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東大物理'08年前期[1]

東大物理'08年前期[1]

質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。ABC3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Aの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。ABC全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。

Ⅰ Cが用いたばねのばね定数kmTを用いて表せ。

Ⅱ A,BCそれぞれの場合について、箱の速さを時刻t ()の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さTLを用いて表せ。

Ⅲ ABCそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をmTLを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事とⅡで求めた速さとの関係を求めよ。

Ⅳ 箱を静止した状態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力をとし、ABCの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。

解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。Ⅱでは、変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では?

Ⅰ ばねをL縮めたときのばねの位置エネルギー,箱がゴール地点にあるときの箱の速さvとして、箱の運動エネルギー
系のエネルギーを奪うような外力は存在せず、力学的エネルギーが保存されるので、

 ・・・①
ばねが行う単振動振幅L (自然長の位置は単振動の振動中心です)で、ばねの角振動数wとして、単振動の公式より、
①と比べて、
単振動の周期で、単振動の公式より、

......[]

Ⅱ Aについて、
加速度aとして、等加速度運動の公式より、

時刻tにおける速さは、
グラフは右図。
おける速さは、
......[]
Bについて、
に中間地点に至るとして、における加速度aは、

における速さは、
においては、この速さで等速度運動で距離進むので、

における速さは、
における速さは、
グラフは右図。
における速さは、
......[]
Cについて
に振動端にいて、に振動中心にくるので、箱の位置xは、


グラフは右図。
における速さは、
......[]

Ⅲ ABC3人が加える以外に、エネルギーを奪う外力が存在しないので、時刻Tまでに箱にした仕事は全て、運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、
......[]
Aについて、
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[]

Ⅳ Ⅲより、最初に最大の一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、の加え方です。
最大のをかけているとき、加速度として、
の間、最大のをかけるとして、における位置速さは、
において、速さで等速度運動して進む距離は、

整理して、

なので、複号はマイナスの方を取り、
従って、仕事が最小の場合のの加え方は、
において、
において、
グラフは右図。
時刻tまでにした仕事Wは、
......[]


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  1. 2008/02/29(金) 12:03:17|
  2. 東大物理'08年
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東大理系数学'08年前期[6]

東大理系数学'08前期[6]

座標平面において、媒介変数tを用いて
   
  ()
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。

解答 グラフを描け、という問題だとしても充分におもしろい関数ですが、ここでは、面積を問われているだけなので、微分して増減表を調べたりすると、大きく時間をロスするので注意してください。面積を求めるのに必要な情報を得ることを優先するべきです。
この問題の解答としては不必要ですが、一応、
増減を確認しておきます。
 (微分の公式を参照)
t0 p
00000
x111

 (積の微分法を参照)
とすると、となりますが、においては、と、を満たすab について、3解を持っています。
t0 a b
000
y00

結局、増減を調べても、グラフは描けません。凹凸や、のときのy座標など調べ出せば、どんどん時間をロスすることになります。
実は、グラフは右図のようになります。では、どんどん、上下に葉が連なっていく感じになります。

ここでは、グラフを描くことなく考えることにします。まず、曲線が囲む領域について調べます。
 ・・・①
において、です。
とすると、①においては、
このとき、
曲線は、y軸と、4で交わります。
とすると、①においては、
この3つのtの値に対して、いずれも、
とすると、①においては、
このとき、
とすると、①においては、で、
これで、グラフは①の範囲において少なくとも4本に枝分かれして、1点に集まっていること、x軸とは以外の交点を持たないこと、と逆側のにおいて、4本のうちの2本ずつが1点に集まることがわかります。
①の範囲において、
は、の範囲を2往復するので、グラフは4本に枝分かれします。4本の枝は、①の範囲を分けて、
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
の部分の4本に分かれますが、この4本が交差するかどうかを調べておきます。
同一の
x座標におけるyの値を比較することになるので、とし、②,③,④,⑤におけるy座標を、とします。
②,③において
より、
④,⑤においてより、
として、は②,は③を動き、におけるy座標を比較すると、
は④,は⑤を動き、におけるy座標を比較すると、
従って、②,③,④,⑤の4本は、において交差せず、上から、の順に並び、曲線が囲む部分は、が囲む部分、が囲む部分の2つあることがわかります。微分してグラフを描く、ということをせずとも、これで、面積を求めるのには充分です。

面積を求めるにあたって、
4本の枝の各範囲②~⑤に両端を含めて考えることにします。が、においてx軸と囲む面積をとします。求める面積Sは、
です。では、と置換することにより、xのとき、tより、
 (積和の公式を使用、三角関数の諸公式を参照)
同じような積分が出てくるので、
 (C:積分定数) (部分積分法を参照)
とおくと、
 (定積分を参照)
では、xのとき、tより、

 (の中のsinの項はゼロとなり、cosのみ残ることに注意してください)
では、それぞれ、xのとき、ttですが、と同様に、においても、は消えて、
......[]


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  1. 2008/02/28(木) 12:25:30|
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東大理系数学'08年前期[3]

東大理系数学'08前期[3]

(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。
(2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心をとする。を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。

解答 意表を突いた出題ですが、東大理系のレベルとしては、それほどでもないかも知れません。
正八面体は、8個の正三角形をつなぎ合わせてできる立体です。試験会場で鳥瞰図を作図する場合には右図のようにすると便利です。
(i) まず、平行四辺形CDEFを描きます。(ii) DFを対角線とする平行四辺形ADBFを描きます。(iii) ACAEBCBEを結びます。

(1) 右上図の正八面体で、正三角形BCFを下、正三角形ADEが上に来るように置いたとします。DECFの中点をMNとします。正三角形の1辺の長さは1なので、,右図より、ABの交点、即ち、ABの中点をHとして、より、
より、
 (2倍角の公式を参照)
従って、は鈍角です。
真上に見える正三角形ADEから書き始めましょう。次に、各辺ADDEEAで隣接する正三角形CADBDEFEAを考えます。は鈍角なので、真上から見て、この3個の正三角形は、正三角形ADEから外にはみ出すように見えます。
立体の対称性から、平面図上で見て、
となるように見えます。
三角形ACDと三角形BDCは同一サイズの正三角形です。反対側から見れば、この2つの三角形の位置関係は入れ替わって見えます。ということは、
従って、六角形ACDBEFは、平面図上で正六角形に見えます。正八面体の平面図は右図のようになります。

(2) 三角形ADEの重心が,三角形BCFの重心がだとします。この正六角形をの双方に垂直な方向、つまり、に平行な方向に眺めると、右図のように見えます。
21です。
また、真上から見て、(正六角形の中心に)重なって見える、ということは、は三角形ADE,三角形BCFの双方に垂直です。
右図で、NからAMに垂線NKを下ろすと、より、
立体の対称性より、を軸として正八面体を回転させるとき、の間の部分を回転させた立体と、の間の部分を回転させ立体とは同じ体積になります。ここでは、の間の部分を考えます。
上に点Pをとり、 ()として、に沿ってx軸をとり、x軸の周りに回転させるとして考えます。線分AC上の点Qを、点Qからに垂線を下ろし、その足がPとなるようにとります。(1)の平面図上では、Pに重なって見えます。(1)の平面図上では、AQは実際の長さではありませんが、PQは、正三角形ADEに平行なので、実際の長さです。(1)の平面図上で見て、
(このACは実際の長さではありません)
また、AQAC xより、(1)の平面図上で見て、
(1)の平面図上で見た三角形AQPにおいて、 (APは実際の長さではありません)だから、余弦定理より、

求める体積V(x軸のまわりの回転体を参照)


......[]


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  1. 2008/02/27(水) 22:18:14|
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東大理系数学'08年前期[5]

東大理系数学'08前期[5]

自然数nに対し、で表す。たとえばである。
(1) m0以上の整数とする。で割り切れるが、では割り切れないことを示せ。
(2) n27で割り切れることが、27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。

(1) こういうタイプの問題では、数値代入して、問題のカラクリをつかむことから始めます。
のとき、
は、で割り切れるが、では割り切れません。・・・()
のとき、
は、で割り切れるが、では割り切れません。
のとき、
 ・・・①
は、で割り切れるが、では割り切れません。
のとき、
 ・・・②
は、で割り切れるが、では割り切れません。

mのときに、のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。

自然数nに対して、9の倍数なので、pを自然数として、と置くことができます。
従って、2つの自然数mnに対して、abを自然数として、
は、3で割り切れるが9では割り切れません。・・・(**)

数学的帰納法により、題意を示します。
() のとき、()より、題意は成立します。
() のとき、題意が成立するとして、は、で割り切れるが、では割り切れない、と、仮定します。
のとき、

(**)より、これは、で割り切れるが、では割り切れません。
()()より、題意が示されました。

(2) n27で割り切れる 27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。
,・・・ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。
÷91÷90あまり1
÷911÷91あまり2
÷9111÷912あまり3
÷91111÷9123あまり4
÷911111÷91234あまり5
÷9111111÷912345あまり6
÷91111111÷9123456あまり7
÷911111111÷91234567あまり8
規則性があってキレイだなあ、などと、感心している場合ではありません。ずっとやると疲れるので、やめます。
これで、は、9では割り切れないことがわかりました。
(1)で、は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。
として、を調べます。
①より、 ・・・③ と書けるので、

1項は9の倍数ですが、は上記のように9の倍数ではなく、9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)
③を用いて、
9の倍数ですが27の倍数ではなく、3の倍数ではなく、9では割り切れるが、27では割り切れません。
として、を調べます。③を使って、

9の倍数と9の倍数でないものの和の形なので、9で割り切れません。
これで、27で割り切れないことがわかりました。

mを自然数として、②より、と書けるので、


 (の項を中カッコ内から外に出して、をくくりだした)
 (二項定理を参照)
(1)より27で割り切れるので、は、27で割り切れます。

mを自然数、として、
27の倍数と27の倍数でないものの和の形なので、27では割り切れません。
以上より、n27で割り切れることが、27で割り切れるための必要十分条件であることが示されました。


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  1. 2008/02/27(水) 22:16:47|
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東大理系数学'08年前期[4]

東大理系数学'08前期[4]

放物線上に2PQがある。線PQの中点のy座標をhとする。
(1) 線分PQの長さLと傾きmで、hを表せ。
(2) Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。

解答 東大の数学の入試問題は、オリジナリティーあふれる問題が多いのですが、よく勉強していて技巧を数多く身につけた受験生にも敬意を払って、毎年1題は頻出パターン問題を出題しています。このタイプの問題を落とさないことが合格への早道でしょう。

(1) 直線PQの方程式をとします。
PQとすると、ab は、を連立したときにできる2次方程式:2解です。解と係数の関係より、
 ・・・①
線分PQの長さがLなので、①を用いて、



 ・・・②
hも①を用いて、
 ・・・③
②より、
両辺にを加えて2で割ると、
これより、③は、
......[]

(2) hの式の形を見ると、相加平均・相乗平均の利用(不等式の証明を参照)が浮かぶのですが、
として、等号成立の条件:,つまり、は、のときには、満たされようがないので困ることになります。
こういうときには、微分して調べた方が安全です。
hmの関数と見ても良いのですが、 (,線分PQx座標の絶対値の大きい方にいくらでも持って行けるので、,つまりtには上限はありません)とおいて、

なので、ですが、の方は、のときと、のときで分かれます。これが、相加平均・相乗平均の関係をうまく利用できるか、利用できないか、ということに対応しているわけです。
(i) のとき、
t0
0

増減表より、 ()のとき、hは最小値:をとります(関数の増減を参照)
(ii) のとき、より、で、は単調増加です。
よって、においては、,つまり、のとき、hは最小値:をとります。
のとき、のとき、 ......[]


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  1. 2008/02/27(水) 22:15:58|
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東大理系数学'08年前期[2]

東大理系数学'08前期[2]

白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちのk枚の中から1枚を、等確率で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
以下の問(1)(2)に答えよ。
(1) 最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)n回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚、黒3枚、合計6枚のカードをもっているとき、操作(A)n回繰り返した後に初めて、6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。

(1) 1回目に白を引く(確率)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(確率)と全て黒になります。この確率は、 (独立試行の確率を参照)
このとき、2回目に黒を引く(確率)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[]

(2) 1回目に白を引くと、白が2枚、黒が4枚となり、2回目に白を引くと、白が1枚、黒が5枚となり、3回目に白を引くと、6枚とも黒になります。
3回めに黒を引くと、白が2枚、黒が4枚の状態に戻ります。
2回目に黒を引くと、最初の状態に戻ります。
この状況変化の仕方は、白と黒が逆になった場合も同じです。白黒の違いはないので、白黒を区別せず、両者3枚ずつの状態を①,片方が4枚で他方が2の状態を②,片方が5枚で他方が1の状態を③,6枚とも同じ色のカードになる場合を④とします。
最初は①です。
1回目の操作で、無条件に、確率1で、②になります。
2回目の操作で、③に行くか、①に戻ります。6枚中2枚の方を引く確率はで③に移行し、6枚中4枚の方を引く確率はで①に移行します。
2回目に③に移行した場合、3回目の操作で、④に行くか、②に戻ります。6枚中1枚の方を引く確率はで④に移行し、6枚中5枚の方を引く確率はで②に移行します。
2回目に①に戻った場合、3回目の操作で、無条件に、確率1で、②に移行します。
④になってしまえば、それ以降は考える必要がないので、以後、奇数回目の操作で、②か④になり、偶数回目の操作で、①か③になることが繰り返されることになります。

m0以上の整数として、回目の操作後に②だったとして、回目の操作で②に戻るのは、②→③→②となるか、②→①→②となる場合です。
②→③→②となる確率は、,②→①→②となる確率は、
よって、回目の操作後に②で回目の操作で②に戻る確率は、 (和事象・積事象・余事象を参照)

回目の操作後に②だったとして、回目の操作で④に至るのは、②→③→④となる場合で、その確率は、

mを自然数として、回目の操作で②になっている確率は、
回の操作で④,つまり、6枚とも同じ色のカードになるのは、回目に②の状態で、その後、2回続けて、少ない方の色を引いた場合で、
回の操作では、①か③の状態にあり、6枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、6枚とも同じ色になる確率は、
......[]


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  1. 2008/02/26(火) 21:50:18|
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東大理系数学'08年前期[1]

東大理系数学'08前期[1]

座標平面の点へ移す移動fを考え、点Pの移る行き先をと表す。fを用いて直線,・・・ を以下のように定める。
は直線である。
・点P上を動くとき、が描く直線をとする()
以下1次式用いてと表す。
(1) で表せ。
(2) 不等式が定める領域をとする。,・・・ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。

解答 (2)は、もしかして無限角形?と思いきや、やや拍子抜けでした。

(1) より、です。
上の点が移動fによって、どういう点に移動するのかを考え、移動先の点が乗っている直線を求めてみます。
とかとおくことになりますが、0の場合には困ることが起きるので、別扱いにして考えることにします。

まず、では、が直線になりません。のどちらか一方は0になりません。そこで、
(i) のとき、とおき、Pとして、実数tがいろいろな値をとるとき、は、直線を描きます。
より、 ・・・①
(ii) のとき、とすると、として、
あらためてとして、

 (漸化式を参照)
ここで、とすると、①と一致するので、(i)(ii)合わせて、
......[]

(2) (1)より、
,つまり、

,つまり、
こうして、たくさんの直線ができるわけですが、無限に存在する直線で囲む図形だとすると、が無限角形になりかねません。
そこで、これらの直線がどのように交点を作るかを調べます。
と、を連立すると、となります。fによって、どこに移るかを調べます。
となって、自分自身に移ります。
ということは、の交点であるとともに、上の点でもあり、繰り返しfによって移動させると、全てのnについて、上の点だということです。
言い換えると、は全てを通る、ということです。
であれば、領域を求めるためには、,・・・ の中で、傾きが最大の直線と最小の直線を求めればよいことになります(不等式と領域を参照)

(1)の結果より、
 ・・・② (3項間漸化式を参照)
特性方程式は、

 ・・・③
は、初項:,公比:等比数列
 ・・・④
③-④より、

より、 (のときもこれでよい)
直線の傾きは、
は単調増加な数列で、
また、のとき、で、は直線:に近づきます。近づきますが、に一致するわけではないので、であっても、かつの部分は、という領域に含まれます。
より、,・・・ すべてに含まれるような点の範囲は、右図で黄緑色に着色した部分(直線(点線、及び、白マル)を含まず、直線上のの部分(太線)を含む)


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  1. 2008/02/26(火) 00:01:40|
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慶大理工数学'08年[A4]

慶大理工数学'08[A4]

(1) tを実数とする。座標平面内の2を結ぶ線分の垂直2等分線の傾きは テ で、方程式はy テ x ト である。
直線に関して点と対称な位置にある点をとする。座標であらわすと、 ナ  ニ である。またの座標をtを用いてあらわすとである。のときは直線y ノ に限りなく近づく。
(2) tがすべての実数をとるときにが描く曲線をCとする。点 ()におけるCの接線の傾きは、のとき ハ に近づく。曲線Cと直線が異なる3点で交わるための必要十分条件は ヒ  a  フ である。

解答 必要十分条件」と書かれているから、きちんと証明しておかなければ()()の解答を書いてはならないと思い込んでしまうと、「合格」が遠くなってしまいます。くらいを調べれば、曲線Cの大体の姿はわかるので、試験場では、一々微分せずに()()()を埋めてしまうのが利口だと思います。

(1)() 2を結ぶ線分の傾きは、のとき、の傾きはt ......[] (のときもこれでよい)
() 2の中点は、,この点を通って、傾きtの直線は、
 (2直線の平行と垂直を参照)
 (のときもこれでよい)
......[]
() のとき、 となるので、は、になります(右図水色)
のとき、
は、 ......[] (右図黄緑色)
() のとき、
は、 ......[]  (右図橙色)
(ヌネ) とすると、Qが直線に関して対称、ということは(座標平面における対称を参照)
直線が垂直: ・・・①
線分の中点は上: ・・・②
①より、 ・・・③
②に代入して、

③に代入して、
よって、()は、2()は、 ......[]
試験場では、となることを確認してください。それと、x座標はともに1です。のときがどこに行ってしまうのか、ということが気になります。も確認しましょう。
のとき、
は、です。なので、の軌跡は、のときにを通過した後、一旦、の部分に出っ張ってから、のときにまで引き返してくるらしい、ということがつかめます。・・・()
() のときが近づく直線、というのは、漸近線のことですが、のとき、というだけで、()0としてしまっても良いと思います。
きちんと確認するのなら、のとき、
より、漸近線の傾きは0 (実は、空所の形からわかってしまう)で、
より、漸近線のy切片も0
よって、漸近線は ......[]
漸近線がx軸であることと、()から、(2)()()()は微分計算しなくても、答がわかってしまいます。微分計算をやってしまうと時間的ロスが大きくなるので、試験場では充分に注意してください。

(2)() 試験場では以下のようにするのが実用的です。
(1)から曲線Cは、でとがっていて(尖点と言います)のときの接線は、のときの (傾き:1)に垂直になりそうです。従って、接線の傾きは、のとき、 ......[] に近づくことがわかります。
(ヒフ)これで、曲線Cの概形が右図のようになることがわかってしまうので、曲線Cと直線が異なる3点で交わるための必要十分条件は、
()は、0()は、1 ......[]
きちんとやるのであれば、以下のようにします(媒介変数表示された関数の微分法を参照)として、


とすると、
,または、
とおくと、
より、は単調増加な関数(3次関数の増減を参照)で、より、方程式の範囲に解をもっています。これをaとします。
ta1
00
x1

増減表より(関数の増減を参照)tから次第に大きくしてくると、それに伴ってxは、までは増大し、曲線は左から右に進みますが、においてはxは減少し、曲線は、右から左に引き返す感じになります。においてはxは増大し、再び、左から右に進みます。
t1
00
y1

2つの増減表からグラフの概形は右上図のようになります。
において、
のとき、より、()
グラフの概形より、は曲線C(微分法の方程式への応用(2)を参照)
のとき、第4象限でのみ1交点をもち、
のとき、1交点をもち、
のとき、第3象限で1交点、第1象限で、曲線のの部分、また、曲線のの部分で、計3交点をもち、
のとき、第3象限で1交点、第1象限で1交点,合わせて、2交点をもち、
のとき、第3象限で1交点をもつ、
従って、曲線Cと直線が異なる3点で交わるための必要十分条件は、
これで、()0()1,ということになります。


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  1. 2008/02/25(月) 17:39:52|
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慶大理工数学'08年[A3]

慶大理工数学'08[A3]

(1) 実数aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと ス である。
(2) 実数aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つための切片bの条件は、 セ のとき ス であり、 セ のとき ソ となる。

このように、aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものをと書くことにする。たとえばならば=-( ス )である。
(3) とする。と定めて、aを変数xで書き換えた関数に対してを考える。 タ のとき チ であり、 タ のとき ツ である。

解答 記号の定義を与えて、その記号を使って考えさせるタイプの問題ですが、手の付けやすい題材で、決して無理でなく、柔軟な思考力を見る良い問題だと思います。

(1)() 直線 ・・・① と、曲線 ・・・② が共有点をもつとき、①,②を連立して、

 ・・・③
の判別式について(2次方程式の一般論を参照)
......[] ・・・④

(2)() 直線①と曲線 ・・・⑤ の共有点を考えますが、⑤は、
のとき、
のとき、②
なので、()と同じ条件で良いのは、③がの範囲に解をもつ場合です。これは、③の左辺をx2次関数と見るとき、そのグラフの軸の位置という範囲に入るということです(2次方程式の解の配置を参照)。つまり、
......[]
これは、直線①の傾きの絶対値が大きい場合には、直線のy切片bが④の()の条件を満たせば、①と⑤を連立するときに、の範囲に解をもつことを意味します。

() のときには、直線①の傾きが緩やかで、曲線②のの部分と共有点をもたないことがあり得ます。
のときは、右図(橙色の線)より、直線①が点から上を通過すれば、直線①と曲線⑤が共有点をもちます。よって、

 ・・・⑥
のときは、右図(水色の線)より、直線①が点から上を通過すれば、直線①と曲線⑤が共有点をもちます。よって、

 ・・・⑦
⑥,⑦を合わせて、aの正負に限らず、
......[]

(3)(タチ) のときに、ということは、のときには、問題文より、
即ち、
①とを連立すると、

 ・・・⑧
⑧は、判別式,つまり、であれば実数解をもちます。
⑧の左辺をx2次関数と見るとき、その軸の位置の範囲にある、つまり、であれば、直線①とは、の範囲に共有点をもちます。このとき、bの最小値はであり、
よって、()() ......[]

() のときは、右図より、直線①が原点から上を通過すれば、直線①とが共有点をもちます。よって、

このとき、 ......[]


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  1. 2008/02/25(月) 17:39:05|
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慶大理工数学'08年[A2]

慶大理工数学'08[A2]

(1) さいころを続けてn回投げるとき、6の約数の目が奇数回出る確率をとする。たとえば、 カ である。のときの間には キ という関係式が成り立つ。これよりnを用いてをあらわすとである。
(2) さいころを続けて100回投げるとき、1の目がちょうどk ()出る確率はであり、この確率が最大になるのはk コ のときである。
次に、さいころを続けてn回投げるとき、1の目がちょうどk ()出る確率を考える。nを固定したとき、この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は、n サ で割ったときの余りが シ となることである。

解答 この問題も[A1]と同様、平凡な頻出パターンの問題です。()k回出る確率と回出る確率の比を考えます。

(1)() さいころを2回投げて、6の約数の目が奇数回出るのは、1回目に1236が出て、2回目に45が出るか、1回目に45が出て、2回目に1236が出る場合で、その確率は、
......[]

() n回目までで、6の約数の目が奇数回出るのは、
(i) 回目までで、6の約数の目が奇数回出て、n回目に45が出る、か、
(ii) 回目までで、6の約数の目が偶数回出て、n回目に1236が出る、
場合です。
(i)の確率は、 (独立事象の確率を参照)
(ii)の確率は、
(i)(ii)排反なので、
∴、
......[] ・・・① (2項間漸化式を参照)

() ①のaと置き換えると、
 ・・・②

①-②より、
よって、は、初項:,公比:等比数列

......[]

(2)() さいころを100回投げて、1の目がちょうどk()出る確率は、
 (反復試行の確率を参照)
......[]

()
 ・・・③
とすると、

③において等号成立はのとき(kは自然数なので、こういうことは起こらない)だけで、だから、
これより、が最大になるのは、 ......[] のとき。

(サシ) さいころをn回投げて、1の目がちょうどk()出る確率は、

とすると、
 ・・・④
④の等号が成り立つkの値が存在しない場合、として、
このときは、を最大にするkの値は1個しかありません。
④の等号が成り立つkの値が存在する場合、として、
このときは、を最大にするkの値は、2個あります。
従って、を最大にするkの値が2個存在するための必要十分条件は、
,つまり、n6で割ったときの余りが5となることです。
よって、()6()5 ......[]


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  1. 2008/02/24(日) 09:50:59|
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当ブログの表示について

当ブログの表示について、うまく表示されない、というご指摘を頂いております。
申し訳ありませんが、現状では、ウィンドウズのインターネット・エクスプローラでのみしか表示の確認を致しておりません。
CSSという技術を多用しているため、マックやLINUXでは、うまく表示できないと思います。
いずれは、ウィンドウズ以外でも対応したいと考えておりますが、当面は、ウィンドウズ・パソコンのインターネット・エクスプローラでご覧頂くようにお願いいたします。
  1. 2008/02/23(土) 22:00:37|
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慶大理工数学'08年[A1]

慶大理工数学'08[A1]

(1) とする。xy平面上で
   
により定められる部分Aの面積は ア である。また空間内でx軸のまわりにA1回転させてできる回転体の体積は イ である。この体積はa ウ のときに最大となる。
(2) t を実数とする。空間内の2PQを通る直線とxy平面との交点はR (t エ 0)である。t の範囲を動くときに点Rが描く曲線をCとする。xy平面上で、x軸,y軸とCとにより囲まれた部分の面積は オ である。

解答 素直な微積の計算問題です。(1)(2)も曲線はx軸と交差しないので、積分区間を分けるというような心配もありません。

(1)() 部分Aの境界線:は、

と書き直せます。なので、Aの面積は(定積分と面積を参照)
 (不定積分の公式を参照)

......[]

() 回転体の体積Vは、
とおく(置換積分を参照)と、より、
xのとき、u



......[]

() とおくと、
a01
00

増減表より、Vは、 ......[] のときに最大です。

(2)()
直線PQベクトル方程式(空間ベクトルを参照)
とすると、
()
......[]
() より、
のとき、です。
求める面積Sは、
ここで、積分計算し易い分母の形にするために、とおきます(置換積分を参照)
xのとき、u
......[]


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  1. 2008/02/23(土) 21:54:14|
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早大理工数学'08年[5]

早大理工数学'08[5]

xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点Nをとる。またをみたすq に対し、次の2つの条件
(a)
(b)
をみたすS上の動点PQについて、線分PQが通過してできる立体図形Tを考える。以下の問に答えよ。
(1) Pと点Qz座標は等しいことを示せ。
(2) Pが平面上にあるとき、線分PQの長さをq hで表せ。
(3) Tを平面で切ったときの断面の概形を描き、その面積をq hで表せ。
(4) hのとりうる値の範囲に注意して、Tの体積Vq で表し、q を動かしたときのVの最大値を求めよ。

解答 hのとりうる値の範囲に注意して」という注意がないと、としてしまいそうです。出題者は親切な人らしい。

(1) 原点をOとします。
NPOと△NQOにおいて、ON共通、より、△NPO≡△NQO
よって、PQからON (z)に下ろした垂線の足は一致します。この点をHHz座標をhとすると、PQz座標はともにhで等しくなります。
注.という場合もあるので注意してください。

(2) 三平方の定理より、
 ・・・① (の場合もこれで良い)
 (の場合もこれで良い)
PQの中点、即ち、HからPQに下ろした垂線の足をMとします。
......[] (の場合もこれで良い)

(3) PQが、球面Sと平面の交わりとしてできる円周上を動くとき、線分PQ上の点RHとの距離HRは、 ・・・② を満たします。
 ・・・③

 (半角の公式を参照)
 ・・・④
これと①より、不等式②の左辺と右辺のMHPHは、PQの位置に依存しません。
これより、Tの断面の概形は、半径の円と半径の円にはさまれた部分(右図で、黄緑色に着色した部分、境界線を含む)になります。

断面の面積は、④と(2)PMを利用して、
......[] (の場合もこれで良い)

(4) ④において、より、です。
 (定積分と体積を参照)


......[]
とおくと()
 (3次関数の最大最小を参照)

のとき、
t1
00
V

増減表より(関数の増減を参照)Vは、のとき、最大値: ......[]


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  1. 2008/02/22(金) 23:31:35|
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早大理工数学'08年[4]

早大理工数学'08[4]

n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率でどれか1つの箱に入れるものとする。のとき2箱のみが空となる確率をとする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の箱のそれぞれに1個の球が入る確率を求めよ。
(3) に対しを求めよ。
(4) (2)で求めたについて、を求めよ。

解答 2箱のみ空と言っても、3球入る箱が1箱できる場合と、2球入る箱が2箱できる場合とがあります。いきなりを求めろと言うのではなく、2つの場合に分けて考えることを促しているのが(2)なのですが、それを意識しないと、(3)は難しいかも知れません。なお、確率独立試行の確率を参照してください。

(1) のとき、3球を、3個の箱の中のある1箱に入れることになります。
3球を入れるのが3箱のどの箱かが3通り、全事象は、通り。
......[]

のとき、4球を、4個の箱のうちの2箱に入れることになります。(i) 2箱に2球ずつ入れる場合と、(ii) 1箱に3球、もう1箱に1球入れる場合、の、2通りあります。
(i)の場合、4箱から2箱を選ぶのが、通り、4球から2球を選ぶのが、通りで、通りあります(組合せを参照)
(ii)の場合、3球入る箱を4箱から1箱選ぶのが4通り、1球入る箱を残る3箱から1箱を選ぶのが3通り、4球から3球選ぶのが、通りで、通りあります。
全事象は、通り。
......[]
注.上記では、2箱をAB4球に1234の番号を付けるとして、
(i)では、箱を組合せで考えていて、
12を選んで、A12を入れてB34を入れる場合と、
34を選んで、B34を入れてA12を入れる場合を、
区別せずに1通りと考え、
(ii)では、3球入る箱と、1球入る箱を区別して考え、箱の選び方を順列として、通りと考えている点に注意してください。

(2) のときの(1)(ii)の場合から考えます。
n箱から箱を選んで並べる順列は、通り、n球から3球を選ぶのが、通り、全事象は、通り。
......[]
注.3球を1箱に入れてしまった後、1箱に1球ずつ入れていくところを、上記では、3箱がABC3球が123だとして、A1B2C3が入る場合と、A2B3C1が入る場合(全部で6通りある)を区別するのに、箱を、ABCCAB,・・・と並べておいて、1箱に入れる3球選んだ残りの求を、自動的に123と一通りに並べ、場合の数を数えています。

(3) n個の箱とn個の球があるときに、のときの(1)(i)に相当する場合を考えます。
n箱から箱を選んで並べる順列は、通り、n球から2個の球を2組選ぶのが、
通り
2重にカウントしている場合を考慮(下記の注.参照)して場合の数を2で割ります。
全事象は通り。
よって、2球入る箱が2箱で、残りの箱に1球ずつ入る確率は、
これと(2)と合わせたものがとなります。
......[]
注.箱の選び方を順列で考えてしまうと、2球入っている2箱で同一の場合ができます。つまり、箱をABと並べ、選んだ2球が12A12を入れてB34を入れる場合と、箱をBAと並べ、選んだ2球が34B34を入れてA12を入れる場合を二重に数える場合が出てくるので注意してください。上記では2で割っています。

(4) のとき、 (数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2008/02/22(金) 18:59:02|
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早大理工数学'08年[3]

早大理工数学'08[3]

はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式
   
をみたしているとする。以下の問に答えよ。
(1) を示せ。
(2) に対して
   
が成り立つことを示せ。
(3) 微分の定義を用いてを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。

解答 関数方程式の問題かと思うとそうでもなく、(4)では、(2)をどう料理するか、ということを考えましょう。

 ・・・①
(1) ①において、とすると、

(2) として、①の両辺を、 ()で割ります。
の代わりにxを代入すると、

(3) 題意よりが存在して、(1)よりなので、微分の定義を用いて、
また、より、

(4) 要は、が定数になることが言えれば良いのですが、①と微分の定義を使って微分方程式を引っ張り出そうとしてもうまく行きません。そこで、(2)の形をにらんで、数列の極限から言えないか、と、考えることにします。
任意の実数xに対して、数列の各項()を、
とします。
(2)より、
(2)において、xの代わりに ()を代入すると、
よって、数学的帰納法により、,つまり、
ここで、とすると、
(3)より、


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  1. 2008/02/21(木) 16:24:20|
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早大理工数学'08年[2]

早大理工数学'08[2]

自然数mnに対して
   
で定める。以下の問に答えよ。
(1) をみたすmn1組求めよ。
(2) abcdは整数で、等式をみたすとする。不等式が成り立つならば、となることを示せ。
(3) 任意の自然数kに対し、をみたすmnがただ1組だけ存在することを示せ。

解答 私は意地の悪い人間なので、私なら、(1)は、にしますが、難問というわけでもなく、それでいて、実験をさせながらメカニズムを発見させ、論理的構想力も見ようという問題で、私は、良問だと思います。なお、整数を参照してください。

(1)
ここで、平方数:200から大きく異なると、が大きく、つまり、mnの差が大きくなり、mnのどちらかが大きな自然数になってしまい、平方数:がさらに大きな値になってしまって、等式を満たしにくくなる、ということに、まず、気づかないといけません。
このことに気づけず、機械的に小さい方、mn1から代入していくのであれば、時間的に大きくロスをすることになります。
従って、200に近いものから、候補を順次代入していくべきです。mn1からではない、というところがこの問題のよく工夫されている点です。200に一番近い平方数は、です。そこで、
つまり、
とすると、
となり、条件を満たすので、 ......[]

(2)  ・・・①
より、
問題文に与えられている条件:
 ・・・②
 ・・・③
②-③より、 (不等式の証明を参照)

②より、,つまり、です。また、③より、です。従って、 ()で各辺を割ると、
は整数なので、
①より、

(3) まず、任意の自然数kに対し、,つまり、
として、
となる整数が見つかったとします。
この2式を連立してmnについて解くと、
は連続2整数の積なので偶数であって、は整数です。従って、mnは整数です。ここで、であるためには、
でなければなりません。2番目の方の不等式は、kが整数であることから、
と同値で、結局、
 ・・・④
が満たされればよいことになります。従って、mnが少なくとも1組存在することを言うためには、④を満たすが存在することを言えばよいことになります。
④の左の不等号から、
 ・・・⑤
④の右の不等号から、
 ・・・⑥
かつ ⑥より、を自然数とすれば、
 ・・・⑦
この区間の幅は1なので⑦をみたす自然数は必ず存在します。
結局、証明のストーリーは以下のようになります。

任意の自然数kに対して、より、
 ・・・⑦
を満たす自然数が必ず存在します。
⑦の左の不等号より、
両辺を2乗して、

⑦の右の不等号より、
2乗して整理すると、
従って、任意の自然数kに対して、
を満たす自然数が必ず存在します。このとき、
とおけば、

を満たします。

次に、任意の自然数kに対し、2組の自然数mnを持ってきたときに、
つまり、
とします。
とおくと、①を満たします。
mnは自然数なので、



全く同様にして、
よって、②,③も満たされるので、(2)より、
つまり、


よって、任意の自然数kに対し、をみたすmnがただ1組だけ存在します。


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  1. 2008/02/21(木) 16:23:33|
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早大理工数学'08年[1]

早大理工数学'08[1]

aを正の定数とする。xy-座標平面において、曲線と、直線とで囲まれた部分をDとおく。以下の問に答えよ。
(1) Dの概形を描き、その面積を求めよ。
(2) 直線を軸として、D1回転してできる図形の体積を求めよ。

解答 気力が必要な微積分の計算問題ですが、(1)は、Dの概形を捉えるのに凹凸まで考える必要があるので、陰関数で扱うよりも陽関数にしてしまう方がやり易いと思います(陰関数の微分法を参照)(2)は、定型問題ですが、正答するのはなかなか容易ではありません。ここでは、2通りの扱いでやってみたいと思います。但し、必ずしも、座標回転でラクになるとも言えません(極形式を参照)

(1) 曲線: ・・・①
は、より、を定義域とします。また、①は、
直線: ・・・②
とは、を共有します。①より、
 ・・・③
 ()
よって、①のyは単調減少です(関数の増減を参照)
 ()
よって、①のグラフは下に凸です(ということは、において、①の方が②の下に来る。関数の凹凸を参照)
Dの概形は、右図で黄緑色で着色された部分。

②は、と変形できるので、Dの面積Sは、
 (定積分と面積を参照)

......[]

(2) 右上図において、曲線①上の点Qから直線②に下ろした垂線の足をR,点Pから直線②に沿い右下に向かってu軸をとり、とします。
このとき、点Rの存在範囲:を考えて、Dを直線②を軸として回転させてできる図形の体積Vは、
 ・・・④ (斜回転体を参照)
と表されます。点Qと直線:との距離を考えることにより、
 ・・・⑤ (点と直線の距離を参照)
また、点Qを通って、直線②に垂直な直線は(2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・⑥
②と⑥を連立することにより、交点Rx座標は、

はこのx座標の倍で、 ・・・⑦

uのとき、t
よって、④は、⑦の置換により(置換積分を参照)、⑤を用いて、



......[]
(uの積分のままでもできますが、上端がとなってがつく分だけ若干面倒です)

別解 面積と回転体の体積を座標回転でやってみます(極形式を参照)
複素数を時計回り(負方向)回転して、になるとすると、
 ・・・⑧
③に代入すると、

2乗すると、

従って、曲線①を反時計回り(正方向)回転すると、放物線:
 ・・・⑨
となります。
⑧を②に代入すると、

従って、直線②を反時計回りに回転すると、直線:となります。
⑨と連立すると、

(1)の面積Sは、
......[] (定積分の公式を参照)
(2)の体積Vは、
......[]
 です。
曲線と直線の式を変換する必要がありますが、積分計算はラクになります。


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  1. 2008/02/19(火) 22:47:58|
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波動分野

波動分野

波動分野の目次のページです。
各項目の内容を作成するに従って、リンクを貼り付けていきます。
各項目の文字列をクリックすると、解説ページに飛びます。
このページは作成中に随時更新されて行きます。

(1) 波動現象 
(2) 波の公式 
(3) 正弦波の式 
(4) 波の位相 
(5) 重ね合わせの原理 
(6) 波の干渉 
(7) ホイヘンスの原理 
(8) 波の反射 
(9) 定常波 
(10) 波の回折 
(11) 音波 
(12) 弦の振動 
(13) 管の振動 
(14) ドップラー効果 
(15) 光波 
(16) 光の屈折 
(17) レンズ
(18) 光の干渉 
(19) 二重スリット 
(20) 回折格子 
(21) ニュートン・リング 
(22) 単スリット 
(23) 光の分散 
(24) 偏光 


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  1. 2008/02/18(月) 02:56:07|
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力学分野

力学分野 力学分野

力学分野の目次のページです。
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(1) 変位・速度・加速度 
(2) 等加速度運動 
(3) 力 
(4) 重力 
(5) 垂直抗力 
(6) 摩擦力 
(7) 張力 
(8) フックの法則 
(9) 力のつり合い 
(10) 力のモーメント 
(11) 重心 
(12) 運動方程式 
(13) 作用反作用の法則 
(14) 抵抗力 
(15) 運動量 
(16) 運動量の原理 
(17) 運動量保存則 
(18) 反発係数の式 
(19) 衝突・合体・分裂の問題 
(20) 運動エネルギー 
(21) 保存力 
(22) 位置エネルギー 
(23) 仕事 
(24) エネルギーの原理 
(25) 力学的エネルギー保存則 
(26) 相対速度 
(27) 慣性力 
(28) 等速円運動 
(29) 遠心力 
(30) 不等速円運動 
(31) 単振動 
(32) 単振り子 
(33) ばね振り子 
(34) 万有引力 


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  1. 2008/02/18(月) 02:55:16|
  2. 力学分野
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気体分野

気体分野

気体分野の目次のページです。
各項目の内容を作成するに従って、リンクを貼り付けていきます。
各項目の文字列をクリックすると、解説ページに飛びます。
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(1)  
(2) エネルギー保存則 
(3) 理想気体 
(4) 状態方程式 
(5) 気体分子運動論 
(6) 気体のした仕事 
(7) 内部エネルギー 
(8) 熱力学第一法則 
(9) 不可逆変化 
(10) 熱力学第二法則 
(11) モル比熱 
(12) 定圧変化 
(13) 定積変化 
(14) マイヤーの関係式 
(15) 等温変化 
(16) 断熱変化 
(17) サイクル 
(18) 熱効率 
(19) 熱気球 
(20) 相変化 


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  1. 2008/02/18(月) 02:54:24|
  2. 気体分野
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電磁波の性質

電磁波の性質

(1) 電磁波は横波で一平面上で電界が振動するので金属製の格子で特定の振動面の電磁波のみを通過させることができます。磁界電界の振動面と垂直な平面上で振動します。
(2) 金属板で電磁波をさえぎることができます。遮蔽作用と言います。
(3) 電磁波も波の一種なので、波が有する性質を持っています。干渉、屈折、回折、反射、などの現象を起こします。

高温の物体中で熱運動している電子からは、熱放射と呼ばれる電磁波が出ています。人体や動物からも赤外線が出ています。
どういう
波長の電磁波が出るのかというグラフを絶対温度ごとに右図に示しました。物質の種類には関係なく、物体の温度によって電磁波の出方が決まります。

電磁波の種類を下記に示します。
電磁波周波数範囲[Hz]波長範囲[m]性質利用
超長波(VLF)水中でも透過潜水艦との通信
長波(LF)空気中を通るラジオ放送
中波(MF)夜間は電離層で反射されるAMラジオ
短波(HF)10電離層で反射される航空管制、アマチュア無線
超短波(VHF)110地表で減衰し易いテレビ、温熱療法
マイクロ波1水に吸収され易い、強指向性テレビ、携帯電話、電子レンジ
赤外線熱線、に吸収されるコタツ、赤外線カメラ、リモコン
可視光波長によって色が異なる光学機器
紫外線光化学反応を起こす殺菌、蛍光灯
X強い透過能X線写真、結晶構造解析
γ線強い透過能殺菌

このうち、超長波からマイクロ波までを電波と言います。日本国内では、電波の利用に当たって、「電波法」という法律に従う必要があります。可視光の範囲には個人差があります。紫外線、X線、γ線は明確な区別があるわけではなく、周波数範囲に重複があります。


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  1. 2008/02/16(土) 12:34:04|
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電磁波の発生

電磁波の発生

真空の誘電率を,透磁率をとして、電磁波が伝わる速さcは、
で与えられる。

(1) 右図のように、静電容量Cコンデンサー起電力Vの電池に接続すると、コンデンサーの極板には電荷が蓄えられて、回路にも、極板間にも電流は流れません。
(2) 右図のように、静電容量Cのコンデンサー(電荷0とします)抵抗Rを直列に接続し、スイッチを介して起電力の電池に接続し、スイッチを閉じると、電流が流れて次第にコンデンサーが充電されて行きます。電流I,コンデンサーが蓄えている電気量Qとして、キルヒホッフ第2法則より、
従って、回路には、という電流が流れます。
しかし、コンデンサーの極板間は導線で結ばれていないのに、電流が流れるのでしょうか?
(3) 右図のように、静電容量Cのコンデンサーを、起電力交流電源に接続すると、公式:より、という電流が回路に流れます(容量リアクタンスを参照)
この場合も、コンデンサーの極板間は導線で結ばれていないのに、電流が流れるのでしょうか?

以下、(2)(3)でコンデンサーの極板間は真空だとします。
コンデンサーの
極板面積S極板間距離d,コンデンサー両端の電圧Vとすると、(コンデンサーを参照)(電位・電圧を参照)より、
よって、
この式は、コンデンサーの極板間の電界時間的変化が電流と同じ効果を持つことを意味しています。つまり、何も存在しない空間であっても、電界時間的変化という形で電流が流れるのです。この電流を電束電流(または変位電流)と言います。

導線に
電流が流れると、そのまわりに磁界が発生します。直線電流Iは、r離れた位置に、という大きさの磁界を作ります。磁界の向きは、直線電流の方向を右ねじの進む向きとして、右ねじの回る向きです(右ねじの法則を参照)
であれば、コンデンサーの極板間に
電束電流が流れる場合にも、r離れた位置に、
という大きさの磁界ができるはずです。この磁界は、電界E時間的変化により、時間的に変化します。
電磁誘導の法則によると、磁界の変化によって、磁界を取り巻く回路には起電力を生じます。起電力が生じるということは、その回路に沿って電界が生ずるということです。起電力、つまり、電界の向きはレンツの法則に従い、磁界の変化を妨げる向きになります。(3)のように、コンデンサーに交流電圧がかかっていた場合には、ここで生じた電界もまた、時間的に変化をします。電界時間的変化をすれば、これが電束電流となって、さらに磁界を発生させます。
こうして、右図のように、次から次へと、電界の変化が磁界を生み、磁界の変化が次の電界を生み、この電界の変化がさらに次の磁界を生み、という具合にして、空間に、電界磁界の変化が広がって行きます。こうしてできる波動を電磁波と言います。右図では、コンデンサー極板間の電界(右図の状態では正です)時間的変化と電流が、であってかつ、電界時間的変化と電流Iが減少している状況で、図を描きました。
右図では、正弦波が原点
Oのところで位相ゼロとなるように書いてありますが、上側極板に負電荷、下側極板に正電荷が少し残っている状況では、電界はまだ正でゼロになる直前(電界の変化率、つまり、電流は最小になる直前)であって、この後、電流が流れるに従って、上側極板に正電荷、下側極板に負電荷が貯まり、電界は負に変わってきます(正弦波が右に動くと言うことは、原点のところでは、電界は正から負に変化している)
原点
Oのところでは、右ねじの法則に従い、上から見て時計回りの磁界ができます。
右図では、
電流I時間変化率がゼロ(電流最小)になる直前で、ですが、電流はまだ減少(絶対値は増加)の状態にあり、磁界も増加しつつあるので、増加しつつある磁界を抑える向き、つまり、できている磁界と逆向きの磁界を作ろうとする向きに起電力が起こり、この向きの電界を生じます。この時点での磁界の変化率は大きくないので、この電界も大きくはありません(電磁誘導の法則を参照)。右図の電気力線の引き方では、電界ベクトルの書いてある位置の電気力線密度が大きくなるように書かれていませんが、電気力線密度電界ベクトルの書かれている位置が最大で、電束電流の書かれている位置が最小になります。
電気力線密度が最小になる位置が電界がゼロで電界の変化率の絶対値が最大になる位置で、電束電流の絶対値が最大になる位置です。この電束電流が、次の磁界を作り出します。
右図は、模式的に電磁波が伝わる状況を描いていますが、右図のような状況では、実際には、
電束電流は、コンデンサーを幾重にも包んでいる円筒状領域を、コンデンサー側から外に行くに従って、上向き、下向き、互い違いに流れていて、磁力線電束電流を取り囲むように同心円状に引かれ、さらにその外側を電束電流がコンデンサーを取り囲む円筒状に流れ、さらに、その外側を磁力線が同心円状に引かれるという具合になりながら、コンデンサーから外側に広がっていく感じになります。

上記では、定量的な議論を避けましたが、マクスウェルは、電磁波の伝わる
速さcが、
で与えられ、光速に等しくなることを予想していました。この予想は、ヘルツにより実験的に確認されています。詳細は、高校の範囲をはるかに超えますが、電磁波を参照してください。


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  1. 2008/02/15(金) 17:07:55|
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電磁波

電磁波

マクスウェルの方程式
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
において、空間中に電荷電流が分布していないとして、電荷密度電流密度とします。①は、
 ・・・⑤
となり、③は、
 ・・・⑥
となります。
⑥式両辺のrot (回転を参照)をとると、
となりますが、右辺は、と④式より、
 ・・・⑦
となります。左辺は、ベクトル解析の公式より、
 ( ②より、) ・・・⑧
⑦,⑧より、 ・・・⑨
同様に、④式より、⑥を用いて、

また、 ( ⑤より、)
よって、 ・・・⑩
⑨,⑩より、電界磁界も同じ形の方程式(の形の方程式を波動方程式と言います)に従うことがわかります。

1次元で、xにのみ依存するz成分のみをもち、x成分,y成分が0となる場合を考えてみます。⑩は、
 ・・・⑪
となりますが、この偏微分方程式の解は、の形をしていることが知られています。実際に代入してみると、
 (偏微分を参照)
となり、⑪を満たしていることがわかります。

ここで、
tを固定してという関数のグラフを考えると、のときのグラフx軸負方向にだけ平行移動したグラフを表しています。tを時間とすれば、速さvx軸負方向にのグラフが移動することになります。同様に、tを固定してのグラフは、tを時間としてのグラフを速さvx軸正方向に移動したものになります。
⑪は、
におけるが速さで移動する波動現象を表しているのです。⑨についても同様に1次元で考えると波動を表します。この電界磁界の波動が電磁波です。x軸負方向に進む波動で退行波、x軸正方向に進む波動で進行波と言います。真空中においては、と考えて、電磁波の伝播速度は、
となり、光速に一致します。このことから、光も電磁波の一種であることがわかります。

3次元の場合には、⑩の解は、 (は定数) (は定数)として、
 ・・・⑫
の形に表せることが知られています。実際に代入してみると、
 (Laplace演算子Dについては、ベクトル解析の公式を参照)
となり、,つまり、であれば、⑩を満たします。は波の進行方向を表していて、の波の進行方向成分を表しています。
⑤より、
なので、
 (発散を参照)
これが恒等的に成り立つためには、,即ち、は垂直でなければなりません。ということは、電界の振動方向は、波の進行方向と垂直になっていて、電界の波動は横波だということがわかります。
全く同様にして、②より、
なので、⑨の解を⑫と同じ形:に書くことができて、磁界の波動も波の進行方向と垂直になっていて、磁界の波動も横波であることがわかります。
⑫の位相をある値
q とおくと、
 ・・・⑬
は、平面の方程式になっています(平面のベクトル方程式を参照)。⑫の波動を平面波と言います。は、この平面の法線ベクトルで、この平面に垂直です。ということは、電界磁界の波動の振幅を表すベクトルは、あるに対する平面⑬上のベクトルになっているということです。
また、⑥より、
となりますが、を代入すると、
 (回転を参照)
より、
は垂直だったので、も垂直になります(外積を参照)。つまり、電界磁界のそれぞれの波動の振動の方向は互いに垂直になっているということがわかります。また、電磁波の進行方向は、電界の振動方向から磁界の振動方向に回る向きを右ねじの向きとして、右ねじの回る向きだということもわかります(右ねじの法則を参照)


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  1. 2008/02/15(金) 17:07:18|
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マクスウェルの方程式

マクスウェルの方程式

空間内の各点において、電界,誘電率をeとして電束密度磁界,透磁率をmとして磁束密度電荷密度r電流密度として、
が成り立つ。これらをまとめて、マクスウェルの方程式と言います。電磁気学の基礎方程式です。


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  1. 2008/02/15(金) 17:06:19|
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振動回路

振動回路

自己インダクタンスLコイル静電容量Cコンデンサーを接続し、コイルに電流を流した状態か、コンデンサーに電荷を蓄えた状態から放置すると、回路を流れる電流、コンデンサー両端の電圧が振動する。振動の周波数fは、
で与えられる。この周波数を振動回路の固有周波数と言う。

(1) 右図のように、自己インダクタンスLのコイルと静電容量Cのコンデンサーを接続し、コンデンサーに電荷を蓄えて放置するとどうなるかを考えます。
初期状態で、コイルの逆起電力のために、回路には電流が流れません。コンデンサー両端の電圧Vは、として、です。また、コンデンサーのエネルギー,コイルのエネルギーです。
(2) しばらくすると、コンデンサーの電荷が減る方向に電流が流れ始めます(このとき電流は負)。この電流I,このときコンデンサーが蓄えている電気量Qとすると、コイル両端の電圧,コンデンサー両端の電圧で、回路を一周するようにキルヒホッフの第2法則を適用すると、
 ・・・①
が成立します。
消費されてしまう電力はなく、コンデンサーのエネルギー,コイルのエネルギーの和は当初のコンデンサーのエネルギーと同じです。つまり、
 ・・・②
(3) やがて、コンデンサーから電荷が流出して、コンデンサーの電気量はゼロとなり、コンデンサーのエネルギーもゼロになります。この時点で、エネルギーは全てコイルのエネルギーとなり、このときの電流の絶対値をとする(これが電流Iの最大値になる)と、となります。この値は、当初のコンデンサーのエネルギーに等しく、
が成立します。よって、
 ・・・③
です。
(4) コンデンサーの電気量がゼロになっても電流が流れ続けるので、コンデンサーには当初と逆符号の電荷Qが溜まり始めます。回路を流れる電流Iとの間に①式,②式が成立します。それに伴い、電流の絶対値が減少してきます。
(5) 電流の絶対値が減り続けついにゼロになる(コイルのエネルギーもゼロ)と、コンデンサーの電気量となり、コンデンサーのエネルギーは当初のエネルギーに戻ります。

以後、エネルギーは保存され、コンデンサーの電荷になったり、になったりしながら、上記(1)(5)が繰り返され、電気的な振動現象が続きます。
最初に、回路に
電流を流しておいた場合も、上記と同様です。

コンデンサーの
電気量が、
 ・・・④
のように変化するとして、電流Iは、
よって、③より、電流の最大値について、
となり、電気振動の周波数fとして、


Qが④式で表される理由を考えてみます。
上記の振動回路において、回路を流れる
電流Iと、コンデンサーの電気量Qの間には、①式:
が成立します。
Lで割ると、より、
 ・・・⑤
⑤式は、単振動で得られると同じ形をしています。座標xが⑤において電気量Qに置き換わった形になっています。単振動している物体の座標から、として、
と書けることがわかります。


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共振回路

共振回路

回路に交流電圧を加えるとき、特定の周波数の交流について、大きな振幅の電流が流れる現象を共振と言う。
RLC直列回路の場合、共振周波数fは、
で与えられる。

ここでは、右図のような、抵抗Rと、自己インダクタンスLコイル(自己誘導を参照)と、静電容量Cコンデンサーを直列に接続し、起電力の交流電源に接続するRLC直列回路を考えます。
RLCによる合成インピーダンスZは、
 ・・・①
交流電圧と、回路を流れる交流電流の間には、
 ・・・②
という関係があります(インピーダンスを参照)
ここで、
RLC電圧の最大値を変化させずに、角周波数だけを変化させて、電流の振幅を最大にすることを考えます。このためには、②より、合成インピーダンスZを最小にすればよいのですが、①より、
 ・・・③
のときに、Z最小となります。このとき、

(とします。共振角周波数と言います)
これより、共振周波数fは、
となります。
共振が起きているとき、③より、
です。

AMラジオを聴いていると、聴きたい放送に混じって、別の外国語の放送が重なって聞こえてしまうことがあります。
共振回路が、ただ
1つの周波数だけにだけ共振すればよいのですが、右図のように、共振周波数のところで電流の振幅が最大であっても、共振周波数と異なる周波数に対しても大きな電流振幅となってしまうのです。
従って、混信しない良い
AMラジオにするためには、右図の山の幅を狭めて山を急峻にする必要があります。この山の幅を評価するパラメータに、Q値と呼ばれる量があります。
Q値は、電流の振幅が、共振しているとき()電流の振幅,となる角周波数 ()として、で与えられます。山の幅が狭くなると、が小さくなるのでQ値が大きくなります。Q値の大きなAMラジオが良いラジオです。
のときのになるということは、合成インピーダンスZのときの値R倍になるということです。つまり、
が成り立つので、
となり、wに関する2つの2次方程式
の正数の解
(とします)(とします)
より、Q値は、
となります。できるだけRCを小さく、Lを大きくすることがラジオの性能を向上させることになります。


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  1. 2008/02/09(土) 22:13:58|
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RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い

RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い

右図のようなRLC直列回路、つまり、交流電源に、抵抗R自己インダクタンスLコイル静電容量Cコンデンサーを直列に接続した回路を、線形2階微分方程式で取り扱って見ます。
ここでは、
RLCはいずれも正数値をとりゼロではないとします。
抵抗、コイル、コンデンサーにおける
電圧降下は、なので、キルヒホッフ第2法則より、これらの総和を交流電源の起電力Vに等しいとおいて、
より、両辺を時間tで微分すると、
 ・・・①
のとき、①に、を代入すると、


但し、
これより、,つまり、として、
①の解は、
で与えられます。

ここで、①式の
電圧と電流を極形式で、
 (オイラーの公式:については、マクローリン展開を参照)
としてみます。
これを①に代入して、
両辺をで割って、
これより、として、
両辺の絶対値について、
両辺の偏角について、
RLC直列回路を見ただけですが、これが、複素インピーダンスZを考える理由です。


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  1. 2008/02/08(金) 19:29:37|
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インピーダンス

インピーダンス

抵抗Rと、自己インダクタンスLコイルと、静電容量Cコンデンサーが直列に接続された回路に、角周波数w交流を流すときのインピーダンスZは、
このときの、電流電圧位相のずれdは、電圧の方がdだけ進んでいるとして、

右図のように、交流電源に、抵抗R自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を考えます。この回路をRLC直列回路と言います。
直列接続なので回路を流れる
電流Iは共通です。この電流を、だとします。
抵抗両端の
電圧は、オームの法則より、
コイル両端の電圧は、
コンデンサー両端の電圧として、公式:より、
とおくと、
よって、
 (容量リアクタンスを参照)
これより、交流電源の電圧Vは、


 (三角関数の合成を参照)
とおくと、dは、を満たす角。
これより、
電圧Vの実効値は、電流の実効値をとして、
と表され、オームの法則のような関係が成立します。Z抵抗のような役割をするのですが、これを、RLC回路のインピーダンスと言います。また、d電圧電流位相のずれと言い、
を満たします。

実は、
複素インピーダンスという便利な考え方があります(詳細は、RLC回路の線形2階微分方程式での取扱いを参照)
回路を流れる
電流複素数として考え、
として、という複素数をかけると、

として、電流電圧の実部、虚部を比べることにより、電流電圧の関係を調べることができます。複素インピーダンスと言います。
複素インピーダンスの良いところは、複素インピーダンスを直流におけるオームの法則における抵抗と全く同じようにして、交流を扱えるところにあります。
抵抗R複素インピーダンスRのままです。
自己インダクタンスLのコイルの複素インピーダンスは、です。
静電容量Cのコンデンサーの複素インピーダンスは、です。
は、RLCインピーダンスを、抵抗直列接続のように、3つ加え合わせた合成インピーダンスになっています。

複素数の電流複素インピーダンスをかけて電圧を求めるということは、右図のように、複素数平面上で、電流を回転・拡大縮小したものが電圧になるということ(極形式を参照)を意味していて、高校物理で言うインピーダンスは、回転縮小の比率を、電圧が電流より進んでいるとしたときの位相のずれdは、複素インピーダンスの偏角を表しています。

RLC並列回路であれば、合成インピーダンスとして、
として、抵抗並列接続のように合成インピーダンスを求めることができます。
虚数単位
'i'と書くと、電流を示す'i'と勘違いしやすいので、電気回路の本では、虚数単位を文字'j'で表すことがあります。


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  1. 2008/02/08(金) 19:28:49|
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誘導リアクタンス

誘導リアクタンス

コイル交流電源に接続すると、電圧位相電流の位相よりもだけ進む。
コイルの
電圧電流実効値について、
が成立し、誘導リアクタンスと言う。

交流電源に自己インダクタンスLのコイルを接続した回路を考えます。
回路を流れる
電流とすると、公式:より、コイルに生じる逆起電力は、
コイル両端の電圧降下V逆起電力と符号を逆転させて、
コイル両端の電圧Vと、電流Iの関係を右図に示します。
右図を見ると、
電圧の正弦波を時間軸の正の方向(過去に戻る方向) (位相で言えば)平行移動したものと電流の正弦波とで、位相がそろうことが分かります。
コイルでは、
電流電圧の位相がずれていて、電圧の位相が電流の位相よりもだけ進んでいます。逆に言うと、電流の位相は電圧の位相よりもだけ遅れています。この事実は非常に覚えにくいので、公式: (自己誘導を参照)から、電流電圧の位相の関係を考えるようにしてください。

電流の実効値は、
電圧の実効値は、
これより、コイルの電圧電流の実効値について、オームの法則と類似した関係:
があり、交流において、抵抗のような働きをしていることがわかります。この誘導リアクタンスと言います。誘導リアクタンスの単位は抵抗と同じくです。
但し、オームの法則と違って、瞬間値については、
という関係は成り立たないので注意してください。


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容量リアクタンス

容量リアクタンス

コンデンサー交流電源に接続すると、電流位相電圧の位相よりもだけ進む。
コンデンサーの
電圧電流実効値について、
が成立し、容量リアクタンスと言う。

交流電源に静電容量Cのコンデンサーを接続した回路を考えます。
交流電源の
電圧とすると、公式: (コンデンサーを参照)より、コンデンサーの極板が蓄えている電気量Qは、
 ・・・①
この極板に流れ込む電流Iは、
 (電流モデルを参照) ・・・②
コンデンサー両端の電圧Vと、電流Iの関係を右図に示します。
右図を見ると、
電圧の正弦波を時間軸の負の方向(過去に戻る方向) (位相で言えば)平行移動したものと電流の正弦波とで、位相がそろうことが分かります。
コンデンサーでは、
電流電圧の位相がずれていて、電流の位相が電圧の位相よりもだけ進んでいます。逆に言うと、電圧の位相は電流の位相よりもだけ遅れています。
「進む」と言うのは、変化が早く起こる、という意味で、「遅れる」というのは、変化が遅くなってから起こる、という意味です。この事実は非常に覚えにくいので、①式を微分して②式を得るところから、
電流電圧の位相の関係を考えるようにしてください。

電圧の実効値は、
電流の実効値は、
これより、コンデンサーの電圧電流の実効値について、オームの法則と類似した関係:
があり、交流において、抵抗のような働きをしていることがわかります。この容量リアクタンスと言います。容量リアクタンスの単位は抵抗と同じくです。
但し、オームの法則と違って、瞬間値については、
という関係は成り立たないので注意してください。


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  1. 2008/02/06(水) 12:48:03|
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