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阪大理系数学'07年前期[2]

阪大理系数学'07年前期[2]

次の問いに答えよ。
(1) xが正の数のときを示せ。
(2) pqrを満たす正の数のときを示せ。
(3) abcが相異なる正の数でを満たすとき
を示せ。

解答 誘導通りにやって行けばできますが、全く別のアプローチでも解答可能なので下記の「追記」で紹介します。

(1) 絶対値がついたままではやりにくいので、絶対値記号内の正負で分けて考えることにします。
となるのは、のときです。
となるのも、のときです。
そこで、のときとのときとで分けて調べることにします。
とおきます。
(i) のとき、

 (微分の公式を参照)
よって、は減少関数で、 (関数の増減を参照)
 ・・・①
(ii) のとき、

よって、は増加関数で、
 ・・・②
①,②より、xが正の数のときとなります。

(2) 技巧を使うまでもないと思います。
が出てくるので、の両辺を2乗して、
 ・・・③
より、 ・・・④
より、 ・・・⑤
より、 ・・・⑥
④+⑤+⑥より、
この右辺を③を用いて書き換えると、

注.上記では、相加平均、相乗平均の関係(不等式の証明を参照)を使うことを避けたので、pqrの中に負数があっても、与不等式は成立します。

(3) abcは相異なるので、として一般性を失いません(他の場合でも、3数の中の最小のものをa,最大のものをc,残りをbと入れ替えて考えればOK)
(1)で示した不等式において、とすると、より、
両辺に ()をかけると、
 ・・・⑦
同様にして、(1)の不等式で ()とすることにより、
 ・・・⑧
(1)の不等式で、とすると、より、に注意して、
両辺に ()をかけると、
左辺を、として、
 ・・・⑨
⑦+⑧+⑨より、
 ・・・⑩
この右辺を調べるために、(2)と同様、の両辺を2乗します。
(2)の結果より、のとき、ですが、

⑩より、

追記.(1)の不等式に絶対値記号がついているので、(3)の答案では、と仮定せずに、「(1)において、として、⑦,⑧,⑨が言える」とだけ書いておくのが賢明でしょう。

この問題のように文字が複数個出てくるのような形の不等式の証明問題で有効な技巧として、
関数の凹凸に着目する、というものがあります。軽快でいて強力なので身につけておきたい技巧です。微分法の不等式への応用(2)も、3個以上の文字に関する相加平均・相乗平均の関係など、重要な例を紹介しているのでぜひ参照してください。

この問題の
(2)でも関数の凹凸を利用した証明が考えられます。曲線は、で下に凸、曲線上のどの点で接線を考えても、曲線は接線から上に来ます。
()として、における接線は、
曲線上の点は接線から上に来るので、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①+②+③より、
となります。

この問題の
(3)は、(1)が強力なヒントになっているので(1)を利用して答えればよいのですが、仮に(3)がいきなり出てきたような場合、関数の凹凸を利用することができます。
 ・・・④ (積の微分法を参照)
における接線は、のときより、 ・・・⑤
 (商の微分法を参照)
においてより、曲線は接線から上に来ます。
においてより、曲線は接線から下に来ます。
として、曲線上の点より接線⑤より下に来るので、

両辺に ()をかけて、
 ・・・⑥
曲線上の点より接線⑤より下に来るので、
両辺に ()をかけて、
 ・・・⑦
曲線上の点より接線⑤より上に来るので、
両辺に ()をかけて(不等号の向きが変わります)
 ・・・⑧
⑥+⑦+⑧より、
あとは上記の解答と同じく、よりを導き、
となります。


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  1. 2008/10/31(金) 10:55:41|
  2. '08年入試(数学)
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一橋大数学'07年前期[3]

一橋大数学'07年前期[3]

放物線 ()Cとする。C上に異なる2PQをとり、そのx座標をそれぞれpq ()とする。
(1) 線分OQCで囲まれた部分の面積が、△OPQの面積の倍であるとき、pqの関係を求めよ。ただし、Oは原点を表す。
(2) Qを固定してPを動かす。△OPQの面積が最大となるときのpqで表せ。また、そのときの△OPQの面積と、線分OQCで囲まれた部分の面積との比を求めよ。

解答 定積分の公式が使える問題です(‘05年前期[4]でも出題されています)。もっとも、この問題では、
としても労力はほとんど変わらない、というか、公式を使ってaをかけるのを忘れるくらいなら素直に計算した方が良いくらいですが。

(1) 放物線C ・・・①
C上の点PQの座標は、です。
OPQの面積は、
直線OQは、傾きで原点を通る直線なので、
 ・・・②
①,②は、原点Oと点Qで交わり、において、②が①の上に来るので、線分OQCで囲まれた部分の面積は、
 (定積分の公式を参照)
より、
で割って整理すると、
または ......[]

(2)
これは、 ......[] のときに最大で、
そのとき、
34 ......[]

追記.公式:が鮮やかに使える問題を紹介しておきます。
東京海洋大
'07[4]
(1) 座標平面上の2つの放物線の共有点すべて通る円の方程式を求めよ。
(2) 連立不等式の表す領域の面積を求めよ。

解答 2曲線が共有点Pをもつとすると、Pは、両曲線上の点なので、です。
ABを定数として、
として得られる曲線について、
となるので、Pは曲線上の点です。 ・・・()

(1) ABを定数として、
 ・・・①
という曲線は、()より、2放物線の共有点をすべて通ります。①を整理すると、
となりますが、これが円を表すために、が必要です。このとき、
①が何らかの曲線を表すためには,よってAで割ると、
......[]

(2) 面積を求める領域は、右図で赤線に囲まれた部分になります。
 ・・・②
 ・・・③
として、②,③を連立すると、という解があることはすぐにわかります。②,③の交点は4個ありますが、1つは原点Oです。他の交点を右図のように、PQRとし、それぞれのx座標をpqrとします。
放物線②の軸より右の部分と放物線③の軸より下の部分の交点が
P
放物線②の軸より右の部分と放物線③の軸より上の部分の交点が
Q
放物線②の軸より左の部分と放物線③の軸より上の部分の交点が
R
放物線②の軸より左の部分と放物線③の軸より下の部分の交点が
Oです。
②の
xyを逆にすると③式になるので、②と③は、直線に関して対称です。
よって、求める面積
S,つまり右図で赤線に囲まれた部分の面積は、
線分OQと放物線③の弧OPと放物線②の弧PQで囲まれた部分の面積2倍したもの
になります。
は、線分
OQと放物線②の弧OQで囲まれる部分(右図クリーム色部分)の面積から、放物線③の弧OPと放物線②の弧OPで囲まれる部分の面積を引いたものです。
は、線分
OPと放物線②の弧OPで囲まれる部分(右図青線が囲む部分)の面積から、線分OPと放物線③の弧OPで囲まれる部分(右図黄緑色部分)の面積を引いたものです。
②と③が直線に関して対称なことから、は、線分
ORと放物線②の弧ORで囲まれる部分の面積に等しくなります。
②:の係数は
1なので、定積分の公式を用いると、
の領域は、にあり、
の領域は、にあり、
の領域は、にあり、
よって、


 ・・・④
②+③より、
または
のとき、②より、
または
よって、です。
のとき、②より、
この2解がprですが、2次方程式の解と係数の関係より、
④より、
......[]

なお、早大教育'93年にも、同様の出題があります。

xy平面において、領域AAによって定める。領域Aを直線に関して対称に移した領域をBとするとき、領域の面積を求めよ。


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  1. 2008/10/30(木) 14:25:58|
  2. 一橋大数学
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名工大数学'08年[2]

名工大数学'08[2]

曲線 ()上の点P ()における接線をlとし、l上の点でそのx座標がとなる点をQとおく。原点をOとして次の問いに答えよ。
(1) のなす角をq とするとき、tを用いて表せ。
(2) のとき、q が最大となるtを求めよ。
(3) とする。すべてのt ()についてが直交し、となるを求めよ。

解答 (3)微分方程式の問題ですが、この程度なら「微分方程式」と言えるほどのものではなく、充分に高校の現行学習指導要領範囲内です。

(1)
l
lの式においてとして、



 ・・・①

......[]
q は、として考えることにします。

(2) のとき、


これらを(1)の結果に代入して、
これをとおくと、
 (商の微分法を参照)

とすると、
t

1

0




増減表より、において、のときに、は最小(関数の増減を参照)で、とすると、このときにq最大となります(q が増大するとき、が減少することに注意)
qが最大となるtは、 ......[]

(3) が直交することから、 (内積を参照)
①より、
より(合成関数の微分法を参照)
両辺をtで積分すると、
 (C:積分定数)
より±は+の方をとり、
txに書き換えて、
......[]

追記.この問題と同様の発想をする問題に、'96年慶大理工[B1]

座標平面上を運動するPがあって、時刻tにおける座標がtの微分可能な関数によってPで与えられている。同じ座標平面上を運動するもうひとつの点Qがあって、時刻tにおける座標がQで与えられている。ここでabは定数でである。さらに、ベクトルはつねに直交しているものとする。ただし、Oは原点を表す。このとき次の問いに答えよ。
(1) ベクトルの大きさは一定であることを示せ。
(以下省略)

があります。
より、 となりますが、
名工大の問題と同様に、より
(合成関数の微分法を参照)
tで積分して、
 (C:一定)
となります。

次のような問題も、微分方程式の問題とも言えますが、現行範囲内で充分に解答可能です。


y軸との交点がである曲線上の点における接線の傾きがのとき、はどんな関数か。つねにとする。

解答 
両辺をxで積分すると、
 (不定積分の公式を参照)
 (C:積分定数)
()

より、
......[]


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  1. 2008/10/29(水) 10:24:10|
  2. '08年入試(数学)
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早大教育物理'08年[1]

早大教育物理'08[1]

銀河系には、原子時計並の高い精度の周期で電波のパルスを放射しているパルサーと呼ばれる天体が存在する。その信号を地球で観測すると、地球の公転周期のためにパルスの到達する時間がずれ、その変化から以下のように太陽の質量を求めることができる。
(A) ケプラーの第3法則と太陽の質量
1 地球は太陽を中心に円運動しているとし、その半径を,公転周期をとする。太陽が地球に及ぼす重力は地球が受ける向心力に等しい。,および重力定数(万有引力定数)Gを用いて太陽の質量を表せ。
この式をの関係式とみなすと、ケプラーの第3法則になっている。以下に示すように、長期にわたってパルスを記録するとが求まり、太陽の質量が決定される。
(B) 到達時間の遅れ
簡単のためパルサーが地球の軌道面上にある場合を考える。パルサーの位置を
A,太陽の位置をS,地球の位置はEとし、各天体間の距離を図1-1のように、とする。パルサーと太陽を結ぶ直線を基準として太陽に対する地球の公転運動の回転角を、図1-1のようにq [ラジアン]と定める。
2 天体の位置関係が図1-1のようなときに、地球とパルサーの距離EAq で表せ。
ヒント:余弦定理
3 に比べてが十分に小さく、1と比べては無視できないがはゼロとみなせる近似のもとに考える。地球Eで観測される特定のパルスの到達時刻は、太陽Sで観測される同じパルスの到達時刻を基準にすると遅れる。ただし、cは光速である。t は正負どちらの値もとり得る。t cq で表せ。
ヒント:p1に比べ十分に小さいときqが実数であっても、の近似が成立する。
4 t を時間tの関数として表そう。まず、ラジアンとなる時刻を時間の原点にとり、q tで表せ。この結果と問3をもとに、t ctで表せ。
5 縦軸をt にとり、横軸をtにとったグラフの概形をの範囲でかけ。縦軸には最大値と最小値を表す式を入れよ。
6 の間で、地球に到達するパルスの時刻が太陽に到達する時刻に比べて最も早くなる(t が最小となる)のは、tがいくらといくらのときか。すべて書き出せ。
7 t の季節変動を測定できれば、問5の理論曲線との比較により、が精確に求まり、太陽の質量が問1より決まる。太陽の質量を1桁の精度で計算せよ。単位系はMKSでもcgsでもよいが、単位を書くこと。以下の数値を用いてよい。
測定から得られる値の近似値:  
物理定数:重力定数
(万有引力定数) 
     光速 
8 地球で観測されるパルスとパルスの間隔は季節によって異なる。観測されるパルスの間隔が一番長くなるtを、の範囲において求めよ。

解答 恒星は、その寿命を全うする最後の時に急速に収縮して超新星爆発を起こします。恒星がその規模についてある条件をみたすと、超新星爆発を起こした後に、原子核がつぶれて陽子が電子を飲み込んで中性子となり、中性子ばかりとなった高密度な天体が残ります。この天体を中性子星と言いますが、高速で自転していると考えられていて、この高速な回転により、正確な周期の電波を放射します。これがパルサーです。
このパルサーからやってくる電波が到着する時刻の変化を測定することによって、太陽の質量を求めてみようという問題です。
実際には太陽表面に観測器を置くわけにはいかないので、惑星探査機と地球とで比べるのでしょうか?


1 太陽の質量M,地球の質量mとします。地球の公転運動の角速度は、で与えられます。
太陽が地球に及ぼす重力(万有引力),地球の円運動向心力より、
......[]
この式は、地球の公転半径3乗は公転周期2乗に比例する、というケプラーの第3法則を意味しています。
2 余弦定理より、
......[]
3 を微小量とするので、問2EAの式の根号内をでくくっての形をひねり出します。
問題文中で指示されているように、は無視せず、を無視し、の近似を行うと、
......[]
4  ......[]
......[]
5 の範囲は2周期分です。最大値は,最小値はです。右図に実線で示します。
6 最も早くなる、というのは、太陽よりも地球に早くパルス波がとどく、ということなので、問4t が最小の時刻として、 ......[]
7 
......[]
8 ドップラー効果により、地球がパルサーに対して最も高速に遠ざかるときにパルス間隔が最も長くなります。パルサーは充分遠方にあって、パルサーから来る電波は太陽系にとどくときにはSAに平行にとどくと考えられます。従って、パルス間隔が最も長くなるのは、地球の速度が、SAに平行でパルサーから遠ざかる方向を向くときで、,つまり、 ......[] のときです。


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  1. 2008/10/28(火) 12:28:19|
  2. '08年入試(物理)
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電通大数学'07年後期[3]

電通大数学'07年後期[3]

関数について、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) の極値を求めよ。
(3) 曲線とこの曲線上の点Pにおける接線とが点Pのほかに共有点をもたないとする。このようなaの値をすべて求めよ。
(一部省略)

解答 もとの問題の一部を削除しました。もとの問題には、計算で(3)を解決するための誘導がついているのですが、ここでは、一般的に対応できるように、計算によらない考え方を試みます。

(1)  (商の微分法を参照)
......[]

......[]

(2) とすると、
 (複号同順)
x


00

増減表より、において極小値:において極大値: ......[] (関数の増減を参照)

(3) とすると、
の増減表は以下のようになります。
x


1
000

ここで、です。
以後、の解を
()の解を ()とおきます。です。
また、です。 ・・・①
の解はにおいてにおいて ・・・②
さて、題意より、
と、点Pにおける接線
を連立し、
 (左辺をとおきます) ・・・③
とすると、この方程式()は、 (これが解であることは明らかです)以外の解をもちません。
のグラフを調べてみます。

よって、と同様に以下の増減表のように変化します。
x



000

ここで、なので、は、において最小値をとり、において最大値をとります。
これより、
(i) のとき、最小値より、であり、は増加関数です。従って、,即ち③は、以外の解をもちません。
(ii) のとき、最大値より、であり、は減少関数です。従って、,即ち③は、以外の解をもちません。
(iii) のとき、の増減表より、より、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表は以下のようになります。
xa
d
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(iv) のとき、の増減表より、より、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表(においてもは正になったり負になったりする可能性があります)は以下のようになります。
xd
a
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(v) のとき、ですが、においてよりは減少関数で、ですがこの前後での符号は正から負に変わり、の増減表は以下のようになります。
x

a
00

( )と増減表より、方程式,即ち③は、以外の解をもちません。
(vi) のとき、の増減表より、より,従って、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、の増減表は以下のようになります。
x
d
a
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(vii) のとき、の増減表より、より,従って、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、の増減表は以下のようになります。
x
a
d
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(viii) のとき、ですが、においてよりは増加関数で、ですがこの前後での符号は負から正に変わり、の増減表は以下のようになります。
x
a

00

( )と増減表より、方程式,即ち③は、以外の解をもちません。
(ix) のとき、の増減表より、より、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表は以下のようになります。
x
d
a
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(x) のとき、より
また、②とより、において、
における増減表は、以下のようになります。

x
a
0


以上より、方程式,即ち③は、以外の解をもちません。
(xi) のとき、の増減表より、よりとなるので、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表(においてもは正になったり負になったりします)は以下のようになります。
x
a
d
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
以上ですべての場合を調べましたが、求めるaの値は、,つまり、
1 ......[]


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  1. 2008/10/27(月) 22:36:00|
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一橋大数学'07年数学[2]

一橋大数学'07年前期[2]

数列


と順に定める。放物線とする。
(1) x軸と2点で交わることを示せ。
(2) x軸との交点をとする。を求めよ。

解答(1) 放物線x軸と2点で交わる、ということは、2次方程式: ・・・① が相異なる2実数解をもつ、ということであり、①の判別式ということです(2次方程式の一般論を参照)
そこで、とおいて、数列がどんな数列か調べることにします。



これは、数列が定数値をとる数列だということを意味します。
より、より、x軸と2点で交わります。

(2) x軸との交点の距離は、2次方程式①の2解の差になります。
2次方程式:2解は、判別式を用いて、と書けるので、2解の差は、です(2次方程式の一般論を参照)
2次方程式①については、判別式Dなので、①の2解の差、つまり、は、
となります。
問題文中の
漸化式より、数列は初項2公比4等比数列なので、

よって、
......[]


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  1. 2008/10/26(日) 09:19:45|
  2. 一橋大数学
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東京学芸大数学'08年[4]

東京学芸大数学'08[4]

半径12つの円が図のように異なる2点で交わっている。2つの交点をABとし、弧ABに対する円の中心角の大きさをq ()とする。斜線をつけた図形をDとし、Dの周囲の長さをLDの面積をSとする。を最大にするq がただ1つ存在することを示せ。

解答
短い方の弧ABの長さは(一般角を参照),長い方の弧ABの長さは、円周からq を引いて、,よって、この2つ分は、
 ・・・①
ABと短い方の弧ABで囲まれる部分の面積は、扇形OABから三角形OABの面積を引いて、
 ・・・②
円から②を除いた部分の面積は,よって、この2つ分は、

 (商の微分法を参照)
ここでとしてもq を求めることができそうもありません。
そこで、分子だけを抜き出して、
q によってどのように変化するか調べてみます。分子を、
とおきます。
 (積の微分法を参照)
において、より、で、は単調減少です。q に値を入れての値を計算してみると、
となっているので、においては,また、の範囲にただ1つの解aをもちます。より、について次の増減表が得られます(関数の増減を参照)
q0
a
p

0




増減表より、を最大にするq がただ1つ存在します。

追記.最大最小を調べるために導関数を求めても、導関数がきれいでない、という場合があります。本問では分子を抜き出して調べることにより解決しました。同様の技巧が使える問題に、阪大理
'96後期[2]

に対して、方程式を考える。
(1) この方程式は正の解をただ1つもつことを示せ。
(2) その解をとかくとき、ならばであることを示せ。
(3) を求めよ。

があります。これを考えてみます。
(1) 元の形のままでは厳しいので、両辺を ()で割ります。
とおくと、
とすると、

両辺の対数を考えると、
()
より、以下の増減表が得られます。
x0

0
0

,また、増減表よりとなるので、方程式,つまり、の範囲にただ1つの解をもちます。
(2) ならば'ということは、aの増加関数ということです。
従って、であればであることを示せばよいわけです。
の解なので、
となるのですが、この式から、aの式で表すことはできません。陰関数の微分法によってaの式で表すこともできません。ここで行き詰まります。
そこで見方を変えて、
maの式で表すのではなく、amの式で表すことを考えてみます。
これをaについて解くと、
 ・・・① (より)
両辺の対数を考えて、

これをmで微分すると、
 (商の微分法を参照)
手に負えない形をしているので、学芸大の問題のように、分子を抜き出してとおきます。

 ( )
よってmの減少関数でより、において

よって、 (逆関数の微分法を参照)
のとき、aの増加関数で、ならばとなります。
(3) ①を見るとのとき、となりそうなのですが、は、ならになってしまうかも知れません。ですが、aの増加関数でありなので、のときということはあり得ないはずです。そこで、のときということがないように、aを固定してしまうことを考えます。
(2)よりaの増加関数なので、ある正数をとると、となるaについて

①より
ここで、のとき、
よって、
はさみうちの原理より、
......[]


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  1. 2008/10/25(土) 19:15:06|
  2. '08年入試(数学)
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東北大物理'08年前期[2]

東北大物理'08年前期[2]

充電されたコンデンサーに抵抗やコイルをつないで放電させると、コンデンサーに蓄えられていたエネルギーは、抵抗によって生じる熱やコイルがつくる磁場のエネルギーに変化する。ここでは、コンデンサーA(電気容量),コンデンサーB(電気容量),抵抗(電気抵抗R)、コイル(自己インダクタンスL)、直流電源(電圧)を含む回路を考え、抵抗とコイルの働きを比較する。電源の内部抵抗や、回路の導線およびコイルの電気抵抗は無視できるものとする。また、電磁波の放射は考えなくてよい。このとき、以下の問いに答えよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
1 図1に示す回路を考える。初期状態でスイッチは開いており、コンデンサーABに電荷は蓄えられていなかった。
(a) 時刻においてスイッチを閉じ、コンデンサーAの充電を開始した。抵抗を流れる電流Iの時間変化のおおよその形を、時刻より充電がほぼ完了するまでの範囲でグラフ1に実線で描け。また、時刻での電流の大きさをRを用いて縦軸に記せ。
(b) 1(a)において電気抵抗値がRより大きな抵抗を用いた場合、電流Iの時間変化にはどのような違いが現れるか。電流の時間変化のおおよその形を問1(a)と比較できるようにグラフ1に破線で描け。
(c) 1(a)においてコンデンサーAの充電が完了した後、スイッチを開いてからスイッチを閉じた。その後、十分に時間が経過したときのコンデンサーAの電気量と、コンデンサーBの電気量を、それぞれ、Rの中から必要なものを用いて表せ。
(d) 1(c)では、コンデンサーAは放電し、エネルギーを放出する。そのエネルギーの一部は抵抗でジュール熱に変化し、残りはコンデンサーBに移る。ジュール熱として最終的に失われるエネルギーの大きさを、を用いて表せ。
2 次に、コイルを含む図2に示す回路を考える。初期状態でスイッチは開いており、コンデンサーABには電荷は蓄えられていなかった。
(a) スイッチを閉じてコンデンサーAを充電した後、スイッチを開いた。その後、時刻においてスイッチを閉じたところ、コイルに電流が流れた。その後、電流は時刻で最大値をとり、減少に転じた。電流Iの時間変化を表すグラフとして正しいと考えられるものを、図3()()の中から一つ選び、記号で答えよ。また、時刻における電流Iの値とその時間変化に留意して、理由を記せ。
(b) 時刻において、コンデンサーA,コンデンサーBにかかるそれぞれの電圧であることを考慮して求め、それらをLの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 時刻において、コンデンサーBに蓄えられているエネルギーとコイルに蓄えられているエネルギーを、それぞれ、Lの中から必要なものを用いて表せ。
(d) 時刻以降において電流Iが最初に0になった時刻にスイッチを開いた。このとき、コンデンサーBに蓄えられていた電気量を、Lの中から必要なものを用いて表せ。
(e) この一連の操作で、充電によって蓄えられたコンデンサーAのエネルギーをすべてコンデンサーBに移すために必要なの間の関係式を求めよ。

解答 抵抗とコイルを比較しているのですが、なかなか興味深い問題です。
1の最初は、微分方程式などを解く必要はありません。時間のムダです。「コンデンサーは、スイッチ切り替え直後に導通したのと同様の動作を行い、充分時間経過して充電が完了してしまうと電流を流さない。コイルは、スイッチ切り替え直後に電流を流さず、充分時間経過すると単なる導線として動作する。また、その間は指数関数的な変化を行う。」という基礎事項(コンデンサーの過渡現象コイルの過渡現象を参照)を知っていればよいのです。

1(a) スイッチを閉じた直後は、コンデンサーは導通したのと同様の動作を行います。オームの法則より、時刻における電流です。充電がほぼ完了すると電流0に近づいていきます。その間は指数関数的に変化し、電流I時間変化は右図グラフ1の実線のようになります。
(b) 時刻における電流抵抗Rの場合よりも小さくなります。その後はコンデンサーに流れ込む電流が少ないので、充電完了までの時間がかかるようになります。そのことが明瞭になるように、Rよりも大きな抵抗を用いた場合の電流変化のグラフは、(a)の実線と途中で交わるように描くことにより、右図グラフ1の破線のようになります。
(c) 充分に時間が経過すると、抵抗を流れる電流0となり、抵抗電圧0になります。このとき、コンデンサーABは、両端の電圧が等しくなり並列接続されているのと同様であって、合成容量です。を切り替える前にA電荷を蓄えていたので、AB両端の電圧は、
 ・・・①
よって、ABが蓄えている電気量は、
......[]
(d) を切り替える前はAだけがエネルギーを持っています(コンデンサーの過渡現象を参照)
充分に時間が経過すると、ABエネルギーの和は、①を用いて、

ジュール熱として最終的に失われるエネルギーの大きさは、に等しく、
......[]

2(a) 時刻においては、スイッチ切り替え直後のため、コイルは電流を流さず、です。この時点では、コンデンサーBには電荷が蓄えられていないため、B両端の電圧0です。コンデンサーA両端の電圧,コイル両端の電圧 (自己誘導を参照)なので、
 (Bの上側の極板に正電荷が流れ込む向きを電流正としています)
(,つまり、電流Iは増加)
従って、時刻において、であり、接線の傾きが正であるようなグラフを選びます。
() ......[]
理由:時刻において、コイルの自己誘導のため電流は0で、電流の変化率は正だから。 ......[]
注.LC回路なので、単振動するのだろう、ということで、正弦波の()としてもよいかも知れません。
(b) 時刻において電流が最大値をとる、ということは、ここで、になる、ということです。ということは、時刻において、コイルの電圧であり、コンデンサーAB両端の電圧が等しく、1(c)と全く同じ状況になります。であれば、AB電圧は①のに等しく、
......[] ・・・②
(c) Bに蓄えられているエネルギーは、
......[]
コイルに蓄えられているエネルギーは、問1(c)に等しく、
......[]
(d) 試験会場であれば、単振動と決めつけて、時刻後に最初にとなる時点(時刻とします。時刻から単振動の半周期)での、コイル両端の電圧時刻における電圧の符号を逆にしたものとしておいて、キルヒホッフの第2法則より、
 ・・・③
電荷保存より、
 ・・・④
③,④を連立して、
......[]
としてしまうのが賢明だと思います。
単振動かどうかわからない、という前提に立つのであれば、
時刻におけるエネルギーは、
時刻において、電流0よりコイルのエネルギー0 (自己誘導を参照)であって、ABエネルギーは、,よって③の代わりに、エネルギー保存より、
 ・・・⑤
という式立てて④と連立します。④より、
これを⑤に代入することにより、
分母を払って整理すると、


時刻におけるB電圧なので、時刻における電圧としては、

......[]
となります。
(e) (あるいは④)より、
時刻においてAが蓄えている電荷は、
Aが蓄えているエネルギーは、
コンデンサーAエネルギーをすべてコンデンサーBに移すとになるので、そのために必要なの間の関係式は、
......[]
注.コンデンサーAの「エネルギー」を移すのであって、電荷を移すのではないことに注意してください。の場合、になり得ますが、このとき、逆にAエネルギーになってしまいます。


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  1. 2008/10/24(金) 11:22:03|
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北見工大数学'08年[5]

北見工大数学'08[5]

一般に、直線が関数のグラフの漸近線であるとは、 または であることを言う。とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) の増減を調べ、が極小になるxの値、が極大になるxの値があればそれぞれすべて求めよ。
(2) が下に凸になるxの範囲を求めよ。
(3) に変曲点があればすべて求め、それぞれの点におけるの接線の傾きを求めよ。
(4) の漸近線をすべて求めよ。
(5) のグラフの概形を描け。また、(3)で求めた変曲点があればそれぞれの変曲点における接線を、(4)で求めた漸近線があれば漸近線を、のグラフと同じxy平面上に描け。

解答 漸近線や変曲点は入試ではあまり見かけないテーマですが、この問題でしっかり確認しておいてください。

 (商の微分法を参照)






とすると、
とすると、


(複号同順)
(
複号同順)
(
複号同順)
以上より、増減表は以下のようになります(関数の増減関数の凹凸を参照)
x



0



0000
000
0

(1) の増減は上記増減表の通り。増減表より、のとき極大、のとき極小 ......[]
(2) 増減表より、下に凸の範囲は、 ......[]
(3) 増減表より、変曲点は、 (接線の傾き:) (接線の傾き:5) (接線の傾き) ......[]
(4)
より、漸近線は、 ......[]
(5) 右図で、のグラフが太線、変曲点は赤マル、接線は青線、漸近線は緑線。右図は誇張して描かれていますが、実際には、で、極値の絶対値はほぼ同じ値です。
注.と表せるようなで、 または のときは、
あるいは
より、が漸近線である、としておけばよいでしょう。


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  1. 2008/10/23(木) 11:52:15|
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一橋大数学'07年前期[1]

一橋大数学'07年前期[1]

mを整数とし、とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。
(2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式を解け。

解答 
(1) とおくと、

 (共役複素数を参照)
よって、の解です。
2解とする2次方程式を求めます。2乗すると、

これが、z2解とする2次方程式です。
で割ると割り切れるはずですが、商は,余りについて、
 (因数定理を参照)
よって、
 ・・・①
 ・・・②
②より、60の約数(整数を参照)で、より

これを満たす整数aであって、 (偶数です)60の約数となるものを探します。
のとき、60の約数で、②より
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、②より
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、②より

①より、 ・・・④
のとき、60の約数で、②より
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、②より

①より、 ・・・⑤
のとき、60の約数で、②より
となり不適。
のとき、60の約数で、②より
となり不適。
のとき、60の約数で、②より
となり不適。
・これ以外に60の約数となる場合はありません。
④,⑤より、
......[]

(2) のとき、④より、,方程式は、
......[]
のとき、⑤より、,方程式は、
......[]

[別解] 3次方程式の解と係数の関係を利用することもできます。
以外の解を
cとして、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧
⑥より、
⑦,⑧に代入して、


となり、①,②が出てきます。
以降は、上記と同じようにすればよいのですが、
(2)では、方程式を解かなくても、からすぐに3つめの解が得られます。


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  1. 2008/10/22(水) 14:19:09|
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鳥取大医'08年[4]

鳥取大医数学'08[4]

座標平面上に、直線l ()と放物線Cがある。lCとで囲まれた領域をDとする。ただし、Dは境界を含む。領域Dに含まれ、かつ、xyともに整数である点の個数をで表すとき、次の問いに答えよ。
(1) 領域Dの面積aの式で表せ。
(2) を求めよ。
(3) kが正の整数のとき、kの式で表せ。
(4) 1以上の実数aに対して、を満たす整数kをとるとき、
が成り立つことを示せ。
(5) 前問(1)で求めたに対して、を求めよ。

解答 問題文中のxyがともに整数である点を、ここでは「格子点」と呼ぶことにします。

(1) を連立して、

においてより、領域Dの面積は、
......[] (定積分と面積を参照)

(2)(3) (3)の一般的な場合を考えさせるために(2)があるわけですが、(2)だけで解答するなら、は図を描いて格子点の数を数えてしまうのがよいと思います。をうまく数えようとするとを数えるのと同じことをするので、ここでは、一緒に考えてしまうことにします。
,つまり、直線と放物線に囲まれた領域D()の格子点の数を求めるために、mを整数として、直線 ()上の格子点の数を数えて、について加え合わせることにします。
領域
Dは、直線上では、 ・・・① の部分に存在するので、直線上に存在する格子点の数は、①をみたす整数yの個数になります。も整数なので、その個数は、個です(ではありません!3から7まで整数は個あります)。よって、

よって、(2)は、
......[]
(3)は、
......[]

(4) kを正の整数として、のとき、であれば、
 ・・・②
領域Daの値によって変わるので、
と書くことにすると、のときの領域Dのときの領域Dです。
のそれぞれととの交点は、
kaですが、なので、②と合わせて、
 ・・・③ (集合を参照)
です。正確に言うと、③の左側の包含関係の記号‘⊂'はの場合があり得ますが、右側の‘⊂'ではです。
は、内の格子点の個数なので、③の左側の包含関係から、
 ・・・④
です。
内の格子点の個数なので、③の右側の包含関係から
という不等式ができます((5)はこの不等式を用いて答えることができます)が、が言えないので、与不等式を示すことができません。
上記のように、③の右側の包含関係ではなのですが、②より、直線上のの部分の格子点は、には含まれますがには含まれません。この格子点の数はです。よって、
 ・・・⑤
です。この右辺とを比較します。


⑤より、
 ・・・⑥
④,⑥より、
 ・・・⑦
これで示せました。

(5) (4)で示した不等式⑦の各辺を素直にで割るのでは、ak2文字が出てきて、はさみうちに持ち込みにくいので、文字を1つにするように工夫します。
1以上の実数aに対して、を満たす整数kをとるとき、
これと⑦より、
 ・・・⑧
より、となるので、のときです。
⑧の左辺について、,従ってのとき、
⑧の右辺について、,従ってのとき、
よって、はさみうちの原理より、
......[]

追記.よくある格子点の数を数える問題で、格子点の数と面積が極限において一致する、という結論が出てくるのですが、私は、この宇宙の基本原理はこうしたところにあるだろうと思っています。
この問題では、くらいのうちは、きれいな関係で並んでいるとは言えないのですが、の極限を考えるととなり、微積分学の結果と一致するようになるのです。
(npは正整数)として、 (を通ります)x軸、直線で囲まれる領域内の格子点の数を考えます。
鳥取大の問題と同じようにして、
mをみたす整数だとし、直線上の格子点(の範囲にある)の数を数えると、個あります。について加え合わせると、
ですが、を利用して、

 (連続個の整数の積を順列記号を用いて表しました。途中が打ち消しあって消えます)

同様にを利用して、

各辺にを加えてで割ると、
ここで、とすると、左辺も右辺もとなるので、
となります。4頂点とする正方形の面積ですが、領域の面積は、
となるので、格子点の数は、の極限で、定積分により得られる領域の面積Sに近づくのです。
つまり、微積分学は、格子点が無限に多いときの結果と一致する、ということです。
物理学の基本法則は微積分で表されますが、格子状に並んだ基本粒子の振る舞いを無限に数多くの粒子について寄せ集めると、
運動方程式電磁誘導の法則になるのだろう、と、私は思います。それゆえ、物理学の対象をより微細な方向に進めていくと、光電効果やプランクの量子仮説、ボーアの原子模型のような、1個、2個、・・・、と数えていく格子点的な効果が見えてくるのです。
200810月に、クォークの研究を行った小林誠博士、益川敏英博士とともに、南部陽一郎博士が、カイラル対称性の自発的破れによるクォークの質量獲得の理論の成果によりノーベル物理学賞を受賞しました。2007年に京都大学の研究チームが量子格子の理論を使ってコンピュータ・シミュレーションを行い、南部博士の理論の検証に成功しているそうです。詳しい理論の中身を知りませんが、こうした研究も、この鳥取大学の問題の延長上にあるのかも知れません。
この続きは、このウェブサイトをご覧の読者諸氏にぜひ考えて頂きたいと思います。


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  1. 2008/10/21(火) 19:10:41|
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東工大物理'08年後期[1]

東工大物理'08年後期[1]

大きさを無視できる粒子の、外力の働かない運動を考える。
[A] 図のように、速さの粒子1 (質量m)が、静止している粒子2(質量)に衝突し、一体の粒子3(質量)が生成される。
(a) 衝突による運動エネルギーの減少量U ()を、mAで表せ。
[B] Uが、ある正の一定値Q以上の場合、粒子3は、粒子4(質量m、速さ)と粒子5(質量,速さ)に分裂し、のエネルギーが再び運動エネルギーに加わる。すなわち、分裂後の粒子45の各運動エネルギーと衝突前の粒子1の運動エネルギーとの間には、
の関係式が成り立つ。図のように、粒子1の進行方向に対して、粒子4の進行方向のなす角度をq,粒子5の進行方向のなす角度をf として、以下の問いに答えよ。
(b) の場合、粒子45は同じ速さでの方向に向かう。この場合のを、AQで表せ。
(c) の場合、衝突前の粒子1と分裂後の粒子45の各運動量の間に成り立つ関係式を、図中の記号を用いて表せ。
(d) の場合、粒子4の速さ2次方程式
を満たす。空欄()()を、AmQq の記号を用いてうめよ。
(e) 粒子4の方向に向かう場合を考える。2つの値を持ちうるの範囲を、AQで表せ。
(f) 粒子4の範囲に向かうことのできるの範囲を、AQで表せ。

解答 数学的な考察から得られる結果がどのような物理的意味を持っているか、というところが物理学の醍醐味のはずなのですが、入試問題で出題されると、受験生の悲鳴になってしまうかも知れません。後半は、物理的意味を考える以前に、数学の2次方程式の問題としてもかなり難問です。なお、衝突・合体・分裂の問題を参照してください。

問題文の図の右向きを正方向とします。

[A](a) 衝突後一体となったときの粒子3速度とすると、外力が働いていないので、衝突前後の運動量保存より、

衝突による運動エネルギー減少量Uは、


......[]

[B] 衝突後の粒子4,粒子5速さとします。
(b) 題意より、として考えます。
分裂前後の運動量保存より(衝突前の運動量です)

 ・・・①
よって、問題文中の運動エネルギーの関係式より、
 ・・・②
①より、
これを②に代入して、

......[]
(c) 運動量保存則を表す式を2成分に分けて書きます。
粒子1の運動方向の成分について、
......[] ・・・③
粒子の運動方向に垂直な方向の成分について、
......[] ・・・④
(d) ここは、(c)の運動量保存則の式から何をすればよいか戸惑うかも知れません。
AmQq の記号を用いて」という指定を見ると、f が出てきません。ここに着目します。つまり、f を消去せよ、と、問題文は指示しているのです。
③より、
④より、
この
2式を2乗して加えると、f が消去されて、
 ・・・⑤
問題文中の関係式より、
ここに⑤をAで割ったものを代入します。
をかけて、
 ・・・⑥
よって、
()() ......[]
(e) 「粒子4の方向に向かう場合を考える」という指定がついているので、として、⑥を考えます。⑥は、
 ・・・⑦
となりますが、この
2次方程式は、の範囲に相異なる2実数解をもちます。
その条件
(2次方程式の解の配置を参照)は、なので(粒子1が静止していたのではこの問題は成立しない)、⑦の左辺をとおいて、
“⑦の判別式:”かつ“
です。

 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑧,⑨より、
......[]
(f) のとき、となります。⑥の左辺をとおくと、の軸はの範囲にきます。2次方程式が、の範囲に相異なる2つの解をもつことはあり得ません。ということは、となる解は、存在しても1つしかない、ということです。よって、2次方程式の範囲に少なくとも1つの解をもつ条件は、“”です。

......[]


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  1. 2008/10/20(月) 13:54:01|
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福井大医数学'08年[2]

福井大医数学'08[2]

座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円C上に点Pをとり、PにおけるCの接線lと直線の交点をQとおく。ただし、とする。l上の点Rを満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1) Rの座標をq を用いて表せ。
(2) q の範囲を動くとき、線分PRの長さの最大値とそのときのq の値を求めよ。
(3) q の範囲を動くときのRの軌跡を求め、その概形を描け。

解答 (1)で求めるRの座標の形がよくないので、(3)が少し悩むかも知れません。(2)の結果から軌跡の概形がつかめるので、そこから着想することになります。

(1) 原点Oを中心とする半径1の円C
PにおけるCの接線l ・・・①
①においてとすると、
ではより、
よって、
Qの座標は
Rの座標をとすると、Rは接線l上の点なので、①をみたします。よって、
 ・・・②
より、
 (内積を参照)

 ・・・③
②に代入して、


③より、
よって、Rの座標は ......[]

(2)
 (内積を参照)


とおくと、においては()
とすると、

0





0







増減表より(関数の増減を参照)のとき、最大値: ......[]
[
別解] 円C上の点 ()に対して、とおくと、を通る直線 (傾き:)が円Cの部分とと共有点を有する条件は、 (円と直線の位置関係を参照)。これよりの最大値を求めることができます(右図のような図を描いて考えてください。図からを最大とするq の値:もわかります)

(3) (1)より、Rの座標をとして、
 () ・・・④
となるのですが、よく見る媒介変数表示、というわけではないので、どういう曲線になるのか、これだけでは見当がつきません。
のとき、です。
のとき、です。

Ry座標は、(2)に出てくる2倍になっているので、と同じ変化をします。のとき、()
ここが、Rの軌跡でy座標が最大となるところです。図を描いてみて楕円かも知れないな、と、感じたら、いきなり、 ((2)で調べていますが)を調べるのではなく、を先に考えるべきです。
④第
1式より、
④第
2式より、
より、
分母を払って、


これで軌跡が楕円だとわかります。
④より、のとき、なので、求める
軌跡は、
楕円:の部分
......[]。図示すると右図太線部分(白マルを除く)


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  1. 2008/10/19(日) 08:04:51|
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東大文系数学'08年[4]

東大文系数学'08前期[4]

pを自然数とする。次の関係式で定められる数列を考える。
(1) に対し、次の2つの数がともにで割り切れることを示せ。
(2) p3以上の奇数とする。このとき、で割り切れるが、では割り切れないことを示せ。

解答 連立漸化式の問題に見えますが、整数の問題です。
面倒な計算をどうやりきるか、ということでしょうか。


とおきます。問題文中の関係式:
 ・・・①
(1) 数学的帰納法によって示します。
() のとき、
はともにで割り切れます。
() のとき、がともにで割り切れる、つまり、を整数として、と書ける、と、仮定します。
 ・・・②
 ・・・③
として(の形を作ることが目標です)
 ・・・④
 ・・・⑤
④-②より、
 ・・・⑥
①,③より、
これとより、⑥は、

中カッコ内は整数なので、で割り切れます。
⑤-③より、
 ・・・⑦
①より、
 ・・・⑧
②+③より、
⑧に代入して、
長いのでこの中カッコをとおきます。は連続2整数の積で偶数なのでは整数です。を⑦に代入し、
③より、なので、
カッコ内は整数なので、で割り切れます。
以上より、はともにで割り切れるので、のときも成立します。
()()より、 に対し、 がともにで割り切れることが示されました。

(2) (1)より、 に対し、を整数として、
とおくことができます。
pは奇数なのでは偶数でありは整数です。も整数です。中カッコ内はpの倍数に1を加えたものになっていて、p3以上の奇数のときにはpで割り切れません。
よって、で割り切れるが、では割り切れないことが示されました。


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  1. 2008/10/18(土) 08:14:23|
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佐賀大理工数学'08年[2]

佐賀大理工数学'08[2]

を満たす実数abに対して、行列
とする。次の問いに答えよ。
(1) Pの逆行列を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) 自然数nに対して、とするとき、を求めよ。
(4) は、どのような試行に対する、どのような事象の確率を与えていると考えられるか、例を1つ示せ。

解答 (1)(3)は何の変哲もない頻出タイプの行列の累乗の問題ですが、(4)が注目されると思います。

(1)
に注意して、
......[]

(2)


......[]

(3)
また、(2)の結果より、
よって、
左からP,右からをかけて、




ここでのとき、より、となるので、
......[]

(4) より、



となるので、各回の試行ごとに、状況Aか状況Bのどちらかにおかれ、1回試行を行うと、Aとなる確率がBとなる確率がとなり、n回試行を行った後、状況Aにあれば確率aAの状況に移行し、状況Bにあれば確率bBの状況に移行する、という例を考えればよいわけです。
例えば、サイコロを振るという試行を
n回行って、出た目が3の倍数となる回数を数え、状況Aは、3の倍数が奇数回出るという事象(確率)、状況Bは、3の倍数が偶数回出るという事象(確率)だとすればよいわけです。この例では、
となるので、になっています。
「サイコロを
n回振る」という試行に対して、が「出た目が3の倍数となる回数が奇数回となる」事象の確率を与え、が「出た目が3の倍数となる回数が偶数回となる事象」の確率を与える。 ......[]
ほかにも、いろいろ考えられます。楽しく考えてみてください。


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  1. 2008/10/17(金) 13:31:06|
  2. '08年入試(数学)
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東北大物理'08年後期[3]

東北大物理'08年後期[3]

内径rの球形容器に理想気体が封入してある。気体は質量mの単原子分子N個からなる。簡単のために、気体の各分子は一定の同じ速さで容器内を不規則な方向に飛び回っており、しかも分子同士は互いに衝突することなく、容器内壁と弾性衝突を繰り返しているとする。なお、気体定数をR,アボガドロ数を,ボルツマン定数をkとする。また、重力は無視できる。以下の問いに答えよ。結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
1 変形しない容器の中で、図1のように1個の分子が内壁に、速さ,入射角q で衝突する場合を考える。容器内の気体は絶対温度に保たれている。
(a) 容器の内壁に衝突する前後における、衝突による分子1個の運動量の変化の大きさを、rqmNRの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 分子1個が1秒間あたりに壁と衝突する回数f rqmNRの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 分子1個の各衝突での運動量の変化の大きさを1秒間合計し、この合計値を容器内の全気体分子について総和する。この総和値を、rqmNRの中から必要なものを用いて表せ。
2 問1の状態から、容器内の気体から熱量を奪った場合を考える。
(a) 熱量を奪った後の気体の絶対温度を、rqmNkの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 熱量を奪った後の気体分子1個の運動エネルギーEを、rqmNkの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 熱量を奪った後の気体の圧力を、rqmNkの中から必要なものを用いて表せ。
3 問2で熱量を奪った後、容器を変形可能なものに交換するとともに、外気圧を容器内の圧力と同じに保った。容器内の気体の絶対温度と圧力は、容器の交換後も変化しなかった。その後、容器内の気体に熱量を加えた。熱を加えている間、気体の圧力はに保たれ、容器は一様に膨張した。その結果、気体の絶対温度はとなった。ただし、容器を膨張させるための仕事は無視できるものとする。
(a) 熱量を加えたときに、容器内の気体がした仕事量Wを、Nkの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 気体の絶対温度を、Nkの中から必要なものを用いて表せ。

解答 後半は、あまり見かけない形で、文字数が多いこともあって、少し考え込むかも知れません。なお、気体分子運動論を参照してください。

1(a) 分子1個の壁に垂直な方向の運動量は、衝突前が、衝突後が
運動量の変化は、
運動量の変化の大きさは、
......[]
(b) 右図のように、壁に衝突して次に壁と衝突するまでに、分子は進みます。速さなので、この間の時間1秒間に気体分子1個が壁と衝突する回数は、
......[]
(c) 分子1個の1秒間の運動量の変化の大きさは、1回当たりの値((a)で求めた)と回数((b)で求めた)をかけて、
分子N個の運動量の変化の大きさの総和は、さらに個数をかけて、
......[]
この運動量の変化の大きさの総和が、壁が1秒間に受ける力積、つまり、壁が受けるになります。従って、気体の受ける圧力Pは、壁が受けるを壁の面積で割って、
容器の体積Vとして(です)より、
 ・・・①
気体のモル数は,気体定数
Rについてより、気体の状態方程式は、
 ・・・②
①,②より、
 ・・・③

2(a) 熱量を奪う間、容器の体積は変化しないので、気体は定積変化をして外部に仕事をしません。従って、熱力学第一法則より、熱量が奪われるとそのまま内部エネルギーが減少します。
単原子分子気体なので、気体の温度変化のときの内部エネルギーの変化は、となります。よって、
 ・・・④
......[]
(b) 絶対温度のときの気体分子の速さとして、③より、分子1個の運動エネルギーは、
......[]
(c) ②においてとして、
 ・・・⑤
より、

......[]

3(a) 熱量を加えた後の体積とします。
②において、として、
 ・・・⑥
定圧変化においては、気体がした仕事は、で与えられます。よって、⑥-⑤より、
 ・・・⑦
気体の内部エネルギーの変化は、④と同様にして、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑦より、
......[]
(b) ⑨より、
......[]
追記.問3は、(a)で気体のした仕事をまず聞かれるので上記の流れになりますが、気体がした仕事Wがなかなか思いつけないかも知れません。
定圧変化なので、定圧モル比熱の公式を用いて、
より、
と求めてから、熱力学第1法則と⑧を用いて、
としてWを求めることもできます。


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  1. 2008/10/16(木) 11:52:12|
  2. '08年入試(物理)
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横国大工数学'08年前期[4]

横浜国大工数学'08年前期[4]

連立不等式
の表す図形をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。

解答 単なる計算問題ですが、受験生にとっては嫌な問題かも知れません。
連立不等式の表す図形は右図の黄色着色部分です。これを
x軸のまわりに回転させた回転体の体積Vは、右図赤線部分(の範囲に図形があります)を回転させてできる回転体の体積から、青線部分(の範囲に図形があります)を回転させてできる回転体の体積を引いたものになります。
赤線部分の
円の方程式は、yについて解きの方をとって、
よって、図形がy 軸に関して対称なことに注意して、

定積分の被積分関数は、とおくととなるので、定積分は、右図の黄緑色着色部分(半径1の円の)の面積になり、
 (置換積分(その2)を参照)

青線部分の円の方程式は、yについて解きの方をとって、



定積分は、右図の橙色着色部分の面積(半径1の円のから底辺,高さの三角形の面積を引いたもの)になり、


......[]
追記.この問題のような、体積を定積分により求める問題は、種々様々出題されていますが、以下の技巧を知っていると有利な場合があります。この技巧を使ってしまうと出題の意味がなくなるので、技巧を使えないように出題者が工夫していることが多く、この問題でも使えません。
パップス・ギュルダンの定理(の特別な場合):回転軸に平行な直線(回転軸との距離はr)に関して対称な図形(回転軸の片側にのみ存在する)を回転軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、図形の面積Sと半径rの円周の長さをかけたもの:になる。
教科書に載っている定理ではないので、空所補充問題ならともかく、ロピタルの定理と同様、入試の答案の中で使って大丈夫か、という心配があります。
ですが、簡単に証明できるので、証明してから使えばよいのです。右図のような場合、灰色部分を回転させてできる回転体の体積
Vは、外側を回転させた回転体の体積から内側を回転させた体積を引けばよいわけですが、外側の曲線を ()と表すと、内側の曲線はに関して対称なので ()と表せます。


は、外側の曲線と内側の曲線で挟まれた部分の面積Sなので(定積分と面積を参照)
となります。
例えば、
楕円 ()x軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vは、楕円の面積がなので、パップス・ギュルダンの定理を使うと、積分計算を行わずとも即座に、
と求まってしまいます。この横国大の問題では、この定理を使われてしまったのでは、出題の意味がなくなるので、わざと円をx軸に交わらせているわけです。

蛇足の追記.本問のように対称性のない図形を回転させる場合には、無理にやるのなら、以下の一般的な場合のパップス・ギュルダンの定理なら使えます。
パップス・ギュルダンの定理:平面上に直線lと、この直線lと交点をもたない図形Kが置かれているとき、図形Kを直線lのまわりに回転して得られる回転体の体積は、図形の重心と直線との距離rを半径とする円周の長さに図形の面積Sをかけたもの:になる。
ただし、本問の場合には重心を求めるよりも上記の解答のように計算してしまう方が簡単です。むしろ、与不等式で表される図形の面積は(円のと、頂角の二等辺三角形)なので、回転体の体積Vで割って、
として、重心はとする方が簡単なくらいです。
一般的な場合のパップス・ギュルダンの定理の証明は以下のような雰囲気になります。
直線
ly 軸、図形Kを、2曲線に挟まれた領域 (右図クリーム色部分)だとします。
まず、図形
Kの質量を考えます。図形Kの点における面密度(単位面積当たりの質量)である場合に、この点を含む部分の微小面積の質量はです。図形Kの全質量は積分して、で与えられます(積分は重積分と言ってxyの両方で積分することを意味します)xのみの関数yのみの関数の積と表され、図形Kの座標xの部分のyの範囲がと表せるような場合には、重積分は、先にyについて積分し、後からxについて積分を行えばよいので、図形Kの部分に存在するとして、
 ・・・①
となります(こうしてしまえば高校の範囲内です)
パップス・ギュルダンの定理が想定している図形
Kは、均質な図形で面密度は一定値です。ここでは、だとします。すると①は、
これは、上の曲線の式から下の曲線の式を引いて積分しているので、曲線と曲線で囲まれる図形の面積Sです(定積分と面積を参照)。当然のことですが、図形Kが面密度が1の均質な図形であれば、全質量は図形の面積Sになります。
位置に置かれた質量
()n個の物体の重心の定義は、ですが、質量が連続的に分布している場合には、の極限を考え区分求積法により、分母・分子のΣを積分にします。分母については、上記のように、
となりますが、面密度1の均質な図形であれば、図形の面積Sになります。分子については、面密度xをかけて積分することになり、
(とします)
となりますが、面密度1の均質な図形であれば、
となります。とおくと、
となります。これにをかけたもの
は、曲線と曲線で囲まれる図形をy 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを円筒分割により求めたもの(y 軸のまわりの回転体を参照)です。つまり、です。
結局、質量が面密度
1で均質に連続的に分布している図形Kにおいて、重心の定義は、重心のx座標をrとして、
となります。この両辺にをかけて、
となります。


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  1. 2008/10/15(水) 15:16:00|
  2. '08年入試(数学)
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東大文系数学'08年[3]

東大文系数学'08前期[3]

座標平面上の3ABCに対し、をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただし、とする。

解答 として、ベクトルの内積を用いて、
としても、計算は猛烈ですが、力尽くでやれば30分あれば解答できると思います(旺文社全国入試問題正解に載っています)[1][2]が簡単なので、時間がかかっても腕尽くで計算というのが、この問題では無難だと思います。
ここでは、計算によらないアプローチで考えてみます。

まず、問題文を読んで即浮かぶのは、
Py 軸上のC以外の点であれば、となる(右図黄色線の場合)、ということです。答えがy 軸だけ、というのではあまりに簡単すぎるので、y 軸以外でも、となる場合があるのか、あちこちに点Pをとって調べてみると、点Pが第1象限、あるいは、第2象限にあれば、となる場合がありそうです(右図赤線の場合)
Pが第3象限、第4象限に来る場合はどうか、という前に、x軸上ではどうか、と、調べてみると、線分AB間の原点以外では、は互いに補角をなす関係にあって、とはなりません(右図緑線の場合)。ですが、x軸上のの部分では、APBPx軸と重なってしまうので、となるのです(右図藍色線の場合)
3象限のの部分ではの中にが含まれてしまい、とはなり得ません。第4象限のの部分ではの中にが含まれてしまい、とはなり得ません(右図橙色線の場合)になるとすれば、第3象限のの部分か、第4象限のの部分において、ということになります。
次に浮かぶことは、△
APCと△BPCで何か出てこないか、ということでしょう。
ここで気づくことは、と向かい合っている辺
AC,辺BCの長さがともにで等しいということです。となれば、正弦定理を使おうということになります。
とすると、△
APC,△BPCにおいて正弦定理より、
これより、
となります。より、
または
のいずれか、となります。
(i) の場合、△APCと△BPCは、2頂角が等しくなるので、
ということは、点Py 軸上のC以外の点だということです。
(ii) の場合、
・点Px軸上にくると、ABPが一直線上に並びます。
Pの部分にあるときには、とはなり得ません。
Pの部分に来ると、となり、をみたします。
Pの部分に来ると、となり、をみたします。
つまり、点
Pは、x軸のの部分の点です。
・上記で検討したように、点Pが“かつ”の部分、または、“かつの部分に来ることはありません。のいずれか一方が他方を含んでしまうので、となり得ないからです。
また、の場合は、のいずれか一方は以上の角になりますが、“かつ”,“かつ”の部分に点Pが来てしまうと、はともに鋭角になってしまう(が鈍角になるためには、点Pの部分に来なければならない)ので、点Pが第3象限、第4象限に来ることはありません。
・点Pが第1象限、または、第2象限にあるとして、四角形APBCは、対向する角が互いに補角をなすので、円に内接する四角形です。しかも、なので、四角形APBCは、ABを直径とする円(原点を中心とする半径1の円)に内接します。つまり、点Pは、原点を中心とする半径1の円:の周上、第1象限、第2象限の部分の点です。
(i)(ii)より、点Pの軌跡は、y 軸上の点Cを除く部分、または、x軸上のの部分、または、原点を中心とする半径1の円:の部分 ......[]
図示すると、右図太線のようになります。


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  1. 2008/10/14(火) 10:47:52|
  2. 東大文系数学
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岡山大理系数学'08年[3]

岡山大理系数学'08[3]

a0以上の実数、nを正の整数とするとき、次の問いに答えよ。
(1)
が成り立つことを示せ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3) が成り立つことを示せ。

解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので、誘導通りにやれば大したことはありません。
(2)(3)より、のとき、なので、 (の場合については、極限の公式を参照)になると言いたいのだろうと思います。
なお、指数関数、積分を未履修の方は、
指数関数不定積分定積分不定積分の公式を参照してください。

(1)  (部分積分法を参照)


 ・・・①
よって、与式は示されました。

(2) より、,よって、
 ・・・②
①より、
 (中カッコ内をでくくります)

 ・・・③
右辺の被積分関数は、において、より、
よって、
従って③より、 ・・・④
②,④より、

(3) 証明すべき式の左辺は③の左辺に出てきます。③の右辺が以下であることを言えばよいわけです。③の右辺に既にがついているので、積分が以下であればよい、ということになります。 なので、被積分関数の残りの部分について、 (定数以下という形を作る)を示したいのですが、(2)で、が示されているので、となるので解決します。結局、答案の流れは以下のようにすればよいでしょう。

において、(2)より、 なので、
両辺に ()をかけて、
よって、③右辺の被積分関数について、

両辺にをかければ、③より、
よって、与不等式が示せました。


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  1. 2008/10/13(月) 11:11:12|
  2. '08年入試(数学)
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信州大物理'08年[3]

信州大工物理'08[3]

図のように、片側が可動のピストンで閉じられた閉管の管口付近に音源を置く。ピストンを動かすことにより、気柱の長さを変えることができる。気柱の開口端補正は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。ただし、設問(b)(d)では、主な式や説明をつけて記せ。また、気柱内の音速はとする。
(a) 次の文章の空欄に入る適当な語句または式を記せ。
の場合を考える。音源の周波数を調整すると、気柱内で共鳴が起きた。このとき、開口端は定常波の ア となり、閉端は イ となる。また、共鳴波長lは、nを正の整数とすると、l ウ と表せる。共鳴周波数は、nを用いてf  エ と表せる。音源の周波数を増加させる場合、ある共鳴周波数と次の共鳴周波数の周波数差は、 オ で表せる。
 エ  オ の答えは
n以外の文字を用いてよい。
(b) 音源の周波数をとする。ピストンを一定速度で引きLを長くしていくと、一定の時間間隔で共鳴が確認できた。このときの時間間隔を求めよ。ただし、uは音速に比べて十分に小さいものとする。
(c)(i) 音源の周波数をとし、L0からまでゆっくり変化させたところ、共鳴が12回確認できた。周波数の範囲を求めよ。
(ii) 音源の周波数を下げ、にしたところ、のとき共鳴が起きた。の値を求めよ。
(d) の位置にピストンを固定する。音源の周波数をから、毎秒の一定の割合で増加させる。周波数の増加開始時刻から、の間におきる共鳴について、共鳴がおきた時刻とそのときの共鳴周波数をすべて求めよ。ただし、t は小数点以下2桁で求めよ。

解答 物理の問題というよりも計算の問題、という側面が強い気がします。

(a) 右図のように、一端閉管の開口端は、空気分子が激しく振動できるので、定常波の腹となります。
() ......[]
閉端は、空気分子が振動できないので、定常波の節となります。
() ......[]
() 気柱の長さは、開口端補正を無視するので、右図のように波長の奇数倍になります。
......[]
() 波の公式より、
......[]
() n1つ違うときのfの差を求めます。
......[]

(b) 気柱に共鳴が起きるとき開口端は腹、閉端は節になるので、は、右図のように、節から節までの長さ、つまり半波長に相当します。周波数のとき、波長は、波の公式よりです。
......[]

(c)(i) 周波数のとき、波長です。共鳴が12回確認できたということは、()と同様に考えて、気柱の長さ波長23倍以上で25倍未満(1から12番目の奇数は23です)ということです。

......[]
(ii) ()の結果で、とすると、

これが(i)で求めた範囲に入ることから、

これをみたす整数nは、
......[]

(d) 時刻()における周波数は、
()の結果でとすると、
よって、共鳴が起きるとき、

より、

これをみたす整数nは、
のとき、
のとき、
のとき、
よって、のときのときのとき
......[]


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  1. 2008/10/12(日) 18:12:37|
  2. '08年入試(物理)
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鹿児島大理系数学'08年[3]

鹿児島大理系数学'08[3]

eを自然体数の底とする。このとき、次の各問いに答えよ。
(1) 積分を計算することにより、次の等式を証明せよ。
(2) すべての自然数nについて、等式
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。
(3) のとき、すべての自然数nについて、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

解答 マクローリン展開をテーマとした問題です。(2)は、数学的帰納法を参照してください。

(1) 部分積分法により、
 (1項の[ ]では、x0tに代入することに注意!)

 (証明終)

(2) () のとき、(1)より、与式が成り立ちます。
() のとき、与式が成り立つと仮定すると、
 ・・・①
のときには、という定積分が登場しそうです。この定積分を、部分積分法により計算してみます。

となって、①の右辺に出てくる定積分が顔を出します。
これを①に代入すると、
よって、のときも与式は成り立ちます。
()()より、すべての自然数nについて、与式が成り立ちます。(証明終)

(3) において、です。これより、nを自然数とするとき、です。従って、となります。

よって、(2)の等式より、
 ・・・②
 (証明終)

追記.金沢大理系後期にも類題が出ていて、とおくとき、が成り立つことを示す問題です。上記をもじれば、解答できるでしょう。なお、上記(3)の②により、
となります。のときより、

xを固定して、とすると、右辺→0より、
これより、
と表せます。これをマクローリン展開と言います。
となることを知っていると、不等式の証明(微分法の不等式への応用(2)を参照)などでいろいろなアイデアが湧くことがあります。
のマクローリン展開は、
 (は奇関数。の奇数次の項を抜き出し、1項ごとに±を入れ替えたものになっている)
となりますが、を証明するような問題(兵庫県大'08)は、ここから来ています。
茶女大
'95年理系では、
を示せ。ただし、11ラジアンの意味である。
という問題が出ていますが、を証明して、を代入すれば、
となります。


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  1. 2008/10/11(土) 07:30:04|
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東大文系数学'08年[2]

東大文系数学'08前期[2]

白黒2種類のカードがたくさんある。そのうち4枚を手もとに持っているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちの4枚の中から1枚を、等確率で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
最初に持っている4枚のカードは、白黒それぞれ2枚であったとする。以下の(1)(2)に答えよ。
(1) 操作(A)4回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 操作(A)n回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

解答 理系前期[2](1)の部分を1題にした問題です。ケアレスや勘違いのないように慎重に考えましょう。理系前期[2]も参考にしてください。

(1) 1回目に白を引く(白は4枚中2枚あるので、確率)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(白は4枚中1枚あるので、確率)と全て黒になります。この確率は、 (独立試行の確率を参照)
このとき、2回目に黒を引く(黒は4枚中3枚あるので、確率)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、
2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
初めて
4枚とも同じ色のカードになる確率」を聞いているので、2回の操作で4枚とも同じ色になってしまった以降を考える必要はありません。
3回目の操作と4回目の操作では、1回目、2回目のときと同じことが起こります。つまり、3回目、4回目の2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は,元に戻る確率はです。
1回目、2回目の操作で元に戻ってしまう状況下で、3回目、4回目を考えるので、1回目、2回目、と、3回目、4回目、における結果は独立に起こります。
従って、
1回目、2回目で元に戻り、3回目、4回目で4枚とも同じ色になる確率として、求める確率は、 ......[]
(2) この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で
4枚とも同じ色になる確率は、回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、より、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、
n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[]


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  1. 2008/10/10(金) 08:10:04|
  2. 東大文系数学
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東大理系数学'08年前期[5]

東大理系数学'91前期[5]

xy平面上、x座標、y座標がともに整数であるような点を格子点と呼ぶ。
各格子点を中心として半径
rの円が描かれており、傾きの任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

解答 問題の意味は、間隔1mの碁盤目状の位置に、断面の円の半径がrの円柱と見なせる竹が並んでいて、その間を、傾きの方向から光を入射させるときに、光がすり抜けないような半径rの最小値はいくらか、ということです。
竹林の中から光が漏れてくるのを見て老翁がかぐや姫を見つけた古典にちなんで、「かぐや姫」問題と、私は呼んでいます。

格子点は、まばらに並んでいるように見えるのですが、その間をすり抜けようとすると意外と難しいものです。まず、無理にすり抜けようとせずに、いずれかの格子点を通過する直線から考えることにします。
傾きの直線は、実数
kを用いて、
 ・・・①
と表せます。直線①の
y切片はです。
①が格子点を通過するとして、
が成り立つのですが、
kはどんな数になるのでしょうか?
mnに適当に整数を入れてみます。
とすると、となるので、です。
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
まだまだ続けます。
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
なんて、的外れなことをして遊んでいると感じるかも知れませんが、これが、難問を解くコツなのであり、また、難関大学を制覇するための手法なのです。
上記で、重要な事実に気がつけるはずです。

kの値として出てくる数は、・・・,0123456,・・・・・・というようになっています。半端な小数は出てきません。整数が順に並んでいるのです。これが、この問題のポイントです。
つまり、格子点を通過する直線①は、





 ・・・②
 ・・・③



という具合に並ぶのです。これを
xy平面上に書いてみると右図のように等間隔に並びます。なぜ等間隔になるか、というと、kが整数値をとるからです。mnを整数として、

と表せるのですから、整数と整数をかけて整数、整数同士引けば整数なので、
kが整数になるのは当然です。上記では、kがすべての整数をとりそうだ、ということを確かめたのです。
こうなれば、もう、解けたのも同然です。
碁盤の目状に並んでいる竹を光がすり抜けて行くのだとしたら、右図黒線の直線のちょうど中間
(橙色の直線)を通ればよいのです。
この問題は、傾きの直線がこれらの円のどれかと共有点をもつ、と言っているのですが、光を通過させないような最小の半径はどれだけか、ということです。右図のように等間隔に並んだ直線のうち、隣り合う
2直線の距離のが最小値です。
②と③の距離を考えると、②は原点を通るので、原点と③の距離
dを、点と直線の距離の公式を使って求めると、
求める最小値はこので、
......[]

東大の数学の試験は150分で6題です。1題に25分かけることができます。上記のストーリーで充分に25分に入ります。この方式で34題ものにすれば充分に合格ラインに入ります。
上記で、どうして、解答にたどり着けたのか、というと、①の
xyに整数を入れてみたからです。難関大学の問題を解く、ということは、抽象的な高尚な理論を振り回す、ということではなく、誰にでも簡単にできる遊び心のようなところから、重要な事実に気がつく、ということなのだ、ということをぜひ知って頂きたいと思います。チャレンジする気持ちさえあれば、誰にでも手が届くことなのです。


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  1. 2008/10/10(金) 08:08:55|
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岐阜大工数学'08年[4]

岐阜大工数学'08[4]

自然数nと実数xに対して
とおく。以下の問いに答えよ。

(1) のとき、極限値を求めよ。
(2) すべての実数xに対して、が存在することを示せ。また、とおくとき、gxを用いて表せ。
(3) xの値がすべての実数を変化するとき、(2)で定まったgの最大値と最小値を求めよ。

解答 (1)は無限等比級数であることに気づかせるためのヒントに過ぎないので、(2)から始めることにします。

(1)(2) は、初項:,公比:無限等比級数です。
公比をrとおくと、
分母を払って整理すると、
 ・・・①
xがすべての実数をとりうるとして、①をx2次方程式と見るとき実数解をもつので、判別式について、

よって、より無限等比級数は収束し、が存在します。
......[]
のとき、 ......[]

(3) (2)より、
分母を払って整理すると、
 ・・・②
xがすべての実数をとりうるとして、②をx2次方程式と見るとき実数解をもつので、判別式について、
 (等号は②が重解をもつ場合で、のときのとき)
gの最大値:,最小値:0 ......[]

追記.上記では2次方程式を利用して解答しましたが、もちろん、rgについては、微分して調べることもできます。

 (商の微分法を参照)
x


1

00
r




増減表とより、です(関数の増減を参照)

x
0
2

00
g
0


増減表とより、gの最大値:,最小値:0となります。
結局、この問題は、という形の関数の挙動
(種々の関数のグラフを参照)がテーマになっているのですが、同様のことを考える問題に、東工大'92年前期[1]
xの関数 ()1以外の整数値をとらないような定数kの値の範囲を求めよ。
があります。これを考えてみます。

1以外の整数値をとらないので、0以外の整数値をとらないことになります。
のとき、は、
0以外のすべての整数値をとりうるので不適です。よって、です。
分母:が実数解
p ()をもつ場合、であり、においては連続な関数です。
が実数解をもたない場合は、すべての実数
xにおいては連続な関数です。
これらと、より、であることが必要十分です。
をみたす実数xが存在しないための条件を考えます。
分母を払って整理すると、
これが実数解をもたないので、
判別式:
より、 ・・・①

をみたす実数
xも存在しません。
分母を払って整理すると、
これが実数解をもたないので、
判別式:
より、 ・・・②
①,②より、
......[]
もちろん、の増減表を調べることもできます。
x


k

00






増減表とより、であるためには、
かつ
より、
または  ・・・③
より、 ・・・④
③かつ④より、となります。


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  1. 2008/10/09(木) 09:30:03|
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九大物理'08年[2]

九大物理'08[2]

3に示すように、紙面と垂直に裏から表へ向かう磁束密度Bの一様な磁界(磁場)中で、大きさの無視できる導線aWXYZbが、abを回転軸として、aからbを見て時計まわりに一定の角速度wで回転している。このとき、ab間には時間とともに変化する誘導起電力が発生する。導線の折れ曲がり部はすべて直角で、WXXYYZの長さはすべてdである。この導線には抵抗値Rの抵抗および電気容量Cのコンデンサーが図のように接続されている。時刻で、導線aWXYZbは紙面内の図に示す位置にあったとする。抵抗値がR以外の電気抵抗は無視でき、誘導起電力は接続する回路に影響されないとする。
以下の各問いで特に指示のない場合は、
BCdRtwのうち必要なものを用いて解答せよ。また、角速度の単位をとする。必要ならば下記の三角関数の公式を用いてよい。
 
1.時刻からの間で、電位が高いのはabのうちどちらか。
2.正方形の領域WXYZを貫く磁束をFとする。時刻tにおけるを求めよ。ただし、からの間で正の値をとるとする。
3.時刻tからの間に正方形の領域WXYZを貫く磁束が変化する量は、の大きさが十分小さいときには、と近似できる。を求めよ。ただし、q の大きさが十分小さいときに成り立つ三角関数の近似式を用いてよい。
4.時刻tにおいてab間に発生する誘導起電力を求めよ。ただし、bに対してaの電位が高いときを正とする。
5.時刻tにおいて抵抗に流れる電流を求めよ。ただし、は図の矢印の向きを正とする。
6.時刻tにおいてコンデンサーに蓄えられている電気量をとするとき、時刻tからの間にが変化する量は、の大きさが十分に小さいときにはと近似できる。を求めよ。ただし、q の大きさが十分に小さいときに成り立つ三角関数の近似式を用いてよい。
7.時刻tにおいてコンデンサーに流れる電流を求めよ。ただし、は図の矢印の向きを正とする。
8.横軸に時間をとりからまでのの変化を解答用紙の問8に示した図中に描け。なお、電流の最大値および最小値を同図の   に記入せよ。
9に対しての位相はどうなるか。下の解答群から適切なものを選べ。
遅れている  ② 同位相である  ③ 進んでいる  ④ p進んでいる

解答 物理入試で微積を使うな、と言う先生がいるのですが、物理学は微積分学と足並みを揃えて発展してきている学問なのに、科学の進歩を無視した、全くナンセンスな意見です。
問題文に「必要ならば用いてよい」と言うのですから、問
3.問6.のように「近似できる」と書いてあって、近似によって解答せよ、という指示がある場合はともかく、電磁誘導・交流の問題など、仮に三角関数の公式が書いてあっても、加法定理は必要ないので使いませんでした、として、微積分で簡単に片付けるべきだと私は思います。ちなみに私は、'72年の東大入試で、物理のモーターの逆起電力の問題、原子の問題では微積を使った覚えがあります(数学を大失敗したのにもかかわらず合格しました)。数学でのロピタルの定理やmod記号などでも同じことが言えますが、そもそも、出題者が近似によって解答させたいのであれば、「必要ならば用いてよい」ではなく、「以下の公式を使え」、「近似を行え」と問題文に明示するべきであり、何も指示せずに数学Ⅲで学ぶ高校指導要領の範囲内の微積分を使ってはならない、数学の知識を忘れて解答せよ、などと言うのであれば、大分県教育委員会が行った教員採用選抜並の卑怯な入学者選抜だと言わざるを得ません。
また、三角関数の公式も覚えていないのに物理が異常にできる、という受験生をしばしば見かけますが、物理で満点でも数学で零点では何にもなりません。物理の試験で問題用紙に三角関数の公式が書いてあるからといっても、合格したいなら、
加法定理などの基礎事項はしっかり暗記するべきです。

この問題は、入試会場で、問
6.の「蓄えられている」が元々「蓄えられる」だったのを直すように指示があったようですが、における瞬間に蓄えられる電気量、と受験生に錯覚されるのを懸念したのでしょう。こうしたことや、の正方向を指定していることから考えて、出題者の意図は、物理的描像をつかんだ上で符号をはっきり認識して答えているかを見たい、あるいは、符号ミスによる連鎖ミスをさせたくない、というところにあるのであって、微積分を使わせたくない、ということではない、と、私は思います。

さて、この問題は
交流の発生(電磁誘導を参照)と、コンデンサーを流れる電流の位相(容量リアクタンスを参照)を原理面から考えさせる問題です。

1フレミング右手の法則で考えます。導線WXと導線YZの部分に生じる起電力は打ち消し合うので、導線XYの部分に生じる起電力を考えます。
の間、導線XYは、図3で見て紙面右から左への運動方向成分をもっています。これが右手親指の向きです。磁界の向きは紙面裏側から表側への向きでこれは右手人差し指の向きです。右手中指は、紙面下から上(YZ)を向きます。これが起電力の向きです。
端子
ab間に抵抗を外付けすると、導線aWXYZbbaの方向に、外付けされた抵抗には、abの方向に電流が流れます。ということは、abのうち電位が高いのは、a ......[]

2.正方形WXYZ磁界が貫く有効部分の面積Sを考えます。導線WXの時の位置から角回転しているので、WXのうち磁界が貫く有効部分の長さです。よって、
磁束は、 ......[] (これで、の間、です)

3
が十分に小さいので、より、
......[]
注.と近似できるときのを求めよ、とは、導関数を求めよ、と、言っているので、微分しても解答できます(この問題では正解できます)が、単に「求めよ」というのではなく近似の仕方に指示がついている場合、微分したときと結果が異なるように問題を作る場合もある(2次の微小量まで残すような場合)ので、微分は確認にとどめ、面倒でも近似によって解答する方が無難です。

4電磁誘導の法則より、導線に発生する誘導起電力は、問3の結果より、
誘導起電力正が、「bに対してa電位が高いときを正とする」と指定されているので、問1より、においてなので、
......[]

5bに対してa電位が高いとき、図の矢印の向きに抵抗電流が流れるので、オームの法則より、
......[]

6より(コンデンサーを参照)

が十分に小さいので、より、
......[]
注.問3と同様に、近似計算で答えておく方が無難です。

7.図の矢印の向きにコンデンサーを電流が流れるのは、コンデンサーが充電しているときです。コンデンサーの極板間電圧は問4なので、が増大している間()に正の電流が流れることになります。
6は、においてなので、
......[]

8の変化を右図に示します。
電流の最大値は,最小値はです。

9の変化を右図に示します。
のグラフはのグラフを位相 (周期)だけt軸負方向に平行移動したものになっています。t軸負方向に平行移動する、というのは、同じような変化が早い時間に起きる、ということであって、「進んでいる」ということです。よって、に対して位相進んでいます。③ ......[]


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  1. 2008/10/08(水) 17:51:55|
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北大理系数学'08年前期[3]

北大理系数学'08年前期[3]

関数とする。
(1) ならば、となることを示せ。
(2) となるxをすべて求めよ。
(3) とし、数列
,  ()
とする。aの値に応じて、を求めよ。

解答 定型パターンで速攻解決、と思うと、「甘い」と言われてしまう問題です。

京大理系
'84[6]に、で定義された関数が、をもち、1より小さいある定数kについて,をみたすときに、方程式の範囲にただ1つの解をもち、で定義される数列について、となる(数列の極限を参照)ことを導く、という問題がありました。
とおくと、より、において
減少関数で、より、は、の範囲にただ1つの解aをもちます。
数列の各項の中にとなる項があれば、より、
n以上の整数nについてとなってしまうので、です。
すべての項についてであれば、与えられた仮定によって、
平均値の定理により、
または、
をみたす実数cが必ず存在します。この左辺は、
であり、仮定により、
なので、
よって、

ここでとすれば、より (等比数列の極限を参照)と、はさみうちの原理によって、
となります。

この問題以降、に具体的な関数の形を与え、の増減や方程式の解などを調べさせ、で定義される数列の極限を求めさせる、という問題をよく見かけるようになりました。上記のように
平均値の定理を使えば簡単にすんでしまうので、解法パターンを覚えてしまえば確実に得点源にできる問題でした。北大でも、'95年理系後期[3]において出題されたことがあります。
実は、
2項間漸化式とみなせば、このタイプの1例に過ぎません。

この北大の問題も、この定型パターンのように見えるのですが、においてとなる場合があるので、喜び勇んで平均値の定理を使って答案を書き始めても行き詰まります。それは、の解が、においてはだけですが、においてはも解になっていて、初項によっては、数列が
01に近づく場合もあるように問題が作ってあるからです。右図のグラフで、 とたどるとどうなるかを考えてみてください。
ですが、この問題も、平均値の定理が使えなくても、平均変化率を考えれば同様の発想で解決します。


(1) より
逆数を考えて、
よって、ならば、です。

(2)
 ・・・①
より、 ......[]

(3) 右上図で考えればわかると思いますが、の場合は、ずっとのままなので極限値もになり、の場合はグラフ上を原点の方に近づいて極限値0の場合はグラフ上をの方に近づいて極限値1ということになりそうです。下記のようなことが思いつけないときでも、グラフを描いてしっかり説明しておけば、半分くらいは点数がもらえると思います。
平均値の定理が使えないので、極限値をpとして、 ()の形を作るために、右上のグラフで、点と点を結ぶ直線の傾き(平均変化率)に着目します。この問題では、点として考えます。
図からわかるように、平均変化率:
01の間に収まりそうです。
(i) のとき、より、2以上のずべての自然数nについて、
となるので、

①より、
これより、
のとき ・・・②
のとき ・・・③
となります。
(ii) のとき、
と仮定すると、②より、
となるので、すべての自然数nについてです。しかも、です。
従って、すべての自然数
nについて、です。
ここでは、平均変化率を考えていることに注意してください。
において関数を考えると、
 (商の微分法を参照)
なので、においては、よりは増加関数であって、
 (関数の増減を参照)
これより、
また、が増加関数であることから、であれば、
つまり、数列n増大とともに減少する数列です。
これより、すべての自然数
nについて、
とおくと、であって、

ここでとすると、はさみうちの原理より、
(iii) のとき、
と仮定すると、③より、
となるので、すべての自然数nについてです。しかも、です。
今度は、平均変化率を考えます。

なので、です。
において関数を考えると、
なので、においてよりは減少関数であって、
これより、
また、が減少関数であることから、であれば、
つまり、数列は、n増大とともに減少する数列です。
これより、すべての自然数
nについて、
とおくと、であって、

ここでとすると、とはさみうちの原理より、

(i)(ii)(iii)より、
......[]


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  1. 2008/10/07(火) 21:35:51|
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東大文系数学'08年[1]

東大文系数学'08前期[1]

をみたす実数ab 2次式 について、 が成立しているとする。このとき定積分aの式で表し、Sがとりうる値の最大値を求めよ。

解答 基礎学力のしっかりしている受験生であれば、5分もあれば片付くだろうと思います。

 (定積分の公式を参照)
 (xの偶数乗のみ残し、積分範囲をに変え2倍する)
 ・・・①
の各辺にaをかけて、
 ・・・②


①より、
  ......[]
 ( )
よって、②においてSaの増加関数(3次関数の増減を参照)で、のとき、
最大値:
......[]


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  1. 2008/10/06(月) 07:33:19|
  2. 東大文系数学
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長崎大工数学'08年[3]

長崎大工数学'08[3]

である相似な直角三角形 ()が、次のような規則で座標平面上に並べられている。
規則1) 三角形どうしが、辺以外で重なることはない。
規則2) 頂点は座標平面上の原点と一致し、は点と一致している。また、は第1象限にある。
規則3) mを自然数とするとき、三角形と三角形において、と一致し、と一致している。
さらに、三角形と三角形において、頂点と一致し、と一致している。
次の問いに答えよ。
(1) の座標を、q を用いて表せ。
(2) ()の座標を、q を用いて表せ。
(3) およびを求めよ。

解答 ややこしくできている問題なので、丁寧に規則性を探していきます。規則1)3)に沿って三角形,三角形,三角形,三角形を図示していくと、右図のようになります。とりあえず、(1)の座標を求めますが、(2)ではを聞いているので、がどんな規則に並ぶのかを考えることになります。
規則
3)より、三角形と三角形において、
三角形と三角形において、
()
三角形と三角形において、
()
これより、
従って錯角が等しく、 //
同様に、 //
などとなっていくでしょう。また、
つまり、となっています。同様にすれば、
などとなっていくでしょう。
規則性がある程度見えてきたら、答案では、規則性を示すところだけを取り上げるようにします。
,・・・ と調べて行ってもよいのですが、,・・・ とする方が扱いやすいので、規則1)3)に沿って、三角形の方へさかのぼることにします。また、三角形~三角形を考えます。答案をまとめるときには、ベクトルを使うのがよいと思います。

(1) 右上の図より、 ()
は、x軸方向から正方向に回った方向を向くベクトルなので、
の座標は、 ......[]

(2) 題意は、 として直角三角形を定義しているのですが、規則1)3)を用いて、直角三角形,直角三角形,・・・ を考えると、規則3)として、
()
となることがわかります。
これより、は原点Oに一致し、に一致します。
 ・・・①
と点の関係を調べるために、右図(三角形~三角形)を考えます。規則3)より、m0以上の整数として、
()()()
となっています。
従って錯角が等しく、 //  ・・・②
これと①より、x軸に平行です。また、

 ・・・③
より、
これと②より、
 ・・・④
 ( )
これを③に代入すると、より、
x軸に平行なので、x軸から正方向に回った方向を向くベクトルであって、
 (とすれば(1)の解答です) ・・・⑤
④,⑤より、


 (等比数列の和の公式を使用)
 (倍角の公式を使用)

として、 ......[]

(3) (2)の結果において、とすると、より、なので、 ......[] (等比数列の極限を参照)


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  1. 2008/10/05(日) 19:01:33|
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名大物理'08年[1]

名大物理'08年[1] 名大物理'08[1]

1.図1のように宇宙空間を進む探査機が、点Pで探査機からnモルのアルゴンガス(単原子分子気体、1モルの質量)を、探査機の進む方向に瞬間的に噴射した。探査機は点Pで速さがからに減速され、その後、星1のまわりを等速円運動した。ここで、アルゴンガス噴射前の探査機の質量mは星1の質量に比べ充分に小さいものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 探査機が星1のまわりを半径hで等速円運動するための速さを求めよ。
(2) 噴射されたアルゴンガスの平均速度の大きさは、星1から見てであった。探査機の速さをからに減速するために噴射されるアルゴンガスのモル数nmを用いて表せ。ただし、噴射による探査機の質量変化も考慮せよ。
(3) 絶対温度Tのアルゴンガスにおける気体分子の熱運動の2乗平均速度を、RTを用いて表せ。
2.図2のように、質量の星2と質量の星3が、点Aを中心に、同じ角速度w で等速円運動している。ここで、星2と星3の距離をL,点Aから星2までの距離をとし、とする。また、星2と星3以外の天体の影響は無視できるものとして以下の問いに答えよ。
(1) 2と星3について、それぞれ遠心力と万有引力のつり合いの式をGLw を用いて表せ。
(2) 距離Lを用いて表し、角速度w GLを用いて表せ。
次に、質量mの探査機を操作し、図3のように、点Aと星3を結ぶ線分上に置き、点Aを中心とする半径xで、星2と星3と同じ角速度w で等速円運動させた。ただし、探査機の質量mは星2,星3の質量に比べ充分に小さいものとし、探査機の操作に伴う質量mの変化は無視できるものとする。
(3) 探査機に働く遠心力mwxを用いて表し、探査機に働く万有引力の合力GmLxを用いて表せ。力の符号は点Aから星3の向きを正とする。
(4) とするとき、点Aと星3を結ぶ線分上では探査機に働く遠心力と万有引力の合力 がゼロとなる位置がの範囲には1つある。その位置を求めるため、合力FGmLxを用いて表せ。さらに、となるxが存在する範囲を次の()()の中から選び、その記号を記せ。
()  ()  ()

解答 1.と2.は独立な問題になっています。2(4)は、物理的な考察の余地もなく、まともに計算しては時間がかかります。勘で答えておく方が良いかも知れません。

1(1) アルゴンガス噴出後の探査機の質量として、探査機が質量の星1から受ける万有引力は、,速さ等速円運動をしている探査機の加速度
探査機の運動方程式
......[]

(2) 探査機のアルゴンガス噴出前の運動量,噴出後は質量mからとなり速さがとなるのでです。
噴出されたアルゴンガスの運動量です。アルゴンガスの運動量が探査機の運動量と同じ向きであることに注意してください。
噴出前後の運動量保存より、

......[]

(3) アボガドロ数(1モルの物質の分子数)として、アルゴンガス1分子あたりの質量は、1モルの質量なので、速さで運動するアルゴンガス1分子の運動エネルギーは、です。アルゴンガスは単原子分子理想気体であって、これは、ボルツマン定数をkとしてに等しく(気体分子運動論を参照)
より、
......[]

2(1) 2と星3の間に働く万有引力
2が受ける遠心力 (等速円運動を参照),星3の円運動の半径なので、星3が受ける遠心力
2について、力のつり合い ・・・①
3について、力のつり合い ・・・②

(2) ①,②より、
......[]
①に代入すると、
......[]

(3) 探査機に働く遠心力は正方向で、 ......[]
探査機と星2距離なので、探査機が星2から受ける万有引力は負方向で、
探査機と星3距離なので、探査機が星3から受ける万有引力は正方向で、
よって、万有引力合力は、
......[]

(4) (2)の結果に代入すると、



......[]
として、で割ると、
右辺をとおいて、のとき、xの大小関係を調べてみます。



よって、となるxが存在する範囲は、であって、() ......[]
追記.問題文に、Fがゼロとなる位置がの範囲には1つある、と書いてあるので、これで良いわけですが、のグラフがにからみつくように変化する複雑な関数だと、上記の事実だけからは何とも言えないことになります。ここでは、一応の変化を確かめておくことにします。
において、なので、です。よって、この範囲では単調減少です(関数の増減を参照)xの方は単調増加なので、
のときのとき
であれば、において、方程式は、の範囲にただ1つの解をもつと断定できます。


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  1. 2008/10/04(土) 18:06:17|
  2. '08年入試(物理)
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群馬大医学部数学'08年[5]

群馬大医数学'08[5]

次の問いに答えよ。
(1) aを実数とし、とおく。このとき、 を証明せよ。
(2) を用いて、を示せ。

解答 (1) 証明すべき式の左辺を、の相加平均と見ても厳しいものがありそうです。そこで、証明すべき式を変形します。
さらに、1つを移項して、
こうした変形はよく行われるものです。
さて、ここで、を代入すると、
となって、左辺と右辺が同じ形になります。題意は、とするとき、
 ・・・①
を証明せよと言っていることがわかります。
における接線で、
であることを思い浮かべましょう。
でかつとなるようなa,例えば、を満たすaをもってきます。なので、単調増加であることを示せれば、①が言えます。
aをすべての実数で考えるとの符号がコロコロ変わるので面倒です。そこで、の場合とそれ以外の場合を分けて考えることにします。
が大きくなると、 ()との差が大きくなって、不等式を示しやすくなるはずです。

(i) のとき、より、
また、
よって、 ・・・②
(ii) において、関数 を考えます。
より、は、において単調増加な関数です。
よって、

従って、であれば、です。
が単調増加であることから、

つまり、
 (等号は、,つまり、のとき)
よって、のとき、より、
 ・・・③
が成立します。
のとき、として、,③より、
より、
よって、のとき、
 (等号はのとき)

(i)(ii)より、すべての実数aについて、とおくとき、
 (等号はのとき)
(証明終)

(2) がある数値より大きいことを言いたいので、(1)の不等式の左辺にが出てくるようにして、
つまり、 ()としてみます。


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  1. 2008/10/03(金) 09:43:46|
  2. '08年入試(数学)
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