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お知らせ

ブログの更新を12月31日より1月4日までお休みさせて頂きます。
1月5日より、更新致しますので、よろしくお願いいたします。

なお、会員の皆様からの、ご質問、答案などはこの間にも受付けておりますので、奮ってお寄せください。

2009年が皆様にとってより良き1年になりますようにお祈り致します。
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  1. 2008/12/30(火) 20:22:22|
  2. 未分類
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東大文系数学'06年[4]

東大文系数学'06前期[4]

q は、の範囲の角度を表す定数とする。の範囲で、関数
が最小値をとるときの変数xの値を、で表せ。

解答 絶対値記号3つありますが、実質は1つです。ていねいに場合分けをして調べましょう。

より、
よって、
とおくと、より

(i) のとき、
より、
 (微分・導関数を参照)

の軸位置:


これより、は、に解をもっていて(2次方程式を参照)においては、よりは増加し、において、最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
(ii) のとき、
より、


の軸位置:


これより、は、に解bをもっていて(もう1つの解はにある)、増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
b
a

0



増減表より、において、最小値をとります。
(i)(ii)を合わせて考えると、より、においては、において最小です。

 (2倍角の公式を参照)
......[
]


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  1. 2008/12/30(火) 20:13:59|
  2. 東大文系数学
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東工大数学'08年後期[2]

東工大数学'08年後期[2]

自然数nに対して
とおく。極限値を求めよ。

解答 面倒な計算問題ですが、東工大を目指すのであれば、この程度の計算だと、構想5分、計算10分、見直し5分、くらいでこなせて欲しいと思います。
絶対値記号を含む関数の積分の問題です。まず、絶対値を外すところから始めましょう。
において、ですが、の範囲を、の正負が切り替わるのに従って、
() () (),・・・,と分けることにします。
つまり、として、に分けることにします。

kが奇数のとき、において、
kが偶数のとき、において、
これより、積分区間を、

つまり、 ()に分けて(定積分を参照)

 ・・・①
 (部分積分法を参照)




①に代入して、

 (数列の求和技法を参照)

 (数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2008/12/29(月) 16:12:28|
  2. '08年入試(数学)
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埼玉大理数学'08年後期[4]

埼玉大理数学'08年後期[4]

とする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲線と点で接する半径の円の中心の座標をとする。ただし、となるように円を選ぶものとする。を求めよ。ここで、曲線と曲線が点Pで接するとは、がともに点Pを通り、その点での接線が一致することである。
(2) においての最小値を与えるtの値を求めよ。また、そのときの円の中心の座標を求めよ。
(3) (2)で求めた円の中心の座標をとするとき、連立不等式
の表す領域を図示し、その面積を求めよ。

解答 円と放物線が接する、という問題では、円の中心は法線上にある、というところから考えるのがよいでしょう。

(1)
における接線の傾きはtです。
のとき、この点における法線
(接線と垂直)の傾きは、です(2直線の平行・垂直を参照)
円の中心は法線上にあり、円の中心と接点との距離はですが、法線は、
x方向に進むとy座標は1増える(直線の方程式を参照)ので、右図より、円の中心のx座標y座標は、
......[] (のときもこれでよい)

(2) ()とおくと、

とすると、
u1


0
y


増減表より(関数の増減を参照)のときに最小で、このとき () ......[]
このとき、,円の中心の座標は ......[]

(3) 円と放物線の位置関係が問題になります。
放物線上の点と円の中心との距離の2乗と、円の半径2乗との大小関係を調べてみます。


よって、においてにおいてにおいて
ということは、右図のように、放物線と円は、で接してで交わり、放物線のの部分は円の内部に、放物線のの部分は円の外部にある、ということです。
また、円の中心は、放物線と円の
2つの共有点の中点です。ということは、2を結ぶ線分は、円の直径です。
これより、連立不等式を満たすのは、放物線から上側であって円から内側の部分であり、右図の黄色着色部分と黄緑色着色部分を合わせた部分です。
黄色着色部分の面積は、半径の円の面積ので、
黄緑色着色部分の面積は、
 (定積分の公式を参照)
よって、求める面積は、 ......[]


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  1. 2008/12/27(土) 14:15:08|
  2. '08年入試(数学)
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福井大物理'08年[4]

福井大物理'08[4]

液体を加熱すると沸騰して気体に変化する。このときのエネルギー収支を考えるために、図11に示すような装置を用いて実験を行うことにする。容器には滑らかに動くピストンがついており、容器とピストンで囲まれた領域(密閉領域)に物質を密閉する。容器にはヒーターが備え付けられており、発生したジュール熱はすべて密閉領域内の物質に与えられる。容器およびピストンは断熱材でできており、密閉領域内の物質の温度は均一であるとする。また、密閉領域内の圧力は常に標準大気圧()に保たれている。
温度において液体である物質を、密閉領域にすき間なく入れ、時刻からヒーターに一定電圧をかけて一定電流を流し、物質の温度の時間変化を測定したところ、図
12のような結果が得られた。横軸は時刻であり、縦軸は物質の温度である。温度は、において一定の割合で上昇し、においてで一定となった。において温度は再び一定の割合で上昇した。この測定結果をもとにして、以下の問いに答えよ。
1 (a) (b) (c) の各場合において、密閉領域内の物質はどのような状態になっているか。選択肢から一つ選べ。
ア.液体のみが存在する。 イ.気体のみが存在する。 ウ.液体と気体が共存する。
2 時刻からの間に物質に加えられた熱量,および、時刻からまでの間に物質に加えられた熱量を式で表せ。
3 この物質の液体状態における比熱を式で表せ。
4 この物質の蒸発熱(沸点において液体1gあたりを気体に変化させるのに必要な熱量)を式で表せ。
5 時刻からの間にこの物質が外に対してした仕事を式で表せ。ただし、気体は理想気体として扱えると仮定する。また、同量の物質について考えるとき、液体状態における体積は、気体状態における体積と比べきわめて小さく無視してもよい。容器は十分に長く、物質が膨張してもピストンが容器からはずれることはない。気体定数を,物質の1molあたりの質量をとせよ。
6 時刻からの間に加えられた電気エネルギーのうち何パーセントが仕事Wに変換されたかを式で表せ。さらに、として、求めた式の値を計算せよ(これは水についての結果である)
7 時刻からの間に加えられた電気エネルギーのうち、仕事Wに変換されなかったエネルギー()は何に使われたのか、簡潔に説明せよ。

解答 センター対策として、物質の3態の問題です。

1 物質は、温度が低いときには固体となり、構成分子は分子間の結合が強いためにつり合いの位置を中心に振動しているだけです。温度が高くなると液体になり、構成分子は分子間力を受けながら移動するようになります。さらに温度が上昇すると気体になり、構成分子は自由に動き回る(理想気体では分子間力は無視できるほど小さい)ようになります。固体から液体に変わるとき、また、液体から気体に変わるときには、加えられるエネルギーは分子間の結合を緩めることに使われて、温度が変化しない状況が起こります。
(a) ア (b) ウ (c) ......[]
注.においても蒸発は起こるので、液体と気体の共存とも言えますが、ここでは、教科書流に液体のみとしておきます。

2 ヒーターの消費電力(電力を参照)、つまり、ヒーターから物質に短時間に供給されるエネルギーは、です。時間に供給されるエネルギーとして、
......[]
時間に供給されるエネルギーとして、
......[]

3 の液体がエネルギを吸収して温度からまで上昇します。この液体の比熱は、
......[] ( を参照)

4 の液体がエネルギーを吸収して液体から気体に変わるので、
......[]
注.問3,問4は、公式を覚えていなくても、単位に注目して答えられるようにしてください。

5 密閉領域内の圧力大気圧に保たれているということは、ピストンの質量を無視できる、ピストンの位置エネルギーの増大分を無視できるということです。
時刻における気体の体積とすると、圧力,モル数は温度なので、状態方程式
時刻における体積(液体なので)は無視するので、体積変化によって物質が外部にした仕事は、
......[]

6 電気エネルギーのうち仕事Wに変換された割合は、パーセント単位で、
......[]
数値代入すると、
......[]

7 液体を構成する分子間の結合を切ることに使われた。 ......[]


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  1. 2008/12/26(金) 15:47:14|
  2. '08年入試(物理)
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北大理系数学'08年前期[5]

北大理系数学'08年前期[5]

関数の範囲で定義された連続関数とする。
(1) を満たすは定数関数のみであることを示せ。
(2) を満たすを求めよ。

解答 積分方程式と呼ばれるタイプの問題です。

(1) 上端と下端が定数の定積分の値は定数になるはずですが、を定数とおくことはできません。なぜなら、xが変化するとの値は変化してしまい定数ではないからです。被積分関数の中のが積分の際に邪魔になります。で、tで積分する際にtが変化してもは変化しないので、を定数として積分の外に追い出します。
 (不定積分定積分を参照)
は定数になるので、これをAとおき、
 ・・・①
これより、
 ・・・②
これを①に代入すると、
 (不定積分の公式を参照)

より、
②より、

(2) (1)と同様にして、
 ・・・③
とおくと、

 ・・・④
これを③に代入すると、
ここで、

 (部分積分法を参照)
より、

④より、 ......[]

追記.積分方程式にはいろいろなタイプがあります。
定積分の上端も下端も定数の場合には、上記にように、定積分を文字に置き換えると、未知の関数の形が決まり、定積分が実行できるようになります。
上端、下端が変数になっている問題、例えば、
大分大工
'07[4]

aを正の定数とする。関数
を満たす。ただし、対数は自然対数とする。
(1) を求めよ。
(2) aの値を求めよ。

この問題では、 (定積分の微分を参照)を使います。
(2)では、定積分を0にするように、上端のxを下端のaに一致させます。
(1)  ・・・①
①の両辺を
xで微分すると、
 
(積の微分法を参照)
......[]
(2)
①において、とすると、


より
......[]

北大の本問では、被積分関数の中のとすることによって、簡単に積分の外に追い出すことができましたが、簡単には追い出せないタイプの問題があります。例えば、
宮城教育大
'06[5]

次の各問に答えよ。
(1) 置換積分法を用いて、不定積分を求めよ。
(2) 次の等式を満たす関数を求めよ。

(1) とおくと、より
(C:積分定数) ......[] (置換積分を参照)
(2) 被積分関数の中のxが積分の邪魔になります。このxは簡単には積分の外に出て行ってくれません。加法定理を使います。
これでxを積分の外に追い出すことができました。
 ・・・①, ・・・②とおくと、


 ・・・③
③を①に代入すると、
ここで、
2項の積分は、とおくと、tのとき、u
 ・・・④ (置換積分法を参照)
よって、
 ・・・⑤
③を②に代入すると、
1項の積分は④より
2項の積分は、とおくと、tのとき、u
よって、
 ・・・⑥
⑤,⑥を連立すると、
③より、
......[]

さらに、被積分関数に三角関数が入り、上端、下端に変数が入るタイプもあります。
東京理科大理
'98[3]

xの関数が、関係
を満たすとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 正弦の加法定理を用い、の第2次導関数で表せ。
(2) として、を求めよ。
(3) (2)の場合についてを求めよ。

 ・・・①
このタイプはxで微分するとともに、定積分の値が0になるように、とします。
(1) まず、加法定理を用いて、被積分関数の中のxを積分の外に追い出します。
 ・・・②
xが積分の外に出たので、両辺をxで微分します。
 (積の微分法を参照)
 ・・・③
さらにxで微分すると、
中カッコ内は②よりです。よって、
......[]
(2)
xで積分して、
 ・・・④
③において、とすると、定積分は0となり、
④でとして、


x
で積分して、
 (部分積分法を参照)
 (:積分定数)
 ・・・⑤
②において、とすると、定積分は0となり、
⑤でとして、

......[]
(3) (1)の結果を用いて、
......[]


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  1. 2008/12/25(木) 15:11:10|
  2. '08年入試(数学)
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東大文系数学'06年[3]

東大文系数学'06前期[3]

nを正の整数とする。実数xyzに対する方程式 ・・・① を考える。
(1) のとき、①を満たす正の整数の組となるものをすべて求めよ。
(2) のとき、①を満たす正の実数の組は存在しないことを示せ。

解答 整数問題で、すべての場合をチェックするとしたら無限の可能性があって、チェックしきれません。そこで、チェックする範囲を与えられた条件を使って絞り込む(できれば、10通り以内くらいに)必要があります。(1)では、という条件をうまく使うことがカギです。
(2)は整数問題ではありませんが、いろいろな解法が考えられます。

(1) ①でとすると、
 ・・・②
より、
②より、
より、
xyは正の整数なので、に限られます。
のとき、
②より、となり不適。
のとき、
②より、
のとき、
②より、となり不適。
のとき、
②より、となり不適。
のとき、
②より、となり不適。
のとき、
②より、となり不適。
以上より、 ......[]

(2) ①でとすると、
これを満たす正の実数の組が存在すると仮定します。
これを
xに関する3次方程式と見て、
とおき、3次関数を調べます。より、



x


00

増減表より、においてであって、3次方程式は、正の実数解をもちません。これは、という仮定と矛盾します。よって、正の実数の組が存在するとした仮定は誤りであって、のとき、①を満たす正の実数の組は存在しません。
別解 相加平均相乗平均の関係より、
 ( )
よって、をみたす正の実数の組は存在しません。

追記.(1)は、東工大'96年前期[1](以下)の一部分((1)の場合)です。

2以上の整数nに対して方程式の正の整数解を考える。ただし、たとえばは異なる解とみなす。このとき次の問いに答えよ。
(1) およびのときの解をすべて求めよ。
(2) 解が1つしかないようなnをすべて求めよ。
(3) 任意のnに対して解は少なくとも1つ存在し、かつ有限個しかないことを示せ。

この問題では、,・・・,の大小関係が仮定されていないのですが、すべて異なる場合でも大小関係はn個の異なるものの順列通りしか存在しないので、大小関係を仮定して考えるべきです。1つ解を求めてしまってから、あとで、並べ替えたものを列挙すればよいのです。というのは、整数問題では、大小関係を仮定することが強力な絞り込みの武器となることがあるからです。
と仮定すると、

ですが、
 ・・・③
より、
より、
 ・・・④
個の正整数の積がn以下ということで、チェックする範囲をかなり絞り込むことができるのです。
(1)の場合が本問(1)です。並べ替えも入れて、
......[]
の場合は、
 ・・・⑤
④より、
これをみたすのは、
3通りの可能性しかありません。このうち⑤をみたすのは、
......[]
の場合、以下のような考え方もできます(こちらの方が普通の解法です)
⑤を因数分解のような形に変形して、
 ・・・⑥
これも、整数問題の基本ですが、

(整数A)×(整数B)(整数C) ・・・⑦
という形を作ると、
ABCの約数に限定できるので、チェックする範囲を絞り込むことができます。なので、⑥をみたすのは、のときだけです。
よって、となります。

(2) の場合に、n個の整数,・・・,2個の変数にできないか、2個の変数にしてしまえば、(1)の別解の解法が使える、と、考えます。ちょっと遊びで、2個の変数だけ残して、残りを全部としてみます。③は、
となります。左辺は1個足しているので、
こうなれば、(1)の別解の解法が使えます。⑦の形になるように変形すると、

の約数になりますが、

が③の
1つの解を与えます。つまり、の場合、③には、
 ・・・⑧
という解が存在するのです。この解には、3種類の整数、12nが出てくるので、,・・・,の並べ替えにより、複数の解を作ることができます。すなわち、の場合には、2個以上の解が存在します。よって、解が1つしかないようなnは、(1)より、
......[]

(3) (1)の場合と、の場合の⑧により、任意のnに対して、③には、少なくとも1個の解が存在します。
③の解は④をみたしますが、④をみたす,・・・,はすべて1以上でn以下の整数であって、のときの組の個数は個以下です。
の場合には、となるので、③はみたされません。
ということは、③の解の,・・・,の中には
2以上のものが含まれています。このとき、,・・・,が決まれば、③によりはただ1通りに決まります。
従って、の組の個数も個以下です。
,・・・,の大小関係は、
n個の整数がすべて異なっていた場合の通り以下です。
よって、③の解は個以下であり、有限個しかありません。


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  1. 2008/12/24(水) 16:35:20|
  2. 東大文系数学
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東大文系数学'06年[2]

東大文系数学'06前期[2]

コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて
3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率をとする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1) pで表せ。
(2) pで表せ。
(3) のとき、pnで表せ。

解答 (2)が付け加わっただけで、理系前期[2]と同じです。確率を参照してください。

(1) 記号×が3個出るよりも前に、記号○が2個出るのは、以下の場合です(なお、積事象・和事象・余事象を参照)
・×○○  ・・・・・・ 確率は、
・×○×○  ・・・・・・ 確率は、
・××○○  ・・・・・・ 確率は、
よって、
......[]

(2) 記号×が3個出るよりも前に、記号○が3個出るのは、以下の場合です。
・×○○○  ・・・ 確率は、
・×○○×○  ・・・ 確率は、
・×○×○○  ・・・ 確率は、
・××○○○  ・・・ 確率は、
よって、
......[]
2番目と3番目の場合は、×が○のつながりの途中に入るのですが、このときには、同じ確率になることに注目します。

(3) 記号×が3個出るよりも前に、記号○がn個出るのは、以下の場合です。
  ・・・・・・ 確率は、
  ・・・・・・ ×の入る位置が○1個の次から○個の次まで通りあり、確率は、
  ・・・・・・ 確率は、
よって、
......[]


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  1. 2008/12/24(水) 16:33:06|
  2. 東大文系数学
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九州工大情報数学'08年前期[4]

九州工大情報数学'08年前期[4]

出席者n人の会議で、出席者のうち以上が議案に賛成する確率と、以上が賛成する確率を考える。各出席者が議案に賛成する確率をp ()とし、各出席者が賛成するかしないかは互いに独立であるとする。
たとえば、である。

(1) を求めよ。
(2) を示せ。
(3) が最も大きくなるときのpの値を求めよ。
(4) のとき、を示せ。
(5) のとき、 ()を求めよ。

解答 出席者の以上が賛成する確率、などと言うと、「憲法改正」の確率でも考えているのかな、と、思ってしまいますが、(1)(4)はセンター試験の練習程度の問題で、(5)だけ少々技巧を使います。

(1) は、出席者3人で以上が賛成する確率です。2人が賛成するか、3人が賛成するか、です。
3人中2人が賛成して1人が反対する場合、反復試行の確率の公式より、その確率は、
 ・・・①
3人中3人が賛成する確率は、
......[]

(2)

(3)
とおくと、
とすると、
これより増減表は、
p0

1

00
00

増減表より、差が最も大きくなるとき、 ......[]

(4) 賛成する確率がのとき、反対する確率もです。
このとき、(1)の結果より、
 ・・・②
ですが、なので、
同様に、
よって、より、

(5) は、出席者3人で以上が賛成する確率です。2人が賛成するか、3人が賛成するか、なので、のとき、
は、出席者5人で、3人が賛成するか、4人が賛成するか、5人が賛成するか、なので、のとき、
同様に、
とくれば、どうやら、kに無関係にになりそうだ、と、気づきます。
で言えば、なので、
になっているんだろう、ということになり、二項定理を利用すればよいことがわかります。
二項定理:
において、
nx1とすることにより、
,・・・,より、
 ・・・③
は、出席者人で以上が賛成する確率です。
n人以上が賛成すればよいので、のとき、
③より、 ......[]

追記,(4)で、問題文が、「を示せ」となっていて、不等号が等号付きになっているのが気になります。おそらく、最初に作成された問題の案では、という条件はついていなかったのだろうと思います。という条件をとってしまうと、は大変な計算になってしまうので、のときだけでよい、ということになったのでしょう。
ここでは、の関係だけでもとして調べておきます。
上記の①,②より、

とおきます。


とすると、の解がどうなるのか問題になります。
そこで、とおいて、を調べます。


p0

1

0
11

増減表より、は、1a1b あることがわかります(関数の増減を参照)。これよりの増減表は以下のようになります。
p0
a
b
1
00 00
00

の増減表を見ると、の範囲に解gをもち、においては、においては、ということがわかります。


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  1. 2008/12/23(火) 13:33:22|
  2. '08年入試(数学)
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東北大物理'08年後期[2]

東北大物理'08年後期[2]

電流の担い手が自由電子である抵抗率rの直方体の導体を考える。導体の3辺の長さはwhであり、各辺に沿ってそれぞれxyz軸をとる。導体内の単位体積あたりの自由電子数はn,電子1個の電荷は ()である。透磁率は場所によらずすべてmとする。このとき、以下の問いに答えよ。結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

(1) 1に示すように、導体の面に平板電極を取り付け直流電源とスイッチを接続し、面の中心点OPに電極を取り付けてそれぞれに端子を介して電圧計を接続する。端子は接地され、の電位をとする。電源の内部抵抗は無視でき、起電力をとする。導体の中心からx軸負方向へrだけ離れた位置には、y軸に平行に直線の導線Wが置かれている。ただし、導体の幅wと高さhrに比べて十分に小さく、導線Wに流した電流が作る磁場(磁界)は導体内で一様と見なせる。また、導体に流す電流がつくる磁場は無視する。導線Wおよび導体内を流れる電流をとし、その値はy軸の正の向きに流れるときを正とする。
以下の枠内の文章に関する(a)(d)の問いに答えよ。
導線Wに流れる電流0の状態でスイッチを入れると、導体内の自由電子は電場(電界)の影響を受け、y軸の( ア )方向に(i)平均の速さvで移動し、導体内に電流が流れる。このとき、端子間に電位差は生じない。
次に、を正にすると、導体には
( イ )軸の( ウ )方向に、(ii)磁束密度の大きさBの磁場が加わる。すると、この磁場からローレンツ力を受けた自由電子が面( エ )に蓄積することにより、この面は負に、対向する面は正に帯電する。この帯電によって導体内に電場が発生する。その向きは( オ )軸の( カ )方向である。この電場が自由電子に及ぼす力は最終的にローレンツ力とつり合い、導体内の自由電子の移動は電流0のときと同じようになる。結果として、(iii)端子に電位が生じる
(a) 文章中の( ア )( カ )に適する語句または記号を、( ア )( ウ )( カ )については正、負から、( イ )( オ )についてはxyzから、そして( エ )についてはから選び、答えよ。
(b) 下線部(i)について、vqnwhから必要なものを用いて表せ。
(c) 下線部(ii)について、Bmrを用いて表せ。
(d) 下線部(iii)について、mrnqhwの中から必要なものを用いて表せ。

(2) 1の回路において、端子から導体へ接続する電極の取り付け位置だけが、図2のように面の中心点Pからy軸の正方向にずれた場合を考える。この回路を使って、スイッチを入れた状態で、導線Wに流す電流を変化させて端子の電位を測定した。
(a) 導体の抵抗率rを、whを用いて表せ。
(b) のときに観測されるを、whrの中から必要なものを用いて表せ。
また、となるときのwlhrmrnqの中から必要なものを用いて表せ。
(c) (2)(b)のときのの関係を、縦軸および横軸との交点がわかるように解答用紙のグラフに実線で描け。
(d) 電源を逆向きに接続し、を負の値にしたときのとの関係を、問(2)(c)の結果との関係がわかるように解答用紙の同じグラフに破線で描け。

解答 様々なところでセンサーとして実用化されているホール効果に関する問題です。ホール効果の起電力はしっかり理解していないと勘違いし易いので注意してください。問2は目新しいテーマで、おそらく微細部品の位置検出などに用いられている技術をネタにしたのだろうと思います。

(1) として導体に電流を流すとき、自由電子負電荷を持っているので、その運動方向は電流の向きと逆向きになります。本問では、y軸正方向に電流が流れるので、自由電子の運動方向はy軸負方向です。
とすると、右ねじの法則により、胴体部分にz軸負方向の磁場ができます(電流の作る磁界を参照)。この磁場により自由電子ローレンツ力を受けます。ローレンツ力の向きは、フレミング左手の法則で、左手中指を電流の方向(y軸正方向)、人差し指を磁場の方向(z軸負方向)として、左手親指の向く方向(の向き)なので、x軸負方向です。この向きのを受けた自由電子は、面に蓄積します。従って、面(端子)が面(端子)よりも低い電位(電気力線からの向き)となり、導体内にx軸負方向の電場が発生します。
(a)() 負 () z () 負 ()  () x () ......[]
(b) のとき自由電子は導体内で速さvで等速度運動していると考えます。公式: (電流・オームの法則を参照)において、IeqSを導体の断面積(電流の流れる方向に垂直に切ったときの断面)として、より、
......[]
(c) 直線電流距離r離れた位置に大きさ磁場を作ります(直線電流の作る磁界を参照)磁束密度の大きさBは、
......[] (なお、フレミング左手の法則を参照)
(d) 自由電子1個が受けるローレンツ力(x軸負方向)の大きさは、
導体内には大きさ電場が発生します(公式:を使う。電位・電圧を参照)。この電場より自由電子1個が受ける(自由電子負電荷を持ち、電場x軸負方向を向くので、の向きはx軸正方向)の大きさは、です。
ローレンツ力電場から受けるのつり合いより、
......[] ・・・①

(2)(a) 間の抵抗は、長さ断面積より、抵抗率rを用いて、と表せます(電流・オームの法則を参照)オームの法則より、
......[]
(b) 導体のy方向の長さの部分の抵抗です。
のときには、長さの部分に生じる電圧は、導体をからに向かって流れる電流による電圧降下のみになります。OPを含む断面の方が電位が高いので、端子電位は負になります(端子を接地していることに注意)。このとき、オームの法則より、
......[] ・・・②
(a)の結果を代入すると、
となっています。
の場合も含めて考えると、②にホール効果による
起電力①が加わります。
 ・・・③ (重ね合わせの原理により単に足せばよい)
とすると、
......[]
(c) 問題文が少し悪いですが、(b)では、の関係をグラフに描くときの縦軸、横軸との交点を求めた、と思ってください。
③より、の関係をグラフに描くと直線になります(右図実線)(b)より、縦軸とは負の部分で交わり、横軸とは正の部分で交わります。
(d) 電源を逆向きに接続し、を負の値にすると、自由電子に働くローレンツ力の向きはx軸正方向となり、面自由電子が蓄積されて、面(端子)電位が面(端子)電位よりも低くなり、①が負になります。また、導体を流れる電流の向きも逆になるので、②は正になります。結局、③は、
となり、(c)の直線の傾きの正負が入れ替わるとともに、縦軸との交点が正の部分に移る(絶対値は変わらない)ことになります。この場合のの関係のグラフは右図破線。


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  1. 2008/12/22(月) 13:32:58|
  2. '08年入試(物理)
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大分大医数学'08年[2]

大分大医数学'08[2]

abをみたす定数とする。xyをみたしながら変化するとき、のとり得る値の範囲を求めよ。

解答 2変数関数が、ある条件のもとにどういう変化をするか調べる問題です。

 ・・・①
のとき
のとき
のときよりです。
として、
陰関数の微分法によりxで微分すると

より、
従って、
x0から1まで増加するとy1から0まで減少します。
とおきます。
①の関係を前提として、において、
zxで微分すると、
 ・・・②
(この微分は、①より,これを代入したの微分になっています)
より、
とすると、
 ・・・③
①に代入すると、


このとき、③より、

のとき、
のとき、

x0から1まで増加すると、y1から0まで減少するので、②のは減少し、においてはにおいてはです。
以上より、次の増減表が得られます
(関数の増減を参照)
x0

1

0
z

より、のとりうる範囲は、
......[]

追記.大分大医学部、旧大分医大時代の'94[3]で、

abcを正の定数とする。
(1) 2つの正数xyを満たすとき、不等式が成り立つことを示せ。また、等号が成立するxyの値を求めよ。
(2) Oを原点とするxyz空間において、定点Pを通りx軸,y軸,z軸の正部分と交わるすべての平面Sを考える。このような平面Sx軸,y軸,z軸と交わる点を、それぞれ、ABCとする。このとき、3つの線分OAOBOCを辺にもつ直方体の対角線の長さはSとともに変化するが、その最小値を求めよ。

という問題が出題されています。本問と同系統の問題ですが、こちらは難問です。
(1)は本問と同様に解答できます。
 ・・・①
を陰関数の微分法で微分し、

なので、xが増加するとyは減少します。
とおいて、
xで微分すると、

分子の2つめのカッコは正なので、とすると、

 ・・・②
これを①に代入すると、

②より、
このとき、

xが増加すると、yは減少するので、は増加します。
①で、より、です。
以上より、次の増減表が得られます。

xa


0
z

増減表より、
等号が成立する
xyの値は、

(2)の平面Sの部分だけ現行高校学習指導要領の範囲外ですが、平面Sの方程式は、Ax座標,By座標,Cz座標をpqrとして、
となります。定点Pを通るので、
直方体の対角線の長さは、です。(1)3文字の場合に拡張した問題になっています。abcpqrがすべて正なので、です。
いきなり
3変数は大変なので、1文字rを固定し、を右辺に移項します。
両辺をで割ると、
とおくと、(1)より、

よって、
この右辺は、とおくと、
より、,両辺をで割って、

従って、①と同じ形をしています。(1)より、

ここで、左側の不等号の等号が成立するのは、
のとき。右側の不等号の等号が成立するのは、
のときで、このとき、
結局、左側の不等号と右側の不等号で同時に等号が成立するのは、
のときです。
対角線の長さの最小値は、
......[]


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  1. 2008/12/20(土) 17:46:43|
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東大文系数学'06年[1]

東大文系数学'06前期[1]

四角形ABCDが、半径の円に内接している。この四角形の周の長さが44で、辺BCと辺CDの長さがいずれも13であるとき、残りの2ABDAの長さを求めよ。

解答 数値の計算をするときに、などと下手クソに計算しないように注意しましょう。それだけがポイントの問題で、センター試験練習用の正弦定理余弦定理の基本問題です。

とおきます。です。
三角形
ABDにおいて余弦定理より、
 ・・・①
三角形BCDにおいて余弦定理より、

 ・・・②
三角形BCDにおいて正弦定理より、
 ・・・③
②,③より、
より、
よって、

②より、

①より、
 ・・・④
ところで、四角形ABCDの周の長さが44であることから、

 ・・・⑤
よって、
これを④に代入すると、

 ・・・⑥
⑤,⑥より、ABDAは、2次方程式:
2解で(2次方程式の解と係数の関係を参照)
......[]


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  1. 2008/12/19(金) 17:25:44|
  2. 東大文系数学
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名大理系数学'08年[4B]

名大理系数学'08[4B]

Aの中に赤玉と白玉がそれぞれ4つ入っていることと、袋Bの中に赤玉3つと白玉2つが入っていることが分かっている。
(1) Bから2つの玉を取り出すとき、取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
(2) Aから3つの玉を取り出し、そのあと袋Bから2つの玉を取り出す。その5つの玉のうち赤玉が3つである確率を求めよ。
(3) Aから3つの玉を取り出したあとで、2つの玉を袋Aから取り出すかあるいは2つの玉を袋Bから取り出すかのどちらかを選択できるとする。できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき、最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。

解答 本問のような問題では、以下の(1)に書くように2通りの考え方があります。両方ともマスターするようにしてください。
(3)の問題文は、「できるだけ多くの赤玉を取り出そう」と判断するタイミングがいつなのかが不明確です。最初に判断してしまうのでは、「袋Aから3つの玉を取り出したあとで」という指示の意味がなくなるので、「できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき」の前に、「袋Aから取り出した赤玉の個数により」を補い、「袋Aから取り出した赤玉の個数により、できるだけ多くの赤玉を取り出そうと、袋Aまたは袋Bを選択したとき」というように読んでください。
Aから3つの玉を取り出したときの赤玉の個数により、袋ABを選択したあとに赤玉が2個出る確率、1個出る確率が変化してしまうので注意が必要です。

(1) 袋から玉を取り出したり、くじを引いたりする問題では、2通りの考え方があります。数列の問題になっていて、連立漸化式を作るような場合は解法1,玉の個数がn個となっていたり、取り出し方の場合分けが複雑な場合は解法2,を選択すると良いでしょう。この問題では、どちらの解法でも大差ありません。
(i) 解法1 (1個ずつ玉を取り出しながら確率を考える)
Bから、まず1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率は、5個の玉の中に3個の赤玉があるのでです。白玉を取り出す確率は、5個の玉の中に2個の白玉があるのでです。
1個めに赤玉を取り出すと、袋Bには赤玉2個と白玉2個の4個の玉が残ります。ここで2個めの玉を取り出すとき、それが赤玉である確率はです。白玉である確率もです。
1個めに白玉を取り出すと、袋Bには赤玉3個と白玉1個の4個の玉が残ります。ここで2個めの玉を取り出すとき、それが赤玉である確率はです。
以上より、袋
Bから2つの玉を取り出すとき、
赤玉が
2個になるのは、赤、赤と取り出すときで、その確率は、
赤玉が
1個になるのは、赤、白と取り出すか、白、赤と取り出すときで、その確率は、
よって、求める期待値は、
......[]
(ii) 解法2 (最初に玉を取り出す順番に並べてしまい、並べた順に取り出す、と考える。並べ方を数えることになる。なお、組み合わせを参照)
Bから玉を取り出すとき、取り出す順に玉を並べることにします。
赤玉
3個と白玉2個の並べ方は、5個の玉の置き場所のうち、どの3個の置き場所を赤玉にするか、と考えると、通りあり、その各1通りは同様に確からしい。
・赤玉3個と白玉2個を取り出す順に並べるとき、袋Bから2個の玉を取り出して、その2個がともに赤玉になる並べ方は、最初の2個の玉の置き場所のうち、どの2個の置き場所を赤玉にするか、また、残り3個の玉の置き場所のうち、どの1個の置き場所を赤玉にするか、と、考えると、通り。赤玉2個を取り出す確率はです。
・袋Bから2個の玉を取り出して、そのうち1個が赤玉である並べ方は、最初の2個の玉の置き場所のうち、どの1個の置き場所を赤玉にするか、また、残り3個の玉の置き場所のうち、どの2個の置き場所を赤玉にするか、と、考えると、通り。赤玉1個を取り出す確率はです。
よって、求める期待値は、 ......[]

(2) 以後、上記の解法2で考えます。
Aから玉を取り出すとき、取り出す順に玉を並べると、赤玉4個と白玉4個の並べ方は、8個の玉のどの4個を赤にするか、と考えると、通りあり、その各1通りは同様に確からしい。
Bから3個の赤玉を取り出すことはあり得ないので、袋A,袋Bから取り出す赤玉の個数は以下の3通りの場合があります。
(i) Aから3個、袋Bから0
Aから取り出す3個のうち3個が赤玉で、残る5個のうち1個が赤玉であるように並べる並べ方は、通り。
Bから取り出す2個に赤玉がなく、残る3個のうち3個が赤玉であるように並べる並べ方は、通り。
この場合の確率は、
(ii) Aから2個、袋Bから1
Aから取り出す3個のうち2個が赤玉で、残る5個のうち2個が赤玉であるように並べる並べ方は、通り。
Bから取り出す2個のうち1個が赤玉で、残る3個のうち2個が赤玉であるように並べる並べ方は、通り。
この場合の確率は、
(iii) Aから1個、袋Bから2
Aから取り出す3個のうち1個が赤玉で、残る5個のうち3個が赤玉であるように並べる並べ方は、通り。
Bから取り出す2個のうち2個が赤玉で、残る3個のうち1個が赤玉であるように並べる並べ方は、通り。
この場合の確率は、
以上より、赤玉が3個になる確率は、
......[]

(3) Aから玉を3つ取り出した後、袋Aか袋Bかの選択は以下のようになります。(i)(ii)(iii)(iv)とで異なることに注意してください。
(i) Aから赤玉が3個なら、袋Aの残りは、赤玉1個白玉4個で、以後、袋Bを選択します。
(ii) Aから赤玉が2個なら、袋Aの残りは、赤玉2個白玉3個で、以後、袋Bを選択します。
(iii) Aから赤玉が1個なら、袋Aの残りは、赤玉3個白玉2個で、以後、袋Aを選択しても袋Bを選択しても赤玉の取り出し方は同じです。
(iv) Aから赤玉が0個なら、袋Aの残りは、赤玉4個白玉1個で、以後、袋Aを選択します。
(i)となる確率は、
(ii)となる確率は、
(iii)となる確率は、
(iv)となる確率は、
Aか袋Bを選択した後、袋の中は、(X)赤玉3個白玉2個、になっているか、(Y)赤玉4個白玉1個になっているかのいずれかです。
(1)より、(X)の場合、2個の玉を取り出して、そのうち赤玉が、
2個である確率
1個である確率
0個である確率
(Y)の場合、2個の玉を取り出して、
赤玉が2個になる確率は、
赤玉が1個になる確率は、
さて、袋Aから玉を3個取り出した後、袋Aか袋Bを選択して玉を2個とり、5個のうち、
・赤玉が5個になるのは、(i)の後(X)で赤玉2個を取り出す場合で、その確率は、
・赤玉が4個になるのは、(i)の後(X)で赤玉1個取り出すか、(ii)の後(X)で赤玉を2個取り出す場合で、その確率は、
・赤玉が3個になるのは、(i)(ii)(iii)の場合ですが、いずれも、その後(X)となるので、その確率は、(2)より、
・赤玉が2個になるのは、(ii)の後(X)で赤玉0個を取り出すか、(iii)の後(X)で赤玉1個を取り出すか、(iv)の後(Y)赤玉2個を取り出す場合で、その確率は、
・赤玉が1個になるのは、(iii)の後(X)で赤玉0個を取り出すか、(iv)の後(Y)赤玉1個を取り出す場合で、その確率は、
以上より、赤玉の個数の期待値は、
......[]


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  1. 2008/12/18(木) 20:25:45|
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中大理工物理'08年[2]

中大理工物理'08[2]

次の文章の空欄にもっとも適した数式または数値を、それぞれ記せ。数値は有効数字2桁で答えよ。
楕円
(だえん)とは、平面上で、ある2(焦点という)からの距離の和が一定である点がえがく曲線である。ケプラーの第1法則として知られているように、太陽系の惑星の軌道は太陽を焦点の1つとする楕円である。ただし、地球や水星のような惑星の楕円軌道はほぼ円とみなしてよいものなので、以下では惑星の軌道は円軌道として計算することにする。
惑星の質量を
m,円軌道の半径(惑星-太陽間の距離)rとする。惑星が速さvで等速円運動しているとすると、向心力の大きさは (1) である。この力は太陽と惑星の間にはたらく万有引力であり、その大きさは、太陽の質量をM,万有引力定数をGとしたときで与えられる。このことから、惑星の公転速度は (2) と定められる。この値vで軌道円周の長さを割ることによって、公転周期を求めることができる。
地球と太陽の間の距離をとして、これを単位として考えることにする。太陽から木星までの距離を
p倍とする。すると、木星の公転速度は地球の公転速度の (3) 倍であることになる。したがって、木星は (4) 年で太陽を1周する計算になる。
探査機を打ち上げて図
1のような軌道で木星探査を実現させたい。
この探査機は木星と同様にケプラーの法則にしたがって運動するものとする。
(つまり、太陽と探査機との間の万有引力は考慮するが、地球や木星といった惑星と探査機との間の万有引力は無視してよいものとする。)
このことから導かれることを、順に考えてみよう。
まずケプラーの第
1法則より、探査機の軌道も太陽を焦点の1つとする楕円軌道であることになる。地球の軌道上から出発したときの速さをとすると、探査機と太陽を結ぶ線分がある短い時間の間にえがく面積は、近似的には図1の斜線を施した三角形の面積で与えられる。探査機が木星の軌道近くを通過するときの速さをとすると、ケプラーの第2法則(面積速度一定の法則)より
(5)
が成り立たなければならない。また、エネルギー保存則より
(6)
が成り立つ。この2つの式を解くと、地球の軌道上から出発するときの探査機の速さは地球の公転速度の (7) 倍でなければならないことがわかる。
太陽から探査機までの距離は、地球の軌道上から出発したときに最小値をとり、木星の軌道を通過するときに最大値をとる。この最小値と最大値の平均値を楕円軌道の半長軸という。ケプラーの第
3法則より、公転周期の2乗は半長軸の3乗に比例する。したがって、探査機は地球の軌道上から出発して (8) 年後に木星の軌道に到達することになる。
具体的な数値を計算してみよう。木星-太陽間距離は地球-太陽間距離の約
5.2倍である()。よって、木星の公転周期は約 (9) 年である。地球の公転速度は約である。これより、探査機が地球の軌道上から出発するときの速さは、 (10) ,木星の軌道までの航行期間は約 (11) 年と求められる。ただし、として計算せよ。

解答 ケプラーの法則は、以下のようにまとめられます。
1法則:惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道を描きながら運動する。
2法則:(面積速度保存則)太陽を始点、惑星を終点とする動径ベクトルが単位時間に通過する領域の面積は惑星ごとに一定値をとる。
3法則:惑星の公転周期の2乗は楕円軌道の半長軸の3乗に比例する。

本問は、ケプラーの法則に関する問題です。

(1) 惑星の向心加速度で、向心力Fとして、惑星の運動方程式は、
 ・・・①
向心力の大きさは、 ......[]

(2) (万有引力を参照)より、①は、
......[]

(3) (2)より惑星の公転速度に反比例するので、rp倍になれば、公転速度は、 ......[] になります。

(4) 惑星の公転周期Tは、
地球の公転周期1年です。公転周期Tに比例するので、rp倍になれば、公転速度倍になり、木星の公転周期年になります。
......[]

(5) ケプラーの第2法則より、
......[]

(6) 探査機が地球を出発するときの力学的エネルギーは、探査機の質量として、運動エネルギー位置エネルギーです。探査機が木星の軌道に到達するときの力学的エネルギーは、運動エネルギー位置エネルギーです。
両地点でのエネルギー保存より、
で割って、(5)の結果を代入すると、
......[]

(7) (6)の結果を整理して、
2をかけてで割ると、

地球の公転速度なので、地球を出発するときの探査機の速さは、地球の公転速度 ......[]

(8) ケプラーの第3法則より、公転周期2乗は半長軸3乗に比例するので、探査機の軌道の半長軸が地球の軌道半径倍になれば、探査機の公転周期倍になります。地球から木星軌道に到達するまでは公転周期時間がかかり、年かかります。
......[]

(9) (4)の結果でとすることにより、

12 ......[]

(10) (7)の結果より、探査機が地球を出発するときの速さは、
......[]

(11) (8)の結果より、

2.8 ......[]


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  1. 2008/12/17(水) 21:19:32|
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名工大数学'08年前期[4]

名工大数学'08年前期[4]

表の出る確率がp ()、裏の出る確率がのコインを用いて、以下の手順により1つの空間ベクトルを定める。1回目にコインを投げて、表が出ればx成分を1,裏が出ればx成分をとし、2回目にコインを投げて同じようにy成分を決め、3回目にコインを投げて同じようにz成分を決める。この手順を3回繰り返して、3つの空間ベクトルを決める。x成分が同符号となる確率をaとする。
(1) apを用いて表せ。
(2) 内積1となる確率をaを用いて表せ。
(3) 内積の期待値をaを用いて表せ。
(4) として内積が正となる確率を求めよ。

解答 (4)に奥深い問題があるのですが、その問題に気づかなくても正解と同じ答が出てしまいます。実際の入試の採点ではどうだったのでしょうか?

x成分をy成分をz成分をとします。
(1) が同符号になるのは、
となる場合です。
となる
確率は、1回目も2回目も表が出る確率で
となる確率は、
1回目も2回目も裏が出る確率で
が同符号になる確率
aは、
......[]
が同符号になる確率、が同符号になる確率もaです。

(2) (内積を参照)となるのは、のうち、2つが1で、1つがとなるときです。
となるのは、が同符号なるときで、確率はa
となるのは、が異符号になるときで、確率は
y成分、z成分についても同様です。
のうち、どれがになるかが
3通りあり、同符号が2つ異符号が1つになるので、となる確率は、 ......[]

(3) は、のときに3のときに1のときにのときにとなり、これ以外にの取り得る値はありません。ののとりうる値は、31-,です。
となるのは、のときで、の組がいずれも同符号になるときです。この確率は
となる確率は、(2)より、
となるのは、のうち、2つがで、1つが1となるときです。この確率は、のうち、どれが1になるかが3通りあり、同符号が1つ異符号が2つになるので、
となるのは、のときで、の組がいずれも異符号になるときです。この確率は ・・・①
内積期待値は、

......[]

(4)
の各成分が1であってもであってもです。
となる方を考えると場合分けが多いので、余事象の方、つまり、
となる場合を考えます。こうなるのは、
となる場合です。
となるのは、
となるときです。x成分を考えると、のいずれも異符号なので、
のいずれかのときですが、こうなるのは「表裏裏」となるか「裏表表」となる場合で、その確率は、
y成分、z成分も同様です。よって、となる確率は、 ・・・②
となるのは、
の組がいずれも異符号で、の組のうち
2つが異符号で1つが同符号となる場合です。x成分を考えると、のいずれも異符号となる確率は上記のようにです。が異符号でが同符号となるのは、
のいずれかのときですが、こうなるのは「表表裏」となるか「裏裏表」となる場合で、その確率は、
となり、のいずれも異符号となる確率と等しくなります。
y成分、z成分も同様です。
の組のうちどれが同符号になるのかが
3通りあるので、となる確率は、 ・・・③
となる確率も同様に、 ・・・④
よって、となる確率は、②,③,④より、
となる確率は、として、
......[]
追記.この問題には注意すべき点があります。
例えばのとき、となる確率は、
 ・・・⑤
なのですが、となる確率を①からとし、となる確率をとして、となる確率を、
 ・・・⑥
としてしまうと、のときなので、となってしまい、⑤と食い違ってしまいます。この原因は、となる事象ととなる事象が独立でないことによります。となる確率はではないのです。但し、のときには⑥もになってしまうので答は合ってしまいます。旺文社全国大学入試問題正解に詳しい解説があります。


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  1. 2008/12/16(火) 21:26:01|
  2. '08年入試(数学)
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一橋大数学'06年前期[5]

一橋大数学'06年前期[5]

1,2341つずつ記された4枚のカードがある。これらのカードから1枚を抜き出し元に戻すという試行をn回繰り返す。抜き出したn個の数の和をとし、積をとする。
(1) となる確率をnで表せ。
(2) 8で割り切れる確率をnで表せ。

解答 (1)は一般性を持たせて考えようとすると難問です。

(1) n回試行を行い、抜き出したn個の数の和が、となる場合の数をとして、まず、についてどうなるかを調べてみます。
(i) のとき、
4枚のカードのどれを抜き出してもを満たすので、通りです。
(ii) のとき、
 ・・・① となるのは、以下の場合です。
1回目に1が出たとき、
2回目は、4枚のカードのどれを抜き出しても①を満たし、4通り。
1回目に2が出たとき、
2回目は、123を抜き出すときに①を満たし、3通り。
1回目に3が出たとき、
2回目は、12を抜き出すときに①を満たし、2通り。
1回目に4が出たとき、
2回目は、1を抜き出すときに①を満たし、1通り。
よって、①を満たすのは、通りです。
(iii) のとき、
 ・・・② となるのは、以下の場合です。
1回目に1が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が5以下になるときに②を満たし、(ii)より、通り。
1回目に2が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が4以下になるときに②を満たし、(ii)と同様に(和が5になる場合を除いて数える)考えると、通り。
1回目に3が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が3以下になるときに②を満たし、(ii)と同様に(和が5,和が4になる場合を除いて数える)考えると、通り。
1回目に4が出たとき、
2回目、3回目の2回の数の和が2以下になるときに②を満たしますが、これは、2回目も3回目も1を抜き出すときで、1通り。
よって、②を満たすのは、通りです。
ここまで来ると規則性が見えてきます。




 (Σの公式を参照)
きっと、





になるだろう、と、予測がつきます。このまま続けていくと、
 ・・・③
ということになりそうですが、これを数学的帰納法で示すのでは、答案が書きにくくて苦労することになります。
そこで、方針転換をして、③を違う見方で眺めることにします。
なので、③を少し変形すると、
 (組み合わせを参照)
となり、は、異なる個のものからn個を選ぶ組み合わせの数になりそうです。
そこで、
(i)(ii)(iii)がそう見えるような場合の数の数え方を考えることにします。例えば、(ii)の場合では、として、



として10通りと数えていますが、これを、異なる個から2個を選ぶ組み合わせの数として、1から5の数字から2文字を選ぶ選び方を数えると、



のようになります。2つの数え方を見比べると、後者では、2回目の数字を、1回目と2回目の数字の和に入れ替えていることに気づきます。1回目に抜き出す数字14に、2回目以降14を加えていくので、i回目()に抜き出す数字をとして、
で組み合わせの数を数えても、
で組み合わせの数を数えても、11の対応が取れるので、場合の数に変わりはありません。しかも、,・・・,は、
なので、互いに相異なるn個の数字です。
なので、であれば、は、1からまでの異なる個の数字からn個の数字を選ぶことになり、この組み合わせの数は、通りです。
入試会場で書く答案としては、以下のようにまとめることができるでしょう。


n回の試行の中の第i回目()に抜き出す数字を (1234のいずれか)とし、
11に対応させると、
より、は、のとき、異なる個の数字からn個の数字を選んだものである。その選び方、すなわちとなるの選び方は、通りある。
の選び方は通りあって、そのどの
1通りも同様に確からしい。
よって、求める
確率は、
......[]

(2) 8で割り切れる場合を考えると場合分けが大変なので、余事象:「8で割り切れない」方を考えることにします。
8で割り切れないのは、以下の3つの場合です。
(i) n回すべて奇数の13を抜き出す場合、通り。
(ii) 回奇数の13を抜き出し、1回だけ2または4を抜き出す場合、2または4n回の試行のどの回で抜き出すかがn通りあり、通り。
(iii) のとき、回奇数の13を抜き出し、2回だけ2を抜き出す場合、2n回の試行のどの2回で抜き出すかが通りあり、通り。
よって、のとき、8で割り切れない場合の数は、
 ・・・④
のときは、14のどの数字を抜き出しても8で割り切れず、8で割り切れない場合の数は4通りですが、④でとすると4になるので、すべてのnについて④としてOKです。
全事象の場合の数は
(1)と同様に通りで、求める確率は、
......[]

追記.上記(1)は、一般的に、「1からkまで数字が書かれたk枚のカードから1枚を抜き出して元に戻す試行をn回繰り返すとき、抜き出した数字の和となる確率を求めよ。」という問題にも対応できるような方針で考えました。ですが、一般性を捨てて、となる場合(n回すべて1)となる場合(11回だけ2)となる場合(11回だけ3になるか、または、122回出る)となる場合(11回だけ4になるか、または、1231回ずつ出るか、または、123回出る)、各場合の数を数え上げれば、平凡に解答できます(この方がやり易い)


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  1. 2008/12/15(月) 18:44:43|
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九大文系数学'08年[4]

九大文系数学'08[4]

放物線Cをみたす実数を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1) C上の点における接線とx軸との交点のx座標をとするとき、を用いて表せ。
(2) (1)で求めたに対して、C上の点における接線とx軸との交点のx座標をとする。この操作を繰り返してできる数列を,・・・,,・・・とする。このとき、すべてのnに対して、を示せ。
(3) とおくとき、すべてのnに対して、を示せ。
(4) のとき、となるnの値を1つ求めよ。ただし、必要があれば、として計算してよい。

解答 問題そのものは、センター試験練習用程度ですが、「ニュートン法」と呼ばれる数値計算のアルゴリズムをネタにした問題です。(4)は収束の速いニュートン法の利点を確かめよう、というのが趣旨です。

(1) C
微分して、
における
接線は、
整理して、
として
x軸との交点のx座標は、
 ()
......[]

(2) C上の点におけるCの接線は、(1)と同様にして、
としてx軸との交点のx座標は、
 ・・・①
すべての
nに対して、となることを数学的帰納法により示します。
のとき、なので成り立ちます。
のとき成り立つと仮定すると、です。
①より、
 
()

よって、のときにも成り立ちます。
以上より、すべてのnに対してとなることが示されました。

(3) nに入れ替えて、
 ( )
 ( (2)より)

(4) (3)より、
両辺の常用対数を考え、のとき、
としてみると、
で割って、とすると、

より、
......[]

追記.ニュートン法をネタとする問題は、慶大理工'90[2]など、過去いろいろな大学で出題されています。九大でも'97年理系前期で出題されています。
ニュートン法というのは、微分可能な関数の形が与えられて、方程式:

の解を数値的に求める方法です。
適当な初期値から出発して、曲線上の点における接線:

を考えます。この接線とx軸との交点は、として、
 (とします)
このxとし、以下同様に、
 ・・・()
という漸化式によって、数列を定めると、の取り方が良く数列が収束すれば、の解を与えます。なぜなら、()において、とすれば、
となるからです。

ニュートン法は、初期値の選び方が悪いと必ずしも収束しませんが、うまく初期値を選びさえすれば急速に収束することが知られています。本問では、それを確かめることが趣旨になっています。
慶応理工
'90[2]では、
が取り上げられていました。このでは、
となりますが、この数列は、とすると、



と、急速にの真の値に近づいていきます。
であれば、
となり、に適当な値を与えれば、,・・・として行くと、急速にに近づいていきます。本問では、なので、数列の第nは、nを大きくしていくと1に近づいていきます。
九大理系
'97前期[5](I)では、
が取り上げられていました。このでは、

となりますが、この漸化式を用いるとが得られます。
ところで、ですが、で定められる数列の収束は非常に遅く、
10項目でも100項目でもとなり、eの真の値、と比べてかなり開きがあります。


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  1. 2008/12/13(土) 21:06:58|
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学習院大物理'08年[3]

学習院大物理'08[3]

伸び縮みせず気体を通さない軽い素材で作られた気球を考える。気球がもっとも大きくふくらんだときの体積はであるとする。気球にはのヘリウムが入っている。ヘリウム、空気は、理想気体とみなしてよく、1molあたりの質量を、それぞれ、とする()。気体定数をRと書く。数値計算の有効数字は2桁とする。

海抜
10km程度までは、高度(海抜)5km増えるごとに気圧は半分になる。また、大気の温度は、高度が1km増えるごとに下がる。気球内部の温度は、常に大気の温度と同じとする。海抜hの気圧と温度をそれぞれと書く。図(A)には、海抜0kmで気圧100,000Pa,温度273Kの場合について、hに対して書いてある。図(B)は、の範囲を拡大したものである。
高度
hにおけるヘリウムの体積をと書く。海抜0kmでは、ヘリウムの体積はより小さいとする。
(a) 気球が上昇すると、は減少するか、増加するか。または変わらないか、根拠を示して答えよ。ただし、であるとする。
(b) である高度で、気球に働く浮力と重力の合力を求めよ。
(c) 海抜0kmで、とする。となる高度を求めよ。また、それより高い高度での気球の浮力を求めよ。
(d) の場合に、気球に2kgのおもりを付けると何kmまで上昇できるか。ただし、,気体定数Rは、とする。

解答 センター試験の浮力の問題用に取り上げましたが、目新しい設定の問題なので戸惑うかも知れません。(d)は、浮力重力力のつり合いが成立するときに、果たして、気球は止まってくれるのか?という気もしますが、ここでは、力のつり合いの位置までは気球は上昇できる、と考えることにします。

(a) である高度hにおいて、気球内のヘリウムガスの状態方程式は、
 ・・・①
分母のは、気球が上昇しhが大きくなると図(A)より減少します。ということは、気球が上昇すると、は増加 ......[] します。

(b) 気球自体に働く重力は軽い素材でできているので無視します。
気球内のヘリウムガスの質量なので、これに働く重力は、(鉛直下向き)
気球に働く浮力は、気球内に大気があるとしたときにこの大気に働く重力と同じ大きさです。
気球内に大気があるとして、大気のモル数をとすると、状態方程式は、
 ・・・②
①,②を見比べると、
気球内に大気があるとしたときの大気の質量,これに働く重力は、(鉛直上向き)
よって、気球に働く重力浮力合力は、
鉛直上向きに、大きさ
......[]

(c) 海抜0kmにおいて、状態方程式は、
 ・・・③
高度hにおいてだとして、①÷③より、

(B)より、 ......[]
高度hを越えると、気球の体積で一定になります。大気の状態方程式は②のままなのですが、大気の占める体積は気球の体積ではなくなるので、高度hにおける大気の体積(気球の体積で制限されずにそのままふくらんだとしたときの体積)として、②は、も考慮して、
 ・・・④
となります。仮に体積の気球内に大気があるとしたときには、大気のモル数はではなくなり、これをnとして、大気の状態方程式は、
 ・・・⑤
よって、気球に働く浮力は、
......[]
注.高度hを越えるとき、気球内のヘリウムガスは気球自体からを受けるようになり、気球内の圧力ではないことに注意してください。

(d) 力のつり合いが成立するまでは気球は上昇できるとして、気球+おもりにかかる力のつり合いより、
(B)より、 ......[]


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  1. 2008/12/12(金) 22:04:50|
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三重大教育数学'08年[1]

三重大教育数学'08[1]

座標平面において、点を通り円Cと第1象限の点で接する直線をとする。また、直線と直交し円Cと第4象限の点で接する直線をとする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 直線の方程式を求めよ。
(3) 原点をOとし、2直線の交点をPとする。2OPを通る直線上に中心を持つ円Oを通りさらにと接しているとき、の方程式を求めよ。

解答 センター試験の練習用に、という1題です。(3)は±がややこしいので、+の場合と-の場合とで分けて解答する方が良いかも知れません。

(1) C上の点においてCと接する接線
 ・・・①
ただし、 ・・・②
①は点を通るから、

②より、
Cと①は第1象限で接するので、より、
よって、
......[] ・・・③

(2) Cと第4象限の点で接する接線:
ただし、 ・・・④
③と直交する
(2直線の平行・垂直を参照)ので、

④より、

は第4象限の点なので、
よって、
......[] ・・・⑤

(3) ③,⑤を連立して解くと、
よって、の交点はP
2
OPを通る直線は、 ・・・⑥
⑥上の点はと表せるので、半径を
rとして、円が原点Oを通ることから、
 ・・・⑦
また、円に接することから、と③との距離は
rです(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・⑧ (点と直線の距離を参照)
⑦,⑧より、


 (複号同順)
 (複号同順)
 (複号同順) ......[]


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  1. 2008/12/11(木) 19:50:51|
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一橋大数学'06年前期[4]

一橋大数学'06年前期[4]

abを正の定数とする。関数のグラフと、点を通る直線はちょうど2PQを共有している。ただし、Px座標は負、Qx座標は正である。
(1) 直線PQの方程式をabで表せ。
(2) PおよびQの座標をabで表せ。
(3) となるbが存在するようなaの値の範囲を求めよ。ただし、Oは原点である。

解答 (3)は、「となるbが存在するような」という親切な問題文なのですぐに解答方針が立ちますが、もし、「となるPQが存在するような」というような問題文だとしたら手こずるかも知れません。

3次関数のグラフと直線がちょうど2点を共有している、ということは、3次関数と直線の方程式を連立してできる3次方程式の3個の解のうち2個は重解だということです。共有点のどちらかは接点で他方は交点です。

(1)  ・・・①
微分すると、
3次関数のグラフと直線との接点のx座標をt とします。直線の方程式は、
 (接線を参照)
整理して、
 ・・・②
を通るので、

は、判別式:で実数解を持たず、実数解は、
のみです。これが、3次関数のグラフと直線との接点のx座標を与えます。②でとして、直線PQの方程式は、
......[] ・・・③

(2) ①と③を連立すると、
整理して、
 ・・・④
この3次方程式はを重解にもつことがわかっているので因数分解してすぐに解くことができますが、一般的には、3次方程式の解と係数の関係を使うのが便利です。
もう
1つの解をsとおくと、解と係数の関係より、
 (④のの係数は0です)

で、Px座標は負、Qx座標は正なので、Px座標はQx座標はということになります。Pが接点でQは交点です。
①より、のとき、
のとき、
PQ ......[]

(3) 直線OPの傾きは、
直線OQの傾きは、
のときには、直線
OPと直線OQの傾きの積は (2直線の平行と垂直を参照)になり、

これをに関する2次方程式とみてとおきとすると、この2次方程式は、より、の範囲に少なくとも1つの実数解を持ちます。
このためには、なので、が実数解をもち
(判別式≧0)の軸の位置となることが必要十分です(2次方程式の一般論を参照)
かつ
......[]


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  1. 2008/12/10(水) 20:39:29|
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岐阜大数学'08年[2]

岐阜大数学'08[2]

関数
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) のグラフの概形を図示せよ。
(3) すべての実数xに対して、
となる実数mの値の範囲を求めよ。

解答 被積分関数に絶対値を含む定積分の問題です。理解できている人にとっては、面倒なだけですが、苦手にしている諸氏は、本問で完全に理解してください。数学Ⅲの指数関数・三角関数の積分でも基本は変わりません。
老婆心ながら、絶対に試験会場で、

などと安易にやらないでください。「合格」の2文字が天高く消え失せてしまいます。
(1)の出題意図は、最初から一般的に考えさせると正答率が下がるので、まず、
とやらせておいてから、一般的にを考えさせようということだと思いますが、ここでは、最初から一般的に考えることにします。

まず、
定積分
の意味ですが、tの関数:の範囲で積分することを確認しましょう。積分計算を行うときに変数となるものはt です。
絶対値記号を含む問題では、最初に絶対値記号を外すことを考えます。このために、で分けることになります。
であれば、
であれば、
です。ですが、xに何が入るのか、わかりません。t としては、の範囲で考えればよいので、xに入るのか、入らないのか、で分けて考える必要があります。
そこで、
xについて、3つの場合に分けよう、ということになります(この分け方で、のところが重複することが気になる人は、真ん中の範囲をとすればよいでしょう)
(i) の場合
の範囲のすべてのt について、です。従って、
となり、
積分はt について行っていることに充分注意してください。
(ii) の場合
このときには、の範囲のt について、となる場合ととなる場合のいずれもあり得ます。従って、定積分をの範囲との範囲の2つに分けて行う必要があります。
においては、
においては、
となるので、



(iii) の場合
の範囲のt について、です。従って、
となり、

(1) の値は、上記(ii)の場合より、
......[]

(2) 上記(i)(ii)(iii)より、
このグラフの概形は右図。

(3) いろいろな考え方が可能ですが、ここでは、場合分けして計算でやってみます。
(i) の場合
とすると、
のとき

はこの不等式を満たさないので不適です。
のとき
この不等式の右辺はのときに必ず正なので、となるxはこの不等式を満たしません。よって、不適です。
のとき
となるすべてのxがこの不等式を満たすためには、右辺が0よりも大きければよいので、
() ・・・①
(ii) の場合

 ・・・②
のとき(2次関数の軸の左側)
②が成り立つためには、

より不適
のとき(2次関数の軸の範囲内にある)
②が成り立つためには、

 (を解くと)

より、
 ・・・③
のとき(2次関数の軸の右側)
②が成り立つためには、

より、 ・・・④
③または④より、 ・・・⑤
(iii) の場合
とすると、
のとき

はこの不等式を満たすので、 ・・・⑥
のとき
となるすべてのxがこの不等式を満たすためには、右辺が3よりも小さければよいので、

よって、このときには、 ・・・⑦
のとき
となるすべてのxがこの不等式を満たす」ということはありません(を満たすいかなるmの値に対しても、となる実数xが存在します)。よって、不適です。
⑥または⑦より、 ・・・⑧
すべての実数xに対して、となるためには、①かつ⑤かつ⑧より、
......[]

追記.会員より、(1)(2)は三角形の面積で求める方が早い、という指摘がありました。もちろんその通りです。ここでは、絶対値を含む積分の考え方の習得を目的したために上記の解法となりました。
(1)では、底辺2高さ2の直角二等辺三角形と底辺1高さ1の直角二等辺三角形の面積の和として、
(2)では、の場合は、上底下底高さの3の台形の面積として、
の場合は、底辺x高さxの直角二等辺三角形と底辺高さの直角二等辺三角形の面積の和として、
の場合は、上底下底x高さ3の台形の面積として、
として求めることができます。
(3)(2)のグラフを使って図形的に説明する解法の方が簡明ですが、上記では、わざわざロジックの複雑な解法でやってあります。ロジックの筋道をぜひ追ってみてください。


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  1. 2008/12/09(火) 23:37:17|
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筑波大物理'08年[3]

筑波大物理'08[3]

焦点距離fの凸レンズと焦点距離の凹レンズについて以下の問いに答えよ。ただし、fや問いの中の距離abなどは正の値を持つ量とせよ。また、光線は実際にはレンズの両面で屈折するが、レンズが十分薄いと仮定して、光線をレンズの中心面上で屈折するものとして作図せよ。作図や考え方の要点も記入すること。
1 図1のように、凸レンズの中心Oから距離aの位置にある物体ABがレンズの前方の焦点の外側にあるとき、物体の各部分から出た光によって、レンズから距離b離れたレンズ後方に倒立の実像ができる。像ができるようすを作図することにより、bafによって表す式を求めよ。
2 図2のように、凹レンズの中心から距離の位置に物体ABを置くと、その各部分から出た光によって、レンズから距離離れたレンズ前方に正立の虚像ができる。像ができるようすを作図することにより、によって表す式を求めよ。
3 図3のように、凹レンズの前方から光軸に平行な光線を当てているときに、その後方に凸レンズを置いた。ただし、とする。凸レンズの位置を調節すると、凹レンズと凸レンズの間隔がdのところで、凸レンズを通過した光線がやはり光軸に平行に進むのが観察された。このとき、dfによって表す式を求めよ。
4 問3の平行光線の代わりに、図4のように、凹レンズの前方距離lの光軸上の点Aに点光源を置いた。凸レンズの位置を調節すると、凹レンズと凸レンズの間隔がのところで、凸レンズを通過した光線が光軸に平行に進むのが観察された。このとき、flによって表す式を求めよ。

解答 問1、問2、ここでは、レンズの公式から答を出すのではあまりに味気ないので、公式を導くところから書いておくことにします。公式の導出問題も入試ではよく見られるので、教科書をしっかり読みこなしておきましょう。

1 像ができる様子を作図したものを右図に示します。Aから出て光軸に平行に進んだ光線は、凸レンズの点Cで屈折して焦点に向かって進みます。Aから出て凸レンズの中心Oを通過した光線はそのまま直進し、Cで屈折して進んできた光線とで交わり、物体ABの実像を作ります。
三角形ABOと三角形は相似なので、
 ・・・①
三角形と三角形は相似なので、
 ・・・②
①,②,より、
 ・・・③

......[]

2 像ができる様子を作図したものを右図に示します。Aから出て光軸に平行に進んだ光線は、凹レンズの点Cで屈折して焦点から出て直進するかのように進みます。Aから出て凹レンズの中心を通過した光線はそのまま直進します。の交点の位置に物体ABの虚像ができます。
三角形と三角形は相似なので、
 ・・・④
三角形と三角形は相似なので、
 ・・・⑤
④,⑤,より、
 ・・・⑥

......[]

3 光軸に平行に進んできた光線は凹レンズを通過すると、焦点から出てきて直進するかのように屈折します。また、凸レンズで屈折して光軸に平行に進む光線は、凸レンズの焦点から出てきた光線です。
ということは、右図のように、凹レンズの焦点と凸レンズの焦点が同じ位置にある、ということです。従って、右図より、
......[]

4 問3にも書いたように、凸レンズで屈折して光軸に平行に進む光線は、凸レンズの焦点から出てきた光線です。手前に凹レンズがあるので、凸レンズの焦点の位置に、点光源Aの凹レンズによる虚像があって、この虚像から出てきて直進するかのように、凹レンズで屈折したことになります。右図より、
凹レンズと物体との距離はlなので、問2として、
......[]

追記.問1の③式をbで割ることにより、レンズの公式: ・・・⑦ が得られます。問2の⑥式をで割ると、となりますが、⑦式で () ()と考えれば、公式としては、⑦だけを覚えておけばよいことになります。
つまり、公式⑦において、像と物体がレンズの両側にあるときに,像と物体がレンズの片側にあるときに,凸レンズのときに,凹レンズのときにと考えます。



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  1. 2008/12/08(月) 22:48:27|
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静岡大理系数学'08年前期[2]

静岡大理系数学'08[2]

a.bを定数とし、2次方程式は実数解ab ()をもつとする。次の問いに答えよ。
(1) 次の等式を証明せよ。
(2) abを有理数とし、b が自然数nを用いてと表されているとする。
(i) となるためのnが満たす条件を求めよ。
(ii) とする。区間において曲線x軸ではさまれた図形の面積をとする。曲線x軸で囲まれた図形の面積をとする。となるnの値を求めよ。

解答 有理数となる条件を考えるところがあるほかは単なる計算問題ですが、センター試験でもよく見られるパターンなので採り上げてみます。(2)(i),下記ではが無理数であることの背理法による証明をつけておきます(実数を参照)が、試験会場ではが無理数であることを前提としてOKでしょう。平凡に計算して充分に解答可能ですが、(2)(ii)については、旺文社全国大学入試問題正解に、放物線のグラフの特性を活用した白眉のアイデアが載っています。

(1) 解と係数の関係より、 ・・・①




 (証明終)

(2) が有理数だと仮定して、 (pqは互いに素な整数)とおくと、分母を払って2乗し、
これよりp3の倍数ですが、 (rは整数)とおくと、
これよりq3の倍数となりますが、pqともに3の倍数になると、「pqは互いに素な整数」とした仮定に矛盾します。よって、仮定は誤りでは無理数です。
cdを有理数として、とおきます。
①より、
整理して、
 ・・・②
と仮定すると、は有理数なので、
となり、無理数が有理数に等しいことになって不合理です。従って、とした仮定は誤りで、
このとき、②より、,従って、
 ・・・③
①より、
②と同様にして、
つまり、
 ・・・④
(i) ④,より、
nは自然数なので、であり、より、
......[]
と③より、 ・・・⑤
(ii) は右図水色着色部分、は右図黄色着色部分の面積です。
④,⑤を用いて、






より、
整理して、
より、 ......[]

追記.(1)については、いろいろな証明法が考えられます。
一般的に、
mnを自然数として、
がどうなるかを考えてみます。
(1) (C:積分定数)による計算
と変形して、n乗を二項定理を用いて展開します。





 (です)
本問は、の場合ですが、

となります。
とすると、

となり、
が得られます。
(2) 部分積分法による計算


これで、定積分に関する漸化式が得られました。
この漸化式を繰り返して用いることにより、

よって、
のときは、
のときは、
となります。
(1)(2)を比較して、
より、
となることが導かれます。


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  1. 2008/12/06(土) 15:20:29|
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一橋大数学'06年前期[3]

一橋大数学'06年前期[3]

大きさがそれぞれ531の平面上のベクトルに対して、とおく。
(1) を動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。
(2) を固定し、をみたすようにを動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。

解答 座標系を設定したり、各ベクトル間の角の関数を考えたりすると泥沼にハマり込むことになります。さっさと正攻法を見限って、いかに簡便に考えることができるか、と頭を切り換えるところがポイントでしょう。

(1) のなす角をaのなす角をbのなす角をgとすると、
 (内積を参照)
より、
ですが、なので、
 ・・・①
となります。この不等式の右側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、で、3個のベクトルが同じ向きを向いているときです。
よって、の最大値は、となるとき、となります。
①の左側の不等号の等号が成立するのは、のときですが、こうなる可能性があるかを調べてみます。
まず、について、
なので、
つまり、 ・・・②
なので、,つまり、ということはあり得ません。従って、①の左側の不等号が成立することはありません。ですが、について②が得られたので、これを使ってを考えてみます。のなす角を
q として、

 (ここで、です)
を固定して、2次関数とみると、より、のときに最小値をとります。のとき、
不等号の等号は、のときに成立しますが、がちょうど逆向きになるときに、となります。
は、②において左側の不等号の等号が成立するときに起こりますが、このとき、はちょうど逆向きで、となっています。さらに、がちょうど逆向きで、
(に注意),つまり、のとき、は最小値1をとり、は最小値1をとります。
最大値:
9,最小値:1 ......[]

(2)

 ・・・③
(1)ではを考えて最小値を求めることができたので、ここでは、が出てくるようにして考えることにします。




なので、

つまり、 ・・・④
④の右側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、が同じ向きで、となるときに成立します。
このとき、③より、

となるので、となるの位置関係があり得ます。よって、の最大値はです。
④の左側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、が逆向きになり、となるときに成立します。
このとき、③より、

となるので、となるの位置関係があり得ます。よって、の最小値はです。
最大値:,最小値:
......[]


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  1. 2008/12/05(金) 14:31:26|
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電通大数学'08年前期[4]

電通大数学'08年前期[4]

xyz座標空間内において、点Pを中心とし半径がの球面Sを考える。ある平面aと球面Sが交わってできる円D上に3ABCがある。以下の問いに答えよ。ただし、とする。
(1) 内積およびの値を求めよ。
(2) Dの中心をQとする。点Qは平面a上にあるので、ベクトルはある実数stを用いて
と表される。線分ABACの中点をそれぞれMNとするとき、ベクトルstを用いて表せ。
(3) stの値を求めよ。
(4) Dの半径rと中心Qの座標を求めよ。
(5) 平面aと垂直なベクトルを成分で表せ。
(6) 球面Sの中心Pの座標を求めよ。ただし、点Pz座標は負でないとする。

解答 内積計算によって、条件をみたす点の位置を求めていく、単なる空間ベクトルの計算問題ですが、適度に複雑で、センター試験練習用としてちょうど良いと思います。空間ベクトルを苦手とする人は、こういう問題にしっかり取り組んでおいてください。
(2)については、ベクトルの1次独立を参照してください。

(1)

......[]
......[
]
......[
]

(2) ......[]
......[]

(3) より、
 ・・・①
より、
 ・・・②
②×
5-①×6より、
  ......[]
①に代入して、
  ......[]

(4)
......[]
Qの座標は、 ......[]

(5) 平面aと垂直なベクトルは、平面a上のベクトルとも垂直です。
とおくと、より、

よって、
より、

......[]

(6) と平面aは垂直なので、 // です。
また、なので三平方の定理より、
Pz座標は負ではないので、±は、マイナスの方を採って、
よって、Pの座標は、 ......[]

追記.(5)で、2つのベクトルに垂直なベクトルを求めています。本問のような論述問題では使えませんが、空所補充問題では有効な技巧が知られています。
であるとき、
外積

 
を考えると、は、の双方と垂直であることを確かめることができます(外積を参照)。試験場で証明していては遠回りになるので、空所補充問題のときに、「2つのベクトルのyz成分で作った行列式x成分,zx成分で作った行列式をy成分、xy成分で作った行列式をz成分とするベクトルは、もとの2つのベクトルに垂直なる」ことを記憶しておいて使うとよいと思います。
本問では、

となるので、と平行で大きさ1のベクトルを求めればが得られます。


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  1. 2008/12/04(木) 18:26:26|
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埼玉大物理'08年[2]

埼玉大物理'08[2]

1に示すように、起電力の電池、抵抗値の抵抗、電気容量のコンデンサー、スイッチにより構成された回路がある。はじめ、スイッチは開いた状態であり、コンデンサーには電荷が蓄えられていない。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、電池の内部抵抗は無視できるものとする。
1 スイッチを閉じた瞬間に回路に流れる電流を求めよ。
2 スイッチを閉じて十分に時間が経過した後、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを求めよ。
コンデンサーに電荷が蓄えられているとき、極板間には引き合う力が働く。図1のコンデンサーを、極板の面積,極板の間隔を,極板間の誘電率をとする平行板コンデンサーとする。スイッチを閉じて十分に時間が経過した後のコンデンサーの極板間に働く力の大きさを求めたい。
コンデンサーを回路に接続したままの状態で、図
2に示すように、一方の極板に、極板間に働いている力Fと大きさが等しく、反対の方向を向いた外力を加え、極板の間隔をだけわずかに増加させたとする。ただし、より十分小さいものとする。このとき、外力のした仕事とコンデンサーの静電エネルギー変化量との間には、次の関係が成り立つ。
 ・・・・・・(1)
ここで、は極板に蓄えられている電荷の変化量をとすると、で与えられる。このとき、以下の問いに答えよ。解答は、ESdのうち必要なものを用いて表せ。
3 コンデンサーの極板の間隔を増加させた前後におけるコンデンサーの電気容量の変化量に比例する。その比例係数を求めよ。ただし、1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いること。
4 を求めよ。
5 を求めよ。
6 (1)式を用いて、コンデンサーの極板間に働く力の大きさを求めよ。

解答 コンデンサーに関する標準的な頻出問題です。

1 スイッチを閉じた瞬間に、コンデンサーは導通したのと同様になります。オームの法則より、
......[]

2 スイッチを閉じて十分に時間が経過した後、コンデンサー極板間は回路シンボル通りに切断された状態になり、抵抗を流れる電流はゼロで抵抗両端の電圧はゼロ、よって、コンデンサー両端の電圧になります(コンデンサーの過渡現象を参照)
コンデンサーに蓄えられている電気量は、
コンデンサーに蓄えられている
静電エネルギーは、 ......[]

3 極板の面積,極板の間隔,極板間の誘電率をとする平行板コンデンサーの電気容量は、
極板間隔dになったときの電気容量は、
問題文に与えられた近似式を用いて、
比例係数は、 ......[]

4 極板間隔dになったときの静電エネルギーは、
より、
......[]

5 極板間隔dになったときに蓄えられている電気量は、
より、

......[]

6 (1)より、
......[]

追記.コンデンサーの極板間に働くを求めるのには、上記の(1)式を用いて、静電エネルギーの変化と電池が供給したエネルギーとから求める方法のほかに、極板間の電界から求める方法があります。
問題文の図
1でスイッチを閉じると、コンデンサーの上側の極板に電荷が蓄えられ、コンデンサーの下側の極板に電荷が蓄えられます。
ガウスの法則より、電荷Qから出て行く電気力線の総本数は本です。
電気力線の密度が電界なので、上側の極板をスッポリと覆う曲面を考えると、曲面の面積(極板の両面)なので、電荷が曲面上に作る電界として、
同様にして、下側の極板をスッポリと覆う曲面を考えると、
電荷が曲面上に作る電界として、
平行板コンデンサーで、
極板面積極板間距離に対して充分に大きいとき、極板の周辺部の影響が無視できて、極板間の電界は一定になります(極板間のどこに電荷を置いても同じ大きさのが働く)。極板間では、両極板の作る電界(の作る電界は極板から出ていく方向、の作る電界は極板に入っていく方向で、極板間では両電界は同じ向きになる)が重ね合わされて、大きさ電界ができます。
しかしながら、極板間に働く
を考える場合には、重ね合わせるのではなく、片方の極板が他方の極板の位置に作る電界が及ぼすを考えることになります。極板は、自分で持っている電荷の作る電界からは力を受けないことに注意してください。従って、下側の極板上の電荷は、上側の極板の作る電界から、大きさを受けることになります。
なので、

となります。このとき、極板間の電界eを用いると、極板間に働くは、
となり、ではないので注意が必要です。

本問では、電池と接続したまま、つまり、
極板間電圧に維持したまま、極板間距離変化させてを求めています。このときには、コンデンサーに蓄えられる電荷だけ変化し、電池がエネルギーを供給することになります(負のエネルギーを供給するので、実質的には、エネルギーが電池に戻ることになります)
では、電池とコンデンサーの接続を切って、
極板間距離だけ変化させて、電気容量にするとどうなるでしょうか?
電池は
エネルギーを供給せず、コンデンサーが蓄える電荷のままになり、極板間電圧電気容量の変化に伴ってになります。
極板間距離にしたときの静電エネルギーは、
静電エネルギーの変化(この変化は極板を移動させる外力によってもたらされます)は、
このときは、電池の供給するエネルギーは存在しないので、より、
となり、電池を接続したまま、極板間距離を変化させた場合と同じ値になります。
電池を接続したままのときと、接続を切ったときとで、の符号は反対なのですが、電池の供給した
エネルギーを加えると、外力のした仕事には違いがないことになります。


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  1. 2008/12/03(水) 18:03:19|
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筑波大数学'08年[6]

筑波大数学'08[6]

放物線C上の異なる2PQ ()における接線の交点をRとする。
(1) XYtsを用いて表せ。
(2) PQを満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。

解答 (1)で基本対称式が出てくるので、(2)を対称式になるように変形して考えます。こうしたタイプの問題では、隠れた条件に注意する必要があるのですが、この問題では、注意を忘れても影響はありません(追記を参照)

(1) C
微分すると、
Pにおける接線:
 ・・・①
Qにおける接線:
 ・・・②
①,②を連立すると、

より、
①より、
よって、①,②の交点をとして、
......[]

(2) 放物線の接線がx軸に垂直になることはなく、つねに、①,②の傾きが存在するので、tanを考えることにします。
①,②とx軸のなす角をab とします。
です。右図より2接線のなす角は (ですが、ではないので注意してください)で、これがであることから、
 ・・・③
(1)の結果を見れば、③を、基本対称式を用いて表すのだろうと思うでしょう。ですが、は対称式ではないので、このままではうまく行きません。そこで、2乗を考えると、は対称式です。なので、
従って③は、
ここに、(1)の結果、を代入します。
根号部分は正なので、この式が意味をもつのは、,つまり、
のときです。この条件のもとに分母を払って2乗すると、
整理すると、
(ただし、)
これより点R双曲線上を動き、その双曲線の方程式は、
......[]

追記.基本対称式を用いる問題では注意するべきことがあります。条件が隠れていることがあるのです。上記で、
より、stx2次方程式
2解になりますが、stは実数なので、この2次方程式は実数解をもち、判別式≧0です。
なので、この問題では、Rは放物線から下側になければならないのですが、得られた双曲線はから下にあるので、隠れた条件が表に出てくることはありません。
ですが、


が円の周上を動くとき、点軌跡を求めよ。

という問題では、として、
より、軌跡の方程式:が得られますが、放物線上の点がすべて答になるわけではありません。xyは、t2次方程式:
2解で、xy実数より、この2次方程式が実数解をもつことから、判別式:
となり、と合わせて、

よって、点の軌跡は、放物線:の部分、ということになります。
xyが実数”というところに条件が隠れていて、問題文に現れていないので注意が必要です。

また、本問では、
2接線のなす角がになっていて、2接線の交点の軌跡が双曲線になりますが、2接線が直交するのであれば、傾きの積= (2直線の平行・垂直を参照)より、
より、
となって、2接線の交点の軌跡は放物線の準線になります。


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  1. 2008/12/02(火) 17:47:12|
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一橋大数学'06年前期[2]

一橋大数学'06年前期[2]

座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCx軸と平行である。また、頂点Ay軸上にあってy座標は正であり、頂点Cx座標は正である。直線に関して3ABCと対称な点を、それぞれとする。
(1) の座標を求めよ。
(2) ABCと△が重なる部分の面積を求めよ。

解答 (2)では、△ABCと△が重なる部分は、△ABCから3つの三角形を取り除いた部分で、この3つの三角形が合同であることは図を描けば正三角形の対称性より明らかですが、ここでは、一応確かめておくことにします。

(1) BCの中点をMとすると、より、BCx座標は1です。
であり、原点Oは、AM21に内分する点なので、
従って、
Ay座標はBCMy座標はです。
Cの座標はとなり、に関してCと対称な点の座標はCx座標とy座標を入れ替えて、 ......[]

(2) 求める面積は、右図の黄色着色部分の面積で、正三角形ABCの面積から3つの水色着色部分の三角形の面積を引いたものになります。
ABの交点をHFBCの交点をIDCAの交点をJEとします。
直線
ABは、2を通るので、
 ・・・① (直線の方程式を参照)
直線は、2を通るので、
 ・・・②
①と②を連立して、


①に代入すると、
よって、Hです。


また、Ix座標はx座標と同じで、
従って、
直線
ABと直線とは、傾きの積が、となるので、直交しています(2直線の平行・垂直を参照)。よって、
BCx軸に平行でy軸に平行なことから
さらに、

ABCと△に関して対称なことから、
AEH
CDJ
BFI

以上より、
AEH BFI CDJ

BFIの面積は、
正三角形ABCの面積は、
求める面積は、
......[]


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  1. 2008/12/01(月) 14:01:27|
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