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東大理系数学'03年前期[2]

東大理系数学'03年前期[2]

Oを原点とする複素数平面上で6を表す点をAを表す点をBとする。ただし、iは虚数単位である。正の実数tに対し、を表す点Pをとる。
(1) を求めよ。
(2) 線分OPの長さが最大になるtを求めよ。

解答 この問題は現在の指導要領では高校範囲外です。

(1) とおきます。です。は、複素数の偏角です。
よって、 ......[]

(2) 無方針にやっても計算が大変です。複素数zの分母:は、のときに実数になり、のときに純虚数になります。このとき、zが簡単な値になります。
そこで、としてみると、となり、このとき点Pは点Aに来ます。
としてみると、となり、このとき点Pは点Cに来ます。
また、としてみると、となり、このとき点Pは原点Oに来ます。
一方、(1)より、で一定なので、点Pの軌跡は円です。
ということは、点Pの軌跡の円は、直角三角形OACの外接円だということです。
この外接円の中心はACの中点で、OPがこの外接円の直径になるときにOPの長さが最大で、このとき、OPの中点がなので、
分母を払うと、
......[]

別解 tについて解くと、
tが実数 より、 (共役複素数を参照)
分母を払うと、
整理して、

これでPの軌跡がを中心とする半径5の円とわかります。


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  1. 2008/04/30(水) 10:26:57|
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東大理系数学'03年前期[1]

東大理系数学'03年前期[1]

abcを実数とし、とする。2次関数が次の条件(A)(B)を満たすとする。
(A)
(B) を満たすすべてのxに対し、
このとき、積分のとりうる値の範囲を求めよ。

解答 無難に済ませるのであれば、定数の分離という技巧を使って計算してしまうのが良いと思います。別解で2次関数を考えてみます。

(A)より、 ・・・①, ・・・②
①+②より、
 ∴
②-①より、 ∴
(B)
より、において、 ・・・③
③の形のまま、
2つの2次関数の大小関係を扱うのは厳しいものがあります。
x以外の文字aが③式の中に一つしか出てこないので、定数の分離という技巧を使います(微分法の方程式への応用(2)を参照)
文字
aを単独に切り離して、定数axの関数の大小を比べるようにするのです。
においてなので、③の両辺をで割ると不等号の向きが変わります。
として、とおくと、
(商の微分法を参照)
とすると
のとき、より、

x1
+0

増減表より(関数の増減を参照)において、
③は、を代入してみると、aの値にかかわらず成立することがわかります。
よって、
において、 ・・・④
を微分して、

 (定積分の公式を参照)

④より、 ......[]

別解 ③を2次関数で考えてみます。
という2つの2次関数を考え、においてつねにとなる条件を考えます。
まず、
だとすると、であり、なので、となってしまいます。よって、が必要です。
のグラフは下に凸な放物線です。
のとき、のグラフも下に凸な放物線です。aの値が大きくなると放物線は鋭くなるとともに、頂点のy座標:がどんどん小さくなります。
,また、のグラフの軸:の範囲内にあることから、を満たすすべてのxについて、となるためには、aの値が、のグラフとのグラフがの範囲内において接するときのaの値よりも大きければよい、ということになります。
とすると、
 ・・・⑤
接するとき、判別式:より、

⑤の重解(2次方程式の一般論を参照)は、 (複号同順)
このうち、接点の座標、つまり、重解がを満たすのは、の方で、このとき、
これより、(A)(B)を満たすaの条件は、となります。


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  1. 2008/04/29(火) 21:17:49|
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東大物理'04年前期[3]

東大物理'04年前期[3]

 図3のように、二つの容器12のそれぞれに1モルの気体12を入れ、水平な床に固定する。これらの気体はともに理想気体とする。二つの容器は摩擦なしに水平に動くことのできるピストンAでつながれている。ピストンAの容器1内の底面積はであり、容器2内の底面積はである。容器2にはさらに、上下に動くことのできるピストンBがついており、その上に質量mのおもりがのせてある。ピストンBの底面積はSであり、その質量は無視できる。容器1には体積の無視できるヒーターが取り付けられている。ピストンABと容器は熱を通さない。気体は容器の外にもれず、容器の外は真空である。気体定数をR,重力加速度をgとする。
Ⅰ ピストンBが動かないように固定されている場合を考える。
(1) ピストンAが静止している状態において、気体1の圧力と気体2の圧力の間に成り立つ関係式を書け。
(2) はじめ気体1の方が気体2より温度が低く、気体1の体積が,気体2の体積がであった。ヒーターで気体1を加熱して気体12を等しい温度にした。このときの気体2の体積を、を用いて表せ。
Ⅱ ピストンBが摩擦なく動くことができる場合を考える。ピストンABが静止している状態において、気体1の温度がTであるとき、気体1の体積を、STRmgを用いて表せ。
Ⅲ 問Ⅱの状態から気体Ⅰをヒーターで加熱したところ、気体1の温度はになり、気体2の温度は変わらなかった。また、ピストンAは右に距離xだけゆっくりと移動し、ピストンBhだけ上昇した。
(1) 移動距離xを、Shを用いて表せ。
(2) 温度を、TRmghを用いて表せ。
(3) 気体1は単原子理想気体として、ヒーターから加えられた熱量Qを、mghを用いて表せ。

解答 東大物理でよく見られる、数多くの条件をどう取捨選択して使い回して行くか、というところに頭を使う問題です。気体の問題としては難問ではありません。なお、理想気体を参照してください。

(1) 気体1,気体2圧力とします。
ピストンAは、気体1から右向きにを受け、気体2から左向きにを受けます。
ピストンAに働く力のつり合い
......[]

(2) 状態方程式と力のつり合いを考えるだけでは条件が不足します。問題文の先の方を読んでみると、ⅢでピストンAが右に距離x動く、という記述があります。ピストンの移動距離に着目してみます。
気体1を加熱したとき、ピストンAが右(気体1は温度上昇しているから膨張する)x動くとします。気体1体積から増加してになり、気体2体積から減少してになったとします。
より
・・・①

加熱後の気体1圧力,気体1と気体2絶対温度Tとして、
気体1状態方程式 ・・・②,気体2の状態方程式: ・・・③
また、ピストンAに働く力のつり合いより、 ・・・④
②,③,④より、
これを①に代入すると、 ∴ ......[]

Ⅱ ここでも、ピストンAに働く力のつり合いから、気体1と気体2圧力の間に、という関係が成立します。
ピストンBに働く力のつり合い:


気体1の状態方程式: ・・・⑤
......[]

Ⅲ 余程の自信がある人でない限り、こういう問題は、はじめから上手にやろうとすると失敗します。手の着くところ順々に攻めていきます。
まず気体2を考えます。気体2は、温度が変わらないので内部エネルギーは変化しません
気体2ではのやりとりもないので、熱力学第一法則より、ピストンAからされた仕事はそのままピストンBを持ち上げる仕事になります。
ということは、気体2の状態は何も変化しないということです。つまり、気体2圧力体積は、一定値、のままと考えられます。
さらに、ピストンAに働く力のつり合いより、気体1圧力は一定で、気体1が定圧変化をしていることがわかります。
(1) 気体2体積について:
......[]

(2) (1)の結果を用いると、加熱後の気体1体積は、
気体1圧力として、加熱後の気体1の状態方程式: ・・・⑥
⑥÷⑤より、 (シャルルの法則)
......[]

(3) 気体1定圧変化をしているので、定圧モル比熱の式を利用します(モル比熱を参照)
単原子分子理想気体では、定積モル比熱は,定圧モル比熱はです。
気体1について、定圧モル比熱の式により、ヒーターから加えられた熱量Qは、
......[]


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  1. 2008/04/28(月) 22:50:44|
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東大物理'04年前期[2]

東大物理'04年前期[2]

2-1に示すように直交座標系を設定する。初速度の無視できる電荷q (),質量mの陽子が、y軸上で小さな穴のある電極aの位置から電極ab間の電圧Vで+y方向に加速され、z軸に垂直でy軸方向の長さがlの平板電極cd ()からなる偏向部に入る。cd間には+z方向に強さEの一様な電界がかけられている。これらの装置は真空中にある。電界は平板電極c,dにはさまれた領域の外にはもれ出ておらず、ふちの近くでも電極に垂直であるとし、地磁気および重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。
Ⅰ 電極bの穴を通過した瞬間の陽子の速さを、Vqmを用いて表せ。
Ⅱ その後、陽子は直進し、速さのままで偏向部に入る。
(1) 陽子が電極cに衝突することなく偏向部を出る場合、その瞬間のz座標(変位)を、qmlEを用いて表せ。
(2) Eがある値より大きければ陽子は電極cに衝突し、小さければ衝突しない。その値を、Vlhを用いて表せ。
Ⅲ 陽子のかわりにアルファ粒子(電荷,質量)を用いて同じVEの値で実験を行ったところ、偏向部を出る瞬間のz座標(変位)であった。を用いて表せ。
Ⅳ Eの値をに固定し、電極cdにはさまれた領域に+x方向に磁束密度B ()の一様な磁界をかけ、再び陽子を用いて実験した。
(1) Bをある値にしたところ、陽子は偏向部を直進し、偏向部を通過するのに時間を要した。を、lを用いてそれぞれ表せ。
(2) Bをある値 ()にしたところ、陽子が偏向部を出る直前のz座標(変位)は、 ()であった。このときの陽子の速さを、qmVを用いて表せ。
(3) Bの範囲内で変化させて実験を繰り返し、陽子が偏向部を通過するのに要する時間Tを測定した。このとき、BTの関係を表すグラフはどのようになるか、図2-2()()の中から最も適当なものを一つ選べ。

解答 Ⅳでローレンツ力の向きが方向からずれるので、少し考えなければいけませんが、エネルギー的考察で解決できます。

Ⅰ 陽子a-b間の電界よりエネルギーを受け取って加速され、速さとなります。エネルギーの原理より、
......[]

(1) 電極b通過後、陽子は、y方向にを受けないので、y方向では等速度運動します。速さ距離l進む時間は、
z方向の陽子加速度成分aとして、この方向の運動方程式

z方向の陽子の運動は等加速度運動で、時間の間に進む距離は、
......[]

(2) 陽子が電極cに衝突しないために、
(1)の結果を代入して、
......[]

Ⅲ Ⅱ(1)の結果に、Ⅰの結果を代入すると、
・・・①
陽子アルファ粒子に代わると、のとき、となるが、①式は、qmを含まないので、陽子アルファ粒子に代わっても、変位は変化しません。よって、 ......[]

(1) 陽子が偏向部を直進したということは、陽子に働くz成分が0になったということです。陽子が受けるローレンツ力は、大きさで、フレミング左手の法則より、z軸負方向を向きます。
陽子に働くz方向のつり合い
......[]
偏向部を通過する時間は、磁界のない場合(Ⅰの)と同じです。
......[]

(2) 磁界が及ぼすローレンツ力と、電界が及ぼす力の合力は、向きが絶えず変化するので、この問題は、運動方程式を立てても解くことができません。そこでエネルギーを考えます
ローレンツ力はつねに陽子速度垂直なので、陽子に対して仕事をしません陽子仕事をするのは電界だけです。
電界陽子に及ぼすにより、だけ変位するので、電界陽子にする仕事は、
エネルギーの原理より、
......[]

(3) のとき、Ⅰより、
のとき、Ⅳ(1)より、
においては、右図のように、速度に垂直にローレンツ力が働き、このローレンツ力y成分によって、陽子速さが増大するから、偏向部を通過する時間は短くなります。よって、グラフは、() ......[] を選びます。


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  1. 2008/04/27(日) 12:39:02|
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東大物理'04年前期[1]

東大物理'04年前期[1]

1-1のように水平に対しての角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面がとなる位置にあり、BAの上面の右端、すなわち、の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
Ⅰ ABの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) Fを取り除いたところ、ABは運動を開始した。その後、BA上面の左端に達した。この瞬間のBy座標を求めよ。
(3) BA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
Ⅱ 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのABの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれm(ただし、)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問Ⅰ(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。
(1) mが十分に大きい場合、BA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度y方向の加速度を求めよ。
(2) mがある値より大きければBA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値を求めよ。
(3) mより小さい場合に、Bが最初の位置からA上面の左端に達するまでの軌跡として最も適当なものを図1-3()()の中から一つ選べ。ここではそれぞれ、Bの最初の位置、BA上面の点Pに達した瞬間の位置、BA上面の左端に達した瞬間の位置を表す。また破線は直線を示す。

解答 簡単な状況設定ですが、しっかり物理的に考察する必要があります。

(1)  右図のように、ABを一体として考えます。静止したままなので、ABに働く力のつり合いの式を立てます。
水平方向:
鉛直方向:
......[]

(2) Bに働くの水平成分は0です。B初速度の水平成分も0です。よって、Bは水平方向には動かず、真下に向かって運動します。
A上面の左端に達したときのBy座標d ......[]

(3) AB間の垂直抗力AB間のBの運動方向と垂直に働くから仕事をしません。斜面とAの間の垂直抗力仕事をしません。従って、ABについて力学的エネルギー保存則が成立します。
・・・① (力学的エネルギー保存則を参照)
ABともに等加速度運動するので、両者の加速度の大きさをAa(1)(2)時間とします。

より、
①に代入すると、
 ......[]

(1) 斜面に沿う方向に働くは、重力の斜面に沿う方向の成分:です。
A+Bの斜面に沿う方向の加速度aとして、斜面に沿う方向の運動方程式

......[]

(2) Aの斜面に沿う方向の加速度は下向きにで、右図のように、A上で見てBは斜面に沿って上向きに慣性力を受けます。のとき、滑り出す限界になりますが、滑り出す限界において、A上で見てBはまだ動いていないので、Bに働く力のつり合いが成立します。Bが受ける静止摩擦力の大きさをf垂直抗力の大きさをとして、力のつり合いの式は、
水平方向:,鉛直方向:
これより、
滑り出す限界では静止摩擦力最大静止摩擦力に等しく、より、
......[]

(3) ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動します。
Bの水平方向、鉛直方向の加速度成分をabとして、
これよりを消去して、,このグラフは直線です。
では、鉛直方向は等加速度運動(加速度の大きさをとします)で水平方向は等速度運動になります。Bに達する時刻におけるB速度の水平成分、鉛直成分をの座標をとして、Bの位置は、

これよりを消去して、
このグラフは上に凸な放物線です。
が直線で、が上に凸な放物線になっているグラフは() ......[]
式を立てなくても、ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動,では、鉛直方向は等加速度運動で水平方向は等速度運動(一種の斜方投射)というところからグラフを選択できるでしょう。


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  1. 2008/04/26(土) 22:21:32|
  2. 東大物理
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東大理系数学'04年前期[6]

東大理系数学'04年前期[6]

片面を白色に、もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ、次の操作を繰り返し行う。
さいころを振り、出た目が12であれば左端の板を裏返し、34であればまん中の板を裏返し、56であれば右端の板を裏返す。
たとえば、最初、板の表の色の並び方が「白白白」であったとし、1回目の操作で出たさいころの目が1であれば、色の並び方は「黒白白」となる。さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば、色の並び方は「黒白黒」となる。
(1) 「白白白」から始めて、3回の操作の結果、色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2) 「白白白」から始めて、n回の操作の結果、色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

解答 (1)で、事象の推移のカラクリを調べるとともに、確率の数列の初項を求め、(2)で、漸化式を作って確率を求めるというオーソドックスな確率漸化式の問題です。漸化式が変則的で、カラクリを見破るのがちょっと難航しますが、よくあるタイプの問題です。

(1) 12が出る事象、34が出る事象、56が出る事象は、どれも確率で起こります。
従って、左端の板、まん中の板、右端の板を入れ替えても確率は変わりません
ある回数さいころを振って、「黒白白」になる確率、「白黒白」になる確率、「白白黒」になる確率は同じです。
また、「黒黒白」になる確率、「黒白黒」になる確率、「白黒黒」になる確率は同じです。

「白白白」から1回さいころを振ると、「黒白白」か「白黒白」か「白白黒」のいずれかになります。

「黒白白」からさらに1回さいころを振ると、「白白白」か「黒黒白」か「黒白黒」になります。
この時点で、黒の枚数は0枚または2枚です。
「白黒白」、「白白黒」からさらに1回さいころを振っても、黒の枚数は0枚か2枚です。
これより、偶数回さいころを振ると、黒の枚数は0枚か2枚になりそうです。

1回も振らないときを含めて、さいころを偶数回振ったときに、黒の枚数が0枚、または、2枚だとします。
黒が0枚のときに、白が黒に変わると、黒の枚数は1枚になります。
黒が2枚のときに、黒が白に変わると、黒の枚数は1枚に、白が黒に変わると、黒の枚数は3枚になります。
従って、さいころを奇数回振ると、黒の枚数は1枚、または3枚です。
この後、1回さいころを振ると、
黒の枚数が1枚のときに、黒が白に変わると、黒の枚数は0枚に、白が黒に変わると、黒の枚数は2枚になります。
黒の枚数が3枚のときに、黒が白に変わると、黒の枚数は2枚になります。
従って、さいころを偶数回振ると、黒の枚数は0枚、または2枚です。

3回さいころを振って、「黒黒黒」になるのは、121回、341回、561回出る場合です。
(12)(34)(56)の並べ方が、通りあるので、
この確率は、です。 ・・・①

3回さいころを振って、「黒黒黒」になる事象の余事象は、「黒白白」か「白黒白」か「白白黒」になる事象です(和事象・積事象・余事象を参照)
この3つの事象はどれも等確率で起こるので、3回さいころを振って、「黒白白」となる確率は、
......[]

(2) (1)で書いたように、さいころを奇数回振ると、黒の枚数は1枚、または3になります。
さいころを偶数回振ると、黒の枚数は0枚、または2になります。

そこで、kを自然数として、さいころを(奇数回)振ったときに、「黒黒黒」(黒が3)となる確率を
さいころを(偶数回)振ったときに、「白白白」(黒が0)となる確率をとします。
①より、3回さいころを振って、「黒黒黒」となる確率は、です。

さいころを(偶数回)振ったときに、「白白白」(黒が0)となるのは、さいころを回振って、「黒白白」,「白黒白」,「白白黒」のときに、それぞれ、(12)(34)(56)が出る場合(確率で起こる)です。「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」となる(黒が1)事象は、「黒黒黒」となる事象の余事象なので、確率は、です。
よって、さいころを回振って、「白白白」となる確率は、 ・・・② です。

さいころを回振ったときに、「黒黒黒」となるのは、さいころを回振って、「白黒黒」、「黒白黒」、「黒黒白」のときに、それぞれ、(12)(34)(56)が出る場合(確率で起こる)です。「白黒黒」または「黒白黒」または「黒黒白」となる(黒が2)事象は、「白白白」となる事象の余事象なので、確率は、です。
よって、②より、さいころを回振って「黒黒黒」となる確率は、
・・・③ (2項間漸化式を参照)
とおくと、 ・・・④

③-④より、
よって、は、初項:,公比:の等比数列であって、
・・・⑤
のとき、
これを⑤に代入すると、(奇数回)さいころを振って、「黒黒黒」となる確率は、
「白黒白」となる確率は、「黒黒黒」となる事象の余事象の確率のだから、
奇数回の操作で、「白白白」となることはありません。

②,⑤より、 ・・・⑥
のとき、
これを⑥に代入すると、(偶数回)さいころを振って、「白白白」となる確率は、
偶数回の操作で、「白黒白」となることはありません。

以上より、kを自然数として、「白白白」または「白黒白」となる確率は、
のとき、 ......[]
のとき、 ......[]


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  1. 2008/04/24(木) 21:47:20|
  2. 東大数学
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図形と方程式

図形と方程式

座標平面上で図形をxyの関係式によって表すことができます。「図形と方程式」は、建築物の構造計算を行う上で必須の基本技法です。最大最小問題への応用も取り扱います。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

座標平面における内分・外分 2を結ぶ線分をmnに内分する点は、
直線の方程式 直線を表すのに、の形と、の形と2通りあります。
2直線の平行・垂直 2直線が平行になるのは傾きが等しいとき、垂直になるのは傾きの積がのときです。
2直線の交点 2直線が平行でなければ、2直線の方程式を連立して解くと、解は2直線の交点の座標です。
座標平面における対称 座標平面上で対称な図形を扱う場合の技巧を学習します。
点と直線の距離 点と直線:との距離は、
円の方程式 中心,半径rの円を表す方程式は、
円と直線の位置関係 円と直線に関する問題では、「円の中心と直線との距離」と「円の半径」との大小関係に着目します。
円の接線 円:上の点における円の接線:
軌跡 与えられた条件を満たす点の集合を軌跡と言います。
不等式のあらわす領域 xyに関する不等式が表す座標平面上の領域について学習します。
線形計画法 領域内の点で1次式が最大・最小となる問題について学習します。



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  1. 2008/04/24(木) 20:12:08|
  2. 数学Ⅱ
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線形計画法

線形計画法

いくつかの1次不等式:,・・・,
の全てを満たすようなに対して、の最大値・最小値を求めるという問題がある。
1次不等式が表す領域の共通部分Dを図示しておき、直線:kを動かして直線を平行移動させ、直線がDを通過するときのkの最大値と最小値を求めて、の最大値・最小値を求める方法を、線形計画法と言う。
「線形計画法」は、もともとは、コンピューターを使って最適条件を求めるためのアルゴリズムの名前。

「線形計画法」と言う名前は、直線を境界線とする領域で考える問題を言うのですが、領域Dは、必ずしも1次不等式の表す領域でなくても、領域を図示して、直線、あるいは、曲線が領域内を通過する条件を考えることにより、解ける問題はいくらもあります。

は、とおいて、kを動かします(直線は平行移動します)
は、とおいて、直線:の傾きkを動かします。
は、とおいて、直線:の傾きkを動かします。
は、とおいて、原点を中心とする円の半径を動かします。

 製品X1g製造するのに、材料14g,材料21g,材料34g使い、製品Y1g製造するのに、材料11g,材料23g,材料33g使う。材料1は全部で24kg,材料2は全部で18kg,材料3は全部で27kgある。製品XYの価格を1g当たり、それぞれ、10円,20円とするとき、最も売り上げを増やすためには、製品XYをそれぞれ何kgずつ製造するべきか。製品XYの価格が1g当たり20円,10円のときはどうか。製造したものはすべて売れるものとする。
解答 製品XYをそれぞれ、xkgykg製造するとします。
製品
Xxkg製造するのに、材料1kg,材料2kg,材料3kg使います。
製品
Yykg製造するのに、材料1kg,材料2kg,材料3kg使います。
材料1に関する条件は、 ・・・①
材料
2に関する条件は、 ・・・②
材料
3に関する条件は、 ・・・③
また、
です。
これらの条件を全て満たす
は、右図で黄色に塗られた領域(境界線を含む)です。
②と③の境界線の交点
Pを求めると、を連立し、
①と③の境界線の交点Qを求めると、を連立し、
製品XYの価格が1g当たり10円,20円のとき、売り上げは、万円です。
とおくと、傾きがの直線を表します。kを動かして直線を平行移動し、kが最大のところを探すと、直線が点Pを通るとき(右図の赤色の直線)です。点Pにおいては、なので、製品X3kg,製品Y5kg製造するときに最大の売り上げ万円が得られます。
製品
X3kg,製品Y5kg ......[]
製品XYの価格が1g当たり20円,10円のとき、売り上げは、万円です。
とおくと、傾きがの直線を表します。kを動かして直線を平行移動し、kが最大のところを探すと、直線が点Qを通るとき(右図の青色の直線)です。点Qにおいては、なので、製品Xkg,製品Ykg製造するときに最大の売り上げ万円が得られます。
製品
Xkg,製品Ykg ......[]


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  1. 2008/04/24(木) 20:10:54|
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慶大理工数学'08年[B1]

慶大理工数学'08[B1]

nは正の整数とする。
(1)  ヘ である。
以下でpqrは正の実数とする。とおく。
(2) すべてのnに対しであることを証明しなさい。
(3) 極限0でない有限の値となるのは、rpの間に関係式 ホ が成り立つときのみである。そのときの極限値をpを用いてあらわせば マ である。さらに0でない有限の値となるのは、pqの間に関係式 ミ が成り立つときに限る。
(4) すべてのnに対しが成り立つための必要十分条件は、かつであることを証明しなさい。

解答 2008年は、江戸時代の和算研究家、関孝和の没後300年に当たります。1712年、関孝和の死後出版された「括要算法」という本に、本問のnの式で表したときの係数の記述があるのだそうです。1713年に出版された、スイス人数学者、ヤコブ・ベルヌーイの確率論の本には、 ()の係数は、 (はベルヌーイ数と言い、,・・・)と表されると書いてあり、これと実質的に同じ結果が「括要算法」にも載っているそうです。全く同時期に、鎖国をしていた日本とヨーロッパとで同じ結果を出していたのが凄いと思いますが、本問は関孝和没後300年にちなんだ問題なのでしょうか。

(1)()  (区分求積法を参照)
......[]

(2)
数学的帰納法で証明します。
のとき、
よって、成り立ちます。
のとき、が成り立つと仮定します。
両辺に、を加えると、
よって、のときも成り立ちます。
以上より、が成り立ちます。 (証明終)

(3) n2次式、n3次式、n4次式なので、n次式で、最高次の係数はだろうということは予測がつきます。これで、()()と埋めることができます。
() ここでは、(1)と同様の計算をして確かめておくことにします。

 (数列の極限を参照)
これは、のときに発散し、のときに0に収束します。
極限0でない有限の値となるのは、 ......[] のときで、
() その極限値は、 ......[]
() 
これは、のときに発散し、のときに0に収束します。
0でない有限の値となるのは、 ......[] のときです。
pが自然数であれば、連続p整数の積のn項の和:を考えることもできます。
 (Σの中を差の形にした)
 (数列の求和技法を参照)
と見ると、nの多項式で表すとき、最高次の項は、の最高次の項に一致することがわかります。
ここからも、この(3)を考えることができます。

(4) “すべてのnに対しが成り立つ” かつ
(2)により、は示されています。
を示します。
のとき、(3)より、は有限な値となります。

は、のときに限り0以外の有限な値に収束して、

よって、
より、
より、
以上より、すべてのnに対しが成り立つための必要十分条件は、かつです。 (証明終)


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  1. 2008/04/23(水) 22:19:18|
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東大理系数学'04年前期[5]

東大理系数学'04年前期[5]

rを正の実数とする。xyz空間内の原点Oを中心とする半径1の球をA,点Pを中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし、球Aと球Bの和集合とは、球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。
(1) Vrの関数として表し、そのグラフの概形を描け。
(2) となるとき、rの値はいくらか。四捨五入して小数第一位まで求めよ。
注意:円周率?は、をみたす。

解答 回転体の体積を求める問題としては容易です。(2)の近似値も単に代入していくだけなので、平凡です。なお、中間値の定理を参照してください。

(1) のとき、球Aと球Bは離れていて共通部分をもちません。球Aと球Bの和集合の体積Vは、半径1の球の体積の2倍です。
よって、

のとき、球Aと球Bの共通部分は、右図の斜線部分をx軸のまわりに回転したものになります。これはさらに、円: (yについて解くと、)の部分をx軸のまわりに回転したもの2個分になります。従って、共通部分の体積は、
和集合の体積は、半径1の球の体積の2倍から共通部分の体積を引いたものになります。

以上まとめて、 ......[]
より、においてよりVは増加(3次関数の増減を参照)
グラフは右図。

(2) (です)のとき、
()
左辺をとおくと、
においては、は減少。
より、となるrの範囲にただ1つあります。これをとします。


と調べて行くと、であり、を四捨五入して小数第一位まで求めると、 ......[]

大学専門課程に進むとよく出てくる泥臭い数値感覚を見ています。論理的に見ないで、大体の見当をつけます。答案では、だけ調べてあれば十分です。


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  1. 2008/04/23(水) 11:41:05|
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東大理系数学'04年前期[4]

東大理系数学'04年前期[4]

関数 ()を次のように定める。


以下同様に、に対して関数が定まったならば、関数
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。を満たす実数xの個数を求めよ。
(2) aを実数とする。を満たす実数xの個数を求めよ。
(3) n3以上の自然数とする。を満たす実数xの個数はであることを示せ。

解答(3)は、数学的帰納法ということははっきりしていますが、少々、工夫が必要です。

(1)
より、の増減表は以下の通り(3次関数の増減を参照)
また、のグラフは右図の通り。
x12
00
22

グラフより、を満たす実数xの個数は、
のとき、1
のとき、2
のとき、3 ......[]
のとき、3解はいずれも、グラフより、の範囲に存在します。

(2) とおく。を満たすzの個数は(1)で調べています。

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、の範囲に1個だけあります。
(1)より、このzに対してを満たす実数xの個数は1 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、の範囲に1個だけあります。
(1)より、このzに対してを満たす実数xの個数は1 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、
(1)より、のときを満たす実数x3個、のとき、を満たす実数x22個。
合わせて、を満たす実数xの個数は5 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、
(1)より、のとき、を満たす実数x12個、のとき、を満たす実数x3個。
合わせて、を満たす実数x5 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、の範囲に3個あり、各々の値を、とします。
より、 ()を満たす実数xの各々について3個ずつ計9個とれます。
を満たす実数x9 ......[]

(3) 「自然数」に関する証明問題なので、数学的帰納法で証明するのがラクそうです。
問題文ではとなっているのですが、のとき、というわけではありません。であっても、となる可能性があります。
従って、問題文のままでは数学的帰納法に乗せにくいのです。

(2)のときにx9 ()個とれたということは、に限らずに、 ()としてもやはりx個とれるだろう、と思われます。というわけで、数学的帰納法で、
 「aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数は個ある」 ・・・()
という命題を証明することにします。この証明ができてからとすればよいでしょう。
また、問題文では、について示せとなっているのですが、として示しておけば、でも成り立つので、ここでは、として数学的帰納法の証明をすることにします。

のとき、(1)より、aを満たす実数だとして、を満たす実数xは、の範囲に個あるから、命題()は成り立ちます。
のとき命題()が成り立つと仮定します。つまり、aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数が個あるとします。
今度は、のとき、aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数を考えます。
とおくと、より、を満たす実数zは、(1)より、の範囲に3個あり、各々の値を、とします。
()()
を満たす実数xの各々について個ずつ、計個あります。
よって、aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数は個あり、のときも命題は成立します。
以上より、数学的帰納法により命題()を証明することができます。

この命題でとして、を満たす実数xの個数は、 ......[]


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  1. 2008/04/22(火) 18:52:36|
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東大理系数学'04年前期[3]

東大理系数学'04年前期[3]

半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの円周に沿って滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は、円C2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。

解答 Pは最初、円C上の定点Aにいたとして、反時計回りに円Cの内側を転がっていくとします。
Dの中心をQ,円Cと円Dの接点をBとします。
すべることなく転がるので、円弧
ABの長さと円弧PBの長さは等しく、 (一般角を参照)

x軸正方向となす角は、反時計回りを正として、
Q
Oを中心とする半径7の円周上を動きます。Qの座標は,即ち、 (三角関数を参照)

Pの座標をとして、
・・・①
PAを出発して再び円Cの円周に接する時点で、円弧ABは円周Cの周の長さに一致します。

このときの、Bの座標は
P
Aを出発して再び円Cの円周に接するまでに、q は、0からまで動きます。

右図斜線部の面積をSとすると、
①を用いて、置換積分をします。xのとき、q





ここで、です。よって、

小さい方の部分の面積は、扇形OAEと三角形OEFの面積の和からSを引けばよいので、
......[]
(です)

大きい方の部分の面積は、円の面積から小さい方の面積を引いて、
......[]

フーッ!大変ですね。これくらいの忍耐力がなくてどうする、と、東大の先生はおっしゃりたいのでしょうけれど、実戦的には、体力に自信のある肉体派以外の人は、式だけ書いてパスですね。こういうのにこだわると大ケガのもとです。


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  1. 2008/04/21(月) 15:02:05|
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東大理系数学'04年前期[2]

東大理系数学'04年前期[2]

自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。
(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し、10の位の数をa1の位の数をbとおいたとき、が偶数となるならば、b0または4であることを示せ。
(2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し、1000の位の数、100の位の数、10の位の数、および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば、その平方数は10000で割り切れることを示せ。

解答 (1)は、結局、もとの数の1の位の数字で決まります。(2)(1)が利用できそうです。なお、整数を参照して下さい。

(1) pを自然数、q0から9の間の整数とします。3桁以上の平方数N10以上の整数の2乗なので、と表せます。
N10の位の数字aは、(10の位の数字) 1の位の数字になります。N1の位の数字b1の位の数字になります。
はの偶奇は、(10の位の数字)(1の位の数字) の偶奇と一致します。
このうちは偶数だから、の偶奇は、(10の位の数字)(1位の数字) の偶奇と一致します。
に対して、(10の位の数字)(1位の数字) は、となります。
よって、が偶数となるのは、のときです。
b1の位の数字なので、のときのときのときとなります。
よって、が偶数ならば、b0または4です。

(2) 題意を満たす平方数 (nは自然数)の、10の位の数と1の位の数が等しいので、両者の和は偶数です。すると(1)が利用できます。
(1)より、1の位は0または4です。

1の位の数字が0のとき、の下4桁は0000だから、10000で割り切れます。

1の位の数字が4のとき、は下4桁は4444で偶数です。このとき、nも偶数であって、 (kは自然数)とおけます。
の下4桁が4444ですから、mを自然数として、とおくと、であって、10の位の数と1の位の数の和、は偶数になります。すると、(1)より、1の位の数は04のはずですが、1の位の数字は1であって0でも4でもないので(1)と矛盾してしまいます。よって、1位の数字は4になり得ないのです。

以上より、5桁以上の平方数の下4桁がすべて同じ数ならその平方数は10000で割り切れます。


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  1. 2008/04/19(土) 11:18:00|
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東大理系数学'04年前期[1]

東大理系数学'04年前期[1]

xy平面の放物線上の3PQRが次の条件を満たしている。
は一辺の長さaの正三角形であり、点PQを通る直線の傾きはである。
このとき、aの値を求めよ。

解答 PQRの座標をとします。正三角形ができるのは、3PQRが放物線上に右図のように並ぶときです。
直線
PQQRRPの傾きを (abgは直線PQQRRPx軸とのなす角で、x軸から反時計回りを正とする)として、
 (直線の方程式を参照)
とすると、題意より、
 (正接の加法定理を参照)
・・・①, ・・・②
①-②より、
より、
右図より(三角比を参照)
......[]


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  1. 2008/04/19(土) 11:17:17|
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東大物理'05年前期[3](再掲)

東大物理'05年前期[3]

 レーザー光が原子に与える作用を用いることにより、原子気体を冷却し、なおかつ空間のある領域に保つことができる。そのような冷却原子気体を用いて、原子の波動性を検証する次のような実験を行った。
 図
31のように、鉛直上向きをz軸とする直交座標系を設定する。レーザー光によって冷却原子気体を点のまわりに保つ。この点からLだけ鉛直下方に、原子が当たると蛍光を発するスクリーンを水平(xy面上)に置く。これらはすべて真空中にある。冷却原子気体の空間的広がり、二重スリットの感覚d,および長さaは、Ll に比べて十分小さいとする、スクリーンの蛍光のようすは、ビデオカメラによって撮影する。
 時刻
にレーザー光を切ると、個々の原子はその瞬間に持っていた速度を初速度とし、重力のみを受けた運動を始める。一部の原子は二重スリットを通過し、スクリーンに到着する。時刻以降、原子どうしの衝突はないものとする。二重スリットを通過した原子のうち、z軸方向の初速度がゼロであったものがスクリーンに到着する時刻をとする、単位時間あたりにスクリーンに到着した原子数の時間変化は図32のようであった。原子の質量をm,プランク定数をh,重力加速度をgとする。

Ⅰ l Lに比べて十分小さく、二重スリットを通過した原子の加速は無視できるものとして、以下の問に答えよ。
(1) 二重スリットを通過した原子のうち、z軸方向の初速度がゼロであったものがスリット通過直後に持っていた速さv,およびド・ブロイ波長lを求めよ。
(2) 時刻にビデオカメラによって撮影された画像には、図33のような干渉縞が写っていた。この干渉縞の間隔を求めよ。ただし、dより十分大きく、l より十分小さいとする。必要ならば、q 1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いよ。
(3) 時刻の前後にビデオカメラによって撮影された画像にも、図33と同様な干渉縞が写っていた。時刻tに観測された干渉縞の間隔を縦軸、時刻tを横軸として、tの関係を表すグラフの概形を描け。だたし、図32のように時刻の位置を横軸に明示すること。

Ⅱ Lを固定し、l を変化させて実験を繰り返した。ただし、l の大きさはLと同程度で、二重スリットを通過した後の原子の加速は無視できないものとする。z軸方向の初速度がゼロであった原子がスクリーンに到着する時刻に観測される干渉縞の間隔をとする。l の関係を最も適切に表しているグラフを図34()()の中から一つ選び、その理由を答えよ。

解答 Ⅱの加速度の影響については、考え込んでしまいます。

(1) 距離L落下後の速さvだから、等加速度運動の公式より、
......[]
ド・ブロイの公式より、 ......[]

(2) 33のように、蛍光スクリーン上に干渉縞と垂直にx軸をとります。
二重スリットを通過した原子の進行方向とz軸のなすq として、l より十分に小さいので、
蛍光スクリーン上で原子の到着する点のx座標xとして、
隣接する二つのスリットから蛍光スクリーンまでの距離の差は、
蛍光スクリーン上でド・ブロイ波が強め合う条件は、 (n:整数)

は、に対応する明線の間隔として
......[]

(3) にたどり着く原子はz軸負方向の初速度を持って飛び出すので、二重スリットに到達したときの速さvよりも大きく、ド・ブロイ波長(1)lよりも小さい。
従って、(2)によると、
にたどり着く原子はz軸正方向の初速度を持って飛び出し、一旦z軸正方向に進んでから落下してきます。の地点を通過するときにはz軸負方向の速度を持っており、二重スリットに到達したときの速さvよりも大きく、ド・ブロイ波長(1)lよりも小さい。
従って、この場合も、
つまり、は、において最大値をとります。
グラフは右図のようになります。

Ⅱ 二重スリット通過後、加速されて原子の速さが次第に大きくなります。落下するに従って、ド・ブロイ波長もそれに応じて次第に小さくなります。ということは、この問題では、一定の速さで空間を波動が伝わる場合と同じように干渉を考えることはできません。
ですが、二重スリット通過後、l が変化しても、干渉する2波が同じ距離を進むのであれば、2波でド・ブロイ波の変位は同じはずなので、蛍光スクリーンに近いところでの経路差の中に波長がいくつ入るかで強め合う条件、弱め合う条件を考えることができるはずです。
蛍光スクリーンまで原子は距離落下してきます。
蛍光スクリーン付近での速さとして、等加速度運動の公式より、

(2)と同様にして、
lとの関係に近い関数、 ()を考えてみます。
()
より、を縦軸、lを横軸にとってグラフを書くと、単調増加で上に凸なグラフとなります。原問題では、単調増加で上に凸なグラフの()を選びます。


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  1. 2008/04/18(金) 14:06:49|
  2. 東大物理'05年
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東大物理'05年前期[2](再掲)

東大物理'05年前期[2]

 図21のように、ボタン型磁石と薄いアルミニウムの円板を貼り合わせたものを、磁石の磁力を使って鉄釘を介して乾電池の鉄製負電極につるす。乾電池の正極からリード線をのばし、抵抗を介してリード線の他端Pをアルミニウム円板の円周上の点に触れさせると、アルミニウム円板とボタン型磁石は回転を始めた。その後、リード線とアルミニウム円板がすべりながら接触するようにリード線を保持すると、円板と磁石は回転し続けた。ボタン型磁石は、図21のように上面がN極、下面がS極で、電気を通さない。アルミニウム円板の半径をa[m]、乾電池の起電力をV[V]、抵抗の抵抗値をR[W]、アルミニウム円板を貫く磁束密度B[T]は円板面内で一様として、以下の問に答えよ。ただし、リード線とアルミニウム円板の間の摩擦、鉄釘と電池の間の摩擦は無視してよい。また、アルミニウム円板と鉄釘の間の摩擦は十分大きく、これらは一体になって回転するものとする。

Ⅰ アルミニウム円板とボタン型磁石が回転する方向を、理由を付して答えよ。略図を使ってもよい。ただし、アルミニウム円板を流れる電流は、鉄釘との接合点Qと点Pの間を直接的に流れると考えてよい。

 図22のように、乾電池のかわりに検流計を置く。アルミニウム円板とボタン型磁石を図22の矢印方向に力を加えて回転させると、検流計に電流が流れた。電流の流れる方向を理由を付して答えよ。

Ⅲ Ⅱで生じていた起電力E[V]の大きさは、ボタン型磁石の回転の角速度がw[rad/s]のとき、と表せることを示し、係数bを求めよ。ただし、釘は十分細いとしてよい。

Ⅳ 21において、充分時間が経つとアルミニウム円板とボタン型磁石の角速度はある一定値[rad/s]になる。VBbを用いて表せ。

解答Ⅰ フレミング左手の法則で考えます。PQの方向に電流が流れます。これが左手中指の向き。アルミニウム円板を通して、ボタン型磁石から釘の方に向かって磁界ができるので、釘の側からアルミニウム円板を見て、手前向きの磁界です。これが左手人差し指の向き。このとき、左手の親指は、釘の側から見て反時計回りの方向を向きます。これが、電流の受ける電磁力の向き。従って、回転方向は、釘の側から見て、反時計回りです。
上から見て、反時計回り ......[]

Ⅱ 検流計の釘側をC,逆側をDとします。
フレミング右手の法則で考えるなら、釘の側から見て、線分PQは、磁界中を反時計回りに移動します。これが右手親指の向き。釘の側から見て、磁界は手前向きで、これが右手人差し指の向き。このとき右手中指QPを向きます。従って、検流計をDCの方向に電流が流れます。
検流計を釘と逆側から釘の方に向かって流れる ......[]

レンツの法則で考えるのなら、釘の側から見て、線分PQは反時計回りに回転するので、これを妨げる向き起電力が生じます。つまり線分PQが時計回りの方向に力を受けるような起電力が発生します。Ⅰより、PQ方向の電流では反時計回りの力なので、ここでは、QPの向きに電流が流れます。

線分PQ上の正電荷qの受けるローレンツ力を考えることもできます。釘の側から見て、qは反時計回りに移動するので、反時計回りに電流が流れると考えます。これが左手中指の向き。磁界は釘から見て手前向き。これが左手人差し指の向きです。このとき、左手親指QPの方向を向きます。フレミング左手の法則より、qの受けるローレンツ力の向きはQPです。これが起電力の向きであり、電流の向きです。

Ⅲ 微小時間の間に線分PQの回転するです。半径a頂角の扇形の面積は、です。この面積を貫く微小磁束は、
よって、電磁誘導の法則より、起電力の大きは、
......[]

Ⅳ 回転の角速度が一定値になるということは、アルミニウム円板の円周の接線方向には力は働かないということを意味します(等速円運動参照)。線分PQ間に電流が流れると接線方向にが働いてしまうので、線分PQ間には電流が流れていないことがわかります。
乾電池が接続されているのに電流が流れない、ということは、乾電池の起電力を打ち消す起電力が線分PQ間に発生しているということです。Ⅲより、アルミニウム円板が釘側から見て反時計回りに角速度で回転するとき、QPの向きに電流を流す起電力が発生します。従って、
[rad/s] ......[]


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  1. 2008/04/17(木) 13:04:13|
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東大物理'05年前期[1](再掲)

東大物理'05前期[1]

 図1のように、地球の中心Oを通り、地表のある地点Aと地点Bとを結ぶ細長いトンネル内における小球の直線運動を考える。地球を半径R,一様な密度rの球とみなし、万有引力定数をGとして以下の各問に答えよ。なお、地球の中心Oから距離rの位置において小球が地球から受ける力は、中心Oから距離r以内にある地球の部分の質量が中心Oに集まったと仮定した場合に、小球が受ける万有引力に等しい。ただし、地球の自転と公転の影響、トンネルと小球の間の摩擦および空気抵抗は無視するものとし、地球の質量は小球の質量に比べ十分大きいものとする。

Ⅰ 質量mの小球を地点Aから静かにはなしたときの運動を考える。
(1) 小球が地球の中心Oから距離r ()の位置にある時、小球に働く力の大きさを求めよ。
(2) 小球が運動開始後、はじめて地点Aに戻ってくるまでの時間Tを求めよ。

Ⅱ 同じ質量mを持つ二つの小球PQの運動を考える。時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなしたところ、二つの小球はOBの中点Cで衝突した。ここで二つの小球間のはねかえり係数を0とし、衝突後二つの小球は一体となって運動するものとする。ただし、は問Ⅰ(2)で求めた時間Tよりも小さいものとする。
(1) Tを用いて表せ。
(2) 二つの小球PQが衝突してからはじめて中心Oを通過するまでの時間をTを用いて表せ。

Ⅲ 問Ⅱと同様に、時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなした。ただし、二つの小球間のはねかえり係数はe ()とする。
(1) 二つの小球が最初に衝突した後、小球Pは地点Bに向かって運動し、地球の中心Oから距離dの点Dにおいて中心Oに向かって折り返した。このときのdの値をはねかえり係数eおよび地球の半径Rを用いて表せ。
(2) 小球Pと小球Qが二回目に衝突する位置を求めよ。
(3) その後二つの小球は衝突を繰り返した。十分時間が経過した後、どのような運動になるか答えよ。

解答 地球の中心を通るトンネルを掘ったとして、このトンネル内で物体がどういう運動をするかという問題です。'04年に愛媛大学でも同様の問題が出題されています。

(1) 半径rの球の体積(この問題でも球の体積の公式は与えられていないので覚えておく必要があります),この部分の質量
万有引力の公式より、求める力の大きさは、
......[]

(2) Oを原点とし、OA方向をx軸正方向とする座標を考えます。
小球の座標x ()だとして、小球にはつねに中心Oに向かうが働くので、のときはx軸負方向に、のときはx軸正方向に、が働きます。(1)の結果でとし、小球に働くは方向も入れてと表せます。
小球の運動方程式は、 ・・・①
これは、バネ定数をとする、バネ振り子の運動方程式と同型です。
従って、小球は、角振動数単振動を行います。
A点を離れてA点に戻るまでの時間Tは、単振動の一周期に相当します。よって、
......[]

(1) 小球P時刻0A()にいたので、時刻tにおけるP座標と表せます。
小球Q時刻A点にいたので、時刻tにおけるQ座標と表せます(Qが運動開始してからの時間です)
C()で両者が衝突するとき、両者の座標は等しく、
 ∴  ∴ ・・・②
また、 ∴ ・・・③
②,③,より、 .......[]
三角関数を持ち出すのも遠回りです。高校の範囲では単振動等速円運動している物体の正射影の運動ととらえます。原点を中心とする半径Rの円の周りをPQが等速円運動すると考えると、点を出発して、Pが点,またはに達するまでに円を周,または周回ります。Qが遅れてを出発して、逆回りに回ってPと出会うとすると、Qの方が進み方が小さいので、出会うまでに、P周,Q周まわればよいことになります。これで、Pが出発してからQが出発するまでの時間となります。円を描いて考えればほぼ直感的に明らかです。

(2) PQ速度は、
より、衝突時の両者の速度は、として、
これを ()とおくと、
合体後の速度をとして、運動量保存より、
 ∴
合体後の速度が0ということは、衝突地点C点は合体後の単振動の振動端だということです。合体後振動端から振動中心Oまでに要する時間は周期のです。
合体後の運動方程式は、①においてとしたもので、角振動数、周期は合体前と変わりません。よって、求める時間は、 ......[]
結局この問題を解くのには、衝突前の速度が等大逆向きで運動量の和が0であることしか使いません。これだけなら直感的に明らかなので、いきなり直感的に解答を求めることもできるでしょう。ただし、説明をどうするかという課題は残ります。

(1) 衝突後のPQ速度とします。
衝突前後の運動量保存より、
 ∴
反発係数の式:
 ∴

ここで、小球の位置エネルギーを考えてみます。
バネ定数kのバネに物体をつけて、自然長からの伸び縮みxのときの弾性力による位置エネルギーは、で与えられます。
この問題でも、中心Oからの変位xとして、xをバネの伸びと考えれば、小物体が地球から受けるは、バネに取り付けられた物体がバネから受ける弾性力と同じ形をしています。バネ定数のバネによる弾性エネルギーを考えることにより、座標xの位置にいる、質量mの小球の位置エネルギーを、と考えます。
注意 地球の内側では、距離に対するの依存の仕方が地球外と違うので、地球外での万有引力による位置エネルギーの公式は使えません。

C点におけるP力学的エネルギーは、
運動エネルギーと、
位置エネルギーの和です。
D点におけるP力学的エネルギーは、振動端で運動エネルギー0なので、
位置エネルギーのみです。
C点とD点との力学的エネルギー保存より、

......[]
dPの行う単振動振幅です。

(2) 衝突後も両者の運動は単振動です。PQの単振動は、振動中心Oに関して対称な運動になります。
その理由を考えてみます。
Qの衝突直後の運動エネルギーは、P運動エネルギーと同じです。
位置エネルギーPと同じなので、Qの力学的エネルギーはP力学的エネルギーと同じです。ということは、QPと同様に、振幅dの単振動をします。PQとも周期Tです。
衝突後、Qは、中心Oを通過してに入り、まで行って折り返してきます。
Pは、D点で折り返し、中心Oを通過してに入り、折り返してきたQと衝突します。
C点で衝突した以降の運動は、C点で衝突するまでの両者の運動を、ちょうど時計の針を逆回しにしたような運動になります。
というわけで、2回目の衝突地点は、C点の中心Oに関する対称点E(OAの中点で、中心からの距離である点)になります。
OAの中点 ......[]

式を立ててもできなくはないですが、煩雑なだけなので、運動の対称性を利用して説明するのがよいでしょう。

(3) 1回目の衝突地点は中心Oと地表の点Bの中点Cです。2回目の衝突地点は中心Oと地表の点Aの中点Eです。衝突地点は、この後、何度衝突しても変わることはありません。また、バネ定数k質量mは変化しないので、単振動の周期も変化せずTのままです。
衝突するごとに、速さe倍されます。それに伴い運動エネルギー倍となり減少します。しかし、衝突地点が変わらないので、衝突直前直後の位置エネルギーは毎回変わりません。衝突するごとに運動エネルギーだけが減少して、n回衝突後に、最初の倍になっています。十分時間が経過すると、として、となるので、最終的には衝突直前直後の運動エネルギー0になります。これは、単振動の角振動端CEであり、二つの小球が一体となって運動することを意味します。従って、十分に時間が経過すると、PQは、
一体となってOAOBの中点を振動端とする単振動(振幅は,周期はT)を行う。 ......[]


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  1. 2008/04/16(水) 13:03:06|
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東大理系数学'05年前期[6](再掲)

東大理系数学'05年前期[6] 東大理系数学'05年前期[6]

rを正の実数とする。xyz空間において


をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。

解答 この問題は過去にも類題があります。問題文の書き方はかなり違いますが、実質的に、'94前期[3]'98前期[6]と同様の問題です。

 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
この問題は、①と③だけなら、半径rの円を断面とする円柱を垂直に交わらせたときの共通部分の体積になって、中堅大学でもしばしば見かける問題です。
共通部分にできる立体を、平面 ()
で切ったときの断面は、①,③のxkで置き換えて、
より、
この2つの不等式の表す領域は、一辺の正方形です。
断面積は、
より、の範囲で積分を行うと、この体積は、

この問題では、①,③にさらに、②が付け加わります。
ですが、これでも、不等式の個数が
1つ増えただけで、基本的には何も変わりません。積分の計算はかなり面倒になりますが。
やはり、平面
で立体Kを切った断面の面積を求めて積分します。
①,③のxkで置き換えると、先と同じように、
より、
②が表すのは、半径rの円から外側の部分です。
結局、断面にできる図形
Gは、一辺の正方形から、半径rの円の内側を取り除いた部分になります。
右図は、断面にできる図形
Gx軸と垂直な方向にyz平面上まで平行移動させたものです。
原点
Oと正方形の頂点Bとの距離dは、
切断面上にできる円: ・・・④ と正方形の辺とが交点をもつためには、円の半径rについて、である必要があります。よって、
2
乗して、
 ・・・⑤
x座標kが⑤を満たす範囲に立体ができます。この立体は、の部分との部分とで対称なので、以後はとして考え、の部分の体積を2倍することにより立体Kの体積を求めることにします。

3ABCを、ABCとします。
④と辺
ABとの交点Dは、④においてとして、 () より、D
同様にして、④と辺BCとの交点Eは、E
断面Gの面積は、正方形OABCの面積から、2個分の面積を引き、さらに扇形ODEの面積を引いたものを4倍したものになります。
正方形
OABCの面積は、
の面積は、
として、扇形ODEの面積は、


・・・・・・⑥
求める体積Vは、を⑤の範囲で積分したものになります。前述したように、対称性より、
⑥の中でqはkでは積分できないので、置換積分することを考えます。が開けるように、とおくと、のとき、? (置換積分(その2)を参照)
また、 ()

 (部分積分法を参照)

 (置換積分を参照)


……[]


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  1. 2008/04/15(火) 19:04:55|
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東大理系数学'05年前期[5]

東大理系数学'05年前期[5] 東大理系数学'05年前期[5]

N1以上の整数とする。数字12,・・・,Nが書かれたカードを1枚ずつ、計N枚用意し、甲、乙のふたりが次の手順でゲームを行う。
(i) 甲が1枚カードをひく、そのカードに書かれた数をaとする。ひいたカードはもとに戻す。
(ii) 甲はもう1回カードをひくかどうか選択する。ひいた場合は、そのカードに書かれた数をbとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は、とする。
の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
(iii) の場合は、乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。ひいたカードはもとに戻す。の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
(iv) の場合は、乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。の場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

(ii)の段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて考える。
以下の問いに答えよ。
(1) 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
(2) 甲が2回目にカードをひくことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
ただし、各カードがひかれる確率は等しいものとする。

解答 (1)(2)も、aを用いて表すので、甲がある特定のa (aは定数)を引いた、という前提で考えるのでしょう。

(1) 甲が2枚目のカードを引かない場合()に、甲が勝つのは、乙の引く1枚目の番号cが、 であって、かつ、乙の引く2枚目の番号dについて、となるか、となるときです。
・乙が1回目を引いたとき、となる確率は、c1からまでのどれかになる確率で、N枚のうちのa枚を引くので、
・乙が2回目を引いたとき、となるか、となる場合の余事象(乙が勝つ)は、となる場合です。余事象の確率は、N枚のうちの枚のいずれかを引くので、
元の事象(甲が勝つ)の確率は、
求める確率は、 ......[] (独立試行の確率を参照)

(2) 甲がカードを2回引く場合に、甲が勝つのは、
甲が2回目に引く番号bについて、
であって、かつ、
乙が1回目に引く番号cが、であって、かつ、
乙が2枚目に引く番号dについて、となるか、
となる場合です。
・甲が2回目に、を満たすある特定のbを引く確率は、
このbとしては、の可能性があります。その各々に対して、
・乙の引く2cdについて、となるかとなるのは、(1)の結果で、aに入れ替えたものとして考えれば、
求める確率は、に各場合について、甲が特定のbを引いたときに甲が勝つ確率 (独立試行の確率を参照)を加えあわせることにより、
......[]
上記のの式変形ですが、,・・・,とした式を一度書いてみるとよいと思います。
とすれば、公式: (Σの公式を参照)を利用することができます。


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  1. 2008/04/14(月) 12:19:13|
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東大理系数学'05年前期[4](再掲)

東大理系数学'05年前期[4]

3以上9999以下の奇数aで、10000で割り切れるものをすべて求めよ。

解答 東大では頻出の整数問題です。整数を参照してください。

まず、
kを自然数だとして、とおいてみます。
これを
a2次方程式とみて解くと、
ここで根号が開ける、つまり、根号内が平方数である条件を考えればよいのですが、
などと置いてもちょっと展望はないですね。
9999に近いのですが、のとき、となりますが、
で割っても、
これでは、kとして調べる範囲が広すぎます。
よって、この方針はボツ。

なので、とか、とかして、2次方程式を解く方針も考えられますが、先の方針と似たり寄ったりでしょうね。

次に、
と因数分解してみます。
これで、
1つ気がつかないといけないことがあります。
aは連続している2整数です。片方が奇数で、もう一方は偶数です。
とるに足らないような当たり前のことですが、こういうことが整数の問題では非常に役立つときがあります。
10000を素因数分解して出てくるは偶数です。は奇数です。
ということは、次の
2つの場合しかあり得ないということです。
(i) の倍数でaの倍数
(ii) の倍数でaの倍数
これ以外の場合(たとえば、片方がの倍数で、他方がの倍数になるような場合には、2数がともに偶数になってしまいます)はあり得ません。

(i)の場合、kを整数として、とおくと、lを整数として、
とおけます。つまり、
この左辺は偶数なので、は奇数です。lも奇数です。
より、8通りに限られます。
この程度なら全数チェックしてもよいでしょう。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。
の各々について、
となりますが、
このうち、16の倍数は、に対応する624だけです。
のとき、です。
原問題のままなら、aが奇数になるのは(i)の場合だけなので、 ......[]

ここでは、aが偶数の場合も調べておきます。

(ii)の場合、kを整数として、とおくと、lを整数として、
とおけます。
は偶数なので、は奇数となり、kも奇数です。
より、8通りに限られます。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。
の各々について、

このうち、16の倍数は、に対する9376だけです。
よって、

この問題では、,つまりの下4桁がaに一致していると言っているわけですが、実際、となります。

小学生の家庭教師のアルバイトをやっていて、かけ算の練習をさせるとき、
何でもよいから、
3桁の数を考えてごらん、と言って、
小学生が、例えば、
293を考えたとします。
まず、
7をかけてみてね、と、言います。
となります。
次に、今出てきた答に
11をかけてみてね、と、言います。
となります。
さらに、今出てきた答に
13をかけてみてね、と、言います。
となります。
はじめに考えた数と比べてごらん、と言うと、小学生が計算間違いをしていなければ、
目を丸くします。
なぜだろうね?と言って理由を考えさせるのもよいかもしれません。
ほかにも
3桁の数を考えさせて、計算を何回かやらせるうちに、71113にトリックがあるな、ということに気づかせることができるでしょう。
要するに、
だからなのですが、こんなことからでも、小学生に数の不思議さを体験させて科学への興味を持たせることができれば素敵だと思いませんか?

原問題が
aを奇数の場合に限っているのは、(i)(ii)も結局同じことを2度やるだけなので、無駄かなと出題者が思ったからだと思いますが、(ii)の手間を省略したければ、
mの倍数であって、nを整数として、と書けるとき、
とすると、
  より、
mの倍数です。この問題でaが偶数でよいことにすると、が答なら、も答です。


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  1. 2008/04/12(土) 11:38:40|
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東大理系数学'05年前期[3](再掲)

東大理系数学'05年前期[3] 東大理系数学'05年前期[3]

とする。ただし、eは自然対数の底である。
(1) ならばであることを示せ。
(2) を正の数とするとき、数列 ()を、によって定める。であれば、
であることを示せ。

解答 この問題は京大'84[6]をはじめとして、あちこちの大学で出題されてきている問題です。東大でも、毎年1題か2題、入試頻出技巧を使う問題が出題されています。

(1) 1次の導関数は、 (合成関数の微分法を参照)
2次の導関数は、
におけるの増減表は、
x 1
0
0()

増減表より、において、
また、単調増加関数

(2) 原問題で特に聞かれているわけではないのですが、定型問題なので、ふつうこうやる、という筋道でやっていきます。
という方程式を考えます。(1)という条件をつけているので、ここでも、の範囲の解を考えます。ここで、
という関数を考えます。

の増減表は、
x 1
0
()

増減表より、において、,従って、単調減少関数です。
より、,即ち、は、において、ただ1つの解を持ちます。

・まず、の場合を考えます。

は単調増加でなので、
以下、同様にして、,・・・・・・
となり、全ての自然数nについて、です。

また、単調増加関数だから、より、
,・・・・・・
となり、全ての自然数nについて、です。

は、において微分可能な関数なので、
平均値の定理より、の場合にはの場合には、として、
となるcが存在します。どちらの場合においても、なので、(1)の結果より、

よって、
この不等式で項の番号を1ずつ小さくしてゆくと、
,・・・,
これらを使って、

ここで、とすると、右辺
はさみうちの原理より、

の場合には、,・・・・・・
より、全ての0以上の整数nについて、

以上より、 ......[]


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  1. 2008/04/08(火) 11:52:38|
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東大理系数学'05年前期[2](再掲)

東大理系数学'05年前期[2] 東大理系数学'05年前期[2]

となるどのような複素数zに対してもとは表されない複素数w全体の集合をTとする。すなわち、
とする。このとき、Tに属する複素数wで絶対値が最大になるようなwの値を求めよ。

解答 問題文前半の言い方では、考えにくいので、集合記法で書き直してある方で考えることにします。
まず、変換式:
z2次方程式: ・・・① と見て、zについて解きます。
・・・②
苦しい形になりますが、複素数の平方根2乗してになる複素数だとします。
ですがこれでは、
の処置に困ります。2乗してになる複素数を考えるのに便利な技巧は極形式です。でも、ここで極形式を持ち出すくらいなら、はじめから極形式で書いてきた方がよいだろう、ということで、zを極形式で、
(
)と表すことにします。
という条件は、となります。


これはrを固定して考えると、,つまり、のときに最大になります。
このとき、
を満たせばwT上の点になります。
のとき、として、
 (微分・導関数を参照)
においては、よりは単調増加で、のとき最大。
このとき、
できた!と驚喜したくなるのですが、解答として妥当かどうかを調べてみます。
①で、
としてみると、
 ∴
を満たすのですが、は満たしません。
は、集合Tの条件式:を満たさないのです。
つまり、
は集合Tの要素にはなり得ず、この問題の解答とするわけにはいきません。

これは、②が、
wに対してzの値が1通りであるかのように見えるためです。
ですが、①は
2次方程式なので、解は2個、つまり、zの値は2通りあります。
に対するz2個あります。
の最大値は、2次方程式①の解が2個ともを満たすという条件下で考えなければなりません。
かと言って、
とおいて、
を満たすzを求めるのは、厳しそうです。
そこで、少し単純な問題を考えてみます。

与えられた
に対して、とおき、を満たすzを求めてみます。
 (ド・モアブルの定理を使用)
より、
また、よりより、
よって、
,または、
 ・・・()
これなら、の最大も、に関する条件もラクに考えることができます。

実は、東大第
2問は、この単純化された問題に帰着できる形をしています。
の両辺に1を加えると、
 ・・・③
となるので、与えられた ()に対して、
(
)とおき、を満たすzを求めてみます。
よって、上記()を利用して、

 ・・・④

より、 ∴
左辺を平方完成して、

(ここまで、複号同順) ・・・⑤
さて、という条件は、2次方程式①の2つの解④の双方について成立する必要があります。⑤の条件も複号の+,-の双方について成立する必要があります。
つまり、ある定められた
jに対して、
かつ
この条件は、 ()としてとおくと、
かつ ・・・⑥
という条件と同値です。
より、は単調増加。 (合成関数の微分法関数の増減を参照)
より、
において、
また、とすると、 ∴

従って、
においては、より、⑥
この範囲のxに対してが最大になるのはのときで、
においては、より、⑥
この範囲のxに対してが最大になるのはのときで、

一方、のとき、
であれば、において最大で、最大値は1
であれば、R最大のときに最大となります。また、R最大という条件のもとで、が最小のときに、は最大です。
上記のように、Rが最大値をとるときに、であって、なので、R最大と最小は同時に起こり、しかも、の最大値は、
以上より、が最大になるのは、 ()のときで、このとき、
......[]

一応、確認をしておくと、として、
を解くと、,このとき、となり、2解とも、を満たしています。

別解 上記のように素直に極形式でやってしまうと、()から④,⑤と来るあたりでゴタつきます。そこで、2乗してとなる複素数を求めてしまわずに、単に、aと置くことにします。すると、③:を満たすzは、より、,また、より、
条件:は、複号の±のいずれに対しても成り立つ必要があるので、
かつ
となり、aは、1を中心とする半径の円から内側であって、かつ、を中心とする半径の円から内側の複素数となります。このとき、
となりますが、等号が成立するのは、
のときで、2円の交点は、より、aがこの交点に来るときにw最大です。
従って、
の最大値を与えるwは、
......[]


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  1. 2008/04/07(月) 00:33:41|
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東大理系数学'05年前期[1](再掲)

東大理系数学'05年前期[1]

に対しとする。
(1) に対しの第n次導関数は、数列を用いて

と表されることを示し、に関する漸化式を求めよ。
(2) とおく。を用いての一般項を求めよ。

解答 まずは、(1)ですが、これは単に微分してみるだけです。商の微分法の計算練習にちょうど良いです。ご覧の皆さんは、3次の導関数まで計算してみてください。
次のようになるでしょう。


これで、数列のはじめの3項がどうなっているかわかります。

運が良ければ、これで問題のアウトラインが読めてしまうこともあります。
細かいことは
(2)で考えることにして、
と書けること ・・・① を示してみます。

(1) nは自然数なので、数学的帰納法で示すことになります。
(i) のとき、より、として、①は成り立ちます。
(ii) のとき成り立つとすると、と書けます。
これを微分すると、
ここで、 ・・・② とすれば、 と書けます。
よって、のときも、①は成り立ちます。
(i)(ii)より、全ての自然数nに対して、①が成り立ちます。

よく、" ・・・② とすれば"というのを、なぜ、こんな風におけるのか証明しなくてよいのか、と、疑問に思う人がいるのですが、これは、の値がわかっているときに、②式によって、の値を決めてください、これで、から出発して数列の各項の値を全て求めることができます、という意味です。
成り立つか成り立たないか、わからないことがらとして②が出てきたのではなく、を微分してを求めてみたところ、確かめられていて証明する必要のないことがらとして、②が出てきているのです。

に関する漸化式は、②のknに書き換えて、

・・・③, ・・・④ ......[]

(2) については、④を見ていれば、,・・・・・・ とやっていけば、奇数番めで負、偶数番めで正なので、 とわかります。
これを③に代入すると、
・・・⑤

この漸化式は、教科書や参考書ではちょっとお目にかかれません。暗記しているテクニックを使ってパっと解けてしまうという漸化式ではないのです。
添字の番号を1つずらして差をとるとうまくこともありますが、⑤ではうまく行きません。
こういう変てこな漸化式では、だいたい、漸化式を利用して、,・・・・・・ と求めて行くと、感じがつかめます。うまく行けば、一般項の形が予測できて、あとは、数学的帰納法で証明すればよいのです。

ということが既にわかっているのですが、⑤を使って、どういうカラクリになっているかを調べてみます。
⑤でを代入してみると、
⑤でを代入してみるのですが、としてしまわないで、を代入します。とやってしまうとカラクリに気づかないんですね。とにかく、結果を出そう、答を出そう、という風に思ってしまうと、大事なポイントが見えてこないんです。
これでは、まだ見えてきませんね。
⑤でを代入してみると、
この辺で、という数列を導入する、というヒントを使うことを考えます。
の第1項に4がなく、第2項に3がなく、第3項に2がなく、第4項には1234がすべて揃っているというところから、で割ったらどうか、と、考えます。東大前期では、難解な問題でも、この程度のアイデアを出せば、8割がた、解決できます。
というわけです。これで、一般項を、
・・・⑥
と予測できるので、数学的帰納法で証明しておきます。

(i) のとき、となり、⑥は成り立ちます。
(ii) のとき、⑥が成り立つとして、
⑤に代入すると、


よって、のときも⑥が成り立ちます。
(i)(ii)より、全ての自然数nについて、⑥が成り立ちます。

よって、の一般項は、 ......[]


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  1. 2008/04/02(水) 21:50:07|
  2. 東大数学'05年
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東大物理'06年前期[3](再掲)

東大物理'06年前期[3]

 図3のように、密閉されたガラス容器(容積V)のなかに、導電性のワイヤで吊り下げた金属の板(面積S)と電子銃が取り付けられている。電子銃からは電子が初速度0で出る。その電子は電圧fで加速されて板に垂直に衝突する。この容器には、気体分子同士の衝突を考えなくてよいほど希薄な気体(nモル)が存在している。電子銃から出た電子は、直接板に力を与える以外に、気体分子を介して間接的に別の力を板に及ぼす。それぞれの力を求めるため、気体は理想気体の状態方程式に従うものとして、以下の問に答えよ。電子の電荷と質量をそれぞれ、()m,気体分子の質量をM,アボガドロ数を,気体定数をRとする。また、図3のように、電子銃から板に垂直に向かう方向をx軸,それと直交する2方向をy軸,z軸とする。ただし、電子銃、板、ワイヤの体積は無視してよいものとする。
Ⅰ まず、電子銃から出た電子が板に直接与える力を求めよう。ただし、すべての電子は板に垂直に衝突し、板で反射されることなく吸収されるものとする。
(1) 電子銃から出て加速された1個の電子が、板に衝突する際に板に与える力積を、femを用いて表せ。
(2) 電子の流れ(電子線)によって生じる電流がIであるとき、板の表面に垂直に加わる平均の力Fを、Ifemを用いて表せ。
Ⅱ 次に、電子線を照射していない状態で、気体分子が板に及ぼす力を考えよう。状況を簡単化して、気体分子の1/3x軸方向に、1/3y軸方向に、残る1/3z軸方向に、それぞれ同じ速さvで運動しているものとする。また、それぞれの軸方向に運動する分子の半数ずつは互いに反対向きに運動しているものとする。
(1) 単位時間に板の片側に入射する気体分子の数を、nvSVを用いて表せ。
(2) 気体分子と板の衝突が弾性衝突のとき、気体が板に及ぼす圧力Pを、nvMVを用いて表せ。ただし、板は十分重くて動かないものとする。
(3) 理想気体の状態方程式を利用して、vMRおよび気体の絶対温度Tを用いて表せ。
(4) 実際には、気体分子と板の衝突は弾性衝突ではなく、むしろ完全非弾性衝突となることが多い。そのような気体分子は、板に衝突して板の表面に一旦吸着される。しかし、吸着された分子は再び表面から放出され、単位時間に板に入射し吸着される分子数と板から放出される分子数がつりあった状態になる。板の表面の温度がであるとき、吸着された分子はⅡ(3)Tに置き換えた速さで板の表面から垂直に放出されるものとする。ここではとし、入射するすべての分子が板とこのように完全非弾性衝突するとして、気体分子が吸着・放出によって板に及ぼす圧力を、nvMVを用いて表せ。ただし、吸着による気体中の分子数の減少は無視できるものとする。また、板は動かないものとする。
Ⅲ 電子照射によって板に間接的に加わる別の力を考えよう。
(1) 電子線を照射していると、入射電子の運動エネルギーによって照射面の温度は反対側の面の温度より、だけ上昇する。この場合、単位時間に板に入射し吸着される分子数と板から放出される分子数がつりあった状態でも、両面に気体分子が及ぼす圧力に差が生じ、板には力f が加わる。その理由と力f の向きを答よ。ただし、板に入射する気体分子の温度Tと、電子照射面の反対側の面の温度は等しく、電子線照射前と変わらないものとする。
(2) (1)の力f を、TSおよび電子線照射前の圧力Pを用いて表せ。ただし、温度上昇は十分小さく、電子照射面では一様とする。また、1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いてよい。

[解答] 題意が把握できていれば指定されたとおり考えるだけなので難しくはありません。読解力の問題です。

(1) 電子銃から飛び出した電子は電界で加速され、エネルギー (電位・電圧を参照)を受け取って金属板に衝突します。板に衝突するときの電子の速さとして、
 (運動エネルギーを参照)
1個の電子が、板に衝突する際に板に与える力積(運動量の原理を参照)
......[]

(2) 電子線の電流Iのとき、単位時間に板に到着する電子の個数は、
板の表面に垂直に加わる平均の、つまり、電子線が単位時間に板に与える力積の大きさは、(1)の結果にをかけて、
......[]

(1) nモルの気体分子のうち、x軸方向に運動し、そのうちのx軸正方向に運動するので、x軸正方向に運動している気体分子は、モルで、個あります。単位体積当たりでは体積Vで割って、個です。
単位時間に、面積Sの板に到来する気体分子は、気体分子が単位時間vだけ進むので、体積の中にあって、x軸正方向に運動する気体分子です。
......[]

(2) 気体分子1個は、板に垂直に速度で衝突して、速度で跳ね返るので、気体分子1個が板から受ける力積、即ち、気体分子1個の運動量の変化は、
 (運動量の原理を参照)
板が気体分子1個から受ける力積は、これの符号を逆にしたもので、
従って、単位時間に、これらの気体分子が板に及ぼす力積の大きさ、即ち、気体が板に及ぼすの大きさは、
気体が板に及ぼす圧力は、
......[] (気体分子運動論を参照)

(3) 状態方程式(2)の結果より、

......[]

(4) なので、気体分子が板に衝突する直前の速さと、放出された直後の速さは同じです。気体分子が板に吸着されるときに、気体分子は板に力積を与え、板から放出されるときに、再度力積を与えるので、吸着と放出で合わせて、力積を板に与えます。
これは、気体分子が板に、衝突する場合も、一旦吸着されて放出される場合も、板に与える力積は同じであることを意味します。
よって、気体分子が吸着・放出によって板に及ぼす圧力(2)Pに等しく、
......[]

(1) 電子が衝突する側の面(照射面)と反対側の面では、前者の方が電子が供給するエネルギーの分だけ温度が高くなります。
題意より、板から放出される気体分子の速さは、ですが、温度が高ければ、放出される速さも大きくなります。
板の左側の面(照射面)から放出される気体分子の速さの方が、右側の面から放出される気体分子の速さよりも大きいので、板の左側の気体が板に及ぼす圧力の方が、右側の気体が及ぼす圧力よりも大きくなり、x軸正方向のを受けることになります。

理由:板の左側(照射面側)の方が右側よりも温度が高く、放出される気体分子の速さ、従って、板に与える力積の大きさが大きく、板に及ぼす圧力も大きい ......[]
力の向き:x軸正方向 ......[]

(2) 板に衝突する直前の気体分子の速さは左側、右側ともに、
(1)より、単位時間に板の片側に入射する気体分子の数は、
板から右側に放出された直後の気体分子の速さv
板から左側に放出された直後の気体分子の速さは、
右側では、気体分子1個が板に与える力積で、II(4)より右側の圧力は、
左側では、気体分子1個当たりの吸着・放出前後での運動量の変化は、
気体分子1個が板に与える力積は、
左側の圧力は、

......[]


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  1. 2008/04/01(火) 19:00:51|
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