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京大物理'04年前期[2]

京大物理'04年前期[2]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、文中に挿入された問1については、解答欄にグラフを描け。
 図1のように、一端が壁Aで閉じられた、断面積Sのシリンダーがあり、摩擦なしで動くことができるピストンBCによって3つの空間領域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲに分けられている。領域Ⅰには電気抵抗rのニクロム線でできたヒーターがあり、内部抵抗を無視できる起電力Vの電池とスイッチKでできた外部の回路に導線でつながれている。ピストンBにはごく細い通気口が開けられているが、最初は弁Dによって閉じられている。ピストンBCは、フックの法則に従う自然の長さがLのばねで結ばれている。シリンダー内には、壁Aから距離の位置にストッパーが、さらにからばねの自然長LとピストンBCの厚さをあわせた距離の位置にストッパーが設けられ、ピストンを停止できるようになっている。ただし、Lより大きい。また、シリンダーとピストンはともに断熱材でできており、ストッパー、ばね、弁、通気口、ヒーターおよび導線の体積は、いずれも無視できるものとする。なお、大気圧をとする。
最初は、領域Ⅱは真空で、領域Ⅰには単原子分子理想気体が入れられ、その圧力と温度がそれぞれ
であった。また、領域Ⅲは常に大気圧の外気と通じている。図1に示したように、この状態でピストンBはストッパーに接触して停止し、ピストンCはストッパーから距離aの位置で停止していた。このことから、ばね定数は イ であることが分かる。その後、以下のように過程(1)から(4)の順にシリンダーの状態を変化させた。
(1) スイッチKを閉じて回路に電流を流すと、領域Ⅰの気体の温度はゆっくりと上昇し、ある時刻にピストンBがストッパーを離れ始めた。このときの領域Ⅰの気体の温度は ロ であった。電池により供給されたエネルギーがすべて気体に吸収されたとすれば、この時刻はスイッチKを閉じてから時間 ハ の後である。
(2) その後、ピストンBはゆっくりと移動し、領域Ⅰの気体の温度が ニ になると、ピストンCがストッパーに接触し停止した。この過程で領域Ⅰの気体が吸収した熱量は ホ である。
(3) さらにピストンBはゆっくりと移動し、ピストンBC間の距離が縮まっていった。ばねの長さがに達した時点でスイッチKを開いた。このとき領域Ⅰの気体の温度は ヘ であり、過程(3)で領域Ⅰの気体が吸収した熱量は ト である。
1 (1)から(3)までの過程における領域Ⅰの気体の状態変化の様子を、図2のように体積を横軸に、圧力を縦軸にとり、解答欄にグラフで示せ。グラフ用紙の横軸と縦軸の目盛りの数値は、それぞれ量1として表している。例えば図中の×印の点は、体積が,圧力がの状態に対応する。グラフは概略を示すものでよいが、図中の記入例にならって、各過程の始点と終点に黒丸・を、さらに適当な位置に(1)(2)(3)の番号を付け、グラフのそれぞれの部分がどの過程を表すかが分かるようにすること。
(4) その後、ピストンBの弁Dを開いたところ、ピストンBはゆっくりと動き始め、ばねは自然長に戻ったが、ピストンCはストッパーに接触したままであった。スイッチKは開いていたから、この過程は断熱変化である。ばねが自然長に戻ったとき、シリンダー内の気体の温度は チ であった。また、このときにもピストンCがストッパーに接触したものであったことから、ばねの自然長Lと長さaの間には、 リ の関係が成り立っていたことが分かる。

解答 「ばねつきピストン」というだけでなく、(4)では、自由膨張まで考えるので、問題文に「断熱変化」というヒントはありますが、それでも考え込んでしまいます。

() ばね定数をkとします。最初、ピストンCには、右向きで大きさ(ばねの)弾性力と、左向きで大きさ大気圧によるが働いて、つりあっています。
力のつり合い
......[]
最初の領域Ⅰの気体(以下、気体Ⅰとします)について、
状態方程式 ・・・①

(1)() ピストンBがストッパーを離れるとき(ピストンBとストッパーの間の垂直抗力0)、気体Ⅰの圧力P温度として、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働くは、気体Ⅰの圧力による右向きで大きさと、大気圧による左向きで大きさで、この両者の力のつり合いより、
このときの気体Ⅰの状態方程式 ・・・②
②÷①より、 .......[]

() スイッチKを閉じてから、ピストンBがストッパーを離れるまで(この間の変化は定積変化です)時間tとして、気体Ⅰが吸収した
気体Ⅰの体積は変化していないので、気体Ⅰのした仕事0
気体Ⅰ(単原子分子理想気体なので定積モル比熱です)内部エネルギーの変化は、温度と変化したので、①を用いて、
......[]

(2)() (1)の後、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働くは、右向きの気体Ⅰの圧力によると、左向きの大気圧によるのみです。ピストンBがゆっくり移動したと問題文に書かれているので、無視できるくらいの小さな速度等速度運動したと考えると、過程(2)においても、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働く力のつり合いが成立します。従って、気体Ⅰの圧力で一定に保たれていて、気体Ⅰは定圧変化をしています。
ピストンCがストッパーに接触したとき、気体Ⅰの体積で、温度として、気体Ⅰの状態方程式 ・・・③
③÷①より、 ......[]

() 単原子分子理想気体の定圧モル比熱です。過程(2)において気体Ⅰの温度は、と変化します。
定圧モル比熱の式を用いると、過程(2)において気体Ⅰが吸収した熱量は、①を用いて、
......[]

(3)() ばねの長さがに達した時点(ばねの縮み)で、気体Ⅰの体積で、圧力温度として、
ピストンBに働く力のつり合い
()の結果を用いて、
この時点での気体Ⅰの状態方程式 ・・・④
④÷①より、 ......[]

() 過程(3)において、ピストンCはストッパーに押さえられているので、気体Ⅰは大気に対しては仕事をせず、ばねに対してのみ仕事をします。
ばねの縮みと変化するので、気体Ⅰがばねに対してした仕事、即ち、ばねが蓄えた弾性エネルギーは、()の結果を用いて、
気体Ⅰの温度と変化するので、この間の気体Ⅰの内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より、過程(3)において気体Ⅰが吸収した熱量は、
......[]
なお、過程(3)において、ばねの縮みxとする()と、気体Ⅰの圧力P体積の間には、
ピストンBに働く力のつりあい
よりxを消去して、
 ・・・⑤
という関係があります。

1 各過程において、(体積圧力)の変化を確認しておくと、
過程(1)では、 (定積変化)
過程(2)では、 (定圧変化)
過程(3)では、と変化します。⑤より、グラフは直線の一部分になります。状態変化の様子をグラフに表すと右図。

(4)() 過程(4)断熱変化で気体の吸収した熱量0です。
Dを開けると気体は領域Ⅱへ漏れ出しますが、領域Ⅱは真空で真空への膨張(自由膨張)では、気体は仕事をしません。ピストンCがストッパーに接触したままなので、気体Ⅰは大気に対しても仕事をせず、ばねに対してのみ仕事をします。
ばねの縮みと変化するので、気体Ⅰがばねに対してした仕事、即ち、ばねが蓄えたエネルギーは、(3)と同様にして、
負になるということは、ばねが弾性エネルギーを放出して気体に対して仕事をした(気体は仕事をされた)ということです。
過程(4)において、気体Ⅰの温度になったとして、気体の内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より
①より、だから、

......[]

() ばねが自然長にもどったとき、領域Ⅰ,領域Ⅱにある気体の体積,このときの気体の温度圧力として、
状態方程式 ・・・⑥
⑥÷①より、


ピストンCがストッパーに接触したままだったということは、ピストンCに働くは、右向きのの大きさが左向きのの大きさ以上だということです(ストッパーから受ける左向きの垂直抗力を含めて力のつり合いが成立します)。つまり、領域Ⅰ,領域Ⅱにある気体の圧力大気圧以上だということです。


......[]


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京大物理'04年前期[1]

京大物理'04年前期[1] 京大物理'04年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、{  }からは正しいものを選びその番号を、  には2050字程度の適切な語句を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  は、すでに  で与えられたものと同じものを表す。
質量を無視できる軽いひもの一端が原点
Oに固定され、他端には、質量mの、大きさを無視できる小球がつけられている。ひもは自然長がlで、自然長より引き伸ばす引張りに対しては、フックの法則に従うばね定数kのばねのようにふるまうが、圧縮や曲げには全く抵抗しない。ここで、重力加速度をgとし、小球とひもの運動に対する空気の抵抗は無視できるものとする。また、原点Oから水平方向にx軸、鉛直上方にy軸をとり、y軸上のの点をAとする。
(1) 1のように、小球を静かにつるしたとき、小球は ア において静止した。この位置を点Bとする。
(2) 小球を点Aから静かに放したときの運動を考えよう。小球が到達する最下点は、{イ.①点Bより上である。②点Bに一致する。③点Bより下である。④これだけでは判断できない。}また、この場合の小球の運動は ウ である。(ウには、例えば「点Aから点Bにいたる等速直線運動」のような語句を記入せよ。)
(3) 次に、小球を原点Oから静かに放した場合を考えよう。小球が放されてから初めて (ただし、)に達したときの速度の大きさは エ で与えられる。また、小球が達する最下点は、点Bより距離 オ だけ下の位置である。
小球が初めて点Aに達してから次に点Aにもどってくるまでの所要時間を調べてみよう。小球が初めて点Aに達してから初めて点Bに達するまでの間における速度の大きさの最小値は カ である。一方、小球が初めて点Bに達してから次に点Bにもどってくるまでの所要時間は キ である。したがって、所要時間は、
 オ  キ 
 カ 
より小さい。
以上の結果より、ばね定数kが非常に大きい極限では、ひもの伸びの長さ、および、ひもが伸びている間の時間は、ともに非常に小さくなる。したがって、この場合の小球の運動は、点Aを通る水平な床に衝突し、反発係数(はねかえり係数)1ではねかえる場合の運動と同じであるとみなすことができる。
(4) 以下では、ばね定数kは十分大きくて、(3)の最後で述べた考え方が成り立っているものとする。
今度は、小球をy軸上の (ただし、)の点Cから、時刻に、x軸の正の向きに初速度 (ただし、)で投げた。ひもは、小球がある点Dに達したとき、初めて伸びきった。その後、小球はCD間の経路を逆にたどって点Cを通過し、点Eで再びひもが伸びきった後、CEの経路を逆にたどって点Cにもどり、以後これを繰り返して周期運動を続けた。この周期運動が実現するために必要な、の間の関係を調べてみよう。まず、点Dに達する直前の小球の速度のxy成分と、点Dxy座標の間には、 ク の関係が成り立っていなければならない。また、小球が初めて点Dに達した時刻をとして、T,および重力加速度gを用いて表せば、 ケ  コ である。も同様にして表すことにより、Tの間の関係、 サ が得られる。したがって、でなければならない。さらに、条件を用いれば、は初速度の関数として決まり、 シ となる。

解答 糸につながれた物体の運動について、糸がぴんと張る瞬間には、完全弾性衝突のように考えようという問題です。

(1)() ばねの伸びsとして、小球のy座標です。小球に働く力のつり合いより、

よって、小球を静かにつるしたとき、小球が静止する位置Bは、

.....[]

(2)() 小球をAから静かに離すと、小球が到達する最下点は、
Bより下である。 .....[]
() この場合の小球の運動は、
ABを振幅、Bを振動中心とする単振動 ......[]
になります(単振動参照)

(3)() 小球を原点Oから静かに離すとき、重力による位置エネルギーの基準を原点Oにとると、原点Oにおいて、重力による位置エネルギー0,ひもはたるんでいるので弾性エネルギー0運動エネルギー0です。位置において、重力による位置エネルギー,ひもはs伸びているので弾性エネルギー速さvとして運動エネルギーです。
......[] ・・・①
() 小球が到達する最下点ではとなります。①において、とすると、
整理すると、

より、
小球が達する最下点は、点Bより距離 ......[] だけ下の位置。
() ①の根号内を平方完成すると、
小球がAB間にいるとき、より、この範囲においてのとき(小球がAに来たとき)に最小値をとります。
よって速度の大きさの最小値は、 ......[]
() 小球はBを振動中心とする単振動を行う。単振動の周期で与えられるから、初めてBに達してから次にBに戻ってくるまでの所要時間は、単振動の半周期に等しく、 ......[]

小球の速さAからBまで増大するので、AからBまでの所要時間は、距離Aにおける速さで等速運動した場合に要する時間よりも短いはずです。BからAに戻る時間についても、運動の対称性より、同様です。従って、初めてAに達してから次にAにもどってくるまでの所要時間について、
となるはずです。
ここでとすると、右辺は0に近づくので、となります。
問題文に書いてあるように、ばね定数kが非常に大きい極限(ひもに柔軟性がなく非常に堅い)では、ひもの伸びの長さ、及び、ひもが伸びている時間は、ともに非常に短くなり、この場合の小球の運動を、反発係数1の衝突と同等に扱うことができます。

(4) 問題文の途中にでなければならないと書いてありますが、右図(a)のように、初期位置Cが原点よりも上にある場合、ひもが伸びきったとき、つまり小球がDに来たとき、小球の速度ベクトルよりも傾きが大きく、と同じ向きを向くことはありません。ということは、ODと垂直な面とDにおいて完全弾性衝突すると考えると、衝突後に進む方向は衝突前に進んできた方向と異なる方向です。これでは、問題文にあるような周期運動にはなり得ません。
従って、周期運動を行うのであれば、右図(b)のように、初期位置Cは原点よりも下側(つまり)であって、Dにおける小球の速度ベクトルと同じ方向を向くはずです。Dにおいて、ODに垂直な面と完全弾性衝突する、と考えると、衝突後に進む方向は方向であって、もと来た道筋をたどって初期位置に戻り、における運動と対称な運動をにおいて行い、以後周期運動を続けることになります。

() x軸正方向となす角の大きさをq とすると、Dなので、です(に注意)
一方Dにおける速度ベクトルの方向もと同じ方向なので、です(に注意)
以上より、 ......[] ・・・②
() 小球は初期位置Cより、x軸方向には等速度運動(速度)を行い、y軸方向には等加速度運動(加速度初速度0)を行います。
よって、 ......[] ・・・③
() ......[] ・・・④
() また、,及び②より、
分母を払うと、
......[] ・・・⑤
この式からも、が確認できます。また、④より、
・・・⑥
() より、
③,⑤,⑥より、
整理すると、
これを解き、となる解を選ぶと、
......[]


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京大理系数学'04年前期[6]

京大理系数学'04年前期[6]

Nを自然数とする。個の箱があり、1からまでの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作()を、おのおののに対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。
() k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。)
操作がすべて終了した後、赤玉が番号の箱に入っている確率を求めよ。

解答 のとき、番号1の箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選んだときに限り、操作()を行った後に、番号1の箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。ですが、この時点で、番号2から番号Nまでの箱には白玉が入っています。

のとき、番号2の箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作()を行った後に、番号2の箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。この時点で、番号3から番号Nまでの箱には白玉が入っています。番号1,番号2の箱には赤玉が入っている可能性があります。

これを続けていくと、
として、のとき、番号nの箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作()を行った後に、番号nの箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。この時点で、番号から番号Nまでの箱には白玉が入っています。番号1から番号nまでの箱には赤玉が入っている可能性があります。

のとき、番号Nの箱に入っているのは白玉です。番号の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作()を行った後に、番号Nの箱に赤玉、番号の箱に白玉が残ります。

従って、
に対して、操作()を行い、そのいずれにおいても番号の箱が選ばれなかったとき、番号の箱には赤玉が残ることになり、のとき、番号1から番号Nの箱のどれかを選んで箱の中身を交換すると、番号の箱には白玉が残ることになってしまいます。

に対して、操作()を行い、そのいずれかにおいて番号の箱が選ばれたときには、番号の箱に入っているのは白玉です。なぜなら、上記のように、に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行うのであれば、番号kの箱に入っているのは必ず白玉だからです。操作()を行って、もう一つの箱として番号の箱を選び、既にこの箱に白玉が入っていたとしても、番号の箱に赤玉が戻ることはありえません。

ということは、操作
()を、に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行って操作完了後、番号の箱に赤玉が入っているのは、
に対して、操作()を行い、そのいずれかの1回において番号の箱が選ばれて、かつ、のとき、番号1から番号Nの中で赤玉の入っている箱を選んで、番号の箱と中身を交換した場合
です。

に対して、操作()を行い、そのいずれかにおいて番号の箱が選ばれる事象E余事象は、
そのいずれにおいても番号
k以外のN個の箱から番号の箱が選ばれないという事象で、確率は、確率で起こる事象がN回繰り返されるので、です。
Eの確率は、です。
のとき、番号1から番号Nの箱の中から赤玉の入っている1個の箱を選ぶ確率は

よって、求める確率は、
......[]


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京大理系数学'04年前期[5]

京大理系数学'04年前期[5]

複素数aに対してその共役複素数をであらわす。aを実数ではない複素数とする。複素平面内の円Cが、1aを通るならば、Cも通ることを示せ。(注意:複素平面のことを複素数平面ともいう)

解答 現行課程においては範囲外の問題ですが、計算部分は、現行課程で対応できます。

Cの中心を表す複素数をcとする。1aが円C上の点であることより、
 (複素数平面参照)
各辺2乗すると(絶対値参照)
・・・①

よって、 ・・・②
・・・③

②より、 ・・・④
③,④より、
・・・⑤
①,④より、
・・・⑥

cとの距離の2乗について、
(⑤を用いると、)
よって、⑥より、
これより、と円Cの中心cとの距離は円Cの半径に等しく、は円C上の点です。


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京大理系数学'04年前期[4]

京大理系数学'04年前期[4]

行列AB
とする。次の()が成り立つための実数abについての必要十分条件を求めよ。
() どんな2次正方行列Yに対しても、2次正方行列Xとなるものがある。

解答 行列行列の積を参照してください。

とおきます。
問題文に、「どんな
2次正方行列Yに対しても」、とあるので、abcdは任意の実数をとり得ます。

のときには、に限られてしまい、「どんな2次正方行列Yに対しても」という条件が満たされません。
また、
のときには、に限られてしまい、「どんな2次正方行列Yに対しても」という条件が満たされません。

であれば、
・・・①
であれば、
・・・②
さらに、であれば、
・・・③
さらに、であれば、
・・・④

任意の実数abcdに対して、①,②,③,④により、行列Xが存在し、pqrsが存在するためには、であることが必要です。
逆に、
であるときに、任意の実数abcdに対して、①,②,③,④により、pqrsを定めることができるから、行列Xが存在します。

以上より、
()が成り立つための必要十分条件は、 ......[]


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京大理系数学'04年前期[3]

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n2以上の自然数とする。で割った余りをとする。すなわち、xの多項式があって
が成り立っているとする。を求めよ。

解答 と因数分解できるので、のとき、になります。なお、因数定理を参照してください。

 ・・・①
①式で、とすると、
・・・②
①式で、とすると、
・・・③
③-②より、

②に代入することにより、

のとき、より
また、公式: (極限の公式を参照)より、
よって、
......[]

また、
......[]


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京大理系数学'04年前期[2]

京大理系数学'04年前期[2]

とし、で定義された関数を考える。のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をaで表せ。ただし、eは自然対数の底である。

解答 を微分してみてもあまり得るものはありません。の符号を調べればよいでしょう。
としてみると、または
のとき、
のとき、
より、,従って、です。
これより、
の符号は、においてにおいてにおいて
のグラフより下側でx軸より上側の部分というのは、のグラフのの部分とx軸で囲まれる部分ということになります。
よって、求める面積は、
で与えられます。とおくと、xのとき、t置換積分法により、



......[]

置換積分法を利用するのは遠回りになるので時間的には損なのですが、個人的には、このような計算問題では、計算ミスを防ぐことを第一目的とすべきと考えるので、定積分計算ができるだけミスしにくい形になるように、ということで置換積分法でやってみました。


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京大理系数学'04年前期[1]

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とする。におけるの最大値および最小値を求めよ。

解答 
において、より、
は、のとき、最小値:のとき、最大値:1 ......[]


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京大物理'05年前期[3]

京大物理'05年前期[3]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれ記せ。文末の問1では指示された条件のグラフを、問2では{  }から正しいものを選んでその番号を、問3では適切な文章を、それぞれ記せ。
1のように、鉛直軸方向に滑らかに動く質量Mのピストン板と固定された底板からなるシリンダーの中に、誘電率がeの理想気体がnモル(mol)封入されている。両板はともに熱の伝導性がよいため、シリンダー内の気体は常に外気と同じ絶対温度Tに保たれるとする。また、両板はともに面積Aの円盤状の導体で、回路につないでスイッチSを閉じることにより、両板間に電圧Vをかけることができる。ただし、シリンダーの側面とハンドルは絶縁体でできているとする。ハンドルの質量とeの気体密度依存性は無視できるものとし、重力加速度をg,外気の圧力をP,気体定数をRとする。また、両極板間の距離をzとし、力や電界の向きに関しては、鉛直上向きを正の方向とする。
(1) まず、スイッチSが開いた状態で、ピストン板と底板はそれぞれQ ()の電荷を帯びているものとする。これらの電荷は両板の互いに向かい合っている面のみに、それぞれ一様な面密度で分布している。また両板の面積はともにじゅうぶんに大きいため、これらの電荷により両板間につくられる電界は、場所によらず一定の値 あ である。このときピストン板は、底板上の電荷がつくる電界が及ぼす引力を受ける。 あ が、ピストン板上の電荷がつくる電界と底板上の電荷がつくる電界との和であることを注意すると、ピストン板にはたらく静電気力が い であることがわかる。
(2) 次に、ピストン板を静止させたままスイッチSを閉じて、両極板間に一定の直流電圧Vをかけた。そして、ピストン板を手で支えながらゆっくり移動させ、両板間の体積がの位置で静止させたとする。時間が経過して電荷の移動がなくなった状態において、ピストン板を静止させておくのに必要な力をとする。このは、Vを用いて う と表される。 う の式から、Vがある閾値(しきいち) え より小さければ、 ()2か所でゼロになる。つまり、これらの2か所においては、支えていた手を離してもピストン板はその場に静止したままである。両板が全く帯電していないときにがゼロとなる位置を お とすると、を用いてそれぞれ か  き と表される。
1 の場合のの概形を描け。ただし、の位置、及びよりじゅうぶんに大きいzにおけるの漸近線を図中において明示せよ。
2 の場合に、,あるいはからずれたところでピストン板を支えていた手を離したとする。手を離した位置が(A) (B) (C) ,という3つの場合において、離した直後のピストン板のふるまいは{① 鉛直下向きに移動する,② 静止したまま,③ 鉛直上向きに移動する}のいずれであるのか、それぞれ該当する番号を選択して答えよ。
3 一方、の場合にはピストン板から手を離すと、ピストン板はどのようにふるまうか、簡潔に説明せよ。

解答 2次方程式コンデンサーと気体の融合問題です。極板間電圧よりも大きくなるとクーロン力が支配的になり、よりも小さいと気体の圧力の影響が出てくる、という違いを意識しながら考えましょう。

(1)() 電界は両板間にのみ存在し、ピストン板の上側には電界は存在しません。ガウスの法則を適用するために、ピストン板をぴったり覆う閉曲面を考えると、ピストン板の上側からの寄与はなく、両板間の電界の大きさをEだとして、ガウスの法則より、

電界の向きは鉛直下向きで、両板間の電界は、 ......[]
注.ピストン板の電荷から上下方向に電気力線が延びると考えると、ピストン板の電荷が周囲に作る電界として、ピストン板をぴったり覆う閉曲面の面積は上下でなので、ガウスの法則は、となり、です。極板間には、底板の電荷Qもピストン板が作る電界と同じ向きに同じ大きさ電界を作るので、両電界を合わせて、大きさ電界ができることになります。ピストン板の上側では、ピストン板の電荷が作る電界と底板の電荷の作る電界が、等大逆向きとなるため、打ち消し合って、電界0になります。
() 底板の電荷がピストン位置に作る電界が、ピストン板の電荷Qに及ぼすを考えることにより、ピストン板に働く静電気力は、 ......[] (両板には異符号の電荷がいるので、この間に引力が働きます)

(2)() ピストン板と底板で形成されるコンデンサーの静電容量は、,両板に蓄えられる電荷は、です。ピストン板に働くは、手で支える電気力,鉛直下向きの外気による,ピストン板に働く重力,シリンダー内の気体が鉛直上向きに及ぼすです。
これらの力のつり合いより、
・・・①
シリンダー内の気体の状態方程式
を①に代入することにより、
......[] ・・・②
() のとき、となる位置が2カ所存在するために、に関する2次方程式と見て、この2次方程式が相異なる2実数解を持てばよいから、
判別式:


よって、求める閾値は、 ......[] ・・・③
() ,つまり、両板が帯電していないとき、②より、
とすると、
......[]
()() で割り、をかけると、
・・・④
zの係数は、
・・・⑤
です。⑤÷③として、nRTを消去すると、

⑤とこれを④に代入すると、

より、
......[]

1 
などとして、などとしてを計算してみるとよいでしょう。グラフは右図のようになります。

2 (A) のとき、ピストンを支えるだから、手を離してこのがなくなれば鉛直下向きに移動します。よって① ......[]
(B) のとき、だから、手を離せば鉛直上向きに移動します。よって③ ......[]
(C) のとき、だから、手を離せば鉛直下向きに移動します。よって① ......[]

3 の場合には、2次方程式:の判別式:となり、2次方程式が実数解を持たなくなります。
このときは、すべてのに対して、となり、どこで手を離しても鉛直下向きに移動します。


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  1. 2008/07/29(火) 12:29:15|
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京大物理'05年前期[2]

京大物理'05年前期[2]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれ記せ。また、文中に挿入された問1についてはグラフを描け。
1のように、水平に間隔lで平行に置かれた2本のじゅうぶんに長いレールの上に質量mの導体棒が乗っている。レールは導体でできており、その太さはlに比べてじゅうぶん小さいとする。2本のレールにはそれぞれ端子1a1bが取り付けられている。導体棒は常にレールと直交し、レールと平行な方向にのみ滑らかに動くことができ、摩擦は無視できるものとする。導体棒の速度vは右向きを正とする。2本のレール間には、常に鉛直上向きに一様な磁束密度Bの磁界がかけられているとし、レールや導体棒を流れる電流によって生じる磁界は無視するものとする。導体棒上に示した→は、導体棒を流れる電流の正の向きを表す。以下では抵抗と明示したもの以外の電気抵抗は無視できるものとする。
(1) この系を、端子1a1bをもつ回路素子と見たときのはたらきについて調べよう。まず、この回路素子に電流が流れる様子を微視的な視点から考察する。レール上に置かれた導体棒中に電荷qを持った1つの荷電粒子が一定の速度uで手前から奥に向かって移動する状況を仮想的に考える。ただし、導体棒の速度vuに比べて無視できるものとする。このとき電荷は磁場からレールと平行右向きに イ の力を受ける。電荷が手前側のレールとの接点から出発してもう一方のレールとの接点に到達する間に、導体棒がこの荷電粒子を通じて受ける力積は ロ である。この答えからわかるように、導体棒が受ける力積は電荷の移動速度によらない。したがって、他の外力がはたらかない状況で、静止している導体棒が速度vまで加速されたならば、その間に導体棒を流れた電荷の総量は、 ハ で与えられる。また、このとき導体棒が磁界中を運動していることによって生じる起電力、すなわち、端子1aに対する端子1bの電圧Vvをもちいない表式で
と与えられる。
(2) 次に、図2に示した電気容量Cのコンデンサー、電気抵抗Rの抵抗、起電力がEの直流電源と2つのスイッチabからなる回路の端子2a2bを、図1の端子1a1bにそれぞれつないだ。各スイッチは最初、左側に倒されており、導体棒は静止していた。この状態から、時刻においてスイッチaを右に倒し、直流電源側につないだところ、導体棒の速度vは図3に示すように、次第に増加し、一定値 ホ に近づいた。ここで図3中のは、v0からになるのに要した時間である。導体棒の速度がvのとき、導体棒を流れる電流は、vを用いて ヘ と表される。
1 右図に、このときの、直流電源の仕事率、抵抗における消費電力、および導体棒にはたらく力の仕事率の時間変化のグラフを、それぞれ実線(――),破線(---),点線(・・・・・・)で描け。なお、横軸の目盛は図3と同じものを用い、縦軸の目盛りは、スイッチaを右に倒した直後の直流電源の仕事率が1となるように選べ。また、記号や式など、3つの曲線以外のものは記入しないこと。
(3) 今度は、スイッチbを右側に倒して回路をコンデンサー側につないだ場合を考える。前と同様に、スイッチaは左に倒しておき、導体棒は静止させておく。スイッチaを右に倒すと、導体棒は動き始め、じゅうぶん時間が経過した後に導体棒は等速運動をした。等速運動になった後にコンデンサーに蓄えられている電荷は ト ,導体棒の速度は チ である。
(原問題文は「磁界」と「磁場」が両方とも出てきますが同じものを指すと考えてください)

解答 (1)() 電荷q磁束密度B磁界中を速さuで移動するときに受けるの大きさは、ローレンツ力の公式より、
......[] (の向きは電荷qの移動方向を電流の向きとしてフレミング左手の法則で考えます)
() 電荷が手前のレールとの接点からもう一方のレールとの接点まで移動する時間は、距離l速度uで進むので
導体棒が受ける力積は、
......[] (原問題文に、この力積の値が電荷移動速度uに依存しないことに対して注意するように書かれています)
() 導体棒が静止した状態から速度vになるまでに、導体棒を通過した電荷の総量をQとして、導体棒が受ける力積,一方、導体棒の運動量の変化は、
・・・①
......[]
() 電磁誘導の法則より、磁束密度B磁界中を長さlの導体棒が速さvで通過するときに、導体棒に発生する起電力の大きさは、
①より、 ・・・②
フレミング右手の法則によれば、導体棒の移動方向(右手親指)が右向き、磁界の方向(右手人差し指)が鉛直上向きで、起電力の方向(右手中指)は、導体棒に奥から手前に向かって電流を流す向きです。
レンツの法則によれば、導体棒を右に動かしているので、これを妨げる向き(左向き)が働くような向き、つまり導体棒に奥から手前に向かって電流を流す向きに起電力が生じます。
このとき、端子1aの方が1bよりも高電位になります。
「端子1aに対する端子1b電圧」と問題文にあるときは、端子1bの方が端子1aよりも電位が高いときに正の電圧です。つまりです。よって、

......[]

(2)() 導体棒の速度vだとして、導体棒には端子1a高電位1b低電位になるような起電力が発生します。回路全体での起電力
抵抗Rを流れる電流は、オームの法則よりvを用いて表すと、
......[] ・・・③
() だとして、この電流には右向きのが働くので、導体棒の速度vは増加します。
導体棒の速度が一定値になるとき、導体棒にはが働かず、導体棒には電流が流れません。のときに③を0として、
......[]
1 直流電源の仕事率は、電源電圧E電流より、
 (電力を参照)
抵抗の消費電力は、
導体棒に働く仕事率は、
の間にはという関係があります。つまり、直流電源のする仕事は、抵抗で消費されるジュール熱と導体棒に対する仕事の和に等しくなります。
においては、で、 (これが縦軸の目盛り1になる)
3において、において、になるところがあります。このとき、
において、,このとき、
において、,このとき、
のとき、
よって、右図。実線()が直流電源の仕事率,破線()が抵抗における消費電力,点線()が導体棒に働く力の仕事率です。

(3)() コンデンサーが蓄えている電荷Qとして、充分時間が経過して導体棒が等速運動になったときの速さvとすれば、回路全体の起電力は、②を用いて、
このとき、抵抗Rには電流が流れないので、この起電力は全てコンデンサー両端にかかります。コンデンサーが蓄える電荷Qは、
......[]
() ②に代入して、
......[]


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  1. 2008/07/28(月) 11:31:27|
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京大物理'05年前期[1]

京大物理'05年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、  には適した数値を、それぞれ記せ。
1のように、水平な地表面上に敷かれたレールを電車が一定の速さVで動いているとする。このレールは、点Qの手前で点Oを中心とした半径Rの円弧状であり、点Qの先では点Qで円弧に接する直線状となっている。レールの幅、電車の幅、長さ、高さはいずれも、Rに比べて非常に小さいとする。以下の(1)(3)では電車は円弧状のレール上を動いているときについて、(4)では電車が直線状のレールを動いているときについて、車内での小物体の運動を考える。ここで、重力加速度の大きさをgとし、小物体の大きさと小物体に対する空気の抵抗はいずれも無視する。
(1) 電車が点Qの手前の円弧状のレール上を走っているとき、図2のように、電車の天井の点Sから、質量の無視できる長さdの糸でつるされた質量mの小物体は、車内の観測者から見て静止していた。なお、図2はこの電車を進行方向から見たところであり、図の左方向が中心Oの方向である。また、点Aは電車が動いていないときの小物体の静止位置である。このとき、車内の観測者には、車内の小物体に大きさ ア の遠心力が働いているように見えるので、糸が鉛直線SAとなす角度q  イ を満たす。また、糸の張力Tと重力との比はq のみを用いて、 ウ と表される。
(2) 小物体が車内の観測者から見て動いているときでも、その速さがVに比べてじゅうぶんに小さければ、短い間に電車の加速度運動が小物体へ及ぼす影響は、大きさ ア の遠心力のみに現れると近似的に考えることができる。以下、この近似を使って考えることにする。この場合、車内の観測者から見て小物体には常に重力と大きさ ア の遠心力の合力が働くので、あたかも重力加速度の方向と大きさが変化したように見える。この見かけの重力加速度の大きさをとすると、gの比はq のみを用いて表すことができて、 エ となる。
(3) 小物体を点Aから、車内の観測者から見て速さuで電車の進行方向に押し出した。この後、小物体は車内の観測者から見て円運動をした。この円運動の半径はdq を用いて表すと オ である。また、速さudq を用いて表すと カ であり、円運動の周期はdq を用いて表すと キ となる。
(4) この小物体が(3)のように円運動をしていて、ちょうど点Aを通過したときに、電車は図1のレール上の点Qを通過し、直線状のレールに速さVのまま移った。この直線状のレール上を走っているとき、車内の観測者が見ると、図3のように、小物体は点Aを中心とする振動をした。この振動において、点Aから測った小物体の最高位置の高さhugを用いて、 ク と表される。したがって、この振動において糸が鉛直線となす最大の角度をqとして、 エ  カ の結果を使って、のみを用いて表すと、 ケ となる。ここで、aq も小さいとしておよびと近似すると、 コ となる。

解答 難問なのですが、誘導に従って考えてゆけばゴールにたどりつけます。(3)u(4)uが結びつけばよいのです。

(1)() 等速円運動している電車の加速度です。電車内の観測者から見て小物体に働く遠心力は、 ......[]
() 右図より、 ......[]
() 張力Tと見かけの重力がつりあうから、 ......[]

(2)() ......[]

(3)() 電車内の観測者から見て、小物体は、Aを通り図2の糸の方向(つりあいのときの方向)と垂直な面内で等速円運動する。
円運動の半径は、 ......[]
() 2の糸の方向での力のつり合いより、
......[]
() 円運動の周期とし、円周の長さを考えて、
......[]

(4)() A位置エネルギーの基準として、Aでは運動エネルギーのみ、最高点では、位置エネルギーのみ。
.......[]
() (2)の結果(3)の結果より、
一方、図3より、
よって、
......[]
() 問題文の近似を行うと、

1 ......[] 

(3)は、「見かけの重力」を重力のように考えて、糸に角度をつけて小物体に速度を与えると考えれば、円錐振り子になっていることがわかると思います。
(4)は、円錐振り子の円の接線方向の速度(等速円運動の速さ)振動中心での速さになることに気づけばよいでしょう。振動を考える必要もなく、力学的エネルギー保存則の式を立てるのみで解決します。


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  1. 2008/07/27(日) 08:48:58|
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京大理系数学'05年前期[6]

京大理系数学'05年前期[6]

先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただし、とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車輌の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。

解答 赤色に塗られる車両は、1両で次が青か黄のこともあるし、2両続くこともあるし、何両も続くこともあるので、先頭車両から順に色の塗り分け方を、右図のように樹形図に書きながら、場合の数を数えてゆくと破綻します。
人間の本能として、何か仕事を与えられたときにいっぺんに仕事を片付けてしまいたいと思ってしまいがちです。でも、人間には頭脳は一つ手は二つしかありません。限られた道具で大きな仕事をするためには、仕事をいくつかに分割して作業を進める必要があります。

樹形図をよく眺めてみると、同じような繰り返しのパターンがあることに気がつきます。樹形図を書くこと自体は問題を解くのには役立ちませんが、問題解決のアイデアを思いつくためには決して無駄な作業とは言えません。

コンピュータに仕事をさせるとき、プログラムを組んで仕事をさせます。そのときに、プログラムの中に同じような繰り返しがよく出てきます。一々記述していると面倒なので、これを1つのサブルーチンにまとめて、いろいろな場所からこのサブルーチンを呼び出すということをよくやります。樹形図の中から繰り返しパターンを抜き出す作業は、まさに、このサブルーチン化作業のトレーニングを行っているわけです。

右図に繰り返しパターンの一つを抜き出しました。n両目の色は、赤か青か黄です。n両あるときにn両目が赤になる場合の数を通りとします。n両目が青になる場合の数を通りとすると、n両目が黄になる場合の数も通りです。この問題では青と黄を入れ替えても色の塗り方の数に違いはありません。

n両目が赤のときには、両目は赤でも青でも黄でもかまいません。
n両目が青のときには、両目は赤に限られます。
n両目が黄のときも、両目は赤に限られます。

両目が青になるのは、n両目が赤のときだけです。両目が青になる場合の数は、n両目が赤の場合の数に等しく通りです。
・・・①
両目が黄になる場合の数を考えても①式になります。
両目が赤になる場合の数は、n両目が赤のときの場合の数,青のときの場合の数.黄のときの場合の数の和になります。
・・・②

の初項を考えます。問題文ではとなっていますが、右上図を見ると、となることがわかります。
1両だけのときの色の塗り方も考えて、としておくと、連立漸化式①,②は、のときも成り立ちます。
①,②を
として考え、を初項とします。

連立漸化式の解き方はいろいろありますが、ここでは、①を使ってを消去することにします。
が出てくるように、②式でnとします。
①を代入すると、
これで、3項間漸化式 ・・・③ ができました。
③の特性方程式
(3項間漸化式を参照)は、



これより、は、公比:等比数列です。初項は、
よって、 ・・・④


これより、は、公比:2等比数列です。初項は、
よって、 ・・・⑤

⑤-④より、


さて、n両あるときの色の塗り分け方の方法の数ですが、n両あるとき、n両目は赤か青か黄のどれかですから、
求める方法の数は、
......[]


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  1. 2008/07/26(土) 14:49:25|
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京大理系数学'05年前期[5]

京大理系数学'05年前期[5]

kを正の整数とし、の範囲で定義された2曲線
, 
を考える。
(1) は共有点をもつことを示し、その点におけるの接線は点を通ることを示せ。
(2) の共有点はただ1つであることを証明せよ。

解答 (2)は難問です。

 ・・・①, ・・・② とします。
(1) ②について、 (商の微分法を参照)
②の全実数xに対する増減表は以下の通り(関数の増減を参照)
x() 0 ()
0
y1

②において、とすると、
全実数で考えたときの②のグラフとx軸との交点は
従って、kを正の整数として、において、

①について、 (k:正の整数) (微分の公式を参照)
のとき、のとき、
よって、はこの範囲において単調減少で、2を通ります。
以上より、2曲線は、この範囲において、共有点をもちます(右図参照)
この共有点Px座標をtとします。y座標は、
 ・・・③
Pにおける接線は、
 ・・・④
③より、
ところで、tも、を満たすから、であって、
これと③を④に代入すると、
 ・・・⑤
⑤において、とするととなるから、
共有点Pにおけるの接線は、点を通ります。

(2) (1)だけでは、共有点が存在することは言えても、共有点が「ただ1つ」ということは言えません。右図のように、2曲線とも単調減少であっても、よじれるようになっている場合には、複数個の共有点が存在する場合もあるからです。
とおいて、が単調減少であることが示せれば、から、共有点がただ1つと言うことができます。
が単調減少であることを示すには、が言えればよいのですが、これは成り立ちません。この辺をきちんと調べていき出すと、大変なことになります。試験場では、早めに見限る必要があります。
増減から考えていくのでないとすると、①と②を連立した方程式から共有点を考えていくことになります。

①と②を連立すると、
これは、とても解けそうな方程式ではありません。
例えば、この範囲に2tuをもつとして、
としてみても、矛盾点が出てきません。
この辺で試験場では行き詰まってしまうかも知れません。
こういうときに、一つ考えたいのは、(1)を利用するのだろうということです。(1)では、共有点における接線が出てきます。ハハーン、接線を利用するのだろうな、ということになるわけです。
受験生の皆さんは、試験場で行き詰まったら、必ず、問題文を読み返して、見落としているポイントがないか、チェックするようにしましょう。

⑤より、共有点Pにおける接線は、
と書けます。この接線は(1)より、を通ります。
(1)のグラフより、において、x軸よりも下を通ります。ということは、共有点Py座標は負です。
は、においては、の部分を通りますが、においては、の部分を通ります。
共有点Py座標が負ということは、共有点Pの範囲に存在しているということです。
Pと異なる共有点Qがあると仮定する()と、⑤と同様にして、Qにおける接線は、
です。この接線もを通ります。
これが何を意味するかと言うと、点から、曲線の部分に異なる2接線が引けるということです。
ところが、曲線の部分は、単調減少かつ下に凸なので、どうやっても、点から2本接線を引くことはできません(関数の凹凸を参照)
従って、矛盾が生じるので、Pと異なる共有点が存在するとした仮定は誤り、ということになります。
これで、共有点がただ1つしかないと言えます。


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京大理系数学'05年前期[4]

京大理系数学'05年前期[4]

を満たす整数の組をすべて求めよ。

解答 整数の問題です。

ではとなり得ないので、
はともに正の整数であり、731は互いに素なので、
以下の
4パターンに限られます。
1)
2)
3)
4)

各場合について、aを消去しbについて解きます。

1) より、
整理すると、

のとき、
のとき、

2) より、
整理すると、
このときは、判別式:となり、実数解をもたないので不適(2次方程式の一般論を参照)

3) より、
整理すると、

のとき、
のとき、

4) より、
整理すると、
このときは、判別式:となり、実数解をもたないので不適。

以上より、 ......[]


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京大理系数学'05年前期[3]

京大理系数学'05年前期[3]

abgは相異なる複素数で、を満たすとする。このとき、abgの表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。(ただし、複素平面を複素数平面ともいう。)

解答 この問題は、現行課程では範囲外の問題です。なお、複素数平面を参照してください。

より、

とおくと、3次方程式の解と係数の関係より、abgは、3次方程式:3解であって、
相異なる複素数abgは、z(です)のいずれか3個であって、これら3複素数で正三角形を作ります。


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京大理系数学'05年前期[2]

京大理系数学'05年前期[2]

を満たす自然数nは何個あるか。ただし、である。

解答 各辺の常用対数を調べます。
左辺:
中辺:
右辺:
よって、
各辺をで割ると、
・・・①
①の左辺:
より、

従って、自然数nに関する①の左側の不等号は、32以上としておけばよい。
①の右辺は①の左辺の2倍になっているから、より大きく、よりも小さいので、62以下としておけばよい。
従って、条件を満たす
nの個数は、32から62までの31 ......[]


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京大理系数学'05年前期[1]

京大理系数学'05年前期[1] 京大理系数学'05年前期[1]

xy平面上の原点と点を結ぶ線分(両端を含む)Lとする。曲線Lと共有点をもつような実数の組の集合をab平面上に図示せよ。

解答 入試では頻出の2次方程式の解の配置の問題です。

原点と点
を結ぶ直線は傾きが2なので、 ・・・①

放物線:
・・・② と、L,即ち、直線①のの部分とが共有点をもつ
①と②を連立してできる2次方程式:の範囲に少なくとも1解を有する
1) がただ1つの解をの範囲にもつかまたは01を解にもつ
または、
2) が重解も含めて2つの解をの範囲にもつ

1) (両端での関数の値が異符号か0)

この不等式の表す領域は、直線(a)から下でかつ直線 ・・・③ から上の領域、及び、直線から上でかつ直線から下の領域です。 ・・・④

2) a) の判別式:
かつ
b) の軸の位置:について、
かつ
c) かつ

a)より、
b)より、
c)より、 かつ

a)かつb)かつc)の表す領域は、放物線 ・・・⑤ から下側であって、かつ、直線(a)から上であって、かつ、直線から上であって、かつ、直線から右で、かつ、直線から左の領域です。 ・・・⑥

求める集合は、④と⑥の和集合であって、図示すると右図斜線部(境界線を含む)


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  1. 2008/07/25(金) 09:52:17|
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京大物理'06年前期[3](再掲)

京大物理'06年前期[3]

次の文を読んで、  には適した式を、また{  }からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。
(1) 一般に熱の出入りを伴わない状態変化を断熱変化と呼ぶが、気体の断熱変化では、変化の各段階で平衡状態が実現しているならば、という関係が成り立つ。べき定数g は気体の種類によって異なるが、必ず1より大きい値をもつ。以下では、空気に対するべき定数を、g と表す。
空気は断熱性がよいので、大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力や温度は、高度によって決定されているとしよう。また、空気1molあたりの質量をwとし、この値は高度によらず一定とする。このとき、地表の気温を絶対温度で(以下、温度はすべて絶対温度とする),気体定数をR,地表における空気の密度をとすれば、地表における大気の圧力は あ で与えられる。また、ある高度における大気の温度をTとするとき、その高度での大気の圧力は い ,密度は う と表される。
(2) さて、大気が上に述べたような状態にあるときに、熱気球を飛ばすことを考えてみよう。気球は断熱性の布でできており、気体の部分を除いた気球の質量はMである。最初、気球は空気は入っていない体積0 (ゼロ)の状態であった。飛ばないように気球を固定し、気球の下部が開いた状態で、外気を熱して温度にした空気を体積 え だけ詰めたところ、気球は浮かび始めた。さらに続けて、温度の空気を気球の体積がVになるまで入れた。このときの気球内の空気の物質量は お molである。また、空気の定積モル比熱をとすると、気球内に入った空気には、もとの大気の状態から か の熱が加えられ、内部エネルギーは き だけ増加したことになる。
(3) ここで、気球の下部を閉じ、固定をはずして気球を飛ばしたところ、ある高度まで上がって静止した。気球内の空気の温度と体積Vが変化しないとすると、この高度での大気の温度は く である。さらに、気球の下部を開き、体積はVのまま気球内の空気の温度を け にしたとき、気球の高度は変わらなかった。このときの気球内の空気の温度は、

解答 (1)() 地表において大気n[mol]体積の空間に存在して密度になるとすると、その質量について、

地表における大気圧として、
状態方程式 ・・・①
......[] ・・・②

() 問題文の「大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力温度は、高度によって決定されているとしよう。」という表現をどう考えるかですが、重力加速度が与えられていないので、(上空の気体の圧力による)(地表から上にある気体に働く重力)(地表の大気圧による)と考えることはできません。
ということは、この問題文中のヒントを、地表の気体が上空に移動して、その際、断熱変化したとして考えよ、というヒントとして考えることにします。
温度T高度における大気の圧力p,大気n[mol]体積V密度rとします。この高度での気体の状態方程式

一方①より、
問題文中に与えられている断熱変化における、という関係(ポアッソンの関係式)を用いると、


 ・・・③
②を用いて、
......[]

() ()を求めたのと同様に考えて、
 ・・・④
④÷②より、
③より、
 ・・・⑤
......[]

(2)() ④において、Rは定数ゆえ、pwが一定の場合、 ・・・() です。
気球が浮かび始めたときの気球内の密度体積だとします。このとき、気球下部が開いているので、気体の圧力大気圧です。
()より、
 ・・・⑥ (()の結果は断熱変化をしている場合、⑥は定圧変化の場合)
重力加速度gとして、気球が浮かび始めたとき、気球に働くは、上向きに働く浮力,気体の部分を除いた気球に働く重力(下向き),気球内の気体に働く重力(下向き)です。
これらの力のつり合い(気球が浮かび上がる瞬間にはまだ力のつり合いが成立しています)より、
⑥より、
......[]

() 気球内の気体の体積Vになったとき(気球の下部が開いているので、圧力のまま)、気体の物質量をn[mol]だとして、
気体の状態方程式
......[]

() この間、気球の下部が開いているので、気球内の気体は定圧変化をします。定圧モル比熱マイヤーの関係式より、
定圧モル比熱の式より、気体に加えられたは、
......[]

() 内部エネルギーの増加は、
......[]

(3)() 気球の体積Vのままなので、気球内の気体の密度のままです。気球が静止したとき、この高度での大気の密度rとして、気球に働くは、浮力(上向き),気体の部分を除いた気球に働く重力(下向き),気球内の気体に働く重力です。
これらの力のつり合いより、
⑥より、
 ・・・⑦
一方気球が静止した高度における大気の温度Tとすれば、⑤と⑦より、
両辺を乗して、
 ・・・⑧
......[]

() 気球の下部を開くと気球内の気体の圧力は、この高度での気体の圧力pになります。気球内の気体の温度とします。また、このとき、気体の体積Vのままなので、定積変化になります。
気球の下部を開く前の気球内の気体の圧力は、気球の下部を地表で閉じたときの圧力のままです。下部を開いても、気球に働く力のつり合いが成立しているので、気球内の気体の量はn[mol]のまま変化しません。気球内の気体について、
下部を開く前の状態方程式 ・・・⑨
下部を開いた後の状態方程式 ・・・⑩
⑩÷⑨より、 ・・・⑪
③を用いて、
⑧を用いて、
......[]

() 題意より、です。
また、気球の固定をはずして気球が飛び上がったということは、
よって、
従って、
()の結果において、より、
......[] (この結果、⑪より、上空に行くほど圧力が小さくなることがわかります)


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京大物理'06年前期[2](再掲)

京大物理'06年前期[2]

次の文を読んで、  には適した式または数値を、{  }からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。
水平な板の上に、図
1のように導体でできた十分に長い2本のレールが間隔Lで平行に置かれている。電気抵抗がの金属棒と、電気抵抗がの金属棒はともに長さがLで、絶縁体の糸でつながれて2本のレールに直交して置かれ、その上を左右に摩擦なく動けるようになっている。2本のレール間には一様な磁束密度B ()の磁界が鉛直上向きにかかっている。金属棒の中心には、おもりと板との摩擦により、左向きに力をかけることができるようになっている。ただし、電気抵抗はとする。また、金属棒以外の導体の電気抵抗、および電流により発生する磁界は無視できるものとする。

(1) 電圧Vの直流電源をレールにつないで金属棒を右向きに動かすためには、{イ ① 端子を端子につなぎ、端子を端子につなぐ, ② 端子を端子につなぎ、端子を端子につなぐ}ことが必要である。各端子をこのようにつないで電流を流しても金属棒が動かないようにするためには、大きさ ロ の力をおもりによってかけなければならない。このとき直流電源から流れ出る電流は ハ である。
(2) おもりをはずしておもりによる力が働かないようにすると、金属棒は右向きに動き出し、その速さは次第に増加する。金属棒の速さがuのとき、磁界によって金属棒に生じる起電力の大きさは ニ であり、金属棒に流れる電流の大きさは ホ である。また、金属棒に働く電磁力は ヘ である。金属棒の質量が等しい場合には、これら2つの金属棒の加速度とそれぞれに働く力の関係を考察することにより、両金属棒をつなぐ糸には ト の張力が働いていることがわかる。この金属棒の動く速さはやがて一定の値 チ になり、直流電源から流れ出る電流の大きさは リ となる。
(3) 次に、(1)の場合とは異なるおもりをつけて金属棒に力Fをかけた場合を考える。ただし、力Fは前出の ロ の力よりも小さいものとする。上と同様に結線をして電流を流し、金属棒が動きだし、やがて一定の速さになったとき、その速さは ヌ である。このとき金属棒に働く電磁力が力Fに逆らってする単位時間あたりの仕事 ル である。一方、金属棒で発生するジュール熱の和は単位時間当たり ヲ である。また電源が単位時間あたりにする仕事 ワ である。これらより、の間には カ の関係が成り立つ。

解答 (2)では、最初から糸がぴんと張っていたとして考えることにします。なので、最初にたるんでいたとしても、いずれ、2本の金属棒が同じ速さで動くときには、ぴんと張る状態になります。

(1)() 金属棒が右向きに動き出すと言うことは電磁力が右向きに働くということです。フレミング左手の法則により、電流は金属棒を側から側に向かって流れます。従って、の方がより電位が高く、を接続し、を接続することになります。
......[]

() 電流に働く (右向き)
電流に働く (右向き)
おもりによってかける力の大きさは、合力に等しく、
......[]

() このときの直流電源から流れ出る電流は、
......[]

(2)() 金属棒の速さuのときの起電力は、 ......[] (フレミング右手の法則より、起電力の向きは、側から側に向かって電流を流す向き)

() 直流電源と金属棒を回る閉回路において、起電力は直流電源Vとこれと逆向きので、金属棒を流れる電流とすると、キルヒホッフ第2法則により、
......[] (題意より、金属棒には右向きにが働くので、金属棒には側から側に向かって電流が流れ、,従って、であって、電流の大きさはになります)

() 金属棒に働く電磁力は、
......[]

()  直流電源と金属棒を回る閉回路において、起電力は直流電源Vとこれと逆向きので、金属棒を流れる電流とすると、キルヒホッフ第2法則により、
 ・・・①
金属棒に働く電磁力は、
これと()の結果を見比べると、より、です。右側のに働くの方が大きいので、糸はぴんと張ったままになり張力が働きます。糸がぴんと張っていれば、は一体となって動くので、両者は同じ加速度で動くことになります。
糸の張力の大きさをTとすると、金属棒に働く力は、右向きの,糸の張力T (右向き),金属棒に働くは、右向きの,糸の張力T (左向き)です。
金属棒質量m加速度aとして、
金属棒運動方程式 ・・・②
金属棒運動方程式 ・・・③
②,③より、
......[]

() 金属棒の速さが一定の値になるとき、
②より、
......[]

() ()が成立するとき、()の結果と①より、
従って、直流電源から流れ出る電流の大きさは、0 ......[]

(3)() 金属棒からなる系に働くは、電磁力 (右向き)と、おもりによF (左向き)です。
金属棒が一定の速さで運動するので、力のつり合いより、
よって、両金属棒の速さuとすると、()の結果などにより、


 ・・・④
......[]

()  電磁力Fに逆らってする単位時間あたりの仕事は、
......[]

()  単位時間に両金属棒に発生するジュール熱の和は、

 (ここで④を用いる)

......[]

()  電源が単位時間あたりにする仕事は、④を用いて、
......[]

() 
......[]


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京大物理'06年前期[1](再掲)

京大物理'06年前期[1]

次の文を読んで、  に適した式または数値をそれぞれの解答欄に記入せよ。
 図1のように、質量mの粒子が、速さvで、半径rの球殻内面と弾性衝突を繰り返している。球殻との衝突角度をq (ラジアン)とする。
1つの粒子が1回の衝突で球殻に与える力積は ア である。これを球殻に衝突してから次の衝突するまでの時間(飛行時間)で割ることにより、単位時間当たりの力積の総和 イ が与えられる。速さvN個の粒子が互いに衝突することなく、球殻内面の様々な場所で衝突を繰り返しているとする。球殻が平均的に受ける圧力Pは、単位時間当たりの力積を球殻の表面積で割った量で与えられる。すなわち、
 ウ    (1)
となる。
 さて、この球殻の半径をゆっくりと縮めていく過程を考えよう(2)。半径が縮む速さwは粒子の速さvに比べて十分小さいものとする。
粒子が速さ
,角度q で、速さwで近づいてくる壁(球殻)に衝突した。この衝突によって、粒子の速さはvへと増加し、反射角度はへと減少した。壁に垂直な方向の運動については、速さwで移動する壁を中心に完全反射するので
 エ    (2)
が成り立つ。壁に平行な方向の運動については、運動量が保存されるので
   (3)
が成り立つ。小さいd に対して,およびの関係が成り立つとして関係式(2)(3)を解くと、1回の衝突による速度の増加分u(wq を用いて) オ ,角度の減少分d (wvq を用いて) カ で与えられる。
さて、時刻
0 (ゼロ)で角度で反射した粒子が次に球殻に衝突する時刻tには、球殻の半径はに縮小している。この半径の縮小に伴い、衝突角度はからe だけ増加したとする。図2からわかるように
   (4)
の関係が成り立つ。この間の飛行時間をと近似すれば、この飛行時間によって生じる衝突角度の増加分e (wvqd を用いて) キ と表される。このe は、半径が縮む速さwが十分小さい極限ではd と等しい。つまり、球殻半径をゆっくりと縮小させる過程では、1回の衝突によって生じた角度の減少分d は飛行時間によって生じた角度の増加分e によって相殺され、衝突角度は常に一定に保たれる。
一方、粒子の速さは衝突のたびに増加する。衝突
1回当たりに速さが増える率と半径が縮小する率の積は(wvqd を用いて)
 ク    (5)
で与えられる。この量は衝突角度q に比べてその変動がd が小さい極限で1となる。したがって、粒子の速さvは、球殻の半径rに反比例して変化する。
球殻の受ける圧力は、単位時間当たりの力積を球殻の表面積で割った量で与えられるが、それは式
(1)で見たように、粒子の速さv2乗に比例し、半径r3乗に反比例する。上で調べたように、球殻半径をゆっくり変化させる場合には、粒子の速さが半径に反比例するので、圧力Pは体積の ケ 乗に比例して変化する。

解答 球殻に閉じ込められた気体を題材として、断熱変化における「ポアッソンの関係式:(この問題では、気体分子を粒子と考えているので、単原子分子理想気体であって、)を求めてみよう、という問題です。なお、理想気体気体分子運動論を参照してください。
とっつきにくそうな問題ですが、丁寧な誘導がついているので、誘導に従って計算を進めてゆけばゴールにたどりつけます。

() 1個の粒子の衝突前の速度の、衝突面に垂直な成分は、
球殻内面と弾性衝突するので、衝突後の速度の衝突面に垂直な成分の大きさは、衝突前と同じで、
向きは、衝突前と逆向きになるので、衝突後の速度の、衝突面に垂直な成分は、
衝突面に対して垂直な方向で、1個の粒子が受ける力積は、運動量の変化に等しく(運動量の原理を参照)
1個の粒子が1回の衝突で球殻に与える力積は、粒子が受ける力積と等大逆向き(作用・反作用の法則を参照)で、 ......[]

() 1個の粒子が球殻内面に衝突してから次に衝突するまでに、進みます。粒子は、速さvで進むので、球殻内面に衝突してから次に衝突するまでの時間は、
1個の粒子が単位時間に球殻内面に衝突する回数は、1秒をで割って、
1個の粒子が単位時間に受ける力積の総和は、1回の衝突における力積に回数をかけて、
......[]

() 球殻内には、N個の粒子がいるので、単位時間に球殻内の全粒子が球殻に与える力積の総和は、
球殻内面の表面積は、半径rの球面の面積として、
球殻が平均的に受ける圧力Pは、
   (1)
......[]

() 壁に垂直な方向について、壁の速度w,粒子の衝突前の速度,衝突後の速度より、粒子は弾性衝突するので、
反発係数の式
   (2)
w ......[]

() 壁に平行な方向について、
   (3)
(2)で、と近似すると、
   (6)
(3)で、と近似すると、
   (7)
(6)×(7)×より、
......[]

() ()の結果を(7)に代入すると、
......[]

()    (4)
wvに比べて十分に小さいので、e に比べて十分に小さいと考えることができて、と近似すると、

......[]

() 
......[]

() ()の極限で1に近づくので、と近似すると、
速さからvに変化するときに、半径rからへと変わるので、これは、粒子の速さvが、球殻の半径rに反比例して変化することを意味します。そこで、kを定数として、とおくと、
(1)より、
球殻内の体積Vは、より、,これを代入すると、
よって、圧力体積乗に比例します。
......[]


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京大理系数学'06年前期[6](再掲)

京大理系数学'06年前期[6]

として、関数F
   
で定める。q?の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。

解答 最大値を求めるために、どうせ定積分の計算が必要になります。


 (部分積分法を参照)
とすると、
または
より、
のとき、


の増減表は(関数の増減を参照)
q0
00
0
増減表より、最大値: ......[]

の計算は、
OKです(定積分の微分を参照)


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京大理系数学'06年前期[5](再掲)

京大理系数学'06年前期[5]

に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。

解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、2つのベクトルを使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。
正答を求めるだけなら簡単ですが、きちんと論証するのはなかなか難しい問題です。

Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・①
とおくことができます。
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・②
とおくことができます。
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・③
とおくことができます。
三角形PQRの重心をGとして、

 ・・・④
とおくと、
 ・・・⑤

さて、klmについて、
 ・・・⑥
という条件がありますが、④の中に登場する、については、
 ・・・⑦
という制限がつきます。
しかし、⑦を満たすようなklmをとって、例えば、としても⑦は満たされますが、
とすると、前者より,後者よりとなってしまって、⑥を満たすようなklmをとることができません(題意を満たす三角形PQRを作ることができない)
つまり、⑦だけでは、条件不足なのです。そこで、
⑦に条件を加えて、この条件が満たされれば、⑥を満たすklmの組が必ず存在するようにします
④で、
を考えるとlが消えてが出てくるので、の取り得る値を考え、⑦に、
という条件を加え、
 ・・・⑧
とします。
⑧を満たすklmをとると、第2式と、第3式から、
となりますが、mを満たすどのような値にしても、⑧の第1式と⑥をすべて満たすような、klをとることができます(⑧の条件を満たすklmの組が1組でも存在すれば題意を満たす三角形PQRを作ることができます)

より、
より、
より、

右図で、辺AB3等分する点をA側から、DHとします。
BC3等分する点をB側から、EIとします。
CA3等分する点をC側から、FJとします。

⑤式で定める点
Gについて、
を満たすのは、より、直線AC上の点。
を満たすのは、より、直線HE上の点。
よって、を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、
を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、
を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)

以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形
DHEIFJの内部(境界線は含まない) ......[]


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京大理系数学'06年前期[4](再掲)

京大理系数学'06年前期[4]

2以上の自然数nに対し、nがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ。

解答 n素数となるものを、を除いて書き並べてみます。
のとき、のとき、のとき、のとき、のとき、
こう書いてみると、がいずれも3の倍数であることに気付きます。を除いて、3の倍数になることを言えば、題意が言えることになります。

のとき、3の倍数であって、素数ではありません。
のとき、は素数です。
となる素数nについて、n3倍数ではないので、kを整数として、とおくと、に限られます。
のとき、

は、3の倍数であって素数ではありません。
のとき、

は、3の倍数であって素数ではありません。

以上より、nがともに素数となるのはの場合に限られます。


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京大理系数学'06年前期[3](再掲)

京大理系数学'06年前期[3]

関数のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのの部分は、軸がy軸に平行で、点を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

解答 の部分は、点を頂点とする放物線だから(2次関数を参照)
 ・・・①
原点を通るから、①において、として、

よって、の部分は、
 ・・・②
のとき、
よって、における接線は、
 ・・・③
の部分は、②と原点に関して点対称な放物線なので、②において、と書き換えて、
 ・・・④
③と④の交点は、③,④を連立して、


このうち、の部分にある交点のx座標は、

題意の図形のうち、の部分の面積は、


の部分の面積は、




よって、求める面積は、
......[]


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京大理系数学'06年前期[2](再掲)

京大理系数学'06年前期[2]

Oを原点とする座標空間の3点をABPとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

解答 空間ベクトルの問題です。

線分
AB上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、sを満たす実数として、
 ・・・①
と表せます。
線分OP上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、kを満たす実数として、
 ・・・②
と表されます。
線分OPと線分ABが交点を持つとして、交点は①,②いずれの形にも書けるので、

③+⑤より、 ・・・⑥
④+⑤より、
 ・・・⑦
⑦×
4-⑥×5より、

⑥に代入して、

⑤より、

のとき、③,④,⑤,を満たすskが存在します。
よって、確かに、線分
OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在します。
のとき、①より、交点の座標、即ち、位置ベクトルは、
よって、交点の座標は、 ......[]


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京大理系数学'06年前期[1](再掲)

京大理系数学'06年前期[1]

2次式とする。整式では割り切れないが、で割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。

解答 多項式の除算の問題です。2次方程式が重解をもつと言っているので、2解をabとおいて、を示すことになります。

2次式なので、2解をab (ab は複素数)として、
 ・・・①
と書くことができます。
で割り切れないので、商を,余り(1次式または0でない定数)として、

 ・・・②
で割り切れるので、
因数定理より、
②より、

は、1次式、または、定数なので、より、
と書けます。
または、
のとき、となりますが、これでは、で割り切れることになり、題意に適しません。
よって、
①より、
よって、2次方程式は重解aを持ちます。


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東工大物理'02年前期[3]

東工大物理'02年前期[3]

 質量mの小球の両側に自然長がのゴムひも1のゴムひも2の一端をつなぎ、図のようにこの小球を水平に置かれた長さLの真っ直ぐなレールの上に置く。2本のゴムひもの他端は、レールの両端に固定された支柱につないだ。このときいずれのゴムひもも自然長よりも伸びていた。ゴムひもを自然長から引き伸ばすとに比例する復元力が働く。復元力の比例定数は、ゴムひも1ではk,ゴムひも2ではである。図のようにつりあいの位置をx軸の原点とし、ゴムひも2のある右方向をx軸の正の向きとして小球の位置をxで表すものとする。なお、小球は、レールの上を摩擦なく運動するものとし、たるんだゴムひもにより運動が妨げられることはないものとする。また、ゴムひもの質量は無視できるものとする。

[A] 小球が原点にある場合について考える。
(a) ゴムひも12のそれぞれの自然長からの伸びを求めよ。

[B] 小球をxまで変位させたとき小球が2本のゴムひもから受ける合力Fを考える。なお、力Fの符号は、x軸の向きと同様に右向きを正とする。
(b) Fxの関係を表すグラフをの領域について示せ。なお、この範囲の変位では、小球は支柱にぶつからないものとする。また、答案用紙のグラフでは、変位と力の単位をそれぞれとして表していることに注意せよ。また、特徴的な点の座標については、その数値をグラフ中に記入せよ。

[C] 小球を ()で静かに放した場合の小球の運動を考える。
(c) 小球の加速度をaとして小球に対する運動方程式を導き、運動の周期Tを求めよ。なお、加速度aの符号は、x軸の向きと同様に右向きを正とする。

[D] 小球をで静かに放した場合の小球の運動について以下の問いに答えよ。なお、以下の問いでは、必要な場合には、を用いて解答せよ。
(d) 小球がx軸の負の領域にある場合に、変位の絶対値が最大となる小球の座標を求めよ。
(e) 以上の考察にもとづいて次の文章中の①から⑦の  に当てはまる適当な式、または、数値を解答欄に記入せよ。
小球はx の領域では、x を中心とする振幅 で周期T の単振動の一部となる運動をする。また、x の領域では、x を中心とする振幅 ,周期T= の単振動の一部となる運動をする。全体として両者が、x で滑らかに接続されたものとなる。

解答 [A](a) つり合いの位置で小球に働くは、x軸正方向にゴムひも2張力x軸負方向にゴムひも1張力,この2力のつり合いより、 ・・・①
ゴムひもの長さについて、 ・・・②
①より、,②に代入して、
......[]

[B](b) では、ゴムひも2はたるみます。では、ゴムひも1がたるみます。従って、3つの領域で分けて考える必要があります。
(i) のとき、ゴムひも2はたるみ、ゴムひも1伸びです。たるんだゴムひも2を及ぼさず。ゴムひも1張力x軸負方向を向きます。よって、
(ii) のとき、ゴムひも1の伸びは,ゴムひも2伸びです。ゴムひも1張力x軸負方向、ゴムひも2張力x軸正方向を向きます。よって、
(iii) のとき、ゴムひも1はたるみ、ゴムひも2伸びです。ゴムひも2張力x軸正方向を向きます。よって、

のとき、のとき、のとき、のとき、
以上より、Fxの関係を表すグラフは右図。

[C](c) 小球を ()で静かに放した場合、放した直後においては、小球はの領域にいるので、[B](b)(ii)より、小球にはというが働きます。よって、小球の運動方程式は、

これは、角振動数単振動を表します。振動中心で、で放しているので振幅となり、の範囲で単振動します。この範囲は、[B](b)(ii)の範囲に完全に含まれるので、求める運動の周期は、 ......[]

[D](d) 小球の位置にある間は、[B](b)(i)より、小球に働くで、運動方程式は、

これは、角振動数単振動を表します。このときの周期です。振動中心で、で放しているので振幅となります。小球がx軸負方向に向かって動いていくと、の範囲から出てしまいます。
小球はで静かに放したとき、位置エネルギーを持っています。
まで来たときには、ゴムひも1伸びとなり、位置エネルギー
従って、このときの運動エネルギーは、力学的エネルギー保存より、


の範囲においては、[C](c)で見たように、小球は、振動中心とする角振動数単振動を行います。周期です。
に来たときの位置エネルギーは、[B](b)(ii)よりばね定数をと考えて、となります。
運動エネルギーのまま変わらないので、このとき全力学的エネルギーは、
小球が仮にまで来たとすると、位置エネルギーとなりますが、を超えてしまうので、小球はに到達できません。
において変位の絶対値が最大となるとき()振動中心からの距離です。このときの位置エネルギーは、,このとき運動エネルギー0 (一瞬静止する)なので、力学的エネルギー保存より、
より、 ......[]
つまり、このときの単振動の振幅です。

(e) 上記の考察より、
小球はx ...... の領域では、x ...... 中心とする振幅 ...... 周期T ...... の単振動の一部となる運動をする。また、x ...... の領域では、x 0 ...... 中心とする振幅 .....⑥,周期 ...... の単振動の一部となる運動をする。全体として両者が、x ...... で滑らかに接続されたものとなる。


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東工大物理'02年前期[2]

東工大物理'02年前期[2]

 図のように液体の入った円筒状の容器の中に、熱をよく通すシリンダーがさかさまに浮いている。容器とシリンダーにはそれぞれ、気密性を保ちながら滑らかに動き質量が無視できるピストンがついている。シリンダーには質量が無視できるn[mol]の理想気体が入っており、シリンダーのピストンと容器の底は質量が無視できるバネでつながれている。容器とシリンダーの断面積はそれぞれS,液体の密度はr ,外気圧は[Pa],気体定数はR ,重力加速度はgとする。シリンダーの軸は常に鉛直方向に保たれており、容器とシリンダーのピストンの厚さおよびシリンダーの底の厚さは無視できるものとする。

[A] シリンダーは液面下d[m]のところに静止しており、シリンダーの底からピストンまではh[m]であり、バネは自然長であった。このとき、
(a) シリンダー内の気体の圧力P [Pa]および温度T [K]を求めよ。
(b) シリンダーの質量M [kg]を求めよ。

[B] 液体と気体の温度をともにT [K]から[K]に上昇させ、容器のピストンの上に質量W[kg]のおもりをのせると、シリンダーは静止し、バネはふたたび自然長に戻った。液体の密度および外気圧は変化しないものとして、次の問に答えよ。
(c) シリンダー内の気体の体積および圧力[Pa]を求めよ。
(d) おもりの質量W[kg]を求めよ。

[C] [A]の状況でバネを取りはずす。このとき次の問いに答えよ。ただし、液体と気体の温度は変化しないものとする。
(e) シリンダーを[A]の位置から微小な距離x[m]上昇させると、シリンダーのピストンも[A]の位置からy[m]上昇した。xyで表せ。ただし、のときのシリンダー内の気体の圧力をP[Pa]とし、また、Sに比べて十分大きく容器のピストンの位置の変化は無視できるものとする。
(f) このとき、シリンダーに働く合力F[N]を上向きを正として求め、その結果を用いてシリンダーが上下方向の変位に対して不安定である理由を40字以内で述べよ。

解答 [C]は難問です。シリンダーに働く力のつり合いを考えてしまうとアウトです。シリンダーが動いて力のつり合いが成立するくらいなら(f)で不安定になるはずがない、ということに気づけるとよいのですが。

[A](a) シリンダーのピストンの高さから上にあって、シリンダーの外側の部分をDとし、D内の液体に働くを考えます。この部分D底面積です。
まず、大気が鉛直下向きに押すD体積[]D内の液体の質量[kg]D内の液体に働く重力が鉛直下向きに[N],シリンダーのピストンの高さのところでの液体の力を[Pa]として、D内の液体を下から鉛直上向きに押す[N]
これらの力のつり合いから、
・・・①

シリンダーのピストンに働くは、シリンダー内の気体が鉛直下向きに押す[N],ピストンの下側の液体がピストンを鉛直上向きに押す[N],バネは自然長なのでを及ぼさず、力のつり合いは、
[Pa] ......[] ・・・②

シリンダー内の気体の状態方程式
②より、[K] ......[]

(b) シリンダーの底面(さかさまになっているシリンダーの上側)から上側の部分の液体に働くは、大気が鉛直下向きに押す[N],この部分の液体に働く重力が鉛直下向きに[N],シリンダー内の気体が鉛直上向きに押す[N],シリンダーに働く重力が鉛直下向きに[N]
これらの力のつり合いより、
・・・③

②,③より、
[kg] ......[]
(シリンダーに働く重力浮力のつり合い:を考えればもっと容易です)

[B](c) 容器のピストンの上におもりを乗せた後、シリンダーの底面が液面下[m]のところにあって、シリンダーの底面からピストンまでは[m]だったとします。この場合においてもバネは自然長だったので、です。
シリンダーのピストンの高さのところでの液体の圧力[Pa],シリンダーの底面の高さのところでの液体の圧力[Pa]だとすると、シリンダーのピストンの高さとシリンダー底面の高さの間にあって、シリンダーの外側の部分にある液体に働くは、この部分の液体を上から下向きに押す[N],この部分の液体に働く重力が鉛直下向きに[N],この部分の液体を下から鉛直上向きに押す[N]
これらの力のつり合いより、


シリンダーのピストンに働く力のつり合いより、
・・・④

シリンダーの底面に働くは、ここから上の液体が鉛直下向きに押す[N],シリンダー内の気体が鉛直上向きに押す[N],シリンダーに働く重力が鉛直下向きに[N]
これらの力のつり合いより、
④を代入すると、
であって、シリンダーの位置は[A]と同じです。
よって、シリンダー内の気体の体積は、[] ......[]
((b)と同様に、シリンダーに働く重力浮力のつり合いを考えれば明らかです)

シリンダー内の気体について、状態方程式:
[Pa] ......[] ・・・⑤

(d) シリンダーの底面の高さのところから上側の液体とシリンダーに働くを考えます。大気が鉛直下向きに押す[N],おもりに働く重力が鉛直下向きに[N],この部分の液体に働く重力が鉛直下向きに[N],シリンダー外部の液体が、この部分の液体を鉛直上向きに押す[N],シリンダー内の気体が鉛直上向きに押す[N],シリンダーに働く重力[N]
これらの力のつり合いより、
・・・⑥
④とより,これを⑥に代入すると、
整理して、
⑤を代入しgで割ると、
[kg] ......[]

[C](e) この状況では、シリンダーに外力をかけて上に引き上げているので、シリンダーに働く力のつり合いを考えることはできません
シリンダーをx[m]上昇させたとき、シリンダー内の気体が存在する部分の高さは、[m]です。シリンダー内の気体の体積[]
このときのシリンダー内の気体の圧力として、等温変化なのでボイルの法則より、
・・・⑦
シリンダーのピストンの高さから上側にあって、シリンダーの外側の部分にある液体に着目します。この部分の液体は静止しているので、力のつり合いが成立します。この部分の液体に働くは、大気が鉛直下向きに押す[N],この部分の液体に働く重力が鉛直下向きに[N],この部分の下側から鉛直上向きに受ける[N]
これらの力のつり合いより、

②より、 ・・・⑧
⑦に代入すると、
展開して、
xy微小距離なので、を無視すると、
......[] ・・・⑨

(f) シリンダーに働くは、シリンダー内の気体が上に押し上げる[N],シリンダーに働く鉛直下向きの重力[N],シリンダー上部の液体がシリンダーを鉛直下向きに押すは、大気圧と液体に働く重力を考えて、[N]
これらの合力Fは、⑧,②を用いて、



 (⑨より、)
これより、シリンダーには、変位xと同じ方向に、変位xに比例するが働きます。
変位と逆向きに変位に比例するが働けば単振動しますが、変位と同じ方向にが働くときには単振動にはなりません。
不安定である理由:変位と同じ向きに変位に比例する大きさの力が働くから。(26) ......[]


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東工大物理'02年前期[1]

東工大物理'02年前期[1]

 図に示す平行板コンデンサーの極板は、一辺の長さがaの正方形である。図の中に斜線を引いて示してある導体板は、一辺の長さがaの正方形で厚さはである。図の中の電池の起電力はである。
コンデンサーの下側の極板の位置は固定されている。下側の極板の左側を図のように
xy座標の原点Oとする。x軸とy軸に垂直な方向にz軸をとり、点Oz軸の原点とすると、両極版と導体板はいずれもからまでの範囲にある。導体板はからの間にある。
外力を加えながらコンデンサーの上側の極板を
の状態①からの状態②まで十分ゆっくり移動させる。続いて、上側の極板の位置も固定して、導体板をx方向に十分ゆっくり移動させて状態③にする。このとき導体板の右端はからまで移動する。
コンデンサーの極板間の距離が
bで極板間に導体板が入っていないときの電気容量をCとする。abに比べて十分に大きいものとする。以下の問いに、変数としては導体板の右端の位置x,上側の極板の位置y,定数としてはabCのみを用いて答えよ。

[A] スイッチSを閉じてコンデンサーを充電させた後、このスイッチを閉じたまま状態①から②,そして更に状態②から③へ変化させる。
(a) ①から②への途中でのコンデンサーの電気容量を求めよ。
(b) ②から③への途中でのコンデンサーの電気容量を求めよ。
(c) ①から②への途中においてコンデンサーにたくわえられている静電エネルギー,②から③への途中においてコンデンサーにたくわえられている静電エネルギーをそれぞれ求め解答欄に書け。そして、それらを解答欄の例にならって横軸の始点と終点とその中間点の座標およびそれらに対応する縦軸の座標を明示してグラフで示せ。方向を示すためにグラフに矢印もつけよ。
(d) 極板や導体板を十分ゆっくりと移動させるために加える外力の方向と極板や導体板の移動の方向が同じ場合は外力が正の仕事をなしたと呼ぶ。方向が反対な場合は外力が負の仕事をなしたと呼ぶ。①から②への変化、および②から③への変化のそれぞれについて、次のア,イ,ウ,エの中から当てはまるものを1つ選べ:
ア:外力がなした仕事は正で、コンデンサーの静電エネルギーは増加した。
イ:外力がなした仕事は正で、コンデンサーの静電エネルギーは減少した。
ウ:外力がなした仕事は負で、コンデンサーの静電エネルギーは増加した。
エ:外力がなした仕事は負で、コンデンサーの静電エネルギーは減少した。
(e) ①から②へ変化した際に電池がなした仕事,および②から③へ変化した際に電池がなした仕事を求めよ。

[B] 上の[A]の状態①のようにコンデンサーを充電させた後、スイッチSを開き、状態①から②へ、そして更に②から③へ変化させる。
(f) ①と②の途中でのコンデンサーの静電エネルギー,および②と③の途中でのコンデンサーの静電エネルギーを求めよ。
(g) ①から②へ変化したときに外力がなした仕事,および②から③へ変化したときに外力がなした仕事を求めよ。

解答 コンデンサーの極板を移動させたり、導体板を挿入するとき、電池をつないだままのときと、電池の接続を切ってしまうときとでどう違うのか、という問題です。

[A](a) 極板間の空気の誘電率をとすると、状態①においてコンデンサーの静電容量は、
①から②の途中での極板間距離yなので、
......[]

(b) 導体板が挿入されている部分の面積,コンデンサーの上側極板と導体板との間の極板間距離なので,この部分の静電容量は、
コンデンサーの下側極板と導体板との間の静電容量
両者は直列に接続されているので、合成容量として、
 (合成容量の公式を参照)


導体板が挿入されていない部分の面積極板間距離で、この部分の静電容量は、
は並列に接続されているから、
 (合成容量の公式を参照)
......[]
(c) 電池が接続されたままなので、コンデンサーの極板間電圧は一定値で、①から②の途中では、静電エネルギー ......[] (静電エネルギーについては、コンデンサーの過渡現象を参照)
始点ではとして,終点ではとして,中間点ではとして
②から③の途中では、静電エネルギー ......[]
始点ではとして,終点ではとして,中間点ではとして
グラフは右図。

(d) ①から②の途中も、②から③の途中も、ともに、電圧一定のもとでコンデンサーの静電容量が増大するので、コンデンサーが蓄える電気量が増大し、電池がコンデンサーに正の仕事をします。この仕事が、静電エネルギーの増大分と極板を近づける仕事に使われ、外力仕事を受けることになるので、外力仕事は負です。従って、①から②が、ウ ......[],②から③も、ウ ......[]

(e) ①においてコンデンサーが蓄えている電気量は、
②において、コンデンサーの静電容量(a)の結果でとして、
このときコンデンサーが蓄えている電気量は、
①から②までの電気量の増加は、
①から②へ変化した際に電池がなした仕事 ......[] (電池のした仕事については、電位・電圧を参照)

③において、コンデンサーの静電容量(b)の結果でとして、
このときコンデンサーが蓄えている電気量は、
②から③までの電気量の増加は、
②から③へ変化した際に電池がなした仕事 ......[]

[B](f) ①において、コンデンサーは、電荷を蓄えています。ここで、スイッチSを開くと、この電荷が極板に取り残されます。この後、コンデンサーの静電容量が変化すると、極板間の電圧が変化することになります。
①から②の途中では、静電エネルギー ......[]
②から③の途中では、静電エネルギー ......[]

(g) ①における静電エネルギー
②における静電エネルギーは、のとき、
③における静電エネルギーは、のとき、
①から②までで、静電エネルギーの変化は、 (減少した)
静電エネルギーは、コンデンサーが極板を移動させる仕事の分だけ減少します。外力は、だけ仕事を受けるので、外力のした仕事は、 ......[]
②から③までで、静電エネルギーの変化は、 (減少した)
これも、①→②と同様に、外力のした仕事は、 ......[]

[A]では、電池を接続したままなので、電池が仕事をして、コンデンサーに静電エネルギーを供給し(静電エネルギーは増加します)、極板を引き寄せたり、導体板を引き込む仕事をします。
[B]では、電池は接続されていないので、コンデンサーが仕事をして極板を引き寄せたり、導体板を引き込む仕事をします。従って、コンデンサーの静電エネルギーは減少します。


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東工大数学'02年前期[4]

東工大数学'02年前期[4]

nを自然数とする。
(1) 次の極限を求めよ。
(2) 関数の極値を与えるxの最小値をとする。このとき
およびを示せ。
(3) (2)に対して、極限
を求めよ。

解答 (1)の②式は階段型関数の技巧を用いて、右図で、
緑線から内側の面積≦赤線から内側の面積≦青線から内側の面積
を考えれば、すぐに得られます。
(2)は、n次方程式については、高次方程式、背理法については証明の技巧を参照してください。

(1) において、より、
・・・①
のとき、において、より、

各辺をについて加え合わせて、
①より、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えても不等式は成り立ちます。
 ・・・② (定積分と面積を参照)
 (不定積分の公式を参照)
より、
各辺をで割って、
のとき、
 (不定形の極限を参照)
従って、はさみうちの原理により、
......[]

(2) 次関数です。次方程式:は、を解にもちます。
また、n次関数で、のグラフを考えると、は、,・・・,の各範囲に極値を1個ずつもつので、n次方程式:は、,・・・,の各範囲に解を1個ずつ、全部でn個もちます。これ以外には、の解はありません。
ということは、関数の極値を与えるxの最小値は、における解であって、
 ・・・⑦
が成り立ちます。

のとき、

⑦より、は、であるような解をもっていて、より、
・・・⑧

ここで、と仮定すると、⑧の左辺について、ですが、⑧の右辺について、であり、,・・・,ですから、⑧の右辺が、
となり、等式⑧が成立し得なくなります。ということは、とした仮定は誤りです。⑦と合わせて、
・・・⑨

(3) ⑨より、
,・・・,
よって、
,・・・,
従って、辺々加えあわせると、
右辺については、

各辺をで割ると、
ここでとすると、(1)より、

よって、はさみうちの原理より、
......[]

東工大は、はさみうちの原理をうまく使うことで極限を求める問題が多いのですが、ちょっと見ると手のつきにくい極限の問題を、より簡単な極限に置き換えて考えてゆく、というのがテーマになっています。難問を難問のまま向き合わないで、より解きやすい形に直して考えようという発想が問われます。本問も雄大な構想を立てるようになっていますが、適宜ヒントに乗ってうまく解ければ、爽快な感じがする問題です。


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