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CFV21での学習の進め方

東大理系数学'09年前期[6]

東大理系数学'09前期[6]

平面上の2PQの距離をと表すことにする。平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形△がある。△の内部に3を、 ()となるようにとる。また、

とおく。のそれぞれに対して、時刻0を出発し、の向きに速さ1で直進する点を考え、時刻tにおけるその位置をと表すことにする。
(1) ある時刻tが成立した。ベクトルと、ベクトルとのなす角度をq とおく。このときとなることを示せ。
(2) 角度によって定義する。aかつをみたす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで、の値のとる範囲をaを用いて表せ。
(3) 時刻のそれぞれにおいて、次が成立した。
このとき、時刻において同時に
が成立することを示せ。

解答 かつての後期試験風の問題ですが、こういう問題でこそベクトルの基本が問われています。(1)(2)は題意を把握できればそれほど難しくはありませんが、(3)は数値処理の部分で多大な気力・知力を必要とします。

()より、は動点の移動方向を示す単位ベクトルで、時刻0を出発し、の向きに速さ1で直進する点の時刻tにおける位置を示す位置ベクトルは、
 ・・・①
となります。
(1) より、です。①より、

この式は、右図のように、時刻0を出発した動点がの方向に速さで進み、時刻tからの距離が1の範囲、つまりを中心とする半径1の円内に来ている、ということを意味しています。右図において、として、より

(2) 問題文の図を眺めていても、の関係は見えてきません。(1)の結果は、は勝手な方向を向いているわけではなく、にかなり近い方向を向いている、ということを意味しています。つまり、の方向にはの方向に関して何らかの制約があるのですが、問題文の図ではそれが把握できないのです。
そこで、だけを抜き出したベクトル図を描いてみます。右図を見ると、のなす角がqのなす角がなので、です。複号が+になる(右図(i))とき、,複号が-になる(右図(ii))とき、となります。より、三角形DCEは二等辺三角形で、より、
(複号同順)

(1)
より、より、 ......[]

(3) 示すべき式、例えば、

は、時刻Tに動点は三角形の中心Oのかなり近くにいることを意味しています。時刻0から時刻までの間に速さ1で動点が進む距離は、です。つまり、を出発してOに向かって進むのであればちょうどOに到着する時刻に、動点はちょっとずれた方向:の方向に進んでいるのでOには来ないかも知れませんがOのそばには来ている、ということです。
右図より、のなす角はで、
 (内積を参照)
となることから、

 ( )
 ・・・②
以下では、②式を示すことが目標になります。
ところで、から
(2)の結果が得られるので、3式から、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
が得られます。ここで④+⑤より、
 ・・・⑥
③の各辺にマイナスをつけて不等号の向きを変え、
 ・・・⑦
⑥+⑦より、
 ・・・⑧
注.ここを、(③+④+⑤)÷2より、 ・・・⑨
⑦+⑨より、
としてしまうと、⑧よりも緩い条件になってしまい、
 
(の変形はを利用)




()
と、②右辺()との差が極めて小さく、②を示すのが難しくなります。

⑧より、

この右辺と②の右辺を各々2乗して比較すると、



よって②が成り立つので、が成立します。
同様にして、も成り立ちます。


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  1. 2009/02/28(土) 10:28:05|
  2. 東大数学'09年
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東大理系数学'09年前期[5]

東大理系数学'09前期[5]

(1) 実数xをみたすとき、次の不等式を示せ。
(2) 次の不等式を示せ。

解答 試行錯誤は必要ですが、しっかり計算して得点しておきたい問題です。
(1)は、いきなり(右辺)(左辺)では、指数の扱いが面倒なので対数を考えます。なるべく微分しやすい形に整理しましょう。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。

(1) 与不等式両辺の自然対数を考えても不等号の向きは変わりません。
 ・・・①
①を示せばよいのですが、この形で(右辺)(左辺)として微分するとlogが残って厄介です。そこで、で場合分けして、xをかけた式を示すことにします。
(i) のとき、①両辺にxをかけると、
 ・・・②
この場合は、以下で②が成り立つことを示します。
 ・・・③
とおきます。
よって、単調増加で、
従って、も単調増加で、
よって、②が成り立ちます。
(ii) のとき、①両辺にxをかけると、
 ・・・④
この場合は、以下で④が成り立つことを示します。
③のようにをおくと、
よって、は単調減少で、
従って、は単調増加で、
よって、④が成り立ちます。
(i)(ii)より、をみたすとき、が成り立ちます。

(2) 問題文の不等式
 ・・・⑤
は非常にきわどい不等式になっていて、電卓で計算してみると(試験場ではこうは行きませんが)
となっていて、粗雑な評価では示せません。
(1)の不等式を利用するにしても、とかを単に代入するのでは、⑤の形を作ることができません。
⑤には、
0.990.9999が出てくるのですが、
となるので、(1)の不等式のにはをかけ、にはをかけてとするとうまく行きそうです。
そこで、
(1)の不等式の両辺にをかけてみます。

を代入すると、
 ・・・⑥
左辺の形に合わせて
(1)の不等式の両辺にをかけると、

を代入すると、
 ・・・⑦
⑥,⑦より、⑤が示せました。


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  1. 2009/02/28(土) 10:26:56|
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東大理系数学'09年前期[4]

東大理系数学'09前期[4]

aを正の実数とし、空間内の2つの円板

を考える。y軸の回りに回転してに重ねる。ただし回転はz軸の正の部分をx軸の正の方向に傾ける向きとする。この回転の間にが通る部分をEとする。Eの体積をとし、Eとの共通部分の体積をとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 (1)はまだしも、(2)は難問です。過去問に類似の計算問題があるだけに、積分計算に手を焼いて涙を飲んだ受験生も多いだろうと思います。

円板 ・・・①
を回転するので、体積を計算すると言ってもなかなかイメージが湧かないかも知れませんが、要は、回転軸(本問ではy)に垂直な平面で切ったときの断面積を回転軸に沿って積分すればよいわけです(定積分と体積を参照)。円板を回転すると思わないで、右図(上がy軸方向から見た図、下がz軸方向から見た図)のように円板を平面 ()で切ったときにできる線分を回転すると考えます。円板の領域の不等式①においてとして、
 ・・・②
②は線分を表します。線分上の点でy軸との距離が最小となるのは線分の中点で、距離の最小値はaです。線分上の点でy軸との距離が最大となるのは両端で、距離の最大値は三平方の定理よりです。
線分②を
y軸のまわりに回転するとき線分の通過領域は、半径aの円と半径に挟まれた領域の中にあり、円板回転して円板の位置まで回転させるので、線分②の通過領域は右図の水色着色部分になります。

(1) 右図水色着色部分のうちの部分の断面積は、半径の円の面積から半径aの円の面積を引いてをかけたものになります。
立体Ezx平面()に関して対称なので、
 (定積分と体積を参照)
......[]

(2) は右上図水色着色部分の面積を積分したものになります。の違いは、右図の赤線枠で囲まれた部分2カ所の面積が追加される点にあります。
として、赤線枠で囲まれた部分1個の面積は、扇形OBCの面積から直角三角形OABの面積を引くことにより、
 ・・・③
これより、
として、
とすればよいのですが、
という積分が出てきて、を利用して、と置いても、
となり、積分計算が手に負えません。試験場では、積分計算を試行錯誤するよりも、ここで断念して次の問題に進んでしまうのが賢明ですが、本問にこだわるのであれば、を聞いているのではなく、極限値:を聞いている、ということに注意します。とすると、立体Eの肉厚(外側の円と内側の円の半径差)が小さくなり、がある値に近づいてきそうです。aにかかわらず定数値:になることからすると、になりそうだ、と見当をつけます。ということになれば、極限を求めるときに、はさみうちにするのだろう、という方針が立ちます。なので、よりも大きくなるものを探せばよい、ということになります。
ここで、そもそも積分計算自体が困難なことを考えると、積分計算を行ってからではさみうちにするのではなく、積分計算ができる形のものを探してにするのだろう、ということになるでしょう。つまり、断面積の時点でよりも大きくなるものを探します。
③よりも大きくなるものとして、扇形
OBCをもってくると、としたときに無限大に発散してしまうので、もう少し小さくて③よりも大きくなるもの、例えば右図の台形ABFCを考えます(他にも考えられます)
台形
ABFCの面積は直角三角形OCFの面積から直角三角形OABの面積を引いたものです。両者の相似比はaなので、面積比になり、直角三角形OABの面積がであることから、台形ABFCの面積は、
これは、③よりも大きく、
となります。この右辺をとすると、(1)の結果を使って、
がわかればよいので、実は定積分を計算する必要はない(積分の形からaと無関係な有限確定値になることは明らか)のですが、一応計算しておきます。
この積分は、とおくと、
kのとき、jより、
 (置換積分を参照)





より、
ここでとすると、右辺→となるので、はさみうちの原理より、
......[]


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  1. 2009/02/27(金) 12:54:10|
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東大理系数学'09年前期[3]

東大理系数学'09前期[3]

スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が1個、等確率で出てくる機械がある。2つの箱LRを用意する。次の3種類の操作を考える。
(A) 1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。
(B) 1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。
(C) 1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。
(1) LRは空であるとする。操作(A)5回おこない、さらに操作(B)5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率を求めよ。
(2) LRは空であるとする。操作(C)5回おこなう。このときL4色すべての玉が入っている確率を求めよ。
(3) LRは空であるとする。操作(C)10回行う。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率をとする。を求めよ。

解答 玉の入り方は、同じものを含む順列として場合の数を数えます。(1)(2)では何が違うのだろうと思ったりもしますが、難しく考えないことが大切です。

(1) 操作(A)と操作(B)とでは入れる箱が違うだけで場合の数の数え方は同じです。操作を5回行って4色すべての玉が入る確率も同じです。また、操作(A)と操作(B)は独立なので、操作(A)での確率を2乗すれば、が求められます。
操作(A)での全事象は、各回4通りで5回操作を行うので、通りあります。
4色すべての玉が入るのは、4色いずれかの色の玉が2個出て、他の色が1個ずつ出る場合で、2個出る玉の色が4通りあり、場合の数は、通りあります。
操作
(A)5回行って、4色すべての玉が入っている確率は、 ・・・①
......[]

(2) 操作(C)5回行って、L4色すべての玉が入るのは、操作(A)5回行ったときと全く同様です。①より、
......[]

(3) 操作(C)10回行って、LにもRにも4色すべての玉が入るのは、10回中にどの色の玉も少なくとも2回出るときですが、4色のうち1色が4個出て他の3色が2個出る場合と、2色が3個で他の2色が2個出る場合があります。
前者では、4個出る色が4通り、後者では、3個出る色が通りあります。よって、

......[]


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  1. 2009/02/27(金) 12:53:25|
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東大理系数学'09年前期[2]

東大理系数学'09前期[2]

実数を成分にもつ行列と実数rsが下の条件(i)(ii)(iii)をみたすとする。
(i)
(ii)
(iii) ()とするとき、
このとき以下の問いに答えよ。
(1) acrsを用いて表せ。
(2) ()とするとき、を示せ。
(3) かつを示せ。

解答 条件(ii)は、行列Aの固有値sに対する固有ベクトルがだと言っているのですが、問題を解く上ではあまり役には立ちません。素直に行列の積の計算をするしかなさそうです。

(1) 条件(iii)においてとすると、
条件(ii)と合わせて一つにまとめて書く(行列の対角化を参照)と、
両辺に左からをかける(逆行列を参照)と、
......[]

(2) とおくと、 ・・・①

これより、と予測し、数学的帰納法により証明します。
() のとき、①より予測は成立します。
() のとき予測が成立するとして、

これより、
よって、のときも成立します。
()()より、 ()
 (等比数列を参照)
(とおく) ・・・②
これより、
とおいて、
より、



条件(iii)より、


よって、 ・・・③

(3) ③より、 (等比数列の極限を参照)
②より、となるために、 (のときには、条件(i)よりとなり、極限値は0になり得ない)
①より、


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  1. 2009/02/26(木) 11:29:47|
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東大理系数学'09年前期[1]

東大理系数学'09前期[1]

自然数に対し、個の二項係数
,・・・,
を考え、これらすべての最大公約数をとする。すなわちはこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1) mが素数ならば、であることを示せ。
(2) すべての自然数kに対し、で割り切れることを、kに関する数学的帰納法によって示せ。
(3) mが偶数のとき1または2であることを示せ。

解答 京大理系'97年前期[2](異なる素数pqに対し、として、 ()の最大公約数が1であることを示す問題。に着眼する)と同様の発想「に着眼」をすれば、(1)はすぐです。
(2)は、kに関する数学的帰納法であって、mに関する数学的帰納法ではないので注意してください。
なお、
整数を参照してください。

(1) mが素数のとき、として、の分子は素数mを含み、分母は素数mを含まないので、は、すべてmで割り切れます。
一方、は素数なので、1m以外の約数をもちません。
よって、
()の最大公約数は、です。

(2) () のとき、で割り切れるので、成り立ちます。
() のとき成り立つとすると、で割り切れるので、pを整数として、
 ・・・①
とおくことができます。
二項定理より、
 ・・・②
ここで、 ()の最大公約数がであって、はすべての倍数なので、rを整数として、
 ・・・③
とおくことができます。これと①を用いて②を、
と書き直すことができます。

これより、で割り切れるので、のときにも成り立ちます。
()()より、すべての自然数kに対し、で割り切れることが示されました(数学的帰納法を参照)

(3) (2)と同様に考えます。二項定理より、
とすると、mは偶数なので、
 ・・・④
()の最大公約数がであって、はすべての倍数なので、sを整数として、
とおくことができます。これと④より、
これより、2の正の約数で、12に限られます。


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  1. 2009/02/26(木) 08:45:57|
  2. 東大数学'09年
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受験生の皆さまへ

受験生の皆さまへ

本日、国公立大学2次試験が行われます。ブログの更新はありません。

こちらをご覧頂いて努力研鑽を続けてこられた受験生の皆さま、
会員の方も非会員の方も、ぜひ、試験場において、
日々の努力の成果を発揮され、目標を達成して頂きたいと念じております。

昨日までで、平成
20年度の講座は終了致しました。
東大・東工大・京大の数学・物理の入試問題を入手できたところで、
解答をアップして参りますが、これより平成
21年度の講座開始となります。

会員申し込みは随時受け付けております。
会員の皆さまには、質問にお答えするとともに、
課題をお送りして答案を作成して頂き添削指導も行っております。
また、ブログの更新状況に関するお知らせを毎週1度お送りしております。
会費は3ヵ月3千円ですので、この機会にぜひ入会をご検討ください。
とくに、経済的事情のために、大学進学について悩まれている方、
お金をかけなくても、紙と鉛筆とあなたの意欲さえあれば、
高い学力を身につけることは充分に可能です。
大学に進学後は奨学金を受けることもできます。
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ぜひ、自習の難しい数学・物理の受験勉強のアシストを当会にお任せください。
まずは、メールにてこちらまでお問い合わせください。



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  1. 2009/02/25(水) 04:42:50|
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東工大数学'90年前期[1]

東工大数学'90年前期[1]

xyzwを正数とする。任意の正の整数mnに対して、
が成り立つための必要十分条件を求めよ。

解答 問題を見た瞬間、いったい何をすれば、と、頭を抱え込んでしまいそうな問題です。試験会場でも、最初の数分、呆然と立ち尽くすだけ、あるいは、即座に次の問題に飛んでしまうかも知れません。ですが、入学試験は競争です。何としても、この問題に食い下がろう、と、思うのであれば、まずは、1点でも良いから、得点を上乗せしようという発想に立つべきです。
もちろん、この問題をさておいて無意味なことを書いても、得点できるわけではありません。
この問題を考えるのにつながるようなことで手がかりをつかむ必要があります。

この問題が、なぜ、即座に手がつかないかと言うと、
n乗されているところがあり、展開して二項定理などを使うのでは、話が膨大になってしまうからです。
であれば、まずは、手がつきやすいように、
mnにわかりやすい小さな自然数を代入するところから始めることにします。

mnを代入してみると、与式は両辺ともとなるので成立します。
そうしたら、答案用紙には、この事実だけでも書いておくようにしましょう。当たり前のようなことですが、この問題の正答率が低ければ、もしかすると、
1点くらいはもらえるかも知れません。この1点で当落が分かれてしまうのだとしたら、たかがこれだけのことで大きな1点です。

を代入してみると、与式は、



整理すると、
両辺を2乗すると、

となり、
 ・・・①
という必要条件が出てきます。
ここまで答案に書いておけば、
23点、運が良ければ5点くらい期待できるかも知れません。但し、これだけでは、必要条件というだけで十分性の確認ができていません。つまり、,あるいは、の場合にも成り立つかどうか、確認されていません。一般的な場合についても成り立つのかどうか確認することにします。

逆に、のとき、

のときは、与式は、左辺、右辺とも、となり、与式は成立します。
かつのときは、①よりです。このとき、与式は、左辺、右辺とも、となり、与式は成立します。
かつのときは、①をで割り、とおくと、与式左辺は、
与式右辺は、


となり、与式は成立します。
以上より、求める必要十分条件は、 ......[]

難攻不落の堅牢な城だと思われていた問題が、mnにちょっと数値代入するだけであっけなく解けてしまう、という要領を頭に入れておいて頂きたいと思います。


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  1. 2009/02/24(火) 08:00:19|
  2. 東工大数学
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東工大数学'08年後期[1]

東工大数学'08年後期[1]

次の問いに答えよ。
(1) 実数


をみたしているとする。このときであることを証明せよ。
(2) n2以上の整数とし、個の実数,・・・,,・・・,,・・・,
およびn個の不等式
()
をみたしているならば、
であることを証明せよ。

解答 

(1)  ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①よりなので、②より、
①よりなので、
両辺にを加えると、③より、
より、
 (証明終)

(2) 数学的帰納法だろうということはうすうす察しがつきますが、なかなか帰納法の枠組みが見えません。そこで、の場合を考えて、からへの論理の進み具合を調べてみます。のときには、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
4式から、を導くことになります。
帰納法にすることを考えて、のときの結果:を利用することになりますが、①,②,③は、のときの仮定と同じなので、当然、は成り立ちます。

(1)と同様にするのであれば、を利用して、
 ・・・⑤
ここで、(1)と同様に②によってが言えているので、
こうして、
⑤とつなげて各辺にを加えれば、
 ( )

より、

となります。
一般の
nの場合に数学的帰納法の枠組みに乗せるためには、のときに、
とするために、のときの、を利用すればよいわけです。ここからさらに、
とするためには、のときの、を利用します。
以下、,・・・,のときの結果を使うので、数学的帰納法の仮定は、「のとき成立すると仮定する」という形になります。
こうして、答案を以下のようにまとめることができるでしょう。


数学的帰納法により証明する。
() のときは、(1)により成り立つ。
() のときに成り立つと仮定する。即ち、
個の実数,・・・,,・・・,,・・・,
 ・・・①
およびk個の不等式
() ・・・②
をみたしているならば、
 () ・・・③
が成立する(③の各不等式は②があってはじめて成立します)と仮定する。
ここで、②のの場合の不等式と①より、 ・・・④
また、①,②に加えて、
3個の実数
() ・・・⑤
をみたすとする。
 ( ,および、③のの場合)
 ( ①,および、③のの場合)
・・・・・・
 ( ①,および、③のの場合)
 ( )

より、
よって、のときにも成立する。
()()より、2以上の整数nについて成立する。 (証明終)


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  1. 2009/02/23(月) 10:43:42|
  2. 東工大数学'08年
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横浜市大物理'07年[3]

横浜市大物理'07[3]

平行な線路上を、上り列車Aと下り列車Bが静止、または逆向きに一定の速さで移動している。列車Bの先頭にある警笛が鳴らす警笛音を、列車Aに乗っている観測者が聞いている場合について以下の問い(1)(3)に答えよ。ただし、列車Bの発する警笛音の振動数を,音速をcとする。列車Aの進行方向と列車Aから見た列車Bの方向とのなす角をqとする。また、音速は列車の速さよりも十分大きく、上下線の線路間の距離は警笛音の波長よりも十分長いとする。
(1) 1のように列車Aが点で静止し、列車Bが速さで走っている場合を考える。
(a) 列車が点Yを通過したときにある波面が出され、点を通過したときに次の波面が出されたとする。このときの距離を求めよ。
(b) とする。点Yより発せられた音波が点に到達してから、点より発せられた音波が点に到達するまでの時間を求めよ。
(c) に比べて十分大きいときには、としてよいことを利用して、観測者が聞く警笛音の振動数cq を用いて表せ。
(2) 2にように、列車Aが速さで走っていて、列車Bが静止している場合について考える。
(a) 列車Aの速度の方向成分を求めよ。
(b) ある短い時間に、列車Aの観測者が横切る波面の数を計算することにより、観測者が聞く警笛音の振動数を求めよ。ただし、短い時間では、(a)で求めた速さは変化しないとしてよい。
(3) 3のように、列車Aと列車Bが同じ速さで走っている場合を考える。
(a) 列車Aの観測者が聞く警笛音の振動数cqを用いて表せ。
(b) で十分離れていた列車Bと列車Aが、ともに振動数の警笛を鳴らしながら近づき、ある時刻ですれ違い、再び遠方に離れる場合を考える。列車Aの観測者と列車B先頭との水平方向の距離をL,平行な線路間の距離をとする。におけるLとし、より十分大きいとする。
このとき観測者にはうなりが聞こえ、1秒間あたりのうなりの回数は時間とともに変化した。を縦軸、t を横軸とするグラフの概形として正しいものを図4(i)(vi)より選べ。さらにct を用いて表せ。

解答 斜め方向のドップラー効果について考える問題です。

(1)(a) ある波面が出されてから次の波面が出されるまでの時間周期です(波動現象波の公式を参照)。この間に列車B速さ距離進みます。
......[]
(b) 求める時間は、AYで波面を発した時刻からAで発した波面が点に到達する時刻までの時間から、AYで波面を発してからその波面がに到達するまでの時間を引いた時間になります(右図)
......[]
(c) (b)で求めた時間は観測者が聞く警笛音の周期に相当します。(a)(b)の結果を使って、
より、
......[]

(2)(a) 列車A速度方向成分は、 ......[]
(b) t秒間にAXからまで進むときのAの動きを方向に投影して考えると、t秒間に進み、個の波面とすれ違います。XAとすれ違った波面t秒間にまで進みますが、距離の中に個の波面があります。
Aまで進み、方向の投影が進んで波面とすれ違う瞬間に、の間には個の波面があるので、
=

......[]

(3)(a) (2)(b)の結果において音源の振動数と書き換えて、
......[]
(b) 1秒間あたりのうなりの回数です。
に注意して、1秒間あたりのうなりの回数は、
 ・・・①
とすると、
とすると、
においては、
従って、は、はじめにで、となる
時刻0となり、やがてに近づいていきます。より、グラフの概形は(vi) ......[]
また①式で、として、
......[]


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  1. 2009/02/21(土) 07:29:46|
  2. '08年入試(物理)
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東大文系数学'98年[3]

東大文系数学'98年前期[3]

(1) xをみたす角とする。
となるyxで表し、そのグラフをxy平面上に図示せよ。
(2) aをみたす角とする。をみたす角
で定める。k2以上の整数として、となるaの個数をkで表せ。

解答 (1)からして混乱しそうですが、(1)のグラフが描ければ、(2)では,・・・ とやって行けば答えは分かります。文系志望者の場合は、n1つ増えるごとに何が起きるかを説明しておけば十分だと思いますが、理系の場合には、論証しておきたいところです。なお、三角関数を参照してください。
以下では、として書きます。


(1) ですが、sincosの右がになっていてsincosの符号が変化するので、で場合分けします。
(i) のとき、です。
より、
(ii) のとき、です。
右図より、
(iii) のとき、です。
右図より、
(iv) のとき、です。
右図より、
以上より、
......[]
図示すると、右図黒色実線。

(2) (1)yxの関係をを表すことにします。
の関係は、となっています。,・・・ となりますが、
と書くことにします。,・・・ です。
(1)のグラフより、となるのは、のときです。となるa3個あり、の範囲を2つに等分するときの端点になっています。
となるのはのときです。となるのはのときで、となるのはのときで、となるのはのときです。結局、となるのはのときで、となる
a9個あり、の範囲を8つに等分するときの端点になっています。
これより、のとき、となるのは
()のときで、となるa個あり、の範囲を個の範囲に分けるときの端点になっていると仮定 ・・・() します(のときは上記より成り立っています)
となるのは、のときです。仮定
()より、となるとき、 ()です。
()ですが、からまで変化するとき、は、右図のように、0からまで直線的に増加して、から0まで直線的に減少します。この間に、の範囲を4つに等分する端点において、となり、となります。
これより、となるのは、
()のときで、となるa個あり、の範囲を個の範囲に分けるときの端点になっていて、仮定()nとしても成り立ちます。
よって、
数学的帰納法により、仮定()は、2以上のすべての自然数nについて成り立ちます。
ゆえに、
k2以上の整数として、となるaの個数は、 ......[]


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  1. 2009/02/20(金) 09:59:46|
  2. 東大文系数学
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早大理工数学'09年[5]

早大理工数学'09[5]

実数に対して、
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) が最小となるxの値を求め、のグラフを描け。
(2)
とおく。が最小となるtの値を求めよ。
(3) のとき、
が成立することを用いて、右側からの極限を求めよ。

解答 ただひたすら計算する問題です。

とすると、
両辺の
対数を考えて、より、
(とします)
x

0


増減表より(関数の増減を参照)が最小となるxの値は、
......[]
また、より、グラフは右図実線。

(2) より、
 (不定積分の公式を参照)

とすると、
両辺の対数を考えて、
(とします)
t

0


増減表より、が最小となるtの値はは、
......[]

(3)
問題文の不等式より、,よって、
ここで、極限の公式 を利用するために、左辺ではt,右辺ではtとみて変形すると(logの右側を逆数にしてマイナスをつける)
ここで、とすると、で、より、

よって、はさみうちの原理より、
......[]


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  1. 2009/02/19(木) 06:41:43|
  2. 早大理工'09年
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早大理工数学'09年[4]

早大理工数学'09[4]

以下の問いに答えよ。
(1) 半径rの円に内接し、1つの対角線の長さがlであるような四角形の面積の最大値をrlで表せ。
(2) 半径rの円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。
(3) 空間内の点Oを頂点とし、四角形ABCDを底面とする四角錐(すい)を満たしているとする。そのような四角錐の体積の最大値を求めよ。

解答 題意がとれれば、結論への道筋は見えてきますが、論述するとなると厄介かも知れません。

(1) 半径rの円に内接する四角形の4頂点をABCDとし、長さがlである対角線をBDとします。です。
BDを端点とする2つの円弧のうち、Aがいる円弧をCがいる円弧をとします。
同一弧の上に立つ円周角は等しいので、
A上のBD以外のどこにいてもであり、C上のBD以外のどこにいてもです。
正弦定理より、
 ・・・①
AからBDに下ろした垂線の足をHCからBDに下ろした垂線の足をKとすると、
三角形
BADの面積は、
三角形
BCDの面積は、
A上を動くとき、AHは、AH2等分するときに最大で、このときも最大になります。このとき、であり、
同様に、C上を動くとき、は、CK2等分するときに最大になります。このとき、であり、
従って、四角形ABCDの面積の最大値は、

......[] ( )
別解.上記で、AHCKが最大になるときには、HKは同一の点で、ACは直径になります。このときの四角形ABCDの面積は、

(2) (等号は、四角形ABCDが正方形のときに成立)なので、(1)の結果より、
半径rの円に内接する四角形の面積の最大値は、 ......[]

(3) なので、ABCDは、Oを中心とする半径1の球面上の点です。四角形ABCDを含む平面でこの球を切ると、切り口は円になりますが、ABCDはこの円の周上に位置するので、四角形ABCDは円に内接する四角形です。切り口の円の半径をrとすれば、であって、この範囲の1つのrの値に対して、(2)より、底面の四角形ABCDの面積の最大値は,球の中心Oと四角形ABCDとの距離は三平方の定理よりです。これが、四角錐の高さになります。
よって、底面積を最大とする四角錐の体積は、

()とおくと、
r0

1

0
00

増減表(関数の増減を参照)より、の最大値:
体積の最大値:
......[]


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  1. 2009/02/19(木) 06:39:31|
  2. 早大理工'09年
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早大理工数学'09年[3]

早大理工数学'09[3]

トランプのハートとスペードの1から10までのカードが1枚ずつ総計20枚ある。に対して、番号i のハートとスペードのカードの組を第i 対と呼ぶことにする。20枚のカードの中から4枚のカードを無作為に取り出す。取り出された4枚のカードの中に第i 対が含まれているという事象をで表すとき、以下の問いに答えよ。
(1) 事象が起こる確率を求めよ。
(2) 確率を求めよ。
(3) 確率を求めよ。
(4) 取り出された4枚のカードの中に第1対,第2対,第3対,第4対,第5対,第6対の中の少なくとも1つが含まれる確率を求めよ。

解答 早大理工の確率の問題としては易しい気がしますが、(4)は論述するとなると、書きにくいかも知れません。

全事象は
20枚のカードから4枚のカードを選び出す組み合わせの数で、通りあって、どの1通りも等確率で起こります。

(1) 事象は、4枚のカードを取り出すとき、ハートの1とスペードの12枚以外の2枚の選び方を、残る18枚から2枚を選び出す組み合わせの数と考えて、通りあります。よって、
......[]

(2) 事象は、ハートの12とスペードの124枚を選び出す事象で、1通り。よって、 ......[]

(3) (1)と同様にして
(2)と同様にして
20枚から選び出した4枚の中に、ハートの123とスペードの1236枚がすべて入るということは起こり得ないので、
......[] (積事象・和事象・余事象を参照)

(4) (3)と同様に考えると、20枚から選び出した4枚の中に、3つ以上の対が含まれることは起こり得ないので、事象の集合の中から3つを選び出して共通部分を考えたときの確率、Eから4つを選び出して共通部分を考えたときの確率、Eから5つを選び出して共通部分を考えたときの確率、Eから6つすべてを選んで共通部分を考えたときの確率は、いずれも0です。
Eから2つを選び出して(選び方は、6つから2つを選ぶので通り)共通部分を考えたときの確率は、(2)と同様にしてです。
Eから1つを選び出した(選び方は6通り)ときの確率は、(1)と同様にしてです。
よって、
4枚のカードの中に第1対,第2対,第3対,第4対,第5対,第6対の中の少なくとも1つが含まれる確率は、
......[]


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  1. 2009/02/19(木) 06:37:42|
  2. 早大理工'09年
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早大理工数学'09年[2]

早大理工数学'09[2]

に対し、行列A
で定める。xy平面上の直線とする。の各点を行列Aで表される1次変換で移してできる直線をとし、の各点をAの逆行列で表される1次変換で移してできる直線をとする。また、の交点をPの交点をQの交点をRとし、△PQRの面積をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 直線と直線の方程式を求めよ。
(2) 3PQRの座標を求めよ。
(3) を求めよ。
(4) を最小にするaを求めよ。

解答 単なる計算問題です。

(1) 直線上の点は、Aで表される1次変換によって、
 (行列の積を参照)
より、に移ります。
2式より,これを第1式を代入すると、

......[] ・・・①
直線上の点は、で表される1次変換によって、
より、に移ります。
2式より,これを第1式を代入すると、

......[] ・・・②

(2) ①にを代入すると、
P ......[]
②にを代入すると、
Q ......[]
①,②を連立して解くと、
R ......[]

(3) PQRの底辺PQの長さは、 ()
PQRの高さは、 ()
......[]

(4)  (商の微分法を参照)

より、とすると、
()
a0


0



増減表より、を最小にするaは、 ......[] (関数の増減を参照)


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  1. 2009/02/19(木) 06:35:47|
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早大理工数学'09年[1]

早大理工数学'09[1]

実数xに対して、x以下の最大の整数をで表す。以下の問いに答えよ。
(1) のとき、を求めよ。
(2) すべての実数xについて、を示せ。
(3) nを正の整数とする。実数xについて、を求めよ。

解答 ガウス記号の問題です。面倒がらずに場合分けすれば大したことはありません。

(1) のとき、より

のとき
......[]

(2) mを整数として、
のとき、
より、
のとき、
より、
以上より、すべての実数xについて、

(3) mを整数,として、
のとき、 ( )
より、 ( )
......[]


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  1. 2009/02/19(木) 06:33:37|
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慶大理工数学'09年[B1]

慶大理工数学'09[B1]

xy平面上において円Cと直線lを考える。
(1) 行列で表される1次変換によって、円Cはどのような図形に移るか。理由をつけて答えなさい。
(2) Cと直線lとの交点の座標は( ヒ  フ )( ヘ  ホ )である。
(3) Cを円Cに移し、直線lを直線lに移す1次変換を表す行列をすべて求めなさい。求める過程も示すこと。

解答 (1)は行列をの形に書き換えると、反時計回りに角q回転し、k倍の拡大を行う変換であることがわかります。
(3)は、直交変換と呼ばれる1次変換を扱う問題です。1次変換(その2)の直交変換の記述を参照してください。

(1)
で表される1次変換は、反時計回りに角回転し倍の拡大を行います。よって、円Cは半径が倍の円:に移ります。

(2) Cl
を連立して、
(複号同順)
C
lの交点は、
()()()()は順に、 ......[]

(3) Aの表す1次変換が直線l上の点 (t は任意の実数)を直線l上に移すので、
l上の点で、
t は任意の実数なので、
 ・・・①
Aの表す1次変換が円C上の点を円C上に移すので、
も円C上の点で、

これが、に一致するために、xyに依存しない定数abcdについて、
 (内積を参照)
()とおくと、より、
 
(x成分とy成分を入れ替え、y成分にマイナスをつけてk倍した)
とおけますが、

よって、
(複号同順)
(i) (ii) 2つの場合があります。
(i) のとき、①より、

,但し、 (三角関数の合成を参照)

のとき、
のとき、
(ii) のとき、①より、
のとき、
のとき、
以上より、 ......[]
注.(2)を利用して、Aの表す1次変換により、Clの交点がClの交点に移る、として、以下のように解答することもできます。
Aの表す1次変換を施すと、
に移りますが、これもまた、の正負のどちらかなので、
 ・・・②
また、円C上の点Aの表す1次変換により、また円C上に移るので、
より、
 ・・・③
②,③を連立することにより、abcdが求められます。


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  1. 2009/02/18(水) 11:58:29|
  2. 慶大理工'09年
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慶大理工数学'09年[A4]

慶大理工数学'09[A4]

とする。このとき、3次方程式
はただ一つの実数解をもつ。正の数Rに対し、の範囲でaを動かすとき、対応する実数解が整数となるようなaの個数をとする。
となるような
Rの範囲は ナ  ニ である。
とおき、
uで表すと ヌ となる。したがって、aを使って表せば
 ()
となる。
が有限な正の値となるのは ノ のときであり、そのとき ハ である。


解答 問題文がわかりにくいのですが、そこがこの問題のポイントなので、がいったい何を意味するのか、よくつかんでから解答するようにしましょう。出題者の意図がつかめれば、親切な誘導になっていることに気づけるはずです。

とおくと、
より、単調増加関数です。
,・・・
となっているので、例えば、として、aの範囲を動くとき、を満たすxであってxは整数にならないので、です。
とすると、
aの範囲を動くとき、を満たす整数xは、のときののみであって、です。
だとすると、
aの範囲を動くとき、を満たす整数xは、のときののときのの少なくとも2個あるので、です。
従って、となるような
Rの範囲はです。
() 2 ......[]
() 7 ......[]
() とおくと、

......[]
() より、


問題文中の指定によりとなる方をとって、

 ・・・①
......[]
() aの範囲で動かすとき、を満たすxが整数となるときの「aの個数」がなのですが、が単調増加関数であることを考えると、aの個数はを満たす「整数xの個数」に一致し、aの範囲で動かすときのを満たす整数xのうちの「最大の整数n」と一致します。つまり、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは存在しないので、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは、のときの1つあり、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは、のときのと、のときの2個あり、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは、のときののときののときの3個あり、
という具合になっているので、nを自然数として、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xのときののときの,・・・,のときのn個あり、
となります。よって、
だとして、

 ・・・②
左辺のと右辺のは、
とすると、では
0に収束し、では正の無限大に発散します(数列の極限を参照)のとき、よりとなるので、が有限な正の値となるのは、 ......[] のときです。
() のとき、②は、
とすると、
よってはさみうちの原理より、
......[]
別解. (n:自然数)のとき、①でとして、
として考え、のときにのみ
とすることもできます。


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慶大理工数学'09年[A3]

慶大理工数学'09[A3]

とする。xy平面上において点を中心とする半径rの円を考える。この円が曲線C ()に接するのは、半径rがどのような値のときであるかを調べてみよう。この半径rの円が曲線Cと接するとき、その接点のx座標は、曲線
と直線が接する場合の接点のx座標と一致する。
 ソ のとき、において タ でのみ極小となる。よって、
x座標がなる点において半径 チ の円だけが曲線Cに接する。
 ソ のとき、においてで極大となり、 ツ  テ 
()において極小となる。したがって、x座標がなる点で曲線Cに接する円のほかに、半径 ト の円がx座標がなる2点において曲線Cに接する。

解答 円と直角双曲線が複雑にからまりながら微妙な接し方をする、という問題です。誘導の仕方がちょっと変わっているので、まごつくかも知れませんが、出題者の意図をよく考えるようにしましょう。

なお、
微分法の方程式への応用2を参照してください。

()  (合成関数の微分法を参照)



方程式:は、判別式:のとき実数解を持たないか重解をもち、このとき、 (2次方程式の一般論を参照)です。の場合には,は正負いずれの値も取り得ます。
そこで、においては、で場合分けします。
2 ......[]
のとき、より、増減表は(関数の増減を参照)
x0
1

0

() において ......[] でのみ極小となります。
()
より、半径 ......[] の円だけが曲線Cに接します。
のとき、2実数解をもち、より、
ここで、
(複号同順)
より、
 (ここまで複号同順)
増減表は、
x0

1


000

() においてで極大となり、 ......[]
() ......[]において極小となります。
() したがって、x座標が ()なる点で曲線Cに接する円のほかに、半径 ......[] の円がx座標がなる2点において曲線Cに接することになります。


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慶大理工数学'09年[A2]

慶大理工数学'09[A2]

さいころを投げるという試行を繰り返し行う。ただし、2回連続して5以上の目が出た場合は、それ以降の試行は行わないものとする。
n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が4以下になる確率をとする。このとき、 ケ  コ である。またとおく。に対して、の間に成立する関係式を求め、それを ()の形に書くと サ である。よって、( シ )となる。
また、
n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が5以上になる確率をとする。このときである。とするとき、の間には ス なる関係式が成り立つ。したがって、5以上の目が出る回数の期待値は セ である。

解答 まずは、3項間漸化式が立てられるか、というところが勝負の分かれ目になります。期待値については、やり方が書かれてしまっているので、その通りに計算すればよいのですが、かなり計算が面倒なので、ミスには充分に注意してください。

さいころを投げて、
5以上の目が出る事象をU (確率)4以下の目が出る事象をD (確率)とします。

() 必ず2回以上さいころを投げるので、 ......[]
() 3回めにDが起こるのは、
1回目がD2回目がU3回目がDになる(確率)場合と、
2回目がD3回目がUになる(確率)場合
があり、両者は排反なので、 ......[]
() のとき、n回目にDが起こるのは、
回目がD回目がUn回目がDになる(確率)場合と、
回目がDn回目がDになる(確率)場合
があり、両者は排反なので、
これは、なのでのときにも成り立ちます。として、
 (3項間漸化式を参照) ・・・①
 ・・・②
とすると、
 ・・・③
①,②より、より、ab2解とする2次方程式

より、 ......[]
() ②より、は、初項:,公比a等比数列。よって、
 ・・・④
②のabを入れ替えて、
これより、は、初項:,公比bの等比数列。よって、
 ・・・⑤
④-⑤より、


......[]
() のとき、n回目にUが起こるのは、
回目がD回目がUn回目がUになる(確率)場合と、
回目がDn回目がUになる(確率)場合
があり、両者は排反なので、
 ・・・⑥
必ず2回以上さいころを投げるのでです()が、より、
より、のときも⑥は成立します。
......[]
() 5以上の目が出る回数の期待値は、

より、無限等比級数は収束し、





......[]


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慶大理工数学'09年[A1]

慶大理工数学'09[A1]

(1) 平面上において点Oを中心とする半径rの円を考える。この円の外部にある点Aからこの円に引いた2本の接線のなす角度がであるとき、の値は ア である。
(2) xy平面上で放物線Cと直線lが囲む図形の面積は イ である。放物線Cと直線lとの2つの交点をABとする。点Pが放物線上をAからBまで動くとき、三角形APBの面積が最大となるのは点P( ウ  エ )のときである。点から直線lにおろした垂線をとすると、Hの座標は( オ  カ )である。
(3) xy平面上において曲線および2つの直線により囲まれる図形をKとする。図形Kx軸のまわりに回転してできる立体の体積は キ であり、図形Ky軸のまわりに回転してできる立体の体積は ク である。

解答 深くは聞かないけれど、一通りのことは確かめておこうという基本問題3題です。(1)については、解答をとしているウェブサイトもあります。確かにそうなのですが、でもそれが正解なのだとしたら、出題者の品位を疑いたくなります。

(1)()
 (半角の公式を参照)
......[]

(2)() C
l
両式を連立し、

C
lで囲む図形の面積Sは、
......[] (定積分の公式を参照)
() 三角形APBの面積が最大になるのは、点PにおけるC接線lと平行になるとき(2直線の平行・垂直を参照)です。
Cについて、
 (は、lの傾き)
のとき、 ......[]
()
() 直線lに直交して、点()を通る直線は、傾きが (2直線の平行・垂直を参照)で、
 (直線の方程式を参照)
これとlとを連立して、
......[]
() ......[]

(3)() 図形Kx軸のまわりに回転してできる立体の体積は、
......[]
() 図形Ky軸のまわりに回転してできる立体の体積は、底面が半径1の円で高さeの円柱の体積から、y軸,で囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる立体の体積を引いたもので、より、
 (部分積分法を参照)


......[]


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上智大理工物理'00年[2]

上智大理工物理'00[2]

図のように、同じばね定数kをもつばねに、同じ質量mの物体ABが結ばれてなめらかな床の上に置かれ、左右のばねの端は壁に固定されている。
1.物体Aを固定し、物体Bだけを振動させるとき、周期は[ 1 ]である。
2.次に物体Aが静止している位置からx軸方向にaだけずれたとき、物体Bも静止している位置から同じくaだけずれている運動を考える。このとき周期は[ 2 ]である。
3.今度は物体Aが静止している位置からx軸方向にaだけずれたとき、物体Bは静止している位置からだけずれている運動を考える。このときの周期は[ 3 ]である。
4.物体Bにだけ電荷を与え、電界をゆっくりとx軸方向にかけた。つりあったときの、物体Aの変位は[ 4 ]で物体Bの変位は[ 5 ]である。
5.前問の状態から物体Aを固定して突然電界を切ったとき、物体Bは振動し始めた。物体Bが物体Aに一番接近したときの距離は、一番遠く離れたときよりも[ 6 ]だけ短い。
前問の状態から物体Aを固定しないで突然電界を切ったときは、物体ABともに振動する。この場合、物体Bが物体Aに一番接近したときの距離は、一番遠く離れたときよりも[ 7 ]だけ短い。
[ 1 ][ 2 ][ 3 ]の選択肢 a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)
[ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ]の選択肢 a) 0 b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)

 複数個の物体と複数個のばねからなる系に関する問題です。一見複雑に見える、こうした問題では、一つずつ基本に忠実に考えていくことが大切です。

[1] 物体Bが右にx変位すると、左のばねから弾性力 (マイナスは力の向きが変位と逆向きであることを示します),右のばねから弾性力を受け、物体Bが受けるです。物体B加速度aとして、物体B運動方程式

これは、角振動数単振動を表します。周期は、

c) ......[]

[2] このときは、AB間のばねはつねに自然長で物体ABを及ぼしません。物体Bが右にx変位すると、右のばねから弾性力を受けます。物体B運動方程式

これは、角振動数の単振動を表します。周期は、

e) ......[]

[3] このとき、物体Aと物体Bの運動はABの中間点に関して対称になります。物体Bが右にx変位すると、右のばねから弾性力,左のばね(伸びている)から弾性力を受け、物体Bが受けるです。物体B運動方程式

これは、角振動数の単振動を表します。周期は、

b) ......[]

[4] 物体Aが右に変位し、物体Bが右に変位しているとします。AB間のばねはだけ伸びています(なら縮んでいる)
物体Aが受けるは、左のばねから弾性力,右のばねから弾性力力のつり合いより、
 ・・・①
物体
Bが受けるは、右のばねから弾性力,左のばねから弾性力,電界から受ける (右向き)力のつり合いより、

①より、
c) ......[]

[5] ①より、
e) ......[]

[6] 物体Bにはたらくからがなくなり、物体B加速度として物体B運動方程式は、
 ・・・②
Aを固定するので、に固定されます。
これは、振動中心(力のつり合いの位置)とする単振動を表します。
物体
Bと物体Aが一番接近したときの距離と一番離れたときの距離の差は、振幅2倍で、

g) ......[]

[7] 物体A加速度として、運動方程式は、
 ・・・③
②-③

これは、 (AB間のばねが自然長)振動中心とする単振動を表します。
最初に、
で、このとき、物体Aも物体Bも静止していたので、振幅です。
一番接近したときの
距離と一番離れたときの距離の差は、

e) ......[]


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  1. 2009/02/16(月) 09:53:38|
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東大文系数学'97年[4]

東大文系数学'97年前期[4]

をみたす実数t に対して、xy平面上の点AB
AB
と定める。t を動くとき、直線ABの通りうる範囲を図示せよ。

解答 見るからにゴツゴツとそびえ立つ巨岩のような問題に見えますが、やっていくと、典型パターン問題だということがわかってきます。
とにかく、暗礁に乗り上げるまでは基本に忠実にやってみることです。

まず、
ABx座標が一致することがあるかどうか調べてみます。
より、ABx座標が一致することはありません。
よって、直線
ABの傾きは(直線の方程式を参照)
直線ABの方程式は、
 ・・・①
となり、見慣れた形になってきます。
実数
tの範囲を動くと、直線ABが傾きやy切片を変化させながらxy平面上を動き回るのですが、直線ABの通過範囲は、いろいろと直線を引いてみてもなかなかつかめません。
そこで、
x座標を固定して、直線が動くときに、あるx座標のところでy座標がどのような変化をするかを考えることにします。従って、xの方を定数として①をtの関数と見て、y座標の最大・最小を考えることになります。
①の右辺をとおいて、


とすると、になりますが、x0との関係はいろいろ考えられるので、場合分けが必要になります(3次関数の増減を参照)
(i) の場合、において、なので、は減少していて、
より、
(ii) の場合、xの範囲に入るかどうかでも場合分けが必要になります。
のとき、
より、の増減表は以下のようになります。
t0
x
1

0

増減表より最大値はですが、最小値はのどちらになるかでさらに場合分けが必要になります(3次関数の最大最小を参照)
(a) のとき、より、
(b) のとき、より、
の場合、において、なので、は増加していて、

以上をまとめると、直線ABの通過範囲は、
図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)


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  1. 2009/02/15(日) 08:28:16|
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早大教育物理'05年[2]

早大教育物理'05[2]

(A) オシロスコープの原理
図Ⅱ
-1のように、速度の電子(電荷は,質量はm)z軸上を入射してくる。以下では重力や地磁気は無視できるものとする。
間隔
Lの極板には電圧がかかっている。極板はにわたっているので電子はこの間で力を受け、その結果生じる加速度のy成分は (1) である。電子のz座標がdであるとき、速度のy成分は (2) であり、z成分はのままである。また、このときのy座標は[ (3) ]である。さらにこのとき電子の進行方向がz軸と角度fをなしているとすると、を用いて[ (4) ]と書ける。電圧を上げすぎると電子は極板に衝突してしまう。衝突しない条件は[ (5)  ]である。ただし、における極板間では電場(電界)は一様であり、その外ではゼロとみなしてよい。

(B) 位相差の測定
2組の極板を用いて図Ⅱ-2のように電子ビームの角度をx方向にも制御できるようにした。電子は極板の領域を抜けた後その速度を保って進み、極板の大きさに比べて極めて遠方の蛍光板(ブラウン管)に当たってその点(スポット)を光らせる。極板の大きさLおよびdは蛍光板までの距離に比べて無視できるほど小さいので、以下では電子は原点Oから飛び出すという近似を用いる。極板にかける電圧をのように時間的に変化させると、蛍光板のスポットの座標ものように時間の関数となる。(A)よりは電圧に比例するので、電子が極板から蛍光板に到達する時間を無視すればに比例し、またに比例するとしてよい。
1 原点Oから蛍光板までの距離をDとする。を用いて表せ。
2 極板に角振動数(角周波数)w の電圧をかけたとき、となったとする。を消去し、蛍光面に表示されるXYで表現される図形の方程式を求めよ。
3 同様にとなった場合に、表示される図形の方程式を求め、以下の空欄をd の関数で埋めよ。d は位相差と呼ばれる。
4 図Ⅱ-3のような座標回転によって問3で得た方程式をで表し、積の係数が0となるようにq を求めよ。そのようなq のうち、となるq [  ]である。
このときで表した図形の方程式は
である。これは楕円の方程式であり、
が位相差d の関数となるので、この比を測定することにより位相差を求めることができる。
5 位相差d を求めるもう一つの方法がある。問3から直接
を計算すると右辺はd のみの関数となる。上記の空欄を埋めよ。ただし<...>は、1周期についての時間平均を表す。

解答 問2以降は、物理の入試問題なのか?と思ってしまいます。

(1) 極板間にはy軸負方向に大きさ電場(電界)ができています。負電荷をもつ電子にはy軸正方向に大きさが働いています。加速度y成分をとしてy軸方向の運動方程式
......[] (一定 なので、y軸方向の運動は等加速度運動です)
(2) z軸方向に速さ距離dの極板間を通過するのに時間を要します。のとき、電子の速度y成分は、
......[]
(3) のときのy座標は、等加速度運動の公式より、
......[]
(4) 電子の速度z成分がy成分がなので、
......[]
(5) 電子が極板に衝突しない条件は、
......[]

1 極板間を通り抜けた後、電子はzx平面となす角fの方向に等速直線運動します。電子が原点Oから飛び出す近似を用いると、y方向の変位は、
......[]
追記.2組の極板とも、z軸方向のdで、極板間距離Lだとします。電子の進行方向がyz平面となす角度をjとすれば(4)と同様にとなります。問1と同様にして、x方向の変位についても、
となり、ともにを比例係数としてに比例します。

2 より、
図形の方程式は、

3  (加法定理を参照)
 ( )
より、



......[]

4 右図より、
 (1次変換を参照)
3の結果に代入して


 ・・・①
の係数を0とすると、
題意より位相差d は、いろいろな値をとり得るので、

より、 ......[]
このとき①より、
より、
......[]
......[
] (楕円を参照)
注.上記では、とします。のときはのときはとなり楕円にはなりません。のときは円になります。

5 周期Tで変化する量があって、時刻tにおける値をとするとき、周期Tn等分して時刻,・・・,におけるn個の値の平均値を考え、の極限値を1周期にわたる時間平均と考えることができます。つまり、
として計算できます。
のとき、
 (半角の公式を参照)


......[]


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  1. 2009/02/14(土) 10:50:55|
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京大理系数学'99年後期[6]

京大理系数学'99年後期[6]

(1) で連続な関数とする。このとき、
 
となるcが存在することを示せ。
(2) の部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体を考える。この立体をy軸に垂直な個の平面によって各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき、に最も近い平面のy座標をとする。このとき、を求めよ。

解答 (1)は積分の平均値の定理です。(2)は、一筋縄ではいきません。解答に幾重にも工夫が必要です。

(1) ()とおきます。
において連続であって、において微分可能で、
となるcが存在します。
よって、
となるcが存在します。

(2) の部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積Vは、
ではxyで表すことができないので、により置換積分を行います。
より、
yのときx

 (円筒分割の考え方を用いて直接この式を書くこともできます。y軸のまわりの回転体を参照)

 ・・・①
題意より、
 ・・・②
ここで、として(1)を用い、
 ・・・③
としたいのですが、の具体的な形が書けないので困ります。ですが、なので、
と書くことはできます。
()とおけば、
となります。
こうして③を、
と書き直すことができます。②を用いて、
 ・・・④
このままでは、のときにq がどうなるかわからないので、を用いてはさみうちの形を作ります。④をq について解き、
 ()
ここでとすると、はさみうちの原理より、
より、


......[]


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  1. 2009/02/13(金) 10:06:45|
  2. 京大数学
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東大文系数学'05年[3]

東大文系数学'05[3]

0以上の実数st
をみたしながら動くとき、方程式
の解のとる値の範囲を求めよ。

解答 やや手強い、対称式と2次方程式の問題です。

 ・・・①
①の左辺をとおきます。

とおく(2次方程式の解と係数の関係を参照)と、st2次方程式:
2解で、2解とも0以上の解なので、
として、
判別式:
の軸:

よって、 かつ  ・・・②
また、より、

 ・・・③
②に代入すると、

より、 ・・・④

③を用いて、

と表せるので、①は、
となります。について解いても、きれいな形にはならないので、u2次方程式:
 ()
とみて、が④の範囲に実数解をもつ条件を考えます(2次方程式の解の配置を参照)
・④の範囲に1解を有する、または、と他に1解、または、と他に1解をもつ場合、より、

または または
より
従って、は、に含まれます。
の軸の位置: ()は、④の範囲に入らないので、2解とも④の範囲に入る、ということはありません。
以上より、の解のとり得る値の範囲は、 ......[]


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  1. 2009/02/12(木) 09:53:42|
  2. 東大文系数学
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阪大物理'07年前期[1]

阪大物理'07年前期[1]

図のように、長さ,質量Mの細く一様な剛体棒が、水平な床の上に床と角度となるように置かれ、上端からの位置で台のカドと接するように立てかけてある。台のカドは滑らかで、棒との間に摩擦力は働かない。床面はあらく、棒との間に摩擦力が働く。棒が床面に接する点をAとし、Aにおいて棒が床から受ける垂直抗力の大きさを,摩擦力をとする。また、棒が台のカドと接する点をBとし、棒に垂直な方向に働くBにおける抗力の大きさをとする。の正の方向は図に示す矢印の向きとする。また、棒と床面の間の静止摩擦係数をm,重力加速度をgとする。棒の中心には重力が働く。
Ⅰ.水平な外力を棒の中心に加えたところ、棒は静止したままであった。ただし、水平外力の大きさは棒の重さのp()とし、右向きに働くときにとする。
1 棒に働く力の、点Aのまわりのモーメントのつりあいより、を、MLgpのうちの必要なものを用いて表せ。
2 棒に働く力のつりあいより、を、MLgpのうちの必要なものを用いて表せ。
3 棒に働く力のつりあいより、を、MLgpのうちの必要なものを用いて表せ。
4 のときに棒が静止しているためのmの範囲を求めよ。
Ⅱ.次に、棒が動かないように手で支えてから、棒の中心に水平外力を加えた。手を棒から放すと、水平外力()と静止摩擦係数(m)の大きさに応じて、棒は静止したままか運動を始めるかのいずれかである。棒が静止したままであるためには、次の3つの条件が同時に満たされなければならない。
(条件a) 台のカド(B)から棒が離れない。
(条件b) 床から棒が離れない。
(条件c) 床に接する棒の端部が左にも右にもすべらない。
今の場合、条件bは、条件cが満たされているときには、必ず満たされている。
5 左向きの大きな水平外力()を加えたときに、条件aが破れてしまう。条件aが満たされるための、pの範囲を求めよ。
6 床の静止摩擦係数が小さいときに条件cが破れてしまう。棒の下端が左にすべらないためにmが満たすべき条件式を適当に式変形すると、pmの間の関係式として次のように表せる。(1)(2)(3)に適当な数を入れよ。
7 同様にして、棒の下端が右にすべらないためにpmが満たすべき条件は次式で表せる。(4)(5)(6)に適当な数を入れよ。
8 条件abcが同時に満たされて棒が静止したままであるためにpmが満たすべき領域を、右図のグラフに斜線で示せ。ただし、グラフに記した直線や曲線のうち、必要なものを使うこと。さらに、グラフの中のの値も答えよ。なお、なる式は、と変形される。この式はを漸近線とする双曲線を表す。グラフ中の曲線はいずれも問6,問7の条件に対応する双曲線の一部になっている。

解答 力のモーメントの問題です。誘導が親切で、指示通りにやっていけば解答できますが、誘導がなくても解答できるようにしておきたいところです。
条件
a)b)c)が与えられているのは、受験技巧など暗記してこなくても良い、というメッセージなのでしょうけれども、これくらいは知識としてもっているべきだと思います。

Ⅰ.問1 点Aのまわりの力のモーメントを考えるので、うでの長さ(Aからの作用線に下ろした垂線の長さ)0で考える必要はありません。
重力 (時計回り)うでの長さ水平外力 (時計回り)うでの長さ,抗力 (反時計回り)うでの長さ,よって、点Aのまわりののモーメントのつり合いは(反時計回りを正として)
......[]

2 を求めるためには鉛直方向ののつり合いを考えます。鉛直方向に働く垂直抗力(上向き)のほかに、重力(下向き)抗力の鉛直方向成分 (上向き),よって、鉛直方向の力のつり合いは、
1の結果を用いて、
......[]

3 を求めるためには水平方向ののつり合いを考えます。水平方向に働く静止摩擦力 (向きはわからない、正負ともありうる)のほかに、水平外力 (右向き)抗力の水平方向成分 (左向き),よって、水平方向の力のつり合いは、
1の結果を用いて、
......[]

4 水平外力がなく、点Aで棒の下端は左側にすべろうとしているので、棒が静止しているためには、点Aで右向きの静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることが必要十分(摩擦力を参照)です。のとき、

Ⅱ.問5 台のカド(B)から棒が離れない条件は、
......[]

6 棒の下端が左側にすべらない条件は、右向きの静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることです。

で割り整理すると、
 ・・・①
(1) (2) (3) 1 ......[]

7 棒の下端が右側にすべらない条件は、左向きの静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることです。

で割り整理すると、
 ・・・②
(4) (5) (6) ......[]

8 領域を図示する際にであることに注意します。と問5の結果,問6の結果①,問7の結果②をすべて満たせば、棒が静止したままになります。
①の境界線 ・・・③ に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、として、
これは、を漸近線とする双曲線です。
①は、のとき、 ・・・④
のとき、 ・・・⑤
②の境界線に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、として、
これは、を漸近線とする双曲線です(③とp軸に関して対称)
②は、のとき、 ・・・⑥
のとき、 ・・・⑦
上記で、のとき、④かつ⑥を満たす必要がありますが、⑥よりになってしまうので、のときには条件をみたす
mは存在しません。
結局、求める領域は、かつ⑤かつ⑦の部分となり、図示すると右図斜線部
(境界線を含む)
図中のは、③と
p軸との交点で、③でとすることにより、 (5の結果の符号を変えたものに一致)
......[]


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  1. 2009/02/11(水) 14:16:27|
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京大理系数学'99年前期[5]

京大理系数学'99年前期[5]

以下の問いに答えよ。ただし、が無理数であることは使ってよい。
(1) 有理数pqrについて、ならば、であることを示せ。
(2) 実数係数の2次式
について、のいずれかは無理数であることを示せ。

解答 難関大学でよく見かける、背理法を用いる論証の問題です。
(2)では、abが「実数」となっていることに注意しましょう。ABが実数の場合には、
とは言えないので注意してください。

まず、命題
()
が無理数のとき、有理数ABが、
を満たすとき、
が成り立つことを証明しておきます。
と仮定すると、

となり、右辺は有理数で、無理数と有理数が等しいという不合理が起きます。よって、であり、ならです。

(1)  ・・・①
2乗して、

は有理数なので、命題()により、
よって、pqのどちらかは0です。
(i) のとき、
①より、
をかけて、
rは有理数なので、命題()により、
つまり、です。
(ii) のとき、
①より、
qrは有理数なので、命題()により、
以上より、有理数pqrについて、ならば、

(2) がすべて有理数であると仮定します。cdeを有理数として、
 ・・・②

 ・・・③
 ・・・④
実数abを残していると、命題(),あるいは、(1)の結果が利用できないので、abcdeで表すことを考えます。そのために、②と④をabに関する連立方程式と見て解きます。
④-②より、
 (分母を有理化した)
②より、
これらを③に代入すると、


をかけて、
(1)の結果を使うと、は有理数なので、
これより、
かつ
という矛盾が起きます。
よって、がすべて有理数である、とした仮定は誤りで、
のいずれかは無理数です。


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  1. 2009/02/10(火) 12:32:33|
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東大文系数学'98年[4]

東大文系数学'98[4]

xyz空間に3ABCをとる。△ABC1つの面とし、の部分に含まれる正四面体ABCDをとる。さらに△ABD1つの面とし、点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる。
(1) Eの座標を求めよ。
(2) 正四面体ABDEの部分の体積を求めよ。

解答 断面図が描けてしまえば、あとは一本道です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1) 原点をOとして、Oは辺ABの中点で、より、正四面体ABCDは、△CODを含む平面、つまり、yz平面に関して対称です。また、同様に、正四面体ABDEも、yz平面に関して対称です。従って、DEyz平面上の点です。
これより、右図のような鳥瞰図と、yz平面で切ったときの断面図が書けるはずです。
ABCの重心をGとすると、断面図において、DGは△ABCを含む平面、つまり、xy平面に垂直 ・・・() で、Dy座標はGy座標に一致します。
よって、Dy座標はです。また、と三平方の定理より、
これがDz座標になります。

OD
CEの交点をHとすると、であって、Hは△ABDの重心です。

E
は直線OD (あるいは△ABD)に関してCと対称なので、
よって、点Eの座標は、 ......[]
注.()を示すのであれば、
より、
よって、DGは△ABCを含む平面に垂直です。

(2) これも(1)の断面図を使って考えます。正四面体ABDEzx平面で切ると、辺DEz軸との交点をFとして、切り口は△ABFです。この△ABFを底面と見ると、高さはEy座標の符号を変えたものとなり、求める体積Vは、
で与えられます。Dy座標をと書くと、
GD // OFより、DFFE = = = 37
Fz座標をとして、
......[]


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  1. 2009/02/09(月) 17:18:08|
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鳥取大物理'00年[4]

鳥取大物理'00[4]

図Ⅳ-1に示す配置の光の干渉実験において、スリットの位置Aに図Ⅳ-2に示す形状のスリット(a)(b)および(c)を置いた場合、それぞれスクリーン上にどのような干渉縞が生じるか、図Ⅳ-3(1)(10)に示す図形より最も近いと思われるものを選べ。また、選んだ図形のx軸上の位置の近似値をld等を用いて表せ。
ただし、入射光は平行な単色光であり、スリットおよびスクリーンは入射光に対して垂直に置かれているものとする。また、装置全体は中心線に対して上下対称である。ここでは、目安として波長,スリットとスクリーンとの間の距離,図Ⅳ
-2におけるdは長さを示しており程度を考えよ。なお、図Ⅳ-3の図形は中心線より片側の中心付近の光の強さを示しており、高さは最高強度を1としている。また、x軸は必ずしも同一の尺度とは限らない。
必要なら次の近似式を用いよ。
z1に比べて充分に小さいとき、が十分小さいとき、および

解答 回折格子の単スリット効果(中央部分の明線が最も明るく、両側に行くに従って明線が暗くなる)の問題です。

(a) 単スリットの場合、スリット上半分を通過する光と下半分を通過する光に分け、2光の干渉を考えます。単スリットでは干渉の効果は弱いので1次の暗線の方向のみを考えます。
スリット上半分の中間の点と下半分の中間の点の間の距離は、右図より、スリット間隔です。
スリットを通過した後、角
q の方向に進む2光の経路差は、右図より
スリットとスクリーンの
距離はスクリーン上で中心線からの距離xに比べて十分に大きいので、q は十分に小さく、,よって、2光が弱め合うのは2光の経路差半波長の場合だとして、

従って、においては、2光が干渉して弱め合い、光の強さは0になります。xを越えると、弱め合う条件が緩和されて若干明るくなりますが、強め合うわけではなく明線ができるわけではありません。また、スリットを通過した後直進する光は、スクリーン中央に明るい部分を作ります。この状況を表すグラフは(1) ......[] です。また、
......[]

(b) 二重スリットの場合、上のスリットを通過した光と下のスリットを通過した2光の干渉を考えます。
隣接スリットの間隔dです。スリットを通過した後、角q の方向に進む2光の経路差は、(a)と同様の近似を行い、右図より
2光が強め合うのは2光の経路差波長の整数倍だとして、
 (m:整数)

従って、においては、2光が干渉して強め合い、明線ができます。二重スリットの干渉では、明線がぼやけていて幅が広くなります。また、は明線です。
ですが、各スリットにスリット自体の
があるために、(a)で考えた単スリットの効果を考慮する必要があります。(a)dとして、においては、各スリットの上半分と下半分を通過した光が強め合って強度が0になります。従って、この効果のために、二重スリットによってできる明線は、mと変化すると次第に強度が落ちてきます。
以上の状況を表すグラフは
(3) ......[] です。
また、は最もに近い暗線の位置で、弱め合う条件:
 (m:整数)
においてとして、 ......[]

(c) スリットの数が10個になると、隣接する2つのスリットを通過する光が強め合う条件は二重スリットと同じで、mを整数として、
 ・・・①
に明線ができます。
ですが、隣接していないスリットを通過する光も干渉します。
kを整数として間隔2つのスリットを通過する2光が強め合う条件は、
 (m:整数)

m
kの倍数になるときには、①の位置と重なり、明線は隣接スリット以外のスリット同士でも強め合って強度を増します。
弱め合う条件は、
 (m:整数)

暗線条件では、分子の奇数は分母の偶数の倍数にはならないので、①の位置に重なりません。①以外の位置の光の強度を弱める効果をもっています。
結果的に、スリットの数を増やすと、明線の位置の強度を上げ、明線位置以外の光の強度を弱めることになり、明線が鋭くなります
(多重スリットを参照。これが回折格子を使って波長測定を行う意味です)
以上の状況だけであれば、
(10)のグラフになるはずですが、各スリットにがあるので、(b)と同様に、単スリットの効果で、明線は、mと変化すると次第に強度が落ちてきます。この状況を表すグラフは(9) ......[] です。
は、①のの位置になり、
......[]


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