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一橋大数学'05年前期[5]

一橋大数学'05年前期[5]

AB2人があるゲームを繰り返し行う。1回ごとのゲームでABに勝つ確率はpBAに勝つ確率はであるとする。n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になる確率をとする。
(1) pnで表せ。
(2) のとき、を最大にするnを求めよ。

解答 n回目のゲームで「初めて」ABの双方が4勝以上、という問題文の「初めて」という言葉に注意しましょう。

(1) n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になるのは、回目までのゲームでA3勝しB ()勝していてn回目にAが勝つか、B3勝しA ()勝していてn回目にBが勝つ場合です。
,つまり、の場合、その確率は反復試行の公式より、

の場合は、ABの双方が4勝以上することはあり得ないので、
......[]

(2) として、のとき、
としてみると、

従って、においては、,つまり、です。

のときにはなので、を最大にするnは、
......[]


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  1. 2009/01/31(土) 16:45:07|
  2. 一橋大数学
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東工大数学'95年前期[3]

東工大数学'95年前期[3]

nを自然数とする。
(1) の増減を調べ、グラフの概形を描け。
(2) 楕円と曲線の交点のうちでない方の座標をとおく。このとき、であることを示せ。

解答 (2)では、はさみうちすることは察しがつきますが、はさむものがなかなか見つからないので苦労します。

(1)  ・・・①

よって、単調増加で、より、方程式にただ1つの解aをもちます。即ち、
 ・・・②
また、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

0


これより、グラフの概形は右図。

(2) 楕円 ・・・③
曲線: ・・・④
③,④を連立して、
即ち、 ・・・⑤
(1)のグラフより、方程式⑤は、の範囲にただ1つの解をもちます。即ち、
 ・・・⑥
ここで、
nの式で表せれば、を考えることができますが、⑥をについて解くことはできません。そこで、の各辺をnで割り、
として、はさみうちにすることを考えます。ですが、②を利用してもanで表すことができません。aよりも大きなものを探しても、を考えることができません。これで暗礁に乗り上げます。そこで、の利用を諦め、⑥に出てくるを使うことを考えます。なので、
 ・・・⑦
これも、このままではにつながりません。なので、⑦よりも大きくなるものを探すことになります。⑦の右辺にはマイナスがついているので、よりも小さなもの、よりも大きなものを探します。より、
が使えそうですが、この右辺がaを含むままではの極限操作が行えないので、さらに②を利用します。

さらに、,つまりを用いて(ここではaよりも小さくなるものを考えていることに注意)


結局、⑦より、
ここで、とすると、右辺は、
よって、はさみうちの原理により、


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  1. 2009/01/30(金) 19:46:29|
  2. 東工大数学
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東北大物理'96年前期[2]

東北大物理'96[2]

電気容量のコンデンサーに交流電圧 ()を加えると、コンデンサーに流れる電流は、で表される。コンデンサーのリアクタンスはである。また、自己インダクタンスのコイルに交流電圧を加えると、コイルに流れる電流Iで表される。コイルのリアクタンスはである。交流回路について下記の問いに答えよ。 ア  オ  カ  ク  コ には式を、 イ  エ には数値(有効数字2桁まで)を、 サ  シ には適当な言葉を記入せよ。なお、 キ  ス は図で示せ。
(1) 1はコンデンサーC (電気容量),コイルL (自己インダクタンス),抵抗R (抵抗値)を直列に接続し、交流電圧を加えた交流回路である。回路を流れる電流Iは、を交流電圧に対する電流Iの位相差として、で表される。ここで、で与えられる。Zはこの回路のインピーダンスであり、 ア で表される。とすると、w  イ のときw に関して最大になり、その値は ウ となる。また、このときのAB間の電位差 エ となる。この現象を共振という。およびのときのの漸近形は オ で表され、及びのときのの漸近形は カ で表される。これらの結果を用いて、w の関数としての概略を キ に図示せよ。
(2) 2は、図1でコイルLとコンデンサーCを並列に接続した場合の交流回路を示す。交流電圧の角周波数w を変えていくと、のとき抵抗Rを流れる電流は0になった。このとき、コンデンサーCに流れる電流 ク で、一方、コイルに流れる電流 ケ である。これより、 コ と求まる。この現象も共振と呼ばれる。のとき、コンデンサーとコイルのうち、電流はほとんど サ を流れる。また、のときは電流はほとんど シ を流れる。抵抗Rを流れる電流Iは、を交流電圧に対する位相差として、と表される。の場合、w の関数としての概略を ス に図示せよ。図中に、の数値と及びのときのの数値をそれぞれ示せ。

解答 交流回路に関する基本問題ですが、数式処理の点でちょっと難しいカ所があります。
交流では、抵抗
R,コイルL,コンデンサーCを直列接続したときの合成インピーダンスは、それぞれのインピーダンス(抵抗R誘導リアクタンス容量リアクタンス)の和ではなく、横軸にR,縦軸上向きに,縦軸下向きにをとったときのベクトル和の大きさとして、となることに注意してください。
また、
誘導リアクタンス容量リアクタンスを考えるとき、電流電圧の瞬時値については、オームの法則を適用できない(位相がずれる)ことに注意してください。ただし、電流電圧の振幅 (従って、実効値)については、オームの法則と類似の関係式:が成り立ちます。

() 自己インダクタンスのコイル、静電容量のコンデンサー、抵抗を直列接続したときの、角周波数におけるインピーダンスは、
 ・・・①
で与えられます。
......[]
() は、Z最小のときに最大になります。w が変化するとき、①で与えられるZが最小になるのは、
 ・・・②
のときです。よって、

......[]
() ②が成立するとき①は、となります。よって、の最大値は、

......[]
() このとき、AB間のインピーダンスは、②よりゼロです。従って、AB間の電位差もゼロです。
0 ......[]
() およびのとき、 ()が出てくるように①を変形して、
を無視すると、
このときのの漸近形は、
......[]
() 及びのとき、 ()が出てくるように①を変形して、
を無視すると、
このときのの漸近形は、
......[]
() これらの結果よりw の関数の概略は右図黒色実線(黄緑色の曲線は,水色の曲線は)
() 抵抗両端の電圧0なので、コイルとコンデンサーの両端に交流電圧がかかります。
問題文より、のとき、コンデンサーに流れる電流は、
 ・・・③
......[]
() コイルに流れる電流は、
 ・・・④
......[]
() 抵抗を流れる電流0なので、
③,④より、
......[]
() のとき、コイルのリアクタンス→大,コンデンサーのリアクタンス,よって、電流はほとんどコンデンサーを流れます。
コンデンサー ......[]
() のとき、コイルのリアクタンス,コンデンサーのリアクタンス→大,よって、電流はほとんどコイルを流れます。
コイル ......[]
()
()のとき、合成インピーダンスは、
(コイルとコンデンサーが並列であることに注意)
()のとき、合成インピーダンスは、

これらの結果よりw の関数の概略は右図黒色実線。



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  1. 2009/01/29(木) 19:53:47|
  2. '08年入試(物理)
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京大理系数学'01年後期[5]

京大理系数学'01年後期[5]

行列および実数xに対し、行列を用いて表されたxyに関する2つの連立1次方程式
(i) (ii)
について、次の条件()を考える。
() 方程式(i)には解が存在して、方程式(ii)には解が存在しない。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 条件()が成り立つとき、は、いずれもの実数倍であることを示せ。
(2) 条件()をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件を求めよ。

解答 xyを未知数,pqを与えられた定数として、2次の正方行列を用いて表される連立方程式
 ・・・①
即ち、
を考えます。
であればが存在するので、①両辺の左からをかけて、

これが連立方程式①の解を与えます。即ち、であれば連立方程式①は解をもちます。
のときには、

・②の表す直線と③の表す直線が同一の直線であるか、または、どちらか一方のみが直線を表す場合、即ち、,または、となる実数kが存在する場合には、abのいずれか一方が0でなければ直線上のすべての点、または、であれば直線上のすべての点の座標が連立方程式の解になりますが、いずれにしても解が無数にあって1つに決まらないので、「不定」と言います。
・②の表す直線と③の表す直線が平行で異なる直線である場合、連立方程式は解をもちません。この場合を、「不能」と言います。
本問は、方程式(ii)に解がない、不能である、と言っているので、ですが、方程式(i)には解が存在するので、方程式(i)は不定であることになります。

(1) 方程式(ii)に解が存在しないのでは存在せず、
 ・・・④
④にもかかわらず、連立方程式(i)
が解をもつので、⑤と⑥は同一の直線を表す方程式になるか、または、どちらか一方のみが直線を表します。
(i) ⑤が直線を表さないとき、

(ii) ⑥が直線を表さないとき、

(iii) ⑤と⑥が同一の直線を表すとき、
のとき、④よりですが、⑤と⑥が同一の直線を表すために、
ここでとするとになってしまうのでより、,よって、

のとき、⑤と⑥が同一の直線を表すために、
また、を満たす実数kが存在します。よって、

以上より、は、いずれもの実数倍です。

(2) (1)より、khを実数として、
とおけます。のときには、連立方程式を作ることができないので、khのどちらか一方は0ではありません。
連立方程式
(i)は、
このとき、(i)は、(⑦が直線を表さない)(⑧が直線を表さない)の場合も含めて、
を満たすを解にもちます。
連立方程式
(ii)は、
これが解をもたないということは、⑨のあらわす直線と⑩の表す直線が平行で異なる直線だということです。⑨より、ということはありえません。⑨にをかけた式と⑩が異なる直線を表すための条件は、
よって、条件()をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件は、
......[]


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  1. 2009/01/28(水) 18:48:41|
  2. 京大数学
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一橋大数学'05年前期[4]

一橋大数学'05年前期[4]

aを定数とし、x2次関数を次のように定める。
(1) 2つの放物線2つの共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) (1)で求めた範囲に属するaの値に対して、2つの放物線によって囲まれる図形をとする。の面積をaで表せ。
(3) a(1)で求めた範囲を動くとき、少なくとも1つのに属する点全体からなる図形の面積を求めよ。

解答 定番の頻出問題です。(3)xを固定しaの関数とみて最大値を考え、領域を求めます。

(1) を連立して、
整理すると、
 ・・・①
2つの放物線2つの共有点をもつとき、2次方程式①は、相異なる2実数解をもち、判別式Dは、
 ・・・②
......[]

(2) であるときに、①の2解をab ()として、においてはより、面積は、
 (2解がab であることに注意)
 ・・・③ (定積分の公式を参照)
ところで、と②より、
③に代入して、
......[]

(3) のグラフは、aが動くとあちこち動き回って考えにくいので、あるx座標のところでだけ考えることにします。このx座標のところでは、aが変わるとグラフが動くのに伴い、y座標が変化します。このy座標のとり得る範囲が、「少なくとも1つのに属する点全体からなる」図形Kをこのx座標のところで切断したときのy座標の範囲になります。
そこで、xを固定してaを動かしたときのyの範囲を考えることにします(2次関数の最大最小を参照)
yの最大値については、軸位置が、範囲の右側にあるのか(,つまり)、含まれるのか()、左側にあるのか()で場合分けし、yの最小値については、軸位置が範囲の中間位置の左側か()右側か()で場合分けして考えることにします。

(i) のとき、軸位置は範囲の右側に来ます。右図より、yの最大値は、のとき、
(ii) のとき、軸位置は範囲の中にあります。右図より、yの最大値は、のとき、
(iii) のとき、軸位置は範囲の左側に来ます。右図より、yの最大値は、のとき、
(iv) のとき、軸位置は範囲の中間位置よりも右に来ます。右図より、yの最小値は、のとき、
(v) のとき、軸位置は範囲の中間位置よりも左に来ます。右図より、yの最小値は、のとき、
境界線の ・・・④ と、 ・・・⑤ を連立すると、


④と⑤はにおいて接します。
境界線の ・・・⑥ と、⑤を連立すると、

⑥と⑤はにおいて接します。
境界線の ・・・⑦ と、⑤を連立すると、


⑦と⑤はにおいて交わります。
以上より、図形
Kは、から上側でから下側の部分になります(右図黄緑色着色部分)。その面積は、
......[]
注.図形Kを不等式で表すと以下のようになります。
かつ
に注意してください。


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  1. 2009/01/27(火) 14:25:24|
  2. 一橋大数学
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東大理系数学'99年前期[6]

東大理系数学'99年前期[6]

であることを示せ。ただし、は円周率、は自然対数の底である。

解答 前半は平凡な部分積分の計算ですが、後半は、最近、東大前期でよく出題されている数値評価の問題になります。試験会場でいろいろなアイデアをひねり出せるようにしておくことが大切です。

 (半角の方式を参照)

 (部分積分法を参照)



よって、を示せばよいことになります。
まず、なので、ですが、

なので、なら示せますが、は示せません。
さりとて、より、

では、ですが、試験会場での手計算ではとても展望がありません。
そこで、いろいろと工夫が必要になるわけですが、以下に種々のアイデアを掲げておきます。

(1) 接線の利用
のグラフは下に凸で接線から上に来ることを利用します(曲線の凹凸を参照)
計算しやすい値が出てくるように、におけるの接線を考えると、より、
においては、のグラフは接線よりも上に来るので、
 ・・・①
(2) の接線の利用
のグラフは上に凸で接線から下に来ることを利用します。
における接線は、より、
においては、のグラフは接線よりも下に来るので、
 (以後は①)
(3) 平均値の定理の利用
関数に平均値の定理を適用すると、より、
 ()
となる実数cが存在します。
より、
 (以後は①)
(4) ニュートン法の利用
方程式:の解はです。
におけるの接線は、より、
x軸との交点は、として、

のグラフは上に凸なのでx軸との交点は、その接線とx軸との交点よりもx軸正方向にずれた位置に来ます。
 (以後は①)
(5) テーラー展開の利用
の近くにおけるテーラー展開:
を知っていれば、 (問題によっては、より高次の項まで必要なときもあります)とおいて、
においては、よりは増加で、
これより、として、
 (以後は①)
注.大学入試では、の場合のマクローリン展開で充分な場合がほとんどです。


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  1. 2009/01/26(月) 12:44:00|
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中大理工物理'05年[2]

中大理工物理'05[2]

次の文章の空欄にあてはまる式、グラフ、語句または文章を、それぞれ記しなさい。
無重力の宇宙空間で、図のような細い管でできた半径
Rの円形のリングをリングの直径方向を回転軸にして一定の角速度Wで回転させる。管の内壁は滑らかで摩擦が無視できるとして、管内にある質量mの質点Pの運動を調べよう。
これを調べるには、静止した観測者から質点
Pを眺める方法とリングと一緒に回転している観測者から見る方法が考えられる。リングと一緒に回転している観測者から眺めると、質点Pの回転運動は観測されず、かわりに遠心力と呼ばれる見かけの力が現れる。すなわち、宇宙空間でも管内にある物体には、あたかも重力が働いているかのように力が作用する。物体が受けるこの人工重力(遠心力)は、回転軸と物体の距離をhとすると、の大きさである。一方、静止している観測者から見ると、見かけの力は消える。そのかわり、質点Pの回転運動が観測される。
これら
2つの見方のどちらを使うのがよいかは一概には言えない。むしろ、何が知りたいかによって、見方を変えるとよい。そこで、はじめにリングと一緒に回転している観測者から質点Pを眺めることにしよう。この見方で考えると、質点Pが図のように回転軸からq の位置にいるとき、中心OPを結ぶ方向(y)には、力のつり合いが成り立つことになる。管の内壁からの垂直抗力をNとすると、つり合いの式は重力がないのですこし簡単になって、 (1) と書ける。一方、リングに沿った方向(x)の見かけの力Fは、q が増加する方向を正として、 (2) である。Fq 依存性を区間で図示すると (3) のようになるから、リングに沿った方向には、 (4) の位置に向かって質点Pを動かす力が働くことがわかる。
この力の性質をもう少し詳細に調べるために、の場合を考える。ここで、
fは充分に小さい()とする。なら、およびの近似式が成り立つ。Ff 1乗までの項で表すと、 (5) である。の位置から測った変位であるから、リングに沿った方向の運動は単振動と考えてよい。したがって、この運動は周期運動で、その周期T (6) となることがわかる。
初期時刻
Pの位置が (),リングに沿った方向の速度vであるとする。リングに沿った方向の運動が単振動であることを使うと、時刻でのvは容易に求まり、を使って、 (7) と表すことができる。
このように、リングと一緒に回転している観測者から見る方法で考えると、質点
Pの運動の様子が簡単にわかる。では、質点Pの力学的エネルギーはどのようになるのであろうか。リングと一緒に回転している観測者から見たのでは、この問題はわかりにくい。そこで、静止した観測者の立場から質点Pの運動を見ることにしよう。この見方では、時刻tでの力学的エネルギーは運動エネルギーのみである。このことから、時刻tPの位置をq,リングに沿った方向の速度をvとすると、 (8) と書くことができる。
時刻
Pの位置は,リングに沿った方向のPの速度はゼロであるから、このときのエネルギーは、の時に成り立つ近似式を使って2乗の項まで考慮すると、 (9) である。同様にして、時刻でのエネルギーも容易に求まる。その結果を使うと、一見意外な、 (10) の関係が得られる。
以上のことから、リングに沿った方向に質点
Pの運動が起こると、リングの回転を一定の角速度Wに維持するためには、外から (11) が必要であることがわかる。

解答 近似を行うことにより、つり合いの位置の近くで単振動になることを導く問題です。合わせて、回転運動する観測者から見る場合と、静止している観測者から見る場合とを比較します(慣性力を参照)。また、通常の近似とは違い2次の項まで残すことにも注意が必要です。

(1) 質点Pが回転軸からq の位置にいるとき、質点Pと回転軸との距離hは、
遠心力は、
質点Py軸方向に働くは、管の内壁から受ける垂直抗力N (y軸負方向)と、遠心力y軸方向成分 (y軸正方向)です。この2力のつり合いより、

......[]
(2) x軸方向に働くは、遠心力x軸方向成分です。
......[]
(3) Fq依存性のグラフは右図。
(4) (3)のグラフより、においては正方向のにおいては負方向のが働くので、リングに沿った方向では、の位置に向かう方向にが働きます。
......[]
(5) 問題文中の近似式を(2)の結果に適用して、

を無視してfを残すと、

......[]
(6) リングに沿った方向での質点P加速度aとして、運動方程式

問題文中にあるように、の位置から測った変位なので、これは、角振動数W 単振動を表します。単振動の周期は、
......[]
(7) における質点P変位速度0で、このとき質点Pは単振動の振動端にあります(単振動の振幅)。ここから周期後に質点P振動中心(変位0の位置)に来ますが、ここは速さ最大の位置です。単振動の公式より、このときの質点P速さなら速度は負、なら速度は正なので、質点P速度vは、
......[]
(8) 静止した観測者の立場から質点Pの運動を見るとき、質点P速度のリングに沿う方向の成分はv,これと垂直にリングの回転による速度成分があります。2成分を合成して、質点P速さ,よって、

......[]
(9) のとき、より、
問題文中の近似式を用いて、
を無視して、まで残すと、

......[]
(10) において、より、(8)の結果を用いて、
......[]
(11) 単振動においては力学的エネルギーが保存されるはずですが、(10)の結果によると、
です。従って、リングに沿った方向に質点Pの運動が起こると、リングの回転を一定の角速度Wに維持するためには、外から仕事を加えること(においてはにおいては)が必要になります。
仕事を加えること
......[]

追記.(5)の近似は、
としても同じ結果が得られます。
(9)の近似も、
としても同じ結果が得られます。
(10)ですが、本問では「単振動」と言っても純粋な単振動ではなく、単振動+回転運動なので、の半分は、回転運動の半径の違い(R)による運動エネルギーの差であり、残る半分は、単振動させるによる、言わば、位置エネルギー (ばね定数のばねと思えばよい)と言えるものです。
右図のように地表でリングを
角速度Wで回転させる場合は、重力を考慮することになります。リングとともに回転する観測者から見て、リングの接線方向に働くは、重力遠心力です。
この
2がつり合うのは、
として、
 ・・・①
のときです。回転が充分に速くである場合には、リング上に力のつり合いが成立する位置が存在します。①を満たすq として、は鈍角なので、のつり合いの位置は、リングの半分から下のどこかにあります。
質点
Pが位置q 加速度aで運動しているとき、運動方程式
本問と同様にとしてfを微小角として、の近似を行うと、

 (を無視しました)

 ( )
 ( )

本問と同様に、の位置からの変位と考えれば、この式は、角振動数単振動を与えます。本問は重力を考慮しないのでここでとした場合に当たります。


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  1. 2009/01/24(土) 22:31:14|
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京大理系数学'96年前期[5]

京大理系数学'96年前期[5]

xy平面上の正三角形△ABCを考える。△ABCの重心は原点Oにあり、ベクトルの長さは1とする。△ABCの内部または辺上の点に対し、3頂点ABCから1点を等確率で選び、この頂点との中点をとする。次に点に対して同様の操作を行い得られた点をとし、以下この操作を繰り返して、点,・・・,を作る。ベクトルの長さの2の期待値をとおく。
(1) をベクトルの長さを用いて表せ。
(2) 選んだ頂点が,・・・,のとき、ベクトルをベクトルを用いて表せ。
(3) が原点Oのときを求めよ。

解答 現行数学Aの確率では範囲外になっていますが、「和の期待値は期待値の和」という技巧が功を奏する問題です。

まず、「和の期待値は期待値の和」を証明しておきます。
変数
Xn通りの値 ()をとり、変数Ym通りの値 ()をとるとします。
また、事象が起こる確率,事象が起こる確率とします。

XY期待値は、
です。ここで、abを定数として、の期待値を考えてみます。のとりうる値は、 ()です。
事象となる確率は、となる
ijのすべての組み合わせについて、を加え合わせたものです。この和を
と書くことにします。ijが、を動くとき、がとり得る値を,・・・, (互いに相異なる)とします。
()として、事象と,事象とは、排反です。従って、の期待値を求めるために、のとりうる値すべてについての和をとると、
 (がとりうる値すべてにわたって和をとると、Xのとりうる値、Yのとりうる値のすべてにわたって和をとることになります。しかも、排反なので、重複はできません)


 (です)

これを繰り返し使えば、n個の変数がある場合でも、,・・・,を定数として、
 ・・・()

本問に戻ります。

題意より、

 ・・・① (ベクトルの内分・外分を参照)
 ・・・②
(1) 3頂点ABCから1点を選ぶとき、
(i) Aを選ぶと、
 (内積を参照)
 ( )
(ii) Bを選ぶと、
 ( )
(iii) Cを選ぶと、
 ( )
よって、

......[] ( )

(2)

・・・・・・
として、
よって、帰納的に、
......[]

(3) (2)の結果において、が原点Oのとき、より、

 (ここで、は、kを、jを除いて1からnまで動かしたときの和を表すことにします)
ここで、上記の()を使います。「和の期待値は期待値の和」より、
の期待値をの期待値をとして、
 ・・・③
ここで、は、の確率でをとることから、
 ( )
は、の確率でをとり、これと独立に、の確率でをとることから、
 ( ①,)
よって、③より、
 (等比数列を参照)
......[]


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  1. 2009/01/23(金) 16:31:54|
  2. 京大数学
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センター数学ⅡB'09年第4問

 センター数学IIB '09年第4問 

Oを原点とする座標空間における5点をABCDEとする。ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
(1) であり、三角形ABCの面積はである。
(2) とおく。とし、点を線分BEaに内分する点とすると、である。点
で定め、線分と線分AEが交わることを示そう。上の点Pは、を満たすbを用いて
と表される。また、AE上の点Qは、を満たすcを用いて
と表される。
PQのとき一致するから、線分AEは、AEに内分する点で交わることがわかる。この点をとする。
で定めると、同様に考えることにより、線分と線分ADも、ADに内分する点で交わることがわかる。この点をとすると
であり、三角形は三角形ABCと平行であるから、四角形の面積は
である。
また
である。

解答 第2問、第3問に続いてボリュームたっぷりの空間ベクトルの問題です。きちんと論証していたのではとても時間が足りません。()()()()()()は少々計算が必要ですが、それ以外は、実力派の受験生ならカンで埋められる、というか、カンでやっていかないと高得点は望めません。

(1)

 
(内積を参照)
() 1 () 3 () 2 ......[]

(2) とおくので、三角形ABEを含む平面上のベクトルは、Bを始点とするように考えることにします。Oを始点とするベクトルは、の形で考えます。
は線分BEaに内分するので、
() a ......[]

これを用いると、点P上の点なので、

 ・・・① (ベクトルの1次独立を参照)
問題文のの式の形から、AE上の点Qは、AEcに内分する点として、
と書けるので、
 ・・・②
() c () 1......[]
①,②は、かつ,つまり、のときに一致します。
() c () - () a ......[]
このときQは、AEaに内分する点で、線分AEは、AEaに内分する点で交わることがわかります。
() a ......[]
上記で、BCに、に、EDに読み替えることにより、線分ADは、ADaに内分する点で交わることがわかります。
() a ......[]
より、
 ・・・③
() a ......[]
と同様に、
よって、三角形
ABCと三角形は合同です。また、DE = a1で、三角形と三角形は相似な三角形であって、相似比はa1で面積の比は1です。
三角形の面積は三角形
ABCの面積に等しくで、四角形の面積は、三角形の面積から三角形の面積を引いて、
() 3 () 2 () 1 () a () 2 ......[]
また、 = aより、



() 5 () 2 () 2 ......[]


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  1. 2009/01/22(木) 20:12:57|
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センター数学ⅡB'09年第3問

 センター数学IIB '09年第3問 

を初項1で公比がの等比数列とする。数列の偶数番目の項を取り出して、数列 ()で定める。とおく。
(1) も等比数列であり、その初項は,公比である。
したがって
である。また、積を求めると
となる。
(2) 次に、数列 ()で定め、とおく。
 ()
が成り立つから
 ・・・①
である。また、この左辺の和をまとめ直すと、を用いて
 ・・・②
と表される。
①と②より
となる。

解答 この問題も第2問に勝る悪問度です。等差数列等比数列の基本とΣの使い方の理解を見るのであれば、(1)に階差数列の問題を付け足すくらいで充分ではないでしょうか。制限時間内に(2)をやりきるのは無理と言うものですが、実力のある受験生であれば、()()をカンで数分で埋めたら、最後の()()は労多くして配点も少ないのでパスが賢明です。

(1) 数列は、
と続く数列です。この偶数番目の項を取り出すと、数列は、
となり、初項,公比です(等比数列を参照)
() 1 () 3 () 1 () 9 ......[]
等比数列の和の公式より、
 ・・・③
() 3 () 8 () 1 () 9 ......[]

 (指数の和については、等差数列を参照)
() 1 () 3 ......[]

(2) 数列は公比の等比数列なので、

 ・・・④
 ・・・⑤
⑤×9-④より、
() 9 () 2 ......[]
問題文中の①:
問題文中の②:


() 8 () 9 () 9 ......[]

と、①,②,③より、

() 2 () 7 () 3 () 2 () 2 () 4 () 2 () 7 () 9 ......[]


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  1. 2009/01/22(木) 09:12:39|
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センター数学ⅡB'09年第2問

 センター数学IIB '09年第2問 

放物線C,点Aとする。
Qに関して、点Aと対称な点をPとすると、
が成り立つ。QC上を動くときの点Pの軌跡をDとすると、Dは放物線
である。
二つの放物線
CDの交点をRSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。点RSx座標はそれぞれで、点RSにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
である。
Pを放物線D上の点とし、Px座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。のとき、三角形PHRの面積
と表される。のとき、最大値をとる。
のとき、直線
HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標はである。このとき、の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積はである。

解答 全国の予備校サイトや高校の先生方の団体では、こういう問題を適切な良問と持ち上げるのでしょうけれども、こうした問題のために夢を打ち砕かれてしまう才能を思うと、当ウェブサイトは、毎年繰り返されているこうした悪問を一刻も早くやめるべきだ、と、主張致します。
計算のボリュームがあるのに、前半のミスが一生を棒に振る致命傷になってしまうので、難関国立大を目指す皆さんは、検算方法などを工夫するとともに、本番では前半をミスしないように充分に注意してください。制限時間を考えると、実戦的には最後の
()()をパスすることが賢明です。

PAの中点がQになります。
() 1 () 2 () 2 () 2 ......[]
Q
C上を動くので、より、
整理して、
D ・・・①
() 2 () 3 ......[]
と連立すると、
整理して、

(
) - () 1 () 3 ......[]
①を微分して、
のとき、
Rにおける接線は、

のとき、
Sにおける接線は、

(
) 2 () 8 () 6 ......[]
においては、
なので、DCの上に来ます。PHより、三角形PHRの底辺PHは、
三角形PHRの高さは、PRx座標の差で

(
) 2 () - () 5 () 3
a

3
00




増減表より、のとき、最大値をとります(3次関数の最大最小を参照)
() 5 () 3 ......[]
のとき、Hの座標はとなります。RHを結ぶ直線は、
これと①を連立して、
整理して、

R
と異なる交点のx座標はです。
() 1 () 3 ......[]
の範囲で、放物線Dと直線PH ()および直線HRで囲まれた図形(右図の黄色着色部分)面積は、



......[]
() 1 () 6 () 0 () 8 () 1 ......[]


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  1. 2009/01/21(水) 21:13:34|
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センター数学ⅡB'09年第1問

 センター数学IIB '09年第1問 

[1] のとき、の最大値を求めよう。
とおくと、stのとり得る値の範囲はそれぞれ
となる。また
が成り立つから、zのとき最大値をとる。したがって、zのとき最大値をとる。

解答 対数線形計画法の融合問題です。

両辺の対数を考えると、

同様に、
() 1 ......[]
各辺の対数を考えると、
() 3 () 4 ......[]
以上より、の存在範囲は右図黄色着色部分(境界線上を含む)になります。
() 1 () 2 ......[]
は右図で傾きの直線になり、zは直線のt切片になります(直線の方程式を参照)。直線が右図黄色着色部分と共有部分をもつように動くとき、zが最大となるのは、直線がを通るときで、このとき、
また、のときのとき
() 1 () 3 () 7 () 2 () 2 () 8 ......[]


[2] の範囲で
 ・・・()
を満たすq について考えよう。
方程式
()を用いて表すと
となる。したがって、より
であり、の範囲でこの等式を満たすq のうち、小さい方を,大きい方をとすると
である。
について不等式が成り立つ。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。

   
   
ただし、必要ならば、次の値
を用いてもよい。
さらに、不等式を満たす自然数
nのうち最小のものはである。

解答 前半は三角関数を含む方程式の基本問題ですが、後半は少々考える必要があります。

()より、
 (2倍角の公式を参照)
整理して、
より、
 ・・・①
() 6 () 6 () 2 () 3 ......[]
の範囲で①を満たすq は、の範囲に1つ、の範囲に1つあるので、です。となります。
() 5 () ......[]
の範囲ですが、センター試験会場では、論理的整合性を追求するよりも近似値から考えるべきです。

(
) ......[]
これより、

よって、不等式を満たす自然数nのうち最小のものは4
(
) 4 ......[]


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  1. 2009/01/21(水) 13:53:08|
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センター数学ⅠA'09年第4問

 センター数学IA '09年第4問 

さいころを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。その合計が4以上になったところで投げることを終了する。

(1) 1の目が出たところで終了する目の出方は通りである。
2の目が出たところで終了する目の出方は通りである。
3の目が出たところで終了する目の出方は通りである。
4の目が出たところで終了する目の出方は通りである。

(2) 投げる回数が1回で終了する確率はであり、2回で終了する確率はである。終了するまでに投げる回数が最も多いのは回であり、投げる回数が回で終了する確率はである。終了するまでに投げる回数の期待値はである。

解答 場合分けの洩れや数え違いなどのケアレスに充分注意してください。

(1) 1の目が出たところで終了するのは、1の目が出る前に合計が3になっていた、ということです。そうなる目の出方は、4通り ・・・① です。
() 4 ......[]
2
の目が出たところで終了するのは、2の目が出る前に合計が2または3になっていた、ということです。合計が3になる①の4通りに加え、合計が2となる目の出方、2通りを加えて、6通り。 ・・・②
() 6 ......[]
3
の目が出たところで終了するのは、3の目が出る前に合計が1または2または3になっていた、ということです。合計が2または3になる②の6通りに加え、合計が1となる目の出方、(1)1通りを加えて、7通り。 ・・・③
() 7 ......[]
4
の目が出たところで終了するのは、③の7通りに加え、最初に4が出た1通りを加えて、8通り。
() 8 ......[]

(2) 投げる回数が1回で終了するのは、最初に456が出た場合で確率は
() 1 () 2 ......[]
2
回で終了するのは、最初に3が出る(2回目は16の何でもよい、確率は)か、最初に2が出て2度目に26が出る(確率は)か、最初に1が出て2度目に36が出る(確率は)か、であって、その確率は、
() 5 () 1 () 2 ......[]
終了するまでに投げる回数が最も多いのは、1回目から3回目にと出る場合(4回目は16の何でもよい)で、その確率は、
() 4 () 1 () 2 () 1 () 6 ......[]
3
回で終了する確率は、
終了するまでに投げる回数の期待値は、
() 3 () 4 () 3 () 2 () 1 () 6 ......[]


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  1. 2009/01/20(火) 11:05:33|
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センター数学ⅠA'09年第3問

 センター数学IA '09年第3問 

ABCにおいて、とし、の二等分線と辺BCとの交点をDとする。
このとき、であり

である。
ADの延長と△ABCの外接円Oとの交点のうちAと異なる方をEとする。このとき、と等しい角は、次ののうちである。ただし、の解答の順序は問わない。
       

これより、である。また、である。
次に、△
BEDの外接円の中心をとすると
であり
である。

解答 センター試験では定番の正弦定理余弦定理の問題です。

ABCにおいて余弦定理より、


() 1 () 2 () 0 ......[]
AD
の二等分線であることから、
BDCD = ABAC = 12

() 7 () 3 () 2 () 7 () 3 ......[]
AD
の二等分線であることから、
同一弧上に立つ円周角は等しいから、

()
これより、△BCEは正三角形で、
()  () ......[] (問題文の指示によりケコは逆でもOK)
よって、
() 7 ......[]
BDEにおいて余弦定理より、


(
) 7 () 3 ......[]
BEDにおいて正弦定理より、△BEDの外接円の半径について、

(
) 7 () 3 () 9 ......[]
よりBEに垂線を下ろすと、よりHBEの中点で、

() 3 () 9 ......[]


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  1. 2009/01/20(火) 11:04:29|
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センター数学ⅠA'09年第2問

 センター数学IA '09年第2問 

aを定数とし、x2次関数
 ・・・①
のグラフをGとする。
グラフ
Gの頂点の座標をaを用いて表すと
である。

(1) グラフGx軸と接するのは
のときである。

(2) 関数①のにおける最小値をmとする。
となるのは
のときである。また
のとき 
のとき 
である。
したがって、となるのは
のときである。

解答 2次関数の基本問題です。場合分け以降は、やや面倒です。

①を平方完成すると、


これより頂点の座標は、
() 1 () - () 2 () 6 () 1 ......[]

(1) グラフGx軸と接するのは、頂点のy座標が0のときです。

(
) 3 () 7 () 2 ......[]

(2) 関数①のにおける最小値mを求めるために、頂点のx座標が、この範囲の右側にあるのか、範囲に含まれるのか、範囲の左側にくるのか、で、場合分けします(2次関数の最大・最小を参照)。つまり、,従って、(i) (ii) (iii) と場合わけします。
(i) のとき、右図より、関数①はのときに最小値をとります。

とすると、
となりますが、を満たさないので不適です。
(ii) のとき、右図より、関数①はのときに最小値をとります。

とすると、整理して、

より、
(iii) のとき、右図より、関数①はのときに最小値をとります。

とすると、
()
以上より、となるのは、のとき。
() - () 2 () 2 ......[]
のとき、
() 1 () 4 () 7 ......[]
のとき、
() - () 2 () 7 ......[]
となるのは、のとき。
() 1 () 3 () 2 () 8 () 9 ......[]


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  1. 2009/01/19(月) 12:45:22|
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センター数学ⅠA'09年第1問

 センター数学IA '09年第1問 

[1]  整式を因数分解すると
   

となる。
のとき、
Aの値はである。

解答 2文字含む多項式の因数分解は、xyのどちらか1文字について整理すればよいのですが、の係数が1なので、yについて整理します。なお、因数分解の技法を参照してください。



() 2 () 4 () 3 () 5 ......[]
与式にを代入すると、
 ・・・①

2乗して、

①に代入して、
() - () 1 () 8 ......[]

[2] 実数aに関する条件pqrを次のように定める。
p
qまたは
r

(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
qpであるための
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない


(2) 条件qの否定を,条件rの否定をで表す。
次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
命題「pならば」は真である。
命題「ならば
p」は真である。
 
qかつ
 
qまたは
 かつ
 または

解答 範囲が広いか狭いかで、狭い方が相手の十分条件、広い方が相手の必要条件、同じなら必要十分条件とすればOK(条件・命題を参照)

(1) p または (q)
よって、qpであるための必要十分条件です。
() ......[]

(2)
より、
は、
または
は、 または または ,つまり、aは全実数
は、の範囲がの範囲に含まれてしまうので、のみと同じになり、
は、のみと同じで、
集合で考えると、
より、
p
という関係が成立します。つまり、
pならば」と「ならばp」が真です。
()  () ......[]


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  1. 2009/01/19(月) 12:44:06|
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一橋大数学'05年前期[3]

一橋大数学'05年前期[3]

をみたすq と正の整数mに対して、を次のように定める。
(1) を求めよ。
(2) q の範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
(3) mがすべての正の整数を動き、q の範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 ,従って、です。
なお、
三角関数を参照してください。

(1)
より、
......[]

(2) と同様に、
のとき、より、は、,つまり、のときに最大値1 ......[]

(3) と全く同様に、として、
また、
よって、として、
従って、の最大値は、q の範囲を動くときのの最大値を考えれば十分です。
の最大値は、のときに
1
について、
 (加法定理を参照)
 (三角関数の合成を参照)
の最大値は、のときに
について、

の最大値は、のときに2
について、
の最大値は、のときに
(2)より、の最大値は、のときに1
の最大値は0
以上より、mがすべての正の整数を動き、q の範囲を動くときのの最大値は、 ()のとき2 ......[]


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  1. 2009/01/17(土) 14:17:26|
  2. 一橋大数学
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旭川医大数学'08年[2]

旭川医大数学'08[2]

n2以上の自然数とする。で割った商を,余りをとする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3)  (mは自然数)であることを用いて、 ()の係数を求めよ。

解答 多項式の除算等比数列の融合問題です。
多項式を多項式で割り、商が,余りがになるとき、

また、余りの次数はの次数より小さくなります。
これが試験会場で思いつけないときは、

のとき、
となることを考えましょう。

(1) 2次式で割るので余り1次式または定数で、
とおけます。これより、
 ・・・①
①において、とすると、
 ・・・②
①において、とすると、
 ・・・③
②,③を連立すると、
......[]

(2) で割って商が,余りが定数sになるとします。
とすると、
 ・・・④
より、
で割って商がになるとして、余りは、剰余の定理より、
 ・・・⑤
を、④に代入すると、

これは、で割ると、商が,余りがになることを意味します。つまり、です。
⑤より、

別解.(1)の結果より、

を用いると、

(3) 問題文の等式より、

・・・・・・

辺々加え合わせると、
 (等比数列を参照)
(2)で示した等式を用いると、
これより、 ()の係数は、 ......[]


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  1. 2009/01/16(金) 14:26:23|
  2. '08年入試(数学)
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阪大物理'08年後期[2]

阪大物理'08年後期[2]

1~図4のような直流回路を考える。ただし、電流の向きは矢印の向きを正とし、電池の内部抵抗は無視する。
Ⅰ.図1のように、起電力 ()の電池1,起電力 ()の電池2,抵抗値rの抵抗3つからなる回路がある。それぞれの抵抗には電流が流れている。電流ならびにb点に対するa点の電位を求めてみよう。
1 の間に成り立つ関係は (1) となる。 (1) の中に適切な式を入れよ。
2 の間に成り立つ関係は (2) となる。さらに、の間に成り立つ関係は (3) となる。 (2) (3) の中に適切な式を入れよ。rのうちの必要なものを用いて表せ。
3 を求めよ。rのうちの必要なものを用いて表せ。
Ⅱ.次に、図2および図3の回路を考える。図2においてそれぞれの抵抗に流れる電流をとし、図3では、それぞれの抵抗に流れる電流をとする。
4 図2において、電池1から見た、3つの抵抗の合成抵抗を求めよ。
1と図2を比較すると、図2は図1において電池2の起電力をゼロとした(つまり、電池2を導線と入れ替えた)場合に等しい。また、図3は図1において電池1の起電力ゼロとした(つまり、電池1を導線と入れ替えた)場合に等しい。このように電池が2つ以上あり、回路内のある抵抗に流れる電流を求める場合、1つの電池をそのままで残りの電池の起電力をゼロ(つまり電池を取り除いて導線と入れ替える)としたときに、その抵抗に流れる電流を計算し、他の電池に対しても同様の手続きを行い電流をそれぞれ求めることができれば、それらの電流を足し合わせ、実際の回路における抵抗に流れる電流を求めることができる。これを重ね合わせの原理という。つまり、図1,図2,図3においては、の関係式が成り立つ。それぞれの電流は、電池の起電力の値と合成抵抗や抵抗の比を利用して求めればよい。
Ⅲ.さらに、図4に示すように、抵抗値の抵抗に流れる電流を重ね合わせの原理を用いて求めてみよう。以下の問いにおいてはrのうちの必要なものを用いて答えよ。
5 図4において、電池2の起電力をゼロとしたときに抵抗に流れる電流をとし、電池1の起電力をゼロとしたときに抵抗に流れる電流をとする。を求めよ。
6 前問の結果からを求めると、以下のような形で表される。
を求めよ。
7 前問の結果は、において、図4の回路図を起電力の電池、抵抗値の抵抗、抵抗値の抵抗からなる簡単な回路に置き換えられることを示している。置き換えた回路図を描け。

解答 キルヒホッフの法則を用いる抵抗回路の問題です。問7の回路図は、どれだけ正確に回路シンボルを描くことを要求しているのでしょうか?抵抗をギザギザで描くとどうなるのでしょうか?
なお、このウェブサイトでは、「
電圧降下の向き」を電圧の向き(電圧が上昇する向き)と逆向きにしていることに注意してください。

Ⅰ.問1(1) の+側の節点に流れ込む電流,節点から流れ出す電流です。キルヒホッフの第1法則より、
......[] ・・・①
2(2) の+側から出てが流れる抵抗を通りの-側に入る経路を考えると、起電力電圧降下 (電流と逆向き) (電流の向き)キルヒホッフの第2法則より、
......[] ・・・②
(3) の+側から出てが流れる抵抗を通りの-側に入る経路を考えると、起電力電圧降下 (電流の向き) (電流の向き)キルヒホッフの第2法則より、
......[] ・・・③
3 ①を③に代入し、
 ・・・④
これを②に代入し、
......[]
これを④に代入すると、
......[]
①より、
......[]
......[
]

Ⅱ.問4 図2の回路では、の流れる抵抗の流れる抵抗並列で、合成抵抗は、
よりです。この合成抵抗の流れる抵抗r直列合成抵抗は、
......[] (このときの回路は右図のように書き直すとわかりやすいでしょう)
注.この結果より、
3の回路では、の流れる抵抗の流れる抵抗は並列で合成抵抗,この合成抵抗の流れる抵抗rは直列で合成抵抗です。これより、
これより、確かに、
が成り立っています。

Ⅲ.問5 図4において、電池2起電力をゼロとしたときの回路を書き直すと、右図のようになります。
r2個の合成抵抗r合成抵抗Rは、
より、
Rが直列のときの合成抵抗は、
R両端の電圧は、Rに分けたうちのRの分となり、
これより、を流れる電流は、電圧降下と逆向きになっていることを考慮して、
......[]
4において、電池1起電力をゼロとしたときの回路は、電池2起電力をゼロとしたときの回路で電池2を電池1に入れ替えた回路になり、の結果でに入れ替え、電流の向きが逆になり電圧降下と同じ向きであることを考慮して、
......[]
6 問題文中の考え方によると、
より、
......[]
7 オームの法則より、起電力の電池に抵抗抵抗が直列接続されて電流が流れる回路で、回路図は右図。


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  1. 2009/01/15(木) 13:54:13|
  2. '08年入試(物理)
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阪府大経済数学'08年[6]

大阪府大経済数学'08[6]

関数
で定める。
(1) のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2) k0以上の数とするとき、xの方程式の解の個数を求めよ。

解答 センター試験向けの面倒な計算問題です。なお、2次関数微分法の方程式への応用を参照してください。

(1)
絶対値記号の内側の正負で場合分けをするために、
と場合分けします。
においては、
 ・・・①
においては、
 ・・・②
においては、
 ・・・③
においては、
 ・・・④


と①を連立すると、

においては、
と②を連立すると、

においては、 (接点)
と③を連立すると、

においては、 (接点)
と④を連立すると、

においては、
以上より、のグラフとで囲まれた部分は、右図黄色着色部分。
右図のように、のグラフとで囲まれた部分のうち、の部分の
面積の部分の面積をの部分の面積をとして、





求める面積は、
......[]

(2) xの方程式の解の個数は、を連立したときの解の個数に一致し、曲線と原点を通る直線の共有点の個数に一致します。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。このとき(1)より、は、の部分とはにおいて、の部分とはにおいて接します。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。
の各々について、曲線と直線の位置関係は右図のようになります。各場合で両者の共有点の数を数えることにより、
xの方程式の解の個数は、
のとき
0個,のとき1個,のとき2個,のとき3個,のとき4個,のとき3個,のとき2 ......[]


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  1. 2009/01/14(水) 14:58:06|
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一橋大数学'05年前期[2]

一橋大数学'05年前期[2]

原点を中心とする半径1の円をCとし、とする。
ANを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、BNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。
(1) Pの座標をaで表せ。
(2) AQ // PBのとき、となることを示せ。
(3) AQ // PBのとき、aの値を求めよ。

解答 図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。

(1) ANを通る直線は、
 (直線の方程式を参照)
 ・・・①
C ・・・②
①,②を連立して、
整理すると、
直線ANと円Cとの交点のうちNと異なるものがPなので、として、
①より、
よって、
Pの座標は、 ......[]

(2) BNを通る直線は、①のabと入れ替えて、
これと②を連立してQの座標を求めると、(1)の答のabと入れ替えて、
直線
AQの傾きは、 (直線の方程式を参照)
直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・③
分母を払って整理すると、③は、abを入れ替えても成り立つ式(交代式と言います)なので、という因数をもちます。これに注意して、
より、で割ると、
整理して、
 ・・・④

(3) 三角形ANB面積S2通りに表すことができます。(2)の結果を利用すると、
底辺,高さの三角形と見ると、
 ・・・⑤
を④に代入してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、④が対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。
 ・・・⑥
これを④に代入すると、
()
⑥を用いて、
() ・・・⑦
⑦-⑤より、
......[]
別解.余弦定理正弦定理を使うこともできます。
三角形
ANBに余弦定理を用いると、


これと④とからを求めれば、2次方程式の解と係数の関係を用いてaを求めることができます。
三角形
ANBに正弦定理を用いると、より、

(2)の結果を用いると、
これで⑤が得られます。


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  1. 2009/01/13(火) 11:28:25|
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帯広畜産大数学'08年[2]

帯広畜産大数学'08[2]

頂点がで、点を通る2次関数があり、とする。
(1) 関数を求めよ。
(2) の増減表を作り、そのグラフを書け。
(3) 曲線における接線の方程式を求めよ。
(4) 曲線x軸とで囲まれた部分で、一辺がx軸と平行でかつ2つの頂点が曲線上にある長方形を作るとき、面積が最大となる長方形の4つの頂点の座標とその面積を求めよ。
(5) から曲線に異なる3本の接線が引けるとき、点の存在する範囲を不等式で表し、またその範囲を図示せよ。

解答 2次関数、3次関数のグラフあり、接線あり、最大値あり、2次方程式、3次方程式の解の条件あり、存在範囲あり、で、てんこ盛りのセンター試験用練習問題です。

(1) の頂点がであることから、
とおくことができます(2次関数を参照)
を通るので、

......[]

(2)
とすると、
増減表は(3次関数の増減を参照)
x

1
00
0

グラフは右図。

(3) 曲線における接線は、
整理して、
......[] ・・・①

(4) 曲線y軸に関して対称なので、長方形も対称になり、x軸と平行な辺の両端にくる曲線上の2点は、として、 ()です。ただし、この2点は、曲線の部分に存在するので、
より、です。
長方形の横が,縦がより、長方形の面積は、


p0

1

0



増減表より、長方形の面積はのとき最大値 ......[] をとり(3次関数の最大・最小を参照)より、このとき、長方形の4頂点の座標は、 ......[]

(5) から曲線に異なる3本の接線が引けるとき、この点のx座標をay座標をbを書くことにします(xyのままだと、曲線上の点、接線上の点と混同しやすくなるので、別の文字にします)。接線①が点を通るので、
これをtに関する3次方程式と見て整理すると、
この左辺をとおくと、点から曲線3本の接線が引ける、ということは、接点が3個できて、接点のx座標を解にもつ3次方程式が相異なる3実数解をもつ、ということです。
このための条件は、関数が極大と極小をもち、
(極大値)×(極小値)が負になることです(微分法の方程式への応用を参照)
であれば、極大、極小が存在します(2次方程式の判別式が正、としてもOK)
このとき、のいずれか一方が極大値で他方が極小値です。よって、
ここで、に戻すと、点から曲線に異なる3本の接線が引ける条件は、
かつ
となりますが、不等式においてとしても、となって成り立たないので、点の存在する範囲は、
......[]
図示する(不等式と領域を参照)と、境界線は、 ()で、境界線はにおいて接しており、求める範囲は、より下側であってかつより上側、または、より上側であってかつより下側、より、右図斜線部。


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  1. 2009/01/12(月) 15:02:11|
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筑波大物理'08年[1]

筑波大物理'08[1]

図のように水平な床に置かれた発射台を考える。この発射台は、一定のエネルギーを瞬時に小球と発射台の運動エネルギーに変換することで小球を発射できる。この小球は大きさが無視でき、質量mをもつ。小球を含まない発射台の質量をMとする。床と発射台の間には摩擦がなく、発射台は床の上の直線上を自由に動くことができる。この直線をx軸とし、x軸に垂直で鉛直上向きをy軸とする。この小球の発射方向はx-y面内で動かすことができ、発射方向とx軸正方向のなす角q の範囲で調整することができる。小球は床の高さから発射されるとしてよい。重力加速度は鉛直下向きでその大きさをgとする。また、空気抵抗、小球発射前後でのにかかわる質量変化はないものとする。
以下、の位置で静止している発射台から小球を発射する場合を考える。

1 小球発射直後の小球と発射台の速度をそれぞれとするとき、小球発射前後でのエネルギー保存、水平方向の運動量保存を表す式を示せ。
2 発車直後の小球の速度の水平(x)成分,垂直(y)成分mMq を用いて表せ。
3 発射直後の小球の発射台に対する相対速度の大きさをmMq を用いて表せ。
4 発射された小球が床に最初に落ちる位置gmMq を用いて表せ。
5 を最大にするための角度q より大きいか小さいかを理由とともに示せ。

解答 問5でちょっと数学が混じりますが、それ以外は、運動量保存を除いてセンター試験練習用問題です。

1 発射前のエネルギー,発射後のエネルギーは、小球の運動エネルギー,発射台の運動エネルギー,発射前後でのエネルギー保存
......[] ・・・①
水平方向の運動量は、発射前は0,発射後は、小球が,発射台が,発射前後の水平方向の運動量保存
......[] ・・・②

2 ②より、
①に代入すると、

......[]
......[
]

3 相対速度x成分は、y成分は,その大きさは、

......[]

4 小球が最初に床に落ちるまでの時間tとして、小球は、
x方向は速度等速度運動するので、
 ・・・③
y方向は加速度等加速度運動なので、等加速度運動の公式より、

③に代入して、
 (半角の公式を参照)
......[
]

5 問4の結果で、
とおくと、qに関してに従って変化します。
 (商の微分法を参照)
とすると、
これを満たすq とすると、より、
q0


0
0最大0

増減表より(関数の増減を参照)を最大にするための角度q より大きい。 ......[]


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  1. 2009/01/10(土) 12:12:22|
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長崎大医数学'08年[3]

長崎大医数学'08[3]

1辺の長さの正方形の折り紙がある。正方形ABCDの中心を点Oとし、AO上に点Eをとり、とする。図1の斜線部を取り去り、OBOEに沿って折り、OCODを貼り合わせ、図2のように三角錐O-BCEを作って平面に置いた。Oより三角形BCEに下ろした垂線と三角形BCEとの交点をHとするとき、次の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) 三角形BCEの外心を点Pとする。のときのの長さをaを用いて表せ。

解答 空間ベクトルの計算問題です。(2)は、平面ベクトルの問題として考え、三角形BCEである二等辺三角形であることから、1次独立なベクトルとして、を選ぶことにします。また、BCの中点をMとして、外心PEM上にあることを利用します。

(1) です。
また、で、OCODを貼り合わせるので、
 ・・・①
とおくと、Hは、三角形BCEが乗っている平面上の点なので、
 ・・・② (平面のベクトル方程式を参照)
OHは、三角形BCEと垂直なので、
かつ
よって、です。①を用いると、

②より、

......[]

(2) (1)より、

 ・・・③
より、三角形BCEは二等辺三角形で、外心Pは、BCの中点をMとして、EM上に来ます。
 ・・・④
①より、
 ・・・⑤
これを用いて、
 ・・・⑥
とおくと、
 ・・・⑦
④を用いて、


 ( )
Pが外心であることから、,⑦を用いて、


③,④より、

と⑥より、
分母を払って2乗すると、
整理して、
より、
EHHP = = = 21

......[]


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  1. 2009/01/09(金) 22:10:39|
  2. '08年入試(数学)
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一橋大数学'05年前期[1]

一橋大数学'05年前期[1]

kは整数であり、3次方程式3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。

解答 シラミつぶしで調べて行く範囲を、いかに絞るか、ということで解決できる整数問題です。なお、のグラフを考えていくこともできます。

 ・・・①
①の3解をpqr ()とすると、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
②より、
③に代入すると、
整理して、
ここでどうするかですが、

より、 ・・・⑤
なので、が出てくるように平方完成し、
4倍すると、
 ・・・⑥
より、

これをみたすような整数は、4通りしかありません。
また、②や⑤から考えると、
3解のうち最も小さなpです。
(i) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
これは、⑥を満たさず不適。
(ii) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
どちらも⑥を満たさず不適。
(iii) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
(iv) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]

別解 ①~④のあと、①で、とすると、

となり題意を満たさないので、であり、は①の解にはなりません。
①で、とすると、

なので、

②より、prは異符号で、であって、
従って、であり、に限られます。

(i) のとき、
のとき、②より、
のとき、②より、
(ii) のとき、
なので②より、
prは、2解で、より不適。
(iii) のとき、
のとき、②より、
のとき、②より、

(i)と同じ解の組が出てきます。
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]


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  1. 2009/01/08(木) 13:59:39|
  2. 一橋大数学
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名市大経済数学'08年[4]

名市大経済数学'08[4]

正の数xに対して、三辺の長さが
で与えられる三角形ABCを考える。次の問いに答えよ。
(1) のとき、三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の正の数tに対して不等式
 ・・・①
および
 ・・・②
が成立することを示せ。ただし、②を証明する際に①を利用してよい。
(3) (2)の結果を利用して、任意の正の数xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。

解答 センター試験を意識して、相加平均・相乗平均の関係の利用法を考えてみましょう。(2)は、「②を証明する際に①を利用してよい」というヒントがないと、まごつくかも知れません。

(1) のとき、
なので、三角形ABCが存在する条件(2辺の和>他の1)は、
 ・・・③
かつ
 ・・・④
です。③より、
④より、
以上より、
......[]

(2) 相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・⑤
不等号の等号は、,つまり、のときに成立します。
相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・⑥
不等号の等号は、,つまり、のときに成立します。
⑤,⑥を辺々加えることにより、
 (不等号の等号はのときに成立)
不等式①が成立します。また、これより、
 ・・・⑦
右辺は、
ですが、左辺は、
よって、⑦より、
 (不等号の等号はのときに成立)
不等式②が成立します。
注.⑤-⑥としても、不等式②を示すことはできません。
かつ
は成り立たないからです。のときを考えてください。
もちろん、
かつ
も言えません。のときを考えてください。
また、上記では、⑤+⑥を作ることによって、不等式①を導いたのですが、これができたのは、⑤と⑥の等号成立条件が同じだからです。同じでなければ、⑤+⑥から①を導くことはできません。例えば、のとき、相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・(a)
ですが、だからと言って、
 ・・・(b)
 ・・・(c)
2式を辺々加え合わせて、
 ()
としても、(a)は導けないのです。
なぜかと言うと、

(b)の等号成立条件は、,つまり、
(c)の等号成立条件は、,つまり、
で等号成立条件が異なるからです。

(3)
より、なので、三角形ABCが存在する条件は、
 ・・・⑧
かつ
 ・・・⑨
です。⑧より、
この不等式の右辺は(2)より以下なので、
であれば、⑧は、任意の正の数xについて成り立ちます。
⑨より、
この不等式の右辺は(2)より以上なので、
であれば、⑨は、任意の正の数xについて成り立ちます。
以上より、任意の正の数
xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲は、
......[]


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  1. 2009/01/07(水) 18:57:48|
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慶大医物理'08年[3]

慶大医物理'08[3]

1に示すように、平面と凸面からなる凸レンズの凸面と平板ガラスを接触させ、単色光を垂直に照射した。レンズ凸面Aおよび平板ガラス面Bからの反射を観測したところ、同心円状の模様(ニュートンリング)が見られた(2)。レンズの厚みは、中心からの幾何学的距離をyとするとで表される。ここでLはレンズの中心部分の厚みRは凸レンズの曲面の曲がりの大きさを表す定数である。実験は空気中で行い、空気の屈折率を,平凸レンズおよび平板ガラスの屈折率をn,光の波長をlとする。
1 レンズと平板ガラスの接点Cにおける反射光強度はどのようになるか述べよ。
2 ニュートンリングは、面ABから反射した光の干渉により生じる。面Aと面Bが接触していなくても、両者の間隔がlよりも十分に小さければ、反射光強度が接触している場合とほぼ同じになる。このことから、ニュートンリングの中心(Cの近傍)において、面Aから反射した光と面Bから反射した光の位相はどのような関係になっているといえるか。
3 ニュートンリング中心の暗い部分を,次の暗い部分である暗線をとして、m番目の暗線の半径Rlmを用いて表せ。
4 面ABのすきまを液体で満たし、反射光強度を測定した。液体の屈折率と、問3で求めた位置およびでの反射光強度との関係を示すグラフとして適切なものを図3①から⑤の中からそれぞれ一つ選べ。図3の場合である。
3で求めた ()の位置に幅の狭い同心円状の光を通す部分(開口部)を持つ模様板を作製した(4)。中心の開口部を,次の開口部をのように順に番号をつける。この模様板に単色光を垂直に入射したところ、開口部を通過した光の一部分は縞模様の中心から距離fx軸上の点Fに集光した(5)。模様板の厚みは無視してよいものとする。
5 光は波面上の各点を波源とする素元波が干渉により強め合う方向に伝搬する。光の伝搬に関するこの原理の名称をあげよ。
6 平面波を模様板全面に垂直に入射した。このとき、m番目の開口部(D)で発生した素元波に注目する。この素元波は半球状の波となり、一部分はx軸上の点Fに到達する。この素元波の経路長DFmRlfを用いて表せ。
7 m番目の開口部からの素元波の経路長DFと、番目の開口部(G)からの素元波の経路長GFとの差がmに関係なく一定値lになるfを求めよ。ただし、fより十分に大きいとして、hの絶対値が1よりも十分に小さいときに成り立つ近似式を用いよ。
8 模様板に垂直に入射した平面波が問7で求めた点Fに集光する理由を述べよ。

解答 ニュートン・リングの基本問題ですが、フレネルの式を使う問4は無理です。ひょっとすると問1から連想できるはず、という意図なのかも知れませんが、できなくても気にすることはありません。個人的には、理工系学部ならともかく、医学部の入試問題として賛成しかねます。

この問題では、レンズの
厚みが、中心からの幾何学的距離yとするとになることが問題文中で与えられているのですが、ここから聞かれることが多いので、この理由を書いておきます。
右図のように、平凸レンズの凸面と平板ガラスとのすき間の
距離dとすると、三平方の定理より、
展開して整理すると、
ここでdRに比べて充分小さいとして、を無視すると、

レンズの厚みは、

ニュートン・リングは、平凸レンズ内からすき間の側に出て行こうとして反射する光と、すき間に透過し平板ガラス表面で反射する光が干渉することにより、明暗の輪となって見える現象です。
平凸レンズ内からすき間の側に出て行こうとして起こる反射は、屈折率の大きい方から小さい方に透過しようとして起こる反射なので固定端の反射となり
位相pずれますが、すき間に透過し平板ガラス表面で起こる反射は、屈折率の小さい方から大きい方に透過しようとして起こる反射なので自由端の反射となり位相はずれません(波の反射を参照)。結果的に、両反射光の間には位相差pが生じ、強め合う条件と弱め合う条件が入れ替わります(波の干渉を参照)
平板ガラス表面で反射した光はだけ余計に進むので、両反射光の間の
経路差です。
弱め合う条件は、
経路差を波長の整数倍として、
 ()
この条件をみたすyとすると、
 ・・・①
となり、半径の暗輪が観測されることになります。

すき間に屈折率
nの液体を流し込んだような場合には、光路差経路差の屈折率倍となるので、弱め合う条件は、
 ()
この条件をみたすyとすると、暗輪の半径は、
 ・・・②
となります。

1 教科書的には、上記①より、では弱め合う条件が成立し、
反射光の強度はゼロになる。 ......[]
と答えておけばよいと思います。問4を意識するなら、反射光が存在しないので、ということになります。

2 点Cの近傍において、面Aから反射した光と面Bから反射した光の位相は、
(ほぼ)pずれている。 ......[]

3 上記①より、
......[]

4 位置については、液体の屈折率と無関係に弱め合う条件が成立し、反射光の強度はゼロのままです。グラフは、① ......[]
位置については、②によると、液体の屈折率を変化させた場合に、弱め合う条件は、
となり、この条件が成立するは、
 ()
です。これからすると、グラフは②を選択したくなります。しかしながら、における反射光の強度は、
Aでの反射波:
 (位相pずれている)
と、Bでの反射波:
との干渉による合成波:
振幅2に比例するので、のところでは、横軸に接する感じになるはずで、②では合わないのです。
実は、異なる屈折率の媒質の境界面で電磁波の反射波、透過波の
振幅を与える「フレネルの式」というのがあり、屈折率nの媒質の境界面に垂直に入射する場合の反射波の振幅は、
となることが知られています。反射波の強度は、この2乗に比例するので、
に比例することになり、では、そもそも反射光が存在しません。屈折率が一様な媒質中を光が直進していく感じになります。
従って、干渉によって弱め合う条件が成立する以外に、においても、強度がゼロになる③のグラフを選択することになります。③
......[]
注.フレネルの式は、ずっと以前に入試問題でも見かけたことがあるように記憶しますが、高校の教科書には出てきません。電磁波を解とする電場磁場に関するマクスウェルの方程式の境界条件から出てくる式で高校の範囲をはるかに超えます。この問題で③を選択させるのは無理というものです。
恐らく、問
1で接点Cを扱い、問2で接点Cの近傍を扱っているところからすると、出題者は、問1で、ニュートン・リングの中心で暗くなるのは干渉によるのではなく(干渉は、すき間が存在する接点Cを除く部分で起こる。これが問2)、ずっとガラス中を光が透過するので反射光が存在しないことによるのだ、と、気づかせて、問4でも、なら反射光が存在しなくなる、と、させたいのだろうと思いますが、そもそも、高校の教科書のニュートン・リングの記述で接点を特別扱いにして記述しているものはないと思います。そうでなくても医学部入試は難関なのに、これでは、公正公平な入試とは言えなくなってしまいます。

5 ホイヘンスの原理 ......[]

6 三平方の定理より、問3を用いて、
......[]

7 

とおいて、
......[]

8 問7より、隣接開口部より来る光の経路差が波長lとなり強め合うから。 ......[]


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  1. 2009/01/06(火) 19:36:38|
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愛媛大理数学'08年[5](その2)

その1からのつづき
阪大理系'08年前期[1]

2次の正方行列,・・・を
()
で定める。ただし、O2次の零行列、BC2次の正方行列とする。
(1) BCを用いて表せ。ここでE2次の単位行列とする。
(2) BC
とするとき、を求めよ。

解答 Cの累乗に規則性があるので、この問題は誘導通りに解答します。

(1) 与えられた漸化式を用いて、を計算してみます。
なので、 ・・・①
 ・・・②




これより、
 ()
と予測できます。
() のとき、②より予測は成り立ちます。
() のとき、予測が成り立つとして、



よって、のときも予測は成り立ちます。
()()より、において予測は成り立ちます。
......[]

(2) (1)の結果の中にCの累乗が出てくるので、,・・・ を調べてみます。

従って、n0以上の整数として、
(1)より、
右からをかけて、
......[]
追記.2項間漸化式のようにしてやろうとすると、行列Cの固有値が虚数()になり、うまく行きません(高校範囲外であれば行列の成分に虚数が出てきてもよいのですが)

広島県大
'08[5]

条件
()で定められる2次の正方行列を考える。ここで、である。
(1) を求めよ。
(2) 数学的帰納法により、は逆行列をもつことを示せ。
(3) を示せ。
(4) を求めよ。

解答 数列であれば、


という漸化式で、両辺の逆数を考え、

とすると、が等差数列になる、というタイプのものです。
行列では、逆行列を考えると等差数列と類似の形が出てきます。


(1) ......[]

(2) () のとき、(1)よりは逆行列をもちます。
() のとき、が逆行列をもつと仮定します。
問題文の漸化式でとして、
右からをかけると、
これは、の逆行列がであることを意味します。 ・・・①
よって、も逆行列をもちます。
()()より、は逆行列をもちます。

(3) ①より、

(4) (3)の結果を繰り返して使うことにより、
......[]

九州工大工'08年前期[3]

行列
AB
とする。2次の正方行列 ()
により定める。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。すべての自然数nに対して
が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(3) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(4) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(5) 自然数nに対してを求めよ。

解答 行列の連立漸化式ですが、数列の連立漸化式と同じ感覚でできます。

(1)
......[]
......[]

(2)
() のとき、より成り立ちます。
() のとき、が成り立つと仮定します。
よって、のときも成り立ちます。
()()より、すべての自然数nに対して、が成り立ちます。

(3)  ・・・①
 ・・・②
①+②より、


......[]

(4) ①-②より、
(3)と同様にして、





(5)
......[]


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  1. 2009/01/05(月) 14:45:16|
  2. '08年入試(数学)
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愛媛大理数学'08年[5](その1)

愛媛大理数学'08[5]

行列AEO
とする。ここで、abcdは実数で、ある実数kに対して、
をみたしている。
(1) を示せ。
(2) とおく。自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(3) のとき、 (nは自然数)を求めよ。

解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用してを求めることになります。

 ・・・①
よって、

(2) 数学的帰納法により示します。
() のとき、
より、成り立ちます。
() のとき、
が成り立つと仮定します。この両辺に左からAをかけて、
①より、なので、


よって、のときにも成り立ちます。
()()より、自然数nに対して、が成り立ちます。

別解 と書けて、
 (つまり、は積について交換できる)
ので、二項定理より、
 ・・・②
(1)より、なので、のとき、
です。これより、②では、のところだけが生き残って、

(3) のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、
となるので、(1)の場合になります。
また、(2)の結果でとすることにより、
......[]

追記.固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]

とする。条件をみたす整数
abcdを成分とする行列を適当に選ぶとき、が成り立つ。このとき、
(1) xyを求めよ。
(2) ()を求めよ。

では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、


 ・・・①
3式より、 ・・・②
これを第
1式×に代入すると、より、

......[]
②より、
①の第
4式より、
これとより、

y2の約数ですが、より、こうなるのは、のときのみです。
......[]
とすることになりますが、(2)は、(1)と無関係に、
ハミルトン・ケーリーの定理より、 ・・・③
として、二項定理より、

③より、では、となるので、


......[]
とするべきです。

さて、
2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、BCDPQ2次の正方行列、E2次の単位行列として考えることにします。


という漸化式は、言ってみれば、公比
Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項

です。


2項間漸化式
 ・・・①
は、数列の場合と同様に、
Dに置き換えた
 ・・・②
を考えると、

従って、存在すれば

として、①-②を作ると、

「行列」列は、公比
Bの等比「行列」列なので、


となり、行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。
が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。として、①の項番号を
1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、



 ・・・・・・

これらを足し合わせると、両辺の,・・・,が消し合って、
 
()
が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとしてであれば、

を解き、

(スペクトル分解を参照)より、

 
()
 ()
となります。
固有値
1が重解になっている()場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、





 ()

3項間漸化式
 ・・・③
では、かつが存在すれば、③を、
 ・・・④
 ・・・⑤
2通りに書き換えて、
が公比
Cの「行列」列であることから、
 ・・・⑥
が公比
Bの「行列」列であることから、
 ・・・⑦
⑥-⑦としてを左からかけることにより、

と、数列と同様に求めることができます。
のときには⑤は作れますが④が成立しません。⑦は使えるので、が存在しない場合も含めて以下のようにします
(このタイプの問題は、山口大医'08[4]を参照)
として、⑦の項番号を
1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、


 ・・・・・・

これらを足し合わせると、左辺の,・・・,が消し合って、

 ()
の形を求めれば、を求めることができます。

以下に
2項間漸化式の場合の問題例を挙げます。

金沢大理工
'08年前期[1]

自然数
nに対して、2次正方行列
 ()
により定める。また、2次正方行列
 ()
を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1) 数学的帰納法を用いて
 ()
が成り立つことを示せ。
(2) ある2次正方行列Cに対して、がすべてのnについて成り立つとする。このとき、Cを求めよ。
(3) (2)の条件をみたすのうち、逆行列をもたないものはに限ることを示せ。

解答
(1) () のとき、
より成り立ちます。
() のとき、
が成り立つと仮定します。
より、のときも成り立ちます。
()()より、
 ()
が成り立ちます。
注.として、ハミルトン・ケーリーの定理より、
より、Dの固有値は23で、を連立すると、

ここからも、
となります。

(2) として、
 ・・・①
Gと置き換えた式
 ・・・②
より、
を左からかけて、
①-②より、
(1)と全く同じ形の漸化式に従っています。
 ・・・③
となるので、同様に、
 ・・・④
 ・・・⑤
⑤がすべてのnについて成り立つとすれば、においても成り立つので、
においても成り立つので、
として、

これらを満たす
abcdは、のみで、

逆に、のとき、すべてのnについて⑤が成り立ちます。
......[]

(3) (2)よりなので、④において、
③より、
の行列式は、
のとき、
のとき、より、
よって、の中で逆行列をもたないものはに限ります。
その2へつづく

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  1. 2009/01/05(月) 14:43:16|
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