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東工大数学'05年前期[4]

東工大数学'05年前期[4]

実数xyを満たしながら変化するとする。
(1) とするとき、点の動く範囲をst平面上に図示せよ。
(2) 負でない定数をとるとき、の最大値、最小値をmを用いて表せ。

解答 2実数の和と積を扱う問題では注意が必要です。この問題でもそうなのですが、st2実数xyの和と積になっているというだけで明示的には現れてこない隠れた条件があります。xyが実数であるという条件は厳しい条件なのです。xyが互いに共役な複素数で虚数のとき、も実数になりますが、xyは実数ではありません。

(1) xyが実数、という条件を扱うために、xy2解とする2次方程式
・・・①
を考えます。2xyは実数なので、①の判別式:
・・・②
この②の条件は、問題文の中で、「・・・のための条件」という風に書かれているわけではないので、2実数の和と積が出てきた段階で、2次方程式の判別式をチェックする必要があることを覚えておかないといけません。

より、
・・・③

②,③の境界線は、
・・・④, ・・・⑤
④,⑤を連立して交点を求めておきます。
,このとき、
よって、④,⑤の交点は、
求める領域は、放物線④から下で、放物線⑤から上です。
図示すると、右図斜線部(境界線を含む)になります。

しつこいですが、③だけでは誤答になります。2次方程式が2実数解をもつ条件:②も満たす必要があります。

(2) とおくと、
は、st平面上で、傾き:()t切片:kの直線lを表します。
(1)で求めた領域内に存在するので、直線l(1)の領域と共有点をもちます。傾き負の直線を(1)のグラフ上でスライドさせてみてください。
(1)の領域は、の範囲に存在するので、直線l(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最小になるのは、直線lが点を通るときと、放物線②に接する場合とに分けられます。

・直線lが放物線⑤のの部分で接するとき、⑤の導関数:
接線の傾きがになるのは、のときで、より、
このとき、
このkの値が最小値になります。
・直線lを通るとき、
このkの値が最小値になります。

直線l(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最大になるのは、直線lを通るときです。このとき、

以上より、は、のとき、最大値: .......[]
のとき、のとき、最小値: ......[]
のとき、のとき、最小値: ......[]


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  1. 2008/05/28(水) 19:08:09|
  2. 東工大数学'05年
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東工大数学'05年前期[3]

東工大数学'05年前期[3]

Dを半径1の円盤、Cxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件(a)(b)を共に満たしながらxyz空間内を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
(a) Dの中心はC上にある。
(b) Dが乗っている平面は常にベクトルと直交する。

解答 形状がつかみにくい立体の体積を求める問題では、無理に立体の形状を追求せず、ある軸に垂直な平面で立体を切ってその断面積を考え、断面積を軸に沿って積分します。

この問題では、
z軸に垂直に立体Kを切るのが素朴で取っつきやすいでしょう。
円板の中心が
Pにあるとき、条件(b)より、円板は平面 ・・・① 上にあって、これをzx平面上までy軸と平行に平行移動させると、円: ・・・② になります。

ところで、
Dの通過する部分にできる立体Kxy平面、yz平面、zx平面に関して対称なので、の部分のKの体積を考えて、8倍することにします。

上記
q の範囲で考え、立体Kz軸に垂直な平面()で切ったときの切り口を考えます。
まず、
Pに中心がある円盤Dを平面で切ってみます。
②で
として、
・・・③
これより、切り口は、両端を
とする線分です。この線分の長さは (kにのみ依存し、q には依存しない)で、その中点は、円Cを平面上にまで平行移動させた円周上にあります。結局、円盤Dを平面で切った切り口をxy平面上まで平行移動させると、右図斜線部のようになります。
右図の円弧EIは、円Cの部分です。
③で
とすると、 ( 1象限で考えている)より、,①より、このとき、()
つまり、右図の点Dです。
①で
とすると、,③より、このとき、
つまり、右図の点A,点Jです。
①で
とすると、,③より、このとき、
つまり、右図の点B,点Fです。
斜線部の境界線の弧
ADは、xy平面上の円C上を点Pとなるように動くとき、Px軸負方向にだけ平行移動させた点の描く曲線なので、Cを中心とする半径1の円弧です。同様に、右図の弧FJは円弧EIx軸正方向にだけ平行移動させた曲線で、Hを中心とする半径1の円弧です。
また、
とおくと、
・・・④
断面積、即ち、右図斜線部の面積は、扇形HFJの面積(扇形OEIの面積)、長方形OEFHの面積の和から、xy軸円弧ADで囲まれる面積(扇形CADの面積から三角形CODの面積を除いたもの)を引いたものになります。
扇形
OEIの面積は、半径1の円の面積の,長方形OEFHの面積は,扇形CADの面積は
三角形CODの面積は
・・・⑤
求める体積
Vは、
⑤のj を含む項は、kで積分することができないので、④より、とおいて置換積分します。
kのとき、j
よって、

は、とおくと、より、半径1の円の面積のに等しく、
 (部分積分法による)
は、とおくと、j
......[]


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  1. 2008/05/27(火) 22:15:18|
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東工大数学'05年前期[2]

東工大数学'05年前期[2]

1から6までの目がの確率で出るサイコロを振り、1回目に出る目をa2回目に出る目をb とする。2次式とおきとする。
(1) sおよびtの期待値を求めよ。
(2) abcおよびdの期待値を求めよ。

解答 2回サイコロを振ると、目の出方は通りあります。どの目の出る確率も等しくなので、2回サイコロを振ったときの期待値は、全ての目の出方について和をとってからをかければよいことになります。

(1) 期待値 は、

......[]
(公式:を使っている)

期待値 は、
......[]

(2)


......[
]
......[]
(公式:を使っている)

......[]
......[]


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  1. 2008/05/27(火) 22:14:22|
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東工大数学'05年前期[1]

東工大数学'05年前期[1] 東工大数学'05年前期[1]

eを自然対数の底とし、数列を次式で定義する。
()
(1) のとき、次の漸化式を示せ。
(2) に対しなることを示せ。
(3) のとき、以下の不等式が成立することを示せ。

解答 (1) 定積分で表された数列の漸化式に関する問題です。
このタイプの問題では、普通は部分積分によって漸化式を導きます。
この問題でも部分積分することを考えます。
被積分関数は、と見て、1として部分積分を行います。のとき、


・・・① (という番号が出てくるので、という制限をつける必要があります。)
番号を1つずらして、 ・・・② (の係数がnでなく、となることに注意すること。また、という番号が出てくるので、という制限をつける必要があります)
①-②より、 ()
()

(2) 関数は、において、でのみで、においては,よって、
()

また、においてのみ ()であり、
においてより、

以上より、のとき、

(3) (1)(2)とからに関する関係を作って数学的帰納法というストーリーになるだろうと見当をつけます。
だとすると、
のようになるので、
という形の不等式を作ることを目標にします。
また、 (不定積分の公式を参照)

(1)の結果においてnに置き換えると、
() ・・・③
の関係を調べることになりますが、③のが邪魔になります。
これを消すために、(2)nに置き換えて、,従って、
③に適用すると、
・・・④

④を用いて、数学的帰納法により与不等式を示します。
() のとき、①を用いて、


の大小関係を比べればよいのですが、
1次方程式:を解くと、なので、
を満たす数として、例えば、をもってくると、であって、


よって、のとき、与不等式が成り立ちます。
() のとき、与不等式が成り立つと仮定する。このとき、
が成り立ちます。
④より、
よって、のときも、与不等式が成り立ちます。
()()より、のとき、与不等式が成り立ちます。
注.結局、④を繰り返し用いれば、
となっています。


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  1. 2008/05/26(月) 18:01:56|
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東工大物理'06年前期[3](再掲)

東工大物理'06年前期[3]

水平面上を運動する、水平な床をもつ台車がある。台車は外力によって自由に加速度を変えることができるものとする。図のように、台車の床の上には前後方向に勾配をもつ傾斜角q の斜面が固定されている。この斜面の上には、質量mの小物体が置かれている。ここで、斜面と小物体との間の静止摩擦係数をm,動摩擦係数をとする。この斜面の右側には曲面がなめらかにつながっている。重力加速度をgとして、以下の問に答えよ。ただし、小物体の運動は台車の上から観測するものとする。

[A] 台車は一定の加速度a()で、図の左向き(正の向きとする)に運動をはじめた。
(a) 図のように、小物体を斜面上のP点に置き静かに手をはなしたところ、小物体は斜面を一定の加速度でのぼり始めた。このとき台車の上の観測者から見た、小物体に働くすべての力の向きを図示し、その名称を記入せよ。
(b) P点から斜面に沿って距離sだけのぼった地点をQ点とする。小物体がQ点を通過したとすると、Q点通過時の小物体の速さはいくらか。
(c) もし傾斜角q が、ある角以上()であるならば、この物体はいかなるaでも斜面をのぼることはできない。このはいくらか。で答えよ。
[B] 斜面はQ点の高さのところで、前後方向の断面が円弧となる曲面になめらかにつながる。この円弧の半径はrで、中心Oは台車の床と同じ面内にある。また、小物体と曲面の間には摩擦力は働かないとする。小物体がQ点を通過した直後に台車は加速をやめ、台車の運動は等速直線運動に変わった。
(d) Q点を速さで通過した直後の小物体が、曲面から受ける垂直抗力の大きさはいくらか。を用いて表せ。
(e) 小物体は曲面から離れることなく、最高点のR点を速さで通過した。のとり得る最大の値はいくらか。
[C] 小物体がR点で速さで通過した直後に、台車は加速度の等加速度運動に移行した。その後、小物体は曲面から離れることなく、曲面上のT点を通過した。
(f) T点における小物体の速さがちょうどに等しかったとすると、は何度か。


解答 頻出タイプの力学の問題ですが、東工大の名にふさわしい難問です。

[A](a) 小物体が斜面をのぼり始めているとき、小物体に働くは、斜面からの垂直抗力重力摩擦力慣性力で、の向きは右図。

(b) 小物体に働くの斜面に垂直な方向のつり合い
 ・・・①
小物体の加速度aとして、斜面に沿う方向での小物体の運動方程式
①を代入して、

よって、小物体の運動は等加速度運動で、等加速度運動の公式より、
.......[]

(c) 小物体に働く静止摩擦力fとします。
小物体に働くの斜面に沿う方向の力のつり合い

小物体がのぼりださない条件は、静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることであって、
この場合にも①は成立するので、fNに代入すると、
両辺を()で割ると、

 ・・・②
のとき、②式右辺は、より、
ということは、になってしまうと、不等式②は、左辺は以上で、右辺はより小さく、必ず成立してしまいます。
この問題で求めるのは、aがいかなる値であっても、小物体が動き出さないときの、最小の傾斜角の正接の値なので、
......[]
注.aの関数と見ると、において単調減少で、のとき、です。

[B](d) Q点を通過した直後から小物体は円運動するようになります。
小物体が曲面から受ける垂直抗力Nとして、円運動の運動方程式(円の法線方向について)
 (不等速円運動を参照)
......[]

(e) 右図のように小物体がORと角jをなす位置まで来たとき、小物体の速さvだとすると、
円運動の運動方程式(円の法線方向について)
 ・・・③
この点を重力による位置エネルギーの基準にとると、R点との高さの差はです。
この点での力学的エネルギー運動エネルギーのみで、R点での力学的エネルギー運動エネルギー重力による位置エネルギーの和です。
この点とR点とにおける力学的エネルギー保存
 ・・・④
④より、
これを③に代入すると、

Q点からR点まで()小物体が曲面から離れない条件は、

 ・・・⑤
jが大きくなると、この不等式の右辺は小さくなるので、となる全てのjで⑤が成立するためには、⑤がにおいて成立すればよく、
のとり得る最大の値は、 ......[]

[C](f) 右図のように、とします。
T点を重力による位置エネルギーの基準にとると、R点との高さの差はです。
R点での力学的エネルギー運動エネルギー重力による位置エネルギーの和です。
T点での力学的エネルギー運動エネルギーのみです。
小物体がR点からT点まで来る間に、大きさ慣性力が水平方向左向きに働きます。
小物体は、台車上で見て、水平方向に移動するので、慣性力のする仕事は、です。
T点での力学的エネルギーからR点での力学的エネルギーを引いたものが、慣性力のする仕事になります(エネルギーの原理を参照)。よって、
 (三角関数の合成を参照)
においては、
......[]


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  1. 2008/05/25(日) 18:19:59|
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東工大物理'06年前期[2](再掲)

東工大物理'06年前期[2]

十分な長さを持つ水平な円筒状シリンダー内に、なめらかに動く断面積A[]のピストンがあり、内部に単原子分子の理想気体が閉じこめられている。シリンダーは温度が調節できるよう熱源に接触している。また、ピストンには、シリンダーの中心軸上を通る重さの無視できる糸で、滑車を用いておもりをつり下げることができる。周囲の圧力を[Pa],重力加速度をg[]とする。
[A] 図1のように、熱源の温度がT[K],おもりをつるしていない状態では、気体の温度はT[K},体積は[],圧力は周囲の圧力と等しく[Pa]であり、これを状態0とする。内部の気体の温度が変化しないようにゆっくりとおもりm[kg]をつるすと、ピストンはある位置で静止し状態1となった。次におもりをつるしたまま、熱源の温度を十分時間をかけて[K]へ上昇させて状態2とした。
(a) 状態1における気体の圧力[Pa]と状態2における気体の体積[]を求めよ。また、状態1,状態2を解答欄の圧力P-体積Vグラフにそれぞれ点として示し、状態0と状態1の圧力差を記入せよ。ただし、解答欄の点は状態0を、破線はTおよびの等温線を示している。
(b) 状態1から状態2への過程で気体が外部にした仕事[J],および熱源からシリンダー内の気体へ入った熱量[J]を求めよ。
[B] 熱源の温度をTにし、おもりをはずして気体を状態0に戻した。
(c) ここから、気体の温度が変化しないように、ゆっくりとつるすおもりの質量を0.5kgずつ増やし、ピストンの運動を観察した。すると、おもりの質量が25.5kgになった時に、おもりは止まることなく落下した。A = 0.00245[]g = 9.80[]とし、がとり得る値の範囲を求めよ。
[C] 図2ように、シリンダーとピストンを体積の無視できるばね定数k[]のばねで連結し、熱源の温度をTにした。おもりをつるしていない状態では、気体の温度、圧力、体積は状態0と同じであり、これを状態3とする。ここから、内部の気体の温度が変化しないようにゆっくりとおもりmをつるして状態4とし、次に、熱源の温度を十分時間をかけてへ上昇させて状態5とした。
(d) 状態3から状態4への体積変化を[]として、状態4における気体の圧力[Pa]を求めよ。
(e) 解答欄のP-Vグラフにを再び示し、状態4,状態5をそれぞれ点として示せ。また、を通る直線の傾き、およびを通る直線とを通る直線の交点の体積を求めよ。ただし、解答欄の点は状態3を、破線はTおよびの等温線を示している。

解答 [B](c)で、力のつりあいが崩れたときに、シリンダー内の気体の圧力をピストンにかかるに加えなくて良いのか、断熱変化で考えるべきなのではないか、どうも、しっくり来ないのですが、問題文の書き方からして、と考えるしかなさそうです。

シリンダー内の気体の量を
n[mol],気体定数をR[]とします。
[A](a) 状態1においてピストンには、シリンダー内の気体の圧力による右向きの,大気圧による左向きの,右向きに糸を通しておもりに働く重力がかかっています。これらの力のつり合いより、
[Pa] ......[]
状態0における状態方程式は、 ・・・①
状態1における状態方程式は、 ・・・②
状態1から状態2までの過程は、ピストンに働く力のつりあいが成立したままの変化なので、定圧変化です。よって、状態2における圧力です。
状態2における状態方程式は、 ・・・③
①,②より(またはボイルの法則より)
③÷②より(またはシャルルの法則より)
[] ......[]
および、状態0と状態1圧力差は、右図の通り。

(b) 状態1から状態2への過程で気体が外部にした仕事は、を結ぶP-VグラフとV軸で挟まれた部分の面積になります。①,②,③より、

[J] ......[]
状態1から状態2への過程は定圧変化なので、定圧モル比熱の式より、
[J] ......[]

[B](c) シリンダー内の気体の圧力Pとします。ピストンに働く力のつり合いより、
 ・・・④
[kg]
のときには、力のつり合い④が成立していましたが、[kg]のときには、力のつり合いが成立しないということは、のときには、シリンダー内の気体がピストンに圧力を及ぼして、だったのに、のときには、ピストンが右に動き出したために、シリンダー内の気体がピストンにを及ぼすことができなくなり、ピストンに働く合力が右向き、つまり、となった、ということです。
のとき、より、
[Pa]
のとき、より、
[Pa]
以上より、 ......[]

[C](d) 状態4において、ピストンに働くは、シリンダー内の気体の圧力による右向きの,大気圧による左向きの,ばねの伸びで、ばねが左向きに引く,右向きに糸を通しておもりに働く重力がかかっています。これらの力のつり合いより、
[Pa] ......[]

(e) は右図。
状態4より状態5に至る過程において、体積V圧力Pとすると、ばねの伸びとなり、ピストンに働く力のつり合いの式は、
 ・・・⑤
これより、状態4から状態5に至る過程のP-Vグラフは直線で、Vの係数を見ると、
を通る直線の傾きは、[] ......[]
を通る直線上では、圧力で一定なので、⑤において、として、より、
交点の体積は、[] ......[]


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  1. 2008/05/24(土) 11:09:22|
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多重スリットの回折と干渉

光の波長を測定するのに、二重スリットによる干渉によっても測定できるのに、なぜ、回折格子を使うのか、ということを考察した項目を作成しました。
こちらよりアクセスできます。
スリットの数を増やすことによって、主極大がよりシャープになり、副極大との差が大きくなることを解説してあります。
参考にしてください。

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  1. 2008/05/23(金) 23:01:04|
  2. 未分類
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東工大物理'06年前期[1](再掲)

東工大物理'06年前期[1]

コンパクトディスク(CD)の記録面が虹色に見える現象を題材にして、光の性質を観察する実験を考えよう。
CDの記録面は図1のような構造で、図2の断面図に示すように、透明基板の下層に反射膜が塗布された面があり、その面上にピットと呼ばれる情報が記録されている部分が半径方向に間隔dで周期的に並んでいる。ピットのない部分では光がそのまま反射されるが、ピットの部分で光が乱反射されると仮定する。このとき、CDの記録面は格子定数dの回折格子とみなすことができる。ピットは曲線上に並んでいるが、狭い範囲について考えたときは直線に並んでいると考えて差し支えないものとする。
[A] 図3のように白い紙で作ったついたてに小さな穴Wを開け、その裏側からレーザー光をCDの記録面に対して垂直に照射して、その反射光をついたて上で観察する。レーザー光の空気中での波長をl,空気の屈折率を1とする。
(a) 以下の空欄①~④に入る適切な数式を答えよ。
2に示すように、間隔dだけ離れて透明基板に入射する光Aと光Bを考える。屈折率n ()の透明基板中で、光Aは点Kで反射膜に対して垂直に入射し、回折した光が点Mから透明基板を出て行く。このとき、距離KPが光の波長の整数倍であれば、光Aと光Bは強め合うことになる。透明基板中での光の波長は で与えられるので、透明基板中で回折光が入射光となす角をとすると、強め合う条件は m (mは整数)となる。
Aと光Bがそれぞれ点Mと点Nで透明基板を出た後、基板表面の法線に対してq の方向に進む。q は、n及び の関係を持つ。この関係式を用いてを消去すると、CDから十分離れたスクリーン上で強め合う条件は、 となる。
(b) 透明基板中で回折光の角が大きいとき、透明基板から空気中へ出ていく光がなくなる場合がある。その理由を述べよ。またそのときの角が満たす関係式を示せ。
(c) 3の実験において、CDとついたての間の距離l300mmのとき、小さな穴Wの上下に[mm]だけ離れた位置に一つ目の回折光が観察された。レーザー光の波長が0.50mmであるとき、格子定数dは何mmであるか。有効数字2桁まで求めよ。なお、これ以降の議論では透明基板の厚さは無視してよい。また、必須であれば以下の値を用いてよい。
1.411.732.243.16
[B] 次に、図4のように白熱灯光源から出た光が小さな穴を通り、凸レンズにより平行な光となってCDの記録面全体へ垂直に当たるようにした。図中で点PCDの中心であり、点PからCDの法線上にzだけ離れた位置QからCD表面を見たとき、赤、黄、緑、紫などの色のついた回折パターンが観察された。ただし観察するときCDに照射される光をさえぎることはないものとする。
(d) 答案用紙(e)欄の図のように、CDの記録面上に点Pを原点としてx-y座標を定義する。このとき、点Qから見てこの面上で波長lの回折光が強め合う位置の座標xyPQ間の距離zの間の関係式を求めよ。ただしzxyよりも十分大きく、としてよい。
(e) [mm]としたとき、紫色(l0.40[mm])から赤色(l0.64[mm])に変化する虹色の回折パターンがどのように配置されるか、答案用紙の目盛りを参考にして、おおよその形を書き入れよ。


解答 コンパクトディスクを光にかざすと虹色の模様が見えます。そのカラクリを数値計算をして確かめてみようという問題です。なお、光の屈折光の干渉回折格子を参照してください。

[](a) 空気中で波長lの光は、屈折率nの透過基板中では波長は、 ......[]
透過基板中で光が強め合う条件は、距離KPが光の波長の整数倍となることで、
 ・・・⑤
......[]
透過基板の上面において、屈折の法則より、
......[]
③より、
これを⑤に代入すると、
 ・・・⑥ (回折格子を参照)
.......[
]

(b) (a)③より、ですが、なので、とはなり得ません。このときは、透明基板と空気との間の境界面で全反射することになります。ここでは、臨界角の場合(のとき)も空気中に光が出て行かない場合に含めておくことにします。
理由:透明基板と空気との間の境界面で全反射してしまうから。 ......[]
関係式: ......[]

(c) 一つ目の回折光なので、(a)⑥式において、として、
3より、
[mm] ......[]

[](d) 凸レンズを出た光がCDの記録面に当たる点をRとします。
三角形PQRは直角三角形で、CDの記録面に当たって反射した光が回折して強め合う条件⑥の回折角q に等しく、より、
これより、⑥は、
......[] ・・・⑦

(e) [mm](紫色)のとき、⑦において、
[m]
⑦でのときは、回折パターンは半径30mmの円周となりますが、のときは、半径61mmとなり、CD面から外れてしまいます。
[mm]のとき、⑦において、
[m]
⑦でのときは、回折パターンは半径49mmの円周となりますが、のときは、半径97mmとなり、CD面から外れます。
以上より、虹色の回折パターンは、⑦式でに対応するものだけがCD面に現れて、右図のようになります。



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  1. 2008/05/23(金) 22:50:42|
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東工大数学'06年前期[4](再掲)

東工大数学'06年前期[4] 東工大数学'06年前期[4]

空間内の四面体ABCDを考える。辺ABBCCDDAの中点を、それぞれKLMNとする。
(1) を示せ。ここにはベクトルの長さを表す。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このときを示せ。
(3) ACの中点をPとし、とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。

解答 最近、東大、京大などで出題されている等面四面体に関する問題で、直方体ABCD-EFGHの各面の対角線と頂点とでできる四面体のうち、ABDEBCDGEFGBEGHD4個を取り除くと、等面四面体ができる、という知識を使えばすぐにできるのですが、ここでは、前提知識を想定しないでやってみます。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)





(2) 各面が正三角形、二等辺三角形であることは想定されていないので、各面とも辺の長さが異なるものとして、三角形ABCにおいて、 (abcは互いに異なる正数)とします。この場合でも、題意は成立しなければなりません。
となるために、なので、 ・・・① となるか、または、 ・・・② となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
となるために、なので、 ・・・③ となるか、または、 ・・・④ となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
より、①かつ③はあり得ません。
より、②かつ③はあり得ません。
より、②かつ④はあり得ません。
よって、①かつ④の場合に絞られますが、このとき、となります。
このとき、より、四面体ABCDのすべての面が互いに合同になります。
このとき、

(3) (2)の仮定のもとで、(1)より、
よって、です。
同様に、
よって、KL // NM,また、 ・・・⑤
これより、四角形KLMNは、平行四辺形ですが、より、平行四辺形の対角線が直交するので、四角形KLMNはひし形です。
MKLNの交点をOとすると、OMKLNの中点であり、また、
全く同様にして、BDの中点をQとすると、四角形PKQMはひし形で、MKの中点はOなので、PQの中点もOとなり、
(MKLNPQ1Oで互いに垂直に交わります)
⑤と同様にして、
三平方の定理より、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧
(⑥+⑦+⑧)÷2より、
 ・・・⑨
⑨-⑧より、
⑨-⑦より、
⑨-⑥より、
四面体PKLNの底辺を三角形KLNと見ると、この面積は三角形OKLの面積2個分で、四面体の高さはOP
よっても四面体PKLNの体積は、
......[]


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  1. 2008/05/22(木) 09:29:01|
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東工大数学'06年前期[3](再掲)

東工大数学'06年前期[3]

平面上を半径13個の円板が下記の条件(a)(b)を満たしながら動くとき、これら3個の円板の和集合の面積Sの最大値を求めよ。
(a) 3個の円板の中心はいずれも定点Pを中心とする半径1の円周上にある。
(b) 3個の円板すべてが共有する点はPのみである。

解答 なお、三角形の面積集合2円の位置関係三角関数を参照してください。

条件(b)より、3個の円板すべてが共有する部分の面積は0です。
従って、
3個の円板の位置関係は右図1のようになっていて、3個のうち2個をとってくると共有する部分の面積は正です。
2個の円板が共有する部分の面積は、右図2のように角q をとると、扇形OABの面積(扇形の面積については、一般角を参照)から三角形OABの面積を引いて2倍することにより、
 ・・・①

ところで、3個の円の中心をCDEとして、右図1のように、とします。仮に、だとすると、DEは直線CPの同じ側に来ますが、このとき、(b)の条件が満たされなくなります。よって、です。同様に、です。四角形CPDQと四角形CPERはひし形で、
①において、として、Cを中心とする円とDを中心とする円の共有部分の面積は、
①において、として、Cを中心とする円とEを中心とする円の共有部分の面積は、
,四角形DPESはひし形で、
①において、とおいて、Dを中心とする円とEを中心とする円の共有部分の面積は、
よって、3個の円板の和集合の面積Sは、3個の円の面積より、2個づつ共有されている部分の面積を除いて、

 ・・・②
ここで、を固定し()を、の範囲で動かすと、より、Sが最大となるのは、,つまり、のとき。このとき、

 (微分の公式を参照)
 (2倍角の公式を参照)
とすると、

のとき、
a0p
00
S
増減表より、Sの最大値は、のとき、 ......[]

②でトリッキーなことをやっているように見えますが、ab 2変数の関数Sの最大最小を考えるときの常套手段です。
2変数のうちの一つを固定し他方を動かして、最大・最小を、最初に固定した変数の関数の形に表しておき、さらに、最初に固定した変数を動かして、最大値の最大値、最小値の最小値を求めるのが普通ですが、ここでは、Sab に関して対称な形をしているので、のときに最大になるだろうと予測をつけて、をひねり出すようにします。2変数関数のように考え、まず、を固定してを動かす、というように考えています。


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  1. 2008/05/22(木) 09:25:52|
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東工大数学'02年前期[2](再掲)

東工大数学'06年前期[2]

以下の問に答えよ。
(1) abを正の定数とし、とおく。における関数の増減を調べ極値を求めよ。
(2) mを正の定数とし、xy座標平面において条件
(a) ; (b) すべてのに対し
を満たす点からなる領域をDとする。Dの概形を図示せよ。
(3) (2)の領域Dの面積を求めよ。

解答 標準的な微積分の計算問題です。計算ミスによく注意してください。

(1)  (微分の公式を参照)
とすると、より、
t0
0
増減表より、において減少、において増加で、において極小値: ......[] (関数の増減を参照)

(2) (b)の条件から、として(1)を利用すると、の最小値m以上であればよいので、(a)の条件より、両辺にxをかけて整理すると、


 ・・・①

(a)の条件を加味するために、xの大小関係を調べます。
これは、,つまり、のときに負、のときに正で、
のときにのときに

として、曲線を調べます。
とすると、
概形を図示するだけなので、通常は増減を調べれば十分ですが、ここでは、における曲線の挙動を確認するために、凹凸も調べることにします(関数の凹凸を参照)
とすると、
x0
0
0
0
増減表より、曲線と直線は、が極大となる点で交わることがわかります。
以上より、求める領域Dは、右図斜線部(曲線上のの部分を含み、直線上を除く)

(3) 直線と直線x軸で囲まれる三角形の面積は、
曲線と直線x軸で囲まれる領域の面積(定積分と面積を参照)は、
 (部分積分法を参照)


求める面積は、
......[]


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  1. 2008/05/22(木) 09:18:13|
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東工大数学'06年前期[1](再掲)

東工大数学'06年前期[1]

以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対しを求めよ。
(2) 次の不等式を示せ。
 ()
(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数をで表す。が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

解答 (1)(2)は教科書の例題レベルの問題ですが、(3)はガウス記号まで登場するので複雑そうに見えます。実は、(3)も、③式を利用して積分区間を分けてしまえば、(1)(2)が利用できる形になります。結局、n:奇数のとき、というだけのことなのですが、この奇数nと書いて、などとすると、難問に見えてしまうのが不思議です。なお、三角関数絶対値を含む積分を参照してください。

(1) は周期p の周期関数(三角関数のグラフを参照)で、ゆえ(の積分は、不定積分の公式を参照)
......[]

(2) 関数のグラフは、において上に凸(関数の凹凸を参照)なので、原点を結ぶ直線:から上側にあります。
従って、において、
とおくと、において、
 ・・・①
また、より、
 (定積分と不等式を参照)
両辺からsを引いて、
 ・・・②
①,②より、

(3) 与不等式中の積分について、とおくと、tのとき、x
 (置換積分を参照)
とおくと、 () ・・・③
③を用いて、定積分Iの積分区間を分けると、
 ・・・④
④式のカッコ内の第1項の積分は、(1)において、と考えると、
が奇数であるとき、 ()となるxについて、とおくと、であって、
より、
④式のカッコ内の第2項の積分は、
(2)より、
よって④より、 ・・・⑤
左辺は、③より、
⑤式各辺から1を引いて、
 ・・・⑥
⑥式の右辺は、③を用いて、



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  1. 2008/05/21(水) 14:13:34|
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東大物理'02年前期[3]

東大物理'02年前期[3]

 図3-1に示すような円筒形の容器が断熱材におおわれ鉛直に置かれている。容器は厚さLの断熱材が詰め込まれた壁でA室,B室二つの部屋に仕切られている。円筒内部の断面積をSA室の高さをLB室の高さをとする。また、容器の上面には大きさの無視できるコックがつけられており、A室とB室の間は容積の無視できる細管でつながれている。また、B室の上方の空間にはヒーターが取り付けられている。最初、図3-1では、コックは開いており、B室に密度rの液体が、底面から高さLのところまで満たされている。A室とB室それぞれの空間には、大気圧と室温に等しい圧力と温度の単原子分子理想気体が満たされている。液体の蒸発、及び気体と液体の間での熱の出入りは無視できるものとする。重力加速度をgとして以下の問に答えよ。

Ⅰ コックは開いたまま、ヒーターのスイッチを入れると、B室内の気体は加熱されて圧力が上がり、液体が細管を伝わってA室に向かい移動をはじめた。A室の底に液面が達した時の状態を図3-2に示す。この間のB室内気体の状態変化は、定積変化として近似できるものとする。
(1) B室の液面の高さでの液体に働く力のつり合いを考えることにより、図3-2の状態でのB室内気体の圧力を、rgLを用いて表せ。
(2) 3-2の状態にいたるまでにヒーターからB室内の気体に加えられた熱量QrgLSを用いて表せ。

Ⅱ 加熱を続けると、液体はさらに移動し、ヒーターのスイッチを切った後、A室内の液面の高さを測定したところ、であった。この状態を図3-3に示す。
(1) 3-3の状態でのB室内の圧力とする。この時のB室内の気体の温度を、aを用いて表せ。
(2) 3-1から図3-3の過程における、B室内の気体の状態の変化を、縦軸を圧力、横軸を体積とするグラフで示せ。
(3) B室内の気体がした仕事Wを、SLaを用いて表せ。

Ⅲ 図3-3の状態でコックを閉じ、容器をおおっていた断熱材を取り除いた。十分時間が経って、中の気体の温度が室温と同じになったとき、A室内の液面の高さを測定したところ、図3-4のようにであった。
(1) 3-4の状態で、A室、B室それぞれにおける気体の圧力を、abを用いて表せ。
(2) aを、brgLを用いて表せ。

解答 難しそうに見えますが、親切な誘導がついているので、最後まで何とかたどりつけるでしょう。途中、Ⅱ(2)などに気づきにくい部分もありますが、バネつきピストンの問題と同じように考えて、PVの関係を求めればよいのです。密度については、浮力も参考にしてください。

(1) 細管の断面積とします。B室の液面の高さから上の部分にある細管内の液体の体積,この部分の液体の質量が受ける重力
B室の液面の高さで、液体が受けるは、A室の気体が押す鉛直下向きの,液体が受ける鉛直下向きの重力,液体下部の液面が押す鉛直上向きのです。これらの力のつり合いより、
......[] ・・・①

(2) 3-1の状態において、B室に気体がnモルあるとして、B室の気体の占有体積だから、
状態方程式 ・・・②
3-2の状態において、B室の気体の温度として、
B室の気体の状態方程式 ・・・③
③÷②より、

定積変化において気体が吸収したの公式: (モル比熱を参照)において、単原子分子理想気体なので
として、
ここで、②を使うと、
ここで、①を使うと、
......[]

(1) B室の気体の体積
3-2における状態方程式 ・・・④
④÷②より、
......[]

(2) B室の液面の高さから上の部分にある細管内の液体の体積 (右図参照),この部分の液体の質量が受ける重力
B室の液面の高さで、液体が受けるは、A室の気体が押す鉛直下向きの,液体が受ける鉛直下向きの重力,液体下部の液面が押す鉛直上向きのです。これらの力のつり合いより、
・・・⑤
B室の気体の体積Vとして、

これを⑤に代入すると、
この式から、図3-2の状態より図3-3の状態まで、B室の気体の変化のpV図は、直線になることがわかります。
よって、図3-1から図3-3の過程における、B室内の気体の状態の変化は、右図。

(3) (2)pV図で、図3-2の状態から図3-3の状態までの変化を表す線分とV軸で挟まれた台形部分の面積が、B室の気体のした仕事になります。
求める仕事 ......[]

(1) コックを閉める前に、A室の気体がモルあったとして、A室の気体の占有体積だから、
状態方程式 ・・・⑥
3-4の状態において、A室の気体の占有体積だから、
状態方程式 ・・・⑦
⑥,⑦より(結局ボイルの法則より)

......[]

3-4の状態において、B室の気体の占有体積だから、状態方程式 ・・・⑧
⑧÷②より、
......[]

(2) 3-4の状態における力のつり合いの式は、⑤式で、としたものです。


(1)の結果を代入して、
で割って、をかけると、
......[]


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  1. 2008/05/19(月) 21:09:28|
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東大物理'02年前期[2]

東大物理'02年前期[2]

 図2-1に示すように、環状の鉄心に巻き数のコイル1と巻き数のコイル2が巻かれている。これらのコイルの電気抵抗は無視できるほど小さく、コイル1は抵抗と任意の電圧Eを発生できる電源に接続され、一方コイル2は抵抗とスイッチSに接続されている。これらのコイルに電流を流したとき、磁束は鉄心内にのみ発生し、鉄心外への漏れは無視できるものとする。そのとき鉄心内の磁束Fと、コイル1の電流およびコイル2の電流との間には、以下の式()が成り立つものとする。
   式()
ここで、磁束Fと電流およびの向きは図中の矢印の向きを正とし、係数kは鉄心の形状や透磁率によって決まる定数とする。
また、微小時間
の間にこの鉄心内の磁束がだけ増加したとき、およびコイル1の電圧との間には以下の式()が成り立つ。
   式()
ここで、電源の電圧E,コイル1の電圧,コイル2の電圧は、それぞれa点、b点、c点を基準としたときの間、間、間の電位差と定義する。
時刻
では、いずれのコイルにも電流は流れていないものとして、以下の問Ⅰ,Ⅱに答えよ。

Ⅰ スイッチSが開いている状態のとき、コイルⅠの電圧が図2-2に示す電圧波形(のとき一定値をとり、その他の時刻では0をとる)となるように、電源の電圧Eを変化させた。
(1) 時刻t のとき、コイル1の電流は正負どちらの向きに増加するか。また、その理由を簡単に述べよ。
(2) 時刻における鉄心内の磁束Fを求めよ。
(3) ()を用いて、時刻におけるコイル1の電流を求めよ。
(4) 以下のそれぞれの場合について電源の電圧Eを求めよ。
(a) 時刻t の場合
(b) 時刻t の場合

Ⅱ 次にスイッチSが閉じられている場合を考える。問Ⅰと同様に、コイル1の電圧が図2-2に示す電圧波形となるように、電源の電圧Eを変化させた。
(1) 時刻における鉄心内の磁束Fを求めよ。
(2) 時刻t のとき、両コイルの両端に発生する電圧の大きさの比、を求めよ。またc点と点とでは、どちらの電位が高くなるかを答えよ。
(3) 時刻t のとき、コイル1の電流を求めよ。

解答 式()では、コイルの電圧起電力の違いに注意してください(自己誘導を参照)電流磁束の正負が指定されているので、コイルの巻き方にも注意してください(電磁誘導の法則電流の作る磁界を参照)

(1) 正の向きに増加する ......[]
[理由] コイルの電圧ということは、電流の負方向に電流を流す向きの起電力がコイル1に発生している、ということです。レンツの法則より、磁界の変化を妨げる向きに起電力が発生するので、電流は正の向きに増加していることになります。
[別解] のとき、コイル1には上向きの磁界が発生し、のとき、コイル2には下向きの磁界が発生し、ともになので、です。式()においてより、ですが、式()において、より、,従って、電流は正の向きに増加します。

(2) ()において、が一定なので、として、
においては電流が流れていないので、式()より、
における磁束は、
......[] ・・・①

(3) ()において、,①より、
......[] ・・・②

(4)(a) では②において、として、
注.こうできるのは、において、が一定で、Ft 1次関数,なので、式()より、t 1次関数になるからです。
コイル1側の回路においてキルヒホッフ第2法則より、 (コイル1電圧bよりも高いときに正で、このとき、電流の正方向にループを回って、コイル1電圧電圧降下です)
......[]

(b) において、より磁束のまま変化しません。
()を用いて、

オームの法則より、 .......[]

(1) コイルの巻き数、時間間隔に変化がなければ、式()より、電圧に影響するものは磁束の変化だけです。従って、スイッチSを閉じても、電圧がⅠと同じなら、もⅠと同じです。
......[] ・・・③

(2) コイル2についても、コイル1と同様に、
・・・④
が成り立ちます。(のとき、磁界の変化を妨げる向きにコイル2にはとなる方向に起電力が発生します。このときです)
()を④で辺々割ると、

.......[] ・・・⑤
においては、なので、点の方がc点よりも電位が高くなります。
......[
]

(3) (2)で触れたように、のとき、です。また、
電流の大きさは、オームの法則により、
より、
・・・⑥
Ⅰと同様に、③においてとして、において、 ・・・⑦
⑥,⑦と式()により、

......[]


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  1. 2008/05/17(土) 20:20:00|
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東大物理'02年前期[1]

東大物理'02年前期[1]

 長さLの不透明な細いパイプの中に、質量mの小球1と質量の小球2が埋め込まれている。パイプは直線状で曲がらず、その口径、及び小球以外の部分の質量は無視できるほど小さい。また小球は質点とみなしてよいとし、重力加速度をgとする。これらの小球の位置を調べるために次の二つの実験を行った。

Ⅰ まず、図1-1に示したように、パイプの両端ABを視点abで水平に支え、両方の支点を近づけるような力をゆっくりとかけていったところ、まずbCの位置まで滑って止まり、その直後に今度はaが滑り出してDの位置で止まった。パイプと支点の間の静止摩擦係数、及び動摩擦係数をそれぞれm(ただし)と記すことにして、以下の問に答えよ。
(1) bがCで止まる直前に支点abにかかっているパイプに垂直な方向の力をそれぞれとする。このときのパイプに沿った方向の力のつり合いを表す式を書け。
(2) ACの長さを測定したところであった。パイプの重心が左端Aから図ってlの位置にあるとするとき、重心の周りの力のモーメントのつり合いを考えることにより、lmを用いて表せ。
(3) CDの長さを測定したところであった。摩擦係数の比で表せ。
(4) 上記の測定から重心の位置lを求めることができる。lで表せ。
(5) さらに両方の支点を近づけるプロセスを続けると、どのような現象が起こり、最終的にどのような状態に行き着くか、理由も含めて簡単に述べよ。

Ⅱ 次に、パイプの端Aに小さな穴を開け、図1-2のようにそこを支点として鉛直に立てた状態から静かにはなし、パイプを回転させた。パイプが回転したときの端Bの速度の大きさを測ったところ、vであった。端Aから図った小球12の位置をそれぞれとして以下の問に答えよ。(支点での摩擦および空気抵抗は無視できるものとする。)
(1) vgLを用いて表せ。
(2) vを実験Ⅰで得られた重心の位置lの値を用いて表したところ、
 
であった。小球の位置lで表せ。ただし、とする。

解答 物差しの上に消しゴムでも置いて、2本のボールペンなどで支えながらボールペンに内向きに力をかけてみてください。この問題の実験を簡単に行うことができます。
おもりはどこに隠されているのか、探索を楽しませてくれる問題でもあります。

(1) 棒に水平方向に働くは、aから受ける右向きの静止摩擦力bから受ける左向きの動摩擦力です。aから受ける摩擦力は、aが滑り出す直前なので、最大静止摩擦力です。この2力のつり合いより、
......[] ・・・①

(2) bがCで止まる直前に、棒に鉛直方向に働くは、aから受ける垂直抗力bから受ける垂直抗力です。重心Cとの距離です。
重心の周りの力のモーメントのつり合いより、
・・・②
①,②より、
......[] ・・・③

(3) aDで止まる直前に、棒が支点abから受ける垂直抗力とします。このとき、棒に水平方向に働くは、aから受ける右向きの動摩擦力と、bから受ける左向きの最大静止摩擦力です。この2力のつり合いより、
・・・④
重心とDとの距離は、
重心の周りの力のモーメントのつり合いより、
・・・⑤
④,⑤より、
分母を払うと、
整理して③を使うと、
......[] ・・・⑥

(4) ⑥を③に代入すると、
......[]

(5) さらに実験を続けて、Bが滑り出してEで止まったとします。このとき、とすると、
重心とEとの距離は、
(1)(2)と同様に考えて、棒に働く水平方向の力のつり合いの式と、重心の周りの力のモーメントのつり合いの式を立てると、棒がabから受ける垂直抗力として、
 ・・・⑦
この式は、
 ・・・⑧
と書き直すと、⑦,⑧は、④,⑤において、abを入れ替え、としたものです。計算をしなくても、となることがわかります。つまり、2支点間の距離,・・・ は、公比等比数列になっていて、より、プロセスを何度も繰り返していくと、2支点間の距離は、0に近づいていきます。
2支点は、必ず重心の両側にあるので、最終的に2支点が重心に重なります。
支点aと支点bが代わる代わる一方が滑って他方が止まるということを繰り返し、両支点間の距離は、公比の等比数列となって小さくなり、より、0に近づいていく。最終的に、両支点は重心に来る。 ......[]

(1) 小球1位置エネルギーの変化は、,小球2位置エネルギーの変化は、
この和が、パイプが回転したときの運動エネルギーになります。
パイプが回転したときの、小球1と小球2速さはそれぞれ、です(円運動の公式より、角速度wとして、B速さ,小球1,小球2速さ,なお、等速円運動を参照)
力学的エネルギー保存より、
整理して、
......[]

(2)
両辺を2乗して整理すると、
・・・⑨
また、重心位置について、
これより、
これと、を⑨に代入すると、
整理して、

のときとなって不適。
のとき、

......[]


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  1. 2008/05/16(金) 15:11:35|
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東大理系数学'02年前期[6]

東大理系数学'02年前期[6]

Nを正の整数とする。個の項からなる数列

という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする。並べ替えた数列はを初項とし、の次にの次にが来るようなものになる。また、数列をシャッフルしたときに得られる数列において、数kが現れる位置をで表す。
たとえば、
のとき、をシャッフルするととなるので、である。
(1) 数列3回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ。
(2) を満たす任意の整数kに対し、で割り切れることを示せ。
(3) nを正の整数とし、のときを考える。数列回シャッフルすると、にもどることを証明せよ。

解答 2002年前期の東大の問題は、この問題が考えにくいので、他を易しくしたのかも知れません。

(1) 各回ごとにシャッフルした結果を書いてみます。
より
......[
]
(2) 問題文のまま考えようとしても、よほどの天才でない限り、何も浮かばないと思います。
文字で問題が書かれているので抽象的で、どのようなことを言っている問題なのか、感じがつかめないのです。
こういう時は、具体的に数値を代入して、調べていきます。
(1)ではの場合を調べました。ここでもとして考えてみます。1回シャッフルした結果について、8種類の数の各々について、 ()の動きを調べてみます。
k
120
240
360
480
51
63
75
87
左表で、例えば、上から6行目に、 6, 3, と数が並んでいますが、これは、(1)1回シャッフルした結果、63番目に出てきて、であることを意味しています。

のとき、ですが、の欄に並んでいる数は、0なので、9で割り切れます。
これを、一般的な正の整数Nについて示せ、と、言っているのです。

まず、の場合を例にとりながら、方針を立てます。表を見ると、2つのタイプに分かれることにすぐ気づきます。
のグループ(上の4)のグループ(下の4)です。
1回シャッフルした結果を眺めると、のグループでは、になっていることがわかります。1つずつ互い違いに割り込んでくるからです。
のグループでは、になっていますが、これはどのような仕掛けになっているのでしょうか?
1回シャッフルした結果を見ると、このグループの先頭の51番目に入り、以後、2つのグループが互い違いに入るので、1つおきに6, 7, 8が入り、63番目、75番目、87番目という具合に入っていきます。

一般的に、個の項からなる数列を前半のN個のグループと後半のN個のグループに分けます。
シャッフルすると、先頭はになります。です。
2番目は、1になります。です。
から順にまで、1番目のより、1つおきに、3番目、5番目、・・・という具合に入っていくので、,・・・,
即ち、となる整数kについて、となります(などを確かめてください)
2から順にNまで、1の入った2番目の位置より、1つおきに、4番目、6番目、・・・という具合に入っていくので、,・・・,
即ち、となる整数kについて、となります。

以上より、
となる整数kについて、で割り切れます。
となる整数kについて、で割り切れます。
よって、示されました。

(3) (1)よりのとき、つまりのとき、n回、つまり3回シャッフルすると、ちょうど順番が正反対になることがわかります。従って、さらにn回計回、つまり、はじめから6回シャッフルすれば、順番がまた正反対になって、元に戻るわけです。

m(mは、を満たす整数)シャッフルしたときのkの位置をと書くことにします。です。
示すべきこと、つまり、回シャッフルして順番が元に戻るということは、となる、ということです。

(1)の場合を調べましたが、これを利用して、の場合について、シャッフルするごとにkがどこに移動するか、を調べてみます。
k
1248
2487
3636
4875
5124
6363
7512
8751
左表で、例えば、上から4行目ののところは、8, 7, 5となっていますが、,つまり、4は、1回シャッフルすると8番目に、2回シャッフルすると7番目に、3回シャッフルすると5番目に来る、という意味です。

ここで、一つ気がつきたいことがあります。(2)からを引いたときで割り切れることを確かめました。これを応用してみます。
(2)では、からはを引いて9で割り切れることを確かめたのですが、に対して、シャッフルするごとに、と、2倍ずつされて行きます。
そこで、についても、シャッフルするごとに2倍ずつして行き、で割ったものを考えます。
9で割ると、に対して、9で割った余りは、となり、と一致します。
9で割ると、に対して、9で割った余りは、となり、と一致します。
9で割ると、に対して、9で割った余りは、となり、と一致します。

そこで、一般的に、のとき、mを自然数、kを満たす整数だとして、で割った余りがと一致すること、つまり、商をとして、
 ・・・①
と書けることを、mに関する数学的帰納法を用いて示します。

() のとき、(2)より、は、で割り切れるので、商をとして、
・・・②
これは、で割ると、余りがであることを意味します。

() のとき成り立つとします。で割った余りがと一致するので、
両辺に2をかけて、
・・・③
の場合を考えるのに当たって、この式に出てくるを何とかしなくてはいけません。
上のの表をよく見ると、どの欄においても、1の次には22の次には43の次には64の次には85の次には16の次には37の次には58の次には7が来ます。ということは、は、kとしたものに一致する(,・・・)、ということです。つまり、
言い換えると、kl回シャッフルして番目の位置にいたとして、次のシャッフルでどこに行くか(これが、です)と言うと、最初に番目の位置にいたのはkなので、k1回シャッフルして行く位置と同じ位置に行く、つまり、に行く、ということです。
②のkに入れ替えると、
これを③に代入すると、
は整数なので、これは、で割った余りがであることを意味します。つまり、においても成り立ちます。

()()より、で割った余りは、と一致します。

ここで、①において、とすると、


は整数なので、これは、で割った余りがkであることを意味しています。
で割った余りなので、
ですから、です。
これは、数列回シャッフルすると、にもどることを意味します。


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  1. 2008/05/15(木) 16:46:56|
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東大理系数学'02年前期[5]

東大理系数学'02年前期[5]

Oを原点とするxyz空間に点,をとる。また、z軸上の部分に、点を線分の長さが1になるようにとる。三角錐の体積をとおいて、極限
を求めよ。

解答 東大としては軽めの区分求積法の問題です。

直角三角形において、三平方の定理より、


より、
三角形
の面積: (三角形の面積の公式を参照)

よって、

 (区分求積法を参照)
・・・① (置換積分(その2)を参照)
被積分関数をyとおくと、
2
乗して整理すると、 ・・・②
従って、①の積分は、円②の
x軸より上側の部分とx軸の間の部分の面積、つまり、半径の円②の面積のになります。
こうして、①の値は、
......[]

①の積分を円の面積の一部分として求める技巧は、東大では頻出の必須技巧です。必ず覚えておいてください。


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  1. 2008/05/13(火) 07:50:48|
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東大理系数学'02年前期[4]

東大理系数学'02年前期[4]

aは正の実数とする。xy平面のy軸上に点Pをとる。関数
のグラフをCとする。C上の点Qで次の条件を満たすものが原点O以外に存在するようなaの範囲を求めよ。
条件:QにおけるCの接線が直線PQと直交する。

解答 条件には、直線PQC接線と直交する、と書いてありますが、QにおけるCの接線と垂直であってQを通る直線は、この点QにおけるC法線です。
従って、直線
PQCの法線となりうるのかを考えればよいわけです。
まず、
Qx座標をtとして、Qにおける法線を求めてみます。Qy座標はです。
の両辺を微分すると、
 (商の微分法を参照)
原点以外でQを考えるので、として考えます。
Qにおける法線の傾きは、 (接線と法線の公式を参照)
よって、Qにおける法線:
整理すると、
法線のy切片は、
・・・① (直線の方程式を参照)
です。

さて、「
QにおけるCの接線が直線PQと直交する。」ような点Qが原点以外に存在する、ということは、どういうことかと言うと、y軸上の点Pを通るようなCの法線がC上のどこかの点(どこになるかはわかりませんけれど、原点以外の点です)を接点として引ける、ということです。
aは、Py座標なので、法線のy切片になります。
C上の点Qが存在するためのaの範囲とは何かと言うと、C上のあらゆる点で法線を引いてみたとして、法線とy軸との交点Py軸上を動き回りますが、その交点Py座標、つまり法線のy切片がとりうる範囲という意味です。
ここの部分のロジックがややこしいですが、この問題は、ここ以外は単純な微分積分の計算問題なので、グラフを描いて法線をいろいろと書き込んで考えてみてください。

結局、何をすればよいのかと言うと、①を
として考えた関数の取り得る値の範囲を求めればよい、ということです。
さて、この関数をこのまま微分して値域を求めても良いのですが、通分して展開整理すると、ちょっと時間がかかりそうです。そこで、計算の工夫を考えます。
この式では、
2回出てきます。という部分もありますが、これはから1を引くだけのことです。
それと、
と置いたのでは、分母がとなって、商の微分法を使うところがやや面倒になります。
従って、ここは、
と置き、uの関数として値域を考えるのが最善です。
のとき、です。

とおいて、微分すると、
よって、は、において単調増加関数です。
のとき、
のとき、
これより、の値域は、です。
即ち、 ......[
]


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  1. 2008/05/12(月) 02:01:29|
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東大理系数学'02年前期[3]

東大理系数学'02年前期[3]

xyz空間内の原点Oを中心とし、点Aを通る球面をSとする。Sの外側にある点Pに対し、OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をLとする。点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足をそれぞれQRとする。このとき、
であるような点Pの動く範囲Vを求め、Vの体積は10より小さいことを示せ。

解答 問題の状況設定はz軸のまわりに回転しても変化がありません。従って、Py座標をとし、zx平面上で考えておいて、あとからz軸のまわりに回転させて空間図形として考える、というようにもできます。ここでは、空間図形のまま、やってみます。なお、下記の補注を参照してください。

2つの球が出てきますが、それぞれの球面上の点の座標をと表すことにします。
球面Sの方程式は、 ・・・① (球面の方程式を参照)
OP
を直径とする球の中心はTにあります。球の半径はOTです。
OPを直径とする球面の方程式は、
・・・②
①-②により、2つの球面の交わりとして得られる円を含む平面L上の点の座標をとして、平面Lの方程式は、
整理して、
L ・・・③ (平面の方程式を参照)

PLとの距離がPQです。
 (下記()を参照)
ALとの距離がARです。
より、 ・・・④

のとき、④
かつ
かつ ・・・⑤
⑤の表す図形は、を中心とする半径の球面から外側であってかつ、を中心とする半径の球面から内側の部分です。
Pは、球面Sの外側の点なので、 ・・・⑥
⑤かつ⑥を満たす点はありません。

のとき、④
かつ
かつ ・・・⑦
⑦の表す図形は、を中心とする半径の球面から外側であってかつ、を中心とする半径の球面から内側の部分です。
Pは、球面Sの外側の点なので、 ・・・⑧
を満たします。⑦かつ⑧を満たす点は右図黄緑色着色部分にあります(白マルを除く)

球面は、球面Sと点Aで接し、内接します。球面は、球面Sと点Aで接し、外接します。
従って、⑦かつ⑧により、点
Pの動く範囲Vは、
原点を中心とする半径
1の球面より外側であってかつ、を中心とする半径の球面から内側であってを除く部分 ......[]

V
の体積は、半径の球の体積から、半径1の球の体積を引いたものになります。
Vの体積:

補注 上記では、球面の方程式、平面の方程式、点と平面の距離の公式を用いています。
Cを中心とする半径rの球面上の点Pは、を満たします。
座標を用いて書くと、
より、
これが、点Cを中心とする半径rの球面の方程式です。

と垂直で、点Dを通る平面上の点Pは、,即ち、を満たします。

として、を座標を用いて書くと、
と垂直な平面の方程式は、と表すことができます。

Aと平面:との距離hは、点Aから平面に下ろした垂線の足をHとして、 // より、と表せるので、
より、
H
は平面上の点なので、PHに代えた式も成り立ちます。


これより、
 ・・・()
これが、点Aと平面:との距離の公式です。上記の東大理系数学'02前期[3]では、PQARを求めるのに使っています。

また、上記では、①-②として、
2球の交円を含む平面の方程式を求めています。
2球の方程式がだとします。
hkを適当な実数だとして、
・・・⑨
は、2球の交円を含む平面、あるいは球を表します。なぜなら、交円上の点は、
をともに満たすので、⑨も満たすからです。
⑨が球を表すのは、⑨が
という項を含むときです。
⑨が平面を表すのは、⑨が
という項を含まないときです。
の係数がともに1なら、とすれば、⑨からの項を消すことができます。
つまり、
は、2球の交円を含む平面を表します。上記では、平面の方程式③を求めるのに、この技巧を使っています。


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  1. 2008/05/10(土) 23:56:18|
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東大理系数学'02年前期[2]

東大理系数学'02年前期[2]

nは正の整数とする。で割った余りを
とおく。
(1) 数列
を満たすことを示せ。
(2) に対して、は共に正の整数で、互いに素であることを証明せよ。

解答 多項式の除算数学的帰納法の融合問題です。(2)では、整数もからんできますが、背理法を用いることで証明ができます。
なお、この問題で登場する数列は、
を満たし、東大で頻出のフィボナッチの数列です。

(1) 題意より、に対して、
・・・① (多項式の除算を参照)
とおくことができます。
ここで、とすると、
・・・②

①両辺にxをかけて変形します。

・・・③
②は、で割った余りがだと言っています。
③は、で割った余りがだと言っています。
②,③を比較することにより、に対して、
・・・④

(2) 数学的帰納法により証明します。
i) のとき、
①において、とすると、
より、
よって、は共に正の整数で、互いに素(最大公約数が1)です。

ii) のとき、成り立つとして、は共に正の整数で、互いに素です。 ・・・⑤
このとき、も共に正の整数です。
ここで、が互いに素ではないと仮定します。 ・・・⑥ (背理法については、証明の技巧を参照)
すると、2以上の公約数sをもつはずです。
このとき、pqを正の整数として、とおくことができます。④より、
ですから、2以上の公約数sをもつことになり、が互いに素であるとした数学的帰納法の仮定⑤と矛盾します。
従って、が互いに素ではないとした仮定⑥は誤りで、は互いに素です。
よって、のときも成り立ちます。

1)ii)より、に対して、は共に正の整数で、互いに素であることが示されました。(証明終)


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東大理系数学'02年前期[1]

東大理系数学'02年前期[1]

2つの放物線

が相異なる2点で交わるような一般角q の範囲を求めよ。

解答 高校2年生の中間試験の問題としてちょうど良い問題です。

・・・①
・・・②
①,②より、yを消去して、
展開して整理すると、
これがxについて異なる2解をもつためには、右辺が正であればよい(2次方程式を参照)

より、
の範囲では、
一般角とするために、nを整数として、を加え、(一般角を参照)
......[]

別解 ①,②の放物線は、原点に関して対称です(2次関数を参照)。①は下に凸、②は上に凸なので、両者が相異なる2点で交わるためには、①のグラフが原点の下側を通ることが必要十分です。
よって、
これで③が得られます。


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  1. 2008/05/09(金) 11:02:04|
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東大物理'03年前期[3]

東大物理'03年前期[3]

 図3-1に示すように、広い水槽に水が張られており、水槽のまっすぐな縁の近くに振動数fで振動している波源Sがある。図のように座標をとり、波源Sの位置をとする。ただし、hの値は水面波の波長より大きい。また、水面波の速さをcとする。
Ⅰ 波源から水面波が同心円状に広がり、水槽の縁で反射する。このとき、直接波と反射波が干渉し、強め合うところ()と弱め合うところ()ができる。そのときの、節を連ねた曲線(節線)の形状を知りたい。
(1) まず原点Oでの水面の振動の様子を観察したところ、腹であった。そこからy軸に沿って正の方向に観測点を移して行くと、位置で初めて節が見つかった。dを求めよ。
(2) 観測点が任意の位置P (ただし)にある場合、直接波と反射波がそれぞれSからPに至るまでの経路の長さを求めよ。
(3) (2)の結果と経路に含まれる波の数を考えて、観測点Pが節になる条件式をdを用いて表せ。
(4) 反射波の波面は、水槽の外の点に存在する仮想的な波源が作る直接波の波面と同等であると考えることができる。そのときのの座標を求めよ。
(5) の場合、原点Oと波源Sの間のy軸上で、2つの節が見つかった。この場合の2本の節線の概形を図示せよ。
Ⅱ 次に図3-2に示すように、水がx軸の正の方向に速さVで一様に流れている。波源Sの位置は変わらない。この場合の、節の位置を探したい。ただし、とする。
(1) 波の速度は、水流がない場合の波の速度(大きさc)と水流の速度(大きさV)の合成速度になる。波源Sを出て原点Oに至る波の速さと波長を求めよ。また、原点で観測される波の振動数を求めよ。
(2) Ⅰ(1)と同様に、原点から出発して観測点を移して行くと、位置で初めて節が見つかった。を求めよ。

解答 Ⅱでは、水面波の進行方向によって、波の進む速さが異なっていることに注意してください。

(1) 波の基本公式より、水面波の波長です。右図のように、定常波の腹と節の距離波長に等しくなります。
よって、 ......[] ・・・①
ここで、縁上の原点が腹、ということは、縁は水面波の自由端であることに注意してください(固定端なら節になるはずです。なお、波の反射を参照)

(2) 右図より、直接波の経路の長さは、
......[]
反射波は、Sx軸に関する対称点に波源があると考えます。
右図より、その経路の長さ ......[]

(3) Pが節になるということは、Pにおいて直接波と反射波が弱め合うということです。反射波は、縁が自由端だから、縁で反射するときに位相のずれはありません。
Pが節になる条件は、①を用いて、
(m:整数)
つまり、 ......[]

(4) (2)より ......[]

(5) y軸上の点と、Sとの距離との距離,この点において、経路差
この点が節になる条件は、 (m:整数)

よって、においては、が節になります。(3)より、節線は2定点からの距離の差が一定となる点を結んだ曲線で、2を通る双曲線となり、図示すると右図。

(1)  題意より、時間t 経過後水面波がOに達し、水流のない場合に同じ時間t で点Qまで進むとして、だから、
進む距離時間で割ったものが波の速さで、波の速さ振動数で割ったものが波長です。
波の速さ:,波長: ......[]
波がSからOまで進むときに、回り道をして進んでくる分だけ余計に時間がかかるので、波は遅くなるという感じです。
波源も原点も動かないので、ドップラー効果は生じません。原点で観測される振動数はもとの振動数と同じでf ......[]

(2) y軸上で考えずに、(1)SからQに向かって速さcで進む水面波と、Qで反射してSに速さcで戻る水面波が干渉し、水流に乗ってy軸に来ると考えます。Qは自由端で腹だからQからのところに節ができます。この節の位置x軸との距離に等しいから、として、より、
......[]
y軸上で考えるなら、は、(1)で求めた波長です。


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  1. 2008/05/08(木) 22:03:40|
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東大物理'03年前期[2]

東大物理'03年前期[2]

 図2のように、直方体の導体PQが、水平なxy面上にy軸と平行に設置されている。これらの導体は十分細長く、その太さは無視できるとする。導体PおよびQの間には絶縁体がはさまれており、全体で間隔l2本の平行なレールをなしている。導体PQの右端はそれぞれ導体の左端と導線で交差して結ばれている。二つの絶縁体はx軸方向の平行移動でちょうど重なり合う位置にある。
2本のレール上には、質量が等しく、ともに抵抗Rを持つ細い棒12x軸に平行に置かれている。それらはy軸方向に摩擦なしに滑ることができ、棒2の方が棒1より右にあって接触しないものとする。系全体には磁束密度Bの一様な磁界が鉛直上向きにかけられている。
以下では棒を流れる電流は
x軸正方向、棒に働く力とその速度はy軸正方向を正とする。棒と絶縁体以外の電気抵抗は無視できるとする。また、棒を流れる電流により発生する磁界の影響も無視できるとする。
Ⅰ 棒1も棒2も導体PQ上にあるとして以下の問に答えよ。
(1) 1を導体PQに固定し、棒2だけを一定速度で動かした。この時、棒2に流れる電流を求めよ。
(2) 1の速度がu,棒2の速度がvである時、棒1に働く力,棒2に働く力を求めよ。
Ⅱ 棒1が導体PQ上、棒2が導体上にあるとして以下の問に答えよ。
(1) 1の速度がu,棒2の速度がvである時、棒2に流れる電流Iを求めよ。
(2) (1)の状況で、Pの電位はの電位よりどれだけ高いか。
Ⅲ ある時刻において棒12は同じ正の速度を持ち、棒2PQの右端,棒1はそれより左にあったとする。その後棒12は間隔を一定に保ったまま右へ進んでいった。二つの棒の間隔が絶縁体の長さより大きいとすると、次の四つの状況が順次起こる。
(a) 1PQ上で棒2は絶縁体上
(b) 棒1はPQ上で棒2
(c) 1は絶縁体上で棒2
(d) 1,棒2ともに
それぞれの場合に、棒1の速度(2の速度に等しい)はどうなるか。以下の()()()のいずれかを選んで答えよ。
() 加速する
() 減速する
() 変わらない

解答 電磁気の基本的な問題です。符号に注意しましょう。なお、キルヒホッフの法則を参照してください。

Ⅰ 回路には、棒1と棒2で合わせて抵抗があります。
(1) だとして、フレミング右手の法則より、棒2にはPQの方向に電流を流す向きの起電力が発生し、その大きさは
2にはx軸正方向に電流が流れるから電流は正で、棒2に流れる電流は、オームの法則より、
......[]
(2) 2が棒1の左側に来ないように、として考えます。
1にはPQの方向に電流を流す向きに大きさ起電力が発生します。
2にはPQの方向に電流を流す向きに大きさ起電力が発生します。

であれば、上から見て時計回りに電流が流れます。電流の大きさは、
1では負方向、棒2では正方向に電流が流れます。

よって、フレミング左手の法則により、棒1にはy軸正方向の()、棒2にはy軸負方向の()が働きます。
......[]
......[]

 回路を上から見ると右図のような接続になっています。
(1) だとして、棒1,棒2にはともにPQの方向に電流を流す向きに起電力が発生します。
このときには、棒2に流れる電流は正で、
......[]

(2) 求めるものは、棒2電圧側が高いときに正になるようにして答えたものです。
から起電力だけ電位が高くなり、棒2抵抗R電流Iが流れてだけ電位が下がるので、
P電位電位より、
......[]
だけ、電位が高いことになります。

 右図で、棒1,棒2速度v電流I,棒1,棒2に働くとしました。
(a) このとき回路を上から見ると、右図(a)のような接続になっています。
電流の流れる経路がないので、棒1にも棒2にもは働きません。棒の加速度0です。従って() ......[]

(b) このとき回路を上から見ると、右図(b)のような接続になっています。
1にも棒2にもx軸正方向に電流が流れて、y軸負方向にが働くので、棒の加速度は負です。従って() ......[]

(c) このとき回路を上から見ると、右図(c)のような接続になっています。
電流の流れる経路がないので、棒1にも棒2にもは働きません。棒の加速度0です。従って() ......[]

(d) このとき回路を上から見ると、右図(d)のような接続になっています。
1に生じる起電力と棒2に生じる起電力は同じ大きさで互いに打ち消し合って回路の起電力の和は0です。このときには電流は流れず、棒にはが働かないので、棒の加速度0です。従って() ......[]


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東大物理'03年前期[1]

東大物理'03年前期[1]

 図1のように、質量の物体Aと質量Mの物体Bが、ばね定数kの質量の無視できるばねによってつながれて、なめらかで水平な床の上に静止していた。また、物体Aはかたい壁に接していた。床の上を左向きに進んできた物体Cが、物体Bに完全弾性衝突して、跳ね返された。右向きを正の向きと定めると、衝突直後の物体Cの速度は (),物体Bの速度は ()であった。その後、物体Bと物体Cが再び衝突することはなかった。
Ⅰ まず、衝突前から物体Aが壁から離れるまでの運動を考える。
(1) 衝突前の物体Cの速度 ()を用いて表せ。
(2) ばねが最も縮んだときの自然長からの縮みx ()を求めよ。
(3) 衝突してからばねの長さが自然長に戻るまでの時間Tを求めよ。
Ⅱ ばねの長さが自然長に戻ると、その直後に物体Aが壁から離れた。
(1) やがて、ばねの長さは最大値に達し、そのときの物体Aと物体Bの速度は等しくなった。その速度を求めよ。
(2) ばねの長さが最大値に達したときの自然長からの伸びy ()を求めよ。
(3) その後ばねが縮んで、長さが再び自然長に戻ったとき、物体Aの速度は最大値Vに達した。Vを求めよ。
Ⅲ 物体Aが壁から離れた後、物体Bと物体Cの間隔は、ばねが伸び縮みを繰り返すたびに広がっていった。このことからわかるの関係を、不等式で表せ。

解答 こうした単振動の問題では、極力、運動方程式を立てずに、エネルギー的考察(エネルギーの原理力学的エネルギー保存則)で考えるようにしましょう。運動方程式に頼るとどうしても微積分が出てきて、遠回りになります。

......[]
(2) 衝突直後のA+B力学的エネルギーは、運動エネルギーのみ。
ばねが最も縮んだとき(ABとも速度0)A+B力学的エネルギーは、弾性エネルギーののみ。
力学的エネルギー保存より、
......[]
(3) 物体Bの運動は単振動で、速さの最大値は振幅 ((2)で求めた最大の縮み振幅になります)
単振動の角振動数w として、公式:より、

求める時間Tは、単振動の半周期で、 ......[]

Ⅱ ばねが自然長に戻ると、ばねがAに及ぼす0,従って、壁がAに及ぼす0になり、この直後に、Aは壁から離れます。このとき、A速度0B速度 (Cとの衝突直後と等大逆向き)です。
(1) ばねの伸びが最大になるとき、Aから見てBは止まります。ということは、床から見ると、AB速度は同じ速度になります。
外部からABとばねからなる系に働いているはありません。従って、運動量保存則が成立します。Cとの衝突直後、Bだけが運動量を持っていて、ばねの伸びが最大になるとき、AB運動量は、です。
運動量保存より、
......[]

(2) C との衝突後最初にばねが自然長に戻るとき、Bだけが運動エネルギーを持っていて、A運動エネルギーとばねの弾性エネルギー0です。
ばねの長さが最大になったとき、A運動エネルギーは、B運動エネルギーは、,このときのばねの伸びyなので、ばねの弾性エネルギーは、
この系に対して仕事をしているは存在しないので、力学的エネルギー保存より

......[]

(3) ばねが自然長に戻ったときのB速度vとして、
運動量保存より ・・・①
力学的エネルギー保存より ・・・②
①より、
②に代入して、

なので、 ......[]

Ⅲ ABを一体と考えて、重心の速度とする(運動量保存より、重心は等速度運動をします)と、
運動量保存より

C速度で等速度運動するので、BC間隔が広がってゆくためには、,即ち、
......[]
であればよいことになります。


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  1. 2008/05/06(火) 12:39:34|
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東大理系数学'03年前期[6]

東大理系数学'03年前期[6]

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

解答 いろいろ考えられますが、円に内接する正多角形の周の長さを考えるのがやはり一番簡単です。
を示しただけでは、を示したことにはならないので注意。だとして、を示さなければなりません。なお、条件・命題を参照してください。

まず、半径1の円に内接する正方形を考えてみます。
半径
1の円の円周の長さはです。
半径
1の円に内接する正方形の1辺の長さはです。正方形の周の長さは4辺で
円周の長さは、円に内接する正方形の周の長さよりも長いので、ですが、これでは、が示せません。

次に、半径
1の円に内接する正六角形を考えてみます。
この正六角形の
1辺の長さは1です。正六角形の周の長さは6辺で6
円周の長さは、円に内接する正六角形の週の長さよりも長いので、ですが、これでも、は示せません。

今度は、半径
1の円に内接する正八角形を考えてみます。
この正八角形の
1辺の長さは、中心からこの1辺に垂線を下ろすと垂線の足はこの1辺の中点なので、
 (三角比一般角を参照)
より、
()
従って、正八角形の周の長さは8辺で、
円周の長さは、円に内接する正八角形の周の長さより長いので、
というわけで、を言うためには、,つまり、が言えればよいわけです。
2乗すると、,移項して、
さらに2乗して、

答案としては、

半径
1の円周は、この円に内接する正八角形の周の長さより長いから、
ところで、




のようにまとめればよいでしょう。


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  1. 2008/05/05(月) 19:10:29|
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東大理系数学'03年前期[5]

東大理系数学'03年前期[5]

さいころをn回振り、第1回目から第n回目までに出たさいころの目の数n個の積をとする。
(1) 5で割り切れる確率を求めよ。
(2) 4で割り切れる確率を求めよ。
(3)20で割り切れる確率をとおく。を求めよ。
注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

解答 確率の基本的な問題ですが、場合分けのミスなどに注意が必要です。最後の極限のところでは、のとき、であることを使います。

(1) 5で割り切れる
1回目から第n回目までに少なくとも15が出る

「少なくとも」という表現が出てくるので余事象の方を考えます。
「第1回目から第n回目までに少なくとも15が出る」という事象の余事象は、「第1回目から第n回目までに1度も5が出ない」という事象です。
さいころを1回振って5が出ない確率はです。
これがn回続くので、第1回目から第n回目までに1度も5が出ない確率は、

5で割り切れる確率は、 ......[]

(2) これも(1)と同様に余事象を考えます。

4で割り切れない
(i) 1回目から第n回目まで、全て、135が出る、または、(ii) 1回目から第n回目までの中で1回だけ26が出て、残りの回は135が出る

(i)を考えます。
さいころを1回振って135が出る確率はです。
これがn回続く確率は、

(ii)を考えます。
26が出るのは、第1回目から第n回目までのどの回かが、通り。
さいころを1回振って26が出る確率は
残りの回、全て、135が出る確率は
(ii)の確率は、

(i)(ii)は排反(和事象・積事象・余事象を参照)なので、求める確率、即ち、「(i)または(ii)」の余事象の確率は、
......[]

(3) これも余事象、「20で割り切れない」という事象の方を考えます。余事象の確率はです。

20で割り切れない」という事象は、
4で割り切れない」か「5で割り切れない」事象です。

4で割り切れない」事象Aと「5で割り切れない」事象Bは、排反ではありません。
ともに、「4でも5でも割り切れない」という事象()を共通に含んでいます。

4でも5でも割り切れない
(i) 1回目から第n回目まで、全て、13が出る、または、(ii) 1回目から第n回目までの中で1回だけ26が出て、残りの回は13が出る

(i)の確率は、

(ii)の確率は、

(i)(ii)は排反なので、4でも5でも割り切れない確率は、

(2)より、4で割り切れない確率は、
(1)より、5で割り切れない確率は、

20で割り切れない(AまたはB)確率は、

極限をとるので、この中に出てくる、の中で絶対値が最も大きいものでくくります。


ここで、とすると、より、

......[]


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  1. 2008/05/03(土) 20:34:57|
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東大理系数学'03年前期[4]

東大理系数学'03年前期[4]

2次方程式2つの実数解のうち大きいものをa,小さいものをb とする。
に対し、とおく。
(1) を求めよ。また、に対し、で表せ。
(2) 以下の最大の整数を求めよ。
(3) 以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。

解答 整数3項間漸化式の融合問題です。

(1) 解と係数の関係より、 ・・・①
......[]
......[
]
......[
]

3項の間の関係式を求めるのですが、3項間漸化式 ・・・② を満たす数列の一般項を求めるときに出てくる「特性方程式」と呼ばれる2次方程式:を解くことを思い出します。この2次方程式の解をab とすると、②を、 (公比b等比数列),または、 (公比aの等比数列)と変形することができて、最終的に、一般項を、 ・・・③ の形に表すことができます。

ということは、一般項がの形に表せていて、ab 2次方程式:の解なら、数列が従う3項間漸化式は、のはずです。ここでは、の関係を問われているので、となることを調べてみます。

ab は、2次方程式:の解ですから、です。
従って、 ......[]

(2) を解くと、
よって、

以下の最大の整数は、 ......[]

(3) (1)で得られた3項間漸化式を用いると、
となるので、数列1の位は、486248624...... という具合に4項ずつ循環してゆくことが予測できます。
これを数学的帰納法で証明することにします。

まず、準備をしておきます。
4項ずれた項の間の関係を調べればよいので、の間の関係を調べます。(1)で得られた漸化式を繰り返して使うことにより、

よって、1の位の数字は、1の位の数字に一致します。・・・()

命題:0以上の整数mについて、1の位の数字が、各々、4862であることを数学的帰納法を用いて証明します。
() のとき、1の位の数字は、4862なので、命題は成り立ちます。
() のとき、命題が成り立つとして、1の位の数字が、各々、4862だと仮定します。
()により、1の位の数字は、1の位の数字に一致します。10の位の数字は1の位には寄与しないので、1の位の数字84だけ見てゆけばよいのです。1の位の数字は、1の位の4になります。・・・③
同様にして、1の位の数字68から、1の位の数字は、1の位の8になります。
1の位の数字26から、1の位の数字は、1の位の6になります。
1の位の数字42から、1の位の数字は、③より、1の位の2になります。
よって、においても、命題が成立します。
()()より、命題が証明されました。

ところで、より、です。
ですが、上記の命題より、1の位の数字は、より、6です。
1の位のの数字は、より、と同じく、6 ......[]


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  1. 2008/05/02(金) 20:53:56|
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東大理系数学'03年前期[3]

東大理系数学'03年前期[3]

xyz空間において、平面上の原点を中心とする半径2の円を底面とし、点を頂点とする円錐をAとする。
次に、平面
上の点を中心とする半径1の円をH,平面上の点を中心とする半径1の円をKとする。HK2つの底面とする円柱をBとする。円錐Aと円柱Bの共通部分をCとする。を満たす実数tに対し、平面によるCの切り口の面積をとおく。
(1) とする。のとき、q で表せ。
(2) Cの体積を求めよ。

解答 2円の位置関係を場合わけして断面積を考えますが、結局、同じ式になります。積分計算はかなり面倒です。
なお、図形と方程式や三角関数を復習される方は、
円の方程式三角関数を参照してください。扇形の面積については、一般角を、積分に関しては、不定積分の公式を参照してください。

(1) 平面によるCの切り口をz軸と垂直にxy平面上まで平行移動させると右図斜線部のようになります(立体を真上から見た図だと思ってください)
円錐Ay軸負方向から眺めると、稜線は、右下図のように、直線 ・・・① に重なって見えます。①において、のとき、
円錐Aで切った部分に相当するのは、円: ・・・②
円柱Bで切った部分に相当するのは、円: ・・・③
2円の交点DEx座標は、②,③を連立して、
ここで、PFとします。
円②の半径はなので、右図でです。
2円の位置関係は、 ()の場合、 ()の場合に分かれます。

以下、右上図斜線分の面積のうち、線分DEから右側の部分の面積を,左側の面積をとします。
a) のとき、2円の位置関係は右図のようになります。
は、扇形ODEから三角形ODEを除いた部分(右図で黄色く塗られた部分)の面積で、
また、中心角は円周角の2倍なので、
は、円③から扇形PDEから三角形PDEを除いた部分を除いた部分(右図で黄緑色に塗られた部分)の面積で、


b) のとき、2円の位置関係は右図のようになります。
a)の場合と同じです。
は扇形PDEから三角形PDEを除いた部分の面積で、
これもa)の場合と同じです。

よって、 ......[]

(2) Cの体積は、 (定積分と体積を参照)
q の式で与えられているので、置換積分を行い、tの積分をq の積分に直します。
を微分して、

tのとき、q
よって、
 (部分積分法を参照)

 (です)


.......[]


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  1. 2008/05/01(木) 23:36:09|
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