......[]

(f) 撃力を受ける直前に系の運動量は、物体B速度 (での速度に等しい)なので、です。ばねの中点が静止する、ということは、系の運動量0になる、ということです。従って、与える撃力の力積の大きさは、 ......[]


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  1. 2009/03/10(火) 14:20:12|
  2. 東工大物理'09年
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東工大数学'09年前期[4]

東工大数学'09前期[4]

xyz空間の原点と点を通る直線をとする。
(1) 上の点を通りと垂直な平面が、xy平面と交わってできる直線の方程式を求めよ。
(2) 不等式の表すxy平面内の領域をDとする。を軸としてDを回転させて得られる回転体の体積を求めよ。

解答 斜回転体の空間版ということでギョっとさせられますが、(1)が強力なヒントになっていて方針を立てやすくなっています。

(1) 現行課程の範囲外ですが、平面の方程式を知っていれば、法線ベクトルがである平面の方程式は、
とおけて、平面が点を通るとき、
 ∴
よって、に垂直でを通る平面pの方程式は、
xy平面()と交わってできる直線は、として、
と、簡単に求めることができます。
現行範囲で考えるのであれば、に垂直でを通る平面
p上の点について、
平面pと垂直なので、と垂直。とおくと、
 
(内積を参照)
これを満たす1次独立なベクトルを2個作ります。例えば、を選ぶ(他にも考えられます)と、
平面p ・・・①
①とxy平面との交線をを求めるために、①において、とすると、
このとき、
uを消去するために、両辺ととの内積を作ると、

......[]

(2) 回転体の体積は、回転軸(直線)に垂直な平面pで回転体を切ったときにできる断面の面積を回転軸に沿って積分することによって求めることができます。
まず、より領域Dの範囲に存在していることに注意します。また、放物線における接線の傾き1であって放物線は上に凸なので、直線を含みxy平面に垂直な平面を越えて回転体がはみだすことはありません。また、放物線のにおける接線の傾きはなので、のときの平面pを越えて回転体がはみだすこともありません。
ここで、直線と領域
Dの境界線との交点を調べておきます。
直線
x軸との交点は
直線との交点は、

このとき、
より、
よって、直線と領域
Dが交わりをもつのは、のときです。
平面
pと領域Dとの交わりの部分は、直線の部分の線分です。この線分をのまわりに回転すると、線分上の点で、回転の中心から最も遠い点は,最も近い点はなので、このときにできる図形の面積は、との距離を半径とする円の面積から、との距離を半径とする円の面積を引いたものになります。


原点Oと点との距離をs (回転軸に沿って測った原点から平面pまでの距離)として、

のとき、 ・・・⑤
回転体の体積Vは、の範囲でsに関して積分したものになり、
sの積分を⑤によってtの積分に変えます(置換積分を参照)


とおくと、tのとき、u
また、
......[]


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  1. 2009/03/09(月) 09:58:24|
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東工大数学'09年前期[3]

東工大数学'09前期[3]

Nを正の整数とする。以下の正の整数mnからなる組で、方程式N以上の実数解をもつようなものは何組あるか。

解答 150分で4問解答なら、の範囲に実数解をもつときの格子点の数を数える、というくらいでないと、東工大の問題としては物足りない気がします。

とおくと、
 ・・・①
であれば、方程式:は、の範囲に実数解をもちます(の軸の位置はです)
のとき、ですが、このうち①をみたす組み合わせは、
のみです。のとき、
は、 ()を解に持ちます。
条件をみたすの組は、
1組あります。
のとき、ですが、
のときは、はすべて①をみたし、の範囲に実数解をもちます。
のときは、が①をみたします。
のとき、の解はなので条件をみたします。
のとき、は実数解
2をもつので条件をみたします。
のときは、が①をみたしますが、の実数解1Nより小さいので条件をみたしません。
のときは、①をみたすmはありません。
条件をみたすの組は、6組あります。
ここまでで、感じがつかめると思いますが、条件①のほかに、N以上の実数解をもつという条件を考える必要があります。この条件は、です。が満たされるとき、なので方程式となる実数解をもちます。よって、

 ・・・②
nm平面上で①かつ②をみたす領域内の格子点の数を数えることになります。境界線
 ・・・③
 ・・・④
の関係を調べると、
より、③が④の上側にあり、境界線③,④はで接しています。のときはよりとなり、接点のmの値はより大きく、③,④の接点は、の範囲に入りません。
従って、のときには、①を考える必要はなく、②かつかつ
(右図黄緑色着色部分の台形領域)をみたす整数mnの組を数えればよいことになります。
境界線④は、を通り、の下を通ります。領域内の直線上には
N個の格子点(座標が整数の点)があり、「 かつ 」の長方形内には、個の格子点があります。合わせて、個の格子点があります。を代入すると、正しい結果を与えます。
条件をみたす整数の組は、
......[]


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  1. 2009/03/07(土) 14:48:54|
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東工大数学'09年前期[2]

東工大数学'09前期[2]

実数aに対し、次の1次変換
を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。
(1) Lは点を通る。
(2) QL上にあれば、そのfによる像L上にある。

解答 ‘97年の入試まで頻出であった不動直線の問題ですが、1次変換の行列表現を与えて不動直線を求めよ、というのではなく、不動直線をもつ条件を求めよ、という問題になっています。

(1)の条件より、直線Lを、 (kは実数の定数)またはと表すことができます。
(i) 直線Lの場合、 (t は任意の実数)として、
もまた直線L上の点になるので、
整理して、
t は任意の実数なので、
 (恒等式を参照)
とすると、なので、
よって、,つまり、となりますが、
とすると、なので、
とすると、
 (このとき、L)
(ii) 直線Lの場合、 (t は任意の実数)として、
もまた直線L上の点になるので、
t は任意の実数なので、
(i)(ii)より、 ......[]
追記.行列が表す1次変換で、直線: (),直線:上の点が、各々、もとの直線上に移る条件を考えてみましょう。
直線:上の点の座標は、
tを実数として、とおけます。
 (この場合はとします)
より、移った先の点が再び直線:上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、より、


bをかけて整理すると、
 ・・・①
これは、Aの固有値を求める方程式:
において、としたであって、Aが固有値1を持つことを意味しています。
直線:上の点の座標は、
tを実数として、をおけます。
より、移った先の点が再び直線:上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、
(i) の場合は①に含まれます。つまり、Aが固有値1を持ちます。
(ii) の場合は、の形であればよいことになります。
(i)は、本問では、
(ii)は、本問では、A成分として、


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  1. 2009/03/06(金) 11:45:20|
  2. 東工大数学'09年
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東工大数学'09年前期[1]

東工大数学'09前期[1]

Pから放物線2本の接線が引けるとき、2つの接点をABとし、線分PAPBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をSとする。PAPBが直交するときのSの最小値を求めよ。

解答 頻出タイプの問題で落とせない問題です。

P2接点をAB ()とします。
より、

Aにおける放物線の接線は、
 ・・・①
Bにおける接線も同様に、
 ・・・②
①,②は直交するので、
 ・・・③ (2直線の平行・垂直を参照)
①,②を連立して、

より、
これがPx座標で、
 ・・・④ (これより、となります)
放物線は下に凸なので、接線は放物線から下側にきます。線分PAPBおよびこの放物線で囲まれる図形をのところで分けて考えます。定積分は少々工夫して計算するとラクになるので、以下の計算要領を覚えてください。
 (定積分と面積を参照)
被積分関数を2乗の形にしたことに注意してください。こうできるのは、放物線と接線とで挟まれている部分の面積を計算しているからで、①と放物線の方程式、②と放物線の方程式をそれぞれ連立するとが重解になるからです。定積分の積分範囲にabが出てくるので、積分計算がラクになります。

③,④があるので対称式の技巧を使いたいのですが、は対称式ではありません。ですが、なら対称式です。そこで、
と変形して、③,④を使うと、
これは、のときに最小となり、Sの最小値は、 ......[]


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  1. 2009/03/05(木) 12:46:57|
  2. 東工大数学'09年
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東大物理'09年前期[3]

東大物理'09年前期[3]

常温の水は液体(以後単に水という)と気体(水蒸気)2つの状態をとることができる。どちらの状態をとるかは温度と圧力により、図3-1に示すように定まる。たとえば、水をシリンダーに密封して温度を,圧力をにしたときは水であり、熱を与えて、温度や圧力を多少変えても全部が水のままである。一方、同じで、圧力にしたときはすべて水蒸気である。ただし、図31B点、C点のような境界線上の温度と圧力のときは水と水蒸気が共存できる。逆に、水と水蒸気が共存しているときの温度と圧力はこの境界線(共存線)上の値をもつ。温度を与えたときに定まる共存時の圧力を、その温度での蒸気圧という。一定の圧力で共存している水と水蒸気に熱を与えると、温度は変わらずに、熱に比例する量の水が水蒸気に変わり、全体の体積は膨張する。単位物質量の水を水蒸気に変化させるために必要なエネルギーを蒸発熱と呼ぶ。
このことを参考にして、図
32に示す装置のはたらきを調べよう。断面積で下端を閉じたシリンダーを鉛直に立てて、物質量の水を入れ、質量のピストンで密閉し、その上に質量のおもりを乗せる。シリンダーの上端を閉じてピストンの上側を真空にする。ピストンはシリンダーと密着してなめらかに動くことができるが、シリンダーの上方にはストッパーが付いていて、ピストンの下面の高さがになるところまでしか上昇しないようになっている。シリンダーの底にはヒーターが置かれていて、外部からの電流でジュール熱を発生できるようになっている。以下の過程を通じて、各瞬間の水と水蒸気の温度はシリンダー内の位置によらず等しいものとする。また、圧力の位置による違いは無視する。
Ⅰ での蒸気圧をでの蒸気圧をと記す。ピストンのみでおもりを乗せないときに内部の圧力がで、ピストンにおもりを乗せたときにになるようにしたい。を求めよ。重力加速度の大きさをとする。
Ⅱ 圧力でのの水のモル体積(当たりの体積)とする。この温度でおもりをのせた状態でのシリンダー内の水の深さを求めよ。なお、ヒーターの体積は無視できる。
Ⅲ 装置全体を断熱材で覆い、ピストンにおもりを乗せたまま、はじめであった水をヒーターでゆっくりとになるまで加熱する。このとき、水の状態は図31A点からB点に移る。からまでの水の定圧モル比熱は温度によらず、であるとする。水をにするためにヒーターで発生させるジュール熱を求めよ。なお、シリンダー、ピストン、おもり、断熱材など、水以外の物体の熱容量は無視できるものとする。
の水をさらにヒーターでゆっくりと加熱する。このときの温度と圧力はB点に留まり、水は少しずつ水蒸気に変化していく。図33のようにピストンがストッパーに達したときにも水が残っていた。B点での水のモル体積B点での水蒸気のモル体積を用いて、このときの水蒸気の物質量を求めよ。
Ⅴ の水を、その温度での蒸気圧の下で、水蒸気にするために必要となる蒸発熱をとする。問Ⅳの過程で、ピストンがストッパーに達するまでに、ヒーターで発生させるジュール熱を求めよ。
Ⅵ ピストンがストッパーに達したときにヒーターを切り、おもりを横にずらして、ストッパーに乗せる。次にまわりの断熱材を取り除き、の室内で装置全体がゆっくり冷えるのを待つ。
(1) 時間の経過(温度の低下)とともに、圧力がどのように変化するか述べよ。
(2) 時間の経過(温度の低下)とともに、ピストンはストッパーに接した位置と水面に接した位置の間でどのように動くか、動く場合にはその速さ(瞬間的か、ゆっくりか)を含めて述べよ。

解答 理系数学の第6に対応する物理の問題、ということなのだろうと思います。教科書の物質の3態をテーマにした問題でやや発展的ですが、この程度であれば、どの受験生も充分に取り組めるレベルで、私は良問だと思います。こうした問題では、問題文で想定されているモデルに即して考えることが大切です。モデルになっている状況の正当性を気にすると得点的には不利になります。

Ⅰ でピストンのみのとき、ピストンに働くは、鉛直下向きの重力と、水蒸気の圧力による鉛直上向きので、両者の力のつり合いより、
......[]
でピストン+おもりのとき、ピストン+おもりに働くは、鉛直下向きの重力と、水蒸気の圧力による鉛直上向きので、両者の力のつり合いより、
......[]

Ⅱ 圧力ということは、問題文の図のA点の状態にある、ということです。この状態においては、水は全量液体です。水の体積になるので、水の深さdは、
......[]

Ⅲ からまでは、水は全量液体の状態にあるので、蒸発に必要なを考える必要はありません。モル比熱の式により、の水をにするのに必要なは、
......[]

Ⅳ 水が水蒸気に変わるときに体積が増加するのですが、ここではストッパーがあるために、全量の水が水蒸気に変わるわけではなく、一部が水のまま残ります。水の体積と水蒸気の体積を合わせた体積がシリンダーの体積になります。
水蒸気の体積,水の物質量はなので体積
......[]

Ⅴ の水を水蒸気にするために必要なは、あたり必要なので、
......[]

Ⅵ ピストンがストッパー達して、おもりをストッパー上にずらしたときに、水が残っているので、図31でまだBの状態にあります。ピストンに働くは、重力と水蒸気の圧力によるになりますが、なので、ピストンがストッパーに押しつけられた状態になります。この状態は水蒸気の温度からになるまで続きます。この間、水蒸気と水が共存しています。水蒸気の圧力からまで減少し、問題文の図においては、共存線上をBからCまでたどることになります。になったときに、ピストンに働く力のつりあいが成立し、以後少しでも水蒸気の圧力が下がれば、ピストンはストッパーから離れます。装置全体をゆっくりと冷やすという想定になっていて、Ⅳの問題文では「水は少しずつ水蒸気に変化していく」と書かれているので、水蒸気から水への変化も少しずつ進むと考えるべきです。温度のまま、水蒸気は一気に水になったりせずに、徐々に水へと変わり、ピストンは、ゆっくりと下降し、この間、水蒸気と水が共存するので、図31C点の状態に留まることになります。水蒸気が全量水に変わり水面に接する位置に来たところで、圧力を維持して温度からまで下がりピストンは静止します。
(1) 温度がからまで下がるのに従って図31の共存線に沿って圧力はからまで減少する。水蒸気が全量水に変わるまでC点に留まり、以後は温度がに至るまでで一定になる。
(2) 温度がになるまでストッパーに接しているが、その後ゆっくりと水面に接する位置まで下がり、温度がからに至るまで静止する。 ......[]

追記.Ⅵでは、問題文に書かれているモデルのもとでは、もしストッパーがなければ、熱を加え続けると水がなくなるまでB点に留まり、この後水蒸気は定圧変化を続けることになるだろうという予測を立てます。このとき、B点の状態で、水と水蒸気が共存しつつ、ピストンに働く力のつり合いが成立したまま、ピストンは小さな速さの等速度運動を続けることになるでしょう。であれば、装置を冷やすときにも同様の考え方ができるはずです。
昨年
1226日にアップした福井大の問題で、旺文社の全国入試問題正解では、沸点未満の温度でも、水蒸気と液体の水が共存する状態にある、という選択肢を正解にしていて、確かにそうなのですが、高校物理の教科書では、1気圧で未満の温度では、全量が水であるように記述しているので、当ウェブサイトでは、それを正解としました。東大の本問も、蒸気圧を超える圧力では全量液体として考えよ、ということで教科書に即した問題になっています。
実際には、室温で湿度が
0ということはありえないので、室温でも水蒸気と液体は共存しています。ですが、空気と水蒸気の分圧などを考え出すと難しくなってしまうので、高校物理の範囲では、東大の本問のような簡易モデルで考えるべきだ、と、私は思います。
教育評論家が、大学の入試問題は机上の空論ばかりで、それゆえに小学校や中学校の教育までもが歪むのだ、と非難するのをしばしば見かけますが、実際に即した複雑な状況を入試問題にしてしまったら高校の範囲では扱えない問題になってしまいます。高校数学の範囲で扱える範囲でモデリングして入試問題にするのは当然のことであって、入試問題の状況をつぶさに把握もせずに勝手なことを気軽に発言する教育評論家の方が机上の空論と言うべきです。



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  1. 2009/03/04(水) 15:22:32|
  2. 東大物理'09年
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東大物理'09年前期[2]

東大物理'09年前期[2]

2のように、紙面内の上から下向き(x軸の正の向き)に重力(重力加速度の大きさg)がはたらき、紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場(磁束密度の大きさB)が、EFGHの間の領域だけに加えられている。EFGHは水平である。抵抗R,質量mの一様な導線を一巻きにして作った高さa,幅bの長方形のコイルABCDを、磁場のある領域の上方から落下させる。その際、ABCDは紙面内にあり、BCx軸と平行となるように、常に姿勢を保つようにした。EFGHの距離はコイルの高さaに等しい。導線の太さはabに比べ十分小さく、EFbに比べ十分長いものとする。また、自己誘導や空気抵抗は無視し、地面との衝突は考えないものとする。
Ⅰ 時刻に、ABEFの距離がhとなる位置から初速度0でコイルを落下させた。
(1) ABEFに到達する時刻と、その時のコイルの速さhを用いて表せ。
(2) ABGHに到達する時刻をとする。ある時刻t ()に、コイルが速さvで落下しているとする。このとき、コイルにはたらく合力(x軸の正の向きを正とする)vを用いて表せ。
(3) ABEFに到達する時のコイルの速さの値によって、時刻からの間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における、の条件を記せ。
Ⅱ 時刻からの間コイルが等速度で落下するように、時刻におけるコイルの位置をうまく調整してから、初速度0で落下させた。
(1) この場合の、時刻におけるABEFの距離と時間を求めよ。
(2) 時刻からの間に、コイルで消費される電力Pと熱として発生するエネルギーWを求めよ。
(3) DCGHに到達する時刻をとする。時間を求めよ。また、落下開始から、磁場のある領域を十分離脱するまでの、コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには、 (具体的な式は不要)と、それらの時刻における速さの式を記せ。

解答 頻出パターンで難しくはありませんが、包括的にいろいろなことを問うているので、しっかり勉強してきた受験生でなければ正解できないでしょう。

(1) コイルは自由落下するので、等加速度運動の公式より、

......[]
......[
]
(2) コイルに電流が流れるので、コイルの、磁場内に侵入している部分は磁場から力を受けます。
コイルの囲む長方形のうち磁場内に侵入している部分の面積Sは、時刻tのとき、幅b,高さで、
面積Sの部分を貫く磁束Fは、
コイルに発生する起電力Vは、電磁誘導の法則より、
 (マイナスはレンツの法則を表します)
フレミング右手の法則より、運動方向(x軸正方向)が親指の向き、磁場の方向が(コイル面の向こうからこっち向き)人差し指の向き、として、起電力の向きは中指の向き、つまり、BAの方向に電流を流す向きです。
コイルに流れる
電流の大きさIは、オームの法則により、
コイルの辺BA磁場が及ぼすの向きを調べます。フレミング左手の法則より、磁場の方向を人差し指の向き、電流の向き(BAの向き)を中指の向き、として、辺BA磁場が及ぼすの向きは親指の向き、つまり、x軸負方向になります。
長さ
bの辺BA磁場が及ぼすの大きさFは、
コイルの辺CBAD部分には、互いに逆向きで同じ大きさのが働くので打ち消し合います。
コイルに働く
合力は、x軸正方向に働く重力と、x軸負方向に働くFとの合力になり、
......[]
(3) の間にコイルが加速するのはのときで、減速するのはのときです。の符号はコイルが磁場中を通過している間には変わらず(例えば、コイルが加速してv→大のときでも、0となるだけです)ABEFに到達した時点()の符号で決まります。
従って、加速する条件は、においてより、
......[]
減速する条件は、においてより、
......[]

Ⅱ の間にコイルが等速度で落下するように調整した、と、問題文が言っているのは、のときのコイルの位置を、,つまり、となるようにした、という意味です。
(1) のとき、においてでコイルの速度のままになります。従って、ABEFに到達してからGHに到達するまでの時間は、
......[]
(2) にコイルで消費される電力Pは、
......[]
熱として発生するエネルギーWは、
......[] (EFGHの間に失われる重力の位置エネルギーに相当します)
(3) でも、のときに辺ABに働いていたのと同じ磁場がコイルの辺DCに及ぼします。従って、の間もコイルは速度等速度運動を続けます。辺DCが磁場を抜けてしまうと、では、コイルは磁場からを受けなくなって自由落下に戻り、加速度g速度は増大を続けます。コイルの速さ時間変化を表すグラフは右図。


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  1. 2009/03/03(火) 08:43:01|
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東大物理'09年前期[1]

東大物理'09年前期[1]

11のように、鉛直に固定した透明な管がある。ばね定数kのばねの下端を管の底面に固定し、上端を質量mの物体1に接続する。質量が同じくmの物体2を、物体1の上に固定せずに乗せる。地面上の一点Oを原点として鉛直上向きにx軸をとる。ばねが自然長になっているときの物体1x座標はhであり、重力加速度の大きさはgである。
なお、物体の大きさは小さく、管との摩擦や空気抵抗は無視でき、
x方向以外の運動は考えない。ばねの質量は無視できる。また、管は十分長く、実験中に物体が飛び出すことはないものとする。
Ⅰ 物体1と物体2を、互いに接した状態で、物体1x座標がとなる位置まで押し下げ、時刻に初速度0で放したところ、物体1と物体2は互いに接した状態で単振動を開始した。
(1) この時の、物体1の単振動の中心のx座標を答えよ。
(2) 物体1と物体2x方向の運動方程式をそれぞれ書け。各物体の加速度を,物体1の位置をx,互いに及ぼす抗力の大きさをN ()とせよ。
(3) の値によっては、運動中に物体1と物体2が分離することがある。図12はこのような場合の物体の位置の時間変化を示す。運動方程式を使って、分離の瞬間の物体1x座標を求めよ。なお、図12では物体の大きさは無視されており、接している間の物体1と物体2の位置を1本の実線で表している。
(4) 分離の瞬間の物体1の速度を答えよ。また、分離が起きるのは、時刻における物体1の位置がどのような条件を満たす場合か答えよ。
Ⅱ 物体1と物体2が分離した後の運動について考える。分離後、物体1は単独で単振動する。物体2は重力のために、分離後ある時間が経過した後に必ず物体1に衝突する。分離から衝突までの時間は時刻における物体1の位置に依存する。ここで、分離から衝突までの時間が、物体1が単独で単振動する際の周期Tに等しくなるように、の値を設定した。衝突の時刻をとする。
(1) 物体1が単独で単振動する際の周期Tを答えよ。また、物体1と物体2が衝突する瞬間(時刻)の物体1x座標を答えよ。
(2) 分離の瞬間の物体2の速度をVとする。分離から衝突までの時間がTとなるためのVの満たす式を書け。
(3) 物体1と物体2の間のはねかえり係数は1であるとし、時刻における衝突以降の運動を考える。物体1と物体2が、以降に再び接触する時刻と、そのときの物体1x座標を答えよ。また、時刻からまでの間で、横軸を時刻、縦軸を物体の位置とするグラフの概形を描け。物体の大きさは無視し、物体1と物体2が接した状態で運動している部分は実線、分離している部分は点線を用いよ。なお、横軸、縦軸ともに、値や式を記入する必要はない。
(4) この場合のhmkgを用いて表せ。

解答 オーソドックスな単振動の問題です。過去にも類似の問題が何度も出題されています。

(1) 単振動の振動中心は、力のつり合いが成立する位置です。
物体1+物体2に働くは、下向きの重力と上向きの弾性力 (ばねの縮みは)です。2力の力のつり合いより、
......[]
(2) 物体1に働くは、下向きの重力,上向きの弾性力,物体2から受ける下向きの垂直抗力Nで、物体2に働くは、下向きの重力,物体1から受ける上向きの垂直抗力Nです。
物体1運動方程式 ・・・①
物体
2運動方程式 ・・・②
(3) 物体1と物体2が離れるのは垂直抗力Nになるときです。Nを求めるために、として加速度を消去すると、

のとき、 ......[]
(4) 分離する瞬間の物体1速度vとします(物体2速度vです)。最下点を重力の位置エネルギーの基準にとると、最下点にあるときの物体1+物体2エネルギーは、弾性エネルギーのみです。分離するときの物体1+物体2エネルギーは、弾性エネルギー0で、重力の位置エネルギー運動エネルギーです。
最下点と分離する位置とでの力学的エネルギー保存より、
......[]
「分離が起きる」ということを、分離が起きる位置まで運動が継続されていた、と考えます。つまり、分離する位置での運動エネルギーとして考えます。

......[]

(1) 分離後の物体1運動方程式は、物体1座標x加速度aとして、
これは、角振動数単振動を表します。周期Tは、
......[]
分離から衝突までの時間が単振動の周期に等しいので、分離するときと衝突するときとで、物体1x座標速度は等しくなります。
よって、衝突する瞬間の物体
1x座標は、 ......[]
(2) 分離する位置と衝突する位置が等しく、物体2の運動は鉛直上方投射なので、衝突するときの物体2速度です。等加速度運動の公式より、
 ∴ ......[]
(3) 同じ質量の物体同士の完全弾性衝突なので、速度が交換されて、衝突直後に、物体1速度,物体2速度Vになります。物体1も物体2も衝突後、時間Tをかけて元の位置に戻ってきます。従って、2物体が再び接触する時刻は、
......[]
落下してきた物体2速度(2)と同じくです。物体1速度時刻の衝突直後と同じくです。つまり、時刻において物体1と物体2とは同じ速度になって接触するため、2物体はここで合体し、以後一体となって運動(単振動)を始めます。この状況を表すグラフは右図。
(4) (4),Ⅱ(2)の結果を使って、より、
2乗して整理すると、

より複号はプラスをとります。
......[]


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