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CFV21での学習の進め方

東北大理系数学'08年前期[1]

東北大理系数学'08年前期[1]

多項式について、次の条件(i)(ii)(iii)を考える。
(i)
(ii)
(iii)
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 条件(i)をみたす多項式の次数は4以下であることを示せ。
(2) 条件(i)(ii)(iii)をすべてみたす多項式を求めよ。

解答 多項式というのは、文字をかけ合わせたり足し合わせたりしてできる式であって、「次数」は文字を何個かけているか、という数、つまり、0以上の整数になります。単に“多項式”と言う場合は、各項で文字を2個かけているので、2次の多項式ですが、“”と言う場合は、xに着目しているので、の中にという項があるときには、かけれらているxの個数の4を次数とします。

(1) n0以上の整数とし、の中にn次の項があって、が含まれるとします。このxを代入すると、の中にが出てきます。また、にはという項が出てきます。
xの多項式であるためには、内の各項のxの指数は0以上の整数でなければなりません。

即ち、には4次までの項しか含まれないので、の次数は4以下です。

(2) (1)より4次の多項式なので、
とおけます。
条件(i)より、
これが恒等式となるために、
 ・・・①
これと、条件(iii)より、
 ・・・②
条件
(ii)において、とすると、
①より、 ・・・③
②に代入して、 ・・・④
条件
(ii)において、とすると、
①,③,④より、



④より、
①より、
これらと③より、 ・・・⑤
このは、
より、条件(ii)をみたします。
......[]

追記.上記の⑤では求まるのですが、ここで即、「答え」とやってはいけません。
上記では、条件
(i)についてはすべてのx(iii)についてはの場合について確認できていますが、条件(ii)は、そうではありません。bを求めるために、条件(ii)において、としてみただけで、他のxの値について、本当にが満たされるのか、確認されていないのです。
言い換えると、条件
(ii)をみたすための必要条件が“”となった(条件(ii)⇒“)だけであって、“”が条件(ii)のための十分条件であること(”⇒条件(ii))が確認されていません。そこで、⑤以下で実際にを計算して確認する必要がありました。
必要性、十分性は、センター試験の頻出テーマですが、理解不十分なために、センター試験会場で鉛筆を倒して解答した、という話をよく聞きます。
「必要条件」というのは、要求を満たすために最低限必要な条件
(ゆるい条件)であり、「十分条件」というのは、これであれば要求は完全に満たされるという条件(厳しい条件)です。
「必要条件」を求めただけでは、得られた答が全部条件に適しているか怪しい、「十分条件」を求めただけでは、得られた答は確かに条件を満たすが他にも答があるかも知れない、と思うようにしましょう。「必要十分条件」を求める、ということは、これらの答はすべて要求を満たしていて、他には答はない、という解答を求める、ということです。
「必要条件」、「十分条件」という言葉の意味をしっかり理解しておきましょう。なお、
条件・命題を参照してください。


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  1. 2008/11/29(土) 16:35:42|
  2. '08年入試(数学)
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立命館大物理'08年[3]

立命館大物理'08[3]

次の文章の あ  け に適切な数式を記せ。 ア  ウ には選択肢より適切な番号を選べ。
水平面上に置かれ、一定の角速度で回転する半径の円板を考える。円板上にはレールが敷かれている。レールの上には質量の小球があり、レールの上を移動することができる。このとき、以下の問いに答えよ。

[1] 図-aのようにレールが直径AB上に設置され、小球は、円板の中心Oに固定された支柱と、自然長,バネ定数のバネで結合されている。円板とともに回転している観測者から見て小球が静止しているとき、小球から中心Oまでの距離がであった。
小球に働く遠心力の大きさは あ である。摩擦が無視できるとき、バネの弾性力とのつり合いから距離

となる。さらに、小球が円板上にとどまるためには、バネ定数
k

でなければならない。

[2] 図-bのようにレールが弦CE上に設置され、小球は、弦CEの中点Dに固定された支柱と、先と同等に自然長,バネ定数kのバネで結合されている。弦CEの中心角である。円板とともに回転している観測者から見て小球が静止しているとき、小球から中点Dまでの距離がであった。
小球と円板(レール底面)との摩擦は無視できるが、小球とレール壁面の摩擦は無視できず、その静止摩擦係数がmであるとする。小球に働くレール方向の遠心力の大きさは お である。レール壁面から横方向に小球が受ける垂直抗力の大きさは か であるので、レール方向の最大(静止)摩擦力の大きさは、 き である。
このとき、小球が円板上で静止状態を保ち、動き出さないための距離の上限は、

である。ただしバネ定数
kは十分大きく、小球は常にCD上にとどまるとする。
ここで、図-
a,図-bの円板からそれぞれバネと支柱を取り除き、図-,図-のように小球がレール上を移動することができるようにした。

[3] ニュートンの運動の第一法則は、次のように表現される。
物体が外部から力を受けないか、あるいは外部から受ける力の合力がゼロである場合、静止している物体はいつまでも静止し続け、運動している物体は等速直線運動を続ける。
これを慣性の法則という。例えば、図-,図-においては、回転する円板上でなく円板の外で静止している観測者から見たときに慣性の法則が成立することに注意しよう。
さて、図-において、小球が点
Aから点Bに向かって直径上のレールを滑る。小球が中心Oを通過した瞬間にレールを取り払い、小球が円板上を摩擦なく自由に運動できるようにした。その後の小球は、円板の外で静止している観測者の視点では慣性の法則に従って運動を続ける。この運動を中心Oで円板とともに回転している観測者から見ると、 ア のような運動として観測される。

[4] 図-において、小球が点Cから点Eに向かって弦CE上のレールを滑る。小球が中点Dを通過した瞬間にレールを取り払い、小球が円板上を摩擦なく自由に運動できるようにした。この運動を中心Oで円板とともに回転している観測者から見ると、 イ のような運動として観測される。

[5] 図-において、小球が点Cから点Eまで弦CE上のレールを滑る。点Eを通過した後、小球はそのままレールから飛び出した。その後の小球は、円板の外で静止している観測者から見ると、 ウ のような運動を行う。ただし、円板上面と水平面の段差は無視できるとする。
 ア の選択肢

 イ の選択肢

 ウ の選択肢


解答 [3][4][5]で高校範囲外のコリオリのが出てきますが、問題文中に書かれている考え方に沿って解答できるでしょう。

[1]() このとき、外部から見ると、小球は半径の円軌道上を角速度w 円運動しています。円板とともに回転している観測者から見て小球に働く遠心力です。
......[]
() 小球にはバネの弾性力が働きます。
円板とともに回転している観測者から見て小球に働く力のつり合い

......[]
(うえ) より、


() () ......[]

[2]() このとき、外部から見ると、小球は半径の円軌道上を角速度w で円運動しています。円板とともに回転している観測者から見て小球に働く遠心力です。
CE遠心力のなす角をq として、小球に働くレール方向の遠心力の大きさは、

......[]
() 小球が壁面から受ける垂直抗力として、レールに垂直な方向での力のつり合い
......[]
() 最大静止摩擦力は、

......[]
(くけ) 小球がレール方向に受けるは、方向に働くバネの弾性力,円板とともに回転している観測者から見て、遠心力のレール方向成分(方向)静止摩擦力です。問題文中に「バネ定数kは十分大きく」という記述があるので、バネの弾性力遠心力よりも大きいと考えられます。従って、静止摩擦力方向に働くと考え、力のつり合い

小球が滑り出さない条件は、静止摩擦力の大きさ最大静止摩擦力以下となること(摩擦力を参照)です。よって、

()で割ると、

() () ......[]

[3] 円板は回転を続けるのに、外部から見て、小球は等速直線運動を続けるように見えるので、円板とともに運動する観測者からは、円板の回転に対して遅れて行く方向にそれて行くように見えます。よって、(2) ......[]

[4] [3]と同様に、円板は回転を続けるのに、外部から見て、小球は等速直線運動を続けるように見えるので、円板とともに運動する観測者からは、円板の回転に対して遅れて行く方向にそれて行くように見えます。よって、(2) ......[]

[5] Eから飛び出す瞬間に、小球は方向の速度成分だけでなく、今まで円板とともに回転運動もしているので、接線方向の速度成分も持っています。よって、(3) ......[]

追記.[3][4][5]コリオリの力と呼ばれている慣性力をネタにした問題です。コリオリの力は高校の範囲外ということになっていますが、問題文の説明通りに考えれば解答できるでしょう。
ここでは、数式を使って考えてみます。
ある座標系
Sにおいて、を受けて運動する質量mの物体P(加速度)運動方程式
 ・・・①
これを座標系Sに対して、角速度w で回転する座標系から見るとどう見えるか、ということを考えます。
座標系
Sにおける位置ベクトル,座標系における位置ベクトルになる、ということはどういうことかと言うと、右図のように、座標系Sにおいて位置ベクトルである点を角だけ回転するとになる、ということです。これを回転変換の行列(1次変換を参照)を使って書くと、
は、

は、
 ・・・②
 ・・・③
座標系Sにおける,座標系におけるの間にも、位置ベクトルと同様の関係
があるとして、②,③と見比べると、
 ・・・④
 ・・・⑤
であることがわかります。ここで、①に出てくると、は、同じを別の座標系で観測した値であることに注意してください。
座標系における物体
P加速度です。④,⑤を用いて、座標系運動方程式を書くと、
となりますが、この左辺を見ると、座標系Sにおいても存在していたの他に、座標系では、
2があるように見えるのです。遠心力です。というベクトルは、座標系で見たときの物体P速度と内積を作るとゼロになるので、速度に垂直なベクトルです。は、座標系で見たときに、物体Pの運動方向に垂直に働く慣性力が存在することを示していて、これをコリオリの力と言います。
本問では、
コリオリの力が、回転方向と逆向きになるように働くことがつかめれば解答できます。北半球で台風、ハリケーンが左巻きの渦を作る(南半球ではサイクロンは右巻きの渦を作る)のは、中心部に生じた上昇気流により台風中心部の気圧が下がり、ここに向かって周辺部から流れ込む空気がコリオリの力を受けて、一旦、反時計回りの方向にを受けた後に中心に向かって進んでくるからだ、と、考えられています。


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  1. 2008/11/28(金) 23:43:30|
  2. '08年入試(物理)
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静岡大理数学'08年後期[5]

静岡大理数学'08年後期[5]

は区間で定義された連続関数であり、
に対して、
を満たすとする。 ()とする。次の問いに答えよ。
(1) および
に対して、
が成り立つことを示し、さらにであることを示せ。
(2) nを自然数とし、に対して、0または1とする。次の等式を証明せよ。
(3) に対して

()
とする。ただし、に対して、を越えない最大の整数を表す。このとき、 ()および
であることを示せ。
(4) ()であることを示せ。

解答 (2)も数学的帰納法の形にするのが難しいのですが、(3)はさらに難解です。

 ・・・①
() ・・・②

(1) ②において、とすれば、
②において、とすれば、
として、②の
xyとすれば、 ・・・③
②+③より、
両辺を
2で割り、
 ・・・④
一方、②のxとすれば、
これと④より、に対して、
 ・・・⑤
①において、とすると、
⑤において、とすると、

(2) 数学的帰納法だろう、という雰囲気は漂うのですが、問題は、どうやって、数学的帰納法の形にするか、ということです。(1)を使えば、の場合は何とかなるでしょう。
のとき、
が成り立つとして、のときの等式
を導くのに、①,⑤を利用することになるだろう、ということは予測がつきます。ここで考えるべきことは、①,⑤のxyを何にするか、ということです。が出てくるので、のときの形と何かを足して2で割ることになるでしょう。すると、という形が出てきてしまいます。
ここに出てくる,・・・,は、,・・・,の分子、という意味ではありません。のときののときのが同じものでなければならない、という制約もありません。それぞれ、
01を表す、というだけのことです。であれば、のときと、のときとで、iは同じ番号になっている必要はありません。
そこで、のときの形が出てくるように、のときの形を、ではなく、番号を
1つずらして、と書くことにします。これと (0または1)を足して2で割ったものをと考え、以下のようにします。
() のとき、(1)より、
よって、,いずれの場合においても、
が成立します。
() のとき、k個の文字,・・・,(項の番号に意味はありません)をそれぞれ0または1だとして、
 ・・・⑥
が成立すると仮定します。
0または1だとして、①,⑤のxyとすると、

より、
これと⑥より、
よって、のときも成立します。
()()より、nを自然数として、
が成立します。

(3) ここも数学的帰納法だろう、ということはわかりますが、与えられた数列をどう料理するのか、何をすれば、
 ・・・⑦
を示すことになるのか、見えてきません。ガウス記号まで登場するのですが、まずは、問題文の
から出発します。では、ではどのようになるでしょうか?
Aを整数、Bを実数だとして、なので、
です。続けていくと、

などとなるので、

となることが予想できます。これを数学的帰納法で導くようにします。また、という形が出てくるので、⑦にをかけてみると、
 ・・・⑧
となりますが、,・・・,,・・・ は、それぞれ0または1です。また、より、すべての自然数iについてとなることはないのです。すべての自然数iについてなら、初項,公比の無限等比級数の和がとなることから、に反します。
よって、数列の中には、となる項があります。
同様に、ある
jについてで、となるすべての自然数iについてだとすれば、これは、で、となるすべての自然数iについてであることと同じです。
従って、⑧の,・・・
の中には0になるものがあり、
つまり、
 ・・・⑨
ここで、指数と項番号を1ずつずらすと、
 ・・・⑩
⑨-⑩×2より、
これで、先に予想した形が出てきます。これで、この設問の枠組みが見えてきました。

問題文の漸化式で与えられる数列について、数学的帰納法により、
 ・・・⑪
 ・・・⑫

 ・・・⑬
であることを示します。
() のとき、ですが、
⑪でとすると、
よりなので、となります。
⑫でとすると、
となります。
また、よりです。
また、
よって、のとき成立します。
() のとき、⑪,⑫,,⑬が成立すると仮定します。

 ・・・⑭
です。
 ・・・⑮
より,よって、
⑭,⑮より、
よって、のときにも成立します。
()()より、すべての自然数nについて、⑪,⑫,,⑬が示せました。
⑬より、
(m:整数) ”より、

で割って、
 (nがすべての自然数であることに注意)

(4) と、をみたす任意のxについて、(3)より、
の形に表せば、(2)より、
よって、が連続な関数であることから、

追記.は、曲線上の2を通過する直線の方程式です。
曲線上の
2を通過する直線の傾きはです。
曲線上の
2を通過する直線の傾きはです。
だとして、曲線上の
2点を通過する直線の傾きが増加するとき、つまり、
であるとき、曲線は「下に凸」である、と言います。このとき、であることが平均値の定理を使って証明できます(曲線の凹凸を参照)。曲線上の2点を通過する直線の傾きが減少するとき、つまり、
である場合には、曲線は「上に凸」である、と言います。このときはです。
ここで、
xyだとすると、なので、曲線が下に凸であれば、
となり、
が成立します。この不等式は、下に凸な曲線上の点は、この点の両側に位置する曲線上の2の中点よりも下にある、ということを意味しています(図に描いてみれば明らかです)
同様に、上に凸な曲線上の点は、この点の両側に位置する曲線上の
2の中点よりも上にあります。この事実は、証明問題などに応用できます(阪大理系'07年前期[2]を参照)
本問では、

だと言っているのですが、xyの存在範囲においては直線的になっていることを意味しています。本問は、結局、直線上の2点を結ぶ直線上の点は、もとの直線上の点になっている、つまり、は同じ直線になる、ということを言っています。自明のことかも知れませんが、(3)では、2分法(2点の中点を考え、さらに、元の点と中点のそのまた中点を考えていく)のアルゴリズムを数列を使って一般的に考えようとしているので、難解な問題になっています。


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  1. 2008/11/27(木) 12:57:14|
  2. '08年入試(数学)
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一橋大数学'06年前期[1]

一橋大数学'06年前期[1]

次の条件(a)(b)をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp、その他の2辺の長さをqrとする。
(a) pqrは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
(b)
(1) qrのどちらかは偶数であることを示せ。
(2) pqrの組をすべて求めよ。

解答 ピタゴラス数を題材とする整数問題です。(1)背理法で示します。

三平方の定理より、
 ・・・①
が成立します。


(1) qrがともに奇数だと仮定します。
も奇数なので、は偶数であり、pも偶数です。pが偶数なら4の倍数です。
cdを自然数として、
とおくことができますが、

であり、4の倍数にならず、矛盾が起きます。
ということは、
qrがともに奇数だとした仮定は誤りであり、qrのどちらかは偶数です。

(2) (1)よりqrのどちらかは偶数なので、rを偶数だとして、
(eは自然数)
とおきます。
①より、
 ・・・②
pqがいずれか一方が奇数で他方が偶数だとすると、はともに奇数でに等しくなることはありません。よって、pqはともに奇数かともに偶数で(ともに偶数だと条件(a)に反するのでともに奇数です)はともに偶数です。
kmを自然数だとして、
 (より) ・・・③
とおくと、②より、

s
tを自然数として、とおくと、
ここで、なのでということはあり得ません。よって、次の(i)(ii)2つの可能性が考えられます。
(i) のとき、③より、
pqについて解くと、

なので、条件(a)より、に限られます。条件(b)より、
よって、この場合には条件をみたすpqrの組はありません。
(ii) (より)のとき、③より、

条件(b)より、

t
66の約数ですが、をみたすのは、のみです。
このとき、
上記では、
rを偶数として考えてきましたが、qが偶数だとしても、全く同様にして、
条件をみたす
pqrの組は、 ......[]

追記.上記では、条件(a)がついているので、(i)の場合から答が出てきませんでしたが、条件(a)を外すと、(i)として、となる組が得られます。よく知られた3辺の比が543となる直角三角形です。
をみたす自然数の組をピタゴラス数などと呼ぶことがあります。例えば、

などが知られています。
上記の
(i)の場合は、条件(a)がついていてに限られるのであれば、(ii)の場合に含まれます。(ii)を見ていると、自然数stをもってきて、
とすると、ピタゴラス数となる自然数の組が得られることがわかります。実際、
です。

京大文系
'99後期[5]

自然数abcについて、等式が成り立ち、かつ、abは互いに素とする。このとき、次のことを証明せよ。
(1) aが奇数ならば、bは偶数であり、したがってcは奇数である。
(2) aが奇数のとき、となる自然数dが存在する。

(1)は、本問の(1)と同じです。
(2)は、本問(2)(i)の場合が、条件(a)があると(ii)の場合に含まれて、と表せる、というところから言えます。
京大理系
'92前期[6]では、ピタゴラス数を与える漸化式が出題されています。


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  1. 2008/11/26(水) 09:12:20|
  2. 一橋大数学
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秋田大医数学'08年[1]

秋田大医数学'08[1]

整数mに対し、とおく。次の問いに答えよ。
(1) 方程式が、整数の解を少なくとも1つもつようなmの値を求めよ。
(2) 不等式を満たす整数xが、ちょうど4個あるようなmの値を求めよ。

解答 本問のような、あてどもない整数問題が、試験場ではやっかいかも知れません。

(1) 方程式:2解をpqとし、pを整数だとします。
 ・・・①
 ・・・②
①より、mは整数なので、pが整数ならqも整数であって、2解はともに整数、ということになります。
すると、②より、
 ・・・③
となり、は整数なので、題意をみたすためには、m4の倍数になることが必要だとわかります。
①より、,これを③に代入すると、
4をかけて、
 ・・・④
こういう形が出てきたら、(整数A)×(整数B)(整数C)の形を作ることを目指します。まずは④左辺の因数分解を試みます。本問のような問題では、普通は因数分解できないのですが、このとき、因数分解できずにあぶれてしまった項が、整数の定数になるように工夫します。
まず、
に目を付けます。残りは、ですが、ここからをひねりだすのです。
なので、④を、


と変形します。4をかけて左辺に15だけを残すと、
 ・・・⑤
これで、は整数なので、15の約数であって、
に限られます。
このうち
pが整数になるのは、
のときのみです。
(i) のとき、⑤は、

(ii) のとき、⑤は、

(iii) のとき、⑤は、

(iv) のとき、⑤は、

つまり、のとき、2解は、1
のとき、
2解は、04になります。
よって、
......[] (mは確かに4の倍数になっています)

(2) まず、
 ・・・⑥
より、のグラフは、軸:に関して対称です。・・・⑦ (2次関数を参照)
より、方程式:は、相異なる2実数解をもち、aを実数として、⑦より、が解ならも解です。このとき、をみたすxの範囲は、
を満たす整数xが、ちょうど4個ある、ということは、の範囲に整数がちょうど4個ある、ということです。
mが偶数だとします。は整数です。このとき、⑦より、kを整数として、が、を満たす最小の整数だとすると、が、を満たす最大の整数になります。だとすると、を満たす整数は、個存在することになり、4個、ということはあり得ません。
従って
mは奇数です。を満たす4個の整数は、ということになります。をみたしますが、をみたしません。
こうなるための必要十分条件は、⑦より、
かつ
です。⑥より、
 ・・・⑧
⑥より、
 ・・・⑨
⑧かつ⑨より、
 ・・・⑩
です。
より、⑩をみたす奇数
mは、 ......[]


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  1. 2008/11/25(火) 11:03:49|
  2. '08年入試(数学)
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立教大理物理'08年[3]

立教大理物理'08[3]

次の文12を読み、下記の設問ADに答えよ。
1.一端を閉じた底面の半径がのガラス管を水銀で満たし、図1に示すように、上端をひもでつり下げて水銀の入った容器中に倒立させた。このとき、ガラス管の下側の底面と容器の底は離れており、ガラス管の内側上方に水銀で満たされていない空間ができた。この空間はトリチェリの真空と呼ばれ、水銀の蒸気で満たされているが、ここでは、この空間の圧力を0とみなしてよいものとする。また、ガラス管の質量と肉厚は無視できるものとし、重力加速度を,水銀の密度を,円周率を3.14とする。
ガラス管内外の水銀面の高さの差がであったとすれば、このときの大気圧が イ であることがわかる。また、ひもの張力の大きさは、ガラス管の上面に上下からかかる圧力の差から求めることができ、その値は ロ である。
2.図2(状態1)に示すように、底面積Sの断熱容器内に、体積がの単原子分子理想気体と、体積は同じの液体が密封されている。この液体の中に、片側の底面だけが閉じた円筒容器が、開いた底面を下にして置かれている。この容器の底面積は,体積はであり、肉厚、質量および熱容量は無視できるとする。円筒容器の上面の中心に取り付けられた質量が無視できるひもが、断熱容器の上面の中心から外部に引き出されている。断熱容器の上面内側には、電流を流すことによって気体を加熱、冷却できる熱電素子が取り付けられている。熱電素子の体積および熱容量は無視できるものとする。
気体と液体の間に熱の移動はなく、液体の蒸発や体積変化は無視できるものとし、重力加速度をgとする。図2(状態Ⅰ)において円筒容器は液体で満たされており、気体の圧力はであった。このとき、円筒容器上面に内側から上向きに働く液体の圧力は、外側から下向きに働く気体の圧力とつりあっており、ひもの張力は0である。
熱電素子を作動しないでひもに外力を加え、図
3(状態Ⅱ)のように、円筒容器の上面と外側の液面との高さの差がになるまで、円筒容器を静かに引き上げた。このとき、円筒容器は液体で満たされており、ひもの張力の大きさはであった。これは、円筒容器上面に内側から働く圧力が0であることを示しているから、液体の密度が あ であることがわかる。また、状態Ⅰから状態Ⅱに変化する過程で気体の体積は変化していないため、気体は仕事をしておらず、外力により円筒容器の外側の体積  の液体が、高さ  持ち上げられたと考えることができる。よって、この間外力がした仕事は  であることがわかる。
次に、気体の温度が変化しないように熱電素子を作動しながらひもに外力を加え、円筒容器を静かに引き上げた。図
4(状態Ⅲ)のように、円筒容器の上面と外側の液面との高さの差がになったとき、ひもの上端を固定して円筒容器の動きを止めると同時に、熱電素子を止めた。このとき、円筒容器上部には圧力が0である真空の空間ができた。状態Ⅲにおける、円筒容器内外の底面の高さの差をとすれば、このときの気体圧力および体積は、 い および、 う と表すことができる。これらの関係式を使えばを求めることができ、 え となる。
ひもの上端を固定したまま熱電素子を作動すると、円筒容器内の液面が静かに上昇した。図
5のように円筒容器内の液面が、円筒容器の上面に達した瞬間の状態を状態Ⅳとする。状態Ⅲから状態Ⅳに変化する過程で気体がした仕事は お であり、熱電素子から気体に加えられた熱量は か である。
さらに熱電素子を作動して気体を加熱した。状態Ⅲとの温度差が、状態Ⅳと状態Ⅲとの温度差の
2倍になったときの状態を状態Ⅴとする。状態Ⅳから状態Ⅴに変化する過程で、熱電素子から気体に加えられた熱量は き であり、状態Ⅴにおけるひもの張力の大きさは、状態Ⅳのときと比較して く 
A.文中の空所 イ  ロ にあてはまるもっとも近い数値を、それぞれ対応するafから1つずつ選べ。
 イ  a b c d e f
 ロ  a b c d e f
B.文中の空所 あ  き にあてはまる数式を、それぞれ対応するaeから1つずつ選べ。
 あ  a b c d e
 い  a b c d e
 う  a b c d e
 え  a b c d e
 お  a b c d e
 か  a b c d e
 き  a b c d e
C.文中の空所 i   にあてはまる数式をそれぞれ記せ。
D.文中の空所 き にあてはまる語句を、次のacから1つ選べ。
a.小さくなった b.変化はなかった c.大きくなった

解答  お  か では、状態Ⅳで容器内の気体の体積がに戻ることに気づかないとひどいことになります。物理の問題として難しいわけではありませんが、解答群の形をよく見て計算を進める必要があります。単位をMKSに合わせること、円筒容器の底面積がであってSではないこと、にも注意が必要です。計算結果が解答欄に出てこないときには、元に戻ってしっかりチェックしてください。
なお、問題文中の図は予断を与えないように描かれているので、惑わされないように注意してください。


1() ガラス管内の高さの部分の水銀に働く重力は、より、ガラス管の断面積として、
ガラス管の外部の水銀面の高さにおける水銀の圧力大気圧に等しく、大気圧は、,よって、c ......[] (理想気体を参照)
() ガラス管上面に下から上に向かって押し上げるはありません。ひもの張力の大きさは、力のつりあいより、ガラス管上面を上から下向きに押す大気圧によるに等しくなります。より、
よって、a ......[]

2() 円筒容器の外側の液面の高さでの液体の圧力は断熱容器内の気体の圧力に等しく、円筒容器内においてもです。円筒容器内でこの高さから上にある液体(体積)に働く重力は、液体の密度rとすると、です。
これが、この高さから下にある液体の圧力によるとの力のつり合いより、
,よって、c ......[]
(i) 右図で水色の部分にあった液体が円筒容器内の青枠の中に移ります。この体積は、
......[]
(ii) 右図水色の部分にあった液体が青枠部分まで持ち上げられた高さは、 ......[]
(iii) 従って外力がした仕事、つまり、この部分の液体の位置エネルギーの増加分は、
......[]
() 4(状態Ⅲ)において、円筒容器の外側の液面の高さでの液体の圧力は断熱容器内の気体の圧力に等しく、円筒容器内においてもです。円筒容器内でこの高さから上にある液体(体積)に働く重力は、
これと、この高さから下にある液体の圧力によるとの力のつり合いより、
,よって、d ......[]
() 液体の体積変化を無視するので、断熱容器内の気体の体積減少分は、円筒容器内の真空空間の体積に等しく、,よって、d ......[]
つまり、 ・・・① です。
() 状態Ⅱ→状態Ⅲは等温変化なので、ボイルの法則より、
 ・・・②
()の結果より、
①に代入すると、
をかけて整理すると、
について解くと、
より、
よって、b ......[]
() 状態Ⅲから状態Ⅳにおいて気体のした仕事は、体積の液体をだけ持ち上げた(右図の水色の部分にあった液体を円筒容器内の青枠の中に移動させる)ときの位置エネルギーの増加分に等しく、

よって、a ......[]
() 状態Ⅲから状態Ⅳにおける内部エネルギーの増加分をとして、熱力学第1法則より、熱電素子から気体に加えられた熱量は、
 ・・・③
となるので、を求める必要があります。は、状態Ⅲ,状態Ⅳにおける絶対温度,気体定数をRとして、
 ・・・④
で与えられます。状態Ⅱ,状態Ⅰにおける絶対温度であって、を考えるために、状態Ⅰ,状態Ⅳにおける状態方程式を考えます。断熱容器内の気体のモル数をn,状態Ⅳにおける気体の圧力とします。
状態Ⅰにおける状態方程式 ・・・⑤
状態Ⅲ→状態Ⅳにおいても液体の
体積変化を無視すると、円筒容器内の真空部分がなくなるので、断熱容器内の気体の体積に戻ります。
状態Ⅳにおける状態方程式 ・・・⑥
5(状態Ⅳ)において、円筒容器の外側の液面の高さでの液体の圧力は断熱容器内の気体の圧力に等しく、円筒容器内においてもです。円筒容器内でこの高さから上にある液体(体積)に働く重力は、
これと、この高さから下にある液体の圧力によるとの力のつり合いより、

⑥-⑤より、
④に代入して、
 ・・・⑦
これと()の結果を③に代入して、
パっと見て解答欄に見あたらないのですが、第2項の1に分けると、第1項とでをまとめることができて、
よって、e ......[]
() 状態Ⅲと状態Ⅴとの温度差が、状態Ⅲと状態Ⅳとの温度差2倍になった、ということは、状態Ⅳから状態Ⅴまでの内部エネルギーの増加分は、状態Ⅲから状態Ⅳまでの内部エネルギーの増加分に等しいということです。⑦より、
よって、b ......[]
() 状態Ⅳ(円筒容器内の液面が円筒容器上面に到達した瞬間)において、張力Fと円筒容器上面に気体が及ぼすとの力のつり合いより、

このとき、円筒容器上面を円筒容器内の液体が押し上げる0です。また、は、円筒容器外の液面よりも上の部分にある円筒容器内の液体に働く重力とつりあっています。
この状態から、ひもの上端を固定し、断熱容器内の気体を加熱して
圧力だけ大きくすると、重力は変化しないので、円筒容器内の液体を上に押し上げようとするとなり、だけ大きくなります。従って、液体が円筒容器上面を上に押し上げようとするが出てきます。
一方、円筒容器上面を下に押す気体の
圧力によるとなり、張力との力のつり合いは、

つまり、状態Ⅳにおけるひもの張力は、状態Ⅲのときと変化しません。よって、b ......[]


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  1. 2008/11/24(月) 18:47:33|
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金沢大理工数学'08年後期[4]

金沢大理工数学'08年後期[4]

関数のグラフ上の点における接線のy切片をとする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を満たす正の数q を小さい順に
とする。を求めよ。
(3) 無限級数の和を求めよ。ただし、のときが成り立つことを用いてもよい。

解答 面倒な計算問題ですが、(3)に、(等差)×(等比)の和の形が出てきます。元の和に(等比)の公比にあたる数をかけた和を、元の和から引くと、(等比)の和の形+アルファ、になって和が求められる、というのは、理系受験生の必須技巧です。

(1)
 (積の微分法を参照)
における接線
......[]

(2)
とすると、 ()
より、 ......[]

(3)

 ・・・① ( )
 ・・・② (等比数列を参照)
とおくと、
 ・・・③
②,③を①に代入すると、
ここで、とすると、より、
......[]

追記.上記でを求めるところは、の行を、の行と1つずらせて、eの指数がそろうように書き、上から下を引くところがミソです。
 ・・・④
 ・・・⑤
のようにΣを使って書く場合、Σを使ったまま、④-⑤とし、


のように変形できるとよいと思います。

本問では、微分計算の後で
(等差)×(等比)の形が出てきますが、この形は、確率の問題の中でよく登場します。
例えば、袋の中に白球と黒球が入っていて、それぞれの確率で取り出す試行を行うとき、黒球を取り出した時点で試行は終了、白球を取り出した場合には試行を繰り返すとき、白球を取り出す回数の期待値
Eを求める、という場合、

 ・・・⑥
 ・・・⑦
⑥-⑦より、




ここでとすると、
よって、



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  1. 2008/11/22(土) 10:56:05|
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東大文系数学'07年[3]

東大文系数学'07前期[3]

正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数をいう。たとえば200012345の下2桁はそれぞれ045である。mが正の整数全体を動くとき、の下2桁として現れる数をすべて求めよ。

解答 m10で割った余りで分類して考えます(整数を参照)

m10で割り、商をk,余りをjとします。jは、012,・・・,9のどれかです。



従って、の下2桁は一致します。つまり、正の整数mに対しての下2桁を,正の整数nの下2桁をとして、
これを用いて、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、
これですべての場合を尽くしました。
の下
2桁として現れる数は、052580 ......[]


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  1. 2008/11/21(金) 10:30:38|
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中大理工数学'08年[3]

中央大理工数学'08[3]

鋭角三角形ABCの外接円Sの中心(外心)Oとし、Sの半径をRとする。円Sの弧と直線BCCAABに関して対称な円弧をそれぞれとする。このとき、3つの弧は三角形ABCの垂心で交わる。このことを次のようにして示せ。
三角形
ABCの外心Oと直線BCCAABに関して対称な点をそれぞれとする。また、とし、Hにより定まる点とする。
(1) を用いて表せ。
(2) で表し、三角形は三角形ABCと合同であることを示せ。
(3) を用いて表し、3つの弧は点Hで交わることを示せ。
(4) を用いて表し、点Hは三角形ABCの垂心であることを示せ。

解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので軽快に解いてゆけると思います。

(1) BCCAABの中点をKMNとします。
 (ベクトルの内分、外分を参照)
OBCに関して対称,OCAに関して対称,OABに関して対称なので、
......[]

(2) ......[]
これより、です。同様に、

よって、三角形と三角形ABCは、3辺が等しく、合同です。

(3)


......[]

よって、より、です。
ということは、
HBCを中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧上の点です。・・・①
同様にして、

よって、であって、HCAを中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧上の点です。・・・②

よって、であって、HABを中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧上の点です。・・・③
三角形
ABCは鋭角三角形なので、①,②,③より、3つの弧は点Hで交わります。

(4) ......[]
 (内積を参照)



以上より、Hは三角形ABCの垂心です。

追記.よく知られた事実ですが、外心に原点があるとして、三角形ABCの重心Gの位置ベクトルは、
となり、垂心Hの位置ベクトルが、
であるということは、重心Gは、外心Oと垂心Hを結ぶ線分OH12に内分する点だということです。


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  1. 2008/11/20(木) 12:47:26|
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茶女大'08年物理[2]

茶女大物理'08[2]

ホログラフィーとは、3次元像を記録し再生する技術である。その原理について考察しよう。ここでは、ある点に置かれた質点の3次元的な位置を記録し再生することが可能であることを示す。
(1) 1のように、左側から波長lの平行なレーザー光線を点Pに置かれた質点に照射し、質点から距離Lだけ離れた点Oに、平行光線に対して垂直に写真フィルムを置く。写真フィルムでは、「平行光線」と「平行光線に照らされて質点から反射される光線」の、2つの光線が干渉し強め合った場所が感光する。ここでは簡単のために、干渉する2つの光線の強さは写真フィルム上で等しいとする。このとき感光した場所は同心円とする。この同心円の半径をLlを用いて求めよ。ただしLlに比べて十分長いとせよ。また質点で光が反射するとき位相は変化しないとする。
(2) この写真フィルムを現像すると、感光した場所は透明となって光を通すが、感光しなかった場所は黒色となって光を通さなくなる。すなわち現像後の写真フィルムは、前問で考察した同心円の部分のみ光を通す回折格子となる。次に図2のように、点Pには質点をおかずに、現像した写真フィルムのみを前問と同じ位置Oに置いて、左から前問と同じ平行なレーザー光線を写真フィルムに照射する。このとき、図2の点Qにおいてレーザー光線が強め合うことを説明せよ。
(3) 次に、前問(2)と同じ設定で、レーザー光線を照射しながら写真フィルムを右側から観察したとき、点Pに再生された像が見える理由を説明せよ。

解答 深く考え込みすぎると複雑になってしまうので、点Qと点Pが、写真フィルムに関して対称な位置にあることに基づいて考察する程度で良いと思います。なお、波の干渉を参照してください。

(1) 写真フィルム上の点Sと点Oとの距離rとすると、点Sに到達する「平行光線」と「平行光線に照らされて質点から反射される光線」との経路差D?は、
Sにおいて両光線が強め合う条件は、として、

両辺を2乗して、
Llに比べて十分に長いので、を無視すると、
() ......[] (のときは円でなくて点ですが、問題文中の図から解答に含めることにします)

(2) 写真フィルム上で点Oから半直線を引き、感光同心円との交点を点O側から順に、,・・・ とすると、(1)より、 として、
Qは写真フィルムに関して点Pと対称なので、
となっています。よって、点Pに質点を置かず、写真フィルムに垂直に平行光線を照射すると、透明部分,・・・ を通過した後に回折して点Qに到達したレーザー光線は、それぞれ経路差波長の整数倍となっており、点Oを通過した光も含めて、点Qで強め合います。

(3) Pに質点がある場合、平行光線を照射すると、感光して透明になる点O及び同心円(,・・・ は同心円上の点)以外のフィルム上の点では、質点で反射した光線と平行光線とは強め合わず、写真フィルムがなく右側に光線が進むときに、ここを波源とする素元波の影響は小さいと考えられます。(2)と同じ設定で平行光線を照射すると、感光して透明になっている、点O及び同心円を通過したレーザー光線は、点Pに質点がある場合と全く同様に、ここを波源とする素元波として、写真フィルムの右側に進みます。 (2)と同じ設定であれば、写真フィルムの右側に、点Pに質点があるのと同様の状況が実現し、点Pに再生された像が見えます。


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  1. 2008/11/19(水) 08:29:22|
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茨城大理数学'08年[4]

茨城大理数学'08[4]

次の条件をみたす自然数の組を考える。
このような組に対して2次方程式
の解の虚部の絶対値をとおく。ただし、複素数 (ab は実数、iは虚数単位)の虚部とは、実数b のことである。次の各問いに答えよ。
(1) の大小を比較せよ。
(2) が最大となる組を求めよ。
(3) が整数となる組のうちで、が最大となるものをすべて求めよ。

解答 整数問題の基本は「シラミつぶし」です。工業製品や農産物の中に不良品が混入して、どれが良品でどれが不良品か見分けがつかないときは、全数チェックが必要になります。全部調べるうちから合理的な手法が出てくるのであって、最初から「うまく切り抜けよう」と思わないことが大切です。
特に、センター試験の整数問題では、全数チェックで解決することが多いので、注意してください。


2次方程式の解は、です。のときには、
となります。これより、

(1)

より、
(等号は、のときのみ成立)
......[]  (等号は、のときのみ成立)

(2)
根号内は2次関数で、が軸位置18に近いほど大きくなります。よって、は、が最大、つまり、aが最小のとき、最大値をとります。(1)の結果と合わせて、
が最大となる組 ......[]

(3) とおきます。題意よりkは整数です。整数問題では、「(整数A)(整数B)×(整数C)」の形を作るとうまく行くことがあります。BCAの約数に限られるので、全数チェックする範囲を絞ることができます。
2乗して、
 ・・・①
ここで、の約数です。
4の倍数が、,・・・,の約数になるので、bは少なくとも偶数です。また、より、です。なので、に限られます。を最大とするの組を求めるので、まず、の場合から調べます。①でとして、
より、に限られます。
(i) のとき、
は平方数になるので、に限られます。
のときのとき
(ii) のとき、
右辺を見ると、なので、に限られますが、このとき、は平方数ではなく、①をみたすの組はありません。
(i)(ii)より、が最大となる組 ......[]


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  1. 2008/11/18(火) 10:28:45|
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東大文系数学'07年[2]

東大文系数学'07前期[2]

rをみたす実数、n2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件①,②をみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
① 新しい2つの円の半径の比はrで、半径の和はもとの円の半径に等しい。
② 新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)
k回目の操作で得られた個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、個の円を得る()
(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。

解答 条件②の意味が不明です。重ならない、という程度のことなのでしょうか?

半径
Rの円に操作(P)を施すと、半径の円と半径の円ができます。
半径
Rの円の円周の長さは,面積はです。
半径の円の円周の長さは,面積はです。
半径の円の円周の長さは,面積はです。


(1) 操作(P)の実行により、半径Rの円について、円周の長さの和は、となり、変化しません。
操作(P)実行前のすべての円について、円周の長さの和は変化せず、1回目の操作前の半径1の円周の長さはなので、n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和も ......[]

(2) 操作(P)の実行により、半径Rの円について、円周の面積の和は、となり、倍になります。
1回目の操作前の半径1の円の面積はです。
2回目の操作で得られる4つの円の面積の和は、 ......[]

(3) (2)より、n回目の操作で得られる個の円の面積の和は、 ......[]

注.要するに、n回操作後の円周の長さの和は、定数値となる数列、n回操作後の面積の和は、初項,公比等比数列、ということです。


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  1. 2008/11/17(月) 09:46:10|
  2. 東大文系数学
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京大文系数学'08年[5]

京大文系数学'08[5]

n角形とその外接円を合わせた図形をFとする。F上の点Pに対して、始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数をで表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、とおく。また、正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、とおく。このときabを求めよ。
注:一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。

解答 文系学部の問題ですが、理系学部の問題よりも難しい気がします。理系の皆さんは、本問を文系の問題と軽く思わないようにしてください。

を考えてみましょう。
まず、の場合、正
3角形ACDで考えてみます。
最初に
ACと進む場合とADと進む場合の一筆書きの経路数は同じなので、ACの方を考えます(あとで2倍します)。円弧AC上を通るのか辺AC上を通るのか2通りあります。Cに来た後、
(i) CAと進む場合、CA間は先に通らなかった方を通り、以後は、ADCDAと進むしかありません。AD間、DC間は、それぞれ、円弧を通るのか辺を通るのか2通りあるので、経路数は通りあります。
(ii) CDと進む場合、CD間は2通り、Dに来た後、DCADAと進むか、DACDAと進むか、DADCAと進むかですが、いずれの場合も、DA間の進み方が2通りあり、経路数は通りあります。
(i)(ii)を合わせ、通り。・・・①

n角形についていきなり考えるのは難しいので、漸化式を立てることを目指します。漸化式は、正n角形の場合と正角形の場合を比較することになります。この2つの場合を比較しやすいように、正n角形の頂点を,・・・,,正角形の頂点を,・・・,とします。
n角形の場合、最初にAとして書き始め、と進む場合と、と進む場合とでは、それ以降の一筆書きの経路数は同じです。どちらか一方を考えておき2倍すればが求められます。
そこで、正
n角形の場合と正角形の場合を比較しやすいように、と進む方を考えることにして、一筆書きの経路数をとします。です。また、①よりです。
角形の場合に、と進むときの一筆書きの経路数はです。
この場合、まず、と進むときに、外接円上を通るのか、正角形の辺上を通るのか、
2通りあります。・・・②
次に、に来たときに、
(i) に戻ってしまうのか、(ii) に行くのか、2つの場合があります。
(i) に戻るときは、と進んだときに通らなかった方を通るので1通りしかありません。そして、に戻った以降は、 ・・・ ・・・ と進むしかありません。この間個の頂点間(頂点と頂点の間はn)を、行き帰りのどちらで、外接円上を通るのか、辺上を通るのか、通りあります。
(ii) に行く場合、途中どの経路を通るのかはさておいて、いずれはに来るのですが、既に、と進んできた後なので、の間の経路は、と進むにせよ、と進むにせよ、円弧と辺のうち1本しか残っていません。であれば、の間の経路を考える意味はないのです。そこで、を合わせて1つの点とみなして経路数を数えてしまうことにします。すると、と進みに来た後の経路数は、正n角形でと進む場合の経路数通りになります。
(i)(ii)を合わせて、②を考慮すると、
 (2項間漸化式を参照)

両辺をで割って、
数列は、初項:,公差:1等差数列で、

......[]

を考えます。
まず、の場合、正三角形
ACDで考えてみます。点Bは辺ACの中点だとします。
最初に
BAと進む場合とBCと進む場合の一筆書きの経路数は同じなので、BAの方を考えます(あとで2倍します)
Aに来た後、
(i) ACと進む場合、以後は、CDADCと進むしかありません。CD間、AD間は、それぞれ2通りあり、経路数は通りあります。
(ii) ADと進む場合、AD間が2通り、Dに来た後、DACDCと進むか、DCDACと進むか、DCADCと進むかですが、いずれの場合もDC間の進み方が2通りあり、経路数は通りあります。
(i)(ii)合わせて、通り。・・・③

この場合も漸化式を立てることを考えます。
n角形の頂点を,・・・,,正角形の頂点を,・・・,とします。辺の中点をBとします。
n角形の場合、最初にBから書き始め、Bと進む場合と、Bと進む場合とでは、それ以降の一筆書きの経路数は同じです。どちらか一方を考えておき2倍すればが求められます。
Bと進む方を考え、一筆書きの経路数をとします。です。また、①よりです。
角形の場合に、
Bと進むときの一筆書きの経路数はです。
この場合、まず、と進むときに、外接円上を通るのか、正角形の辺上を通るのか、
2通りあります。・・・④
次に、に来たときに、
(i) に戻ってしまうのか、(ii) に行くのか、2つの場合があります。
(i) に戻るときは、と進んだときに通らなかった方を通るので1通りしかありません。そして、に戻った以降は、 ・・・ ・・・ と進むしかありません。この間n個の頂点間(頂点と頂点の間は経路)を、行き帰りのどちらで、外接円上を通るのか、辺上を通るのか、通りあります。
(ii) に行く場合、既に、と進んできた後なので、のときと同様に、を合わせて1つの点とみなして経路数を数えてしまうことにします。すると、と進みに来た後の経路数は、正n角形でと進む場合の経路数通りになります。
(i)(ii)を合わせて、④を考慮すると、

両辺をで割ると、
数列は、初項:,公差:の等差数列です。


......[]


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  1. 2008/11/15(土) 10:55:03|
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横浜市大物理'08年[2]

横浜市大物理'08[2]

図に示すように、起電力の電池、電気容量のコンデンサー、抵抗値の抵抗、および切り替えスイッチSからなる電気回路がある。この回路の各コンデンサーは、はじめに電荷をもっていなかったものとして、以下の問いに答えよ。
(1) スイッチSaに接続した状態で充分時間が経過した。コンデンサーに蓄えられた電気量と静電エネルギーを求めよ。
(2) 次にスイッチSaからbに切り換えた。切り換えた瞬間に、抵抗に流れ始める電流を求めよ。
(3) スイッチSbに切り換えてから充分時間が経過した後、コンデンサーの極板間にかかっている電圧と蓄えられている電気量を求めよ。
(4) スイッチSbに切り換えてから充分時間が経過するまでに失われた静電エネルギーを求めよ。
(5) 失われた静電エネルギーはすべて抵抗で消費されたとする。抵抗で消費された電気エネルギーWを求めよ。
上記の操作を1回目とし、以下、とおく。スイッチSを再びaに接続した後bに接続する。この操作を2回目とする。ただし、スイッチの切り換えは十分な時間が経過した後に行うものとする。
(6) 2回目の操作から充分時間が経過した後、コンデンサーの極板間にかかっている電圧と蓄えられている電気量を求めよ。
(7) この操作をn回繰り返した後、コンデンサーの極板間にかかっている電圧をとする。の関係を求めよ。また、nで表せ。さらに、操作を繰り返し行っていくと、電圧はどのような値に近づくか答えよ。

解答 (7)2項間漸化式等比数列の極限の問題です。

(1) コンデンサーの公式 (コンデンサーの過渡現象を参照)より、
......[]

(2) スイッチSaからbに切り換えると、で一周する電流経路では電流は同じ値になります(キルヒホッフの法則を参照)両端の電圧両端の電圧0で、直列接続された抵抗電圧がかかるので、抵抗に流れ始める電流は、オームの法則より、
......[]

(3) スイッチSが切り換えられる瞬間にが蓄えている電気量です。スイッチSを切り換えてから充分時間が経過すると、この電気量並列接続されたに蓄えられます。両端の電圧は、公式より、
......[]
が蓄えている電気量は、
......[]

(4) スイッチを切り換える瞬間の静電エネルギー(1)です。
充分時間が経過したとき、容量の両端の電圧となるので静電エネルギーは、
よって、
......[]

(5) 先にも書きましたが、スイッチSaからbに切り換えると、で一周する電流経路では電流は同じ値になります。抵抗で消費された電気エネルギーは、なので、抵抗で消費された電気エネルギーWは、(4)を、に分けたうちのの分になります。よって、
......[]

(6) 2回目の操作から充分時間が経過した後、並列接続された容量に蓄えられる電気量は、1回目の操作後にが蓄えている電気量と、スイッチSa側にしている間にが蓄えたの和になります。よって、両端の電圧は、
......[]
が蓄えている電気量は、
......[]

(7) 操作をn回繰り返した後、並列接続された容量に蓄えられる電気量は、回目の操作後にが蓄えている電気量と、スイッチSa側にしている間にが蓄えたの和になります。よって、両端の電圧は、
より、
 ・・・① (2項間漸化式を参照)
に置き換えた式:
 ・・・②
②を解くと、
①-②より、
これより、は、公比:の等比数列です。初項は、

......[]
より、のとき、
......[]

追記.この問題の電気回路は、switched capacitorと呼ばれ、半導体集積回路上に精密な抵抗を制作する技術として実用化されています。
半導体集積回路、特に、アナログ回路と呼ばれる連続的な電流変化、あるいは、電圧変化を扱う回路の製造工程においては、ウエハと呼ばれる円形のシリコン
(ケイ素,原子番号14)基板上に抵抗を作ると、抵抗値が大きくバラついてしまい、安定した回路を製作することが困難です。
本問のスイッチ切り替えにより、
電荷が電池側からコンデンサー側に送られますが、単位時間当たりの電荷移動量、つまり、電流は、スイッチの切り換え周波数とコンデンサーの容量比で決まります。半導体製造工程のバラつきの影響を受けません。これを抵抗として利用しようというのが、switched capacitorです。
switched capacitorの利用により、高性能なフィルター回路(ある周波数の交流信号だけを取り出すための回路)を製作することができます。このフィルターをswitced capacitor filter (SCF)と言います。

実用化されている技術で、入試問題のネタとしても見かけるのが、チャージ・ポンプと呼ばれている昇圧回路
(電源電圧よりも高い電圧を取り出す回路)です。時計などの機器を乾電池1本で動作させる(機器の内部は3V程度で動作するため、電池の1.5Vから3V電圧を作る必要がある)ために用いられている技術です。
右図のような回路で、最初、図
(a)のように2個のスイッチがa側に倒れ、コンデンサーを充電します。この時点でコンデンサー両端の電圧電源電圧になります。
次に、図
(b)のように2個のスイッチを同時にb側に倒し、コンデンサーを充電します。この時点でコンデンサー両端の電圧電源電圧になります。
は直列接続されているので、右図の
X-Y間の電圧となり、元の電圧2倍の電圧が得られます。
実際には、必要な
電流X-Y間から取り出すために、容量を大きくする必要があり、抵抗の影響により、即座に電圧になるわけではなく、安定するまでに若干の時間が必要です。


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  1. 2008/11/14(金) 10:07:33|
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熊本大理系数学'07年後期[3]

熊本大理数学'07年後期[3]

数列
 
()
で与えられているとする。また、とし、xに関する方程式の正の解をaとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) すべての正の整数nについて、であることを証明せよ。
(3) において、であることを証明せよ。
(4) とするとき、すべての正の整数nについて、であることを証明せよ。
(5) の値を求めよ。

解答 タイプの漸化式極限を求める問題です。

(1)
とすると、
正の解
aは、 ......[]

(2) です。
 ・・・①
より、であれば、,つまり、です。
よって帰納的に
(数学的帰納法を参照)、すべての正の整数nについて、です。 (証明終)

(3)



においては、
 (証明終)

(4) (2)の結果を合わせて、
これより(3)の結果においてとすると、


 (証明終)
別解 ①より、
より、

とすることもできます。

(5) (2)より
(4)より

ここでとすると、
よって、
はさみうちの原理より、
......[]

追記.タイプの漸化式で与えられる数列では、がある範囲であって、が存在すれば、方程式における解をaとして、となります。
なぜなら、
平均値の定理より、をみたす実数cが存在して、における最大値をmとすれば、で、より、のときとなるからです。

本問では、とおくと、

単調減少関数で、においては、なので、は、の解9になります。
本問の
(4)に出てくるという値は、における平均変化率
であって、は、であれば平均変化率について、
であることを意味しています。なお、北大理系'08年前期[3]も参照してください。

という漸化式で与えられる数列の極限を求める問題をしばしば見かけますが、

において、
となり、


をみたす解はなので、となります。
という風にして1に近づいていきます。


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  1. 2008/11/13(木) 10:40:52|
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東大文系数学'07年[1]

東大文系数学'07前期[1]

連立不等式

の表す領域を
Dとする。
(1) Dを図示せよ。
(2) Dの面積を求めよ。

解答 何の変哲もない計算問題ですが、x軸の上側だったり下側だったり、曲線の上だったり下だったりするので、慎重に処理する必要があります、意外と正答率が低いのではないでしょうか?試験会場で、こういう問題に当たった場合には、何度も見直してください。なお、2次関数を参照してください。

(1)  ・・・①
のとき、
②は、
③は、
となるのは、のとき。
結局、
i) のとき、
ii) のとき、
のとき、
②は、
③は、
となるのは、のとき。
結局
iii) のとき、
iv) のとき、
以上より、①を図示すると右図1の黄色着色部分。
連立不等式のもう一つの不等式ですが、
 ・・・④
境界線 (右図1にも書き込まれています)は、
x軸とで交わり、
で交わり、
とは、

より、で交わります。
④は、右図1から下側が領域Dになります。
領域
Dを図示すると、右図2の黄緑色着色部分。

(2) Dの面積は、
 (定積分と面積を参照)



......[]


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  1. 2008/11/12(水) 10:42:40|
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名市大医数学'08年[2]

名古屋市大医数学'08[2]

四面体OABCにおいて、とする。
のとき、次の問いに答えよ。

(1) BCtの比に分ける点をQAQsの比に分ける点をPとする。stで表せ。
(2) が平面ABCと垂直になるとき、stの値を求めよ。
(3) 四面体OABCの体積を求めよ。

解答 四面体の体積を求める標準的な問題です。ですが、この問題の誘導のまま計算するのでは、との内積や、の計算をするときに、に関する内積が出てきて、展開したときの項数が増えて面倒です。そこで、
とおいて、この問題を、3個のベクトルの組で考えることにします。
 (内積を参照)






 ・・・①

......[]
①とより、を使って表すと、
 ・・・②

(2) が平面ABCと垂直になるとき、
よって、,②より、


 ・・・③

 ・・・④
④-③より、
......[]
このとき②より、


......[]

追記.以上の解答より、四面体OABCの体積Vを、三角形ABCを底面,頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線をOHとして、
によって求める場合には、Aを始点として三角形ABCを作る,および、始点に向かうベクトル3個のベクトルを基本ベクトルとして考えればよい、ということになります。

四面体の体積の問題は本問のように、各辺の長さと各辺のベクトル同士の内積を与える問題のほかに、頂点の座標を与えるタイプの問題があります。例えば、
大阪教育大
'07[4]

座標空間において、3ABCの定める平面をaとし、原点Oから平面aに垂線OHを下ろす。
(1) 三角形ABCの面積を求めよ。
(2) をみたすstを求めよ。
(3) Hの座標を求めよ。
(4) 四面体OABCの体積を求めよ。

解答 以下の各計算については、空間ベクトルを参照してください。
(1)
三角形ABCの面積Sは、
......[]

(2)
より、,よって、

 ・・・①

 ・・・②
①×3-②×2より、
......[]
②より、 ......[]

(3)
......[]

(4)
四面体OABCの体積Vは、
......[]

実は、高校の範囲外ですが、外積という道具を使うと、もっと簡単に答えることができます。
の外積は、

 (この計算法、外積の性質については、外積を参照)
(1)の三角形ABCの面積S(で作る平行四辺形の面積になる)
の外積は、三角形ABCに垂直なので、
として、より、

(3)Hの座標は、
(4)の四面体OABCの体積Vは、
となります。
なお、
四面体の体積を参照してください。


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  1. 2008/11/11(火) 20:29:15|
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関西学院大物理'08年[1]

関西学院大物理'08[1]

図のように半径Rの半円部ABC,半径Rの半円部DEF,長さの直線部CDからなる絶縁体の細いレールが水平な床上に設置されている。レールはひとつの鉛直面(xy平面、x軸は水平方向、y軸は鉛直方向)内にあり、直線部CDx軸に平行である。物体1の質量はm,物体2の質量はである。物体2は正に帯電しており、半円部DEFの中心点Gには物体2の電荷と同じ大きさの負電荷が固定されている。重力加速度の大きさをg,静電気力に関するクーロンの法則の比例定数をkとして、以下の問(1)(5)に答えよ。なお物体1と物体2の大きさや、レールと物体1,レールと物体2との摩擦、および空気抵抗は無視できるものとする。
(1) Aで物体1に水平右向き(x軸の正方向)の初速度を与えると、その速さが十分に大きい場合には、物体1はレールの半円部ABCの内周側をレールから離れることなく、ABCと移動できるが、速さが小さい場合には物体1は半円部ABCから離れて落下する。
(a) 物体1がレールの半円部ABCから離れずに点Cまで到達できる、点Aにおける最小の初速度の大きさを求めよ。
以下では物体1は、問(a)で求めた初速度で点Aよりレールに沿って運動を開始する。
(b) 物体1がレールから受ける垂直抗力の大きさを、レールに沿った点Aからの距離の関数として点Aから点Dまでの範囲について求め、グラフに表せ。
物体1は点Dで静止していた物体2に衝突する。この衝突は完全弾性衝突であり、物体1と物体2の間での電荷の移動や物体2の電気量の増減は生じないものとする。
(2) 衝突直度の物体1と物体2の速さは、それぞれいくらになるか。
(3) 衝突後の物体1が、最初に床に達した地点を点Hとする。HF間の距離はいくらになるか。
(4) 物体2がレールから離れることなく、半円部DEFの外周部を移動し、点Fに達するために必要な電気量の大きさの最小値を求めよ。
(5) Fに達する直前の物体2の運動エネルギーと、点Hに達する直前の物体1の運動エネルギーの総和は、物体1が点Cを通過した瞬間にもっていた運動エネルギーからどれくらい変化しているか。

解答半円部ABCではレールから受ける垂直抗力によって物体1不等速円運動します。半円部DEFでは、物体1は半円の外側に飛び出してしまい、物体2クーロン力によって不等速円運動します。

半円部
ABCの中心をO,物体1の位置をP,物体1速さvとします。
(1)(a) 物体1がレールから受ける垂直抗力(中心に向かう方向)とします。物体1が受ける向心力,及び、重力の中心方向成分です。
物体1運動方程式 ・・・①
Aの位置を位置エネルギーの基準にとり、物体1の点Aにおける速さとすると、点Aにおける物体1力学的エネルギーは、運動エネルギーのみで、点Pにおける物体1力学的エネルギーは、運動エネルギー位置エネルギーです。
Aと点Pとの力学的エネルギー保存より、
 ・・・②
これを①に代入して、
 ・・・③
物体
1ABCと移動する間、レールから離れない条件は、においてであることです(不等速円運動を参照)
③より、の最小値は、のとき

求める初速度の大きさの最小値は、 ......[]

(b) 物体1が半円部ABC上にいるときは、円弧AP長さdは、 ()です。ここでは、物体1初速度(1)の結果のと考えるので、②にを代入すると、
物体1が直線部CD上にあるとき()は、重力垂直抗力とのつり合いより、
垂直抗力の大きさdの関数として図示すると、右図。

(2) ②において、として、

衝突直後の物体1、物体2速度として、運動量保存より、
 ・・・④
反発係数の式

これを④に代入して、
......[]
......[]

(3) 衝突後、物体1は点Dから半円部DEFの左側に飛び出し、放物運動を行います。床に落下するまでの時間tとして、等加速度運動の公式より、

x
方向の移動距離HFは、
......[]

物体2の位置をQとして、とおきます。点Qにおける物体2速さVとします。
(4) 物体2が中心Gに向かう方向に受けるは、クーロン力重力の中心方向成分,物体2がレールから受ける大きさ垂直抗力(向きは中心Gから遠ざかる方向)です。
物体2運動方程式 ・・・⑤
Dの位置を位置エネルギーの基準にとると、点Dにおける物体2力学的エネルギーは、運動エネルギーのみで、点Qにおける物体2力学的エネルギーは、運動エネルギー位置エネルギーです。
Dと点Qとの力学的エネルギー保存より、

これを⑤に代入して、
 ・・・⑥
物体
2DEFと移動する間、レールから離れない条件は、においてであることです。
⑥より、の最小値は、のとき

よって、電気量の大きさの最小値は、 ......[]

(5) クーロン力は物体2の運動方向と垂直な方向に働くので仕事をしません。力学的エネルギー保存より、点Fに達する直前の物体2運動エネルギーと、点Hに達する直前の物体1運動エネルギーの総和は、物体1が点Cを通過した瞬間にもっていた運動エネルギーよりも、床を基準とした物体1と物体2位置エネルギーの分だけ大きくなります。
......[]


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  1. 2008/11/10(月) 12:36:13|
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横浜市大医数学'08年[4]

横浜市大医数学'08[4]

4次方程式
 ・・・()
のある解をみつけたい。以下の問いに答えよ。
(1) 方程式()は区間に解をもつことを示せ。
(2) (1)で解をオイラー(Leonhard Euler)の方法で求めよう。pqrを正の実数として
 ()
とおく。まず、補助変数fgh
を導入する。を計算して、4次方程式
 ・・・(**)
としたときABCfghを用いて表せ。次に()(**)が同じ式と仮定してfghを求めよ。
(3) 等式
(2)で得られたfghを用いて3次方程式
3つの解pqrを求めよ。
(4) 方程式()の解
を等式
 ()
を用いて簡略化し、それが区間にあることを示せ。

解答 入試問題としては計算するだけですが、4次方程式の一般的解法をネタとした興味深いテーマの問題です。なお高次方程式を参照してください。
また、問題文中の区間は、の範囲、という意味です。


(1)
とおきます。

よって、方程式()は区間に解をもちます。

(2)
ここで、とおくと、問題文中のfを用いて、
 ・・・①
 ・・・②
この中のは、問題文中のghを用いて、


①より、
②より、

(
**)と比較すると、
......[]
()(**)を比較すると、
......[]

(3)
定数項のの約数を代入していくと、を代入したときに、
となるので(因数定理を参照)

3つの解pqrは、2 ......[]

(4) は、問題文中の等式にあてはめると、
これをみたすabは、35
これより、
 (複号同順)
よって、を考慮して、


より、
となります。

追記.本問に合わせたのか、3次方程式を解こうという問題も出ています。
首都大
'08年後期[1]

以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数xyzに対して次の等式が成り立つような実数の組1組求めよ。
ただし、iは虚数単位とする。
(2) を満たす整数の組1組求めよ。
(3) 3次方程式の解をすべて求めよ。

解答 (1) 因数分解の公式:
を記憶していれば、これを使えばよいのですが、記憶していなければ、が出てくるように、を考えます。



中カッコ内について、
とおいてxについて解くと(2次方程式を参照)

つまり、 (複号同順)
ということは、
よって、 ......[]

(2)
 ・・・①
は整数なので、91の約数です。
の中から①をみたすものを探すと、
より、yzは、
2解で、 ......[]

(3) (1)において、とすると、
より、
......[]

3次方程式の一般的解法については、カルダノの解法が知られていて、'94年日本医科大[1]で出題されています。3次方程式、4次方程式の一般解に興味を持たれた方は、「代数学講義・改訂新版」高木貞治著(共立出版)の第6章を参考にしてください。実は、この本と高木貞治さんの「初等整数論講義」は入試問題のネタとしてよく使われていて、時間に余裕のある方は一読の価値があります。


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  1. 2008/11/08(土) 13:00:51|
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一橋大数学'07年前期[5]

一橋大数学'07年前期[5]

1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、・・・、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をabcとするとき、得点Xを次の規則(i)(ii)に従って定める。
(i) abcがすべて異なるとき、Xabcのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) abcのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたす
kに対して、となる確率をとする。
(1) nkで表せ。
(2) が最大となるknで表せ。

解答 難しくはないのでケアレスに充分に注意したい問題です。試験会場で時間的な余裕があれば、くらいで、のときの確率を確認しておきたいところです。

(1) となるのは、
3回のうちのどの回かにkを引き(確率)
(i) 残る2回のどちらもkを引く(確率)
あるいは、
(ii) 残る2回のどちらか1回でkを引き(確率)、他の1回ではk以外のどれかのカードを引く(確率)
あるいは、
(iii) 残る2回のどちらか1回でkよりも小さいカードを引き(確率)、他の1回ではkよりも大きなカードを引く(確率)
場合です。
(ii)では、3回のうちどの回にk以外のカードを引くかが3通りあり、(iii)では、kよりも小さいカードと、kと、kよりも大きいカードをそれぞれ3回のうちどの回に引くかが通りあります。
よって、求める確率は、

......[]

(2) (1)の結果を平方完成すると、

2次関数の最大最小の形になりますが、kは整数値しかとらないので注意が必要です。
が整数、つまり、nが奇数のときには、のときに最大です。
が整数にならないとき、つまり、nが偶数のときには、に近い整数は、になるので、とを比較することになります。
より、
よって、のときに最大です。
を最大とするkは、 ......[]


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  1. 2008/11/07(金) 09:12:38|
  2. 一橋大数学
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北大理系数学'07年前期[5]

北大理系数学'07年前期[5]

楕円と双曲線を考える。の焦点が一致しているならば、の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ。

解答 2次曲線に関する証明問題を見ておきます。2次曲線に関する問題の項目にもいろいろな例を挙げていますので参照してください。

楕円の焦点は、のときはx軸上ののときはy軸上のにあります。
双曲線の焦点はx軸上のにあります。
の焦点が一致するということは、焦点は
x軸上にあって、であり、
 ・・・①
が成り立つ、ということです。
また、の交点をとすると、交点は、上の点でも上の点でもあるので、

 ・・・②
 ・・・③
が成り立ちます。
ここで、だとすると、②,③より、となりますが、このとき、①より、,即ち、となってしまうので、
における楕円の接線は、

であって、その傾きは、のとき、です。
における双曲線の接線は、

であって、その傾きは、のとき、です。
題意を示すためには、両接線の傾きの積:になってくれればよい
(2直線の平行・垂直を参照)わけです。
②,③より、



①より、


よって、の交点でそれぞれの接線は直交します。

追記.上記では、楕円の接線の公式を用いましたが、香川大医
'07[3]にこの公式を導く問題が出題されています。

曲線C ()上の点Pにおけるこの曲線の接線をlとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 直線lの方程式はとなることを示せ。
(2) Pが曲線Cの第1象限の部分を動くとする。直線lx軸,y軸の交点をそれぞれQRとするとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。

解答(1) Pが曲線C上の点であることから、
 ・・・①
Cの方程式の両辺を陰関数の微分法によりxで微分すると、
のときには、
のとき、点における接線の傾きは、

接線の方程式は、

 ( )
をかけて、
 ・・・②
のとき、点Pにおける曲線Cの接線は、
①より、これも②に含まれます。
よって、直線
lの方程式は、

(2) 曲線C上の点Pは、

媒介変数表示されます。点Pが第1象限の点のときにはです。接線lの方程式は、

となります。
として
x軸との交点Qx座標は、
として
y軸との交点Ry座標は、
線分
QRの長さの2乗は、
不等号の等号は、においては、のときに成り立ちます。
よって、線分
QRの長さの最小値は、 ......[]


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首都大物理'08年[3]

首都大物理'08[3]

5のように、圧力の大気中に置かれた円筒容器とピストンを考える。容器の上面には穴が開いている。ピストンの下に閉じ込められた気体を気体Aと呼ぶ。気体Aはヒーターより加熱することができる。容器は鉛直に置かれ、ピストンは鉛直方向になめらかに動くものとする。また、すべての気体は単原子分子からなる理想気体として扱うものとし、熱の移動はヒーターと気体Aとの間でのみ発生するものとする。容器の底面積をS,ピストンの質量をM,重力加速度の大きさをg,気体定数をRとして、以下の問いに答えよ。なお、単原子分子からなる理想気体の定圧モル比熱は1モルあたりの内部エネルギーはで与えられる。
1 ピストンが静止した状態における気体Aの圧力を求めよ。
2 ヒーターで気体Aを加熱して熱量を与えたところ、ピストンが移動し、加熱終了後にピストンは再び停止した。気体Aがした仕事を求めよ。
次に図6のように容器の上面の穴に圧力調整弁を取り付けた。圧力調整弁は、弁の両側の圧力差がを越えた場合に高圧側から定圧側に気体が流れる仕組みになっている。取り付けた直後は、弁の両側に圧力差がなかったため、弁は自動的に閉鎖状態になり、ピストン上部に大気が閉じ込められた。この気体を気体Bと呼び、その圧力は大気圧と同じであった。また、このとき気体ABは、どちらも体積はで温度はであった。ここで気体Aをヒーターで再び加熱して一定の熱量を与えたところ、ピストンが移動し、加熱終了後にピストンは静止した。その結果、気体Bの圧力は,体積はになった。この過程で圧力調整弁が開放状態になることはなかった。
3 圧力調整弁を取り付けた後の過程における気体A及び気体Bの内部エネルギーの増加分をそれぞれ求めよ。
4 圧力調整弁を取り付けた後の過程でヒーターから気体Aに与えられた熱量を、ピストンの位置エネルギーの変化に注意して求めよ。
さらに気体Aをヒーターで加熱したところ、加熱の途中で圧力調整弁が開き、気体Bが大気中に放出され始めた。放出が始まったときの気体Bの体積はであった。
5 気体Bの放出が始まったときの気体Aの温度を求めよ。
6 気体Bの放出が始まってから加熱を終えるまでの間に、気体Aには熱量が与えられた。加熱終了後、ピストンは容器の上側に到達することなく静止した。このときの気体Bの体積を求めよ。

解答 文字数が多く、混乱しやすい問題です。

1 求める気体の圧力とします。ピストンにかかるは、大気が及ぼす下向きの,下向きの重力,気体Aが及ぼす上向きのです。ピストンにかかる力のつり合いより、
......[] ・・・①

2 加熱している間、ピストンにかかる力のつり合いに変化はなく、気体A圧力は一定です。つまり、気体Aの変化は定圧変化です。気体Aのモル数を,この間の気体A温度変化として、定圧モル比熱の式より、
気体A内部エネルギーの変化は、
......[]

3 圧力調整弁を取り付けた後の過程において、気体A圧力として、ピストンにかかる力のつり合いより、
 ・・・②
気体
Aと気体Bを合わせた体積は、加熱前で考えてです。加熱後、気体B体積になるので、気体A体積になります。
気体
Aの加熱前の状態方程式 ・・・③
気体
Aの加熱後の状態方程式 ・・・④
気体
A内部エネルギーの増加分は、④-③に、①,②を代入して、
......[]
気体Bの加熱前の状態方程式 ・・・⑤
気体
Bの加熱後の状態方程式 ・・・⑥
気体
B内部エネルギーの増加分は、⑥-⑤より、
......[]

4 ヒーターから気体Aに与えられた熱量を求めるためには、熱力学第1法則より、問3で求めた気体A内部エネルギーの変化の他に、気体Aがした仕事を求める必要があります。この過程で気体Aがする変化は、定圧変化でも、定積変化でも、等温変化でも、断熱変化でもありません。バネつきピストンとも違います。気体Aに着目したのでは、気体Aがした仕事が求められないのです。
そこで、気体Bの方を考えてみます。問題文に「熱の移動はヒーターと気体Aとの間でのみ発生する」と書かれているので、気体Bのやりとりを行う相手はなく、気体Bは断熱変化をします。断熱変化では、気体B内部エネルギーの増加分は、気体Bが受けた仕事に等しくなります。気体B仕事をするのは気体Aです。
「ピストンの位置エネルギーの変化に注意して」という問題文のヒントを合わせて考えると、気体
Aがした仕事は、気体Bに対してした仕事(3)と、ピストンの位置エネルギーの増加分の和になります。
ピストンの
高さだけ高くなっているので、位置エネルギーの増加分です。よって、
熱力学第1法則より、求める熱量は、
3の結果を代入し、
......[]

5 気体Bの放出が始まったとき、気体B圧力は、大気との圧力差になるので、です。このときの気体A圧力として、ピストンにかかる力のつり合いより、
 ・・・⑦
このときの気体
A体積は、気体B体積なので、です。気体A絶対温度として、気体A状態方程式は、
 ・・・⑧
⑧÷③より、
①,⑦を代入することにより、

......[]

6 気体B圧力となり気体の放出が始まって以降、気体B圧力は一定になります。ということは、気体A圧力も一定となり、気体Aは定圧変化をします。問2と同様に考えると、気体A定圧変化を吸収するとき、気体Aがした仕事となります。気体Aがピストンに及ぼす圧力は一定値なので、気体Aがした仕事高さの増加分xとして、
気体B体積は、
......[]


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  1. 2008/11/05(水) 18:25:44|
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首都大理系数学'07年前期[3]

首都大理系数学'07年前期[3]

以下の問いに答えよ。
(1) 実数abxyに対して、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 実数を成分とする2次の正方行列Aについて、次の2つの命題()()は同値であることを証明せよ。
() 行列Aは逆行列をもつ
() 条件をみたす実数xyに限る。
(3) 実数abcdをみたすとき、行列
に対して、行列は逆行列をもつことを示せ。

解答 (1)はコーシー・シュワルツの不等式です(不等式の証明を参照)
行列
A逆行列が存在するかどうか、ということを調べるときに、
をみたすBを探す
を示す
の、2通りのアプローチの仕方があります。この問題では、後者で考えます。

(1)


(2) ()()が同値」というのは、()()が相互に必要十分条件になっていて、()()()()がともに成り立つ、ということです。
()()を示します。
が存在するとき、条件の左からをかけて、
より左辺は,右辺はとなり、
よって、に限られます。
()()を、背理法によって示します。
()が成り立つとき、と仮定します。
(i) なら、よりadのどちらかは0です。
なら、条件は、
xは任意の実数でよいことになり、に限られることに反します。
なら、条件は、
は直線上の任意の点でよいことになり、に限られることに反します。
(ii) なら、よりbcのどちらかは0です。
なら、条件は、
yは任意の実数でよいことになり、に限られることに反します。
なら、条件は、
は直線上の任意の点でよいことになり、に限られることに反します。
(iii) のとき、で割って、
(k:実数)とおくと、条件は、
は直線上の任意の点でよいことになり、に限られることに反します。
以上より、とした仮定は誤りであり、,よって、行列Aは逆行列をもちます。
() ()

(3) が逆行列をもつことを示すためには、
が言えればよいわけですが、という条件を合わせて、のような形を作るために、
を考えてみます。


よって、は逆行列をもちます。
別解 上記の解答では、やってみたら偶然うまく行った、という面もありますが、問題の流れに沿って(1)(2)を利用して解答するのであれば、
 ・・・①
をみたすxyがどんな実数かを考えることになります。
①は、
となりますが、ここで(1)の結果を使うと、
 ・・・②
 ・・・③
②+③より、
ここで、なので、であれば、
ということになってしまいます。
従って、なので,つまり、①をみたす
xyに限られることになります。
よって、
(2)より、は逆行列をもちます。


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  1. 2008/11/04(火) 13:24:01|
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一橋大数学'07年前期[4]

一橋大数学'07年前期[4]

aを定数とし、とする。の範囲での最大値が105となるようなaをすべて求めよ。

解答 面倒がらずに丁寧に場合分けしてください。なお、3次関数の最大最小を参照してください。


 (微分・導関数を参照)
とすると、


(i) のとき、増減表は(3次関数の増減を参照)
x

0
2
00
a

(この因数分解は、から順に代入してとなるaを探します。因数定理を参照)
より、で場合わけします。
のとき、となります。
よって、における最大値は、
(この因数分解は、105の約数を4の約数で割った数、,・・・,,・・・を順に代入してとなるものを探します)
() ・・・①
のとき、
このとき、最大値はとなり105でないので不適です。
のとき、
よって、最大値はで、とすると ()となるので不適です。
(ii) のとき、
x
0
2
0
08

最大値は8となり105でないので不適です。
(iii) のとき、
x
0

2
00
a
のとき、
このとき、最大値はで、とすると ()となるので不適です。
のとき、最大値はとなり105でないので不適です。
のとき、
このとき、最大値は、 ()となり不適です。
(iv) のとき、
x
0
2
0
a

最大値は、 () ・・・②
以上ですべての場合を調べました。①,②より、 ......[]


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  1. 2008/11/03(月) 10:50:00|
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新潟大理系数学'08年[2]

新潟大理系数学'08[2]

Aかつをみたす2次正方行列とする。ただし、である。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 実数tに対して、積およびを求めよ。
(2) 行列Aおよびはともに逆行列をもたないことを示せ。
(3) が逆行列をもつためのtに対する必要十分条件を求めよ。また、tがその必要十分条件をみたすとき、逆行列を求めよ。

解答 行列の成分をもちだしてなどとしては大変なことになってしまいます。Aのまま考えていくことが大切です。

(1) より、

......[]

......[]

(2) 行列Aに対し、をみたすBが存在すればBA逆行列です。
 ・・・①
をみたす行列Bが存在すると仮定します。
①両辺に左から
Aをかけると、
 ・・・②
と①より、
よって②より、
となり、に反します。よって、①をみたすBは存在せず、Aに逆行列は存在しません。
 ・・・③
をみたす行列Cが存在すると仮定します。
③両辺に左から
Aをかけると、
 ・・・④
より、④の左辺は零行列ですが、するととなり、に反します。よって、③をみたすCは存在せず、に逆行列は存在しません。

(3) または のときは、(2)より、は逆行列をもちません。
かつ のときは、(1)の結果をで割って、
より、は逆行列をもちます。
よって、が逆行列をもつための
必要十分条件は、
かつ ......[]
かつ のとき、
......[]

追記.来年度の入試を見据えて、この問題をもう少し一般的に考えてみます。
xの多項式を多項式で割る計算は、数の割り算と同様にして実行できます(多項式の除算を参照)
しかし、行列の多項式を多項式で割ることはできません。行列には除算がないからです。そこでで割る代わりに
(存在すればですが)をかけることを考えます。
そのためには、行列の多項式が与えられたときに、どうやって逆行列を求めるかが問題になります。

A2次の正方行列である場合(ではない,つまり、の形ではないとします)には、ハミルトン・ケーリーの定理
 ・・・①
が成立します。従って、行列A2次式であって、であるものが必ず存在します。で割ることができないので、代わりに、で割って商が,余りがになるとします。
です。ここに、2次式なので、余り1次式であり、pqを実数として、
と書くことができます。行列は、かけ算ならできるので、xAに入れ替えた式:
が成立します。なので、
なり、が次数の大きな多項式であっても、A1次式で表すことができます(これが、「次数下げ」と呼ばれる技巧です)。すると、を求めるということは、
 () ・・・②
を求めることに帰着します。
のときは、であっては存在せず、のときは、であってです。
②で、としたものが本問です。
①を利用して、,つまり、

と書けていたとします。②でとおいて、本問(1)と同様にして、

これがEの定数倍の形になるとよいのですが、そのためには、より、,つまり、
が必要です。このとき、
t2次方程式(行列A固有方程式)
 ・・・③
が実数解をもたない、即ち、判別式:
であれば、t がどんな実数であってもが存在しますが、
の場合には、t が③の解以外の値をとるときにが存在します。
が存在するときには、

 ・・・④
となります。
例えば、 ・・・⑤ が成り立つときに、

 ・・・⑥
をみたすXを求めたいとします。
と⑤より、
④で、 ()として、
⑥の両辺に、
 ( )
をかけて、
となります。


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  1. 2008/11/02(日) 14:23:34|
  2. '08年入試(数学)
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長崎大物理'08年[3]

長崎大物理'08[3]

次の文章の  に適当な語句または数式を入れよ。
電車の軌道が東西方向に、道路が南北方向にそれぞれ直線的に配置され、交差している。軌道と道路が交差する踏切を原点
Oとし、東西方向にx軸、南北方向にy軸をとる。電車は振動数の警笛を鳴らしながら、西から東の方向へ一定の速度で走行している。いま、電車が原点から東へ ()の位置Qにさしかかっている。ただし、音速はとする。
電車が位置
Qを通過するとき、踏切の位置にいる観測者Aに聞こえる警笛音の振動数は あ であり、とは異なっている。この現象を い という。
電車が位置
Qを通過したあとに、踏切から南への位置Pにいる観測者Bに聞こえる警笛音の振動数は次の手順で求められる。
位置
Qで発した警笛音が位置Pに到達するのに要する時間は う であり、その間に電車は位置まで進み、その移動距離 え である。また、その間に発した警笛音の波の個数は お 個である。位置Pにいる観測者Bに聞こえる警笛音は間に お 個の波が入った音であり、その波長は か となる。したがって、観測者Bに聞こえる警笛音の振動数は き となる。

解答 近似について何の指示もない空所補充問題なので、試験会場では悩むだろうと思います。私なら、試験監督を呼んで、「この問題には近似についての指示はないのでしょうか」と確認しますが、内向的な受験生では損をさせられるかも知れません。

() 観測者は静止していて音源が速さVで遠ざかるので、ドップラー効果の公式より、観測者Aが聞く警笛音の振動数は、
 (遠ざかるので低い音になり、です)
......[
]
() ドップラー効果
() 右図より音波が伝わる経路の長さは、
音速cで伝わるので、位置Qで発した警笛音が位置Pに到達するのに要する時間は、

......[]
() 時間の間の電車の移動距離は、

......[]
() 間に存在する波の個数は、時間の間に電車が発した警笛音の波の個数です。振動数秒間、波を発するので、波の個数は(波動現象を参照)

......[]
() 観測者Bが聞く警笛音の波長は、距離を波の個数で割ったものです。

 ・・・①
近似をしないのであれば、これを解答にすればよいのですが、音速c程度,電車の速さVは時速程度としてなので、は微小量と考えて良さそうです(リニア・モーターの新幹線電車になると微小と言えなくなってきますが)を無視すると電車が止まっているとして考えるのと同じことになってしまうので、は残し、を無視することにします。

......[]
注意.さらに、hを微小量として、という近似を行うと、
 ・・・②
ということになります。
() 観測者Bが聞く警笛音の振動数は、波の公式より、

......[]
注意.()で②まで近似していれば、
 ・・・③
ということになります。③は、とすると、より、
となり、電車の速度の音波の伝わる方向の成分がなので、ドップラー効果の公式そのままになります(音がPQと伝わる間の電車の移動を無視していることに相当します)
ドップラー効果を原理から考えている問題趣旨として、出題意図は、公式そのものを答えさせたいのではないだろうと考え、上記では、これを解答としませんでした。
何を正解にしているか、どう採点しているか、わかりませんが、こういう不明確な出題をするのであれば、空所補充形式にせずに記述式の出題にするべきだと私は思います。
そもそも、
()を微小量として②まで近似するのであれば、()は、
とするべき(これでは音源静止で観測者が遠ざかる場合と同じになってしまいます)だ、ということになり、()()でつじつまが合わないことになります。
①の段階で
マクローリン展開を用いて近似するのであれば(高校物理では、こんなことまで考える必要はありません) (ABは定数) として、

マクローリン展開: より、
この問題では、この式のxABを、1と入れ替えて、微小量2乗以上の項を無視すると、
となり、②の形になります(つまり、正規の近似では、②においては無視されていない)


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  1. 2008/11/01(土) 13:57:52|
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